人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)
人教版八年级上册数学《等腰三角形》同步训练含答案
八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测评一．选择题（共8小题，满分32分）1．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是36°，则此等腰三角形的两个相等底角的度数大小是（）A．54°B．63°C．27°D．27°或63°2．已知等腰三角形的一个外角等于140°，则这个三角形的三个内角的度数分别是（）A．20°、20°、140°B．40°、40°、100°C．70°、70°、40°D．40°、40°、100°或70°、70°、40°3．如图，△ABC中，DE∥BC，FB，FC分别平分∠ABC和∠ACB，已知BC＝20，AB＝18，AC＝16，则△ADE的周长是（）A．30B．32C．34D．364．如图钢架BAC中，焊上等长的钢条来加固钢架，若P1A＝P1P2，量得∠BP5P4＝100°，则∠A＝（）度．A．10B．20C．15D．255．如图，为了加固屋顶的钢架，焊上等长的钢条（P1P2、P2P3等）．若∠A＝15°，AP1＝P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（）条．A．4B．5C．6D．76．如图，AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，则∠A的范围是（）A．0°＜∠A＜15°B．0°＜∠A＜18°C．0°＜∠A＜20°D．0°＜∠A＜22.5°7．如图，已知∠MON＝30°，点A1、A2、A3…在射线ON上，点B1、B2、B3…在射线OM 上；△A1B1A2、△A2B2A3、△A3B3A4…均为等边三角形．若OA1＝1，则△A2021B2021A2022的边长为（）A．4044B．4046C．22020D．220218．如图，直线AB⊥CD，垂足为O，点P在∠BOC的平分线上，点E在直线AB上，且△EOP是等腰三角形，则这样的点P有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二．填空题（共7小题，满分28分）9．如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．则下列结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP．其中正确的是．10．如图，△ABC是等边三角形，BD平分∠ABC，点E在BC的延长线上，且CE＝1，∠E＝30°，则BC＝．11．如图，在第1个△A1BC中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边A1B上任取一点D，延长CA1到A2，使A1A2＝A1D，得到第2个△A1A2D；在边A2D上任取一点E，延长A1A2到A3，使A2A3＝A2E，得到第3个△A2A3E，…按此做法继续下去，则第n个三角形中以A n为顶点的底角度数是．12．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAD＝30°，AE＝AD，则∠EDC的度数是．13．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则这个等腰三角形顶角为°．14．如图，线段OP的一个端点O在直线a上，以OP为一边画等腰三角形，并且使另一个顶点在直线a上，这样的等腰三角形能有个．15．如果△ABM和△ACN分别是以△ABC的边AB、AC为边的形外等边三角形，MC交BN 于P，连P A，则∠APN＝．三．解答题（共9小题，满分60分）16．如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC，过AD上一点P作EF⊥AD，交AB于E、交AC于F，交BC延长线于M，则有正确结论：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．请说明理由．17．如图，在△ABC中，∠B＝60°，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE，使EC＝DE，求证：△ABC是等边三角形．18．如图，已知△ABC中，AB＝AC，DE⊥AB，DF⊥AC，BG⊥AC．求证：DE+DF＝BG．19．如图，已知∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC，点F为BC中点．求证：AF⊥BC．20．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD为∠ABC平分线，延长BC到点E，使CE＝CD，作DH⊥BE于H，求证：H为BE的中点．21．已知：如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使AD＝BE＝CF．求证：△DEF是等边三角形．22．如图，已知△ABC是等边三角形，E是AC延长线上一点，选择一点D，使得△CDE是等边三角形，如果M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，求证：△CMN是等边三角形．23．如图，等边△ABC的边长为12cm，D为AC边上一动点，E为AB延长线上一动点，DE 交CB于点P，点P为DE中点（1）求证：CD＝BE；（2）若DE⊥AC，求BP的长．24．如图，过等边△ABC的边AB上一点P，作PE⊥AC于E，Q为BC延长线上一点，且P A＝CQ，连PQ交AC边于D．（1）求证：PD＝DQ；（2）若△ABC的边长为1，求DE的长．参考答案一．选择题（共8小题，满分32分）1．解：在三角形ABC中，设AB＝AC，BD⊥AC于D．①若是锐角三角形，∠A＝90°﹣36°＝54°，底角＝（180°﹣54°）÷2＝63°；②若三角形是钝角三角形，∠BAC＝36°+90°＝126°，此时底角＝（180°﹣126°）÷2＝27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故选：D．2．解：（1）当40°角是顶角时，另两个底角度数为70°，70°；（2）当40°角是底角时，另两个角度数为40°，100°．故选：D．3．解：∵DE∥BC，∴∠BFD＝∠FBC，∠EFC＝∠BCF，∵FC分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠DBF＝∠FBC，∠ECF＝∠BCF，∴∠BFD＝∠DBF，∠EFC＝∠ECF，∴DF＝DB，EF＝EC，∵△ADE的周长＝AD+AE+DE，DE＝DF+EF，∴△ADE的周长＝AD+BD+AE+EC＝AB+AC，∵AB＝18，AC＝16，∴△ADE的周长＝34．故选：C．4．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A，∵∠P3P5P4+∠BP5P4＝180°，∠BP5P4＝100°，∴∠P3P5P4＝80°，∴∠A＝20°．故选：B．5．解：∵∠A＝∠P1P2A＝15°∴∠P2P1P3＝30°，∠P1P3P2＝30°∴∠P1P2P3＝120°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P3P2P4＝45°∴∠P2P3P4＝90°∴∠P4P3P5＝60°∴∠P3P5P4＝60°∴∠P3P4P5＝60°∴∠P5P4P6＝75°∴∠P4P6P5＝75°∴∠P4P5P6＝30°∴∠P6P5P7＝90°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选：B．6．解：采用排除法：①∵AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FG，当∠A＝15°，∴∠BCA＝∠A＝15°，∴∠CBD＝∠BDC＝∠BCA+∠A＝15°+15°＝30°，∴∠BCD＝180°﹣（∠CBD+∠BDC）＝180°﹣60°＝120°，∴∠ECD＝∠CED＝180°﹣∠BCD﹣∠BCA＝180°﹣120°﹣15°＝45°，∴∠CDE＝180°﹣（∠ECD+∠CED）＝180°﹣90°＝90°，∴∠EDF＝∠EFD＝180°﹣∠CDE﹣∠BDC＝180°﹣90°﹣30°＝60°，∴∠FGE＝∠GEF＝∠EFD+∠A＝60°+15°＝75°，即此时符合；①当∠A＝18°时，同法求出∠FEG＝∠FGE＝90°，此时△FEG不存在，此时不符合，同样，当∠A取大于18°的角都不符合，当∠A＝小于18°的数时，△FEG存在，即选项A、C、D错误，只有选项B正确；故选：B．7．解：∵△A1B1A2是等边三角形，∴A1B1＝A2B1，∵∠MON＝30°，∴OA1＝A1B1＝1，∴A2B1＝1，∵△A2B2A3、△A3B3A4是等边三角形，∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，∴A2B2＝2B1A2，B3A3＝2B2A3，∴A3B3＝4B1A2＝4，A4B4＝8B1A2＝8，A5B5＝16B1A2＝16，以此类推：△A2021B2021A2022的边长为22020．故选：C．8．解：如图，①当OP＝OE时，这样的点E由2个，②当PE＝OE时，这样的点E由1个，③当OP＝PE时，这样的点E由1个，∴这样的点P有4个，故选：D．二．填空题（共7小题，满分28分）9．解：∵等边△ABC和等边△CDE，∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠ECD＝60°，∴180°﹣∠ECD＝180°﹣∠ACB，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD与△BCE中，，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴AD＝BE，故①小题正确；∵△ACD≌△BCE（已证），∴∠CAD＝∠CBE，∵∠ACB＝∠ECD＝60°（已证），∴∠BCQ＝180°﹣60°×2＝60°，∴∠ACB＝∠BCQ＝60°，在△ACP与△BCQ中，，∴△ACP≌△BCQ（ASA），∴AP＝BQ，故③小题正确；PC＝QC，∴△PCQ是等边三角形，∴∠CPQ＝60°，∴∠ACB＝∠CPQ，∴PQ∥AE，故②小题正确；∵AD＝BE，AP＝BQ，∴AD﹣AP＝BE﹣BQ，即DP＝QE，∠DQE＝∠ECQ+∠CEQ＝60°+∠CEQ，∠CDE＝60°，∴∠DQE≠∠CDE，故④小题错误．综上所述，正确的是①②③．故答案为：①②③．10．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°，BA＝BC，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠E＝30°，BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，∴BC＝2DC，∵∠ACB＝∠E+∠CDE，∴∠CDE＝∠E＝30°，∴CD＝CE＝1，∴BC＝2CD＝2，故答案为211．解：∵在△CBA1中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝＝75°，∵A1A2＝A1D，∠BA1C是△A1A2D的外角，∴∠DA2A1＝∠BA1C＝×75°；同理可得∠EA3A2＝（）2×75°，∠F A4A3＝（）3×75°，∴第n个三角形中以A n为顶点的内角度数是（）n﹣1×75°．故答案为：（）n﹣1×75°．12．解：设∠EDC＝x，∠B＝∠C＝y，∠AED＝∠EDC+∠C＝x+y，又因为AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝x+y，则∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x+y，又因为∠ADC＝∠B+∠BAD，所以2x+y＝y+30，解得x＝15，所以∠EDC的度数是15°．故答案是：15°．13．解：当高在三角形内部时（如图1），顶角是60°；当高在三角形外部时（如图2），顶角是120°．故答案为：60或120．14．解：△AOP，△BOP，△COP，△DOP就是所求的三角形．15．解：∵△ABM和△ACN都是等边三角形，∴AB＝AM，AN＝AC，∠BAM＝∠CAN＝60°，∴∠BAM+∠BAC＝∠CAN+∠BAC，即∠CAM＝∠BAN，在△ABN与△AMC中，，∴△ABN≌△AMC（SAS），∴∠ANP＝∠ACP，又∵∠AEN＝∠PEC（对顶角相等），∵∠AEP＝∠NEC（对顶角相等），∴∠APN＝∠ACN＝60°．故答案为：60°．三．解答题（共9小题，满分60分）16．证明：∵EF⊥AD，AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∠APE＝∠APF＝90°，又∵∠AEF＝180°﹣∠1﹣∠APE，∠AFE＝180°﹣∠2﹣∠APF，∴∠AEF＝∠AFE，∵∠CFM＝∠AFE，∴∠AEF＝∠AFE＝∠CFM，∵∠AEF＝∠B+∠M，∠MFC＝∠ACB﹣∠M，∴∠B+∠M＝∠ACB﹣∠M，即：∠M＝（∠ACB﹣∠B）．17．证明：延长BD至F，使DF＝BC，连接EF，∵EC＝ED，∴∠ECD＝∠EDC，∴∠ECB＝∠EDF，∴△ECB≌△EDF（SAS），∴BE＝EF，∠B＝60°，∴△BEF为等边三角形，∴BE＝BF，∵AE＝BD，∴DF＝AB，BC＝DF，∴AB＝BC，∴△ABC是等边三角形．18．证明：连接AD．则△ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积，AB•DE+AC•DF＝AC•BG，∵AB＝AC，∴DE+DF＝BG．19．证明：∵AD∥BC，∴∠EAD＝∠B，∠DAC＝∠C，∵AD平分∠EAC，∴∠EAD＝∠DAC，∴∠B＝∠C，∴AB＝AC，∵点F为BC中点，∴AF⊥BC．20．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠SCB，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵CE＝CD，∴∠CDE＝∠E，∵∠ACB＝∠E+∠CDE＝2∠DBC，∴∠DBC＝∠E，∴△BDE为等腰三角形，BD＝ED，∵DH垂直于BE，∴H为BE中点（三线合一）．21．证明：∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵AD＝BE＝CF，∴AF＝BD，在△ADF和△BED中，，∴△ADF≌△BED（SAS），∴DF＝DE，同理DE＝EF，∴DE＝DF＝EF．∴△DEF是等边三角形．22．证明：∵△ABC是等边三角形，△CDE是等边三角形，M是线段AD的中点，N是线段BE的中点，∴∠ACB＝∠ECD＝60°，∴∠ACB+∠BCD＝∠ECD+∠BCD，即∠ACD＝∠BCE，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，AM＝BN；∴AC＝BC，∠CAD＝∠CBE，AM＝BN，∴△AMC≌△BNC（SAS），∴CM＝CN，∠ACM＝∠BCN；又∵∠NCM＝∠BCN﹣∠BCM，∠ACB＝∠ACM﹣∠BCM，∴∠NCM＝∠ACB＝60°，∴△CMN是等边三角形．23．（1）证明：作DF∥AB交BC于F，如图所示：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝60°，∵DF∥AB，∴∠CDF＝∠A＝60°，∠DFC＝∠ABC＝60°，∠DFP＝∠EBP，∴△CDF是等边三角形，∴CD＝DF，∵点P为DE中点，∴PD＝PE，在△PDF和△PEB中，，∴△PDF≌△PEB（AAS），∴DF＝BE，∴CD＝BE；（2）解：∵DE⊥AC，∴∠ADE＝90°，∴∠E＝90°﹣∠A＝30°，∴AD＝AE，∠BPE＝∠ACB﹣∠E＝30°＝∠E，∴BP＝BE，由（1）得：CD＝BE，∴BP＝BE＝CD，设BP＝x，则BE＝CD＝x，AD＝12﹣x，∵AE＝2AD，∴12+x＝2（12﹣x），解得：x＝4，即BP的长为4．24．（1）证明：如图，过P做PF∥BC交AC于点F，∴∠AFP＝∠ACB，∠FPD＝∠Q，∠PFD＝∠QCD ∵△ABC为等边三角形，∴∠A＝∠ACB＝60°，∴∠A＝∠AFP＝60°，∴△APF是等边三角形；∵AP＝PF，AP＝CQ，∴PF＝CQ∴△PFD≌△QCD，∴PD＝DQ．（2）△APF是等边三角形，∵PE⊥AC，∴AE＝EF，△PFD≌△QCD，∴CD＝DF，DE＝EF+DF＝AC，∵AC＝1，DE＝．。
人教版八年级上册《13.3等腰三角形》同步测试题(含答案解析)
等腰三角形测试题时间：90分钟总分：100一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.如图，在▱ABCD中，，，的平分线交BA的延长线于点E，则AE的长为A. 3B.C. 2D.2.如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，于H，连接OH，，则的度数是A. B. C. D.3.已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为，那么这个等腰三角形的顶角等于A. 或B.C.D. 或4.已知等腰三角形的一边长5cm，另一边长8cm，则它的周长是A. 18cmB. 21cmC. 18cm或21cmD. 无法确定5.如图，是由绕点O顺时针旋转后得到的图形，若点D恰好落在AB上，且的度数为，则的度数是A. B. C. D.6.如果一个等腰三角形的一个角为，则这个三角形的顶角为A. B. C. D. 或7.如图，中，，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D和E，则的周长是A. 6B. 8C. 10D. 无法确定8.已知a、b、c是的三条边，且满足，则是A. 锐角三角形B. 钝角三角形C. 等腰三角形D. 等边三角形9.如图，下列条件不能推出是等腰三角形的是A.B. ，C. ，D. ，10.如图，四边形ABCD是边长为6的正方形，点E在边AB上，，过点E作，分别交BD，CD于G，F两点若M，N分别是DG，CE的中点，则MN的长为A. 3B.C.D. 4二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）11.如图，在中，，，，AD平分，交BC于点D，于E，则______ ．12.如图，，OC平分，如果射线OA上的点E满足是等腰三角形，那么的度数为______．13.如图，在中，，，，点P从点B开始以的速度向点C移动，当要以AB为腰的等腰三角形时，则运动的时间为______．14.平行四边形ABCD中，的角平分线BE将边AD分成长度为5cm和6cm的两部分，则平行四边形ABCD的周长为______cm．15.如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是12，腰AB的垂直平分线EF分别交AB，AC于点E、F，若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则的周长的最小值为______．16.如图，等腰中，，AD是底边上的高，若，，则______cm．17.如果等腰三角形的两边长分别为3和7，那么它的周长为______．18.如图，中，点D在边BC上，若，，则______度19.如图，在中，，AB的垂直平分线MN交AC于D点若BD平分，则______20.如图，在中，，，D是AB的中点，过点D作于点E，则DE的长是______．三、计算题（本大题共4小题，共24.0分）21.如图，中，，D，E，F分别为AB，BC，CA上的点，且，求证： ≌ ；若，求的度数．22.如图，在中，，E在CA延长线上，，AD是高，试判断EF与BC的位置关系，并说明理由．23.如图，在▱ABCD中，AE平分交DC于点E，，，求EC的长．24.在中，，，F为AB延长线上一点，点E在BC上，且．求证： ≌ ；若，求度数．四、解答题（本大题共2小题，共16.0分）25.如图1，在中，于E，，D是AE上的一点，且，连接BD，CD．试判断BD与AC的位置关系和数量关系，并说明理由；如图2，若将绕点E旋转一定的角度后，试判断BD与AC的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由；如图3，若将中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变．试猜想BD与AC的数量关系，请直接写出结论；你能求出BD与AC的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由．26.如图，中，，，于点E，于点D，BE与AD相交于F．求证：；若，求AF的长．答案和解析【答案】1. C2. A3. D4. C5. B6. D7. C8. C9. C10. C11. 312. 或或13. 或6s14. 32或3415. 816. 417. 1718. 2019. 3620.21. 证明：，，．，．又，≌ ．解： ≌．所以是等腰三角形．又，中，，，已知．22. 解：，理由为：证明：，，，，，，，，，，则EF与BC的位置关系是垂直．23. 解：在平行四边形ABCD中，则，，又AE平分，即，，即，又，，．故EC的长为3cm．24. 证明：，，在和中，，≌ ；，，，，，≌ ，，．25. 解：，，理由是：延长BD交AC于F．，，在和中≌ ，，，，，，，，；不发生变化．理由：，，，在和中≌ ，，，，，，，；能．和是等边三角形，，，，，，，在和中≌ ，，，即BD与AC所成的角的度数为或26. 解：，，，，，，，在和中，，≌ ，；连接CF，≌ ，，是等腰直角三角形．，，，，，BE是AC的垂直平分线．，．【解析】1. 【分析】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质能证得是等腰三角形是解此题的关键由平行四边形ABCD中，CE平分，可证得是等腰三角形，继而利用，求得答案．【解答】解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，，，；故选C．2. 【分析】此题考查了菱形的性质、直角三角形的性质以及等腰三角形的判定与性质注意证得是等腰三角形是关键由四边形ABCD是菱形，可得，，又由，，可求得的度数，然后由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证得是等腰三角形，继而求得的度数，然后求得的度数．【解答】解：四边形ABCD是菱形，，，，，，，，．故选A．3. 解：当为锐角三角形时可以画图，高与右边腰成夹角，由三角形内角和为可得，顶角为；当为钝角三角形时可画图，此时垂足落到三角形外面，因为三角形内角和为，由图可以看出等腰三角形的顶角的补角为，三角形的顶角为．故选D．首先想到等腰三角形分为锐角、直角、钝角等腰三角形，当为等腰直角三角形时不可能出现题中所说情况所以舍去不计，我们可以通过画图来讨论剩余两种情况．本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，解答此题时考虑问题要全面，必要的时候可以做出模型帮助解答，进行分类讨论是正确解答本题的关键，难度适中．4. 解：当腰是5cm时，三角形的三边是：5cm，5cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长；当腰是8cm时，三角形的三边是：5cm，8cm，8cm，能构成三角形，则等腰三角形的周长．因此这个等腰三角形的周长为18或21cm．故选：C．题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和8cm，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．5. 解：是绕点O顺时针旋转后得到的图形，，，，，，由三角形的外角性质得，．故选B．根据旋转的性质可得，，再求出，，然后利用三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解．本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．6. 解：当角是顶角时，顶角；当角是底角时，顶角；故选D．题中没有指明这个角是底角还是顶角，故应该分情况进行分析，从而求解．本题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理的综合运用．7. 解：是AC的垂直平分线，，的周长故选C．垂直平分线可确定两条边相等，然后再利用线段之间的转化进行求解．本题主要考查垂直平分线性质和等腰三角形的知识点，熟练掌握等腰三角形的性质．8. 解：已知等式变形得：，即，，，即，则为等腰三角形．故选：C．已知等式左边分解因式后，利用两数相乘积为0两因式中至少有一个为0得到，即可确定出三角形形状．此题考查了因式分解的应用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．9. 解：由可得，则为等腰三角形，故A可以；由且，可得 ≌ ，则可得，即为等腰三角形，故B可以；由，，无法求得或，故C不可以；由，，可得AD为线段BC的垂直平分线，可得，故D可以；故选C．根据等腰三角形的判定逐项判断即可．本题主要考查等腰三角形的判定，掌握等角对等边是解题的关键．10. 解：解法一：如图1，过M作于K，过N作于P，过M作于H，则，，四边形MHPK是矩形，，，，N是EC的中点，，，，，同理得：，四边形ABCD为正方形，，是等腰直角三角形，，，，在中，由勾股定理得：；解法二：如图2，连接FM、EM、CM，四边形ABCD为正方形，，，，，，，，是等腰直角三角形，是DG的中点，，，，≌ ，，过M作于H，由勾股定理得：，，，是等腰直角三角形，，，，，，，，是EC的中点，；故选C．方法三：连EM，延长EM于H，使，连DH，CH，可证 ≌HDM，再证 ≌ ，利用中位线可证．故选：C．解法一：作辅助线，构建矩形MHPK和直角三角形NMH，利用平行线分线段成比例定理或中位线定理得：，，，利用勾股定理可得MN的长；解法二：作辅助线，构建全等三角形，证明 ≌ ，则，利用勾股定理得：，，可得是等腰直角三角形，分别求的长，利用勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，根据直角三角形斜边中线的性质得MN的长．本题考查了正方形的性质、三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、直角三角形斜边中线的性质、勾股定理的逆定理，属于基础题，本题的关键是证明是直角三角形．11. 解：延长CE交AB于F，，，平分，，在与中，，≌ ，，，，，，，，，，，，．故答案为：3．延长CE交AB于F，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，推出 ≌ ，根据全等三角形的性质得到，，，求得，由三角形的外角的性质得到，等量代换得到，得到，根据等腰三角形的性质即可得到结论．本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．12.解：，OC平分，，当E在时，，，；当E在点时，，则；当E在时，，则；故答案为：或或．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可．本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．13. 解：当时，点P与点C重合，如图1所示，过点A作于点D，，，，，即运动的时间6s；当时，，，运动的时间故答案为：或6s．由于等腰三角形的另一腰不确定，故应分与两种情况进行讨论．本题考查的是等腰三角形的判定，在解答此题时要进行分类讨论，不要漏解．14. 解：四边形ABCD是平行四边形，，，，，平分，，，，当时，，平行四边形ABCD的周长是；当时，，平行四边形ABCD的周长是；故答案为：32或34．由平行四边形ABCD推出，由已知得到，推出，分两种情况当时，求出AB的长；当时，求出AB的长，进一步求出平行四边形的周长．本题主要考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定，三角形的角平分线等知识点，解此题的关键是求出用的数学思想是分类讨论思想．15. 解：连接AD交EF与点，连结AM．是等腰三角形，点D是BC边的中点，，，解得，是线段AB的垂直平分线，．．当点M位于点处时，有最小值，最小值6．的周长的最小值为．连接AD交EF与点，连结AM，由线段垂直平分线的性质可知，则，故此当A、M、D在一条直线上时，有最小值，然后依据要三角形三线合一的性质可证明AD为底边上的高线，依据三角形的面积为12可求得AD的长．本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．16. 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理关键要熟知等腰三角形的三线合一可得先根据等腰三角形的性质求出BD的长，再根据勾股定理解答即可．【解答】解：根据等腰三角形的三线合一可得：，在直角中，由勾股定理得：，所以，．故答案为4．17. 解：若3为腰长，7为底边长，由于，则三角形不存在；若7为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为．故答案为：17．求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长求周长；题目给出等腰三角形有两条边长为3和7，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．18. 解：若，，，又在等腰三角形ADC中，是三角形ADC的外角，，又，，故答案为：20．根据题意可知的度数，然后再利用是三角形ADC的一个外角即可求得答案．本题考查等腰三角形的性质，等腰三角形的两底角相等，以及三角形的内角和为的知识点，此题难度不大．19. 解：，，的垂直平分线MN交AC于D点．，平分，，，设为x，可得：，解得：，故答案为：36根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，然后表示出，再根据等腰三角形两底角相等可得，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．此题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质注意垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等．20. 解：过A作于F，连接CD．中，，，．在中，由勾股定理，得，，，，，．故答案为：．过A作BC的垂线，由勾股定理易求得此垂线的长，即可求出的面积；连接CD，由于，则、等底同高，它们的面积相等，由此可得到的面积；进而可根据的面积求出DE的长．此题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、三角形面积的求法等知识的综合应用能力．21. 由已知已知，，，可证 ≌ ；由可得，即是等腰三角形，又由，中，，可求出，即，从而求出的度数．本题考查了等腰三角形的性质和判定、三角形的外角与内角的关系及全等三角形的判定及性质；证得三角形全等是正确解答本题的关键．22. EF与BC垂直，理由为：由三角形ABC为等腰三角形且AD为底边上的高，利用三线合一得到AD为角平分线，再由，利用等边对等角得到一对角相等，利用外角性质得到一对内错角相等，利用内错角相等两直线平行得到EF与AD平行，进而确定出EF与BC垂直．此题考查了等腰三角形的性质，外角性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解本题的关键．23. 本题主要考查了平行四边形的性质及角平分线的性质，应熟练掌握在平行四边形中，由于AE平分，所以不难得出，进而由AD及AB的长代入数据求解即可．24. 根据HL证明 ≌ ；因为是等腰直角三角形，所以，得，由中的全等得：，从而得出结论．本题考查了等腰直角三角形的性质和直角三角形全等的性质和判定，知道等腰直角三角形的两个锐角是，除了熟知三角形一般的全等判定方法外，还要掌握直角三角形的全等判定HL：即有一直角边和斜边对应相等的两直角三角形全等．25. 延长BD交AC于F，求出，证出 ≌ ，推出，，根据推出，求出即可；求出，证出 ≌ ，推出，，根据求出，求出即可；求出，证出 ≌ ，推出，根据三角形内角和定理求出即可本题考查了等边三角形性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定的应用，主要考查了学生的推理能力．26. 根据等腰三角形腰长相等性质可得，即可求证 ≌ ，即可解题；连接CF，根据全等三角形的性质得到，得到是等腰直角三角形推出，BE是AC的垂直平分线于是得到结论．本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了等腰三角形底边三线合一的性质，本题中求证 ≌ 是解题的关键．。
等腰三角形 培优训练2022-2023学年人教版八年级数学上册
13.3 等腰三角形 培优训练一、单选题1．如图，B 在AC 上，D 在CE 上， AD =BD =BC ， ∠ACE =25° ， ∠ADE 的度数为（ ）A ．50°B ．65°C ．75°D ．80°2．如图，平面直角坐标系中，已知定点A （3，0）和B （0，4），若动点C 在y 轴上运动，则使△ABC 为等腰三角形的点C 有（ ）个．A ．3B ．4C ．5D ．63．如图， △ABC 中， BD 是角平分线， DE ∥BC 交 AB 于 E ，交 AC 于 D ，若 DE =7 ， AE =5 ，则 AB = （ ）A ．10B ．12C ．14D ．164．如图是正五边形ABCDE ， DG 平分正五边形的外角△EDF ，连接AD ，则△ADG= （ ）A ．54°B ．60°C ．72°D ．88°5．如图，在△ABC 中，运用尺规作图的方法在BC 边上取一点P ，使PA +PB =BC ，下列作法正确的是（ ）A ．B ．C ．D ．6．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使 CE =CD ，则下列结论错误．．的是（ ）A ．∠CED =30°B ．∠BDE =120°C ．DE =BD D ．DE =AB7．下列命题是真命题的是（ ）A ．等腰三角形的角平分线、中线、高线互相重合B ．一个三角形被截成两个三角形，每个三角形的内角和是90度C ．有两个角是60°的三角形是等边三角形D ．在 △ ABC 中， ∠A =∠B =2∠C ，则 △ ABC 为直角三角形8．如图，在Rt△ABC 中，△ACB ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，将△ABC 绕点B 顺时针旋转60°，得到△BDE ，连接DC 交AB 于点F ，则△ACF 与△BDF 的周长之和为（ ）A ．44B ．43C ．42D ．419．如图，△ABC 是等边三角形，点E 是AC 的中点，过点E 作EF△AB 于点F，延长BC交EF 的反向延长线于点D ，若EF=1，则DF 的长为（ ）A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5二、填空题10．等腰三角形腰AB =10，底边BC =12，则△ABC 的周长为 ．11．规定：在直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，那么它所对的锐角为30°．等腰三角形ABC 中，AD ⊥BC 于点D ，若AD =12BC ，则△ABC 底角的度数为 ．12．如图，在等边三角形ABC 中，AB =2，BD 是AC 边的高线，延长BC 至点E ，使CE =CD ，则BE 的长为 ．13．如图，在 ΔABC 中， ∠ACB =120° ， CD 平分 ∠ACB ，作 AE//DC ，交 BC 的延长线于点 E ，则ΔACE 是 三角形.14．已知射线OM.以O 为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM 交于点A ，再以点A 为圆心，AO 长为半径画弧，两弧交于点B ，画射线OB ，如图所示，则△AOB= (度)15．如图，在△ABC 中，△ACB=90°，△B =30°，CD 是高．若AD=2，则BD= ．三、作图题16．如图，在9×4的方格纸ABCD 中，每个小正方形的边长均为1，点E 为格点（注：小正方形顶点称为格点）.请仅用无刻度直尺按要求画图.△在CD 边上找一点P ，连结AP ，使△AEP 是等腰三角形； △在AB 边上找一点Q ，使EQ△AP ，画出线段EQ.四、解答题17．如图， △ABC 中， AB=AC ，D 、E 分别是AB 、AC 上的点，且 △ABE=△ACD ，BE 、CD 交于点O ，求证： △OBC 是等腰三角形.18．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，a ＝4，b ＝6，若三角形的周长是小于16的偶数，判断△ABC 的形状．19．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是边AC ，AB 的中点，连接ED ，BD ．若BD 平分∠ABC ，求证：BD ⊥AC ．20．如图， △ABC 是等边三角形， BD 是中线，延长 BC 至E ，使CE=CD．求证：DB =DE ．21．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为AB 边的中点，DE△AC 于点E ，DF△BC 于点F ，DE ＝DF ．求证：△ABC 是等边三角形．22．如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 是△ABC 内的两点，AD 平分△BAC ，∠EBC =∠E =60°．若BE =6cm ，DE =2cm ，求BC 的长．23．如图，在△ABC 中，△ACB=90°，CD 是高，△A=30°，求证：BD =14AB .24．阅读下列材料：小明遇到一个问题：已知：如图1，在△ABC 中，△BAC=120°,△ABC=40°，试过△ABC 的一个顶点画一条直线，将此三角形分割成两个等腰三角形.他的做法是：如图2，首先保留最小角△C ，然后过三角形顶点A 画直线交BC 于点D ．将△BAC 分成两个角，使△DAC=20°，△ABC 即可被分割成两个等腰三角形.喜欢动脑筋的小明又继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形. 他的做法是：如图3，先画△ADC ，使DA=DC ，延长AD 到点B ，使△BCD 也是等腰三角形，如果DC=BC ，那么△CDB =△ABC ，因为△CDB=2△A ，所以△ABC= 2△A ．于是小明得到了一个结论：当三角形中有一个角是最小角的2倍时，则此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形．请你参考小明的做法继续探究：当三角形内角中的两个角满足怎样的数量关系时，此三角形一定可以被过顶点的一条直线分割成两个等腰三角形.请直接写出你所探究出的另外两条结论（不必写出探究过程或理由）．25．如图[感知]如图①，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在AB 、BC 边上，且AD=BE ，易知：△ADC△△BEA （1）[探究]如图②，△ABC 是等边三角形，点D 、E 分别在边BA 、CB 的延长线上，且AD=BE ，△ADC与△BEA 还全等吗？如果全等，请证明：如果不全等，请说明理由．（2）[拓展]如图③，在△ABC 中，AB=AC ，△1=△2，点D 、E 分别在BA 、FB 的延长线上，且AD=BE=CF ，若AF=2AD ，S△ABF=6，则S△BCD的大小为答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：∵BD=BC，∠ACE=25°，∴∠BDC=∠C=25°，∴∠ABD=50°，∵AD=BD，∴∠A=∠ABD=50°，∴∠ADE=∠A+∠C=75°.故答案为：C.【分析】由等边对等角得∠BDC=∠C=25°，利用三角形外角的性质求出∠ABD=50°，由等边对等角得∠A=∠ABD=50°，根据三角形外角的性质求出∠ADE=∠A+∠C=75°.2．【答案】B【解析】【解答】解：如图所示：当BC＝BA时，使△ABC为等腰三角形的点C有2个；当AB＝AC时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；当CA＝CB时，使△ABC为等腰三角形的点C有1个；综上所述，若动点C在y轴上运动，使△ABC为等腰三角形的点C有4个；故答案为：B．【分析】利用等腰三角形的判定方法求解即可。
人教版 八年级数学 13.3 等腰三角形 培优训练(含答案)
人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。
人教版 八年级数学上册 13.3 等腰三角形 课时训练(含答案)
人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练一、选择题1. 以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是()A．1，1，2 B．1，1，3C．2，2，1 D．2，2，52. 如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，垂足为D，则AD 与BD的长度之比为()A．2∶1 B．3∶1 C．4∶1 D．5∶13. 如图，在等腰三角形中，若∠1＝110°，则∠2的度数为()A．35°B．70°C．110°D．35°或55°4. 如图，已知直线l垂直平分线段AB，P是l上一点，已知P A＝1，则PB()A．等于1 B．小于1C．大于1 D．最小为15. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，P是BC边上的动点，则AP的长可能是()A．2 B．5.2 C．7.8 D．86. 具备下列条件的三角形为等腰三角形的是链接听P27例1归纳总结() A．有两个角分别为20°，120°B．有两个角分别为40°，80°C．有两个角分别为30°，60°D．有两个角分别为50°，80°7. 如图，在△ABC中，AB＝AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD＝20°，则∠ACE的度数是()A．20°B．35°C．40°D．70°8. 如图，AC＝AD，BC＝BD，则有()A．CD垂直平分ABB．AB垂直平分CDC．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB9. 下列条件不能得到等边三角形的是()A．有两个内角是60°的三角形B．有一个角是60°的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形D．有两个角相等的等腰三角形10. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个二、填空题11. 如图，等腰三角形ABC中，AB＝AC＝12，∠A＝30°，则△ABC的面积等于________．12. 等腰三角形的两边长分别为6 cm，13 cm，其周长为________ cm.13. 如图，在△ABC中，AB＝AC，E为BC的中点，BD⊥AC，垂足为D.若∠EAD ＝20°，则∠ABD＝________°.14. 如图所示，OP平分∠AOB，∠AOP＝15°，PC∥OA，PD⊥OA于点D，PC ＝4，则PD＝________.15. 如图所示，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=5 cm，△ABD的周长为18 cm，则△ABC的周长为.三、解答题16. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.17. 如图，已知Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，∠BAC的平分线分别交BC，CD于点E，F.求证：△CEF是等腰三角形．18. 如图，上午8时，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处，从A，B望灯塔C，测得∠NAC＝30°，∠NBC＝60°.(1)求海岛B到灯塔C的距离；(2)这条船继续向正北方向航行，在什么时间小船与灯塔C的距离最短？19. 已知:如图所示，锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ，且OB=OC.(1)求证:△ABC 是等腰三角形;(2)判断点O 是否在∠BAC 的平分线上，并说明理由.20. 如图①，在△ABC 中，AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E ，F ，H .易证PE ＋PF ＝CH .证明过程如下： 连接AP .∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB ·PE ，S △ACP ＝12AC ·PF ，S △ABC ＝12AB ·CH . 又∵S △ABP ＋S △ACP ＝S △ABC ， ∴12AB ·PE ＋12AC ·PF ＝12AB ·CH . ∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH .如图②，若P 为BC 延长线上的点，其他条件不变，PE ，PF ，CH 之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明．人教版八年级数学上册13.3 等腰三角形课时训练-答案一、选择题1. 【答案】C2. 【答案】B[解析] ∵在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，∠A＝30°，CD⊥AB，∴2BD＝BC，2BC＝AB.∴AB＝4BD.∴AD∶BD＝3∶1.3. 【答案】A4. 【答案】A5. 【答案】B[解析] 根据垂线段最短，可知AP的长不能小于3.∵在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝3，∴AB＝6.∴AP的长不能大于6.6. 【答案】D7. 【答案】B8. 【答案】B9. 【答案】D[解析] 有两个内角是60°的三角形，有一个角是60°的等腰三角形，腰和底相等的等腰三角形均可以得到等边三角形，而有两个角相等的等腰三角形不能得到等边三角形．10. 【答案】D[解析] ∵∠BAC＝72°，∠C＝36°，∴∠ABC＝72°.∴∠BAC＝∠ABC.∴CA＝CB.∴△ABC是等腰三角形．∵∠BAC的平分线AD交BC于点D，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴△ACD 是等腰三角形．∵∠ADB ＝∠CAD ＋∠C ＝72°，∴∠ADB ＝∠B.∴AD ＝AB. ∴△ADB 是等腰三角形．二、填空题11. 【答案】36[解析] 过点B 作BD ⊥AC 于点D.∵∠A ＝30°，AB ＝12，∴在Rt △ABD 中，BD ＝12AB ＝12×12＝6. ∴S △ABC ＝12AC·BD ＝12×12×6＝36.12. 【答案】32[解析] 由题意知，应分两种情况：(1)当腰长为6 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，6 cm ，13 cm ，6＋6＜13，不能构成三角形；(2)当腰长为13 cm 时，三角形的三边长为6 cm ，13 cm ，13 cm ，能构成三角形，周长＝2×13＋6＝32(cm)．13. 【答案】50[解析] ∵AB ＝AC ，E 为BC 的中点，∴∠BAE ＝∠EAD ＝20°.∴∠BAD ＝40°，又∵BD ⊥AC ，∴∠ABD ＝90°－∠BAD ＝90°－40°＝50°.14. 【答案】2[解析] 过点P 作PE ⊥OB 于点E.∵∠AOP ＝∠BOP ，PD ⊥OA ，PE ⊥OB ， ∴PE ＝PD.∵∠BOP ＝∠AOP ＝15°，∴∠AOB ＝30°. ∵PC ∥OA ，∴∠BCP ＝∠AOB ＝30°. ∴在Rt △PCE 中，PE ＝12PC ＝12×4＝2. ∴PD ＝PE ＝2.故答案是2.15. 【答案】28 cm三、解答题16. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形，∵DE∥AB，∴∠EDC＝∠B＝60°，∠DEC＝∠A＝60°.∵EF⊥DE，∴∠DEF＝90°.∴∠F＝90°－∠EDC＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC.∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.17. 【答案】证明：∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝90°.∵CD⊥AB，∴∠CAD＋∠ACD＝90°.∴∠ACD＝∠B.∵AE是∠BAC的平分线，∴∠CAE＝∠EAB.∵∠EAB＋∠B＝∠CEF，∠CAE＋∠ACD＝∠CFE，∴∠CFE＝∠CEF. ∴CF＝CE.∴△CEF是等腰三角形．18. 【答案】解：(1)∵∠NBC＝60°，∠NAC＝30°，∴∠ACB＝30°.∴AB＝BC.∵AB＝15×2＝30(海里)，∴BC＝30 海里，即从海岛B到灯塔C的距离为30海里．(2)过点C作CP⊥AB于点P，则线段CP的长为小船与灯塔C的最短距离．∵∠NBC＝60°，∠BPC＝90°，∴∠PCB＝90°－60°＝30°.∴PB＝12BC＝15海里．∵15÷15＝1(时)，∴这条船继续向正北方向航行，在上午11时小船与灯塔C 的距离最短．19. 【答案】解:(1)证明:∵OB=OC ， ∴∠OBC=∠OCB.∵锐角三角形ABC 的两条高BD ，CE 相交于点O ， ∴∠BEC=∠CDB=90°.∵∠BEC+∠BCE+∠ABC=∠CDB+∠DBC+∠ACB=180°， ∴180°-∠BEC-∠BCE=180°-∠CDB-∠DBC ， ∴∠ABC=∠ACB ，∴AB=AC ，∴△ABC 是等腰三角形. (2)点O 在∠BAC 的平分线上.理由:连接AO 并延长交BC 于点F .在△AOB 和△AOC 中，∴△AOB ≌△AOC (SSS)，∴∠BAF=∠CAF ， ∴点O 在∠BAC 的平分线上.20. 【答案】解：PE ＝PF ＋CH.证明如下： 连接AP.∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴S △ABP ＝12AB·PE ，S △ACP ＝12AC·PF ，S △ABC ＝12AB·CH.∵S △ABP ＝S △ACP ＋S △ABC ， ∴12AB·PE ＝12AC·PF ＋12AB·CH. ∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH.。
第13章13.3等腰三角形(课堂练习)人教版数学八年级上册试题试卷含答案
1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：基础版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．如图，60AOB ∠=︒，OC 平分AOB ∠，如果射线OA 上的点E 满足OCE ∆是等腰三角形，那么OEC ∠的度数为__________．8．在ABC ∆中，40A ∠=︒，当C ∠=__________时，ABC ∆为等腰三角形．9．等腰三角形的腰长为17，底长为16，则其底边上的高为__________．10．如图，四边形ABCD 中，4AD =，1BC =，30A ∠=︒，90B ∠=︒，120ADC ∠=︒，求CD的长．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D3．B4．C5．C6．7．120︒或75︒或30︒．8．40︒或70︒或100︒．9．1510．延长AD 、BC 交于E ，30A ∠=︒ ，90B ∠=︒，60E ∴∠=︒，120ADC ∠=︒ ，60EDC ∴∠=︒，EDC ∴∆是等边三角形，设CD CE DE x ===，4AD = ，1BC =，2(1)4x x ∴+=+，解得2x =，2CD ∴=．1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：提升版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．（★）下列三角形：①有两个角等于60︒的三角形；②有一个角等于60︒的等腰三角形；③三个外角（每个顶点处各取一个外角）都相等的三角形；④一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形．其中是等边三角形的有（ ）A ．①②③④B ．①②④C ．①③D ．②③④8．（★）如图，在ABC ∆中，AB AC =，BD ，CE 分别是ABC ∠，ACB ∠的平分线，且DE BC ，36A ∠=︒，则图中等腰三角形共有__________个．9．（★）如图，ABC ∆是等边三角形，沿图中的虚线剪去B ∠，则12∠+∠的度数等于__________．10．（★）求证：在直角三角形中，如果一个锐角等于30︒，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D 3．B 4．C5．C6．7．A 8．129．240︒10．已知，在Rt ABC ∆中，30A ∠=︒，90ACB ∠=︒．求证：12BC AB =．证明：证法一：如图所示，延长BC 到D ，使CD BC =，连接AD ，易证AD AB =，60BAD ∠=︒．ABD ∴∆为等边三角形，AB BD ∴=，12BC CD AB ∴==，即12BC AB =．证法二：如图所示，取AB 的中点D ，连接DC ，有12CD AB AD DB ===，30DCA A ∴∠=∠=︒，60BDC DCA A ∠=∠+∠=︒．DBC ∴∆为等边三角形，12BC DB AB ∴==，即12BC AB =．证法三：如图所示，在AB 上取一点D ，使BD BC =，60B ∠=︒ ，BDC ∴∆为等边三角形，60DCB ∴∠=︒，90906030ACD DCB A ∠=︒-∠=︒-︒=︒=∠．DC DA ∴=，即有12BC BD DA AB ===，12BC AB ∴=．证法四：如图所示，作ABC ∆的外接圆D ，90C ∠=︒，AB 为O 的直径，连DC 有DB DC =，223060BDC A ∠=∠=⨯︒=︒，DBC ∴∆为等边三角形，12BC DB DA AB ∴===，即12BC AB =．1．一个等腰三角形的两边长分别为2，4，则它的周长为（ ）A ．8B ．10C ．9D ．8或102．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30︒，则底角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或120︒D ．60︒或30︒3．若等腰三角形的一个内角是另一个内角的2倍，则满足条件的形状不同的三角形有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形补充下列条件后，一定不会成为等边三角形的是（ ）A ．有一个内角是60︒B ．有一个外角是120︒C ．其中一个角是另一个角的3倍D ．腰与底边相等5．如图所示，在等边三角形ABC 中，AD BC ⊥，E 为AD 上一点，50CED ∠=︒，则ABE∠等于（ ）A ．10︒B ．15︒C ．20︒D ．25︒6．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，点D 在线段BC 上，且30B ∠=︒，60ADC ∠=︒，BC =则BD 的长度为__________．课堂练习：培优版题量: 10题 时间: 20min13.3等腰三角形7．（★★）如图，已知：30MON ∠=︒，点1A ，2A ，3A ⋯⋯在射线ON 上，点1B ，2B ，3B ⋯⋯在射线OM 上，△112A B A ，△223A B A ，△334A B A ⋯⋯均为等边三角形，若11OA =，则△778A B A 的边长为（ ）A ．64B ．32C ．16D ．1288．（★★）如图，在ABC ∆中，90BAC ∠=︒，点D 在BC 上，AB AC =，BD BA =，点E 在BC的延长线上，CA CE =，连接AE ，则DAE ∠=__________．9．（★★）如图，在1ABA ∆中，28B ∠=︒，1AB A B =，在1A B 上取一点C ，延长1AA 到2A ，使得121A A A C =，连接2A C ．完成下列问题：（1）12A A C ∠的度数等于__________度；（2）如果继续在2A C 上取一点D ，延长12A A 到3A ，使得232A A A D =，连接3A D ，⋯，依此进行下去，那么以n A 为顶点的锐角的度数等于__________度．10．（★★）如图，ABC ∆为等边三角形，AE CD =，AD 、BE 相交于点P ， BQ AD ⊥于点Q ，3PQ =，1PE =．（1）求证：AD BE =；（2）求AD 的长．【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】【错误题号】【错因自查】 基础不牢 审题不清思路不清 计算错误 粗心大意【正确解答】1．B2．D 3．B 4．C5．C6．7．A8．45︒9．（1）38；（2）1762n -．10．（1）证明：ABC ∆ 为等边三角形，AB CA BC ∴==，60BAE ACD ∠=∠=︒；在ABE ∆和CAD ∆中，60AB CA BAE ACD AE CD =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪=⎩，(SAS)ABE CAD ∴∆≅∆，AD BE ∴=；（2）解：ABE CAD ∆≅∆ ，CAD ABE ∴∠=∠，60BPQ ABE BAD BAD CAD BAE ∴∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒；BQ AD ⊥ ，90AQB ∴∠=︒，906030PBQ ∴∠=︒-︒=︒，3PQ = ，∴在Rt BPQ ∆中，26BP PQ ==，又1PE = ，617AD BE BP PE ∴==+=+=．。
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13-3等腰三角形》同步达标测试题(附答案)
2022-2023学年人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步达标测试题（附答案）一．选择题（共10小题，满分40分）1．已知等腰三角形三边的长分别为4，x，10，则x的值是（）A．4B．10C．4 或10D．6 或102．已知等腰三角形ABC的周长为20cm，BC＝8cm，则AB的长度是（）A．8cm B．6cmC．8cm或6cm D．8cm或6cm或4cm3．已知等腰三角形的一个底角为70°，则其顶角为（）A．50°B．60°C．30°D．40°4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为25°，则顶角的度数为（）A．65°B．105°C．55°或105°D．65°或115°5．如图，在△ABC中，D、E是两边AB、AC上的点，DE∥BC，DE＝BE，若∠DBC＝20°，∠C＝65°，则∠A的度数是（）A．60°B．65°C．70°D．75°6．如图，已知点B，C，D，E在同一直线上，△ABC是等边三角形，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E＝（）A．35°B．30°C．25°D．15°7．三个等边三角形的摆放位置如图，若∠3＝60°，则∠1+∠2的度数为（）°A．150B．120C．90D．808．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D．∠ABD＝∠A，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为（）A．2B．3C．4D．59．如图，已知S△ABC＝12，AD平分∠BAC，且AD⊥BD于点D，则S△ADC的值是（）A．10B．8C．6D．410．如图，在△ABC中，∠B＝60°，∠EDC＝∠BAC，且D为BC中点，DE＝CE，则AE：AB的值为（）A．B．C．D．无法确定二．填空题（共6小题，满分30分）11．等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长是．12．已知△ABC中有一个内角是30°，AB＝AC，AB边上的中垂线交直线BC于点D，连结AD，则∠DAC＝．13．如图，AD是△ABC的高，且AB+BD＝DC，∠BAD＝40°，则∠C的度数为．14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是△ABC内两点，AD平分∠BAC，∠EBC＝∠E ＝60°，若BE＝4cm，DE＝3cm，则BC＝cm．15．如图，∠ABC的平分线BF与△ABC的相邻外角∠ACG的平分线CF相交于F，过F 作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，则DE的长为．16．如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB 于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D，下列四个结论：①EF＝BE+CF；②∠BOC＝90°+∠A；③点O到△ABC各边的距离相等；④设OD＝m，AE+AF＝n，则S△AEF＝mn．其中正确的结论是．（填序号）三．解答题（共5小题，满分50分）17．已知：如图，E为△ABC的外角平分线上的一点，AE∥BC，BF＝AE，求证：（1）△ABC是等腰三角形；（2）AF＝CE．18．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．（1）求证：△DEF是等腰三角形；（2）求证：∠B＝∠DEF；（3）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数．19．如图，点C是线段AB上除点A、B外的任意一点，分别以AC、BC为边在线段AB的同旁作等边△ACD和等边△BCE，连接AE交DC于M，连接BD交CE于N，连接MN．（1）求证：AE＝BD；（2）求证：MN∥AB．20．已知：在△AOB和△COD中，OA＝OB，OC＝OD．（1）如图①，若∠AOB＝∠COD＝60°，求证：①AC＝BD②∠APB＝60°．（2）如图②，若∠AOB＝∠COD＝α，则AC与BD间的等量关系式为，∠APB 的大小为（直接写出结果，不证明）21．如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠B＝∠C＝40°，点D在线段BC上运动（D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝40°，DE交线段AC于E．（1）当∠BDA＝115°时，∠EDC＝°，∠DEC＝°；点D从B向C运动时，∠BDA逐渐变（填“大”或“小”）；（2）当DC等于多少时，△ABD≌△DCE，请说明理由；（3）在点D的运动过程中，△ADE的形状可以是等腰三角形吗？若可以，请直接写出∠BDA的度数．若不可以，请说明理由．参考答案一．选择题（共10小题，满分40分）1．解：当x＝4时，4+4＜10，不符合三角形三边关系，舍去；当x＝10时，4+10＞10，符合三角形三边关系．故选：B．2．解：（1）当BC＝8cm为底边时，AB为腰，由等腰三角形的性质，得AB＝（20﹣BC）＝6cm；（2）当BC＝8cm为腰时，①若AB为腰，则BC＝AB＝8cm；②若AB为底，则AB＝20﹣2BC＝4cm，故选：D．3．解：∵等腰三角形的一个底角为70°，∴顶角＝180°﹣70°×2＝40°．故选：D．4．解：①如图1，当等腰三角形的顶角是钝角时，腰上的高在外部．根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，即可求得顶角是90°+25°＝115°；②如图2，当等腰三角形的顶角是锐角时，腰上的高在其内部，故顶角是90°﹣25°＝65°．故选：D．5．解：∵DE＝BE，∴∠EBD＝∠EDB，∵DE∥BC，∴∠EDB＝∠DBC＝20°，∴∠DBE＝∠BDE＝20°，∴∠ABC＝40°，∵∠C＝65°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠C＝180°﹣40°﹣65°＝75°，故选：D．6．解：如图所示，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝∠1＝60°，∵CD＝CG，∴∠CGD＝∠2，∴∠1＝2∠2，同理有∠2＝2∠E，∴4∠E＝60°，∴∠E＝15°．故选：D．7．解：∵图中是三个等边三角形，∠3＝60°，∴∠ABC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∠ACB＝180°﹣60°﹣∠2＝120°﹣∠2，∠BAC＝180°﹣60°﹣∠1＝120°﹣∠1，∵∠ABC+∠ACB+∠BAC＝180°，∴60°+（120°﹣∠2）+（120°﹣∠1）＝180°，∴∠1+∠2＝120°．故选：B．8．解：延长BD交AC于E，如图，∵CD平分∠ACB，BD⊥CD，∴△BCE为等腰三角形，∴DE＝BD＝1，CE＝CB＝3，∵∠A＝∠ABD，∴EA＝EB＝2，∴AC＝AE+CE＝2+3＝5．故选：D．9．解：如图，延长BD交AC于点E，∵AD平分∠BAE，AD⊥BD，∴∠BAD＝∠EAD，∠ADB＝∠ADE，在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（ASA），∴BD＝DE，∴S△ABD＝S△ADE，S△BDC＝S△CDE，∴S△ABD+S△BDC＝S△ADE+S△CDE＝S△ADC，∴S△ADC＝S△ABC＝×12＝6，故选：C．10．解：∵DE＝CE∴∠EDC＝∠C，∵∠EDC＝∠BAC，∴∠EDC＝∠BAC＝∠C，∵∠B＝60°，∴△ABC及△DCE是等边三角形，∵D为BC中点，∴DE是△ABC的中位线，∴AE：AB＝1：2．故选：A．二．填空题（共6小题，满分30分）11．解：∵4+4＝8＜9，0＜4＜9+9＝18∴腰的不应为4，而应为9∴等腰三角形的周长＝4+9+9＝22故填：22．12．解：∠B＝30°是底角，如图1：∵AB＝AC，∠B＝30°，∴∠C＝30°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BAD＝∠B＝30°，∴∠ADC＝30°+30°＝60°，∴∠DAC＝180°﹣30°﹣60°＝90°；∠BAC＝30°的角是顶角，如图2：∵AB＝AC，∠BAC＝30°，∴∠B＝∠ACB＝（180°﹣30°）÷2＝75°，∵AB边上的中垂线交直线BC于点D，∴∠BED＝∠AED＝90°﹣75°＝15°，∴∠ADC＝15°+15°＝30°，∴∠DAC＝75°﹣30°＝45°．故∠DAC＝90°或45°．故答案为：90°或45°．13．解：在线段DC上取一点E，使DE＝DB，连接AE，∵AD是△ABC的高，∴AD⊥BC，∴AD垂直平分BE，∴AB＝AE，∴∠EAD＝∠BAD＝40°，∠AEB＝∠B＝90°﹣∠BAD＝50°，∵AB+BD＝DC，DE+CE＝DC，∴AB＝CE，∴AE＝CE，∴∠EAC＝∠C，∵∠AEB＝∠EAC+∠C＝2∠C，∴∠C＝∠AEB＝25°，故答案为：25°．14．解：延长ED交BC于M，延长AD交BC于N，作DF∥BC，∵AB＝AC，AD平分∠BAC，∴AN⊥BC，BN＝CN，∵∠EBC＝∠E＝60°，∴△BEM为等边三角形，∴△EFD为等边三角形，∵BE＝4cm，DE＝3cm，∴DM＝1cm，∵△BEM为等边三角形，∴∠EMB＝60°，∵AN⊥BC，∴∠DNM＝90°，∴∠NDM＝30°，∴NM＝cm，∴BN＝cm，∴BC＝2BN＝7cm，故答案为7．15．解：∵BF、CF分别平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF＝∠CBF，∠FCE＝∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB＝∠CBF，∠EFC＝∠FCG，∴∠DBF＝∠DFB，∠FCE＝∠EFC，∴BD＝FD＝8cm，EF＝CE＝5cm，∴BD﹣CE＝FD﹣EF＝DE＝8﹣5＝3（cm），故答案为：3cm．16．解：∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠ABC，∠OCB＝∠ACB，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，∴∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A；故②正确；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴∠OBC＝∠OBE，∠OCB＝∠OCF，∵EF∥BC，∴∠OBC＝∠EOB，∠OCB＝∠FOC，∴∠EOB＝∠OBE，∠FOC＝∠OCF，∴BE＝OE，CF＝OF，∴EF＝OE+OF＝BE+CF，故①正确；过点O作OM⊥AB于M，作ON⊥BC于N，连接OA，∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴ON＝OD＝OM＝m，∴S△AEF＝S△AOE+S△AOF＝AE•OM+AF•OD＝OD•（AE+AF）＝mn；故④错误；∵在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∴点O到△ABC各边的距离相等，故③正确．故答案是：①②③三．解答题（共5小题，满分50分）17．证明：（1）∵AE∥BC，∴∠DAE＝∠B，∠EAC＝∠ACB，∵E为△ABC的外角平分线上的一点，∴∠DAE＝∠EAC，∴∠B＝∠ACB，∴AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形；（2）在△ABF和△CAE中，，∴△ABF≌△CAE（SAS），∴AF＝CE．18．（1）证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，在△DBE和△ECF中，，∴△DBE≌△ECF，∴DE＝FE，∴△DEF是等腰三角形；（2）∵△BDE≌△CEF，∴∠FEC＝∠BDE，∴∠DEF＝180°﹣∠BED﹣∠FEC＝180°﹣∠DEB﹣∠EDB＝∠B （3）∵由（2）知△BDE≌△CEF，∴∠BDE＝∠CEF，∴∠CEF+∠DEF＝∠BDE+∠B，∴∠DEF＝∠B，∴AB＝AC，∠A＝40°，∴∠DEF＝∠B＝＝70°．19．证明：（1）∵△ACD和△BCE是等边三角形，∴AC＝DC，CE＝CB，∠DCA＝60°，∠ECB＝60°，∵∠DCA＝∠ECB＝60°，∴∠DCA+∠DCE＝∠ECB+∠DCE，∠ACE＝∠DCB，在△ACE与△DCB中，∵，∴△ACE≌△DCB，∴AE＝BD；（2）∵由（1）得，△ACE≌△DCB，∴∠CAM＝∠CDN，∵∠ACD＝∠ECB＝60°，而A、C、B三点共线，∴∠DCN＝60°，在△ACM与△DCN中，∵，∴△ACM≌△DCN（ASA），∴MC＝NC，∵∠MCN＝60°，∴△MCN为等边三角形，∴∠NMC＝∠DCN＝60°，∴∠NMC＝∠DCA，∴MN∥AB．20．解：（1）①证明：∵∠AOB＝∠COD＝60°，∴∠AOB+∠BOC＝∠COD+∠BOC，∴∠AOC＝∠BOD．在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴AC＝BD；②证明：∵△AOC≌△BOD，∴∠OAC＝∠OBD，∴∠OAC+∠AOB＝∠OBD+∠APB，∴∠OAC+60°＝∠OBD+∠APB，∴∠APB＝60°；（2）AC＝BD，∠APB＝α．21．解：（1）∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝180°﹣115°﹣40°＝25°，∠DEC＝180°﹣∠EDC﹣∠C＝180°﹣40°﹣25°＝115°，∠BDA逐渐变小；故答案为：25°，115°，小；（2）当DC＝2时，△ABD≌△DCE，理由：∵∠C＝40°，∴∠DEC+∠EDC＝140°，又∵∠ADE＝40°，∴∠ADB+∠EDC＝140°，∴∠ADB＝∠DEC，又∵AB＝DC＝2，∴△ABD≌△DCE（AAS），（3）当∠BDA的度数为110°或80°时，△ADE的形状是等腰三角形，理由：∵∠BDA＝110°时，∴∠ADC＝70°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝70°，∠AED＝∠C+∠EDC＝30°+40°＝70°，∴∠DAC＝∠AED，∴△ADE的形状是等腰三角形；∵当∠BDA的度数为80°时，∴∠ADC＝100°，∵∠C＝40°，∴∠DAC＝40°，∴∠DAC＝∠ADE，∴△ADE的形状是等腰三角形．。
人教版八年级上册数学《等腰三角形》同步训练附答案
人教版八年级数学上册《13.3等腰三角形》同步训练1．如图，△ABC是等边三角形，△BCD是等腰三角形，且BD＝CD，过点D作AB的平行线交AC于点E，若AB＝8，DE＝6，则BD的长为（）A．6B．C．D．2．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，∠CAE是△ABC的外角，∠1＝∠2，AD∥BC．求证AB＝AC．以下是排乱的证明过程：①又∠1＝∠2，②∴∠B＝∠C，③∵AD∥BC，④∴∠1＝∠B，∠2＝∠C，⑤∴AB＝AC．证明步骤正确的顺序是（）A．③→②→①→④→⑤B．③→④→①→②→⑤C．．①→②→④→③→⑤D．①→④→③→②→⑤3．如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AD上，且DE＝BC，则∠AFE＝（）A．100°B．105°C．110°D．115°4．如图，已知△ABC是等边三角形，D是BC边上的一个动点（异于点B、C），过点D作DE⊥AB，垂足为E，DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，连接FD，FE．当点D在BC边上移动时，有下列三个结论：①△DEF一定为等腰三角形；②△CFG一定为等边三角形；③△FDC可能为等腰三角形．其中正确的有（）A．0个B．1个C．2个D．3个5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC 交AC于点N，且MN平分∠AMC，若AN＝2，则BC的长为（）A．12B．16C．20D．86．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD，点E在AB上，DE⊥CB，垂足为F，连接AF则下列结论中错误的是（）A．AB＝AC B．∠AFC＝∠DC．∠AEF+∠D＝180°D．∠AFC＞∠FCD7．如果一个等腰三角形的两边长为2和5，那么这个三角形的周长是（）A．9B．12C．9或12D．不确定8．若等腰三角形的一个内角比另一个内角大30°，则这个等腰三角形的底角度数是（）A．50°B．80°C．50°或70°D．80°或40°9．若等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，则它的周长为（）A．22cm B．17cm C．22cm或17cm D．22cm或19cm 10．等腰三角形一边长9cm，另一边长4cm，它的第三边是（）cm．A．4 B．9 C．4或9 D．大于5且小于1311．下列对△ABC的判断，错误的是（）A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠B＝50°C．若AB＝BC，∠A＝60°，则△ABC是等边三角形D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则△ABC是等腰三角形12．已知等腰三角形的周长为19，一边长为8，则此等腰三角形的底边长为（）A．3B．8C．3或8D．8或5.513．若等腰三角形的顶角是大于60°的锐角，则底角度数的取值范围是（）A．x＜60°B．x≤60°C．45°＜x＜60°D．45°≤x＜60°14．△ABC中，∠BAC＝∠BCA，AD平分∠BAC，DE∥AC，下列说法正确的是（）A．∠B＝36°B．∠ADB＝108°C．∠ADB＝3∠EDA D．∠AED＝3∠B 15．等腰三角形的两边长为3和8，则这个等腰三角形的周长是（）A．14B．19C．14或19D．2016．如图，在△ABC中，AB＝AC，尺规作图：（1）分别以B，C为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点D；（2）作射线AD，连接BD，CD．则下列结论中错误的是（）A．∠BAD＝∠CAD B．△BCD是等边三角形C．AD垂直平分BC D．S四边形ABDC＝AD⋅BC17．如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线l交BC于点D．若∠BAD＝78°，则∠B的度数是（）A．34°B．30°C．28°D．26°18．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点C为圆心，CB长为半径画弧，交AB于点B和点D，再分别以点B，D为圆心，大于BD长为半径画弧，两弧相交于点M，作射线CM 交AB于点E．若AE＝5，BE＝1，则EC的长度是（）A．B．C．9D．19．如图，在等腰△ABD中，∠A＝32°，取大于AB的长为半径，分别以点A，B为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交AD边于点E（作图痕迹如图所示），连接BE，BD，则∠EBD的度数为．20．如图，在△ABC中，AB＝AC，以点B为圆心，BC长为半径画弧交AC于点C和点D，再分别以点C和点D为圆心，大于DC长为半径画弧，两弧相交于点F，作射线BF交AC于点E．若∠A＝40°，则∠EBC＝度．21．如图，在边长为2的等边三角形ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为．22．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝35°，D是BC边上的动点，连接AD，若△ABD 为直角三角形，则∠DAC的度数为．23．已知等腰三角形的一个内角为110°，则等腰三角形的底角的度数为．24．用三根木棒首尾相连围成一个等腰三角形，其中两根木棒的长度分别为3cm和6cm，则第三根木棒长为cm．25．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝16cm，则BD＝cm．26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，2），点B的坐标为（4，0），在y轴上取一点C使△ABC为等腰三角形，符合条件的C点有个．27．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，连接AD，则图中等腰三角形有个．28．如图，在△ABC中，以点B为圆心，BA长为半径画弧，交BC边于点D，连接AD．若∠B＝40°，∠C＝32°，求∠DAC的度数．29．如图，已知△ABC中，AB＝AC，∠ABC、∠ACB的平分线交于点E，直线AE交BC于点D，说明AD⊥BC的理由．30．若关于x，y的二元一次方程组的解都是正数．（1）求a的取值范围；（2）若此方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和底边的长，且这个等腰三角形的周长为12，求a的值．31．如图，在△ABC中，D是三角形内一点，连接DA、DB、DC，且∠1＝∠2，∠3＝∠4，求证：AB＝AC．参考答案1．解：连接AD交BC于点O，取AC中点N，连接ON，如图，∵△ABC是等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝8，∠ABC＝60°，∵△BCD是等腰三角形，∴BD＝DC，∴AD垂直平分BC，∴BO＝CO＝4，∵AN＝CN，∴ON＝AB＝4，ON∥AB，∵AB∥DE，∴ON∥DE，∴OD＝AO，∴AO＝4，∴OD＝2，在Rt△BOD中，BD＝＝2．故选：B．2．解：∵③AD∥BC，∴④∠1＝∠B，∠2＝∠C，∵①∠1＝∠2，∴②∠B＝∠C，∴⑤AB＝AC，故证明步骤正确的顺序是③→④→①→②→⑤，3．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC＝60°，∵AD是BC边上的中线，∴∠BAD＝BAC＝30°，AD⊥BC，BD＝CD＝BC，∴∠CDE＝90°，∵DE＝BC，∴DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝45°，∴∠AEF＝∠DEC＝45°，∴∠AFE＝180°﹣∠BAD﹣∠AEF＝180°﹣30°﹣45°＝105°，故选：B．4．解：∵DE的垂直平分线分别交AC、BC于点F、G，∴FE＝FD，∴△DEF一定为等腰三角形，故①正确；∵DE⊥AB，DE⊥FG，∴AB∥FG，∴∠FGC＝∠B＝60°，又∵△ABC是等边三角形，∴∠C＝60°，∴△CFG中，∠C＝∠CFG＝∠CGF，∴△CFG一定为等边三角形；故②正确；∵∠FDC＞∠FGC＝60°，∠C＝60°，∠CFD＜∠CFG＝60°，∴△FDC不可能为等腰三角形．故③错误；5．解：∵CM平分∠ACB交AB于点M，∴∠NCM＝∠BCM，∵MN∥BC∴∠NCM＝∠BCM＝∠NMC，∵MN平分∠AMC，∴∠AMN＝∠NMC＝∠B，∴∠ACB＝2∠B，NM＝NC，∴∠B＝30°；∵AN＝2，∠AMN＝∠B＝30°，∴MN＝2AN＝4，∴NM＝NC＝4，∴AC＝AN+NC＝6，∴BC＝2AC＝12，故选：A．6．解：∵AB∥CD，∴∠B＝∠BCD，∠AEF+∠D＝180°，故C选项正确；∵CB平分∠ACD，∴∠ACB＝∠BCD，∴∠ACB＝∠B，∴AC＝AB，故A选项正确；∵DE⊥CB，∴∠CFD＝90°，∴∠D+∠BCD＝90°，假如∠AFC＝∠D，则∠CAF＝∠CFD＝90°，而∠CAF不一定是90°，∴∠AFC与∠D不一定相等，故B选项错误；∵∠AFC是△ABF的外角，∴∠AFC＞∠B，∵∠B＝∠FCD，∴∠AFC＞∠FCD，故D选项正确，故选：B．7．解：∵2+2＝4＜5，∴腰的长不能为2，只能为5，∴等腰三角形的周长＝2×5+2＝12，故选：B．8．解：在△ABC中，设∠A＝x，∠B＝x+30°，分情况讨论：当∠A＝∠C为底角时，2x+（x+30°）＝180°，解得x＝50°，底角∠A＝50°；当∠B＝∠C为底角时，2（x+30°）+x＝180°，解得x＝40°，底角∠B＝70°．故这个等腰三角形的底角的度数为50°或70°．故选：C．9．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，此时等腰三角形的周长是4cm+9cm+9cm＝22cm，故选：A．10．解：①当腰为4cm时，三边为4cm，4cm，9cm，∵4+4＜9，∴不符合三角形的三边关系定理，此种情况舍去；②当腰为9cm时，三边为4cm，9cm，9cm，此时符合三角形的三边关系定理，所以三角形的第三边为9cm，故选：B．11．解：A．若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则∠A＝30°，∠B＝60°，∠C＝90°，所以△ABC是直角三角形，故此选项正确，不符合题意；B．若AB＝BC，∠C＝50°，则∠A＝∠C＝50°，∠B＝100°，故此选项错误，符合题意；C．若AB＝BC，∠A＝60°，则∠A＝∠C＝60°，∠B＝60°，所以△ABC是等边三角形，故此选项正确，不符合题意；D．若∠A＝20°，∠C＝80°，则∠B＝80°，∠C＝∠B＝80°，所以△ABC是等腰三角形，故此选项正确，不符合题意．故选：B．12．解：本题可分两种情况：①当腰长为8时，底边长＝19﹣2×8＝3；经检验，符合三角形三边关系；②底边长为8，此时腰长＝（19﹣8）÷2＝5.5，经检验，符合三角形三边关系；因此该等腰三角形的底边长为3或8．故选：C．13．解：设等腰三角形的底角为x°，则顶角为（180°﹣2x），由题意可得：60°＜180°﹣2x＜90°，∴45°＜x＜60°，∴底角度数的取值范围是45°＜x＜60°，故选：C．14．解：设∠CAD＝x°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝∠BCA，∴∠BCA＝∠BAC＝2x°，∵DE∥AC，∴∠BDE＝∠BCA＝2x°，∠ADE＝∠CAD＝x°，∴∠ADB＝∠BDE+∠ADE＝2x°+x°＝3x°，即∠ADB＝3∠EDA，故选：C．15．解：①若3是腰，则另一腰也是3，底是8，但是3+3＜8，故不构成三角形，舍去．②若3是底，则腰是8，8．3+8＞8，符合条件．成立．故周长为：3+8+8＝19．故选：B．16．解：根据作图方法可得BC＝BD＝CD，∵BD＝CD，∴点D在BC的垂直平分线上，∵AB＝AC，∴点A在BC的垂直平分线上，∴AD是BC的垂直平分线，故C结论正确；∴O为BC中点，∴AO是△BAC的中线，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，故A结论正确；∵BC＝BD＝CD，∴△BCD是等边三角形，故B结论正确；∵四边形ABDC的面积＝S△BCD+S△ABC＝BC•DO+BC•AO＝BC•AD，故D选项错误，故选：D．17．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∵AC的垂直平分线l交BC于点D，∴AD＝DC，∴∠DAC＝∠C，∵∠ADB＝∠DAC+∠C＝2∠C，∴∠ADB＝2∠B，∵∠BAD＝78°，∴∠B+∠ADB+∠BAD＝∠B+2∠B+78°＝180°，∴∠B＝34°，故选：A．18．解：由作法得CE⊥AB，则∠AEC＝90°，AC＝AB＝BE+AE＝5+1＝6，在Rt△ACE中，CE＝＝，故选：A．19．解：∵AD＝AB，∠A＝32°，∴∠ABD＝∠ADB＝（180°﹣∠A）＝74°，由作图可知，EA＝EB，∴∠ABE＝∠A＝32°，∴∠EBD＝∠ABD﹣∠ABE＝74°﹣32°＝42°，故答案为：42°．20．解：∵AB＝AC，∠A＝40°，∴∠ACB＝（180°﹣40°）÷2＝70°，由题意可知，BC＝BD，∴∠BDC＝∠ACB＝70°，∴∠CBD＝180°﹣70°×2＝40°，由题意可知，BF平分∠DBC，∴∠EBC＝∠CBD＝20°．故答案为：20．21．解：连接DE，∵在边长为2的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝1，且DE∥AC，BD＝BE＝EC＝1，∵EF⊥AC于点F，∠C＝60°，∴∠FEC＝30°，∠DEF＝∠EFC＝90°，∴FC＝EC＝，故EF＝＝＝，∵G为EF的中点，∴EG＝，∴DG＝＝，故答案为：．22．解：如图，∵AB＝AC，∠B＝35°，∴∠B＝∠C＝35°，∴∠BAC＝110°，当∠BAD＝90°时，∠DAC＝110°﹣90°＝20°；当∠ADB＝90°时，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠DAC＝∠BAD＝55°．故答案为：20°或55°．23．解：∵等腰三角形的一个内角是110°，∴等腰三角形的顶角为110°，∴等腰三角形的底角为35°，故答案为：35°．24．解：组成等腰三角形的两根木棒的长度分别为3cm和6cm，根据三角形三边关系可得，组成等腰三角形的第三根木棒长为6cm，故答案为：6．25．解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，∴BD＝DC＝BC，∵BC＝16cm，故答案为：8．26．解：观察图形可知，若以点A为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点，但其中一个与B点重合，故此时符合条件的点由1个；若以点B为圆心，以AB为半径画弧，与y轴有2个交点；线段AB的垂直平分线与y轴有1个交点；∴符合条件的C点有：1+2+1＝4（个），故答案为：4．27．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴△ABC是等腰三角形，∠B＝∠C＝（180°﹣∠BAC）÷2＝36°，∵AC的中垂线交BC于点D，交AC于点E，∴AD＝CD，∴△ADC是等腰三角形，∠DAC＝∠C＝36°，∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝72°，∠ADB＝∠DAC+∠C＝72°，∴∠BAD＝∠ADB，∴△BAD是等腰三角形．故图中等腰三角形有3个．故答案为：3．28．解：∵∠B＝40°，∠C＝32°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°，由作图可知：BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）÷2＝70°，∴∠DAC＝∠BAC﹣∠BAD＝38°．29．证明：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACB，∴∠EBC＝，，∴∠EBC＝∠ECB，∴EB＝EC，∴AE垂直平分BC，∴AD⊥BC．30．解：（1）解得，∵若关于x、y的二元一次方程组的解都为正数，∴，解得：a＞1；（2）∵二元一次方程组的解是一个等腰三角形的一条腰和一条底边的长，这个等腰三角形的周长为12，∴2（a﹣1）+a+2＝12，解得：a＝4，∴x＝3，y＝6，故3，3，6不能组成三角形，∴2（a+2）+a﹣1＝12，解得：a＝3，∴x＝2，y＝5，故2，5，5能组成等腰三角形，∴a的值是3．31．证明：∵∠1＝∠2，∴DB＝CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SAS），∴AB＝AC．。
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人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练一、选择题（本大题共10道小题）1. 如图，已知P A＝PB，在证明∠A＝∠B时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：甲：作底边AB的中线PC；乙：作PC平分∠APB交AB于点C.则()A．甲、乙两种作法都正确B．甲的作法正确，乙的作法不正确C．甲的作法不正确，乙的作法正确D．甲、乙两种作法都不正确2. 已知实数x、y满足|x－4|＋y－8＝0，则以x、y的值为两边长的等腰三角形的周长是()A. 20或16B. 20C. 16D. 以上答案均不对3. 如图，△ABC中，AB＝AC，AD是∠BAC的平分线，已知AB＝5，AD＝3，则BC的长为()A. 5B. 6C. 8D. 104. 如图，∠AOB＝50°，OM平分∠AOB，MA⊥OA于点A，MB⊥OB于点B，则∠MAB等于()A．50°B．40°C．25°5. 如图，下列条件不能推出△ABC是等腰三角形的是()A．∠B＝∠C B．AD⊥BC，∠BAD＝∠CADC．AD⊥BC，BD＝CD D．AD⊥BC，∠BAD＝∠ACD6. 如图所示，△ABC是等边三角形，D为AB的中点，DE⊥AC，垂足为E. 若AE=1，则△ABC的边长为()A. 2B. 4C. 6D. 87. 如图，在五边形ABCDE中，AB＝AC＝AD＝AE，且AB∥ED，∠EAB＝120°，则∠BCD的度数为()A．150°B．160°C．130°D．60°8. 如图，在△ABC中，∠BAC＝72°，∠C＝36°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，则图中有等腰三角形()A．0个B．1个C．2个D．3个9. 如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点. 已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形．．．．．，那么符合题意的点C的个数是()A. 6B. 7C. 8D. 910. “三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角．这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在点O相连并可绕点O转动，点C固定，OC＝CD＝DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE＝75°，则∠CDE的度数是()A．60°B．65°C．75°D．80°二、填空题（本大题共6道小题）11. 如图，在等边三角形ABC中，点D在边AB上，点E在边AC上，将△ADE 折叠，使点A落在BC边上的点F处，则∠BDF＋∠CEF＝________°.12. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且BC＝BD.若∠CBD＝46°，则∠A＝________°.13. 在△ABC中，若∠A＝100°，∠B＝40°，AC＝5，则AB＝________．14. 如图，BO平分∠CBA，CO平分∠ACB，MN过点O且MN∥BC，设AB＝12，AC＝18，则△AMN的周长为________．15. 如图，在△ABC中，若AB＝AC＝8，∠A＝30°，则S△ABC＝________．16. 一个等腰三角形的一边长是2，一个外角是120°，则它的周长是________．三、解答题（本大题共4道小题）17. 如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC的中点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC 于点F.求证：DE＝DF.18. 如图，在等边三角形ABC中，D为AC上一点，E为AB延长线上一点，DE ⊥AC交BC于点F，且DF＝EF.(1)求证：CD＝BE；(2)若AB＝12，求BF的长．19. 如图，将一张长方形的纸条ABCD沿EF折叠，若折叠后∠AGC′＝48°，AD交EC′于点G.(1)求∠CEF的度数；(2)求证：△EFG是等腰三角形．20. 如图，在等边三角形ABC中，点D，E分别在边BC，AC上，且DE∥AB，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F.求证：DF＝2DC.人教版八年级数学13.3 等腰三角形培优训练-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】A2. 【答案】B【解析】∵|x －4|＋y －8＝0，∴x －4＝0，y －8＝0，解得x ＝4，y ＝8.分两种情况讨论：①当4为腰时，根据三角形三边关系知4＋4＝8，∴这样的等腰三角形不存在；②当8为腰时，则有4＋8>8，这样能够组成等腰三角形，∴此三角形的周长是8＋8＋4＝20.3. 【答案】C 【解析】∵AB ＝AC ，AD 平分∠BAC ，∴根据等腰三角形三线合一性质可知AD ⊥BC ，BD ＝CD ，在Rt △ABD 中，AB ＝5，AD ＝3，由勾股定理得BD ＝4，∴BC ＝2BD ＝8.4. 【答案】C[解析] ∵OM 平分∠AOB ，MA ⊥OA 于点A ，MB ⊥OB 于点B ，∴∠AOM ＝∠BOM ＝25°，MA ＝MB.∴∠OMA ＝∠OMB ＝65°.∴∠AMB ＝130°.∴∠MAB ＝12×(180°－130°)＝25°.故选C.5. 【答案】D[解析] 选项A 由等角对等边可得△ABC 是等腰三角形；选项B 由所给条件可得△ADB ≌△ADC ，由全等三角形的性质可得AB ＝AC ；选项C 由垂直平分线的性质可得AB ＝AC ；选项D 不可以得到AB ＝AC. 6. 【答案】B7. 【答案】A[解析] ∵AB ∥ED ，∴∠E ＝180°－∠EAB ＝180°－120°＝60°. 又∵AD ＝AE ，∴△ADE 是等边三角形．∴∠EAD ＝60°.∴∠BAD ＝∠EAB －∠EAD ＝120°－60°＝60°.∵AB ＝AC ＝AD ，∴∠B ＝∠ACB ，∠ACD ＝∠ADC.在四边形ABCD 中，∠BCD ＝∠B ＋∠ADC ＝12(360°－∠BAD)＝12×(360°－60°)＝150°. 故选A.8. 【答案】D[解析] ∵∠BAC ＝72°，∠C ＝36°，∴∠ABC ＝72°.∴∠BAC ＝∠ABC. ∴CA ＝CB.∴△ABC 是等腰三角形．∵∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，∴∠DAB＝∠CAD＝36°.∴∠CAD＝∠C.∴CD＝AD，∴△ACD是等腰三角形．∵∠ADB＝∠CAD＋∠C＝72°，∴∠ADB＝∠B.∴AD＝AB.∴△ADB是等腰三角形．9. 【答案】C10. 【答案】D[解析] ∵OC＝CD＝DE，∴∠O＝∠ODC，∠DCE＝∠DEC.∴∠DCE＝∠O＋∠ODC＝2∠ODC.∵∠O＋∠OED＝3∠ODC＝∠BDE＝75°，∴∠ODC＝25°.∵∠CDE＋∠ODC＝180°－∠BDE＝105°，∴∠CDE＝105°－∠ODC＝80°.二、填空题（本大题共6道小题）11. 【答案】120[解析] 由于△ABC是等边三角形，所以∠A＝60°.所以∠ADE＋∠AED＝120°.因为将△ADE折叠，使点A落在BC边上的点F处，所以∠ADE＝∠EDF，∠AED＝∠DEF.所以∠ADF＋∠AEF＝2(∠ADE＋∠AED)＝240°.所以∠BDF＋∠CEF＝360°－(∠ADF＋∠AEF)＝120°.12. 【答案】46[解析] ∵BC＝BD，∠CBD＝46°，∴∠C＝∠BDC＝12(180°－46°)＝67°.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝67°.∴∠A＝46°.13. 【答案】514. 【答案】30[解析] ∵MN∥BC，∴∠MOB＝∠OBC. ∵∠OBM＝∠OBC，∴∠MOB＝∠OBM.∴MO＝MB.同理NO＝NC.∴△AMN的周长＝AM＋MO＋AN＋NO＝AM＋MB＋AN＋NC＝AB＋AC＝30.15. 【答案】16[解析] 如图，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则△ADC是含30°角的直角三角形，那么DC＝12AC＝4，∴S△ABC＝12AB·DC＝12×8×4＝16.16. 【答案】6[解析] 已知三角形的一外角为120°，则相邻内角度数为60°，那么含有60°角的等腰三角形是等边三角形．已知等边三角形的一边长为2，则其周长为6.三、解答题（本大题共4道小题）17. 【答案】证明：连接AD.∵AB＝AC，D为BC的中点，∴AD平分∠BAC.又∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF.18. 【答案】解：(1)证明：如图，过点D作DM∥AB，交CF于点M，则∠MDF＝∠E.∵△ABC是等边三角形，∴∠CAB＝∠CBA＝∠C＝60°.∵DM∥AB，∴∠CDM＝∠CAB＝60°，∠CMD＝∠CBA＝60°.∴△CDM是等边三角形．∴CM＝CD＝DM.在△DMF 和△EBF 中，⎩⎨⎧∠MDF ＝∠E ，DF ＝EF ，∠DFM ＝∠EFB ，∴△DMF ≌△EBF(ASA)．∴DM ＝BE. ∴CD ＝BE.(2)∵ED ⊥AC ，∠CAB ＝∠CBA ＝60°， ∴∠E ＝∠FDM ＝30°. ∴∠BFE ＝∠DFM ＝30°. ∴BE ＝BF ，DM ＝MF.∵△DMF ≌△EBF ，∴MF ＝BF. ∴CM ＝MF ＝BF.又∵BC ＝AB ＝12，∴BF ＝13BC ＝4.19. 【答案】解：(1)∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠BEG ＝∠AGC′＝48°. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠CEF ＝12(180°－48°)＝66°. (2)证明：∵四边形ABCD 是长方形， ∴AD ∥BC.∴∠GFE ＝∠CEF. 由折叠的性质得∠CEF ＝∠C′EF ， ∴∠GFE ＝∠C′EF.∴GE ＝GF ，即△EFG 是等腰三角形．20. 【答案】证明：∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A ＝∠B ＝∠ACB ＝60°. ∵DE ∥AB ，∴∠EDC ＝∠B ＝60°，∠DEC ＝∠A ＝60°. ∵EF ⊥DE ，∴∠DEF ＝90°. ∴∠F ＝90°－∠EDC ＝30°.∵∠ACB＝∠EDC＝∠DEC＝60°，∴△EDC是等边三角形．∴DE＝DC. ∵∠DEF＝90°，∠F＝30°，∴DF＝2DE＝2DC.。