高考数学《圆锥曲线定点定值问题之定比点差法》
圆锥曲线定点定值问题之定比点差法
一：定比点差法原理
定比分点：若,MBAM则称点M为AB的入定比分点，若2211,,,yxByxA则1,1:2121yyxxM
若MBAM且NBAN,则称NM,调和分割BA,,根据定义，那么BA,也调和分割NM,.
1.定理：在椭圆或双曲线中，设A,B为椭圆或双曲线上的两点。若存在P,Q两点，满足PBAP，QBAQ，一定有122byyaxxQPQP
证明：若2211,,,yxByxA， PBAP，则1,1:2121yyxxP
,QBAQ则1,1:2121yyxxQ，有2211222222222221xyabxyab①② ①—②得：121212122221.xxxxyyyyab即11111112121221212••••yyyybxxxxa
122byyaxxQPQP
2.在抛物线pxy22中，设A,B为抛物线上的两点。若存在P,Q两点，满足PBAP，QBAQ，一定有)(QPQPxxpyy
证明：若2211,,,yxByxA， PBAP，则1,1:2121yyxxP ,QBAQ则1,1:2121yyxxQ，有2112222222ypxypx①② ①—②得：22222121122()yypxxxx即22121212121212))()yyyypxxxxxxxx((
12121212))()(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)yyyypxxpxx(( )(QPQPxxpyy
定比点差的原理谜题解开，就是两个互相调和的定比分点坐标满足圆锥曲线的特征方程。
定比点差解决的几大问题
一．证明特征方程
1.（2015•四川卷）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率为21，左、右焦点分别为圆F1、F2，M是C上一点，21MF，且12122MFMFMFMF．
（1）求椭圆C的方程；
（2）当过点)1,4(P的动直线l与椭圆C相交于不同两点A、B时，线段AB上取点Q，且Q满足APQBAQPB，证明点Q总在某定直线上，并求出该定直线的方程．
2.（2021•湛江三模）设抛物线2:2(0)Cypxp的焦点为F，过点(0,4)P的动直线l与抛物线C交于A，B两点，当F在l上时，直线l的斜率为2．
（1）求抛物线的方程；
（2）在线段AB上取点D，满足PAPB，ADDB，证明：点D总在定直线上．
3．（2021•山东二模）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率12e，且经过点3(1,)2，点1F，2F为椭圆C的左、右焦点． （1）求椭圆C的方程；
（2）过点1F分别作两条互相垂直的直线1l，2l，且1l与椭圆交于不同两点A，B，2l与直线1x交于点P．若11AFFB，且点Q满足QAQB，求1PQF面积的最小值．
定比点差转换定理：
在椭圆、双曲线或者抛物线中，设A,B为椭圆或双曲线上的两点。若存在P,Q两点，满足APPB，QBAQ，若),(),,(2211yxByxA一定有222221QPQPQPQPxxxxxxxxxx（重点中的重点！！！）
证明：)1()1(1112121212122QPQPQPQPxxxxxxxxxxxxbyyaxx222221QPQPQPQPxxxxxxxxxx
二．平行线定点之截距定值
4.（2021•垫江县模拟）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，长轴长为42，A、B为椭圆上的两个动点，当A，B关于原点对称时，222(||||)ABFAFBFS的最大值为162． （Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若存在实数使得1AFAB，过点A作直线4x的垂线，垂足为N，直线NB是否恒过某点？若恒过某点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由．
解：（Ⅰ）由题意可知，242a，且22||||242AFBFa为定值，
当AB为短轴时，2ABFS取得最大值为bc，
所以22248bcabc，解得22,2,2abc，
所以椭圆C的方程为22184xy；
5.（2021•安徽模拟）在平面直角坐标系xOy中，A，B分别为椭圆2222:1(0)xyCabab的右顶点和上顶点，OAB的面积为3，且椭圆C的离心率为12．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设斜率不为0的直线l经过椭圆C的右焦点F，且与椭圆C交于不同的两点M，N，过M作直线4x的垂线，垂足为Q．试问：直线QN是否过定点？若过定点，请求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由．
6.（2021•绵阳模拟）已知椭圆2222:1(0)xyEabab过点(6，1)，且离心率为22．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过右焦点F且不与x轴重合的直线与椭圆交于M，N两点，已知(3,0)D，过M且与y轴垂直的直线与直线DN交于点P，求证：点P在一定直线上，并求出此直线的方程．
三．焦点弦与短轴截距比值之和为定值 7.（2021•邯郸二模）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F，2F，过点1F的直线l交椭圆于A，B两点，交y轴于点M，若12||2FF，2ABF的周长为8．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）1MAFA，1MBFB，试分析是否为定值，若是，求出这个定值，否则，说明理由．
8.（2021•浙江模拟）已知抛物线2:4Cyx的焦点为F，O为坐标原点．过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点．
（1）若直线1与圆221:9Oxy相切，求直线l的方程；
（2）若直线1与y轴的交点为D，且DAAF，DBBF，试探究：是否为定值？若为定值，求出该定值；若不为定值，试说明理由．
9.（2021•吉安模拟）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的焦距为2．，离心率为12．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q，P，与椭圆分别交于点M，N，各点均不重合且满足PMMQ，PNNQ．若4，证明：直线l恒过定点．
三．比值或者坐标取值范围 10.（2018•浙江）已知点)1,0(P，椭圆)1(422mmyx上两点A、B满足PBAP2，则当m 时，点B横坐标的绝对值最大．
11.（2021•云南一模）已知椭圆2222:1(0)xyCabab的左、右焦点分别为1F、2F，过1F的动直线与椭圆C交于P、M两点，直线2PF与椭圆C交于P、N两点，且11PFFM，22PFFN．当△12FPF的面积最大时，MPN为等边三角形．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若12b，直线1xy与椭圆C是否有公共点？若有，有多少个公共点？若没有，请说明理由．
12.若椭圆E1：1212212byax与椭圆E2：1222222byax满足)0(2121mmbbaa，则称这两个椭圆相似，m叫相似比．若椭圆M1与椭圆12222yxM：相似且过），（221点．（I）求椭圆M1的标准方程；（II）过点P（﹣2，0）作斜率不为零的直线l与椭圆M1交于不同两点A、B，F为椭圆M1的右焦点，直线AF、BF分别交椭圆M1于点G、H，设AFFG，()BFFHR，，求的取值范围．
13.
五．坎迪定理
14.（2021•江苏模拟）在平面直角坐标系xOy中，椭圆2222:1(0)xyCabab的离心率是12，焦点到相应准线的距离是3． （1）求a，b的值；
（2）已知A、B是椭圆C上关于原点对称的两点，A在x轴的上方，(1,0)F，连接AF、BF并分别延长交椭圆C于D、E两点，证明：直线DE过定点．
15.（2021•武汉模拟）设抛物线2:2(0)Eypxp的焦点为F，过F作直线l交抛物线E于A，B两点．当l与x轴垂直时，AOB面积为8，其中O为坐标原点．
（1）求抛物线E的标准方程；
（2）若l的斜率存在且为1k，点(3,0)P，直线AP与E的另一交点为C，直线BP与E的另一交点为D，设直线CD的斜率为2k，证明：12kk为定值．
16.（2021•济南一模）如图，A，B，M，N为抛物线22yx上四个不同的点，直线AB与直线MN相交于点(1,0)，直线AN过点(2,0)．
（1）记A，B的纵坐标分别为Ay，By，求AByy的值；
（2）记直线AN，BM的斜率分别为1k，2k，是否存在实数，使得21kk？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
17.（2018北京文20压轴）已知椭圆2222:1(0)xyMabab的离心率为63，焦距为22．斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B．(1)求椭圆M的方程；(2)若1k，求||AB的最大值；
(3)设(2,0)P，直线PA与椭圆M的另一个交点为C，直线PB与椭圆M的另一个交点为D．若C，D和点71(,)44Q 共线，求k．
六．极点极线的快速证明
18.（2021春•浙江月考）如图，已知抛物线2:2(0)Cypxp的焦点F，过x轴上一点(2,0)T作两条直线分别交抛物线于A，B和C，D，设AC和BD所在直线交于点P．设M为抛物线上一点，满足以下的其中两个条件：①M点坐标可以为(4,4)；②MFx轴时，||3MF；③||MF比M到y轴距离大1．
（Ⅰ）抛物线C同时满足的条件是哪两个？并求抛物线方程；
（Ⅱ）判断并证明点P是否在某条定直线上，如果是，请求出该直线；如果不是，请说明理由．
19.（2021•金华模拟）如图，已知抛物线24yx，过点(1,1)P的直线l斜率为k，与抛物线交于A，B两点．
（Ⅰ）求斜率k的取值范围；
（Ⅱ）直线l与x轴交于点M，过点M且斜率为2k的直线与抛物线交于C，D两点，设
高考数学(理)二轮配套训练【专题6】(3)圆锥曲线中的热点问题(含答案)
第3讲 圆锥曲线中的热点问题
考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．
2．有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1k2|y2－y1|.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
3．弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
4．轨迹方程问题
(1)求轨迹方程的基本步骤：
①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．
圆锥曲线方法总结
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. 圆锥曲线考点及方法总结 （江苏）
1 化斜为直：利用相似三角形将斜线段之比转化为直角边之比，然后再将直角边之比转化为坐标之比 这就将几何量转化为代数值
2相关点法求曲线轨迹 如求p的轨迹方程 若知道A点所在的曲线方程L 只需找出P与A之间的坐标关系 然后带入L即可
3设点 、设线 然后将问题向X1+X2、x1*x2、y1+y2、y1*y2 上转化， 然后联立直线与曲线的方程，利用韦达定理 ，涉及最值或范围问题时 注意带塔>0；
4圆锥曲线中的最值问题： 通常构造函数转化为求函数最值（导数求解），也可以保留两个变量运用基本不等式求解 ，当然在设点时用圆锥曲线的参数方程 ，这样最值问题最终转化为三角函数最值问题
5几何性质：角平分线定理
6公式化法则
7焦半径公式
8极坐标方程（与焦半径有关的题目才能用）
9参数方程（涉及最值与定值问题时可尝试）
10直线的参数方程中的|t|的几何意义是直线上的点到定点的线段长度 注意线段的方向性 即t的正负（在涉及线段长度的题目中有效）
11注意利用点在曲线上这一基本条件 许多 精品文档
. 设而不求 最终都会用到这一条件
12常见椭圆结论：k1*k2为定值（与椭圆对称点） 点差法的到的结论 椭圆切点出的切线方程 椭圆是对称图形
13弦长公式
14 SOAB=
15代换技巧 ：如两直线过同一点 只有K不一样，则算出k1的数据后用k2代换就能得到另一条线的数据（不只斜率K可以代换，点也可以代换）减少计算量
16当化简到非常复杂的式子时，考虑能否整体代换，将形式复杂的部分用一个变量代替
17利用三点共线列等式
18直线过定点问题
方法一；求出AB直线方程 再求定点
方法二：取两个特殊位置的直线，解出交点C,验证交点C是否在直线AB上 ，只需算k1=k2即可
方法三，若能观察出定点在x轴上，解出AB方程令y=0，解出x为定值即可
圆锥曲线中定点问题的解题策略
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圆锥曲线中定点问题的解题策略
作者：黄海宁
来源：《中学教学参考·理科版》2012年第05期
解析几何中定值问题的考查是近几年高考的一个重点和热点内容.这类问题常常以直线与圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数、方程、不等式、平面向量等诸多数学知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、化简计算能力有较高的要求.因此学生对处理此类问题都颇感棘手，笔者就定点问题谈谈自己的几点体会.
在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就构成了定值问题，解决这类问题时，要善于在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，解答思路有两种：
一种思路是进行一般计算推理求出其结果，选定一个适合该题设的参变量，用题中已知量和参变量表示题中所涉及的定义、方程、几何性质，再用韦达定理、点差法等导出所求定值关系需要的表达式，并将其代入定值关系式，化简、整理，求出结果；
另一种思路是通过考查极端位置，探索出“定值”是多少，用特殊探索法（特殊值、特殊位置、特殊图形等）先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明题，从而找到解决问题的突破口，将该问题涉及的几何形式转化为代数形式或三角形式，证明该式是恒定的.同时有许多定值问题，通过特殊探索法不但能够确定出定值，还可以为我们提供解题的线索.如果试题是以客观题形式出现，特殊化方法往往更有效.
恒过定点在解析几何中以两种形式呈现：
点斜式方程和过定点的直线系或曲线系方程.
一、由点斜式方程求出定点 y-y1=k(x-x1)，k∈R，直线恒过定点(x1,y1).
【例1】 已知离心率为52的双曲线C的中心在坐标原点，左、右焦点F1、F2在x轴上，双曲线C的右支上一点A使AF1·AF2＝0且△F1AF2的面积为1.
高考数学专题解析几何中的定点与定值问题备考策略与方法
高考数学专题解析几何中的定点与定值问题备考策略与方法
定点与定值问题是解析几何中的高频考点，在近几年的考题中层出不穷.圆锥曲线的有关定点、定值等综合性问题涉及圆锥曲线的定义、几何性质、直线与圆锥曲线位置关系等知识，同时又与函数、不等式、方程、平面向量等代数知识紧密联系.求解这类问题时，需要有较强的代数运算能力和图形识别能力，要能准确地进行数与形的语言转换和运算，合理猜想并仔细推理论证，对熟练运用所学知识分析问题、解决问题的能力要求较高，较大部分学生对此类问题望而生畏.
定点问题主要是曲线系(直线系)过定点的问题，反映的是数学对象的本质属性，如圆锥曲线的某些特有性质，因此，常见某些具有圆锥曲线的性质背景的题目(如蒙日圆、阿基米德三角形等).定值问题主要涉及面积、面积比、斜率、长度、角度等几何量的定值，也涉及动点运动轨迹中的某些不变因素.处理这两大类问题时可以直接推理求出定点、定值，也可以从特殊情形、极限状态、图形的对称性等方面入手猜测结论，再证明这个点(值)与变量无关，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果.同时，要设定合理的变量，准确把握各变量的数量关系，要善于捕捉题目信息，合理变形、消元，并注意整体思想的熟练应用.1定点问题 曲线系(直线系)过定点的问题是一类常考题型，这类问题以直线和圆锥曲线为载体，结合其他条件探究或证明直线、曲线过定点或动点在定直线上等问题.试题条件中一般含有两个参数，解题过程就是利用条件消参的过程，因此，此类问题的求解往往伴随着一定的计算. 具体来讲，若是证明直线过定点，可将直线设为斜截式，然后消掉一个参数，即得直线所过的定点；证明圆过定点时，常利用直径所对圆周角为直角转化为向量的数量积恒为零处理；证明其他曲线过定点的问题时，经常将曲线中的参变量集中在一起，令其系数等于零，解得定点.
总结起来，应注意如下几点:
首先，仔细研究题干，认清问题本质，找准思路，预计求解过程中遇到的各种情况，也就是要想得明白，思路通畅可操作；
高考必备知识训练(十)圆锥曲线的标准方程、相关点法、点差法
1 高考必备知识训练（十）圆锥曲线的标准方程、相关点法、点差法
一、待定系数法
举例：已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为23,两个焦点分别为1F和2F,椭圆G上一点到1F和2F的距离之和为12.求椭圆G的方程
练习：1、已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为(3,0)F,右顶点为(2,0)D,设点11,2A，求该椭圆的标准方程.
2、在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,FF在x轴上，离心率为22。过l的直线
交于,AB两点，且2ABFV的周长为16，那么C的方程为
3、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5:4，求双曲线的标准方程.
4、已知抛物线关于y轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M（32,3），求它的标准方程。
5、巳知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x轴上，离心率为32，且G上一点到G的两个焦点的距离之和为12，则椭圆G的方程为 ．
6、以点（2，1）为圆心且与直线6xy相切的圆的方程是 .
7、设斜率为2的直线l过抛物线2(0)yaxa的焦点F,且和y轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,求抛物线方程.
8、已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，若2,2P为AB的中点，求抛物线C的方程.
9、已知椭圆1C：22221(0)yxabab的右顶点为(1,0)A，过1C的焦点且垂直长轴的弦长为1．求椭圆1C的方程. 2 10、已知双曲线2222:1(0,0)xyCabab的离心率为3，右准线方程为33x。求双曲线C的方程；
11、设椭圆E: 22221xyab（a,b>0）过M（2，2） ，N(6,1)两点，O为坐标原点，求椭圆E的方程；
二、相关点法
2019届高考数学二轮复习 圆锥曲线定值定点问题和存在性问题(非韦达定理类)(带解析)
1
一、 同步知识梳理
圆锥曲线的几何性质和公式
名 称 椭 圆 双 曲 线
图 象 xOy
xOy
定 义
平面内到两定点21,FF的距离的和为常数2a（2a21FF）的动点的轨迹叫椭圆.即aMFMF221
当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，
当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF
当2a﹤2c时，轨迹不存在 平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数2a（a2021FF）的动点的轨迹叫双曲线.即aMFMF221
当2a﹤2c时，轨迹是双曲线
当2a=2c时，轨迹是两条射线
当2a﹥2c时，轨迹不存在
标准方
程
焦点在x轴上时： 12222byax
焦点在y轴上时：12222bxay
0ba 焦点在x轴上时：12222byax
焦点在y轴上时：12222bxay
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 注：是根据项的正负来判断焦点所
在的位置
两轴 长轴长2a，短轴长2b
（长半轴a ，短半轴b） 实轴长2a，虚轴长2b
（实半轴a ，虚半轴b）
cba,,关 系 （1）222bca（符合勾股定理的）
（2）a最大（可以bcbcbc,,） （1）222bac（符合勾股定理的）
（2）c最大（可以bababa,,）
范围 焦点在x轴：－a≤x≤a，－b≤y≤b 焦点在x轴：ax或ax 2
焦点在x轴 焦点在y轴
双曲线
12222byax 12222bxay
渐近线
xaby即02222byax xbay即02222bxay
万变不离其宗,寻求“不动点”——高考真题圆锥曲线的定值定点问题
—科教导刊（电子版）·2019年第13期/5月（上）—171万变不离其宗，寻求“不动点”——高考真题圆锥曲线的定值定点问题倪盼（河南大学数学与统计学院河南·开封475001）摘要定值定点问题是圆锥曲线重点考察问题之一，亦是学生容易出错的难点问题。本文通过总结定值定点常考的四种类型：设而不求，找点取证，从猜想到证明，从推理到消元，帮助学生理清其思路，解决定点和定值问题，增强数学运算、逻辑推理等思维能力。关键词圆锥曲线定值定点数学运算逻辑推理思维能力中图分类号：G633文献标识码：A0引言在高考圆锥曲线问题中，定值定点问题是老生常谈的话题。这类问题既考查学生的数学运算，又考查学生的逻辑推理能力，归纳梳理这类问题的思想和方法，有助于培养学生的数学运算和逻辑推理这两个数学核心素养，体现新课标对高中数学的重视程度，圆锥曲线中的定点定值问题，便是考察学生数学素养的一个重要途径。1内容分析1.1考点提要此类问题主要涉及到直线、圆与圆锥曲线等方面的知识，渗透了函数与方程、转化与化归、数形结合，分类讨论的思想，所以是高考的热点题型之一。但是这类问题难度相对较大，学生在第一轮复习中的掌握情况较差。为了提高第二轮复习的有效性，本文通过归纳整合定值定点问题，梳理这类题的思想和方法，对问题进行剖析，希望给学生们一些指导。1.2深究例题发现例题的考点，举一反三，触类旁通，先用分析法分析，思考并尝试解决，寻找关键点。1.3一题多解，多题多解在选题时，要明确选题的目的在于解决本专题的重点或者难点内容，更好地发挥典型题目的示范作用和学生的正向迁移能力。2定点定值的类型2.1设而不求(2014山东理)已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有。当点的横坐标为3时，为正三角形。（Ⅱ）若直线，且和有且只有一个公共点，（i）证明直线过定点，并求出定点坐标。解：分析：要求直线过定点，就要找斜率与截距的关系，由抛物线性质知，，，由得所以直线AB的斜率。因为直线与直线AB平行，所以设直线的方程可以表示出来，导出点坐标，最后找到斜率与截距的关系，得到直线AE恒过点。知识小结：此类题由斜率入手，设点却不求出具体的点的坐标，通过分析法和逻辑推理能力，找到变量之间的关系，找到斜率和截距的关系，得到直线的表达式进而求出定点坐标。设而不求比较适合于直线与圆锥曲线的交点均未知的情况，化简要求比较高。2.2“找点取证”(2016年全国新课标Ⅰ理模拟卷)已知椭圆经过点，离心率为。(2)直线与椭圆交于两点，点是椭圆的右顶点。直线与直线分别与轴交于点，试问以线段为直径的圆是否过轴上的定点?若是，求出定点坐标；若不是，说明理由。解：由第一问知：椭圆的方程是。分析：将题意转化为几何条件得。，设，，，，。，，假设存在这个定点，则有①转化为代数条件。三点共线用斜率相等来证：①②直线令，，③将③代入②中得，0=±3以线段为直径的圆过轴上的定点。知识总结：利用点的位置关系，借助三点共线，斜率相等求出点的坐标，整体代入求出具体定值，培养学生贯穿知识点的能力，一步一步推理，借助其他点求出要求的点的坐标，学会触类旁通。定点问题：求某直线过定点，或者确定一个定点的坐标。定值定点问题是备受关注的问题，这类解答题既考验学生的数学运算能力，又考查学生的逻辑推理能力，注重知识的迁移和转换，具有较强的严谨性。2.3从猜想到证明(2015四川理)如图，椭圆的离心率是，过点P（0,1）的动直线与椭圆相交于A，B两点，当直数|学|研|究—科教导刊（电子版）·2019年第13期/5月（上）—172线平行于轴时，直线被椭圆E截得的线段长为。（2）在平面直角坐标系中，是否存在与点P不同的定点Q，使得恒成立？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解：分析：先猜后证，首先根据特殊位置和数值猜想定值，其次讲这个值代入题中，证明其与变量无关。先分析直线斜率存在，或者不存在得出的结论，再证明结论成立。当直线平行于轴时，设直线与椭圆相交于C、D两点，如果存在Q点满足条件，则有，即，所以Q点在y轴上，可设Q点的坐标为。当直线与轴垂直时，设直线与椭圆相交于M、N两点，则M、N的坐标分别为，由，有，解得或。所以，若存在不同于点的定点Q满足条件，则Q点坐标只可能为。下面证明：对任意直线，均有。当直线的斜率存在时，可直线的方程为，，联立，得，，因此又因为点关于轴对称的点的坐标为，又，，所以，即三点共线，所以，故存在与点不同的定点，使得恒成立。本题的难点是通过作B的对称点将问题转化.这种类型题考查学生的推理能力和运算能力，利用数形结合思想，教会学生从特殊到一般，根据特殊情况找到结果，再证明其普遍性。从特殊到一般，是培养学生合情推理，通过对问题的理解和对知识的表征，先求当直线平行于轴或垂直于轴这样的特殊位置，再求任意位置，也突显出数学的逻辑推理性，适合学生理解和掌握，并且能很好地运用在数学教学中。2.4从推理到消元首先用推理和计算的方法，其次在计算过程中消去变量，得到定值。解答题的核心点在于分析，题和假设的关系，进而建立合适的方程或函数，利用变量关系统一变量，最后消元得到定值。（2018北京理）已知抛物线:2=2px经过点P(1,2),过点Q(0,1)的直线与抛物线C有两个不同的交点A,B且直线PA交轴于M，直线PB交轴于N。（Ⅱ）设为原点，，，求证：为定值。解：分析：由向量关系将和表示出来，最后在计算过程中消去变量，得到定值，设点，，则，，，，，得，，直线的方程为，令，得同理可得，得知识总结：直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值，利用整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算。3归纳总结（1）本质分析。定点、定值问题的本质在于对问题的分析和掌握程度，以及逻辑推理和数学运算的应用，用适当的方法建立变量之间的关系，通过分析和推理，转化成定值、定点问题，利用数学运算求出最后的结果。几何条件的转化。例如求三点共线，线线垂直、线线平行、夹角。我们可以将几何条件转化为代数条件，转化的方向有两类，一类是向量，一类是斜率。（2）考察能力。大部分学生遇到圆锥曲线问题只会用韦达定理，其实做这类题，应该首先用分析法，提前分析过程，分析考题的核心，韦达定理只是解题的手段，而不是解题的主要思路。主要考察学生数学运算和逻辑推理能力。常用方法：设而不求，找点取证，从猜想到证明，从推理到消元。（3）总结反思。教师要教学生如何分析，比如假设直线方程时，考虑斜率不存在。教师要教如何思考，比如对定点问题，要分析是点还是斜率。教师要教如何总结，比如分析四中方法的核心和整个过程，可以一题多解，也可以多题多解。高考总复习要注意考试的核心，以及知识的整体思路，举一反三，灵活应用。参考文献[1]赵玲燕.巧用变式探究方法,激活学生数学思维——对圆锥曲线中的定点、定值问题的教学思考[J].课程教育研究,2014(36):208-209.[2]袁清雯,王立振.圆锥曲线中定点、定值问题引发的思考[J].中学数学教学参考,2016(18):35-37.[3]张跃红.拨开迷雾找准方向——从高三复习课《圆锥曲线》一道例题的化简方法谈起[J].数学通报,2017,56(09):43-46+62.数|学|研|究
高考数学中的八大斜率模型解决圆锥曲线中的斜率问题
OxyPAB高考数学中的八大斜率模型与应用
模型1.圆锥曲线第三定义
此处以椭圆第三定义为例，双曲线第三定义类似推得.
如图，椭圆22221(0)xyabab上任意一点P与过原点为中心的弦AB的两端点A、B连线PA、PB与坐标轴不平行，则直线PA、PB的斜率之积PAPBkk为定值22ba．
证明 设(,)Pxy，11(,)Axy，则11(,)Bxy．所以12222byax ①
1221221byax ②由①－②得22122212byyaxx，所以22212212abxxyy，所以
222111222111PAPByyyyyybkkxxxxxxa为定值．
这条性质是圆的性质：圆上一点对直径所张成的角为直角在椭圆中的推广，它充分揭示了椭圆的本质属性.
例1.(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知点2,0A，2,0B，动点,Mxy满足
直线AM与BM的斜率之积为12．记M的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程，并说明C是什么曲线；
（2）过坐标原点的直线交C于,PQ两点，点P在第一象限，PEx轴，垂足为E，连结QE并延长交C于点G．
i证明：POG△是直角三角形；
ii求POG△面积的最大值． 解析：（1）直线AM的斜率为(2)2yxx，直线BM的斜率为(2)2yxx，由题意可知：22124,(2)222yyxyxxx，所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左右两顶点的椭圆，其方程为221,242xyx；
（2）略.
模型2.中点弦与点差法
1.椭圆中的点差法：设直线mkxy与椭圆)0(12222babyax相交于点BA,两点，其中设点A(11,yx)，B(22,yx) 由于BA,两点均在椭圆上，代入椭圆的方程可得：
∴1221221byax①，1222222byax②，①-②得：02222122221byyaxx，进一步，
高中数学复习专题讲解与练习-----点差法的应用
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高中数学复习专题讲解与练习高中数学复习专题讲解与练习
专题06 6 点差法点差法点差法的应用的应用的应用
一.综述综述
(一)圆锥曲线问题中,与弦中点有关的问题可以考虑用点差法.即:设弦的端点坐标，并代入圆锥曲线的
方程,并作差.利用中点坐标公式与斜率公式得到一个等式,进而处理问题.
利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好
(二)注意:点差法在求出直线方程以后，必须将直线方程和圆锥曲线方程联立得到一个关于x（或y）
的一元二次方程，判断该方程的Δ和0的关系.只有Δ>0，直线才是存在的.
(三) 点差法常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线、定值问题
二.例题精讲例题精讲 破解规律破解规律
例1. 已知椭圆22
22:1xy
C
ab+=
（0ab>>）的离心率1
2e=
，且过点3
3
2
，
.
（1）求椭圆C
的方程；
（2）设过点()
1,1P
的直线与椭圆C
交于A
,B
两点，当P
是AB
中点时，求直线AB
方程．
【分析】：（1）由离心率得到a,b
的比值,由比例设出椭圆方程,在代入点3
3
2
，
,得到方程.
（2）设()
11Axy⋅
， ()
22Bxy⋅
，由点差法求得直线的斜率，即可得到直线AB方程． 【答案】:（1）22
1
43xy
+=
；（2）3470xy+−=.
【解析】：（1由1
,
2c
e
a==得2222
22213
44cabb
aaa−
==⇒=
,设2
24
,0
3at
t
bt=
>
=
∴椭圆C
的方程为22
1
43xy
tt+=
,将点3
3
2
，
代入解得1t=,故椭圆方程为22
1
43xy
+=
（2）设()
11Axy⋅
， ()
22Bxy⋅
.则22
111
43xy
+=， 22
221
43xy
+=
， ∴()()()()
12121212
0
43xxxxyyyy+−+−
+=
2 / 10
又
12122xxyy+=+=，∴12
123
4AByy
2019届高考数学二轮复习 圆锥曲线定值定点问题和存在性问题(非韦达定理类)(带解析) 2
1 学科教师辅导讲义
学员编号： 年 级：高三 课 时 数：3
学员姓名： 辅导科目： 数学 学科教师：
授课类型 T 圆锥曲线的几何性质和公式 C非韦达定理类定值定点问题 T非韦达定理类存在性问题
授课日期及时段
教学内容
一、 同步知识梳理
圆锥曲线的几何性质和公式
名 称 椭 圆 双 曲 线
图 象 xOy
xOy
定 义
平面内到两定点21,FF的距离的和为常数2a（2a21FF）的动点的轨迹叫椭圆.即aMFMF221
当2a﹥2c时，轨迹是椭圆，
当2a=2c时，轨迹是一条线段21FF
当2a﹤2c时，轨迹不存在 平面内到两定点21,FF的距离的差的绝对值为常数2a（a2021FF）的动点的轨迹叫双曲线.即aMFMF221
当2a﹤2c时，轨迹是双曲线
当2a=2c时，轨迹是两条射线
当2a﹥2c时，轨迹不存在
标准方
程
焦点在x轴上时： 12222byax
焦点在y轴上时：12222bxay 焦点在x轴上时：12222byax
焦点在y轴上时：12222bxay
2
焦点在x轴 焦点在y轴
双曲线
12222byax 12222bxay
渐近线
xaby即02222byax xbay即02222bxay
0ba
注：是根据分母的大小来判断焦点在哪一坐标轴上 注：是根据项的正负来判断焦点所