第9章扭转

Nk M e 9.549 kN m n
主动轮上外力偶矩转向与轴的转向相同。
从动轮上外力偶矩转向与轴的转向相反。 Me2 Me1 n Me3
从动轮
主动轮
从动轮
工程力学电子教案
Me a A O o
m b b o′ b′ O m m l
B Me
Me
T x m
由图示任意横截面m－ m左边一段杆的平衡条件可知， 受扭杆件横截面上的内力是一个作用于横截面平面内的力 偶。这一力偶之矩称为扭矩，常用符号 T 表示。
工程力学电子教案
例9-1 一传动轴的计算简图如图所示，作用于其上的外力 偶矩之大小分别是：MA=2 kN.m , MB=3.5kN.m , MC =1 kN.m ,
MD = 0.5 kN.m , 转向如图。试作该传动轴之扭矩图。
MA MB MC MD
A
a
B
a
C
a
D
解：只要求出AB、BC、CD段任意截面上的扭矩，即 可作出扭矩图。
矩为 M 。
工程力学电子教案
M
(rad)
M
φ
（1）两相邻圆周线间距不变；
（2）各圆周线的形状、大小未改变； 各圆周线绕轴线作相对转动；各纵
l
向线仍然平行、但均倾斜了同一个
角度。从而所有矩形都变成了平行 四边形。
从（1）可知圆筒上无拉压变形。说明筒上无轴向外
力，横截面上无正应力。 从（2）可知圆筒相邻的两横截面发生了相对错动。 这种变形叫剪切变形。
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第九章 扭 转
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§9-1 扭矩和扭矩图
杆件在两端受一对大小相等，方向相反、作用在垂直 于杆轴线的平面内的力偶作用，杆的各横截面绕轴线作相 对转动，而杆的纵向线变成螺旋线的变形形式称为扭转。
m
T
a
A
O o m l
b b o′ b′ O
BTLeabharlann 工程力学电子教案T a A
m O o
2
2-2截面： 得 T2= MB - MA = 3.5 - 2 = 1.5 kN.m
工程力学电子教案
同理得
T3 = 0.5 kN.m
由此,可作扭矩图如下：
MA MB MC MD
A
a
B
a
C
a
D
T(kN.m)
1.5
0.5 +
x
2
工程力学电子教案
思考题9-1
该传动轴横截面上的最大扭矩是多少？
MA MB MC MD
求得
则
t 。因为 t 与 r 无关，所以 r 可以用平均半径 r
T t r0 dA t r0 A
A
T t dA r
A
0
代替
从而有
t T /(r0 A) T /(r0 2 π r0 )
T /(2 π r02 )
(8-1)
模量与其它两弹性参数E和v 之间存在下列关系：
E G 2(1 )
泊松比
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§9-3 圆杆扭转时的应力与变形
1 横截面上的切应力 实心圆截面杆和非薄壁空心圆截面受扭时，我们没有理 由认为它们横截面上的切应力如同在受扭的薄壁圆筒中那样 是均匀的分布的。 因此首先要确定切应力在横截面上的变化规律，即横截 面上距圆心为任意半径 r 的一点处切应力 tr 与 r 的关系。
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首先观察受扭时，圆杆表面的变形
情况，据此作出涉及杆件内部变形情况 的假设，然后利用应力和应变之间的物 理关系，作出涉及杆件内部应力分布的 分析。最后用静力平衡方程得出应力与 扭矩的关系。 （1）几何关系 （2）物理关系 （3）静力学关系
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（1） 几何关系： 如下图，实验表明：
上述薄壁圆筒横截面上扭转切应力的这一计算公式是在 假设它们的大小沿径向（壁厚）不变的情况下导出的。
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当 /r0=10％ ，其误差为4.5％。
T
(rad)
T
φ
l
由上图得 则
l Φ r
Φr /l
式中 r为圆筒外半径, Φ 为相对扭转角。
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理论分析和实验都表明，对于各向同性材料，剪切弹性
与圆周相切。
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通过对薄壁圆筒所作的扭转实验可以发现，当外加
力偶矩在某一范围内时，切应力 正比。即有
t
与切应变 之间成
t G
上式称之为材料的剪切胡克定律。 ( 拉压胡克定律 s E ) 式中 G—材料剪切弹性模量，量纲为MPa。 各种钢的剪切弹性模量均约为8.0×104 MPa，至于剪切 比例极限，则随钢种而异；对Q235钢，tp =120 MPa。
tr
横截面上的最大切应力在圆周边缘上
（图(b))，方向垂直于各自的半径。
(b)
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思考题9-4： 下图所示为一由均质材料制成的空心圆轴之横截面，
该截面上的扭矩 T 亦如图所示，试绘出水平直经AB上各
点处切应力的变化图。
T
A
.
O
B
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思考题9-4参考答案:
T
A
O
B
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M
(rad)
M
φ
因错动而倾斜的角度，
即直角的改变量 称为切应
变。而有切应变则圆筒横截 面上必有平行于横截面的应
l
力——切应力作用。
由于各纵线都倾斜了同一角度

，说明圆周上各
点横截面上的切应力相同。又由于筒壁 可以近似认为横截面上切应力沿

很小，所以

方向分布也是均匀
的，因此，横截面上任一点处切应力相等，而且其方向
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非圆截面杆扭转时横截面会发生翘曲，不再是平面，故
无法用材料力学方法求解。因此，本节只讨论圆截面等直杆
的扭转，它的工程背景是常用的传动轴。
扭转问题一般不会单纯，现略去其它的变形来单独讨论
。
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外力偶矩计算
已知：传动轴转速n（单位：转/分钟 即r/min）
传动功率Nk（单位：千瓦，即kw） 则外力偶矩为： 外力偶矩转向
m l b b o′ b′ O
B T
力偶矩 M e ——使杆发生扭转的外力偶产生的力矩 ，相当于拉压变形中的外力。
扭矩 T —— 杆扭转时，作用在杆横截面上的内力
是一个在截面平面内的力偶，其力偶矩即扭矩，相当于拉 压变形中的轴力（内力）。 扭转角 ——任意两横截面绕轴线转动而发生的相 对角位移.
M a M b O′ B
b′
A
等直圆杆受扭时，画在表面上的圆周线只是绕杆的轴
线转动，其大小和形状都不改变；且在变形较小的情况时，
圆周线的相对纵向距离也不变。
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M a
M b O′ B
b′
A
扭转平面假设
等直杆受扭时，它的横截面如同刚性的圆盘那样绕杆的 轴线转动。其横截面上任一根半径的直线形状仍然保持为直 线，只是绕圆心旋转了一个角度。
A
a
B
a
C
a
D
T(kN.m)
1.5
0.5 +
x
2
工程力学电子教案
思考题9-2
作杆的扭矩图。
0.1 m
4 kN
2 kN
0.1 m
1 kN
0.2m 1m 1m
工程力学电子教案
思考题9-2
参考答案：
0.1m 2 kN 1 kN 1m 0.1m
4 kN
0.2m 1m
T/kN.m
x O 0.4 0.2
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MA
1 MB
2
MC
3 MD
T1 M B M C M D M A
A
1 a
B
2 a
C
3 a
D
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扭矩的正负号也由右手螺旋法则规定： 使卷曲右手的四指其转向与扭矩MT的转向相同，若大 拇指的指向离开横截面，则扭矩为正；反之为负。 例：
T T (a) (b)
扭矩图：表示扭矩随横截面位置变化的图线。
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Me a
A
m O o m m T l b b ′ O b′ o B Me
Me x
m
由
∑Mx（F）= 0 Me – T= 0
即
T = Me
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一般不必将轴假想地截开，可以直接从横截面左側
或右側轴上的外力耦矩来求得横截面上的扭矩：
横截面上的扭矩在数值上等于该截面左側或右側轴 上的外力耦矩的代数和。 规定外力耦矩的正负为: 以右手的四指表示外力耦 矩的转向，则大拇指的方向离开横截面为正；指向横截 面为负。
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dx
T
r
T
r
d

(a)
取微段dx分析：得半径为r的任意圆杆面上的切应变
r d d r tg r r( ) dx dx
(1)
式中： d dx 是扭转角Φ沿长度方向的变化率，按平面假设是 常量。这样，等直圆杆受扭时，r 与 r 成线性关系。
工程力学电子教案
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这个扭转模型与实验结果基本一致。
M φ
T（ M = T）
上述内容主要说明：
（1）薄壁圆筒圆周上各点处的切应变相同； （2）薄壁圆筒圆周上各点处的切应力相等； （3）薄壁圆筒圆周上各点处切应力的方向沿外周线的切线。
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知道了切应力t 的分布规律后 ，便可以利用静力学关系