大学物理复习资料很多题

质点的运动函数为5422+==t y t x式中的量均采用SI 单位。

（1）求质点运动的轨道方程；（2）求s t 11=和s t 22=时，质点的位置、速度和加速度。

解（1）消去运动函数中的t ，可得轨道方程为52+=x y可见质点沿一抛物线运动。

（2）质点的位矢为j i r )54(22++=t t速度和加速度分别为j i rv t t 82d d +==和j va 8d d ==t当s t 1=和s t 2=时，质点的位置分别为j i r 92+= 和 j i r 214+=速度分别为j i v 82+= 和 j i v 162+=而加速度都是j a 8=。

一质点由静止开始沿直线运动，初始时刻的加速度为0a ，以后加速度均匀增加，每经过τ秒增加0a ，求经过t 秒后该质点的速度和运动的路程。

解 质点的加速度每秒钟增加τ0a ，加速度与时间t 的关系为000)1(a tt a a a ττ+=+=因此，经过t 秒后质点的速度为20000021t a t a dt t a adt v tt ττ+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰ 质点走过的路程为ττ62230200200t a t a dt t t a vdt S tt +=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+==⎰⎰ 如图所示，在以1s m 3-⋅的速度向东航行的A 船上看，B 船以1s m 4-⋅的速度从北面驶向A 船。

在湖岸上看，B 船的速度如何？解 按速度的变换关系，B 船相对湖岸的速度为A BAB v v v +=如图所示，其大小为12222s m 534-⋅=+=+=A BA B v v v与正南方向的夹角为253643tan 1'=⎪⎭⎫⎝⎛=-οθ即在湖岸上看，B 船沿向南偏东2536'ο的方向以速度1s m 5-⋅航行。

设有一个质量为m 的物体，自地面以初速0v 竖直向上发射，物体受到的空气阻力为Av f -=，其中v 是物体的速率，A 为正常数。

求物体的速度和物体达到最大高度所需时间。

解 取竖直向上为y 轴方向，物体的运动方程为AvBAvBv东南图习题用图 (教材图dtdv mAv mg =-- 写成分离变量形式dt m AAmg v dv -=+设在时刻t 物体的速度为v ，则有⎰⎰-=+tv v dt m AAmg v dv 00 得t m AA mg v A mg v -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++0ln 因此，物体的速度为A mg eA mg v v m At -⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-0 因为达到最大高度时0=v ，所以物体达到最大高度所需时间为⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=mg Av A m A mg A mg v A m T 001ln ln 一质量为m 的船，在速率为0v 时发动机因故障停止工作。

若水对船的阻力为Av f -=，其中v 是船的速率，A 为正常数，试求发动机停止工作后船速的变化规律。

解 取船水平前进方向为x 轴方向，发动机停止工作后船的运动方程为dtdvmAv =- 写成分离变量形式为dt mA v dv -= 设在时刻t 物体的速度为v ，则有⎰⎰-=tvv dt m A v dv 00 得t m A v v -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛0ln因此，船速的变化规律为m At e v v -=0如图所示，绳子一端固定，另一端系一小球，小球绕竖直轴在水平面上做匀速圆周运动，这称为圆锥摆。

已知绳长为L ，绳与竖直轴的夹角为θ，求小球绕竖直轴一周所需时间。

图习题用图 (在教材图上加)解 如图所示，对小球沿指向圆心方向和沿竖直向下方向列运动方程cos sin 2=-=θθT mg R v mT解出小球沿圆周运动的速率为θθθθtan cos sin sin gR m mgR m TR v ===小球绕竖直轴一周所需时间为θπθππτtan 2tan 22g RgR R vR===把θsin L R =代入，得gL θπτcos 2= 可以看出，τ只与θ,,g L 有关，与小球质量无关。

在如图所示的系统中，滑轮可视为半径为R 、质量为0m 的均质圆盘，滑轮与绳子间无滑动，水平面光滑，若kg m 501=，kg m 2002=，m R kg m 10.0,150==，求物体的加速度及绳中的张力。

解 将体系隔离为1m ，0m ，2m 三个部分，对1m 和2m 分别列牛顿方程，有a m T g m 222=- a m T 11=β21221MR R T R T =- 因滑轮与绳子间无滑动，则有运动学条件R a β=联立求解由以上四式，可得R M m m g m ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=21212β由此得物体的加速度和绳中的张力为221262.7155.02005081.920021-⋅=⨯++⨯=++==s m M m m g m R a βN a m T 38162.75011=⨯== N a g m T 438)62.781.9(200)(22=-⨯=-=如图所示，一轴承光滑的定滑轮，质量为kg M 00.2=，半径为m R 100.0=，上面绕一根m 2gT 2图习题用图（在教材图上加）T 2不能伸长的轻绳，绳下端系一质量m =5.00kg 的物体。

已知定滑轮的转动惯量为221MR J =，初始角速度s rad 0.100=ω，方向垂直纸面向里，求：（1）定滑轮的角加速度；（2）定滑轮的角速度变化到0=ω时，物体上升的高度；（3）当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度。

解 （1）对物体和滑轮分别列牛顿方程和转动方程。

设物体的加速度为a ，滑轮的角加速度为，则有ma T mg =- βJ TR =考虑运动学条件βR a =联立求解由以上三式，得定滑轮的角加速度为27.81100.0)00.200.52(81.900.52)2(2-⋅=⨯+⨯⨯⨯=+=s rad R M m mg β方向垂直纸面向外。

可以看出，在物体上升期间定滑轮做匀减速转动。

（2）由t βωω-=0，当0=ω时07.810.10=-t ，s t 122.0=rad t t 612.0122.07.815.0122.00.1021220=⨯⨯-⨯=-=βωθ因此，物体上升的高度为图习题用图（在教材图上加）mgTm R h 21012.6612.0100.0-⨯=⨯==θ（3）物体上升到高度h 后，定滑轮由静止开始以角加速度 做匀加速转动。

因此，当物体回到原来位置时，定滑轮的角速度为10.10612.07.8122-⋅=⨯⨯==s rad βθω方向垂直纸面向外。

质量为1m 和2m 的两物体A 、B 分别悬挂在图所示的组合滑轮两端。

设两轮的半径分别为R 和r ，两轮的转动惯量分别为1J 和2J ，轮与轴承间、绳索与轮间的摩擦力均略去不计，绳的质量也略去不计。

试求两物体的加速度和绳的张力。

解 分别对两物体及组合滑轮作受力分析。

根据质点的牛顿定律和刚体的转动定律，有1111a m T g m =- 2222a m g m T =- β)()(2121J J r T R T +=-由角加速度和线加速度之间的关系，有βR a =1，βr a =2联立求解解上述方程，可得gR r m R m J J rm R m a 222121211+++-=图习题用图（在教材图上加）T 1m 1gT 22m 2gT 1 T 2gr rm R m J J rm R m a 222121212+++-=g m rm R m J J Rr m r m J J T 1222121222211++++++= g m r m R m J J Rr m R m J J T 2222121121212++++++=如图所示，一质量为m 的小球由一绳索系着，以角速度0ω在无摩擦的水平面上，作半径为0r 的圆周运动。

如果在绳的另一端作用一竖直向下的拉力F ，使小球作圆周运动的半径变小。

当半径减为20r 时，求：（1）小球的角速度；（2）拉力所作的功。

解 （1）因拉力通过绳的另一端，则拉力对轴无力矩，小球在转动的过程中角动量守恒。

即ωωJ J =00式中0J 和J 分别是小球在半径为0r 和20r 时对轴的转动惯量，200mr J =和420mr J =，则有0004ωωω==JJ （2）随着小球转动角速度的增加，其转动动能也增加，这正是拉力做功的结果。

由转动的动能定理可得拉力做的功为20202002232121ωωωmr J J W =-=如图所示，长为L 、质量为m 的均匀细杆可绕过端点O 的固定水平光滑轴转动。

把杆抬平后无初速地释放，杆摆至竖直位置时刚好和光滑水平桌面上的小球相碰，球的质量和杆图习题用图 （教材图）相同。

设碰撞是弹性的，求碰后小球获得的速度。

解 选杆和小球为刚体系。

因碰撞是弹性的，则体系的机械能守恒。

以水平桌面为重力势能零点，设杆摆至竖直位置但未与小球碰撞时的角速度为ω，则有mgL J mgL 21212+=ω 在杆与小球碰撞过程中，体系对轴O 的角动量守恒。

设碰撞后杆的角速未度ω'，则有mvL J J +'=ωω式中32mL J =为杆绕轴O 的转动惯量，v 为碰后小球获得的速度。

由机械能守恒，有222212121mv J J +'=ωω 由以上三式，可解出碰后小球获得的速度gL v 321=。

如图所示，一环形薄片由细绳悬吊着，环的半径为R ，内半径为R /2，并有电量Q 均匀分布在环面上，细绳长3R ，也有电量Q 均匀分布在绳上，试求圆环中心O 处的电场强度 （圆环中心在细绳延长线上）。

解 圆环上的电荷对圆环中心O 点对称分布，因此它在O 点的场强为零，合场强就是细绳上的电荷在O 点产生的场强。

选细绳顶端为坐标原点，竖直向下为x 轴。

在x 处取一电荷图习题用图（教材图）图习题用图（在教材图上加）元R Qdx dx dq 3==λ，它在O 点的场强为2020)4(12)4(4x R R Qdxx R dq dE -=-=πεπε整个细绳上的电荷在在O 点产生的场强为20302016)4(12RQx R dx R QE Rπεπε=-=⎰ 方向竖直向下。

此即所求。

如图所示，在电荷体密度为ρ的均匀带电球体中，存在一个球形空腔，若将带电体球心O 指向球形空腔球心O '的矢量用a 表示。

试证明球形空腔中任一点电场强度为a E 03ερ=。

证 球形空腔可以看成是由电荷体密度分别为ρ和ρ-的均匀带电大球体和小球体叠加而成。

空腔内任一点P 处的场强，可表示为 )(333210201021r r r r E E E -=-+=+=ερερερ 其中1E 和2E 分别为带电大球体和小球体在P 点的场强。

由几何关系a r r =-21，上式可写成a E 03ερ=即证。