高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修习题：第一章应用案巩固提升 含答案
[A 基础达标]
1．给出以下几个说法：
①水平放置的角的直观图一定是角； ②相等的角在直观图中仍相等； ③相等的线段在直观图中仍相等；
④若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍平行． 其中正确说法的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
解析：选B ．由斜二测画法的规则知，结论①与④是正确的，故选B ． 2．如图所示的直观图的原平面图形ABCD 是( )
A ．任意梯形
B ．直角梯形
C ．任意四边形
D ．平行四边形
解析：选B ．原图形ABCD 中，必有AB ⊥AD ，AD ∥BC ，且AD >BC ，故ABCD 是直角梯形．
3．如图所示的直观图是将正方体模型放置在你的水平视线的左下角而绘制的，其中正确的是( )
解析：选A.根据把模型放在水平视线的左下角绘制的特点，并且由几何体的直观图画法及立体图形中虚线的使用知A 正确．
4．已知两个圆锥，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm ，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm ，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A ．2 cm
B ．3 cm
C ．2.5 cm
D ．5 cm
解析：选D ．圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z 轴平行的线段长度不变，仍为5 cm ，故选D ．
5. 水平放置的△ABC 的斜二测直观图如图所示，已知B ′C ′∥O ′y ′，B ′C ′＝4，A ′C ′＝3，则△ABC 中AB 边上的中线的长度为( )
A.
732
B ．73
C ．5
D ．52
解析：选A.把直观图还原成平面图形如图，得△ABC 为直角三角形，BC ＝8，AC ＝3，则AB 边上的中线为1
2
82＋32＝
732
.
6．如图，△A′B′C′为水平放置的△ABC的直观图，则△ABC中，最长的边为________．
解析：由B′C′∥O′y′，A′B′∥O′x′知，△ABC为直角三角形，∠B为直角，AC为斜边，故最长边为AC.
答案：AC
7．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 m，5 m，10 m，四棱锥的高为8 m，若以长、宽、高所在直线分别为x，y，z轴建立坐标系，按1∶500的比例画出它的直观图，那么直观图中长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为________．
解析：由比例可知长方体的长、宽、高和棱锥的高应分别为4 cm，1 cm，2 cm和1.6 cm，再结合直观图，图形的尺寸应为4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm.
答案：4 cm，0.5 cm，2 cm，1.6 cm
8. 如图，平行四边形O′P′Q′R′是四边形OPQR的直观图，若O′P′＝3，O′R′＝1，则原四边形OPQR的周长为________．
解析：由四边形OPQR的直观图可知原四边形是矩形，且OP＝3，OR＝2，所以原四边形OPQR的周长为2×(3＋2)＝10.
答案：10
9．如图所示，在平面直角坐标系中，各点坐标为O(0，0)，A(1，3)，B(3，1)，C(4，6)，D(2，5)．试画出四边形ABCD的直观图．
解：(1)先画x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°(如图1)．
(2)在原图中作AE⊥x轴，垂足为E(1，0)．
(3)在x′轴上截取O′E′＝OE，作A′E′∥y′轴，截取E′A′＝1.5.
(4)同理确定点B′，C′，D′，其中B′G′＝0.5，C′H′＝3，D′F′＝2.5.
(5)连线成图(去掉辅助线)(如图2)．
10．画一个上、下底面边长分别为0.8 cm 、1.5 cm ，高为1.5 cm 的正三棱台的直观图． 解：(1)画轴．画x 轴、y 轴、z 轴三轴相交于O ，使∠xOy ＝45°，∠xOz ＝90°； (2)画下底面．在y 轴的正方向上截取线段OC ，使OC ＝3
4
cm ，在y 轴负半轴上截取OD ＝
3
8
cm ，过D 作线段AB ∥x 轴，使D 为AB 中点，AB ＝1.5 cm ，连接BC ，CA ，则△ABC 为正三棱台的下底面；
(3)画上底面．在z 轴上截取线段OO ′，使OO ′＝1.5 cm.过O ′点作O ′x ′∥Ox ，O ′y ′∥Oy .建立坐标系x ′O ′y ′，在x ′O ′y ′中，重复(2)的步骤得上底面A ′B ′C ′(取O ′D ′＝3
15
cm ，A ′B ′＝0.8 cm ，O ′C ′＝2315
cm)．
(4)连线成图．连接AA ′，BB ′，CC ′，擦去辅助线，被遮线画为虚线，则三棱台ABC -A ′B ′C ′为要求画的三棱台的直观图．
[B 能力提升]
1．如图所示水平放置的正方形ABCO ，在直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为(2，2)，则由斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B ′到x ′轴的距离为( )
A.
22 B ．1 C. 2 D ．2
解析：
选A.如图，由斜二测画法可知，在新坐标系x ′O ′y ′中，B ′C ′＝1，∠x ′C ′B ′＝45°，过B ′作x ′轴的垂线，垂足为D ，在Rt △B ′DC ′中，B ′D ＝B ′C ′sin 45°＝1×
22＝22
. 2. 如图所示，四边形ABCD 是一平面图形水平放置的直观图．在直观图中，四边形ABCD 是一直角梯形，AB ∥CD ，AD ⊥CD ，且BC 与y ′轴平行．若AB ＝6，CD ＝4，则这个平面图形的实际面积是________．
解析：由斜二测画法规则知，该图的平面图形A ′B ′C ′D ′也是一直角梯形，其中B ′C ′⊥C ′D ′，
A ′
B ′＝6，
C ′
D ′＝4，B ′C ′＝2BC ＝2·6－4
sin 45°
＝42，所以原平面图形A ′B ′C ′D ′的面积为S A ′B ′C ′D ′
＝1
2
(6＋4)×42＝20 2. 答案：20 2
3．如图为一几何体的展开图，沿图中虚线将它们折叠起来，请画出其直观图．
解：由题设中所给的展开图可以得出，此几何体是一个四棱锥，其底面是一个边长为2的正方形，垂直于底面的侧棱长为2，其直观图如图所示．
4．(选做题)如图所示，梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝4 cm ，CD ＝2 cm ，∠DAB ＝30°，AD ＝3 cm ，试画出它的直观图．
解：画法步骤：
(1)如图①所示，在梯形ABCD 中， 以边AB 所在的直线为x 轴，点A 为原点， 建立平面直角坐标系xOy .如图②所示， 画出对应的x ′轴，y ′轴，使∠x ′O ′y ′＝45°.
(2)在图①中，过D 点作DE ⊥x 轴，垂足为E .在图②中，
在x ′轴上取A ′B ′＝AB ＝4 cm ，
A ′E ′＝AE ＝3
2
3≈2.598 cm ；
过点E ′作E ′D ′∥y ′轴，使E ′D ′＝12ED ＝12×3
2＝0.75 cm ，再过点D ′作D ′C ′∥x ′轴，且使D ′C ′
＝DC ＝2 cm.
(3)连接A ′D ′，B ′C ′，并擦去x ′轴与y ′轴及其他一些辅助线，如图③所示，则四边形A ′B ′C ′D ′就是所求作的直观图．。
2021高中同步创新课堂数学优化方案北师大版必修3习题：第1章§1应用案巩固提升 Word版含答案
[A基础达标]1．为了了解某地1 200名国家公务员的英语水平状况，从中抽取100名公务员的考试成果进行统计分析．在这个问题中1 200名国家公务员的成果是()A．总体B．个体C．一个样本D．样本的容量答案：A2．为确保食品平安，质检部门检查一箱装有1 000件包装食品的质量，抽查总量的2%.在这个问题中下列说法正确的是()A．总体是指这箱1 000件包装食品B．个体是一件包装食品C．样本是按2%抽取的20件包装食品D．样本容量为20解析：选D.由从总体中抽取样本的意义知D是正确的．3．下列调查方式中合适的是()A．要了解一批节能灯的使用寿命，接受普查方式B．调查你所在班级同学的身高，接受抽样调查方式C．调查沱江某段水域的水质状况，接受抽样调查方式D．调查全市中同学每天的就寝时间，接受普查方式解析：选C.要了解节能灯的使用寿命，由于调查具有破坏性，所以宜实行抽样调查的方式；要调查班级同学的身高，由于人数较少，宜接受普查的方式；对沱江某段水域的水质状况、全市中同学每天的就寝时间的调查都不宜接受普查的方式．4．下列调查：①工厂检查某批产品中次品状况；②学校调查同学桌凳的损坏状况；③某电视台调查近期的收视率；④调查全国同学的视力状况．其中适合用抽样调查的有()A．①③B．③④C．①③④D．①②③④解析：选C.②中学校调查同学桌凳的损坏状况需全面调查，适合用普查，其他三种适合用抽样调查．5．为了了解高一班级同学的视力状况，特殊是近视率问题，抽测了其中100名同学的视力状况．在这个过程中，100名同学的视力状况(数据)是()A．总体B．个体C．总体的一个样本D．样本容量解析：选C.100名同学的视力状况(数据)是从总体中抽取的一部分个体所组成的集合，所以是总体的一个样本，故选C.6．某公司新上市一款MP5，为了调查产品在用户中受欢迎的状况，接受________形式调查为好(填“普查”或“抽样调查”)．答案：抽样调查7．从总数为N的一批零件中抽取一个容量为20的样本，若每个样本被抽取的可能性为0.1，则N＝________.解析：由题意知20N＝0.1，所以N＝200.1＝200.答案：2008．某市有高一同学6 500名，为了了解这些同学入学考试的数学成果，从6 500份数学答卷中随机地抽取了300份进行统计分析．在这个问题中，总体是________，样本是________．解析：调查的对象是“同学入学考试的数学成果”，所以总体是6 500名同学入学考试的数学成果，样本是300名同学入学考试的数学成果．答案：6 500名同学入学考试的数学成果300名同学入学考试的数学成果9．对工业生产线上的产品实行质量监控，我们接受抽样调查的方法，为什么不用普查？解：对工业生产线上的产品实行质量监控，需要实时监控生产线的工作状态，在生产过程中不知道总体所包含的个体数目，不能进行普查，虽然等生产完一批产品之后可以进行普查，但对于实时监控生产线的工作状态没有任何挂念，故不能进行普查．10．某校高一、高二和高三班级分别有同学1 000名、800名和700名，为了了解全校同学的视力状况，要抽取100名同学进行视力测试．某个调查小组调查了高二班级的100名同学，由此作出推断，你认为这样的调查结果精确吗？解：由于不同班级同学的视力状况差异较大，为了精确，应从三个班级中各抽取一部分同学进行调查，只调查高二班级的100名同学，只能代表高二班级同学的视力状况，代表不了全校同学的视力状况．从三个班级分别抽取同学时，应按各班级同学占总同学数的百分比抽取，不能在三个班级中平均抽取．[B力量提升]1．下列调查方式合适的是()A．要了解一批灯泡的使用寿命，接受普查方式B．要了解收看中心电视台的“法制报道”栏目的状况，接受普查方式C．为了保证“天宫一号”太空舱放射成功，对重要零件实行抽查方式D．要了解外国人对“上海世博会”的关注度，可接受抽查方式答案：D2．现从80件产品中随机抽出20件进行质量检验．下列说法中正确的是()A．80件产品是总体B．20件产品是样本C．样本容量是80D．样本容量是20解析：选D.总体是80件产品的质量；样本是抽取的20件产品的质量；总体容量是80；样本容量是20.3．依据下列问题填空(“普查”、“抽样调查”中选一)(1)了解我们班级的每个同学穿几号鞋，应当用________；(2)了解一批灯泡的寿命，应当用________；(3)江西省农科所要考察一块试验田水稻的穗粒饱满状况，应当用________．解析：(1)要了解班中每个同学穿几号鞋，应当用普查．(2)检验灯泡的寿命具有破坏性，应当用抽样调查．(3)一块试验田中水稻株数太多，应当用抽样调查．答案：(1)普查(2)抽样调查(3)抽样调查4．(选做题)在某电视台工作的小张接到一个去调查某电视节目的收视率的任务，他想：地铁站人多且杂，去那里调查所得到的样本会具有代表性，你认为他的想法对吗？解：虽然地铁站人多且杂，但有些人，如老人、残疾人等一般很少乘地铁，且他们在家看电视的时间往往较多，小张这样选择样本忽视了这些人，所以他这样的抽样不具有代表性．。
高中同步创新课堂数学优化方案习题北师大必修：第一章§第课时应用案巩固提升 含解析
[A基础达标]1．已知M＝{x|x－1<2}，那么()A．2∈M，－2∈M B．2∈M，－2∉MC．2∉M，－2∉M D．2∉M，－2∈M解析：选A.若x＝2，则x－1＝1<2，所以2∈M；若x＝－2，则x－1＝－3<2，所以－2∈M.故选A.2．设集合A＝{x∈Z|－1<x<2}，则下列可表示集合A的是()A．{－1，0，1} B．{－1，0，1，2}C．{0，1} D．{0，1，2}解析：选C.A＝{x∈Z|－1<x<2}＝{0，1}．3．对集合{1，5，9，13，17}用描述法来表示，其中正确的一个是()A．{x|x是小于18的正奇数}B．{x|x＝4k＋1，k∈Z，且k<5}C．{x|x＝4t－3，t∈N，且t≤5}D．{x|x＝4s－3，s∈N＋，且s≤5}解析：选D.因为A中含有3，7，11，15，A不正确，B中含有无穷多个元素，不正确．对C，当t＝0时，x＝－3，不正确，故选D.4．下列说法正确的个数为()①集合{小于1的正有理数}是一个有限集；②集合{y|y＝x2－1}与集合{(x，y)|y＝x2－1}是同一个集合；③由1，32，64，|－32|，0.5这些数组成的集合有5个元素．A．0个B．1个C．2个D．3个解析：选A.①小于1的正有理数是有无限个的，故①错；②中集合{y|y＝x2－1}的元素为数，而集合{(x，y)|y＝x2－1}的元素是点，故②错；③由集合元素的互异性知这些数组成的集合有4个元素，故③错．5．已知A ＝{1，0，－1，2}，B ＝{y |y ＝|x |，x ∈A }，则B ＝( )A ．{0，2}B ．{1，0，2}C ．{1，2}D ．{1，0}解析：选B.因为x ∈A ＝{1，0，－1，2}．所以|x |＝0，1，2，即B ＝{1，0，2}．6．方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，则a ＝________，c ＝________． 解析：方程ax 2＋5x ＋c ＝0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，13，那么12，13是方程的两根，即有⎩⎪⎨⎪⎧12＋13＝－5a ，12×13＝c a，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－6，c ＝－1. 答案： －6 －17.如图所示，图中阴影部分(含边界)的点的坐标的集合表示为________．解析：题图中阴影部分点的横坐标－1≤x ≤3，纵坐标0≤y ≤3，故用描述法可表示为⎩⎪⎨⎪⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫－1≤x ≤3，0≤y ≤3. 答案：⎩⎨⎧（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1≤x ≤3，0≤y ≤3 8．集合A ＝{1，2，3，5}，当x ∈A 时，若x －1∉A ，且x ＋1∉A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，则A 中孤立元素的个数为________．解析：因为x ＝5时，x －1＝4∉A ，x ＋1＝6∉A ，所以A 中的孤立元素为5.答案：19．设集合B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N .(1)试判断元素1，2与集合B的关系；(2)用列举法表示集合B.解：(1)当x＝1时，62＋1＝2∈N.当x＝2时，62＋2＝32∉N.所以1∈B，2∉B.(2)因为62＋x∈N，x∈N，所以2＋x只能取2，3，6.所以x只能取0，1，4.所以B＝{0，1，4}．10．已知集合A＝{5，|a＋1|，2a＋1}，若3∈A，求实数a的值．解：因为3∈A，所以|a＋1|＝3或2a＋1＝3，解得a＝2或－4或1，若a＝2，元素有5，3，5不合题意，舍去；若a＝－4，元素有5，3，－7，符合题意；若a＝1，元素有5，2，3，符合题意．综上知a＝1或－4.[B能力提升]1．现定义一种运算⊗，当m，n都是正偶数或都是正奇数时，m⊗n＝m＋n，当m，n中一个为正奇数，另一个为正偶数时，m⊗n＝mn.则集合M＝{(a，b)|a⊗b＝16，a∈N＋，b∈N＋}中元素的个数为()A．22 B．20C．17 D．15解析：选C.①当a，b都是正偶数时，(a，b)可以是(2，14)，(4，12)，(6，10)，(8，8)，(14，2)，(12，4)，(10，6)，共7个；当a，b都是正奇数时，(a，b)可以是(1，15)，(3，13)，(5，11)，(7，9)，(9，7)，(11，5)，(13，3)，(15，1)，共8个；②当a，b中一个为正奇数，一个为正偶数时，(a，b)可以是(1，16)，(16，1)，共2个．因此满足题意的元素个数为17.2．(2016·山西省重点中学检测)有下面五种表示方法：①{x ＝－1，y ＝2}；②⎩⎨⎧⎭⎬⎫（x ，y ）⎪⎪⎪⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝2；③{－1，2}；④{(－1，2)}；⑤{x ，y |x ＝－1或y ＝2}． 其中能正确表示方程组⎩⎨⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集的是________． 解析：方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y ＝0，x －y ＋3＝0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝2.所以该方程组的解集应为点集，其正确形式是②④.答案：②④3．已知集合A ＝{x |y ＝x 2＋3}，B ＝{y |y ＝x 2＋3}，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3}，它们所表示的集合相同吗？试说明理由．解：因为三个集合中代表的元素性质互不相同，所以它们是互不相同的集合．理由如下：集合A 中代表的元素是x ，满足条件y ＝x 2＋3中的x ∈R ，所以A ＝R ；集合B 中代表的元素是y ，满足条件y ＝x 2＋3中的y 的取值范围是y ≥3，所以B ＝{y |y ≥3}．集合C 中代表的元素是(x ，y )，这是个点集，这些点在抛物线y ＝x 2＋3上，所以C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋3，x ∈R }．4．(选做题)集合M 的元素为自然数，且满足：如果x ∈M ，则8－x ∈M ，试回答下列问题：(1)写出只有一个元素的集合M ；(2)写出元素个数为2的所有集合M ；(3)满足题设条件的集合M 共有多少个？解：(1)M 中只有一个元素，根据已知必须满足x＝8－x，所以x＝4.故含有一个元素的集合M＝{4}．(2)当M中只含两个元素时，其元素只能是x和8－x，从而含两个元素的集合M应为{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}．(3)满足条件的M是由集合{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}中的元素组成，它包括以下情况：①由以上1个集合中元素组成的集合有{4}，{0，8}，{1，7}，{2，6}，{3，5}共5个；②由2个组成的有{4，0，8}，{4，1，7}，{4，2，6}，{4，3，5}，{0，8，1，7}，{0，8，2，6}，{0，8，3，5}，{1，7，2，6}，{1，7，3，5}，{2，6，3，5}共10个；③由3个组成的有{4，0，8，1，7}，{4，0，8，2，6}，{4，0，8，3，5}，{4，1，7，2，6}，{4，1，7，3，5}，{4，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6}，{0，8，1，7，3，5}，{1，7，2，6，3，5}，{0，8，2，6，3，5}共10个；④由4个组成的有{4，0，8，1，7，2，6}，{4，0，8，1，7，3，5}，{4，0，8，2，6，3，5}，{4，1，7，2，6，3，5}，{0，8，1，7，2，6，3，5}共5个；⑤由5个组成的有{4，0，8，1，7，2，6，3，5}，共1个．综上可知，满足题设条件的集合M共有31个．。
高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修2习题：第一章 2应用案巩固提升 含答案
[A 基础达标]1．若一个圆锥的轴截面(过圆锥顶点和底面直径的截面)是等边三角形，其面积为3，则这个圆锥的体积为( )A ．3πB ．33πC.3π D ．32π解析：选B ．设圆锥的底面半径为R ，依题意知该圆锥的高即轴截面的高h ＝32·2R ＝3R ，所以12·2R ·3R ＝3，解得R ＝1.所以V ＝13×π×12×3＝33π.2．将两个棱长为10 cm 的正方体铜块熔化后铸成底面边长为5 cm 的正四棱柱，则该四棱柱的高为( )A ．8 cmB ．80 cmC ． 40 cmD ．165cm解析：选B ．设正四棱柱的高为h cm ，依题意得5×5×h ＝2×103，解得h ＝80(cm)． 3. 一个棱锥的三视图如图所示，则它的体积为( )A.12 B ．32C ．1D ．13解析：选A.由三视图可知该几何体为四棱锥，棱锥的体积V ＝13×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋22×1×1＝12. 4．正三棱柱的侧面展开图是边长为2和4的矩形，则该正三棱柱的体积是( )A.839B ．439C.239D ．439或839解析：选D ．当2为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ＝23，底面面积S ＝34a 2＝39，正三棱柱的高h ＝4，所以正三棱柱的体积V ＝Sh＝439；当4为正三棱柱的底面周长时，正三棱柱底面三角形的边长a ′＝43，底面面积S ′＝34a ′2＝439，正三棱柱的高h ′＝2，所以正三棱柱的体积V ′＝S ′h ′＝839.所以正三棱柱的体积为439或839.5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( ) A ．8－2π B ．8－πC ．8－π2D ．8－π4解析：选B ．这是一个正方体切掉两个14圆柱后得到的几何体，如图，几何体的高为2，V ＝23－14×π×12×2×2＝8－π.故选B ．6．一个长方体的三个面的面积分别是2，3，6，则这个长方体的体积为________． 解析：设长方体的棱长分别为a ，b ，c ，则⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝2，ac ＝3，bc ＝6，三式相乘可知(abc )2＝6，所以长方体的体积V ＝abc ＝ 6.答案： 67．如图是一个几何体的三视图，其中主视图和左视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为2的等腰梯形，则该几何体的体积是________．解析：由三视图可知此几何体为一圆台，上底半径为2，下底半径为1，不难求出此圆台的高，如图，h ＝（2）2－12＝1，故体积V ＝13π·(22＋2×1＋12)×1＝7π3.答案：7π38．若圆柱的高扩大为原来的4倍，底面半径不变，则圆柱的体积扩大为原来的__________倍；若圆柱的高不变，底面半径扩大为原来的4倍，则圆柱的体积扩大为原来的________倍．解析：圆柱的体积公式为V 圆柱＝πr 2h ，底面半径不变，高扩大为原来的4倍时，其体积也变为原来的4倍；高不变，底面半径扩大为原来的4倍时，其体积变为原来的42＝16倍．答案：4 169．四边形ABCD 中，A (0，0)，B (1，0)，C (2，1)，D (0，3)，将四边形绕y 轴旋转一周，求所得旋转体的体积．解：因为C (2，1)，D (0，3)，所以圆锥的底面半径r ＝2，高h ＝2.所以V 圆锥＝13πr 2h ＝13π×22×2＝83π.因为B (1，0)，C (2，1)，所以圆台的两个底面半径R ＝2，R ′＝1， 高h ′＝1.所以V 圆台＝13πh ′(R 2＋R ′2＋RR ′)＝13π×1×(22＋12＋2×1)＝73π， 所以V ＝V 圆锥＋V 圆台＝5π. 10．一几何体的三视图如图： (1)画出它的直观图； (2)求该几何体的体积．解：(1)其直观图如下．(2)这个几何体是一个三棱锥． 由三视图知：AC ＝5 cm ，作BD ⊥AC 于D ，则BD ＝125cm ，得S 底＝5×125×12＝6(cm 2)，高h ＝6 cm ，得V ＝13×6×6＝12(cm 3)．[B 能力提升]1．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A ．2πB ．3πC ．5πD ．7π解析：选B ．由三视图可知，此几何体是底面半径为1，高为4的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的14，根据对称性，可补全此圆柱如图，故体积V ＝34×π×12×4＝3π. 2．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h 正好相同，则h ＝________．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R ，则液体的体积为13πR 2h ，圆柱形容器内的液体体积为π⎝⎛⎭⎫a 22h .根据题意，有13πR 2h ＝π⎝⎛⎭⎫a 22h ，解得R ＝32a .再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得32a a ＝h a ，所以h ＝32a .答案：32a3. 如图所示，已知三棱柱ABC -A ′B ′C ′，侧面B ′BCC ′的面积是S ，点A ′到侧面B ′BCC ′的距离是a ，求证：三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .证明：法一：如图所示，连接A ′B ，A ′C ，这样就把三棱柱分割成了两个棱锥．显然三棱锥A ′ABC 的体积是13V ，而四棱锥A ′BCC ′B ′的体积为13Sa ，故有13V ＋13Sa ＝V ，所以三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .法二：如图所示，将三棱柱ABC -A ′B ′C ′补成一个四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′，其中AC ∥BD ，AD ∥BC ，即ACBD 为一个平行四边形，显然三棱柱ABD A ′B ′D ′的体积与原三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积相等．因为四棱柱ACBD -A ′C ′B ′D ′以BCC ′B ′为底面，高为点A ′到面BCC ′B ′的距离，所以补形后的四棱柱的体积为Sa ，于是三棱柱ABC -A ′B ′C ′的体积V ＝12Sa .4．(选做题) 如图，有个水平放置的圆台形容器，上、下底面半径分别为2分米、4分米，高为5分米，现以每秒3立方分米的速度往容器里面注水，当水面的高度为3分米时，求所用的时间．(精确到0.01秒)解：如图，设水面的半径为r 分米，则EH ＝(r －2)分米，BG ＝2分米，在△ABG 中，因为EH ∥BG ，所以AH AG ＝EHBG .因为AH ＝2分米，所以25＝r －22.所以r ＝145(分米)．所以当水面的高度为3分米时，容器中水的体积为V 水＝13π·3⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1452＋145×4＋42＝876π25(分米3)．所以所用的时间为876π253＝292π25≈36.69(秒)．所以所用的时间约为36.69秒．。
高中同步创新课堂数学优化方案讲义课件(北师大必修1)：第一章§3.3.2
第一章集合3・2全集与补集预习虜堕阜锻学习」研读•思考・尝试升教材助读,1.问题导航(1)什么是全集？(2)什么是补集？(3)A与(皿有公共元素吗？2.例题导读(1)P13例3.通过本例学习，学会用集合的运算表示Venn图中指定的区域.⑵P13例4.通过本例学习,掌握补集的有关运算.试一试：教材P14练习T3、T4你会吗？新包提炼"1.全集在研究某些集合的时候，这些集合往往是某个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用符号U 表示全集含有我们所要研究的这些集合的全部元素.2.补集3•补集的性质(1)JU= —；(2)[0=_ ；(3)AU([J U A)=U•0 A- - - - - 9(4)亦(S)= _________ MW" C 皿)= ____________ ; (6)^4)W(/B)= ___________________ ；(7)(〔皿)Q(JB) =自我尝试r1. 判断正误(正确的打“V”，错误的打"X” )(1)集合［Q N与［:zN相等.(X )(2)—个集合的补集一定含有元素.(x )(3)设集合S是全部的三角形，集合A是直角三角形，则LA 是斜三角形.(7 )(4)已知U=R, A = "l古＞0},则〔必={划兀＜1}. ( x )解析：(I)C Z N^C Q N； (2)当子集等于全集时不成立；(3)正确, 因为｛直角三角形｝U｛斜三角形｝= ｛三角形｝；(4)A = ｛xlx>l｝, 〔t/A = ｛x\x W1｝ •2.已知全集口=& 集合P={xlx2^l},那么〔/=( D )A. {xlx< —1}B・{xlx>l}C.{xl-l<x<l}D.{xlx< — 1或x>l}解析：因为尸={兀1一1冬兀01}, U=R,所以［/=〔迂={血v — l 或x>l}.3.已知全集U={l f 2, 3, 4},集合4={1, 4}, B={2, 4}, 则b(4UB)=( C)A. {1, 3, 4}B. {3, 4}C. {3}D. {4}解析：因为AUB={1, 2, 4}, U=[l t 2, 3, 4},所以f/AUB) = {3}.4. 设全集 U={29 3, a 2+2a —3}9 集合 A = {2, l« + ll},〔皿= {5},则 a= 一4或2 •所以«=—4或2. 对“全集” “补集”的理解(1) “全集”是一个相对概念，并不是固定不变的，它是依据 解析：由题意知 卩。
2021高中同步创新课堂数学优化方案北师大版必修3习题：第1章习题课应用案巩固提升 Word版含答案
[A 基础达标]1．下列抽取样本的方式是简洁随机抽样的有( ) ①从无限多个个体中抽取50个个体作为样本；②箱子里有100支铅笔，今从中选取10支进行检验．在抽样操作时，从中任意拿出一支检测后再放回箱子里；③从50个个体中一次性抽取5个个体作为样本． A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个解析：选A.①不满足总体的个体数有限；②不满足不放回抽取的特点；③不满足逐个抽取的特点． 2．把样本容量为20的数据分组，分组区间与频数如下：10～20，2；20～30，3；30～40，4；40～50，5；50～60；4；60～70，2，则在区间10～50上的数据的频率是( )A ．0.05B ．0.25C ．0.5D ．0.7解析：选D.由题知，在区间10～50上的数据的频数是2＋3＋4＋5＝14，故其频率为1420＝0.7.3．某工厂的一、二、三车间在12月份共生产了3 600双皮靴，在出厂前检查这批产品的质量，打算接受分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的产品数分别为a 、b 、c ，且a 、b 、c 满足2b ＝a ＋c ，则二车间生产的产品数为( )A ．800B ．1 000C ．1 200D ．1 500解析：选C.由于2b ＝a ＋c ，所以二车间抽取的产品数占抽取产品总数的三分之一，依据分层抽样的性质可知，二车间生产的产品数占总数的三分之一，即为3 600×13＝1 200.4．甲、乙两名运动员在某项测试中的6次成果的茎叶图如图所示，x 1、x 2分别表示甲、乙两名运动员这项测试成果的平均数，s 1、s 2分别表示甲、 乙两名运动员这项测试成果的标准差，则有( )A ．x —1＞x —2，s 1＜s 2 B ．x —1＝x —2， s 1＝s 2C ．x —1＝x —2，s 1＜s 2 D ．x —1＝x —2，s 1＞s 2解析：选C.由于x —1＝15，x —2＝15，s 21＝373，s 22＝533，所以x —1＝x —2，s 1＜s 2. 5．一组数据的方差为s 2，平均数为x ，将这组数据中的每一个数都乘以2，所得的一组新数据的方差和平均数为( )A.12s 2，12x — B ．2s 2，2x —C ．4s 2，2x —D ．s 2，x —解析：选C.将一组数据的每一个数都乘以a ，则新数据组的方差为原来数据组方差的a 2倍，平均数为原来数据组的a 倍，故答案选C.6．在如图所示的茎叶图中，甲、乙两组数据的中位数分别是________、________．解析：甲组数据为：28，31，39，42，45，55，57，58，66，中位数为45.乙组数据为：29，34，35，42，46，48，53，55，67，中位数为46.答案：45 467．从某地区1 500位中年人中随机抽取100人，其是否常用微信的状况如下表所示：是否常用微信人数性别男 女 常用 32 28 不常用1822解析：设1 500位中年人中女性与男性不常用微信的人数分别为x ，y ，由x 15 00＝22100，得x ＝330；同理可得y ＝270.于是x －y ＝330－270＝60(人)． 答案：608．5 000辆汽车经过某一雷达测速区，其速度频率分布直方图如图所示，则时速超过70 km/h 的汽车数量为________．解析：由时速的频率分布直方图可知，时速超过70 km/h 的汽车的频率为图中70到80的矩形的面积，所以时速超过70 km/h 的汽车的频率为0.010×(80－70)＝0.1.由于共有5 000辆汽车，所以时速超过70 km/h 的汽车数量为5 000×0.1＝500. 答案：5009．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别是： 甲：8，6，7，8，6，5，9，10，4，7； 乙：6，7，7，8，6，7，8，7，9，5. (1)分别计算两组数据的平均数； (2)分别计算两组数据的方差；(3)依据计算结果，估量一下两名战士的射击水平谁更好一些．解：(1) x —甲＝110(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，x —乙＝110(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.(2)由方差公式s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]可求得s 2甲＝3.0，s 2乙＝1.2. (3)由x —甲＝x —乙，说明甲、乙两名战士的平均水平相当；又由于s 2甲＞s 2乙，说明甲战士射击状况波动大，因此乙战士比甲战士射击状况稳定． 10．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参与其中一组．在参与活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参与活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满足程度，现用分层抽样的方法从参与活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例； (2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．解：(1)设登山组人数为x ，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a ，b ，c ，则有x ·40%＋3xb4x ＝47.5%，x ·10%＋3xc4x ＝10%. 解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝1－50%－10%＝40%.即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15.[B 力量提升]1．若一个样本容量为8的样本的平均数为5，方差为2.现样本中又加入一个新数据5，此时样本容量为9，平均数为x —，方差为s 2，则( )A ．x —＝5，s 2＜2 B ．x —＝5，s 2＞2 C ．x —＞5，s 2＜2 D ．x —＞5，s 2＞2解析：选A.设18(x 1＋x 2＋…＋x 8)＝5，所以19(x 1＋x 2＋…＋x 8＋5)＝5，所以x —＝5，由方差定义及意义可知加新数据5后，样本数据取值的稳定性比原来强，所以s 2＜2，故选A.2．在某高校数学专业的160名同学中开展一项社会调查，先将同学随机编号为001，002，003，…，160，接受系统抽样的方法抽取样本，已知抽取的同学中最小的两个编号为007，023，那么抽取的同学中最大编号应当是( )A ．150B ．151C ．142D ．143解析：选B.由最小的两个编号为007，023可知，抽样间距为16，因此抽取人数的比例为116，即抽取10名同学，故抽取的同学中最大编号为7＋9×16＝151.3．一个总体中的80个个体编号为0，1，2，…，79，并依次将其分为8个组，组号为0，1，…，7，要用系统抽样的方法抽取一个容量为8的样本．即规定先在第0组随机抽取一个号码，记为i ，依次错位地得到后面各组的号码，即第k组中抽取个位数字为i＋k(当i＋k＜10时)或i＋k－10(当i＋k≥10时)的号码．当i＝6时，所抽到的8个号码是________．解析：由题意得，在第1组抽取的号码的个位数字是6＋1＝7，故应选17；在第2组抽取的号码的个位数字是6＋2＝8，故应选28，依次类推，应选39，40，51，62，73.答案：6，17，28，39，40，51，62，734．(选做题)从某学校高三班级共800名男生中随机抽取50名测量身高，据测量知被测同学身高全部介于155 cm和195 cm之间，将测量结果按如下方式分成八组；第一组155～160；其次组160～165；…；第八组190～195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第一组与第八组人数相同，第六组人数与第八组人数的和是第七组人数的2倍．(1)估量这所学校高三班级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数；(2)求第六组、第七组的频率并补充完整频率分布直方图．解：(1)由频率分布直方图得前五组频率和为(0.008＋0.016＋0.04＋0.04＋0.06)×5＝0.82，后三组频率和为1－0.82＝0.18，人数为0.18×50＝9(人)，这所学校高三班级全体男生身高在180 cm以上(含180 cm)的人数为800×0.18＝144(人)．(2)由频率分布直方图得第八组频率为0.008×5＝0.04，人数为0.04×50＝2(人)，设第六组人数为m，则第七组人数为9－2－m＝7－m.又m＋2＝2×(7－m)，所以m＝4，所以第六组人数为4人，第七组人数为3分别为0.016，0.012，画图如图所示．人，频率分别为0.08，0.06，相应的f iΔx i。
高中同步创新课堂数学优化方案习题北师大必修：第一章章末综合检测一 含解析
章末综合检测(一)(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知集合A＝{x|x(x＋1)＝0}，那么下列结论正确的是()A．0∈A B．1∈AC．－1∉A D．0∉A解析：选A.由于A＝{0，－1}，故选A.2．下列四种说法：①“所有很小的正数”能构成一个集合；②方程(x－1)2＝0的解的集合是{1，1}；③{1，3，5，7}与{3，7，5，1}表示同一个集合；④集合{(x，y)|y＝x2－1}与{y|y＝x2－1}表示同一个集合，其中正确的是() A．①④B．②③C．③D．③④解析：选C.对①，“很小的正数”无客观标准，不能构成集合，②不满足互异性，③中两集合所含元素完全相同，是同一个集合，④中一个集合为点集，一个为数集，两集合不同．3．对于集合A，B，若B A成立，则下列理解正确的是()A．集合B的任何一个元素都属于AB．集合B的任何一个元素都不属于AC．集合B中至少有一个元素属于AD．集合B中至少有一个元素不属于A解析：选A.若B A，即B是A的真子集，B中的任何元素都是A中的元素，故选A.4．设集合U＝{1，2，3，4}，S＝{1，3}，则∁U S＝()A．∅B．RC．U D．{2，4}解析：选D.因为U＝{1，2，3，4}，S＝{1，3}，所以∁U S＝{2，4}．5．方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3的解集是( ) A ．{2，－1}B ．{x ＝2，y ＝－1}C ．{(x ，y )|(2，－1)}D ．{(2，－1)}解析：选D.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，x －y ＝3的解集为{(2，－1)}．6．若集合M ＝{0，1，2，3，4}，N ＝{1，3，5}，P ＝M ∩N ，则P 的子集共有( )A ．2个B ．4个C ．6个D ．8个解析：选B.因为P ＝M ∩N ＝{1，3}，所以P 的子集有22＝4个．7.下列表示图形中的阴影部分的是( )A ．(A ∪C )∩(B ∪C )B ．(A ∪B )∩(A ∪C )C ．(A ∪B )∩(B ∪C )D ．(A ∪B )∩C解析：选A.阴影部分可表示为(A ∩B )∪C ＝(A ∪C )∩(B ∪C )．8．如果S ＝{1，2，3，4，5}，M ＝{1，3，4}，N ＝{2，4，5}，那么(∁S M )∩(∁S N )等于( )A ．∅B ． {1，3}C ．{4}D ．{2，5}解析：选A.法一：∁S M ＝{2，5}，∁S N ＝{1，3}，(∁S M )∩(∁S N )＝{2，5}∩{1，3}＝∅.法二：M∪N＝{1，2，3，4，5}，(∁S M)∩(∁S N)＝∁S(M∪N)＝∅.9．在集合{a，b，c，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d⊗(a⊕c)＝()A．a B．bC．c D．d解析：选A.由⊕定义知a⊕c＝c，由⊗定义知d⊗c＝a，即d⊗(a⊕c)＝d⊗c＝a.10．设M＝{x|x＝a2＋1，a∈N＋}，P＝{y|y＝b2－4b＋5，b∈N＋}，则下列关系正确的是()A．M＝P B．M PC．P M D．M与P没有公共元素解析：选B.因为a∈N＋，所以x＝a2＋1＝2，5，10，….因为b∈N＋，所以y＝b2－4b＋5＝(b－2)2＋1＝1，2，5，10，….所以M P.11．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2＋ax＋3＝0}中所有元素之和为()A．3 B．4C．5 D．6解析：选B.由题意知－5是方程x2－ax－5＝0的一个根，所以(－5)2＋5·a－5＝0，解得a＝－4，则方程x2＋ax＋3＝0，即为x2－4x＋3＝0，解得x1＝1，x2＝3，所以{x|x2－4x＋3＝0}＝{1，3}．即所有元素之和为1＋3＝4.12．已知全集U＝A∪B中有m个元素，(∁U A)∪(∁U B)中有n个元素．若A∩B 非空，则A∩B的元素个数为()A．mn B．m＋nC．n－m D．m－n解析：选D.画出Venn图(图略)．因为U＝A∪B中有m个元素．(∁U A)∪(∁U B)＝∁U(A∩B)中有n个元素，所以A∩B中有m－n个元素，故选D.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．(2016·杭州模拟)已知集合A＝{x|x<3}，集合B＝{x|x<m}，且A⊆B，则实数m满足的条件是________．解析：将数集A在数轴上表示出来，如图所示，要满足A⊆B，表示数m的点必须在表示3的点处或在其右边，故m≥3.答案：m≥314．已知全集U＝{1，2，3，4}，集合A＝{1，2}，B＝{2，3}，则A∩(∁U B)等于________．解析：因为∁U B＝{1，4}，所以A∩(∁U B)＝{1}．答案：{1}15．设集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为________．解析：由题意可知，集合M＝{5，6，7，8}，共4个元素．答案：416．设集合M＝{x|x＝3k，k∈Z}，P＝{x|x＝3k＋1，k∈Z}，Q＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，若a∈M，b∈P，c∈Q，则a＋b－c∈________(填M，P，Q中的一个)．解析：依据题意设a＝3k，b＝3t＋1，c＝3m－1(k，t，m∈Z)，则a＋b－c＝3(k＋t－m)＋2，所以该元素具有集合Q中元素的特征性质，应属于集合Q.答案：Q三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)设A＝{x∈Z|－6≤x≤6}，B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}，求：(1)A∪(B∩C)；(2)A∩∁A(B∪C)．解：因为A＝{x∈Z|－6≤x≤6}＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6}，B＝{1，2，3}，C＝{3，4，5，6}，所以B∩C＝{3}，B∪C＝{1，2，3，4，5，6}．(1)A∪(B∩C)＝A＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0，1，2，3，4，5，6}．(2)∁A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0}，所以A∩∁A(B∪C)＝∁A(B∪C)＝{－6，－5，－4，－3，－2，－1，0}．18．(本小题满分12分)已知集合A＝{3，4，4a2－6a－1}，B＝{4a，－3}，A ∩B＝{－3}，求实数a的值及此时的A∪B.解：由题意得4a2－6a－1＝－3，，解得a＝1或a＝12当a＝1时，A＝{3，4，－3}，B＝{2，－3}，满足要求，此时A∪B＝{2，3，24，－3}；当a＝1时，A＝{3，4，－3}，B＝{4，－3}，不满足要求，综上得，a ＝12，A ∪B ＝{2，3，4，－3}．19．(本小题满分12分)设全集I ＝R ，已知集合M ＝{x |(x ＋3)2≤0}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}．(1)求(∁I M )∩N ；(2)记集合A ＝(∁I M )∩N ，已知集合B ＝{x |a －1≤x ≤5－a ，a ∈R }，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为M ＝{x |(x ＋3)2≤0}＝{－3}，N ＝{x |x 2＋x －6＝0}＝{－3，2}，所以∁I M ＝{x |x ∈R 且x ≠－3}，所以(∁I M )∩N ＝{2}．(2)A ＝(∁I M )∩N ＝{2}，因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A ，所以B ＝∅或B ＝{2}，当B ＝∅时，a －1>5－a ，得a >3；当B ＝{2}时，⎩⎪⎨⎪⎧a －1＝25－a ＝2，解得a ＝3， 综上所述，所求a 的取值范围为{a |a ≥3}．20．(本小题满分12分)(2016·三明质检)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ；(2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围；(3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2＜x ＜2}，则A ∪B ＝{x |－2＜x ＜3}．(2)由A ⊆B 知，⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2.(3)由A ∩B ＝∅得：①当2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意．②当2m ＜1－m ，即m ＜13时，则⎩⎨⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎨⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或m 不存在，即0≤m ＜13.综上知m ≥0.21．(本小题满分12分)设集合A ＝{x |x 是小于6的正整数}，B ＝{x |(x －1)(x －2)＝0}，C ＝{x |(m －1)x －1＝0}．(1)求A ∩B ，A ∪B ；(2)若B ∩C ＝C ，求由实数m 为元素所构成的集合M .解：(1)A ＝{x |x 是小于6的正整数}＝{1，2，3，4，5}，B ＝{1，2}， A ∩B ＝{1，2}，A ∪B ＝{1，2，3，4，5}．(2)因为B ∩C ＝C ，所以C ⊆B ，当C ＝∅时，此时m ＝1，符合题意；当C ≠∅时，m ≠1，此时C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ＝1m －1，因为C ⊆B ，所以1m －1＝1或2， 解得m ＝2或32.综上所述：由实数m 为元素所构成的集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1，2，32.22．(本小题满分12分)已知全集U ＝R ，A ＝{x ∈R |x 2－3x ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R |(x －2)(x 2＋3x －4)＝0}．(1)若b ＝4时，存在集合M 使得A M B ，求出所有这样的集合M ；(2)集合A ，B 是否能满足(∁U B )∩A ＝∅？若能，求实数b 的取值范围；若不能，请说明理由．解：(1)易知A ＝∅且B ＝{－4，1，2}，由已知M 应该是一个非空集合，且是B 的一个真子集，所以用列举法可得这样的M 共有如下6个：{－4}、{1}、{2}、{－4，1}、{－4，2}、{1，2}．(2)由(∁U B )∩A ＝∅得A ⊆B ，当A ＝∅时，A 是B 的一个子集，此时Δ＝9－4b <0，所以b >94；当A ≠∅时，因为B ＝{－4，1，2}，当－4∈A 时，b ＝－28，则得到A ＝{－4，7}，不可能为B 的一个子集． 当1∈A 时，b ＝2，此时A ＝{1，2}，是B 的子集；当2∈A 时，b ＝2，此时A ＝{1，2}，是B 的子集．综上可知：当且仅当A ＝∅或A ＝{1，2}时，(∁U B )∩A ＝∅，所以实数b 的取值范围是⎩⎨⎧b ⎪⎪⎪⎭⎬⎫b >94或b ＝2.。
高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修2习题：第一章 3应用案巩固提升 含答案
[A 基础达标]1．把一个铁制的底面半径为r ，高为h 的实心圆锥熔化后铸成一个铁球，则这个铁球的半径为( )A.r h 2 B ．r 2h 4C. 3r 2h 4D ．r 2h 2解析：选C.因为13πr 2h ＝43πR 3，所以R ＝ 3r 2h 4.2．把球的表面积扩大到原来的2倍，那么球的体积扩大到原来的( ) A ．2倍 B ．2倍 C ．22倍D ．32倍解析：选C.设原来球的半径为r ，扩大后球的半径为R ，依题意可知4πR 24πr 2＝2，所以R ＝2r .所以43πR 343πr 3＝R 3r 3＝（2r ）3r 3＝2 2.即球的体积扩大到原来的22倍．故C 正确．3．如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )第3题图 第4题图A ．9π＋42B ．36π＋18C.92π＋12 D ．92π＋18解析：选D ．由三视图可知，该几何体是一个球体和一个长方体的组合体．其中，V 球＝43π·⎝⎛⎭⎫323＝9π2，V 长方体＝2×3×3＝18.所以V 总＝92π＋18. 4．一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是( )A ．12πB ．24πC ．32πD ．48π解析：选D ．由三视图可知该几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥．其中底面ABCD 是边长为4的正方形，高为4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为3×4＝43，即球的半径为23，所以该球的表面积是4π(23)2＝48π. 5．如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝2DC ＝2，∠DAB ＝60°，E 为AB 的中点，将△ADE 与△BEC 分别沿ED 、EC 向上折起，使A 、B 重合于点P ，则三棱锥P -DCE 的外接球的体积为( )A.43π27B ．6π2 C.6π8D ．6π24解析：选C.折起后的几何体是一个棱长为1的正四面体P CDE ，我们容易求得该正四面体外接球半径为64， 所以外接球的体积V ＝43π⎝⎛⎭⎫643＝6π8.6. 圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是________ cm.解析：设球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43πx 3×3，解得x ＝4.答案：47．两个球的表面积之差为48π，它们的大圆周长之和为12π，则这两个球的半径之差为________．解析：由题意建立方程组，设两球半径分别为R 、r (R ＞r )，则⎩⎪⎨⎪⎧4πR 2－4πr 2＝48π，2πR ＋2πr ＝12π，即⎩⎪⎨⎪⎧R 2－r 2＝12，R ＋r ＝6，所以R －r ＝2.答案：28．已知一个表面积为24的正方体，设有一个与每条棱都相切的球，则此球的体积为________．解析：设正方体的棱长为a ，则6a 2＝24，解得a ＝2.又球与正方体的每条棱都相切，则正方体的面对角线长22 等于球的直径，则球的半径是2，则此球的体积为43π(2)3＝823π.答案：823π9．一试管的上部为圆柱形，底部为与圆柱底面半径相同的半球形．圆柱形部分的高为h cm ，半径为r cm.试管的容量为108π cm 3，半球部分容量为全试管容量的16.(1)求r 和h ；(2)若将试管垂直放置，并注水至水面离管口4 cm 处，求水的体积．解：(1)因为半球部分容量为全试管容量的16，所以半球部分与圆柱体部分容量比为15，即15＝43πr 3×12πr 2×h ， 所以h ＝103r ，43πr 3×12＝108π×16，所以r ＝3(cm)，h ＝10(cm)． (2)V ＝43πr 3×12＋πr 2×(h －4)＝43π×33×12＋π×32×6＝72π(cm 3)． 10．有三个球，第一个球内切于正方体，第二个球与这个正方体各条棱相切，第三个球过这个正方体的各个顶点，求这三个球的表面积之比．解：设正方体的棱长为a .如图所示．图(1)中正方体的内切球球心是正方体的中心，切点是正方体六个面的中心，经过四个切点及球心作截面，所以有2r 1＝a ，r 1＝a2，所以S 1＝4πr 21＝πa 2.图(2)中球与正方体的各棱的切点是每条棱的中点， 过球心作正方体的对角面得截面， 所以有2r 2＝2a ，r 2＝22a ， 所以S 2＝4πr 22＝2πa 2.图(3)中正方体的各个顶点在球面上， 过球心作正方体的对角面得截面， 所以有2r 3＝3a ，r 3＝32a ， 所以S 3＝4πr 23＝3πa 2.综上可得S 1∶S 2∶S 3＝1∶2∶3.[B 能力提升]1．若等边圆柱(轴截面是正方形)、球、正方体的体积相等，则它们的表面积的大小关系是( )A ．S 球＜S 圆柱＜S 正方体B ．S 正方体＜S 球＜S 圆柱C ．S 圆柱＜S 球＜S 正方体D ．S 球＜S 正方体＜S 圆柱解析：选A.设等边圆柱底面圆半径为r ，球半径为R ，正方体棱长为a ，则πr 2·2r ＝43πR 3＝a 3，⎝⎛⎭⎫R r 3＝32，⎝⎛⎭⎫a r 3＝2π，S 圆柱＝6πr 2，S 球＝4πR 2，S 正方体＝6a 2，S 球S 圆柱＝4πR 26πr 2＝23·⎝⎛⎭⎫R r 2＝323＜1，S 正方体S 圆柱＝6a 26πr 2＝1π·⎝⎛⎭⎫a r 2＝34π＞1.故选A. 2．正三棱锥的高和底面边长都等于6，则其外接球的表面积为________． 解析：如图，过正三棱锥P -ABC 的顶点P 作PM ⊥平面ABC 于点M ，则球心O 在PM 上，|PM |＝6，连接AM ，AO ，则|OP |＝|OA |＝R ，在Rt △OAM 中，|OM |＝6－R ，又|AB |＝6，且△ABC 为等边三角形，故|AM |＝2362－32＝23，则R 2－(6－R )2＝(23)2，则R ＝4，所以球的表面积S＝4πR 2＝64π.答案：64π3．若一个底面边长为32，侧棱长为6的正六棱柱的所有顶点都在一个球面上，求这个球的体积．解：如图，O 1O 2＝6，OO 1＝62， AO 1＝32， 所以AO ＝⎝⎛⎭⎫322＋⎝⎛⎭⎫622＝32， 即R ＝32.所以V ＝43π⎝⎛⎭⎫323＝92π.4．(选做题)已知四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为正方形，边长为a ，PB ＝3a ，PD＝a ，P A ＝PC ＝2a ，且PD 是四棱锥的高．在四棱锥内放入一球，求球的最大半径．解：当所放的球与四棱锥各面都相切时，球的半径最大，即球心到各面的距离均相等．设球的半径为R ，球心为S ，如图，连接SA ，SB ，SC ，SD ，SP . 因为最大球与四棱锥各面都相切，所以三棱锥S -P AB ，S PBC ，S PCD ，S P AD 与四棱锥S ABCD 的高都为R ，且它们恰好组合成四棱锥P -ABCD ．因为PD 为四棱锥P -ABCD 的高，PD ＝AD ＝BC ＝a ，四边形ABCD 为正方形，又P A ＝PC ＝2a ，PB ＝3a ，所以PB 2＝P A 2＋AB 2＝PC 2＋BC 2， 所以△P AB ，△PCB 为直角三角形且全等．所以S △P AB ＝S △PCB ＝12·a ·2a ＝22a 2，S △PDA ＝S △PDC ＝12a 2，S 正方形ABCD ＝a 2，所以V P ABCD ＝13·a 2·a ＝13a 3.V S P AB ＝V S PBC ＝13·22a 2·R ＝26a 2R ，V S P AD ＝V S PDC ＝13·12a 2·R ＝16a 2R ，V S ABCD ＝13·a 2·R＝13a 2R ， 因为V P ABCD ＝V S P AB ＋V S PBC ＋V S P AD ＋V S PDC ＋V S ABCD ， 所以13a 3＝23a 2R ＋13a 2R ＋13a 2R ，即(2＋2)R ＝a ， 所以R ＝⎝⎛⎭⎫1－22a ，即球的最大半径为⎝⎛⎭⎫1－22a .。
高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修2课件：第一章11.2
第一章立体几何初步1.2简单多面体教材助读厂预习案▼自主学习I 研读•思考・尝试1.问题导航(1)“有两个面是互相平行且全等的多边形，其余各面都是平行四边形的多面体是棱柱”这一说法对吗？为什么？(2)棱锥所有的面可以都是三角形吗？(3)如何判断一个多面体是不是棱台？2.例题导读P5知识点二“棱锥、棱台”.通过本知识点的学习，理解棱锥、棱台的基本概念及两几何体之间的关系，特别需注意的是正棱锥的概念，不仅棱锥的底面是正多边形，而且各侧面要全等.新知提炼1.多面体的概念若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体.其中棱柱、棱锥、棱台是简单多面体.2.几种简单多面体的比较名称结构特征两个面互相平行,其棱柱余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行正棱柱底面是正多边形的直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱）侧面的形状平行四边形矩形三棱柱四棱柱五棱柱…〃棱柱名称结构特征侧面的形状棱锥有一个面是多边形,其余各面是有一公共顶点的三角三角形三棱锥四正棱锥底面是正多边形,且各侧面全笔的棱锥全等的等腰三角形棱锥五棱锥…〃棱Aft名称结构特征侧面的形用一个平行于棱锥棱台底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，上、下底面是相似图形正棱台用正棱锥截得的棱全等的等腰梯形三棱台四棱台五棱台…〃棱台自我尝试厂I.判断正误.(正确的打“ ,错误的打“X”)(1)棱柱的侧面都是平行四边形.((2)棱锥的侧面都是三角形.()(3)多面体只有棱柱、棱锥、棱台三类，没有其他情况.( 答案：⑴"(2)7⑶X2. 如图，观察四个几何体，其中判断正确的是()解析：选C •图⑴不是由棱锥截来的，所以⑴不是棱台；图⑵ 上下两个面不平行，所以(2)不是圆台；图(4)前后两个面平行, 其他面是四边形，且每相邻两个四边形的公共边平行，所以(4) 是棱柱；很明显⑶是棱锥.3. 下列几何体中，侧棱一定相等的是（）A.⑴是棱台C.⑶是棱锥⑴ D. (4)不是棱柱 ⑷A.棱锥B.棱柱C.棱台D.圆柱答案：B4. 一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱的长为________ cm.解析：〃棱柱有2〃个顶点，由于此棱柱有10个顶点，那么此棱柱为五棱柱.又棱柱的侧棱长都相等，五条侧棱长的和为60cm,可知每条侧棱的长为12 cm. 答案：121.棱柱、棱锥、棱台的性质比较棱柱相互平行、相等棱锥交于一点棱台延长后交于一点均为平行四边形三角形梯形平行于底面的与底面全等的多与底面相似与底面相似的多截面过不相邻两侧棱的截面边形的多边形边形平行四边形三角形梯形2.正棱锥中的两点说明(1)判别一个棱锥是否是正棱锥要抓住两点:①底面为正多边形;②顶点在底面的射影是底面正多边形的中心.(2)斜高是正棱锥特有的一个概念，其他棱锥没有斜高.例1 如图所示，长方体ABCD^B^Di.(1) 这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么? 灣究案▼讲练互探究点一棱柱的结构特征解惑•探究・突破(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是,说明理由(提示:根据后面将要学习的线面平行的性质定理, 可以证明BC JL MN).［解］⑴长方体ABC641B1C1D1是棱柱，且是四棱柱.因为平面ABCD与平面AiBiCiDi平行,且其余各面都是四边形，且AAi，BB lf CCi，皿互相平行.(2)用平面BCNM把这个长方体分成两部分，其中一部分有两个平行的平面BB.M与平面CCN其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是三棱柱，可用符号表示为三棱柱BBiM-CCiN；另_部分有两个平行的平面ABMA X与平面DCND、,其余各面都是四边形, 并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，符合棱柱的定义，所以是四棱柱，可用符号表示为四棱柱(1)判断一个几何体是棱柱的依据及关键点①依据：判断是否是棱柱要紧扣棱柱的定义.②抓住三个关键点.底面：互相平行且是两个全等的多边形.侧面：都是平行四边形.侧棱：互相平行且相等.以上三点缺一不可.(2)正棱柱的性质①侧棱与底面垂直，侧面是全等的矩形;②两个底面与平行于底面的截面是全等的正多边形;③过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是矩形;④侧棱长等于此正棱柱的高.(3)特殊的四棱柱g跟踪训练1・(1) 一个棱柱是正三棱柱的条件是①底面是正三角形;②底面是直角三角形，侧棱与底面垂直;③底面是正三角形，所有侧面都是矩形;④底面是等腰三角形，侧棱与底面垂直.⑵如图所示，已知长方体ABCD-AiBrCyD^过BC和4□分别作一个平面交底面AiBiCiDi于EF, PQ,则长方体被分成的三个几何体中，有几个棱柱？为什么？（提示：根据后面将要学习的线面平行的性质定理，可以证明BC JL EF, AD^QP）A B解：(1)当棱柱的底面是正三角形，且所有侧面都是矩形时，侧棱一定与底面垂直，即棱柱是直棱柱，又底面为正三角形，所以棱柱是正三棱柱.故填③•(2)有三个棱柱•多面体A6P0M1以面APA^DQD^底面,其他三个面都是平行四边形，且AD, PQ, A4互相平行，故为三棱柱APA r DQD l9同理，多面体BC・B\C\FE是以BB、E 和CC'F 为底面的三棱柱BB\E・CC\F.多面体ABEP-DCFQ是四棱柱，一个底面是ABEP,另一个底面是DCFQ.探究点二棱锥、棱台的结构特征H2下列关于棱锥、棱台的说法：①由一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台.②棱台的侧面一定不会是平行四边形.③棱锥的侧面只能是三角形.④由四个面围成的封闭的简单多面体只能是三棱锥.⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.其中正确的序号是［解析］①错误，若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分不是棱台；②正确，棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形;③正确，由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形;④正确，由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;⑤错误，如图所示四棱锥被平面PBD截成的两部分都是棱锥.P［答案］②③④(i)判断棱锥、棱台形状的两个方法①举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.②直接法：根据定义判断即可.(2)棱锥的基本性质①棱锥的截面性质定理：如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么截面和底面相似，并且它们的面积比等于截得的棱锥的高与已知棱锥的高的比的平方.②正棱锥的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形.各等腰三角形底边上的高相等，叫作正棱锥的斜高.⑶棱台的基本性质①棱台的截面性质定理：如果棱台被平行于底面的平面所截, 那么截面和底面相似.②正棱台的性质：各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形.各等腰梯形的高相等，叫作正棱台的斜高.2•⑴下列命题中不正确的是①由五个面围成的多面体只能是四棱锥;②仅有_组对面平行的五面体是棱台;③有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥.⑵给出下列命题: ①各侧面都是全等的等腰三角形的三棱锥必是正三棱锥;②三条侧棱都相等的棱锥是正三棱锥;③底面是正三角形的棱锥是正三棱锥;④顶点在底面上的投影既是底面三角形的内心又是外心的棱锥是正三棱锥.其中正确的有 ________ 个.解析：(1)根据棱锥、棱台的结构特征，3个命题都不正确.(2)正棱锥的概念包括两层：一是底面是正多边形；二是顶点在底面上的投影恰是底面正多边形的中心，两者缺一不可.由此可知②③不正确.对于①，虽然各侧面均为全等的等腰三角形，但未必是正三棱锥，如图,CB在棱锥D4BC中，已知D4= DB=BC=CA f AB=DC f满足各侧面均为全等的等腰三角形，但它不是正三棱锥，所以①不正确.事实上，由顶点在底面上的投影是三角形的外心可知三棱锥的侧棱长相等；由顶点在底面上的投影又是三角形的内心可知顶点在底面上的投影是三角形的中心，且底面三边长相等, 即该棱锥的底面是正三角形，所以此三棱锥是正三棱锥.故④ 正确.答案：⑴①②③⑵1探究点三空间几何体的计算问题正四棱台两底面的面积分别为4和16,其高为书,求正四棱台的侧棱的长•［解］作出正四棱台ABC641BGD1如图，OOi为棱台的高,其长为书・连接0诅1，OA9则四边形0淤淤0为直角梯形,正四棱台两底面的面积分别为4和16,知A1B1=2, AB=49所以A1O1=^y1=^2,AO=^=2 迄,作AiE丄AO 于在RtZkAiAE 中,AE=迄,AiE=OQ=书, 所以A X A =\]A1E2+AE2=\I5,即侧棱长为质.Q互动探究若把本例中求侧棱长改为求斜高的长，又该如何解？解：作0/1丄B1C1于Fi，OF丄BC于F,。
高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修2习题：第一章5 51应用案巩固提升 含答案
[A基础达标]1．下列四个选项中能推出α∥β的是()A．存在一条直线a，a∥α，a∥βB．存在一条直线a，aα，a∥βC．存在两条平行直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥αD．存在两条异面直线a，b，aα，bβ，a∥β，b∥α解析：选D．若α∩β＝l，a∥l，aα，aβ，则a∥α，a∥β，故排除A.若α∩β＝l，a α，a∥l，则a∥β，故排除B．若α∩β＝l，aα，a∥l，bβ，b∥l，则a∥β，b∥α，故排除C.故选D．2.平面α内有不共线的三点到平面β的距离相等且不为零，则α与β的位置关系为()A．平行B．相交C．平行或相交D．可能重合解析：选C.若三点分布于平面β的同侧，则α与β平行，若三点分布于平面β的两侧，则α与β相交．3．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，与平面AB1D1平行的平面是()A．平面BCD B．平面BCC1C．平面BDC1D．平面CDC1解析：选C.由于BD∥B1D1，且BD平面AB1D1，B1D1平面AB1D1，所以BD∥平面AB1D1，因为BC1∥AD1，且BC1平面AB1D1，AD1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，从而平面BDC1∥平面AB1D1.4．下列三个命题，其中真命题的个数是()①两条直线没有公共点，那么这两条直线平行；②两个平面如果没有公共点，那么这两个平面平行；③两个平面都平行于同一条直线，那么这两个平面平行．A．1 B．2C．3 D．0解析：选A.①中两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面；②是真命题；③中两个平面都平行于同一条直线，这两个平面可能平行，也可能相交．5．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M是棱A1D1上的动点，则直线MD与平面AA1C1C 的位置关系是()A．平行B．相交C．直线在平面内D．相交或平行解析：选D．如图，若点M与点D1重合，因为D1D∥A1A，D1D平面AA1C1C，A1A平面AA1C1C，所以D 1D ∥平面AA 1C 1C ， 即DM ∥平面AA 1C 1C . 若点M 与点D 1不重合，设DM ∩AA 1＝P ，则DM ∩平面AA 1C 1C ＝P .6．在空间四边形ABCD 中，M ∈AB ，N ∈AD ，若AM MB ＝ANND，则直线MN 与平面BDC 的位置关系是________．解析：连接BD ，因为AM MB ＝ANND，所以MN ∥BD ． 因为BD平面BDC ，M N 平面BDC ，所以MN ∥平面BDC . 答案：平行7．在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为DD 1的中点，则BD 1与过A ，C ，E 的平面的位置关系是________．解析：如图，连接AC 交BD 于点O .则O 为BD 的中点，又E 为DD 1的中点，连接EO ，所以OE 为△BDD 1的中位线，所以OE ∥BD 1.又因为BD 1平面ACE ，OE平面ACE ，所以BD 1∥平面ACE . 答案：平行8．设a ，b 是直线，α是平面，给出下列三个命题： ①若a ∥b ，a ∥α，则b ∥α；②若a ∥b ，b 与α相交，则a 与α也相交； ③若a 与b 异面，a ∥α，则b α. 其中正确命题的序号是________．解析：如图的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，直线AD ∥直线B 1C 1，直线AD ∥平面A 1C 1，但是直线B 1C 1平面A 1C 1，所以①不正确；②显然正确，可以用反证法证明；直线AD 与直线B 1A 1异面，直线AD∥平面A1C1，但是直线B1A1平面A1C1，所以③不正确．答案：②9. 如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为BC的中点，连接AD，DC1，A1B，AC1，求证：A1B∥平面ADC1.证明：连接A1C，设A1C∩AC1＝O，再连接O D．由题意知，A1ACC1是平行四边形，所以O是A1C的中点，又D是CB的中点，因此OD是△A1CB的中位线，即OD∥A1B．又A1B⃘平面ADC1，OD平面ADC1，所以A1B∥平面ADC1.10. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AA1，CC1的中点，求证：平面BDF∥平面B1D1E.证明：如图，取BB1的中点G，连接EG，GC1，则有EG A1B1.又A1B1C1D1，所以EG C1D1.所以四边形EGC1D1为平行四边形，所以D1E GC1.又BG C1F，所以四边形BGC1F为平行四边形．所以BF∥C1G，所以BF∥D1E.由B F平面B1D1E，D1E平面B1D1E，得BF∥平面B1D1E，又BD∥B1D1，同理可得BD∥平面B1D1E.又因为BF∩BD＝B，所以平面BDF∥平面B1D1E.[B能力提升]1.在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为棱A1D1上的动点，O为底面ABCD的中心，E、F 分别是A1B1、C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是() A．面ABB1A1B．面BCC1B1C．面BCFE D．面DCC1D1解析：选C.取AB、DC的中点E1和F1，OM扫过的平面即为面A1E1F1D1.故面A1E1F1D1∥面BCFE.2．三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，E在棱SA上，且AE＝2ES，则EG 与平面SBC的关系为__________．解析：如图，取BC中点F，连接SF，AF.因为G为△ABC的重心，所以A、G、F共线且AG＝2GF.又因为AE＝2ES，所以EG∥SF.因为SF平面SBC，E G⃘平面SBC，所以EG∥平面SBC.答案：平行3. 如图，正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，求证：平面AMN∥平面EFDB．证明：因为M，N，E，F分别是棱A1B1，A1D1，B1C1，C1D1的中点，所以MN∥EF.由直线与平面平行的判定定理，MN∥平面EFDB，同理有AM∥平面EFDB．因为MN∩AM＝M，所以平面AMN∥平面EFDB．4．(选做题) 如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是平行四边形，点M，N分别为BC，P A的中点，在线段PD上是否存在一点E，使得NM∥平面ACE；若存在，说明点E 的位置；若不存在，说明理由．解：存在．取PD的中点E，连接NE，EC，AE，AC，因为N，E分别为P A，PD的中点，所以NE∥AD且NE＝1．2A D又在平行四边形ABCD中，CM∥AD且CM＝12AD，所以NE MC，即四边形MCEN是平行四边形，所以NM∥EC.又EC平面ACE，NM平面ACE，所以MN∥平面ACE，即在线段PD上存在一点E，使得NM∥平面ACE，此时PE＝1．2PD。
高中同步创新课堂数学优化方案北师大必修4习题：第一章§3应用案巩固提升 含答案
[A 基础达标]1．－630°化为弧度为( ) A ．－7π2 B.7π4C ．－7π16D ．－7π4解析：选A.－630°＝－630×π180＝－7π2.2．角－2912π的终边所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：选D.－2912π＝－4π＋1912π，1912π的终边位于第四象限．3．时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为( ) A.143 π B ．－143πC.718π D ．－718π解析：选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里，顺时针转过了73周，转过的弧度为－73×2π＝－143π.4．把－11π4表示成θ＋2k π(k ∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )A ．－3π4B ．－π4C.π4D.3π4解析：选A.令－11π4＝θ＋2k π(k ∈Z)，则θ＝－11π4－2k π(k ∈Z)，取k ≤0的值，k ＝－1时，θ＝－3π4，|θ|＝3π4；k ＝－2时，θ＝5π4，|θ|＝5π4>3π4；k ＝0时，θ＝－11π4，|θ|＝11π4>3π4.故选A.5．若扇形的半径变为原来的2倍，且弧长也增加到原来的2倍，则( )A ．扇形的圆心角大小不变B ．扇形的圆心角增大到原来的2倍C ．扇形的圆心角增大到原来的4倍D ．扇形的圆心角减小到原来的一半解析：选A.设扇形原来的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α，则变化后半径为2r ，弧长为2l ，圆心角为β，所以α＝l r ，β＝2l 2r ＝lr＝α，即扇形的圆心角大小不变．6．在[－2π，2π]内，与α＝－11π3的终边相同的角为 ．解析：与α＝－11π3终边相同的角的集合为P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|β＝－11π3＋2k π，k ∈Z ， 令k ＝1，2，得β＝－5π3，π3.答案：－5π3，π37．在△ABC 中，若A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，则角A ，B ，C 的弧度数分别为 ． 解析：因为A ＋B ＋C ＝π，又A ∶B ∶C ＝3∶5∶7，所以A ＝3π3＋5＋7＝π5，B ＝5π3＋5＋7＝π3，C ＝7π15.答案：π5，π3，7π158．火车站钟楼上有座大钟，这座大钟的分针20 min 所走的圆弧长是π3 m ，则这座大钟分针的长度为 m.解析：因为分针20 min 转过的角为2π3，所以由l ＝αr ，得r ＝lα＝π32π3＝0.5(m)，即这座大钟分针的长度为0.5 m. 答案：0.59．用弧度制表示终边在图中阴影区域内角的集合(含边界)，并判断2 016°是不是这个集合的元素．解：因为150°＝56π，所以终边落在阴影区域内角的集合为S ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫β|56π＋2k π≤β≤32π＋2k π，k ∈Z .因为2 016°＝216°＋5×360°＝108π90＋10π.又56π<108π90<3π2， 所以2 016°＝10890π＋10π∈S ，即2 016°是这个集合的元素．10．已知一扇形的周长为40 cm ，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？解：设扇形圆心角的弧度数为θ(0<θ<2π)，半径为r ，弧长为l ，面积为S ， 则l ＋2r ＝40，所以l ＝40－2r ， 所以S ＝12lr ＝12×(40－2r )r ＝20r －r 2＝－(r －10)2＋100.所以当半径r ＝10 cm 时，扇形的面积最大，这个最大值为100 cm 2， 这时，θ＝l r ＝40－2×1010＝2 rad.[B 能力提升]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋π2，k ∈Z 中角的终边所在的范围(阴影部分)是( )解析：选C.当k ＝2m ，m ∈Z 时，2m π＋π4≤α≤2m π＋π2，m ∈Z ；当k ＝2m ＋1，m ∈Z时，2m π＋5π4≤α≤2m π＋3π2，m ∈Z ，所以选C.2．扇形圆心角为π3，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为 ．解析：如图，设内切圆半径为r ，则r ＝a3，所以S 圆＝π·⎝⎛⎭⎫a 32＝πa 29，S 扇＝12a 2·π3＝πa26， 所以S 圆S 扇＝23.答案：2∶33．已知α＝－800°.(1)把α改写成β＋2k π(k ∈Z ，0≤β<2π)的形式，并指出α是第几象限角； (2)求γ，使γ与α的终边相同，且γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2.解：(1)因为－800°＝－3×360°＋280°，280°＝149π，所以α＝－800°＝149π＋(－3)×2π.因为α与14π9角的终边相同，所以α是第四象限角．(2)因为与α终边相同的角可写为2k π＋14π9，k ∈Z 的形式，而γ与α的终边相同，所以γ＝2k π＋14π9，k ∈Z.又γ∈⎝⎛⎭⎫－π2，π2，所以－π2<2k π＋14π9<π2，k ∈Z ，解得k ＝－1，所以γ＝－2π＋14π9＝－4π9.4.(选做题)如图，动点P ，Q 从点A (4，0)出发，沿圆周运动，点P 按逆时针方向每秒钟转π3弧度，点Q 按顺时针方向每秒钟转π6弧度，求P ，Q 第一次相遇时所用的时间及P ，Q 点各自走过的弧长．解：设P ，Q 第一次相遇时所用的时间是t ，则t ·π3＋t ·⎪⎪⎪⎪－π6＝2π.解得t ＝4， 所以P ，Q 第一次相遇时所用的时间是4秒，第一次相遇时点P 已经运动到角π3·4＝43π的终边与圆交点的位置，点Q 已经运动到角－2π3的终边与圆交点的位置，所以点P 走过的弧长为43π×4＝163π，点Q 走过的弧长为⎪⎪⎪⎪－2π3×4＝23π×4＝83π.。