安徽大学离散数学(上)试卷及参考答案

安徽大学20 09 — 20 10 学年第 1 学期 《 离散数学 》考试试卷（A 卷）（时间120分钟）院/系 专业 姓名 学号一、单项选择题（每小题2分，共20分）1. 设:P 天没下雪，:Q 我去镇上，则命题“天正在下雪，我没去镇上”可符号化为（ ）A.Q P ⌝→⌝；B. P Q ⌝→⌝；C.Q P ⌝∧；D. Q P ⌝∧⌝。

2.下列命题是重言式的是（ ）A.)()(P Q Q P →∧→；B. )()(Q P P Q P ↔↔↔∧；C. )(Q P Q P →→∧；D. Q P R Q P ∧⌝∧⌝∨→))((。

3. 设解释R 如下：论域D 为实数集，0=a ，y x y x f -=),(，y x y x f <=),(。

下列公式在R 下为真的是( )A.))),(),,((),((z y f z x f A y x A z y x →∀∀∀；B.)),,((a x a f xA ∀；C.)),,((x y x f yA x ∀∀；D.))),,((),((a a x f A y x A y x →∀∀。

4. 对任意集合,,A B C ，下列结论正确的是（ ）A. C A C B B A ∉⇒∉∧∉][；B. C A C B B A ∈⇒⊆∧∈][；C. C A C B B A ∉⇒∉∧∈][；D. C A C B B A ∈⇒∈∧⊆][。

5. 关于},,{c b a X =到}3,2,1{=Y 的函数{,1,,1,,3}f a b c =<><><>，下列结论不正确的是（ ）A 、1({3}){}fc -=； B 、1(3)f c -=； C 、({}){3}f c =； D 、()3f c =。

6. 设I 为整数集合，则I 上的二元关系}4|||,{=-><=y x y x R 具有（ ）A.自反性和对称性；B.反自反性和对称性；C.反自反性和传递性；D.反对称性和传递性。

7. 设R 为非空集合A 上的关系R 的逆关系，则下列结论不成立的是（ ）A.若R 为偏序，则R 为偏序；B.若R 为拟序，则R 为拟序；C.若R 为线序，则R 为线序；D.若R 为良序，则R 为良序。

8. 设1π和2π是非空集合A 的划分，则下列结论正确的是（ ）A. 1π细分21ππ•；B. 1π细分21ππ+；C. 非空集合A 的划分12ππ细分1π；D. 1π细分非空集合A 的划分12ππ。

9. 设},,{c b a X =，X I 是X 上恒等关系，要使R a b a c c b b a I X ⋃><><><><⋃},,,,,,,{为X 上的等价关系，R 应取( )A. },,,{><><c a a c ；B. },,,{><><a b b c ；C. },,,{><><a b a c ；D. },,,{><><b c c a 。

10. 设N 和R 分别为自然数和实数集合，则下列集合中与其他集合的基数不同的集合是（ ）A.R ；B.N N ；C.()N ρ；D.n N （n N ∈）。

二、判断题（每小题2分，共10分。

对的打√，错的打×）1.（ ）P Q P ⌝∧∧)(为矛盾式。

2.（ ）A 、B 、C 是任意集合，如果B A C A ⋃=⋃，一定有C B =。

3.（ ）若集合A 上的二元关系R 是对称的，R 的绝对补R 一定是对称的。

4.（ ）有理数集是可数的。

5.（ ）若函数f ，g 为单射，则它们的复合函数也为单射的。

三、填空题（每小空2分，共20分）1．设)(x R ：x 是实数，)(x Q ：x 是有理数，)(x Z ：x 是整数，则“有理数都是实数，但实数并非都是有理数”符号化为： ； “不是这样情况：某些整数不是有理数”符号化为： 。

2. 设集合},,{c b a A =，},{b a B =， 那么 )()(A B ρρ-= ____ __ ；)(A B -ρ= ____ __。

3. 设}5,4,3,2,1,0{=A ，则定义在集合A 上二元关系}2(|,{<∧=∃><=k ky x k y x R 的关系矩阵为R M =＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿ ；=)(R t M ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

4. 设]1,0[=U ，]1,21[=A ，13(,)44B =，则()ABx ψ=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿，()A B x ψ⊕=＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿。

5.设N 为自然数集合，Q 为有理数集合，R 为实数集合，则||Q N ⨯ ||N ，||Q R - ||Q （填=，>，<）。

三、解答题（每小题10分，共20分）1. 求))(()(R Q P R Q P ⌝∧⌝→⌝∧∧→的主析取范式和主合取范式。

2. 给定集合}6,5,4,3,2,1{=A 上的偏序关系A I R ⋃><><><><><><><><><=}1,5,3,5,1,3,1,4,3,4,2,4,1,6,1,2,2,6{。

求：（1）给出了偏序集合,A R <>的哈斯图；（2分） （2）完成下表。

（每空2分）四、证明题（每小题10分，共30分）1. 用推理规则证明：QxxRQxPx→⇒→∀。

∀→→⌝x⌝x))()(())()R((xPx(()())2.设R1是A上的等价关系，R2是B上的等价关系，A≠∅且B≠∅。

关系R满足：<<x1，y1>，<x2，y2>>∈R⇔<x1，x2>∈R1且<y1，y2>∈R2，证明R是A×B上的等价关系。

3. 设I 为整数集合，E 为偶数集合，函数E E I I f ⨯→⨯:定义为：>-+=<><y x y x y x f ,),(， 证明：f 是双射函数。

安徽大学20 07 —20 08 学年第 1 学期《 离散数学 》考试试题（A 卷）参考答案及评分标准一、单项选择题（每小题2分，共20分）1.D ；2.C ；3.A ；4.B ；5.B ；6.B ；7.D ；8.B ；9.D ； 10.D 。

二、判断题（每空2分，共10分）1. √，2. ×，3. √，4. √，5. √三、填空题（每小空2分，共20分）1.))()(())()((x Q x R x x R x Q x ⌝∧∃∧→∀或))()(())()((x Q x R x x R x Q x →⌝∀∧→∀；))()((x Q x Z x ⌝∧⌝∃或))()((x Q x Z x →∀。

2. }},,{},,{},,{},{{)()(c b a c b c a c A B =-ρρ；}}{,{)(c A B φρ=-。

3. R M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000010*******0001011111；)(R t M =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡10000010000010000010111114. ⎩⎨⎧=⋃01)(x B A ψ)21,41(]1,21[]41,0[∈⋃∈x x 当当； ()A B x ψ⊕=⎩⎨⎧01)43,21[]41,0[]1,43[)21,41(⋃∈⋃∈x x 当当 5. ||Q N ⨯ = ||N ；||Q R - > ||Q 。

三、解答题（每小题10分，共30分）1. ))(()(R Q P R Q P ⌝∧⌝→⌝∧∧→)()(R Q P R Q P ⌝∧⌝∨∧∧∨⌝⇔ 2分 )()()()(R P Q P R P Q P ⌝∨∧⌝∨∧∨⌝∧∨⌝⇔ 4分 )()()(R Q P R Q P R Q P ⌝∨⌝∨∧∨⌝∨∧⌝∨∨⇔)()()(R Q P R Q P R Q P ∨⌝∨⌝∧⌝∨∨⌝∧∨∨⌝∧)6,5,4,3,2,1(π⇔(主合取范式) 8分 )7,0(∑⇔（主析取范式） 10分2. （1）,A R <>的哈斯图为2分（2）（空2分）10分四、证明题（每小题10分，共30分）1. 根据CP 规则，上式等价于))()(())()(())()((x P x R x Q x R x x Q x P x ⌝→⇒⌝→∀∧→∀ 2分 而))()(())()((x Q x R x x Q x P x ⌝→∀∧→∀)))()(())()(((x Q x R x Q x P x ⌝→∧→∀⇔ 10Q 4分 )))()(())()(((x Q x R x P x Q x ⌝→∧⌝→⌝∀⇔ 245,E E 6分 ))()(())()((x Q x R x P x Q ⌝→∧⌝→⌝⇒ 1Q 8分 )()(x P x R ⌝→⇒ 6I 10分 所以，))()(())()(())()((x P x R x Q x R x x Q x P x ⌝→→⌝→∀⇒→∀52. 证明 对任意的<x ，y >∈A ×B ，由R 1是A 上的等价关系可得<x ，x >∈R 1，由R 2是B 上的等价关系可得<y ，y >∈R 2。

再由R 的定义，有<<x ，y >，<x ，y >>∈R ，所以R 是自反的。

2分对任意的<x ，y >、<u ，v >∈A ×B ，若<x ，y >R <u ，v >，则<x ，u >∈R 1且<y ，v >∈R 2。

由R 1对称得<u ，x >∈R 1，由R 2对称得<v ，y >∈R 2。

再由R 的定义，有<<u ，v >，<x ，y >>∈R ，即<u ，v >R <x ，y >，所以R 是对称的。

6分对任意的<x ，y >、<u ，v >、<s ，t >∈A ×B ，若<x ，y >R <u ，v >且<u ，v >R <s ，t >，则<x ，u >∈R 1且<y ，v >∈R 2，<u ，s >∈R 1且<v ，t >∈R 2。

由<x ，u >∈R 1、<u ，s >∈R 1及R 1的传递性得<x ，s >∈R 1，由<y ，v >∈R 2、<v ，t >∈R 2及R 2的传递性得<y ，t >∈R 1。