结构力学第九章薄壁杆件扭转
工程与材料力学第9章-扭转
r 扭转实例
F F
M
r 扭转及其特点
外力特征：作用面垂直于杆轴的力偶 变形特征：各横截面间绕轴线作相对旋转，轴线仍为
直线－扭转变形 扭转与轴：以扭转变形为主要特征的变形形式－扭转
以扭转为主要变形的杆件－轴 扭 力 偶：作用面垂直于杆轴的力偶－扭力偶 扭力偶矩：扭力偶之矩－扭力偶矩或扭力矩
τ
1,max
=
16M A πd 3
=
16×100 3.14× 0.023
= 63.7MPa
τ
2,max
=
16 M C πd03 (1−α
4
)
= =
16×100 3.14× 0.0253 ×（1− 74.9MPa
0.64）
§6 圆轴扭转强度与合理设计
r 扭转失效与扭转极限应力 r 圆轴扭转强度条件 r 圆轴合理强度设计 r 例题
mI
I
m
M
扭
x
M x
矩
符 号
I
M x (+)
II
m
规 定
mI
M x
：
M
x
I
I
M x (−)
右手定则：右手四指内屈，与扭矩转向相同，则拇指的指向 表示扭矩矢的方向，若扭矩矢方向与截面外法线相同，规定 扭矩为正，反之为负。
扭矩图：用来表示受扭杆件横截面上扭矩随轴线位置变化 的坐标图（与轴力图作法完全相同）。
引入比例常数G
τ =Gγ τp－剪切比例极限
在剪切比例极限内，切应力与 切应变成正比－剪切胡克定律
G－切变模量，其量纲与应力相同，常用单位为GPa
钢与合金钢：E =75~80 GPa
薄壁杆件的弯曲扭转作用
薄壁杆件的弯曲扭转作用摘要薄壁杆件在竖向荷载作用下将受弯和受扭，产生自由扭转应力和约束扭转应力,截面上的总应力等于平面弯曲正应力加约束扭转正应力。
运用实验力学的应变片理论测量出结构在荷载作用下的应变，进而求出应力大小与方向。
并且运用理论计算进行核对。
之后进行误差理论的分析，进而了解薄壁杆件的受力情况。
关键词薄壁杆件自由扭转约束扭转应力Abstract:Under the vertical load ,the torsion stress and restraining twist rotation stress will be made in thin-wall element,the bend and torsion will occur.Plane bending stress plus restraining twist rotation stress are equal to total stress on the whole section. And measure the stress by Electrical method, get the accurate strain and stress, the exact direction of them. Meanwhile, checking in by analyzing of theory.Besides,through the error analyses, have a profound understanding about the thin-wall element.Key words:thin-wall element; torsion; restraining twist rotation; stress一.引言：钢结构薄壁杆件在实际工程中的应用,引起了工程设计的重视,如型钢或由几个狭长矩形钢板组合的截面等都是薄壁杆件。
薄壁杆件力学
薄壁杆件力学一、引言薄壁杆件力学是结构力学的一个重要分支，主要研究薄壁杆件的受力和变形规律。
薄壁杆件广泛应用于航空、航天、汽车、机械等领域，因此对其力学性能的研究具有重要意义。
二、薄壁杆件的基本概念1. 薄壁杆件的定义薄壁杆件是指截面尺寸相对较小，且轴向载荷较大的结构元件。
在实际工程中常见的薄壁杆件有圆管、方管、角钢等。
2. 薄壁杆件的特点（1）强度高：由于其截面尺寸相对较小，因此强度相对较高。
（2）重量轻：由于其截面尺寸相对较小，因此重量相对较轻。
（3）易于加工：由于其截面尺寸相对较小，因此易于加工成各种形状。
三、薄壁杆件受力分析1. 轴向载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到轴向载荷作用时，其受力分析可以采用杆件理论进行计算。
根据杆件理论，薄壁杆件的应力为：σ= F/A其中，σ为应力，F为轴向载荷，A为截面积。
2. 弯曲载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到弯曲载荷作用时，其受力分析可以采用梁理论进行计算。
根据梁理论，薄壁杆件的弯矩为：M= EI/ρ其中，M为弯矩，E为弹性模量，I为截面惯性矩，ρ为曲率半径。
3. 剪切载荷作用下的受力分析当薄壁杆件受到剪切载荷作用时，其受力分析可以采用剪切变形理论进行计算。
根据剪切变形理论，薄壁杆件的剪应力为：τ= F/As其中，τ为剪应力，F为剪切载荷，As为截面面积。
四、薄壁杆件的变形规律1. 轴向变形规律当薄壁杆件受到轴向载荷作用时，其轴向变形规律可以采用杆件理论进行计算。
根据杆件理论，薄壁杆件的轴向变形为：δ= FL/EA其中，δ为轴向变形，F为轴向载荷，L为杆件长度，E为弹性模量，A为截面积。
2. 弯曲变形规律当薄壁杆件受到弯曲载荷作用时，其弯曲变形规律可以采用梁理论进行计算。
根据梁理论，薄壁杆件的弯曲变形为：δ= M L/ EI其中，δ为弯曲变形，M为弯矩，L为跨度长度，E为弹性模量，I为截面惯性矩。
3. 剪切变形规律当薄壁杆件受到剪切载荷作用时，其剪切变形规律可以采用剪切变形理论进行计算。
工程力学第九章扭转PPT课件
.
29
第九章 扭转
§9-4 等直圆杆扭转时的应力、强度条件
Ⅰ. 横截面上的应力
表面 变形 情况
横截面 推断 的变形
情况
(问题的几何方面)
横截面 上应变 的变化 规律
应力-应变关系
横截面上 内力与应力的关系 横截面上应力
应力变化
的计算公式
规律
(问题的静力学方面)
(27问.03题.202的1 物理方面)
.
45
3. 校核强度
第九章 扭转
2,max >1,max，但有 2,max<[ ] = 80MPa，故
该轴满足强度条件。
Mn图(kN m)
需要指出的是，阶梯状圆轴在两段的连接处仍有应 力集中现象，在以上计算中对此并未考核。
27.03.2021
.
46
第九章 扭转
§9-5 等直圆杆扭转时的变形·刚度条件
第九章 扭转
低碳钢和铸铁的圆截面试件其扭转破坏的断口分别如 图a及图b所示，试问为什么它们的断口形式不同？
27.03.2021
.
42
第九章 扭转
Ⅲ. 强度条件
max[]
此处[]为材料的许用剪应力。对于等直圆轴亦即 M nmax [ ]
Wp 铸铁等脆性材料制成的等直圆杆扭转时虽沿斜截面因 拉伸而发生脆性断裂，但因斜截面上的拉应力与横截面上 的剪应力有固定关系，故仍可以剪应力和许用剪应力来表 达强度条件。
468
M n (N·m)
扭矩图应与原轴平行对齐画
27.03.2021
.
16
作内力图要求：
1 . 正确画出内力沿杆轴分 布规律
mB
mC
B
C
理论力学第09章扭转
S y = ∫ AzdA
对ｙ轴静矩 对ｚ轴静矩
z
dA
C
z
z
O
S z = ∫A ydA
y
y
y
静矩可正、可负或为零。
Sz y= A
S y z= A
形心
若把所讨论的截面看作等 厚度的均质薄板，形心和 重心重合。
19
扭转
当截面的形心位置已知时，可由形心坐标与面积相乘 得到静矩。
dυ
γρ = ρ
dυ dx
横截面上切应变随半径按线性规律变化。
相距单位长度两个横截面间的相对扭转角，同一横截 面上为常量
dx
14
扭转
物理方面
根据剪切胡克定律
dυ
γρ = ρ
τ ρ = Gγ ρ
dυ τ ρ = Gρ dx
dx
ρ
τ
横截面上任一点的切应变随半径按线性变化， 且垂直于半径
15
扭转
力学方面
S y = zA
S z = yA
在图形平面内过形心的轴线称为形心轴。截面图形对 形心轴的静矩必为零。与此相反，若截面图形对某一坐标 轴的静矩为零，则该坐标轴必为形心轴。 对于由简单图形组成的截面图形，进行静矩计算时， 可分别计算各简单图形对所选坐标轴的静矩，然后求代数 和。
20
扭转
例：Ｔ字形截面。
=( GI P
ο
}
≤ [ϕ ] 精密机器的轴 [ϕ ] = (0.25 − 0.50)ο / m 圆轴扭转时的刚度条件
) × [ϕ ] 可查相关手册
max
π
一般传动轴
[ϕ ] = (0.5 − /m
ο
GI P
精度要求不高的轴 [ϕ ] = (1 − 2.5) / m
静力学和材料力学课件第九章 扭转(H)
B
C
C'
d dx
第九章 扭
转
1.变形几何关系
d γ dx
2.物理关系
G
d G dx
max
O
d ? dx
第九章 扭
转
3.静力学关系
d 2 T dA G dA A A dx d G 2 dA dx A
第九章 扭
转
M1
（2）计算A、C两截面间的相对扭转角
A
75
M 2 50 M 3
C
500
B
750
A B
T1l1 2.5 103 750 103 7.55 103 rad GI P1 80 109 754 1012 32
T2l2 1.5 103 500 103 15.28 103 rad GI P 2 80 109 504 1012 32
1、实验
D
t
D / t 20
第九章 扭
转
实验现象：
(a) 纵向线倾斜了同一微小角度,方格变成了菱形。 (b) 圆周线的形状大小及圆周线之间的距离没变，只是绕
圆筒的轴线发生了相对转动。
第九章 扭
转
2、应力分析
A、切应力的存在性
由剪切变形剪应变单元 体的两侧必然有切应力。
a d
b c
B、正应力不存在性
第九章 扭 转
§9.2 外力偶矩的计算
一、外力偶矩的计算
2n P M M 60
扭矩和扭矩图
P——传递的功率（kW） n——轴的转速（r/min）
P P M 9 549 ( N m) 9.55 (kN m) n n
工程力学扭转详解
验确定，钢材的G值约为80GPa。
表明材料弹性性质的三个常数：弹性模量E、剪切弹性模量G
和泊松比μ。对各向同性材料，可证明三者存在下列关系：
G
E 2(1
)
§9.4 圆轴扭转时的应力和强度计算
等直圆杆横截面应力
①变形几何方面 ②物理关系方面
平面假设：
一、外力偶矩（Me）的计算 设某轮所传递的功率为P kW，轴的转速为 n r/min
P kW的功率相当于每分钟做功：
W = P×1000×60 (1)
外力偶矩1min所做的功：
W = 2 n Me (2)
二者做功相等，即：
P× 1000× 60=2 n Me
所以： Me 9549 P n
P单位为kW
e
2t
δ
r
三、切应力互等定理
取厚度为δ的微小单元体：
薄壁圆筒受扭时，单元体左、右侧
面上有切应力为： dy
a
dy
´
c
z
dx
´
b
d t
两侧面上切应力形成力偶，力偶矩为： dy dx
上、下面必有力偶与之平衡，力偶矩为： ' dx dy
mz 0
dy dx dx dy
结论
在单元体一对相互垂直的平面上，切应力必然成对存在；其 数值大小相等，两者都垂直于两平面的交线，方向为共同指 向或共同背离两平面的交线，称为切应力互等定理。
Tmax [ ]
WP
([] 称为许用剪应力。)
Tmax [ ]
WP
WP
Tm a x
[ ]
WP
实空：：1DD63（3 116
船舶结构力学名词解释
弹性固定端：它受梁端力矩M作用后产生一个等于力矩M的转角Ɵ即存在如下关系Q0=A0M。
几何不变体系：是指如果不考虑材料应变所产生的变形，体系在受到任何载荷作用后能够保持其固有的几何形状和位置的体系。
不可动节点简单刚架：在实际结构中，大多数刚架受力变形后节点线位移可以不计，于是计算强度时在节点处可加上固定铰支座，故称为不可动节点刚架。
位移法：以杆系结构节点处的位移作为基本未知量的方法。
翘曲：非圆截面杆件扭转变形后，杆件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种现象称为翘曲。
用李兹法求结构问题是，要求所选挠度曲线必须满足位移边界线。
（错，还含有其他）薄壁杆件约束扭转时，杆件各横截面上没有正应力，只有扭转引起的剪应力。
（对，杆件上平行于杆轴的直线在变形后长度不变且仍为直线）简述复杂弯曲梁的叠加原理：当梁上同时受到几个不同的横向荷重及一定的轴向力作用时，分别求出在该轴向力作用下的各个横向荷重单独作用于梁时的弯曲要素，然后进行叠加，即得到在该轴向力作用下几个不同的横向荷重同时作用于梁时的弯曲要素。
矩阵位移法中，为什么要进行坐标转移？对哪些量要进行坐标转换？答：建立节点静力平衡方程是在总坐标系中进行的，因此，一般来说在矩阵位移法中有一个坐标转换问题。
要把各杆元在其局部坐标系中的节点位移向量，杆端力向量以及刚度矩阵，转换成坐标系中的节点位移向量，杆端力向量以及刚度矩阵。
杆元固端力向量也要换成坐标系中的杆元固端力向量。
简述薄板弯曲理论中的三条基本假定。
1板变形前垂直于中面的法线在板变形后仍为直线，且是变形后中面的法线，这一假定称为直法线假定。
2垂直于板面的应力分量与其他应力分量相比可以忽略不计，即假定其=0。
3薄板中面内的各点都没有平行于中面的位移，即假定不计因板发生弯曲而产生的中面的变形，从而不计板弯曲产生的中面力。
简述欧拉力计算公式的的适用范围，为什么要研究非弹性稳定性问题？只有当压杆的柔度大于极限值时才能使用欧拉公式若压杆的柔度X<Xp，则欧拉应力大于材料比例，这属于超比例极限的压杆稳定性问题，即非弹性稳定性问题，这时欧拉公式不能使用。
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截面（图9-1a,b,c）和闭口薄壁截面（图9-1d,e,f）
两类。闭口截面又分为单闭室(图9-1d,e)和多闭室
（图9-1f）两种。
§9－1 概述
除薄壁圆管外，薄壁杆件通常是非圆截面杆件。材 料力学中已经指出，非圆截面杆件在扭转变形后，杆 件的截面已不再保持为平面，而是变为曲面，这种现 象称为翘曲。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
沿整个截面积分可得总扭矩为：
M s 2qA
式中A——闭口截面壁厚中心线所围的总面积。从
而沿截面的剪流为：
q
t
Ms
2A
（9-8）
再来推导扭率和扭矩常数计算公式。若从薄壁杆件
中取出长度为dx的微段，其受扭矩Ms作用产生的扭
角为dφ,则扭矩所做的功为：
dW
1 2
M s d
§9－1 概述
薄壁杆件在实际工程上应用非常广泛。如桥梁工程 和海洋工程中的箱形、工字型和槽形梁等等。就船舶 结构来说，船体骨架一般有薄壁杆件组成；整个船体 梁也是一根薄壁杆件。
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
1.开口薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件的截面可以看作由若干狭长矩形截面 所组成。利用狭长矩形截面的杆件自有扭转时的计算 公式和如下两个假定可导出薄壁杆件自有扭转的计算 公式。这两个假定是： （1）假定开口薄壁杆件自由扭转时，截面在其本身平 面内形状不变，即在边形过程中，截面在其本身平面 内的投影只作刚性平面运动。此即为刚周边假定； （2）假定薄壁杆件中面上无剪切变形。
则
It
1 3
s1 t 3ds
0
式中，si—壁厚中心线的总长
（9-4）
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
s
Mst It
（9-5）
式中，τs—截面上的扭矩剪应力（图9-2）；t—壁 厚。
(图9-2)
式（9-5）表明，截面上最大剪应力将发生在壁厚 最大处的表面上。
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
2.单闭室薄壁杆件的自有扭转
第九章 薄壁杆件扭转
Torsion of Thin-Wall Bar
§9－1 概述
薄壁杆件是指横截面上壁的厚度较薄的杆件，其三 个尺度通常满足如下关系：
式中，t—壁厚；b—bl 截tt 面11的00最 大宽度（；9l-—1）杆长。
(a)
(b)
(c) 图9-1 (d)
(e)
(f)
薄壁截面视其壁厚中心线是否封闭而分为开口薄壁
刚周边假定对多闭室薄壁横截面仍然使用。据此， 各闭室具有相同的扭率，且等于杆件的扭率φ’。对于 图9-4所示的每一闭室，应用环流方程式(9-11)，例 如对于第2室，有
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
§9－1 概述
如果薄壁杆件受到扭矩作用，由于存在支座或其他 约束，扭转时不能自由变形，则这种扭转称为约束扭 转。薄壁杆件约束扭转时，各横截面的翘曲程度是不 相同的，这将引起相邻两截面间纵向纤维的长度改变， 于是横截面上除了有扭转而引起的剪应力之外，还有 因翘曲而产生的正应力。由于翘曲正应力在横截面上 分布不均匀，就会导致薄壁杆件发生弯曲，并伴随产 生弯曲剪应力。这样，薄壁杆件约束扭转时，截面上 就存在二次剪应力。二次剪应力又将在截面上形成一 个附加扭矩，称之为二次扭矩，于是杆件截面上的扭 矩就等于自由扭转扭矩与二次扭矩之和。由此可见， 薄壁杆件约束扭转是比较复杂的。
btb ata dx 0
或
q btb ata （9-7）
上式说明剪流q沿截面为常数。据此，最大剪应力将发 生在壁厚最小处，这与开口薄壁杆件不同。
下面讨论如何计算剪流q。如图9-3a所示，剪流q 在微元ds上引起的力为qds,它绕o点的力矩为：
dMs hqds
ds所对的扇形面积为：
dA 1 hds 2
§9－2 薄壁杆件的自有扭转
开口薄壁杆件自由扭转时的扭率计算公式如下：
Ms
GI t
（9Байду номын сангаас2）
式中，φ‘—杆件的扭率（单位长度上的扭角）；
Ms—扭矩；G—剪切模量；It—截面扭转惯性矩（扭转
常数）。
I t
1 3
i
hi
t
3 i
（9-3）
式中，hi、ti—截面上第i个狭长矩形的高度（长边）
和厚度（短边）。若截面的壁厚中心线是一根曲线，
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
微段扭转变性能为：
dV
dx
2
2G
tds
dx
1 2G
Ms 2 At
2 tds
dx
Ms 8GA2
ds t
由dW=dV，可得扭率：
d
dx
Ms 4GA2
ds t
（9-9）
比较式（9-9）与式（9-2），得单闭室截面的扭转 常数计算公式：
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
It
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
q4
qn
d
c
q1
q2
q3
a
b(图9-4)
由式(9-8)，可得每一闭室上的扭矩：
M s 2 Aiqi
（9-12）
式中，i=1、2、3、…,
§9－2 薄壁杆件的自由扭转
这些扭矩之和应等于整个截面上的扭矩Ms，即
n
Ms 2Aiqi
i 1
式中，Ai——第i个闭室壁厚中心线所围的面积。仅 由式(9-12)不能确定剪流qi（i=1、2、3、…n),还必 须利用变形协调条件才能确定剪流 qi。
4 A2 ds
t
式（9-9）中Ms用2qA代换，可得
（9-10）
q
ds t
2GA
上式称为环流方程式。
（9-11）
3.多闭室薄壁杆件的自有扭转
对于具有n个闭室的薄壁截面（图9-4），设在扭矩 Ms作用下各闭室的剪流为qi（i=1、2、3、…）,并规 定这些剪流沿反时针方向为正，那么任意两相邻室公 共壁上的剪流为该两室剪流之差。
薄壁杆件扭转分为自由扭转和约束扭转两种。
如果一根等截面杆件仅在两端受到扭矩作用，并不 受任何约束，扭转时可以自由变形，则这种扭转就称 为自由扭转。非圆截面薄壁杆件自由扭转时，其横截 面虽将发生翘曲，但由于扭转不受阻碍，所以各横截 面的翘曲程度都相同。因此，杆件上平行于杆轴的直 线在变形后长度不变且仍为直线；杆件各横截面上没 有正应力而只有扭转引起的剪应力。
可以认为，闭口薄壁杆件自由扭转时截面上的剪应
力τ沿壁厚是均匀分布的。记
q t
（9-6）
称q为剪流。现在来确定q沿截面的变化规律。图9-
3b所示的为一个变厚度单元，由于自由扭转时截面上
无正应力，即轴向力为零，所以有：
y
ads b h qds dA o
(图9-3) a
x tb
b
a
ta
b ds
dx
§9－2 薄壁杆件的自由扭转