安徽省江南十校2020届高三4月综合素质测试理科数学试题 含答案

个质数（素数）之和，也就是我们所谓的“1+1”问题，它是 1742 年由数学家哥德巴赫提Biblioteka Baidu
出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩，
若将 6 拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为
A． 1 5
B． 1 3
C． 3 5
D． 2 3
9．已知正项等比数列{an}的前 n 项和为 Sn,S2= 1 ，S3 = 7 ，则 a1a2…an 的最小值为
C． 3
D．2
11.已知 f (x) = 1− 2cos2 (x + )( 0) ．给出下列判断： 3
①若 f(xl)=l，f(x2)= -1，且|x1-x2|min=π，则 ω=2;
②存在 ω∈(0，2)，使得 f(x)的图象右移 个单位长度后得到的图象关于 y 轴对称； 6
③若 f(x)在[0，2π]上恰有 7 个零点，则 ω 的取值范围为[ 41 , 47 ] 24 24
9
27
A．
4
2
27
B．
4
3
27
C．
4
4
27
1
D．
4
5
27
10．已知点 P 是双曲线 C:
x2 a2
−
y2 b2
=l（a>0，b>0，c=
a 2 + b2 )上一点，若点 P 到双曲线
C 的两条渐近线的距离之积为 1 c 2 ，则双曲线 C 的离心率为 4
A. 2
B． 5 2
19.（本小题满分 12 分） 一种游戏的规则为抛掷一枚硬币，每次正面向上得 2 分，反面向上得 1 分. (1)设抛掷 4 次的得分为 X，求变量 X 的分布列和数学期望．
(2)当游戏得分为 n(x∈N*）时，游戏停止，记得 n 分的概率和为 Qn ,Q1= 1 2
①求 Q2;
②当 n∈N*时，记 An=Qn+1+ 1 Qn，Bn=Qn+1-Qn，证明：数列{An}为常数列，数列 2
6．已知 a=log3 2 ，b=ln3,c=2-0.99，则 a，b，c 的大小关系为
A.b>c>a B.a>b>c C.c>a>b D.c>b>a 7．执行下面的程序框图，则输出 S 的值为
A. − 1 B． 23
12
60
C． 11 D． 43
20
60
8．“哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于 2 的偶数都可以写成两
安徽省“江南十校”2020 年 4 月综合素质检测
理科数学
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1．已知复数 z=(1-a)+(a2-1)i(i 为虚数单位，a>l)，则 z 在复平面内的对应点所在的象限为
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
(l)求角 C 的大小；
(2)若 c= 7 ，a+b=3，求 AB 边上的高．
18.（本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为等腰梯形，AB∥CD, CD=2AB=4，AD= 2 ．
△PAB 为等腰直角三角形，PA=PB，平面 PAB⊥底面 ABCD，E 为 PD 的中点． (1)求证：AE∥平面 PBC; (2)若平面 EBC 与平面 PAD 的交线为 l，求二面角 P-l -B 的正弦值．
④若 f(x)在[− , ] 上单调递增，则 ω 的取值范围为 (0, 2]
64
3
其中，判断正确的个数为
A．1
B．2
C.3
D.4
12.如图，在平面四边形 ABCD 中，满足 AB=BC，CD-AD，且 AB+AD=10，BD=8．沿着
BD 把 ABD 折起，使点 A 到达点 P 的位置，且使 PC=2，则三棱锥 P- BCD 体积的最大值
{Bn}为等比数列． 20.（本小题满分 12 分）
已知椭圆 E： x 2 + y 2 =1(a>b>0))的离心率为 a2 b2
3 2
，且过点 ( 7 , 3 ) ．点 P 在第一象限， 24
A 为左顶点．B 为下顶点，PA 交 y 轴于点 C，PB 交 x 轴于点 D． (1)求椭圆 E 的标准方程； (2)若 CD∥AB，求点 P 的坐标．
形的半径为 30 厘米，则连接导线最小大致需要的长度为
A. 58 厘米 B．63 厘米 C．69 厘米 D．76 厘米
4．函数
f
(x)
=
x cos x 2x + 2−x
在[− 2
, ] 上的图象大致为 2
5．若(l+ax)(l+x)5 的展开式中 x2，y3 的系数之和为-10，则实数 a 的值为 A．-3 B．-2 C．-l D．1
.
15.在直角坐标系 xOy 中，已知点 A(0，1)和点 B（-3，4），若点 C 在∠AOB 的平分线上，
且 OC = 3 10 ，则向量 OC 的坐标为
.
16．已知抛物线 C：y2=4x，点 P 为抛物线 C 上一动点，过点 P 作圆 M：(x-3)2+y2=4 的切 线，切点分别为 A，B，则线段 AB 长度的取值范围为
为
A．12
B．12 2
C． 16 2 3
16
D.
3
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13.已知函数 f(x) =lnx+x2，则曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 .
14.若 x0 R, x02 − a x02 +1 + 5 0 为假，则实数 a 的取值范围为
21.（本小题满分 12 分） 已知函数 f(x) =lnx-x2+ax(a∈R).
2．已知集合 A={x|3x<x+4}，B=(x|x2-8x+7<0}，则 A∩B=
A.(-1,2) B.(2,7) C.(2,+∞) D.(1,2)
3.某装饰公司制作一种扇形板状装饰品，其圆心角为 120°，并在扇形弧上正面等距安装 7 个
发彩色光的小灯泡且在背面用导线相连（弧的两端各一个，导线接头忽略不计）．已知扇
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17—21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共 60 分。
2
17．（本小题满分 12 分）
在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 csinB=bsin ( − C) + 3b. 3