高三数学复习课时练17

任意角、弧度制及任意角的三角函数
1.若sin α<0,且tan α>0,则α是()
A.第一象限角
B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
sin α<0,∴α的终边落在第三、第四象限或y轴的负半轴.
又tan α>0,∴α在第一象限或第三象限.
综上可知,α在第三象限.
2.将表的分针拨慢10分钟,则分针转过的角的弧度数是()
A.π
3B.π
6
C.-π
3
D.-π
6
,故选项C,D不正确.
又拨慢10分,∴转过的角度应为圆周的2
12=1
6
,即为1
6
×2π=π
3
.
3.若tan α>0,则()
A.sin α>0
B.cos α>0
C.sin 2α>0
D.cos 2α>0
方法一)由tan α>0可得kπ<α<kπ+π
2
(k∈Z),
故2kπ<2α<2kπ+π(k∈Z),故四个选项中只有sin 2α>0.
(方法二)由tan α>0知角α是第一或第三象限角,当α是第一象限角时,sin 2α=2sin αcos α>0;
当α是第三象限角时,sin α<0,cos α<0,仍有sin 2α=2sin αcos α>0,故选C.
4.如果1弧度的圆心角所对的弦长为2,那么这个圆心角所对的弧长为()
A.1
sin0.5
B.sin 0.5
C.2sin 0.5
D.tan 0.5
,则由弦心距、弦长的一半、半径构成一个直角
三角形,弦长的一半为1,其所对的圆心角为0.5,故半径为1
sin0.5
,这个圆心角
所对的弧长为1
sin0.5
.故选A.
5.已知α是第二象限角,P(x,为其终边上一点,且cos α=2
4
x,则x=() A.3 B.±3 C.-2 D.-3
cos α=
x2=2
4
x<0,由此解得x=-3,故选D.
6.已知角α的终边经过点(3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α>0,则实数a的取值范围是()
A.(-2,3]
B.(-2,3)
C.[-2,3)
D.[-2,3]
cos α≤0,sin α>0可知,角α的终边在第二象限或y轴的正半轴上,所
以有3a-9≤0,
a+2>0,
解得-2<a≤3.
7.已知角α的终边上一点P的坐标为sin2π
3,cos2π
3
,则角α的最小正值为
()
A.5π
6B.2π
3
C.5π
3
D.11π
6
P在第四象限,根据三角函数的定义得cos α=sin2π
3=3
2
,故
α=2kπ-π
6(k∈Z),所以α的最小正值为11π
6
.
8.已知点A的坐标为(43,1),将OA绕坐标原点O逆时针旋转π
3
至OB,则点B的纵坐标为()
A.33
2B.53
2
C.11
2
D.13
2
A的坐标为(43,1),可知OA绕坐标原点O逆时针旋转π
3
至OB,则OB边仍在第一象限.
故可设直线OA的倾斜角为α,B(m,n)(m>0,n>0),则直线OB的倾斜角为
π3+α,因为A(43,1),所以tan α=
43
,tanπ
3
+α =n
m
,n
m
=3+
1
43
1-3·1
43
=
33
,即
m2=27
169
n2,
因为m2+n2=(43)2+12=49,
所以n2+27
169n2=49,所以n=13
2
或n=-13
2
(舍去),
所以点B的纵坐标为13
2
.
9.函数y=2cos x-1的定义域为________.
2kπ-π
3,2kπ+π
3
(k∈Z)
2cos x-1≥0,∴cos x≥1
2
.
由三角函数线画出x满足条件的终边的范围(如图阴影部分所示),
故x∈2kπ-π
3,2kπ+π
3
(k∈Z).
10.已知角α的终边在直线y=-3x上,则10sin α+3
cosα
的值为________.
α终边上任一点为P(k,-3k),
则r=k2+(-3k)2=10|k|.
当k>0时,r=10k,
∴sin α=
10k =-
10
1
cosα
=10k
k
=10,
∴10sin α+3
cosα
=-330; 当k<0时,r=-10k,
∴sin α=
-10k =
10
1
cosα
=-10k
k
=-10,
∴10sin α+3
cosα
=310-310=0.
综上,10sin α+3
cosα
=0.
11.设角α是第三象限角,且sinα
2=-sin α
2
,则角α
2
是第________象限角.
α是第三象限角,可知2kπ+π<α<2kπ+3π
2
(k∈Z).
故kπ+π
2<α
2
<kπ+3π
4
(k∈Z),即α
2
是第二或第四象限角.
又sinα
2=-sin α
2
,故sin α
2
<0.
因此α
2
只能是第四象限角.
12.已知扇形周长为40,则当扇形面积最大时,它的半径和圆心角分别为________.
r,圆心角为θ,则rθ+2r=40.
∴扇形的面积S=1
2θr2=1
2
(40-2r)r=-r2+20r=-(r-10)2+100≤100.
∴当且仅当r=10时,S有最大值100,此时10θ+20=40,θ=2.∴当r=10,θ=2时,扇形的面积最大.
13.已知角α=2kπ-π
5(k∈Z),若角θ与角α的终边相同,则y=sinθ
|sinθ|
+cosθ
|cosθ|
+
tanθ
|tanθ|
的值为()
A.1
B.-1
C.3
D.-3
α=2kπ-π
5
(k∈Z)及终边相同的角的概念知,角α的终边在第四象限.
又角θ与角α的终边相同,所以角θ是第四象限角.
所以sin θ<0,cos θ>0,tan θ<0.所以y=-1+1-1=-1.
14.已知sin α>sin β,则下列命题成立的是()
A.若α,β是第一象限的角,则cos α>cos β
B.若α,β是第二象限的角,则tan α>tan β
C.若α,β是第三象限的角,则cos α>cos β
D.若α,β是第四象限的角,则tan α>tan β
,
由三角函数线可知选D.
15.在与2 010°终边相同的角中,绝对值最小的角的弧度数为________.
-5π
6
2 010°=67π
6=12π-5π
6
,∴与2 010°终边相同的角中绝对值最小的角
的弧度数为-5π
6
.
16.函数y=sin x+1
2
-cos x的定义域是________.
π
3
+2kπ,π+2kπ (k∈Z)
sin x≥0,
1
2
-cos x≥0,
即
sin x≥0,
cos x≤1
2
.
由满足上述不等式组的三角函数线,得x的取值范围为π
3
+2kπ≤x≤π+2kπ,k∈Z.
17.已知θ角的终边与480°角的终边关于x轴对称,点P(x,y)在θ角的终边
上(不是原点),则xy
x2+y2
的值等于________. 〚
θ的终边与240°角的终边相同,又P(x,y)在角θ的终边上,
∴tan θ=tan 240°=3=y
x
,
于是xy
x+y =
y
x
1+y
x
2
=3
1+3
=3
4
.
18.已知角θ的终边上有一点(a,a),a∈R,且a≠0,则sin θ的值是________.
-2
2
r=2+a2=2|a|,
则sin θ=a
r =
2|a|
=
2
2
,a>0,
-2
2
,a<0.
所以sin θ的值是2
2或-2
2
.。