安徽大学期末试卷MK_10-11年《量子力学》试题及答案.pdf

安徽大学2010—2011学年第 一 学期《 量子力学 》（A 卷）考试试题参考答案及评分标准一、简答题（每小题5分，共10分）1. 二电子体系中，总自旋 21s s S += ，写出（z S S ,2）的归一化本征态（即自旋单态与三重态）。

解：（2,z S S ）的归一化本征态记为S SM χ，则 自旋单态为]00(1)(2)(1)(2)χαββα=- 自旋三重态为]111011(1)(2)(1)(2)(1)(2)(1)(2)χααχαββαχββ-=⎧⎪⎪=+⎨⎪⎪=⎩2. 何谓正常塞曼效应？何谓反常塞曼效应？何谓斯塔克效应？解：在强磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为三条的现象称为正常塞曼效应。

在弱磁场中，原子发出的每条光谱线都分裂为)12(+j 条（偶数）的现象称为反常塞曼效应。

原子置于外电场中，它发出的光谱线会发生分裂的现象称为斯塔克效应。

二、填空题（每小题5分，共30分）3. 一粒子的波函数()()z y x r ,,ψψ=，则粒子位于dx x x +~间的几率为()⎰⎰+∞∞-+∞∞-=2,,z y x dz dy dx P ψ。

4. 一质量为μ 的粒子在一维无限深方势阱⎩⎨⎧><∞<<=ax x ax x V 2,0,20,0)(中运动，其状态波函数为⎪⎩⎪⎨⎧≥≤<<=ax x a x axn a x n 2,0,0,20,2sin 1)(πψ，能级表达式为 ,3,2,1,82222==n an E n μπ。

5. 粒子在一维δ势阱)0()()(>-=γδγx x V 中运动，波函数为)(x ψ，则)(x ψ'的跃变条件为)0(2)0()0(2ψγψψm -='-'-+。

若势阱改为势垒()()(0)V x x γδγ=>，则)(x ψ'的跃变条件为22(0)(0)(0)m γψψ+-''-=。

6. 给出如下对易关系：[],0,,,2,y z z y x zy z xx p z p i y L i xi L p i p σσσ⎡⎤⎡⎤===⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤=-=⎣⎦⎣⎦7. 一个电子运动的旋量波函数为 ()()()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2,2,,r r s r z ψψψ，则表示电子自旋向上、位置在r处的几率密度表达式为()22/, r ψ，表示电子自旋向下的几率的表达式为()232/,⎰-r r d ψ。

8. 一维谐振子升、降算符a a 、+的对易关系式为[,]1a a +=；粒子数算符N 与a a 、+的关系是N a a +=；哈密顿量H 用N 或a a 、+表示的式子是1122H a a N +⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；N （亦即H ）的归一化本征态为0)(!1n a n n +=。

三、证明题（每小题8分，共16分）9. 设力学量A 不显含时间t ，证明在束缚定态下， 0=td Ad 。

证：设束缚定态为ψ ，即有ψψE H =，ψψE H = ，[]tA H A i t d A d ∂∂+=ψψ,1。

因A 不显含时间t ，所以0=∂∂tA，因而[]()ψψψψHA AH i H A i t d A d -==1,1 ()()[][]011=-=-=ψψψψψψψψA E A E i HA AH i。

10. 已知L 、s 分别为电子的轨道角动量和自旋角动量，s L J +=为电子的总角动量。

()z 2J J L , ，2的共同本征态为j m j l φ。

证明j m j l φ是L s⋅的本征态，并就21+=l j 和21-=l j 两种情况分别求出其相应的本征值。

解： L s L L s s L J⋅++=⋅++=243222222()4321222--=⋅L J L s()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠-=+-+==⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+=--=⋅)0(21,)1(221,243)1()1(24321222222l l j l l j l l l j j L J L s j j jj j m j l m j l m j l m j l m j l φφφφφ 四、计算题11. 一维运动中，哈密顿量 )(22x V mp H +=，求[][]?,?,==H p H x （8分）解： [][]dx d m m p i p i mp x m H x 22==2⋅21=21= ,,，[][])()(,,x V dxdi x V p H p-==。

12. 一个质量为m 的粒子在势)(x V 作用下作一维运动。

假定它处在222E mα= 的能量本征态221/422()x x eααψπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，① 求粒子的平均位置； ② 求粒子的平均动量；③ 求)(x V ； ④ 求粒子的动量在dp p p +→间的几率。

（12分）解：①221/22*()()0x x x x x dx x e dx ααψψπ+∞+∞--∞-∞⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎰⎰。

②22221/22220x x d p ei e dx dx αααπ+∞---∞⎛⎫⎛⎫=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎰ 。

③ 由S.eq ： )()()(2222x E x x V dx d m ψψ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+- ， （1） 而 22222224222()x x d ex e dxαααα--=-+ ， （2）注意到 222E m α=， （3）将式（2）、（3）代入（1），可解得242()/2V x x m α= 。

（4）④ dp p p dp x p p x ⎰⎰==)()()(ϕψψ， dx x e x p p ipx )()()(ψπψϕ⋅21==-⎰221/422ipx xe edx ααπ+∞---∞⎫=⋅⎪⎭⎰2221/42(2)2x ipx edx αααπ+∞-+-∞⎫=⎪⎭⎰2222221/42()22x ip pee dxααααπ+∞-+--∞⎫=⋅⎪⎭⎰2221/422pe ααπα-⎫=⋅⋅⎪⎭2221/42221pe ααπ-⎛⎫= ⎪⎝⎭——波函数的动量表象 （5）粒子的动量在dp p p +→间的几率为2221/22221()()pP p dp p dp e dp αϕαπ-⎛⎫== ⎪⎝⎭（6）13. 一质量为m 的粒子在一维势箱a x <<0中运动，其量子态为⎪⎪⎭⎫ ⎝+=a x a x a x ππψ3sin 23sin 212)( ① 该量子态是否为能量算符H 的本征态？② 对该系统进行能量测量，其可能的结果及其所对应的概率为何？ ③ 处于该量子态粒子能量的平均值为多少？（12分） 解：① 在此一维势箱中运动的粒子，其波函数和能量表达式为⎪⎩⎪⎨⎧≥0≤0<<02=ax x a x axn a n 或,,sin πψ,3,2,1,22222==n a n E n μπ对波函数的分析可知 )(23)(21)(31x x x ψψ+=即粒子处在)(1x ψ和)(3x ψ的叠加态，该量子态不是能量算符H 的本征态。

② 由于)(x ψ是能量本征态)(1x ψ和)(3x ψ的线性组合，而且是归一化的，因此能量测量的可能值为2223222129,2a E aE μπμπ == 其出现的概率分别为 4323,412122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ ③ 能量测量的平均值为 22222231272943414341a a E E E μπμπ=⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯+=+=14. 一维无限深势阱)0(a x <<中的粒子，受到微扰⎩⎨⎧<<2-122<<02='ax a a x a x a x H /,)(/,/λλ的作用，求基态能量的一级修正。

（12分） 0 2a a解：一维无限深势阱的能量本征值及本征函数为,,,,sin ,)()(321=2=2=022220n a x n a a n Ennπψμπ 基态， ax a aEπψμπsin ,)()(2=2=0122201。

基态能量的一级修正为dx x H x H E a )()(02)0(111)1(1⎰'='=ψ⎰⎰⎪⎭⎫⎝⎛-⋅+⋅=a a a dx a x a x a dx a x a x a 2220212sin 22sin 2λπλπ。

作变换： du adx aux axu πππ===,,；dv adx ava x axv ππππ-=-=-=,,。

代入上式完成积分：()vdvv udu u E ⋅--⋅=⎰⎰ππλπλππ2022222)1(1sin 4sin 4λππλπ⎪⎭⎫⎝⎛+=⋅=⎰2222221sin 8udu u ，λπμπ⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+=2222)1(1)0(112212a EEE 。