导数及其应用复习题及答案 (5)
导数及其应用复习题及答案
(2019·全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ln x －x ＋1x －1
. (1)讨论f (x )的单调性，并证明f (x )有且仅有两个零点；
(2)设x 0是f (x )的一个零点，证明曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处的切线也是曲线y ＝e x 的切线.
[规范解答]
(1)解 f (x )的定义域为(0，1)∪(1，＋∞).
因为f ′(x )＝1x ＋2（x －1）2
>0， 所以f (x )在(0，1)，(1，＋∞)单调递增.2分
因为f (e)＝1－e ＋1e －1<0，f (e 2)＝2－e 2＋1e 2－1＝e 2－3e 2－1
>0， 所以f (x )在(1，＋∞)有唯一零点x 1(e<x 1<e 2)， 即f (x 1)＝0.4分
又0<1x 1<1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＝－ln x 1＋x 1＋1x 1－1
＝－f (x 1)＝0， 故f (x )在(0，1)有唯一零点1x 1
. 综上，f (x )有且仅有两个零点.7分
(2)证明 因为1x 0
＝e －ln x 0， 所以点B ⎝ ⎛⎭
⎪⎫－ln x 0，1x 0在曲线y ＝e x 上.8分 由题设知f (x 0)＝0，即ln x 0＝x 0＋1x 0－1
， 故直线AB 的斜率k ＝1x 0－ln x 0－ln x 0－x 0＝1x 0－x 0＋1x 0－1－x 0＋1x 0－1－x 0
＝1x 0.10分 又曲线y ＝e x 在点B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－ln x 0，1x 0处切线的斜率是1x 0
，曲线y ＝ln x 在点A (x 0，ln x 0)处切线的斜率也是1x 0
，
所以曲线y＝ln x在点A(x0，ln x0)处的切线也是曲线y＝e x的切线.。
导数应用精选50题(含有答案)
)
99
A. a b c
B. c > b > a
C. c > a > b
D. a > c > b
10. f (x)是函数f (x)的导函数, 将y f (x)和y f (x) 的图象画在同一直角坐标系中，不
可能正确的是
()
11.已知函数 y xf (x) 的图象如图 3 所示（其中 f (x) 是函数 f (x) 的导函数）．下面四个图 象中， y f (x) 的图象大致是（ ）
30.(本大题满分 14 分) 设 x=3 是函数 f（x）=（x2+a+b）e3-x(x∈R)的一个极值点． (1)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b)，并求 f（x）的单调区间；(2)a>0，g(x)=( a+ 25 ) ex．若
4 存在 x1、x2∈[0，4]使得| f（x1）- g(x2)|<1 成立，求 a 的取值范围．
（3）若函数 y=f(x)+g(x)有两个不同的极值点 x1，x2（xl <x2），且 x2 －xl >1n2，求实数 a 的取值范围．
28.（本题满分 14 分）
5
已知函数 f x a ln x 1 a x 1 x2, a R
2
（1）当 0 a 1时，求函数 f x 的单调区间；
（2）已知 f x 0 对定义域内的任意 x 恒成立，求实数 a 的范围.
（1）求 a, b 的值；（2）求函数 f (x) 的极小值.
26.（本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数 f (x) 1 x2 2ex , g(x) 3e2 ln x b （其中 e 为常数， e 2.71828 ）,若这两个函数
导数及其应用测试题(有详细答案)
《导数及其应用》一、选择题1。
0()0f x '=是函数()f x 在点0x 处取极值的:A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件 2、设曲线21y x =+在点))(,(x f x 处的切线的斜率为()g x ,则函数()cos y g x x =的部分图象可以为A 。
B. C 。
D.3．设()f x '是函数()f x 的导函数，将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是( ）4.若曲线y ＝x 2＋ax ＋b在点(0，b ）处的切线方程是x －y ＋1＝0，则（ ）A ．a ＝1，b ＝1B ．a ＝－1，b ＝1C ．a ＝1，b ＝－1D ．a ＝－1,b ＝－1 5．函数f (x ）＝x 3＋ax 2＋3x －9，已知f (x ）在x ＝－3时取得极值,则a 等于（ ）A ．2B ．3C ．4D ．56。
设函数()f x 的导函数为()f x '，且()()221f x x x f '=+⋅，则()0f '等于 （ )A 、0B 、4-C 、2-D 、27。
直线y x =是曲线ln y a x =+的一条切线，则实数a 的值为（ ）A ．1-B ．eC ．ln 2D ．18。
若函数)1,1(12)(3+--=k k x x x f 在区间上不是单调函数，则实数k 的取值范围（ ） A ．3113≥≤≤--≤k k k 或或 B ．3113<<-<<-k k 或C ．22<<-kD ．不存在这样的实数k9.函数()f x 的定义域为(),a b ，导函数()f x '在(),a b 内的图像如图所示， 则函数()f x 在(),a b 内有极小值点 （ )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 10.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为（ ) A ．3 B ．52 C ．2 D ．32二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 11。
导数复习题(含答案)
因为 ，所以 ，即 ，
所以 化为 ，
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
当 时，不等式 等价于 ，即 ，解得 ；
综上，不等式 的解集为 .
点睛：本题考查了与函数有关的不等式的求解问题，其中解答中涉及到利用条件构造新函数和利用导数研究函数的单调性，以及根据单调性和奇偶性的关系对不等式进行转化，解答中一定要注意函数值为零是自变量的取值，这是题目的一个易错点，试题综合性强，属于中档试题.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得 ，令
，选A.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
故答案为B。
11．已知函数 有两个零点，则 的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】函数 的定义域为 ，因为 ，当 时， ，则函数 在 上单调递增，不满足条件；当 时，令 ，得 ，所以 在 上单调递减，在 上单调递增，所以 为极小值点，要使 有两个零点，即要 ，即 ，则 的取值范围是 ，故选D.
6．函数 的图象是（）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】由函数 ，则 ，所以函数 为奇函数，
图象关于原点对称，
又 时， ，
所以当 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
综上，函数的图象大致为选项A，故选A.
7．已知函数 是函数 的导函数， ，对任意实数都有 ，设 则不等式 的解集为（）
(名师导学)高考数学总复习 同步测试卷(五)导数及其应用 理(含解析)新人教A版-新人教A版高三全册
同步测试卷理科数学(五) 【p 293】(导数及其应用) 时间：60分钟 总分：100分一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分．每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．函数y ＝x sin x ＋x 的导数是( )A ．y′＝sin x ＋x cos x ＋12xB ．y′＝sin x －x cos x ＋12xC ．y′＝sin x ＋x cos x －12xD ．y′＝sin x －x cos x －12x【解析】f′(x)＝(x)′sin x ＋x(sin x)′＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12′ ＝sin x ＋x cos x ＋12x －12＝sin x ＋x cos x ＋12x .【答案】A2．已知a 为函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( )A ．－4B ．－2C ．4D ．2【解析】f′()x ＝3x 2－12＝3()x ＋2()x －2，令f′()x ＝0得x ＝－2或x ＝2，易得f ()x 在()－2，2上单调递减，在()2，＋∞上单调递增，故f ()x 的极小值点为2，即a ＝2.【答案】D 3．定积分⎠⎛－aaa 2－x 2d x 等于( )A .14πa 2B .12πa 2 C ．πa 2D ．2πa 2【解析】由题意可知定积分表示半径为a 的半个圆的面积，所以S ＝12(πa 2)＝12πa 2.【答案】B4．直线y ＝kx ＋1与曲线f(x)＝a ln x ＋b 相切于点P(1，2)，则a ＋b ＝( )A ．1B ．4C ．3D ．2【解析】由f(x)＝a ln x ＋b ，得f′(x)＝ax，∴f′(1)＝a.再由直线y ＝kx ＋1与曲线f(x)＝a ln x ＋b 相切于点P(1，2)，得 ⎩⎪⎨⎪⎧k ＝a ，k ＋1＝b ，b ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1，a ＝1，b ＝2， ∴a＋b ＝3. 【答案】C5．已知函数y ＝f(x)是R 上的可导函数，当x ≠0时，有f ′(x )＋f （x ）x>0，则函数F (x )＝xf (x )＋1x的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3【解析】由已知得f ′（x ）·x ＋f （x ）x >0，得（xf （x ））′x>0，得(xf (x ))′与x 同号，令g (x )＝xf (x )．则可知g (x )在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增， 且g (0)＝0，又由xf (x )＋1x ＝0，即g (x )＝－1x ，显然y ＝g (x )的图象与y ＝－1x的图象只有一个交点，选B.【答案】B6．定义在R 上的偶函数f (x )的导函数为f ′(x )，若对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立，则使x 2f (x )－f (1)<x 2－1成立的实数x 的取值X 围是( )A ．{x |x ≠±1}B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1，1)D ．(－1，0)∪(0，1)【解析】f (x )是R 上的偶函数，则函数g (x )＝x 2f (x )－x 2也是R 上的偶函数， 对任意的实数x ，都有2f (x )＋xf ′(x )<2恒成立， 则g ′(x )＝x [2f (x )＋xf ′(x )－2]．当x ≥0时，g ′(x )<0，当x <0时，g ′(x )>0，即偶函数g (x )在区间(－∞，0)上单调递增，在区间(0，＋∞)上单调递减， 不等式x 2f (x )－f (1)<x 2－1即x 2f (x )－x 2<12f (1)－12， 据此可知g (x )<g (1)，则x <－1或x >1.即实数x 的取值X 围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)． 【答案】B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，将各小题的结果填在题中横线上．) 7．某产品的销售收入y 1(万元)是产量x(千台)的函数y 1＝17x 2，生产成本y 2(万元)是产量x(千台)的函数y 2＝2x 3－x 2，已知x>0，为使利润最大，应生产________(千台)．【解析】由题意，利润y ＝y 1－y 2＝17x 2－(2x 3－x 2)＝18x 2－2x 3(x ＞0)． y′＝36x －6x 2，由y′＝36x －6x 2＝6x(6－x)＝0，得x ＝6(x ＞0)， 当x∈(0，6)时，y′＞0，当x∈(6，＋∞)时，y′＜0. ∴函数在(0，6)上为增函数，在(6，＋∞)上为减函数． 则当x ＝6(千台)时，y 有最大值为216(万元)． 【答案】68．曲线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3及x 轴围成的图形的面积为________．【解析】由曲线y ＝2x 与直线y ＝－x ＋3及x 轴围成的图形的面积为⎠⎛012x d x ＋⎠⎛13(－x＋3)d x ＝43x 32|10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋3x |31＝43＋2＝103.【答案】1039．若函数f(x)＝x 3－ax 2＋3x －4a 3在(－∞，－1)，(2，＋∞)上都是单调增函数，则实数a 的取值集合是________．【解析】由f′(x)＝3x 2－2ax ＋3，(1)当Δ＝4a 2－36≤0⇒－3≤a≤3时，f(x)在R 上为增函数，满足条件； (2)当Δ＝4a 2－36>0⇒a <－3或a >3时，由⎩⎪⎨⎪⎧－1<a3<2⇒－3<a <6，f ′（－1）≥0⇒a ≥－3，f ′（2）≥0⇒a ≤154，∴3<a ≤154，∴综合得a 的取值集合是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，154. 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤－3，15410．若不等式|mx 3－ln x |≥1(m >0)，对∀x ∈(0，1]恒成立，则实数m 的取值X 围是__________________．【解析】不等式|mx 3－ln x |≥1(m >0)，对∀x ∈(0，1]恒成立， 等价为mx 3－ln x ≥1或mx 3－ln x ≤－1， 即m ≥1＋ln x x 3或m ≤ln x －1x3， 记f (x )＝1＋ln x x 3，g (x )＝ln x －1x3， 则f ′(x )＝1x ·x 3－3x 2（1＋ln x ）x 6＝－2－3ln xx4，由f ′(x )＝－2－3ln xx4＝0， 解得ln x ＝－23，即x ＝e －23，由f (x )>0，解得0<x <e －23，此时函数单调递增，由f (x )<0，解得x >e －23，此时函数单调递减，即当x ＝e －23时，函数f (x )取得极大值，同时也是最大值f (e －23)＝1＋ln e －23（e －23）3＝1－23e－2＝13e 2， 此时m ≥13e 2；由g (x )＝ln x －1x3， ∵当x ＝1时，ln x －1x3＝0， ∴当m >0时，不等式m ≤ln x －1x3不恒成立， 综上，m ≥13e 2.【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫e 23，＋∞ 三、解答题(本大题共3小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．) 11．(16分)已知函数f(x)＝e x－2x.(1)求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；(2)若函数g(x)＝f(x)－a ，x∈[－1，1]恰有2个零点，某某数a 的取值X 围． 【解析】(1)∵f(x)＝e x－2x ，∴f′(x)＝e x－2. ∴f′(0)＝－1， 又f(0)＝1，∴曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y －1＝－x ， 即x ＋y －1＝0.(2)由题意得g(x)＝e x－2x －a ， ∴g′(x)＝e x－2，由g′(x)＝e x －2＝0解得x ＝ln 2，故当－1≤x<ln 2时，g′(x)<0，g(x)在[－1，ln 2)上单调递减； 当ln 2<x≤1时，g′(x)>0，g(x)在(ln 2，1]上单调递增． ∴g(x)min ＝g(ln 2)＝2－2ln 2－a ， 又g(－1)＝e －1＋2－a ，g(1)＝e －2－a ， 结合函数的图象可得，若函数恰有两个零点，则⎩⎪⎨⎪⎧g （－1）＝e －1＋2－a≥0，g （1）＝e －2－a≥0，g （ln 2）＝2－2ln 2－a<0，解得2－2ln 2<a≤e －2. ∴实数a 的取值X 围是(2－2ln 2，e －2]．12．(16分)已知定义在正实数集上的函数f(x)＝ax 2－(a ＋2)x ＋ln x.(1)若函数g(x)＝f(x)－ax 2＋1，在其定义域上g(x)≤0恒成立，某某数a 的最小值； (2)若a>0时，f(x)在区间[1，e ]上的最小值为－2，某某数a 的取值X 围．【解析】(1)由g(x)＝ln x －(a ＋2)x ＋1≤0在其定义域上恒成立，因为x>0，∴a＋2≥ln x ＋1x，设h(x)＝ln x ＋1x(x>0)，h′(x)＝1－ln x －1x 2＝－ln xx2， 所以0<x<1时，h′(x)>0，h(x)递增，x>1时，h′(x)<0，h(x)递减， 因此h(x)max ＝h(1)＝1，∴a＋2≥1可得a≥－1， 综上实数a 的最小值是－1.(2)f′(x)＝2ax －(a ＋2)＋1x ＝（ax －1）（2x －1）x (x>0，a>0)，f′(x)＝0，x 1＝12，x 2＝1a，当a≥1，1a ≤1，x∈(1，e )，f′(x)≥0，f(x)单调递增，f(x)min ＝f(1)＝－2符合题意，当1e <a<1，x∈[1，e ]，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，1a ，f(x)单调递减，x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，e ，f(x)单调递增； f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a <f(1)＝－2舍去，当0<a≤1e，x∈(1，e )，f(x)单调递减，f(x)min ＝f(e )<f(1)＝－2舍去，综上实数a 的取值X 围是[1，＋∞)．13．(18分)已知函数f(x)＝－x －mx ＋2ln x ，m∈R .(1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1<x 2，证明：f (x 2)>1－x 2.【解析】(1)由f (x )＝－x －m x＋2ln x ，得f ′(x )＝－1＋m x 2＋2x ＝－x 2＋2x ＋m x 2＝－x 2－2x －mx 2，x ∈(0，＋∞)．设g(x)＝x2－2x－m，x∈(0，＋∞)．当m≤－1时，即Δ＝4＋4m≤0时，g(x)≥0，f′(x)≤0.∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减．当m>－1时，即Δ＝4＋4m>0时，令g(x)＝0，得x1＝1－1＋m，x2＝1＋1＋m，x1<x2.当－1<m<0时，0<x1<x2，在(0，x1)∪(x2，＋∞)上，f′(x)<0，在(x1，x2)上，f′(x)>0，∴f(x)在(0，x1)上单调递减，在(x1，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减．当m≥0时，x1≤0＜x2，在(0，x2)上，f′(x)>0，在(x2，＋∞)上，f′(x)<0，∴f(x)在(0，x2)上单调递增，在(x2，＋∞)上单调递减．综上，当m≤－1时，f(x)在(0，＋∞)上单调递减；当－1<m<0时，f(x)在(0，1－1＋m)，(1＋1＋m，＋∞)上单调递减，在(1－1＋m，1＋1＋m)上单调递增；当m≥0时，f(x)在(0，1＋1＋m)上单调递增，在(1＋1＋m，＋∞)上单调递减．(2)∵f(x)有两个极值点x1，x2，且x1<x2，∴由(1)知g(x)＝x2－2x－m有两个不同的零点x1，x2，x1＝1－1＋m，x2＝1＋1＋m，且－1<m<0，此时，x22－2x2－m＝0，要证明f(x2)＝－x2－mx2＋2ln x2>1－x2，只要证明2ln x2－mx2>1.∵m ＝x 22－2x 2，∴只要证明2ln x 2－x 2>－1成立． ∵m ∈(－1，0)，∴x 2＝1＋1＋m ∈(1，2)． 设h (x )＝2ln x －x ，x ∈(1，2)， 则h ′(x )＝2x－1，当x ∈(1，2)时，h ′(x )>0， ∴h (x )在x ∈(1，2)上单调递增， ∴h (x )>h (1)＝－1，即2ln x 2－x 2>－1，∴f (x )有两个极值点x 1，x 2，且x 1>x 2时，f (x 2)>1－x 2.word 11 / 11。
高职专升本第二章导数及其应用习题及答案
应用数学习题集第二章导数及其应用一.选择题1．若)(x f 在x 0处可导，则以下结论错误的是（ D ）。
A )(x f 在x 0处有极限； B )(x f 在x 0处连续； C )(x f 在x 0处可微； D )(lim )('x f x f x x 0→0=必成立。
2．若)(x f 在x 0处可导，则（ B ）是错误的。
(02-03电大试题) A 函数)(x f 在点x 0处有定义； B A x f x x =→)(lim 0，但)(0x f A ≠；C 函数)(x f 在x 0处连续；D 函数)(x f 在x 0处可微。
3．)(x f 在x 0处不连续，则)(x f 在x 0处（ A ）A 必不可导；B 有时可导；C 必无定义；D 必无极限。
4．函数)(x f =|2x|在x=0处的导数（ D ）。
A 等于0；B 等于2；C 等于-2；D 不存在。
5．函数)(x f =|sinx|在点x=0处的导数（ D ）。
A 等于-1；B 等于0；C 等于1 ；D 不存在。
6．||ln x y =，则y’=（ B ）。
A ||1x -； B x 1； C x1-； D ||1x 。
7．曲线y=sinx 在点(0,0)处的切线方程是（ C ）。
A y=2x B x y 21=C y=xD y=-x 8．x x x f cos )(=，则)("x f =（ D ）。
(02-03电大试题) A cosx+xsinx B cosx-xsinx C 2sinx+xcosx D -2sinx-xcosx9．函数中在[1，e]上满足Lagrange 定理条件的函数是（ B ）。
A y=ln(lnx)； B y=lnx ； C y=xln 1； D y=ln(2-x)。
10．若)(x f 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，Lagrange 定理的结论是至少存在一点ξ，使（ A ）。
(必考题)高中数学选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》检测卷(答案解析)(5)
一、选择题1．已知定义在R 上函数()f x 的导函数为()f x '，()0,πx ∀∈，有()()sin cos f x x f x x '<，且()()0f x f x +-=.设π24a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，23π33b f ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，π2c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ）.A ．a b c <<B ．b c a <<C ．a c b <<D ．c b a <<2．如图，()y f x =是可导函数，直线:2l y kx =+是曲线()y f x =在3x =处的切线，令()()g x xf x =，'()g x 是()g x 的导函数，则'(3)g =（ ）．A ．－1B ．0C ．2D ．43．如图所示，函数()y f x =的图像在点P 处的切线方程是29y x =-+，则()()44f f '+的值为（ ）A ．0B ．1C ．－1D ．24．定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x '，满足()()f x f x '<，若()01f =，则不等式()xf x e >的解集为（ ）A ．()01，B ．()1+∞，C ．()1-∞，D ．()0-∞，5．函数()22xx f x e-=的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知函数22,0()ln(1),0x x x f x x x ⎧-+≤=⎨+>⎩，若|()|f x ax ≥，则a 的取值范围是（ ）A ．(,0]-∞B ．(,1]-∞C ．[2,1]-D ．[2,0]-7．函数f （x ）＝x ﹣g （x ）的图象在点x ＝2处的切线方程是y ＝﹣x ﹣1，则g （2）+g '（2）＝（ ） A ．7B ．4C ．0D ．﹣48．已知()f x 的定义域为(0,)+∞，fx 为()f x 的导函数，且满足()()'f x xf x <-，则不等式(1)(1)f x x +>-()21f x -的解集是（ ）A ．0,1B ．2,C ．1,2D ．1,9．已知函数2()sin cos f x x x x x =++，则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<的解集为（ ） A ．(,)e +∞B ．(0,)eC ．1(,)e eD ．1(0,)(1,)e e10．已知函数()ln f x x x =，则()f x （ ） A ．在()0,∞+上递增 B ．在()0,∞+上递减 C ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递增 D ．在10,e ⎛⎫⎪⎝⎭上递减 11．已知函数()xe f x ax x =-，()0,x ∈+∞，当21x x >时，不等式()()1221f x f x x x <恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A ．(],e -∞B ．(),e -∞C ．,2e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭D ．,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦12．已知函数f x =x+cosx （），则f'=6π⎛⎫ ⎪⎝⎭（ ）A ．12B ．32C ．12-D ．2第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明参考答案二、填空题13．已知曲线()32351f x x x x =+-+，过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ，则点P 的横坐标为______________.14．()f x 的定义域为()(),00,-∞⋃+∞，()f x '是导函数，且满足()2()0xf x f x '->，若()f x 是偶函数，()11f =，则不等式()2f x x >的解集为__________.15．函数()sin cos f x x x x =+在,6ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为________.16．已知定义在(0,)+∞上的单调函数()f x ，对任意的(0,)x ∈+∞，都有[]2()log 3f f x x -=，则函数()f x 的图象在1ln 2x =处的切线的倾斜角为________. 17．已知函数()sin f x x x =+，若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=，则11a b+的最小值为______________.18．设函数f （x ）在（0，+∞）可导，其导函数为f′（x ），若f （lnx ）=x 2﹣1nx ，则f′（1）=_____19．已知函数322()3f x x ax bx a =+++,若函数()()sin 2g x f x x =+在点(0,(0))g 处的切线平行于x 轴，则实数b 的值是________． 20．若0()2f x '=，则000()()lim2x f x x f x x∆→+∆-∆＝________.三、解答题21．已知函数()2()2xx f x xe a x a R ⎛⎫=-+∈ ⎪⎝⎭. （1）当1a =时，求函数()f x 的极值； （2）讨论函数()f x 的单调性.22．已知函数2()ln (21)1()f x x ax a x a =+-++≥0. （1）当0a =时，求函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值；（2）函数()f x 在区间(1,)+∞上存在最小值，记为()g a ，求证：1()14g a a<-. 23．已知函数()ln f x a x ax =+，2()2g x x x =+，其中a R ∈. （1）求函数()()()h x f x g x =+的极值； （2）若()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()()2212,0B x g x xx <<处的切线互相垂直，求21x x -的最小值.24．已知函数()()ln f x ax b x =+.（1）当1,0a b ==时，求函数()y f x =的极值； （2）当1,1a b ==时，求不等式()22f x x ≥-的解集；（3）当1,1a b ==时，若当()1,x ∈+∞，恒有()()1f x x λ>-成立，求实数λ的取值范围.25．已知函数2e ()1xf x ax x =++，其中a R ∈.（1）若0a =，求函数()f x 的定义域和极值；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，并证明. 26．已知函数()()ln f x x x ax =+，()()g x f x '=.（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行，求实数a 的值；（2）当13a =-时，求()g x 在[]1,2上的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【分析】 首先设函数()()sin f x g x x=，判断函数的单调性，和奇偶性，利用函数的性质比较大小. 【详解】 设()()sin f x g x x=，()()()()()()sin sin sin f x f x f x g x g x x x x---====--，即()()g x g x -=，所以函数()g x 是偶函数， 并且()()()2sin cos 0sin f x x f x xg x x'-'=<，所以函数()g x 在()0,π单调递减，444sin 4f ag ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，33333sin 3f b f g g πππππ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭=--==-= ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭，222sin 2f c fg ππππ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因为0432ππππ<<<<，所以432g g g πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 即a b c >>. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数性质的综合应用，重点考查构造函数，利用函数的性质比较大小，属于中档题型.2．B解析：B 【分析】将点()3,1的坐标代入切线方程得出k 的值，得出()3f k '=以及()31f =，再对函数()y g x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，即可得出()3g '的值．【详解】将点()3,1代入直线2y kx =+的方程得321k +=，得13k =-，所以，()133f k '==-，由于点()3,1在函数()y f x =的图象上，则()31f =， 对函数()()g x xf x =求导得()()()g x f x xf x ''=+，()()()133331303g f f ⎛⎫''∴=+=+⨯-= ⎪⎝⎭，故选B ．【点睛】本题考查导数的几何意义，在处理直线与函数图象相切的问题时，抓住以下两点： （1）函数在切点处的导数值等于切线的斜率； （2）切点是切线与函数图象的公共点．3．C解析：C 【分析】由切线方程可得切点坐标和切线斜率，进而可得结果. 【详解】切线方程为：29y x =-+，当4,1x y ==，()4-2'=f 则()41=f ，()(4)4-1'+=f f 故选：C 【点睛】本题考查了导数得几何意义，考查了计算能力和逻辑推理能力，属于基础题目.4．D解析：D 【分析】 构造函数()()x f x g x e=，用导数法得到()g x 在R 上递减，然后由()01f =，得到()01g =，再利用函数的单调性定义求解.【详解】 令()()x f x g x e=，因为()()f x f x '<， 则()()()0xf x f xg x e'-'=<， 所以()g x 在R 上递减， 又()01f =，则()01g =， 不等式()xf x e >等价于()()10xf xg e>= ， 所以0x <. 故选：D 【点睛】本题主要考查函导数与函数的单调性以及函数单调性解不等式，还考查了构造函数求解问题的能力，属于中档题.5．D解析：D 【分析】利用函数()f x 的奇偶性和单调性确定正确选项. 【详解】()f x 的定义域为R ，()()22x x f x f x e--==，所以()f x 为偶函数，排除AB 选项.当0x >时，()22xx f x e -=， ()2'22xx x f x e-++=，令'0f x 解得31x =+，所以()f x 在()0,31+递增，在()31,++∞上递减.所以C 选项不符合，D 选项符合. 故选：D 【点睛】本小题主要考查函数的奇偶性和单调性，考查利用导数研究函数的单调性.6．D解析：D 【分析】作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像，结合图像可知直线y ax =介于l 与x 轴之间，利用导数求出直线l 的斜率，数形结合即可求解. 【详解】由题意可作出函数()y f x =的图像，和函数y ax =的图像.由图像可知：函数y ax =的图像是过原点的直线， 当直线介于l 与x 轴之间符合题意，直线l 为曲线的切线，且此时函数()y f x =在第二象限的部分的解析式为22y x x =-，求其导数可得22y x '=-，因为0x ≤，故2y '≤-， 故直线l 的斜率为2-，故只需直线y ax =的斜率a []2,0∈-. 故选：D 【点睛】本题考查了不等式恒成立求出参数取值范围，考查了数形结合的思想，属于中档题.7．A解析：A 【解析】()()()(),'1'f x x g x f x g x =-∴=-，因为函数()()f x x g x =-的图像在点2x =处的切线方程是1y x =--，所以()()23,'21f f =-=-，()()()()2'2221'27g g f f ∴+=-+-=，故选A ． 8．B解析：B 【分析】构造函数()()F x xf x =，再根据单调性解不等式，即得结果. 【详解】令()()F x xf x =，则()()()0F x f x xf x ''=+<，所以()F x 在(0,)+∞上单调递减(1)(1)f x x +>-()21f x -，2(1)(1)(1)x f x x ∴++>-()21f x -，2(1)(1)F x F x ∴+>-， 2011,2x x x ∴<+<-∴>，故选：B 【点睛】本题考查利用导数解不等式，考查基本分析求解能力，属中档题.9．C解析：C 【分析】先判断出()f x 为R 上的偶函数，再利用当0x >时，()'0f x >得到函数的单调性，从而可解原不等式. 【详解】因为()()()()22()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=，所以()f x 为R上的偶函数，又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<即：(ln )(1)f x f <，()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+，当0x >时，()'0f x >，故()f x 在()0,∞+为增函数，故(ln )(1)f x f <等价于ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<，故不等式的解集为1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,，故选C.【点睛】对于偶函数()f x ，其单调性在两侧是相反的，并且()()()f x fx f x ==-，对于奇函数()g x ，其单调性在两侧是相同的．另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f ．10．D解析：D 【分析】确定函数的定义域，求导函数，根据导函数的正负确定函数的单调性. 【详解】函数的定义域为（0，+∞） 求导函数，可得f′（x ）=1+lnx 令f′（x ）=1+lnx=0，可得x=1e, ∴0＜x ＜1e 时，f′（x ）＜0，x ＞1e时，f′（x ）＞0 ∴在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减, 在1,e⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增 故选D ． 【点睛】这个题目考查了导数在函数的单调性中的应用，判断函数的单调性常用的方法是：求导，根据导函数的正负得到函数的单调区间.导函数为正的区间是增区间，导函数为负的区间是减区间.11．D解析：D 【分析】由题意得出()()1122x f x x f x <，构造函数()2xg x e ax =-，可知函数()y g x =在区间()0,∞+上单调递增，可得出()20x g x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，利用参变量分离法可得出2x e a x ≤，利用导数求得函数()2xe h x x=在区间()0,∞+上的最小值，由此可求得实数a 的取值范围. 【详解】函数()xe f x ax x =-的定义域为()0,∞+，当21x x >时，()()1221f x f x x x <恒成立， 即()()1122x f x x f x <，构造函数()()2xg x xf x e ax ==-，则()()12g x g x <，所以，函数()2xg x e ax =-在区间()0,∞+上为增函数，则()20xg x e ax '=-≥对任意的0x >恒成立，2xea x∴≤，令()2xe h x x=，其中0x >，则()min a h x ≤.()()212x e x h x x-'=，当01x <<时，()0h x '<，此时函数()y h x =单调递减； 当1x >时，()0h x '>，此时函数()y h x =单调递增. 所以，函数()y h x =的最小值为()()min 12e h x h ==，2e a ∴≤.因此，实数a 的取值范围是,2e ⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：D. 【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，根据不等式的结构特征构造合适的函数是解题的关键，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12．A解析：A 【分析】 求导，将6x π=代入即可求出6f π⎛⎫⎪⎝⎭'.. 【详解】已知函数f x =x+cosx,'x =1-sinx,f ∴（）（） 则 11sin .662f ππ⎛⎫=-'= ⎪⎝⎭故选A. 【点睛】本题考查函数在一点处的导数的求法，属基础题.二、填空题13．0或或【分析】设切点的坐标由求出切线方程把代入切线方程可求得切点坐标【详解】设的坐标为过点的切线方程为代入点的坐标有整理为解得或或故答案为：0或或【点睛】本题考查导数的几何意义求函数图象的切线方程要解析：0或1-或53【分析】设切点P 的坐标，由P 求出切线方程，把(1,0)代入切线方程可求得切点坐标． 【详解】设P 的坐标为()32,351m m m m +-+，2()9101f x x x +'=-，过点P 的切线方程为()()3223519101()m m m m x y m m +-+=+---，代入点()1,0的坐标有()()()32235191011mm m mm m --+-+=+--，整理为323250m m m --=，解得0m =或1m =-或53m =， 故答案为：0或1-或53. 【点睛】本题考查导数的几何意义．求函数图象的切线方程要分两种情况：（1）函数()y f x =图象在点00(,)P x y 处的切线方程，求出导函数，得出切线方程000()()y y f x x x '-=-；（2）函数()y f x =图象过点00(,)P x y 处的切线方程：设切线坐标11(,)x y ，求出切线方程为111()()y y f x x x '-=-，代入00(,)x y 求得11,x y ，从而得切线方程．14．【分析】构造函数分析出函数为偶函数且在上为增函数将所求不等式变形为可得出可得出由此可解得原不等式的解集【详解】构造函数该函数的定义域为由于函数为偶函数则所以函数为偶函数当时则所以函数在上为增函数可得 解析：()(),11,-∞-+∞【分析】 构造函数()()2f x g x x=，分析出函数()g x 为偶函数且在()0,∞+上为增函数，将所求不等式变形为()()1g x g >，可得出()()1g x g >，可得出1x >，由此可解得原不等式的解集. 【详解】 构造函数()()2f x g x x=，该函数的定义域为()(),00,-∞⋃+∞， 由于函数()f x 为偶函数，则()()()()()22f x f xg x xx g x --==-=，所以，函数()g x 为偶函数.()()()()()24322x f x xf x x f x f x g x x x''⋅-⋅-'==， 当0x >时，()2()0xf x f x '->，则()0g x '>，所以，函数()g x 在()0,∞+上为增函数，()11f =，可得()()21111f g ==，由()2f x x >可得()21f x x>，即()()1g x g >， 所以，()()1g x g >，1x ∴>，解得1x <-或1x >. 因此，不等式()2f x x >的解集为()(),11,-∞-+∞.故答案为：()(),11,-∞-+∞.【点睛】方法点睛：该题主要考查利用导数求解函数不等式，在解题的过程中，思路如下： （1）构造函数，利用导数，结合已知条件，判断函数的单调性与奇偶性； （2）根据题中所给的函数零点，判断函数值符号，可得出不等式，求解即可.15．【分析】先求导根据单调性求函数最大值即可【详解】因为当时函数递增当时函数递减所以故答案为：【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较取其最小或最大不确定时要分类讨论解析：2π【分析】 先求导，根据单调性求函数最大值即可. 【详解】因为()sin cos sin cos f x x x x x x x '=+-=， 当,62x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()0f x '≥，函数()f x 递增， 当,2x π⎛⎤∈π ⎥⎝⎦时，()0f x '<，函数()f x 递减， 所以max ()sin cos 22222f x f πππππ⎛⎫==+= ⎪⎝⎭. 故答案为：2π． 【点睛】易错点睛：求函数的最值注意要把极值和端点函数值比较，取其最小或最大，不确定时要分类讨论.16．【分析】设则求得的值进而得到的解析式然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解【详解】设则因为为单调函数故不随的变化而变化即是常数又切线斜率为1所以倾斜角为∴答案为:【点睛】本题考查利用换元 解析：45︒【分析】设2()log t f x x =-，则()3f t =，求得t 的值，进而得到()f x 的解析式，然后利用对数函数的导数公式和导数的运算法则计算求解. 【详解】设2()log t f x x =-，则()3f t =.因为()f x 为单调函数，故t 不随x 的变化而变化即t 是常数. 又2()log f x x t =+，，2log 3t t +=，2t =，2()log 2f x x =+，1()ln 2f x x '=，11ln 2f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，切线斜率为1， 所以倾斜角为45︒. ∴答案为:45︒. 【点睛】本题考查利用换元法和方程思想求函数的解析式，利用导数的几何意义研究函数的切线问题，涉及对数函数的导数公式和导数的运算，属小综合题，关键点在于利用换元法和方程思想求得函数的解析式，在于对数函数的导数公式的准确性掌握，难度一般.17．1【分析】由知为奇函数求导分析为增函数故利用可以算得的关系再利用基本不等式的方法求的最小值即可【详解】故为奇函数又所以为增函数又故所以当且仅当时取得最小值1故答案为1【点睛】本题主要考查函数的奇偶性解析：1 【分析】由()sin f x x x =+知()f x 为奇函数,求导分析()f x 为增函数,故利用()()490f a f b +-=可以算得,a b 的关系,再利用基本不等式的方法求11a b+的最小值即可. 【详解】()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,又()'1cos 0f x x =+≥,所以()f x 为增函数.又()()()()()490,499f a f b f a f b f b +-==--=-, 故49,49a b a b =-+=,所以()11111144599b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1519⎛≥+= ⎝,当且仅当4b aa b =时取得最小值1. 故答案为1 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.18．【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式再求导代值计算即可【详解】设lnx=t 则x=et ∵f （lnx ）=x2-1nx ∴f （t ）=e2t-t ∴f （x ）=e2x-x ∴f′（x ）=2e2x-1∴f′（ 解析：221e -【分析】先利用换元法求出函数f （x ）的解析式，再求导，代值计算即可． 【详解】 设lnx=t ，则x=e t ， ∵f （lnx ）=x 2-1nx ， ∴f （t ）=e 2t -t ， ∴f （x ）=e 2x -x ， ∴f′（x ）=2e 2x -1， ∴f′（1）=2e 2-1， 故答案为2e 2-1． 【点睛】本题考查了函数解析式的求法和导数的运算，属于基础题．19．【分析】求g （x ）的导数可得x=0处切线的斜率由两直线平行的条件：斜率相等得方程解方程可得b 的值【详解】函数g （x ）=f （x ）+sin2x=x3+2ax2+bx+a2+sin2x 则g′（x ）=3x2 解析：2-【分析】求g （x ）的导数，可得x=0处，切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，得方程，解方程可得b 的值. 【详解】函数g （x ）=f （x ）+sin2x=x 3+2ax 2+bx+a 2+sin2x 则g′（x ）=3x 2+4ax+b+2cos2x ，可得g （x ）在x=0处的切线的斜率为b+2，由题意可得b+2=0，可得b=-2. 【点睛】本题考查了通过导数求切线的斜率，考查了两直线平行的条件：斜率相等；解答本题的关键是列出函数的导数等于切线斜率的方程.20．1【详解】根据函数在处导数的定义知即答案为1解析：1 【详解】根据函数()f x 在0x 处导数的定义知，()()()()()000000011limlim 1.222x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→'+∆-+∆-===∆∆即答案为1.三、解答题21．（1）极大值112e-，极小值0；（2）答案见解析. 【分析】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求导，令()0f x '=可得极值点和极值； （2）()()(1)xf x x e a '=+-，对a 分类讨论，利用导数研究其单调性即可得出． 【详解】（1）当1a =时，2()2xx f x xe x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，()()(1)(1)1x x x f x e xe x e x '=+-+=+-， 令()0f x '=，得1x =-或0x =.∴1x =-时，()f x 有极大值()12f e-=-， 0x =时，()f x 有极小值()00f =；（2）()()(1)(1)xxxf x a e e xe x x a '=+-+=+-， 当0a ≤时，0x e a ->，由()0f x '>得1x >-， 即函数()f x 在()1,-+∞上单调递增，由()0f x '<得1x <-，即函数()f x 在(),1-∞-上单调递减； 当0a >时，令()0f x '=得1x =-或ln x a =.①当ln 1a =-，即1a e -=时，无论1x >-或1x <-，均有()0f x '>， 又()10f '-=，即在R 上()0f x '≥，从而函数()f x 在R 上单调递增； ②当ln 1a <-，即10a e 时，由()()(1)01xe f x x a x '=+->⇒>-或ln x a <时，函数()f x 在()1,-+∞和(),ln a -∞上单调递增；由()()(1)0ln 1xf x x a a e x '=+-<⇒<<-时，函数()f x 在()ln ,1a -上单调递减；③当ln 1a >-，即1a e ->时，由()()(1)0ln xf x x e a x a '=+->⇒>或1x <-时， 函数()f x 在()ln ,a +∞和(),1-∞-上单调递增； 由()()(1)01ln xf x x a x a e '=+-<⇒-<<时， 函数()f x 在()1,ln a -上单调递减.综上，当0a ≤时， ()f x 单调递增区间是()1,-+∞上， 单调递减区间是(),1-∞-上； 当10ae 时，()f x 单调递增区间是(),ln a -∞,()1,-+∞，单调递减区间是()ln ,1a -；当1a e -=时，()f x 单调递增区间为(,)-∞+∞；当1a e ->时，()f x 单调递增区间是(),1-∞-,()ln ,a +∞， 单调递减区间是()1,ln a -. 【点睛】关键点点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)在研究函数单调性的过程中，要准确判断导数的符号，当()f x '含参时，要依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论. 22．（1）0；（2）证明见解析. 【分析】（1）由导数求出函数()f x 的单调性，即可得出函数()f x 在区间[1,)+∞上的最大值； （2）求导得出(21)(1)()ax x f x x--'=，讨论a 的值，确定函数()f x 的单调性，得出函数()f x 有最小值时a 的取值范围，再令12t a=，由（1）得出()ln 1,(1)h t t t t =-+>的单调性，进而证明该不等式. 【详解】解：（1）当0a =时，()ln 1f x x x =-+，则1()1f x x'=- 因为[1,)x ∈+∞，所以()0f x '≤. 所以()f x 在区间[1,)+∞上单调递减 所以()f x 区间[1,)+∞上最大值为(1)0f =. （2）由题可知1()2(21)f x ax a x'=+-+ 22(21)1ax a x x-++=(21)(1)ax x x--=.①当0a =时，由（1）知，函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递减 所以函数()f x 无最小值，此时不符合题意； ②当12a ≥时，因为(1,)x ∈+∞，所以210ax ->.此时函数()f x 在区间(1,)+∞上单调递增所以函数()f x 无最小值，此时亦不符合题意； ③当102a <<时，此时112a<. 函数()f x 在区间1(1,)2a 上单调递减，在区间1(,)2a+∞上单调递增 所以min 111()()ln 224f x f a a a==- 即11()ln 24g a a a=-. 要证1()14g a a<-，只需证当102a <<时，1()104g a a -+<成立. 即证111ln 10,0222a a a ⎛⎫-+<<< ⎪⎝⎭ 设12t a=，()ln 1,(1)h t t t t =-+> 由（1）知()(1)0h t h <= 即1()104g a a -+<成立. 所以1()14g a a<-. 【点睛】在证明不等式的恒成立问题时，可以将不等式问题转化为求函数的最值问题，进而证明不等式.23．（1）答案见解析；（2）1. 【分析】（1）求导2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=，然后分0a ≥，0a <讨论求解. （2）求导()22g x x '=+，根据()g x 的图像在()()11,A x g x ，()()22,B x g x 处的切线互相垂直，得到()()1222221x x ++=-，即 ()121141x x =--+，然后由()21221141x x x x -=+++，利用基本不等式求解.【详解】（1）函数2()ln (2)h x a x x a x =+++的定义或为(0,)+∞，2(1)2()2(2)a x x a h x x a x x⎛⎫++ ⎪⎝⎭'=+++=， 若0a ≥，()0h x '>恒成立，此时()h x 在(0,)+∞上单调递增，无极值；若0a <时，()0h x '=，解得2a x =-， 当02ax <<-时，()0h x '<，()h x 单调递减； 当2ax >-时，()0h x '>，()h x 单调递增. ∴当2a x =-时，()h x 有极小值2ln 224a a ah a a ⎛⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，无极大值.（2）()22g x x '=+，则()()1222221x x ++=-，其中，120x x <<，1222022x x ∴+<<+，且()121141x x =--+，210x -<<，()212211141x x x x ∴-=++≥=+，当且仅当21(1,0)2x =-∈-时取等号， ∴当212x =-，132x =-时，21x x -取最小值1.【点睛】结论点睛：(1)可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是f ′(x 0)＝0，且在x 0左侧与右侧f ′(x )的符号不同．(2)若函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有极值，那么y ＝f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调函数没有极值． 24．（1）()f x 有极小值1e-，无极大值；（2）[1,)+∞；（3）2λ≤. 【分析】（1）先代入参数对函数求导，令()0f x '=，列表判断单调性，即得极值情况； （2）先代入参数，将不等式移项整理，构造函数求导，研究其单调性，再利用单调性解不等式()(1)F x F ≥，即得结果；（3）先代入参数，将恒成立式移项整理，构造函数求导，讨论其单调性，再利用单调性判断其最值满足题意，即得结果；【详解】 （1）当1,0,()ln ,()1ln a b f x x x f x x '====+，定义域()0,∞+令()1ln 0f x x '=+=，得1=x e列表如下：∴当1=x e 时，()f x 有极小值ln f e ee e ⎛⎫=⋅=- ⎪⎝⎭，无极大值；（2）当1,1,()(1)ln a b f x x x ===+⋅令()()(22)(1)ln (22)F x f x x x x x =--=+⋅--1()ln 1F x x x'=+-令221111()ln 1,()x u x x u x x x x x'-=+-=-= 列表如下：当时，有极小值，即0()F x ∴在(0,)+∞单调递增，(1)0F =，故不等式()22f x x ≥-即()0(1)F x F ≥=，故解集为[1,)+∞；（3）当1,1,()(1)ln a b f x x x ===+⋅，当(1,)x ∈+∞，恒有()(1)f x x λ>-成立， 即(1,)x ∈+∞，恒有()(1)0f x x λ-->成立. 令()()(1)(1)ln (1)G x f x x x x x λλ=--=+--1()ln 1G x x xλ'=++-令1()ln 1v x x x λ=++-，21()x v x x'-= (1,),()0,()x v x v x '∈+∞∴>∴在(1,)+∞单调递增，()(1)2v x v λ∴>=-①若20λ-≥，即2λ≤，()0v x >，即()0G x '>，即()G x 在(1,)+∞单调递增.(1,)x ∈+∞()(1)0G x G ∴>=成立.即2λ≤时，当(1,)x ∈+∞，恒有()(1)f x x λ>-成立. ②若20λ-<，即2λ>，取1x e λ=>()11ln 110v e e e eλλλλλ=++-=+> ()v x 在(1,)+∞单调递增，()01,x e λ∴∃∈，使得()00v x =，∵当()01,,()0x x v x ∈<，即()0'<G x ，()G x ∴在()01,x 上单调递减()0(1)0G x G ∴<=，∴当(1,)x ∈+∞时，()0G x >不恒成立，即()(1)f x x λ>-不恒成立. 综上：2λ≤. 【点睛】利用导数研究函数()f x 极值的步骤：①写定义域，对函数()f x 求导()'f x ；②在定义域内，解不等式()0f x '>和()0f x '<③根据单调性判断函数极值点.解决恒成立问题的常用方法：①数形结合法；②分离参数法；③构造函数法. 25．（1）{|,x x ∈R 且1}x ；函数()f x 有极小值(0)1f =;（2）函数()g x 存在两个零点. 【分析】若0a =，求函数()f x 的定义域和极值，把0a =代入得函数e()1xf x x =+，故可求得函数()f x 的定义域，求它的极值，对函数求导，求出导数等于零点，及两边导数的符号，从而确定极值点；（2）当1a =时，试确定函数()()1g x f x =-的零点个数，即求函数2e ()11xg x x x =-++的零点个数，首先确定定义域，在定义域内，考虑函数的单调性，由单调性与根的存在性定理，来判断零点的个数． 【详解】（1）函数e ()1xf x x =+的定义域为{|x x R ∈，且1}x.22e (1)e e ()(1)(1)x x xx x f x x x +-==++'.令()0f x '=，得0x =，当x 变化时，()f x 和()'f x 的变化情况如下：故的单调减区间为，；单调增区间为)． 所以当0x =时，函数()f x 有极小值(0)1f =. （2）结论：函数()g x 存在两个零点. 证明过程如下：由题意，函数2e ()11xg x x x =-++，因为 22131()024x x x ++=++>， 所以函数()g x 的定义域为R .求导，得22222e (1)e (21)e (1)()(1)(1)x x x x x x x x g x x x x x ++-'+-==++++，令()0g x '=，得10x =，21x =，当x 变化时，()g x 和()'g x 的变化情况如下：故函数的单调减区间为；单调增区间为，)．当0x =时，函数()g x 有极大值(0)0g =；当1x =时，函数()g x 有极小值e(1)13g =-. 因为函数()g x 在(,0)-∞单调递增，且(0)0g =， 所以对于任意(,0)x ∈-∞，()0g x ≠. 因为函数()g x 在(0,1)单调递减，且(0)0g =， 所以对于任意(0,1)x ∈，()0g x ≠.因为函数()g x 在(1,)+∞单调递增，且e (1)103g =-<，2e (2)107g =->，所以函数()g x 在(1,)+∞上仅存在一个0x ，使得函数0()0g x =， 故函数()g x 存在两个零点（即0和0x ）. 26．（1）52a =-；（2）()max 3ln 2=g x .【分析】（1）求出函数的导数，求得()1f '的值，由题意可得124a +=-，从而可求出a 的值；（2）先求出()2ln 13g x x x =-+，然后对函数求导，通过列表判断函数的极值，得到函数只有极大值，从而可得其最大值 【详解】解：（1）由()()ln f x x x ax =+，得()ln 21f x x ax '=++，所以()112f a '=+， 因为曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与直线410x y +-=平行， 所以()14f '=-得124a +=-，解得52a =-. （2）()2ln 13g x x x =-+，()123g x x '=-， ∵12x ≤≤，∴1112x≤≤∴()max ln 22g x g ⎛⎫== ⎪⎝⎭.【点睛】此题考查了导数的几何意义的应用，考查利用导数求函数的最值，考查计算能力，属于基础题。
高考数学二轮核心考点突破：专题05-函数与导数的综合应用(含答案)
专题05 函数与导数的综合运用【自主热身，归纳提炼】1、函数f (x )＝13ax 3＋12ax 2－2ax ＋2a ＋1的图像经过四个象限的充要条件是________．【答案】－65<a <－316【解析】：由f ′(x )＝ax 2＋ax －2a ＝0得x ＝1或x ＝－2，结合图像可知函数的图像经过四个象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a <0，f 1>0，f －2<0或⎩⎪⎨⎪⎧a >0，f 1<0，f －2>0，解得－65<a <－316.2、 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 与曲线y ＝x 2(x >0)和y ＝x 3(x >0)均相切，切点分别为A (x 1，y 1)和B (x 2，y 2)，则x 1x 2的值为________．3、已知点A (0,1)，曲线C ：y ＝log a x 恒过点B ，若P 是曲线C 上的动点，且AB →·AP →的最小值为2，则实数a ＝________.【答案】e思路分析 根据条件，要求AB →·AP →的最小值，首先要将它表示成点P (x ，log a x )的横坐标x 的函数，然后再利用导数的方法来判断函数的单调性，由此来求出函数的最小值．点A (0,1)，B (1,0)，设P (x ，log a x )，则AB →·AP →＝(1，－1)·(x ，log a x －1)＝x －log a x ＋1.依题f (x )＝x －log a x ＋1在(0，＋∞)上有最小值2且f (1)＝2，所以x ＝1是f (x )的极值点，即最小值点．f ′(x )＝1－1x ln a＝x ln a －1x ln a.若0<a <1，f ′(x )>0，f (x )单调递增，在(0，＋∞)无最小值，所以a >1.设f ′(x )＝0，则x ＝log a e ，当x ∈(0，log a e)时，f ′(x )<0；当x ∈(log a e ，＋∞)时，f ′(x )>0，从而当且仅当x ＝log a e 时，f (x )取最小值，所以log a e ＝1，a ＝e.解后反思 本题的关键在于要能观察出f (x )＝x －log a x ＋1＝2的根为1，然后利用函数的极小值点为x ＝1来求出a 的值，因而解题过程中，不断地思考、观察很重要，平时学习中，要养成多思考、多观察的习惯． 4、 已知函数f (x )＝x －1－(e －1)ln x ，其中e 为自然对数的底，则满足f (e x)＜0的x 的取值范围为________． 【答案】(0,1)思路分析 注意到条件f (e x )<0，让我们想到需要研究函数f (x )的单调性，通过函数的单调性将问题进行转化化简． 【答案】： －1e【思路分析】 若ba 的最小值为λ，则b a≥λ恒成立，结合题意必有λa －b ≤0恒成立．由f (x )＝(ln x ＋e x )－ax －b ≤0恒成立，得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e a －b ≤0.猜想a ＞0，从而b a ≥－1e . f ′(x )＝1x＋(e －a )＝e －a x ＋1x(x ＞0)，当e －a ≥0，即a ≤e 时，f (e b )＝(e －a )e b＞0，显然f (x )≤0不恒成立． 当e －a ＜0，即a ＞e 时，当x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1a －e 时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －e ，＋∞时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数，所以f (x )max ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫1a －e ＝－ln(a －e)－b －1. 由f (x )≤0恒成立，得f (x )max ≤0，所以b ≥－ln(a －e)－1，所以得b a ≥－ln a －e －1a.设g (x )＝－ln x －e －1x(x ＞e)，g ′(x )＝xe －x ＋ln x －e ＋1x 2＝ee －x＋ln x －e x2. 由于y ＝e e －x ＋ln(x －e)为增函数，且当x ＝2e 时，g ′(x )＝0，所以当x ∈(e,2e)时，g ′(x )＜0，g (x )为减函数；当x ∈(2e ，＋∞)时，g ′(x )＞0，g (x )为增函数，所以g (x )min ＝g (2e)＝－1e ，所以b a ≥－1e，当a＝2e ，b ＝－2时，b a 取得最小值－1e.解后反思 在考试时，到上一步就可以结束了，胆大一点，到猜想a ＞0这步就可结束了．现证最小值能取到，当b a ＝－1e 时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0应该是极大值，所以f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝2e －a ＝0，此时a ＝2e ，b ＝－2，f (x )＝ln x －e x＋2，易证f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝0也是最大值，证毕．8、若函数f (x )＝x 2||x －a 在区间[0,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【答案】(－∞，0]∪[3，＋∞)思路分析 含绝对值的函数需要去绝对值转化为分段函数，本题已知函数在[0,2]上为增函数，则需先讨论函数在[0，＋∞)上的单调性，自然地分a ≤0和a >0两个情况进行讨论，得到函数在[0，＋∞)上的单调性，结合函数单调性得到23a ≥2，从而解出a 的取值范围．先讨论函数在[0，＋∞)上的单调性．当a ≤0时，f (x )＝x 3－ax 2，f ′(x )＝3x 2－2ax ≥0在[0，＋∞)上恒成立，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增，则也在[0,2]上单调递增，成立；当a >0时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x 3， 0≤x ≤a ，x 3－ax 2， x >a .①当0≤x ≤a 时，f ′(x )＝2ax －3x 2，令f ′(x )＝0，则x ＝0或x ＝23a ，则f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减；②当x >a 时，f ′(x )＝3x 2－2ax ＝x (3x －2a )>0，所以f (x )在(a ，＋∞)上单调递增，所以当a >0时，f (x )在⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，23a 上单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫23a ，a 上单调递减，在(a ，＋∞)上单调递增．要使函数在区间[0,2]上单调递增，则必有23a ≥2，解得a ≥3.综上，实数a 的取值范围是(－∞，0]∪[3，＋∞)．【关联1】、若函数f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪e x2－a e x (a ∈R )在区间[1,2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________． 【答案】： ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 22，e 22 【解析】：【思路分析】 本题所给函数含有绝对值符号，可以转化为g (x )＝e x2－ae x 的值域和单调性来研究，根据图像的对称性可得g (x )＝e x2－aex 只有单调递增和单调递减这两种情况．设g (x )＝e x2－ae x ，因为f (x )＝|g (x )|在区间[1,2]上单调递增，所以g (x )有两种情况：①g (x )≤0且g (x )在区间[1,2]上单调递减． 又g ′(x )＝e x 2＋2a2·e x，所以g ′(x )＝e x 2＋2a2·ex≤0在区间[1,2]上恒成立，且g (1)≤0. 所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤－e x2，e 2－ae≤0，无解．②g (x )≥0且g (x )在区间[1,2]上单调递增，即g ′(x )＝e x 2＋2a2·ex≥0在区间[1,2]上恒成立，且g (1)≥0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－e x 2，e 2－ae≥0，解得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 22，e 22.综上，实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e 22，e 22.【关联2】、若函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|在区间[－1，2]上单调递增，则实数a 的取值范围是________．【答案】： (－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞思路分析 由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解． 函数f(x)＝(x ＋1)2|x －a|＝|(x ＋1)2(x －a)|＝|x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a|. 令g(x)＝x 3＋(2－a)x 2＋(1－2a)x －a ，则g ′(x)＝3x 2＋(4－2a)x ＋1－2a ＝(x ＋1)(3x ＋1－2a)． 令g′(x)＝0得x 1＝－1，x 2＝2a －13.①当2a －13<－1，即a<－1时，令g′(x)>0，即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0，解得x<2a －13或x>－1；令g′(x)<0，解得2a －13<x<－1.所以g(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，2a －13，(－1，＋∞)，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1.又因为g(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的单调增区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫a ，2a －13，(－1，＋∞)，单调减区间是(－∞，a)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，－1，满足条件，故a<－1(此种情况函数f(x)图像如图1)． ,图1)②当2a －13＝－1，即a ＝－1时，f(x)＝|(x ＋1)3|，函数f(x)图像如图2，则f(x)的单调增区间是(－1，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)，满足条件，故a ＝－1.,图2)③当2a －13>－1，即a>－1时，令g′(x)>0，即(x ＋1)(3x ＋1－2a)>0，解得x<－1或x>2a －13；令g ′(x)<0，解得－1<x<2a －13.所以g(x)的单调增区间是(－∞，－1)，⎝⎛⎭⎪⎫2a －13，＋∞，单调减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，2a －13. 又因为g(a)＝g(－1)＝0，所以f(x)的单调增区间是⎝⎛⎭⎪⎫－1，2a －13，(a ，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，a ，要使f(x)在[－1，2]上单调递增，必须满足2≤2a －13，即a≥72，又因为a>－1，故a≥72(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上，实数a 的取值范围是(－∞，－1]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫72，＋∞.9、 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－|x 3－2x 2＋x |， x <1，ln x ， x ≥1，若对于∀t ∈R ，f (t )≤kt 恒成立，则实数k 的取值范围是________．【答案】： [1e ，1] 【思路分析】 本题条件“∀t ∈R ，f (t )≤kt ”的几何意义是：在(－∞，＋∞)上，函数y ＝f (t )的图像恒在直线y ＝kt 的下方，这自然提示我们利用数形结合的方法解决本问题．令y ＝x 3－2x 2＋x ，x <1，则y ′＝3x 2－4x ＋1＝(x －1)·(3x －1)，令y ′>0，即(x －1)(3x －1)>0，解得x <13或x >1.又因为x <1，所以x <13.令y ′<0，得13<x <1，所以y 的增区间是(－∞，13)，减区间是(13，1)，所以y极大值＝427.根据图像变换可作出函数y ＝－|x 3－2x 2＋x |，x <1的图像．又设函数y ＝ln x (x ≥1)的图像经过原点的切线斜率为k 1，切点(x 1，ln x 1)，因为y ′＝1x ，所以k 1＝1x 1＝ln x 1－0x 1－0，解得x 1＝e ，所以k 1＝1e .函数y＝x 3－2x 2＋x 在原点处的切线斜率k 2＝y ′x ＝0＝1.因为∀t ∈R ，f (t )≤kt ，所以根据f (x )的图像，数形结合可得1e≤k ≤1.10、 已知a 为常数，函数f(x)＝xa －x 2－1－x2的最小值为－23，则a 的所有值为________． 【答案】： 4，14解法1(构造三角形) f(x)＝xa －x 2－1－x 2＝x （a －x 2＋1－x 2）a －1，因为f(x)为奇函数，令g(x)＝x （a －x 2＋1－x 2）|a －1|(x>0)，则g(x)的最大值为23，由根号内的结构联想到勾股定理，从而构造△ABC 满足AB ＝a ，AC ＝1，AD ⊥BC ，AD ＝x ，则BD ＝a －x 2，DC ＝1－x 2，则S △ABC ＝12BC ·AD ＝12x(a －x 2＋1－x 2)＝12AB ·AC ·sin ∠BAC ≤12AB ·AC ＝12a ，当且仅当∠BAC ＝π2时，△ABC 的面积最大，且最大值为12 a.从而g(x)＝x （a －x 2＋1－x 2）|a －1|＝2|a －1|S △ABC ≤a |a －1|，所以a |a －1|＝23，解得a ＝4或a ＝14.解法2(导数法，理科) 由题意得函数f(x)为奇函数． 因为函数f(x)＝x a －x 2－1－x2，所以f ′(x)＝（a －x 2－1－x 2）－x ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 2a －x 2－－2x 21－x 2（a －x 2－1－x 2）2＝a －x21－x 2－x2（a －x 2－1－x 2）a －x 21－x2，a ≠1.令f ′(x)＝0，得x 2＝a －x21－x 2，则x 2＝a a ＋1.因为函数f(x)的最小值为－23，且a>0.由a －x21－x 2－x 2>0，得a －(a ＋1)x 2>0.①当0<a<1时，a －x 2－1－x 2<0，函数f(x)的定义域为[－a ，a]，由f ′(x)>0得－a ≤x<－aa ＋1或aa ＋1<x ≤a ；由f ′(x)<0得－aa ＋1<x<a a ＋1，函数f(x)在[－a ，－a a ＋1)，⎝ ⎛⎦⎥⎤a a ＋1，a 上为增函数，在(－a a ＋1，aa ＋1)上为减函数． 因为f(－a)＝a 1－a >f ⎝⎛⎭⎪⎫a a ＋1＝a a －1，所以f(x)min ＝f ⎝⎛⎭⎪⎫a a ＋1＝a a －1＝－23，解得a ＝14. ②当a>1时，a －x 2－1－x 2>0，函数f(x)的定义域为[－1，1]，由f ′(x)>0得－aa ＋1<x<a a ＋1；由f ′(x)<0得－1≤x<－aa ＋1或a a ＋1<x ≤1，函数f(x)在⎝⎛⎭⎪⎫－aa ＋1，a a ＋1上为增函数，在⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，－a a ＋1，⎝ ⎛⎦⎥⎤a a ＋1，1上为减函数． 因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋1＝－a a －1<f(1)＝1a －1，所以f(x)min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a a ＋1＝－a a －1＝－23，解得a ＝4. 综上所述，a ＝4或a ＝14.解法3(构造向量) f(x)＝xa －x 2－1－x 2＝x （a －x 2＋1－x 2）a －1，因为f(x)为奇函数，令g(x)＝x （a －x 2＋1－x 2）|a －1|(x>0)，则g(x)的最大值为23，设向量a ＝(a －x 2，x 2)，b ＝(x 2，1－x 2)，a 与b的夹角为θ，则有a ·b ＝|a |·|b |cos θ≤|a |·|b |，即(a －x 2，x 2)·(x 2，1－x 2)≤（a －x 2）＋x 2·x 2＋（1－x 2）， 亦即a －x 2·x 2＋x 2·1－x 2≤a ，亦即x (a －x 2＋1－x 2)≤a ， 当且仅当a 与b 同向时等号成立，即a －x 2·1－x 2－x 2·x 2＝0，亦即x 2＝aa ＋1时，取等号．即x (a －x 2＋1－x 2)的最大值为a ，从而g (x )的最大值为a |a －1|，即有a |a －1|＝23，解得a ＝4或a ＝14.解后反思 1. 最值的求法通常有如下的方法：(2)解法1(根的分布) 当x 0＞1时，则f(x 0)＞0，又b ＝3－a ，设t ＝f(x 0)，则题意可转化为方程ax ＋3－ax －c ＝t(t ＞0) 在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2, (6分)即关于x 的方程ax 2－(c ＋t)x ＋(3－a)＝0(t ＞0)在(0，＋∞)上有相异两实根x 1，x 2. 则x 1，2＝c ＋t ±（c ＋t ）2－4a （3－a ）2a，所以⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，Δ＝（c ＋t ）2－4a （3－a ）＞0，x 1＋x 2＝c ＋ta ＞0，x 1x 2＝3－a a ＞0，得⎩⎪⎨⎪⎧0＜a ＜3，（c ＋t ）2＞4a （3－a ），c ＋t ＞0.所以c ＞2a （3－a ）－t 对任意t ∈(0，＋∞)恒成立． 因为0＜a ＜3，所以2a （3－a ）≤2×a ＋3－a 2＝3(当且仅当a ＝32时取等号)． 又－t ＜0，所以2a （3－a ）－t 的取值范围是(－∞，3)，所以c ≥3. 故c 的最小值为3.(10分)解法2(图像法) 由b ＝3－a ，且0 ＜a ＜3，得g ′(x)＝a －3－a x 2＝ax 2－（3－a ）x 2＝0，得 x ＝3－aa或x ＝－3－a a (舍)，则函数g(x)在⎝⎛⎭⎪⎫0，3－a a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎪⎫3－a a ，＋∞上单调递增． 又对任意x 0＞1，f(x 0)为(0，＋∞)上的任意一个值，若存在不相等的正实数x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)，则g(x)的最小值小于或等于0. 即g ⎝⎛⎭⎪⎫3－a a ＝2a （3－a ）－c ≤0，(6分) 即c ≥2a （3－a ）对任意 a ∈(0，3)恒成立． 又2a （3－a ）≤a ＋(3－a)＝3，所以c ≥3.当c ＝3时，对任意a ∈(0，3)，x 0∈(1，＋∞)，方程g(x)－f(x 0)＝0化为ax ＋3－a x －3－f(x 0)＝0，即ax2－[3＋f(x 0)]x ＋(3－a)＝0 (*)．关于x 的方程(*)的Δ＝[3＋f(x 0)]2－4a(3－a)≥[3＋f(x 0)]2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋3－a 22＝[3＋f(x 0)]2－9，因为x 0＞1，所以f(x 0)＝ln x 0＞0，所以Δ＞0，所以方程(*)有两个不相等的实数解x 1，x 2，又x 1＋x 2＝f （x 0）＋3a ＞0，x 1x 2＝3－aa ＞0，所以x 1，x 2为两个相异正实数解，符合题意．所以c 的最小值为3. 解法3(图像法) 当x 0＞1时，可知f(x 0)＞0，又b ＝3－a ，设t ＝f(x 0)，则t ＞0. 令h(x)＝ax ＋3－a x －c －t(x ＞0，t ＞0)，同解法2可知h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－a a 上单调递减；在⎝⎛⎭⎪⎫3－a a ，＋∞上单调递增．当c ＜2a （3－a ）时，若0＜t ＜2a （3－a ）－c ，则x ＞0时，h(x)＝ax ＋3－ax－c －t ≥2a （3－a ）－c－t ＞0，所以h(x)在(0，＋∞)上没有零点，不符合题意． 当c ≥2a （3－a ）时，h ⎝⎛⎭⎪⎫3－a a ＝2a （3－a ）－c －t ≤－t ＜0. 因为a （3－a ）＜2a （3－a ）≤c ，a （3－a ）＜c ＋t ，所以0＜3－ac ＋t ＜3－a a ，所以当0＜m ＜3－ac ＋t时，3－a m ＞c ＋t ，所以h(m)＝am ＋3－a m －c －t ＞3－am －c －t ＞0， 又h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，3－a a 上单调递减，并且连续，则h(x)在(m ，3－aa)上恰有一个零点，所以存在x 1∈(0，3－aa)，使得h(x 1)＝0，即g(x 1)＝t. 因为c ＋t ＞c ＞a （3－a ），所以c ＋ta ＞3－a a ，所以当n ＞c ＋t a 时，h(n)＝an ＋3－an－c －t ＞an －c －t ＞0， 又h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a a ，＋∞上单调递增，并且连续，则h(x)在⎝ ⎛⎭⎪⎫3－a a ，n 上恰有一个零点，所以存在x 2∈⎝⎛⎭⎪⎫3－a a ，＋∞，使得h(x 2)＝0，即g(x 2)＝t. 所以当c ≥2a （3－a ）时，对任意x 0∈(1，＋∞)和任意a ∈(0，3)，总存在不相等的正实数x 1，x 2，使得g(x 1)＝g(x 2)＝f(x 0)．即c ≥2a （3－a ）对任意 a ∈(0，3)恒成立．又2a （3－a ）≤a ＋(3－a)＝3，当且仅当a ＝32时取等号，所以c ≥3.故c 的最小值为3.(3)当a ＝1时，因为函数f(x)与g(x)的图像交于A ，B 两点，所以⎩⎪⎨⎪⎧ln x 1＝x 1＋bx 1－c ，ln x 2＝x 2＋bx2－c ，两式相减，得b ＝x 1x 2(1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1)．要证明x 1x 2－x 2<b<x 1x 2－x 1，即证x 1x 2－x 2<x 1x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－ln x 2－ln x 1x 2－x 1<x 1x 2－x 1，即证1x 2<ln x 2－ln x 1x 2－x 1<1x 1，即证1－x 1x 2<ln x 2x 1<x 2x 1－1.令x 2x 1＝t ，则t>1，此时即证1－1t<ln t<t －1. 令φ(t)＝ln t ＋1t －1，所以φ′(t)＝1t －1t 2＝t －1t 2>0，所以当t>1时，函数φ(t)单调递增．又φ(1)＝0，所以φ(t)＝ln t ＋1t －1>0，即1－1t<ln t 成立；再令m(t)＝ln t －t ＋1，所以m ′(t)＝1t －1＝1－tt <0，所以当t>1时，函数m(t)单调递减．又m(1)＝0，所以m(t)＝ln t －t ＋1<0，即ln t<t －1也成立． 综上所述， 实数x 1，x 2满足x 1x 2－x 2<b<x 1x 2－x 1.【变式2】、.已知函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－ax ，x ≥0，其中常数a∈R .(1) 当a ＝2时，求函数f (x )的单调区间；(2) 若方程f (－x )＋f (x )＝e x－3在区间(0，＋∞)上有实数解，求实数a 的取值范围； (3) 若存在实数m ，n ∈[0，2]，且|m －n |≥1，使得f (m )＝f (n )，求证：1≤ae －1≤e.思路分析(1) 先分段讨论，再整体说明单调区间是否可合并(关键是图像在x ＝0处怎样跳跃)． (2) 转化为a ＝x 2＋x ＋3x 在(0，＋∞)上有实数解，即求函数g(x)＝x 2＋x ＋3x 在(0，＋∞)上的值域．(3) 首先缩小a 的范围为1<a<e 2，在此基础上考察f(x)在0，1，2，m ，n 处的函数值的大小关系．【解析】：(1) 当a ＝2时，f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2，x<0，e x－2x ，x ≥0.①当x<0时，f ′(x)＝－3x 2＋2x<0恒成立，所以f(x)在(－∞，0)上递减；(2分)②当x ≥0时，f ′(x)＝e x－2，可得f(x)在[0，ln 2]上递减，在[ln 2，＋∞)上递增．(4分)因为f(0)＝1>0，所以f(x)的单调递减区间是(－∞，0)和[0，ln 2]，单调递增区间是[ln 2，＋∞)．(5分) (2) 当x>0时，f(x)＝e x－ax ，此时－x<0，f(－x)＝－(－x)3＋(－x)2＝x 3＋x 2. 所以可化为a ＝x 2＋x ＋3x在区间(0，＋∞)上有实数解．(6分)记g(x)＝x 2＋x ＋3x ，x ∈(0，＋∞)，则g ′(x)＝2x ＋1－3x 2＝（x －1）（2x 2＋3x ＋3）x2.(7分) 可得g(x)在(0，1]上递减，在[1，＋∞)上递增，且g(1)＝5，当x →＋∞时，g(x)→＋∞.(9分) 所以g(x)的值域是[5，＋∞)，即实数a 的取值范围是[5，＋∞)．(10分) (3) 当x ∈[0，2]时，f(x)＝e x－ax ，有f ′(x)＝e x－a.若a ≤1或a ≥e 2，则f(x)在[0，2]上是单调函数，不合题意．(11分) 所以1<a<e 2，此时可得f(x)在[0，ln a]上递减，在[ln a ，2]上递增．不妨设0≤m<ln a<n ≤2，则f(0)≥f(m)>f(ln a)，且f(ln a)<f(n)≤f(2)．由m ，n ∈[0，2]，n －m ≥1，可得0≤m ≤1≤n ≤2.(12分) 因为f(m)＝f(n)，所以⎩⎪⎨⎪⎧1<a<e 2，f （0）≥f （m ）≥f （1），f （2）≥f （n ）≥f （1），得⎩⎪⎨⎪⎧1<a<e 2，1≥e －a ，e 2－2a ≥e －a ，(14分)即e －1≤a ≤e 2－e ，所以1≤ae －1≤e .(16分) 解后反思 第(1)题中，若函数f(x)改为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 3＋x 2＋2，x<0，e x －2x ，x ≥0.则函数f(x)的“两个”递减区间(－∞，0)和[0，ln 2]应合并为一个递减区间(－∞，ln 2]，因为函数图像在x ＝0处(从左往右)向下跳跃．而原题中函数图像在x ＝0处(从左往右)向上跳跃，所以不能合并．【关联1】、.已知函数f(x)＝e x(3x －2)，g(x)＝a(x －2)，其中a ，x ∈R . (1) 求过点(2，0)和函数y ＝f (x )图像相切的直线方程； (2) 若对任意x ∈R ，有f (x )≥g (x )恒成立，求a 的取值范围； (3) 若存在唯一的整数x 0，使得f (x 0)<g (x 0)，求a 的取值范围．思路分析 (1)利用导数的几何意义求切线的方程，根据斜率建立方程即可．(2)不等式恒成立问题处理的方法有两种：一种是分离参变，转化为相应函数的值域(最值)问题解决；另一种是转化为含参函数的值域问题，通过分类讨论解决．这里可以采取第一种方法，只是分离参变时要注意对x －2的符号进行分类讨论．(3)在第(2)小问的基础上，分离参变，转化为存在有限整数自变量满足条件的问题．利用导数研究函数F(x)＝e x （3x －2）x －2的性质，找到相关的整数自变量，求得对应的函数值是解决本问题的关键．【解析】(1) 设切点为(x 0，y 0)，f ′(x)＝e x(3x ＋1)，则切线斜率为e x 0(3x 0＋1)，所以切线方程为y －y 0＝e x 0(3x 0＋1)(x －x 0)，因为切线过点(2，0)， 所以－e x 0(3x 0－2)＝e x 0(3x 0＋1)(2－x 0)， 化简得3x 20－8x 0＝0，解得x 0＝0或x 0＝83，当x 0＝0时，切线方程为y ＝x －2， 当x 0＝83时，切线方程为y ＝9e 83x －18e 83.(2) 由题意，对任意x ∈R ，有e x(3x －2)≥a (x －2)恒成立， ①当x ∈(－∞，2)时，a ≥e x（3x －2）x －2，即a ≥⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x（3x －2）x －2max.令F (x )＝e x （3x －2）x －2，则F ′(x )＝e x （3x 2－8x ）（x －2）2， 令F ′(x )＝0，得x ＝0，列表如下：F (x )max ＝F (0)＝1，故此时a ≥1. ②当x ＝2时，恒成立，故此时a ∈R .③当x ∈(2，＋∞)时，a ≤e x（3x －2）x －2，即a ≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤e x（3x －2）x －2min，令F ′(x )＝0，得x ＝83，列表如下：F (x )min ＝F ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝9e 83， 故此时a ≤9e 83，综上，1≤a ≤9e 83.(3) 由f (x )<g (x )，得e x(3x －2)<a (x －2)， 由(2)知a ∈(－∞，1)∪(9e 83，＋∞)，令F (x )＝e x（3x －2）x －2，列表如下：(12分)当x ∈(－∞，2)时，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0)， 等价于a <e x（3x －2）x －2存在的唯一整数x 0成立，因为F (0)＝1最大，F (－1)＝53e ，F (1)＝－e ，所以当a <53e 时，至少有两个整数成立，所以a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫53e ，1. 当x ∈(2，＋∞)时，存在唯一的整数x 0使得f (x 0)<g (x 0)，等价于a >e x（3x －2）x －2存在唯一的整数x 0成立，因为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫83＝9e 83最小，且F (3)＝7e 3，F (4)＝5e 4，所以当a >5e 4时，至少有两个整数成立，当a ≤7e 3时，没有整数成立，所以a ∈(7e 3，5e 4]．综上，a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫53e ，1∪(7e 3，5e 4]．【关联2】、已知函数f(x)＝ln x（x ＋a ）2，其中a 为常数．(1) 若a ＝0，求函数f(x)的极值；(2) 若函数f(x)在(0，－a)上单调递增，求实数a 的取值范围； (3) 若a ＝－1，设函数f(x)在(0，1)上的极值点为x 0，求证：f(x 0)<－2.思路分析 第一小问，利用导函数求单调性、极值、值域的一般步骤，必须掌握！也是解决后面问题的基础；第二小问，由函数在(0，－a)上的单调性得出导函数在特定区间的符号，转化为含参数的恒成立问题；第三小问，关键是找到零点的大致范围，还是利用导数求最大值、最小值的方法． 【解析】：(1) 当a ＝0时，f(x)＝ln xx 2，定义域为(0，＋∞)．f ′(x)＝1－2ln xx3，令f ′(x)＝0，得x ＝e . 当x 变化时，f ′(x)，f(x)的变化情况如下表：x (0，e ) e(e ，＋∞)f ′(x) ＋ 0 － f(x)极大值12e所以当x ＝e 时，f(x)的极大值为12e，无极小值．①若0<－a ≤e －12，即0>a ≥－e －12，则g ′(x)＝2ln x ＋1<0对x ∈(0，－a)恒成立，所以g(x)＝2x ln x －x 在(0，－a)上单调递减，则a ≤2(－a)ln (－a)－(－a)，所以ln (－a)≥0，所以a ≤－1与a ≥－e －12矛盾，舍去；②若－a>e －12，即a<－e －12，令g ′(x)＝2ln x ＋1＝0，得x ＝e －12，当0<x<e －12时，g ′(x)＝2ln x ＋1<0，所以g(x)＝2x ln x －x 单调递减，当e －12<x<－a 时，g ′(x)＝2ln x ＋1>0，所以g(x)＝2x ln x －x 单调递增，所以当x ＝e －12时，g(x)min ＝g(e －12)＝2e －12·lne －12－e －12＝－2e －12，所以a ≤－2e －12.综上，实数a 的取值范围是(－∞，－2e －12]．(3) 当a ＝－1时，f(x)＝ln x （x －1）2，f ′(x)＝x －1－2x ln xx （x －1）3.令h(x)＝x －1－2x ln x ，x ∈(0，1)，则h ′(x)＝1－2(ln x ＋1)＝－2ln x －1，令h ′(x)＝0，得x ＝e －12.①当e －12≤x<1时，h ′(x)≤0，所以h(x)＝x －1－2x ln x 单调递减，h(x)∈(0，2e －12－1]，x ∈(0，1)，所以f ′(x)＝x －1－2x ln x x （x －1）3<0恒成立，所以f(x)＝ln x （x －1）2单调递减，且f(x)≤f(e －12)．②当0<x ≤e －12时，h ′(x)≥0，所以h(x)＝x －1－2x ln x 单调递增，其中h ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12－1－2·12·ln 12＝ln4e>0，h(e －2)＝e －2－1－2e －2·lne －2＝5e2－1<0，所以存在唯一x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫e －2，12，使得h(x 0)＝0，所以f ′(x 0)＝0，当0<x<x 0时，f ′(x)>0，所以f(x)＝ln x（x －1）2单调递增；当x 0<x ≤e －12时，f ′(x)<0，所以f(x)＝ln x （x －1）2单调递减，且f(x)≥f(e －12)，由①和②可知，f(x)＝ln x（x －1）2在(0，x 0)上单调递增，在(x 0，1)上单调递减，所以当x ＝x 0时，f(x)＝ln x（x －1）2取极大值．因为h(x 0)＝x 0－1－2x 0ln x 0＝0，所以ln x 0＝x 0－12x 0，所以f(x 0)＝ln x 0（x 0－1）2＝12x 0（x 0－1）＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122－12.又x 0∈⎝ ⎛⎭⎪⎫e －2，12⊆⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以2⎝ ⎛⎭⎪⎫x 0－122－12∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0，所以f(x 0)＝12⎝⎛⎭⎪⎫x 0－122－12<－2.解后反思 本题三个小题梯度明显，有较好的区分度．其中第(1)小题简单；第(2)小题难度中等，但要完成讨论也需要不错的基础；第三小题“隐零点”问题．不是一般的考生能讨论出范围的，建议一般的考生果断放弃．各个小问题中都利用了导数研究函数的单调性、极值、值域． 【关联3】、已知函数f (x )＝x－1－a lnx (其中a 为参数)． (1) 求函数f (x )的单调区间；(2) 若对任意x ∈(0，＋∞)都有f (x )≥0成立，求实数a 的取值集合；(3) 证明：⎝⎛⎭⎪⎫1＋1n n <e<⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1(其中n ∈N *，e 为自然对数的底数)．【解析】：(1) f ′(x )＝1－a x ＝x －ax(x >0)，当a ≤0时，f ′(x )＝1－a x ＝x －ax>0，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数；当a >0时，x (0，a ) a(a ，＋∞)f ′(x ) －0 ＋ f (x )极小值所以f (x )的增区间是(a 综上所述， 当a ≤0时，f (x )的单调递增区间是(0，＋∞)；当a >0时，f (x )的单调递增区间是(a ，＋∞)，单调递减区间是(0，a )． (2) 由题意得f (x )min ≥0.当a ≤0时，由(1)知f (x )在(0，＋∞)上是增函数， 当x →0时，f (x )→－∞，故不合题意；(6分)当a >0时，由(1)知f (x )min ＝f (a )＝a －1－a ln a ≥0.令g (a )＝a －1－a ln a ，则由g ′(a )＝－ln a ＝0，得a ＝1，a (0,1) 1 (1，＋∞)g ′(a ) ＋0 － g (a )极大值所以g (a )＝a －1－a ln a min ＝0， 所以a ＝1，即实数a 的取值集合是{1}．(10分) (3) 要证不等式1＋1n n <e<1＋1nn ＋1，两边取对数后，只要证n ln1＋1n <1<(n ＋1)ln1＋1n，即只要证1n ＋1<ln1＋1n <1n， 令x ＝1＋1n ，则只要证1－1x<ln x <x －1(1<x ≤2)．由(1)知当a ＝1时，f (x )＝x －1－ln x 在(1,2]上递增， 因此f (x )>f (1)，即x －1－ln x >0，所以ln x <x －1(1<x ≤2) 令φ(x )＝ln x ＋1x －1(1<x ≤2)，则φ′(x )＝x －1x2>0，所以φ(x )在(1,2]上递增，故φ(x )>φ(1)，即ln x ＋1x －1>0，所以1－1x<ln x (1<x ≤2)．综上，原命题得证．【关联4】、已知函数f (x )＝e x，g (x )＝x －b ，b ∈R . (1) 若函数f (x )的图像与函数g (x )的图像相切，求b 的值； (2) 设函数T (x )＝f (x )＋ag (x )，a ∈R ，求T (x )的单调递增区间；(3) 设函数h (x )＝|g (x )|·f (x )，b ＜1.若存在x 1，x 2∈[0,1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立，求b 的取值范围．【思路分析】 (1) 对于直线与曲线相切问题，只要切点不知道的，都要先设切点坐标，然后运用好切点的双重身份，即切点既是切线上的点，又是曲线上的点，它的坐标既适合切线方程，又适合曲线方程，再由方程(组)思想，求出未知量；(2) 要求函数T (x )的单调递增区间，只要求T ′(x )＞0的解区间就行，不过需对a 进行分类讨论；(3) 首先要把“若存在x 1，x 2∈[0,1]，使|h (x 1)－h (x 2)|＞1成立”运用等价转化的思想转化为“h (x )在[0,1]上的最大值h (x )max 和最小值h (x )min 满足h (x )max －h (x )min >1”，接下来的问题就是求h (x )在[0,1]上的最大值和最小值．对于含绝对值的函数一般首先要去掉绝对值，这里要运用好分类讨论思想．(3) 若存在x 1，x 2∈[0,1]，使|h (x 1)－h (x 2)|>1成立，则等价转化为h (x )在[0,1]上的最大值h (x )max 和最小值h (x )min 满足h (x )max －h (x )min >1.解法1 h (x )＝|g (x )|·f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －b e x， x ≥b ，－x －b e x， x <b .当x ≥b 时，有h ′(x )＝(x －b ＋1)e x>0； 当x <b －1时，有h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x>0； 当b －1<x <b 时，有h ′(x )＝－(x －b ＋1)e x <0，所以h (x )在(－∞，b －1)上是增函数，在(b －1，b )上是减函数，在(b ，＋∞)上是增函数．(10分) 因为b <1，则①当b ≤0时，h (x )在[0,1]上为增函数．所以h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (0)＝－b .则由h (x )max －h (x )min >1，得(1－b )e ＋b >1，解得b <1，所以b ≤0.(12分)②当0<b <1时，h (x )在(0，b )上是减函数，在(b,1)上是增函数，所以h (x )min ＝h (b )＝0，h (x )max ＝max{h (0)，h (1)}．若h (0)－h (1)＝b －(1－b )e ＝b (e ＋1)－e>0，即b >ee ＋1，此时h (0)>h (1)；若b <e e ＋1，此时h (0)<h (1)．(ⅰ) 当0<b <ee ＋1时，有h (x )max ＝h (1)＝(1－b )e ，h (x )min ＝h (b )＝0. 则由h (x )max －h (x )min >1，得(1－b )e>1，解得b <e －1e .(ⅱ) 当ee ＋1≤b <1时，有h (x )max ＝h (0)＝b ，h (x )min ＝h (b )＝0. 因为b <1，所以h (x )max －h (x )min ＝b >1不成立． 综上，b 的取值范围为－∞，e －1e.解法2 h (x )＝|g (x )|·f (x )＝|x －b |·e x＝|(x －b )e x|，令φ(x )＝(x －b )e x，则h (x )＝|φ(x )|. 先研究函数φ(x )＝(x －b )e x，φ′(x )＝(x －b ＋1)e x.因为b <1，所以在[0,1]上有φ′(x )＝(x －b ＋1)e x>0，因此φ(x )在[0,1]上是增函数．所以φ(x )min ＝φ(0)＝－b ，φ(x )max ＝φ(1)＝(1－b )e>0.①若φ(0)＝－b ≥0，即b ≤0时，h (x )min ＝φ(0)＝－b ，h (x )max ＝φ(1)＝(1－b )e ， 则由h (x )max －h (x )min >1，即(1－b )e ＋b >1，解得b <1，所以b ≤0.②若φ(0)＝－b <0，即0<b <1时，h (x )min ＝φ(b )＝0，h (x )max ＝max{－φ(0)，φ(1)}， 令－φ(0)－φ(1)＝b －(1－b )e ＝b (e ＋1)－e ＝0，则b ＝ee ＋1.(ⅰ) 当0<b <ee ＋1时，－φ(0)－φ(1)<0，所以h (x )min ＝φ(b )＝0，h (x )max ＝max{－φ(0)，φ(1)}＝φ(1)＝(1－b )e ， 由h (x )max －h (x )min >1，即(1－b )e>1，解得b <e －1e ，所以0<b <e －1e .(14分)(ⅱ) 当ee ＋1≤b <1时，－φ(0)－φ(1)≥0，所以h (x )min ＝φ(b )＝0，h (x )max ＝max{－φ(0)，φ(1)}＝－φ(0)＝b ， 由h (x )max －h (x )min >1，得b >1，与b <1矛盾，故h (x )max －h (x )min >1不成立． 综上，b 的取值范围为－∞，e －1e .。
新课标高中数学导数和应用教材复习题答案
第一章 导数及其应用 1．1变化率与导数 练习（P6）在第3 h 和5 h 时，原油温度的瞬时变化率分别为1-和3. 它说明在第3 h 附近，原油温度大约以1 ℃／h 的速度下降；在第5 h 时，原油温度大约以3 ℃／h 的速率上升. 练习（P8） 函数()h t 在3t t =附近单调递增，在4t t =附近单调递增. 并且，函数()h t 在4t 附近比在3t 附近增加得慢. 说明：体会“以直代曲”的思想. 练习（P9）函数()r V =(05)V ≤≤的图象为根据图象，估算出(0.6)0.3r '≈，(1.2)0.2r '≈.说明：如果没有信息技术，教师可以将此图直接提供给学生，然后让学生根据导数的几何意义估算两点处的导数. 习题1.1 A 组（P10） 1、在0t 处，虽然1020()()W t W t =，然而10102020()()()()W t W t t W t W t t t t--∆--∆≥-∆-∆.所以，企业甲比企业乙治理的效率高. 说明：平均变化率的应用，体会平均变化率的涵.2、(1)(1)4.9 3.3h h t h t t t∆+∆-==-∆-∆∆，所以，(1) 3.3h '=-. 这说明运动员在1t =s 附近以3.3 m ／s 的速度下降.3、物体在第5 s 的瞬时速度就是函数()s t 在5t=时的导数.(5)(5)10s s t s t t t∆+∆-==∆+∆∆，所以，(5)10s '=. 因此，物体在第5 s 时的瞬时速度为10 m ／s ，它在第5 s 的动能213101502kE =⨯⨯= J. 4、设车轮转动的角度为θ，时间为t ，则2(0)kt t θ=>.由题意可知，当0.8t =时，2θπ=. 所以258k π=，于是2258t πθ=. 车轮转动开始后第3.2 s 时的瞬时角速度就是函数()t θ在 3.2t =时的导数.(3.2)(3.2)25208t t t t θθθππ∆+∆-==∆+∆∆，所以(3.2)20θπ'=.因此，车轮在开始转动后第3.2 s 时的瞬时角速度为20π1s -.说明：第2,3,4题是对了解导数定义及熟悉其符号表示的巩固. 5、由图可知，函数()f x 在5x =-处切线的斜率大于零，所以函数在5x =-附近单调递增. 同理可得，函数()f x 在4x =-，2-，0，2附近分别单调递增，几乎没有变化，单调递减，单调递减. 说明：“以直代曲”思想的应用. 6、第一个函数的图象是一条直线，其斜率是一个小于零的常数，因此，其导数()f x '的图象如图（1）所示；第二个函数的导数()f x '恒大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加；对于第三个函数，当x 小于零时，()f x '小于零，当x 大于零时，()f x '大于零，并且随着x 的增加，()f x '的值也在增加. 以下给出了满足上述条件的导函数图象中的一种.说明：本题意在让学生将导数与曲线的切线斜率相联系. 习题1.1 B 组（P11）1、高度关于时间的导数刻画的是运动变化的快慢，即速度；速度关于时间的导数刻画的是速度变化的快慢，根据物理知识，这个量就是加速度.2、说明：由给出的()v t 的信息获得()s t 的相关信息，并据此画出()s t 的图象的大致形状. 这个过程基于对导数涵的了解，以及数与形之间的相互转换.3、由（1）的题意可知，函数()f x 的图象在点(1,5)-处的切线斜率为1-，所以此点附近曲线呈下降趋势. 首先画出切线的图象，然后再画出此点附近函数的图象. 同理可得（2）（3）某点处函数图象的大致形状. 下面是一种参考答案.说明：这是一个综合性问题，包含了对导数涵、导数几何意义的了解，以及对以直代曲思想的领悟. 本题的答案不唯一. 1．2导数的计算 练习（P18） 1、()27f x x '=-，所以，(2)3f '=-，(6)5f '=.2、（1）1ln 2y x '=； （2）2xy e '=； （3）4106y x x '=-； （4）3sin 4cos y x x '=--；（5）1sin33x y '=-； （6）y '=.习题1.2 A 组（P18）1、()()2S S r r S r r r r rπ∆+∆-==+∆∆∆，所以，0()lim(2)2r S r r r r ππ∆→'=+∆=.2、()9.8 6.5h t t '=-+.3、()r V '=4、（1）213ln 2y x x '=+； （2）1n x n xy nx e x e -'=+； （3）2323sin cos cos sin x x x x x y x-+'=； （4）9899(1)y x '=+； （5）2x y e -'=-； （6）2sin(25)4cos(25)y x x x '=+++.5、()8f x '=-+. 由0()4f x '=有 048=-+，解得0x =.6、（1）ln 1y x '=+； （2）1y x =-. 7、1x y π=-+.8、（1）氨气的散发速度()500ln 0.8340.834t A t '=⨯⨯.（2）(7)25.5A '=-，它表示氨气在第7天左右时，以25.5克／天的速率减少.习题1.2 B 组（P19） 1、（1）（2）当h 越来越小时，sin()sin x h xy h+-=就越来越逼近函数cos y x =.（3）sin y x =的导数为cos y x =.2、当0y =时，0x =. 所以函数图象与x 轴交于点(0,0)P .x y e '=-，所以01x y ='=-.所以，曲线在点P 处的切线的方程为y x =-.2、()4sin d t t '=-. 所以，上午6:00时潮水的速度为0.42-m ／h ；上午9:00时潮水的速度为0.63-m ／h ；中午12:00时潮水的速度为0.83-m ／h ；下午6:00时潮水的速度为 1.24-m ／h. 1．3导数在研究函数中的应用 练习（P26） 1、（1）因为2()24f x x x =-+，所以()22f x x '=-.当()0f x '>，即1x >时，函数2()24f x x x =-+单调递增； 当()0f x '<，即1x <时，函数2()24f x x x =-+单调递减.（2）因为()x f x e x =-，所以()1x f x e '=-.当()0f x '>，即0x >时，函数()x f x e x =-单调递增； 当()0f x '<，即0x <时，函数()x f x e x =-单调递减.（3）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.当()0f x '>，即11x -<<时，函数3()3f x x x =-单调递增； 当()0f x '<，即1x <-或1x >时，函数3()3f x x x =-单调递减.（4）因为32()f x x x x =--，所以2()321f x x x '=--.当()0f x '>，即13x <-或1x >时，函数32()f x x x x =--单调递增；当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =--单调递减.2、3、因为2()(0)f x ax bx c a =++≠，所以()2f x ax b '=+.（1）当0a >时，()0f x '>，即2b x a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. （2）当0a <时，()0f x '>，即2b x a<-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递增； ()0f x '<，即2b x a>-时，函数2()(0)f x ax bx c a =++≠单调递减. 4、证明：因为32()267f x x x =-+，所以2()612f x x x '=-.当(0,2)x ∈时，2()6120f x x x '=-<，因此函数32()267f x x x =-+在(0,2)是减函数.练习（P29） 1、24,x x 是函数()y f x =的极值点，其中2xx =是函数()y f x =的极大值点，4x x =是函数()y f x =的极小值点.2、（1）因为2()62f x x x =--，所以()121f x x '=-.令()1210f x x '=-=，得112x =. 当112x >时，()0f x '>，()f x 单调递增；当112x <时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，当112x=时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f =⨯--=-. （2）因为3()27f x x x =-，所以2()327f x x '=-.令2()3270f x x '=-=，得3x =±.注：图象形状不唯一.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即3x <-或3x >时；②当()0f x '<，即33x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当3x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为54；当3x =时，()f x 有极小值，并且极小值为54-.（3）因为3()612f x x x =+-，所以2()123f x x '=-.令2()1230f x x '=-=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即22x -<<时；②当()0f x '<，即2x <-或2x >时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为10-；当2x=时，()f x 有极大值，并且极大值为22（4）因为3()3f x x x =-，所以2()33f x x '=-.令2()330f x x '=-=，得1x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即11x -<<时；②当()0f x '<，即1x <-或1x >时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当1x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为2-；当1x =时，()f x 有极大值，并且极大值为2练习（P31）（1）在[0,2]上，当112x=时，2()62f x x x =--有极小值，并且极小值为149()1224f =-. 又由于(0)2f =-，(2)20f =.因此，函数2()62f x x x =--在[0,2]上的最大值是20、最小值是4924-. （2）在[4,4]-上，当3x =-时，3()27f x x x =-有极大值，并且极大值为(3)54f -=；当3x =时，3()27f x x x =-有极小值，并且极小值为(3)54f =-；又由于(4)44f -=，(4)44f =-.因此，函数3()27f x x x =-在[4,4]-上的最大值是54、最小值是54-.（3）在1[,3]3-上，当2x =时，3()612f x x x =+-有极大值，并且极大值为(2)22f =. 又由于155()327f -=，(3)15f =.因此，函数3()612f x x x =+-在1[,3]3-上的最大值是22、最小值是5527.（4）在[2,3]上，函数3()3f x x x =-无极值.因为(2)2f =-，(3)18f =-.因此，函数3()3f x x x =-在[2,3]上的最大值是2-、最小值是18-.习题1.3 A 组（P31） 1、（1）因为()21f x x =-+，所以()20f x '=-<.因此，函数()21f x x =-+是单调递减函数.（2）因为()cos f x x x =+，(0,)2x π∈，所以()1sin 0f x x '=->，(0,)2x π∈.因此，函数()cos f x x x =+在(0,)2π上是单调递增函数.（3）因为()24f x x =--，所以()20f x '=-<.因此，函数()24f x x =-是单调递减函数.（4）因为3()24f x x x =+，所以2()640f x x '=+>.因此，函数3()24f x x x =+是单调递增函数.2、（1）因为2()24f x x x =+-，所以()22f x x '=+.当()0f x '>，即1x >-时，函数2()24f x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即1x <-时，函数2()24f x x x =+-单调递减.（2）因为2()233f x x x =-+，所以()43f x x '=-.当()0f x '>，即34x >时，函数2()233f x x x =-+单调递增. 当()0f x '<，即34x <时，函数2()233f x x x =-+单调递减. （3）因为3()3f x x x =+，所以2()330f x x '=+>.因此，函数3()3f x x x =+是单调递增函数.（4）因为32()f x x x x =+-，所以2()321f x x x '=+-.当()0f x '>，即1x <-或13x >时，函数32()f x x x x =+-单调递增. 当()0f x '<，即113x -<<时，函数32()f x x x x =+-单调递减. 3、（1）图略. （2）加速度等于0. 4、（1）在2x x =处，导函数()y f x '=有极大值；（2）在1x x =和4x x =处，导函数()y f x '=有极小值；（3）在3x x =处，函数()y f x =有极大值； （4）在5x x =处，函数()y f x =有极小值.5、（1）因为2()62f x x x =++，所以()121f x x '=+.令()1210f x x '=+=，得112x =-.当112x >-时，()0f x '>，()f x 单调递增； 当112x <-时，()0f x '<，()f x 单调递减. 所以，112x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为211149()6()212121224f -=⨯---=-. （2）因为3()12f x x x =-，所以2()312f x x '=-.令2()3120f x x '=-=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为16；当2x=时，()f x 有极小值，并且极小值为16-.（3）因为3()612f x x x =-+，所以2()123f x x '=-+.令2()1230f x x '=-+=，得2x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当2x =-时，()f x 有极大值，并且极大值为22；当2x=时，()f x 有极小值，并且极小值为10-.（4）因为3()48f x x x =-，所以2()483f x x '=-.令2()4830f x x '=-=，得4x =±.下面分两种情况讨论：①当()0f x '>，即2x <-或2x >时；②当()0f x '<，即22x -<<时.当x 变化时，()f x '，()f x 变化情况如下表：因此，当4x =-时，()f x 有极小值，并且极小值为128-；当4x=时，()f x 有极大值，并且极大值为128.6、（1）在[1,1]-上，当112x=-时，函数2()62f x x x =++有极小值，并且极小值为4724. 由于(1)7f -=，(1)9f =，所以，函数2()62f x x x =++在[1,1]-上的最大值和最小值分别为9，4724. （2）在[3,3]-上，当2x =-时，函数3()12f x x x =-有极大值，并且极大值为16；当2x=时，函数3()12f x x x =-有极小值，并且极小值为16-.由于(3)9f -=，(3)9f =-，所以，函数3()12f x x x =-在[3,3]-上的最大值和最小值分别为16，16-.（3）在1[,1]3-上，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上无极值. 由于1269()327f -=，(1)5f =-，所以，函数3()612f x x x =-+在1[,1]3-上的最大值和最小值分别为26927，5-.（4）当4x =时，()f x 有极大值，并且极大值为128.. 由于(3)117f -=-，(5)115f =，所以，函数3()48f x x x =-在[3,5]-上的最大值和最小值分别为128，117-.习题3.3 B 组（P32）1、（1）证明：设()sin f x x x =-，(0,)x π∈. 因为()cos 10f x x '=-<，(0,)x π∈ 所以()sin f x x x =-在(0,)π单调递减因此()sin (0)0f x x x f =-<=，(0,)x π∈，即sin x x <，(0,)x π∈. 图略（2）证明：设2()f x x x =-，(0,1)x ∈.因为()12f x x '=-，(0,1)x ∈所以，当1(0,)2x ∈时，()120f x x '=->，()f x 单调递增， 2()(0)0f x x x f =->=；当1(,1)2x ∈时，()120f x x '=-<，()f x 单调递减， 2()(1)0f x x x f =->=；又11()024f =>. 因此，20x x ->，(0,1)x ∈. 图略 （3）证明：设()1x f x e x =--，0x ≠. 因为()1x f x e '=-，0x ≠所以，当0x >时，()10x f x e '=->，()f x 单调递增，()1(0)0x f x e x f =-->=；当0x <时，()10x f x e '=-<，()f x 单调递减，()1(0)0x f x e x f =-->=；综上，1xe x ->，0x ≠. 图略（4）证明：设()ln f x x x =-，0x >. 因为1()1f x x'=-，0x ≠ 所以，当01x <<时，1()10f x x'=->，()f x 单调递增， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x >时，1()10f x x'=-<，()f x 单调递减， ()ln (1)10f x x x f =-<=-<；当1x =时，显然ln11<. 因此，ln x x <.由（3）可知，1xe x x >+>，0x >.. 综上，ln x x x e <<，0x > 图略2、（1）函数32()f x ax bx cx d =+++的图象大致是个“双峰”图象，类似“”或“”的形状. 若有极值，则在整个定义域上有且仅有一个极大值和一个极小值，从图象上能大致估计它的单调区间. （2）因为32()f x ax bx cx d =+++，所以2()32f x ax bx c '=++.下面分类讨论： 当0a≠时，分0a >和0a <两种情形： ①当0a>，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a>，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≥，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增.②当0a <，且230b ac ->时，设方程2()320f x ax bx c '=++=的两根分别为12,x x ，且12x x <，当2()320f x ax bx c '=++>，即12x x x <<时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递增； 当2()320f x ax bx c '=++<，即1x x <或2x x >时，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减.当0a <，且230b ac -≤时，此时2()320f x ax bx c '=++≤，函数32()f x ax bx cx d =+++单调递减1．4生活中的优化问题举例 习题1.4 A 组（P37）1、设两段铁丝的长度分别为x，l x-，则这两个正方形的边长分别为4x，4l x -，两个正方形的面积和为22221()()()(22)4416x l x S f x x lx l -==+=-+，0x l <<.令()0f x '=，即420x l -=，2l x =. 当(0,)2l x ∈时，()0f x '<；当(,)2lx l ∈时，()0f x '>. 因此，2lx =是函数()f x 的极小值点，也是最小值点. 所以，当两段铁丝的长度分别是2l时，两个正方形的面积和最小. 2、如图所示，由于在边长为a 的正方形铁片的四角截去 四个边长为x 的小正方形，做成一个无盖方盒，所以无 盖方盒的底面为正方形，且边长为2a x -，高为x . （1）无盖方盒的容积2()(2)V x a x x =-，02a x <<. （2）因为322()44V x x ax a x =-+，所以22()128V x x ax a '=-+.令()0V x '=，得2a x =（舍去），或6ax =. 当(0,)6a x ∈时，()0V x '>；当(,)62a ax ∈时，()0V x '<. 因此，6ax =是函数()V x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当6ax=时，无盖方盒的容积最大. 3、如图，设圆柱的高为h ，底半径为R ， 则表面积222SRh R ππ=+由2VR h π=，得2V h R π=. 因此，2222()222V V S R R R R R Rππππ=+=+，0R >. 令2()40VS R R Rπ'=-+=，解得R =.当R ∈时，()0S R '<；（第2题）（第3题）当)R ∈+∞时，()0S R '>.因此，R=是函数()S R 的极小值点，也是最小值点.此时，22V h R R π===. 所以，当罐高与底面直径相等时，所用材料最省. 4、证明：由于211()()n i i f x x a n ==-∑，所以12()()n i i f x x a n ='=-∑.令()0f x '=，得11ni i x a n ==∑，可以得到，11ni i x a n ==∑是函数()f x 的极小值点，也是最小值点.这个结果说明，用n 个数据的平均值11ni i a n =∑表示这个物体的长度是合理的，这就是最小二乘法的基本原理.5、设矩形的底宽为x m ，则半圆的半径为2x m ，半圆的面积为28x π2m ，矩形的面积为28x a π-2m ，矩形的另一边长为()8a xx π-m 因此铁丝的长为22()(1)244xa x al x x x x xπππ=++-=++，0x <<令22()104al x x π'=+-=，得x =（负值舍去）.当x ∈时，()0l x '<；当x ∈时，()0l x '>.因此，x =()l x 的极小值点，也是最小值点.时，所用材料最省.6、利润L 等于收入R 减去成本C ，而收入R 等于产量乘单价. 由此可得出利润L 与产量q 的函数关系式，再用导数求最大利润.收入211(25)2588Rq p q q q q =⋅=-=-，利润2211(25)(1004)2110088L R C q q q q q =-=--+=-+-，0200q <<.求导得1214L q '=-+ 令0L '=，即12104q -+=，84q =. 当(0,84)q ∈时，0L '>；当(84,200)q ∈时，0L '<； 因此，84q=是函数L 的极大值点，也是最大值点.所以，产量为84时，利润L 最大, 习题1.4 B 组（P37）1、设每个房间每天的定价为x 元， 那么宾馆利润21801()(50)(20)7013601010x L x x x x -=--=-+-，180680x <<. 令1()7005L x x '=-+=，解得350x =. 当(180,350)x ∈时，()0L x '>；当(350,680)x ∈时，()0L x '>. 因此，350x =是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，当每个房间每天的定价为350元时，宾馆利润最大. 2、设销售价为x 元／件时， 利润4()()(4)()(5)b x L x x a c cc x a x b b -=-+⨯=--，54ba x <<. 令845()0c ac bc L x xb b +'=-+=，解得458a bx +=. 当45(,)8a b x a +∈时，()0L x '>；当455(,)84a b bx +∈时，()0L x '<. 当458a bx +=是函数()L x 的极大值点，也是最大值点. 所以，销售价为458a b+元／件时，可获得最大利润. 1．5定积分的概念 练习（P42）83. 说明：进一步熟悉求曲边梯形面积的方法和步骤，体会“以直代曲”和“逼近”的思想.练习（P45） 1、22112()[()2]()ii i i i s s v t n n n n n n'∆≈∆=∆=-+⋅=-⋅+⋅，1,2,,i n =L .于是 111()nnni i i i i is s s v t n ==='=∆≈∆=∆∑∑∑2112[()]ni i n n n ==-⋅+⋅∑22211111()()()2n n n n n n n n -=-⋅--⋅-⋅+L2231[12]2n n=-++++L 31(1)(21)26n n n n ++=-⋅+ 111(1)(1)232n n=-+++取极值，得1111115lim [()]lim [(1)(1)2]323nnn n i i i s v n n n n →∞→∞====-+++=∑∑ 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想.2、223km. 说明：进一步体会“以不变代变”和“逼近”的思想，熟悉求变速直线运动物体路程的方法和步骤. 练习（P48）2304x dx =⎰. 说明：进一步熟悉定积分的定义和几何意义.从几何上看，表示由曲线3y x =与直线0x =，2x =，0y =所围成的曲边梯形的面积4S =.习题1.5 A 组（P50） 1、（1）10021111(1)[(1)1]0.495100100i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （2）50021111(1)[(1)1]0.499500500i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰； （3）100021111(1)[(1)1]0.499510001000i i x dx =--≈+-⨯=∑⎰. 说明：体会通过分割、近似替换、求和得到定积分的近似值的方法.2、距离的不足近似值为：18112171310140⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）； 距离的过剩近似值为：271181121713167⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（m ）.3、证明：令()1f x =. 用分点 011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=L L将区间[,]a b 等分成n 个小区间，在每个小区间1[,]i i x x -上任取一点(1,2,,)i in ξ=L作和式11()nni i i b af x b a nξ==-∆==-∑∑， 从而11lim nban i b adx b a n→∞=-==-∑⎰， 说明：进一步熟悉定积分的概念. 4、根据定积分的几何意义，⎰表示由直线0x =，1x =，0y =以及曲线y =所围成的曲边梯形的面积，即四分之一单位圆的面积，因此4π=⎰.5、（1）3114x dx -=-⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，所以定积分031x dx -⎰表示由直线0x =，1x =-，0y =和曲线3y x =所围成的曲边梯形的面积的相反数.（2）根据定积分的性质，得1133311011044x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰. 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,1]上30x ≥，所以定积分131x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.（3）根据定积分的性质，得22333110115444x dx x dx x dx --=+=-+=⎰⎰⎰ 由于在区间[1,0]-上30x ≤，在区间[0,2]上30x ≥，所以定积分231x dx -⎰等于位于x 轴上方的曲边梯形面积减去位于x 轴下方的曲边梯形面积.说明：在（3）中，由于3x 在区间[1,0]-上是非正的，在区间[0,2]上是非负的，如果直接利用定义把区间[1,2]-分成n 等份来求这个定积分，那么和式中既有正项又有负项，而且无法抵挡一些项，求和会非常麻烦. 利用性质3可以将定积分231x dx -⎰化为2331x dx x dx -+⎰⎰，这样，3x在区间[1,0]-和区间[0,2]上的符号都是不变的，再利用定积分的定义，容易求出31x dx -⎰，230x dx ⎰，进而得到定积分231x dx -⎰的值. 由此可见，利用定积分的性质可以化简运算.在（2）（3）中，被积函数在积分区间上的函数值有正有负，通过练习进一步体会定积分的几何意义. 习题1.5 B 组（P50） 1、该物体在0t=到6t =（单位：s ）之间走过的路程大约为145 m.说明：根据定积分的几何意义，通过估算曲边梯形包含单位正方形的个数来估计物体走过的路程. 2、（1）9.81v t =.（2）过剩近似值：8111899.819.8188.292242i i =⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ）； 不足近似值：81111879.819.8168.672242i i =-⨯⨯⨯=⨯⨯=∑（m ） （3）49.81tdt ⎰； 49.81d 78.48t t =⎰（m ）.3、（1）分割在区间[0,]l 上等间隔地插入1n -个分点，将它分成n 个小区间：[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-，记第i 个区间为(1)[,]i l iln n-（1,2,i n =L ），其长度为 (1)il i l lx n n n-∆=-=. 把细棒在小段[0,]l n ，2[,]l l n n ，……，(2)[,]n ll n-上质量分别记作： 12,,,n m m m ∆∆∆L ，则细棒的质量1nii m m==∆∑.（2）近似代替当n 很大，即x ∆很小时，在小区间(1)[,]i l iln n -上，可以认为线密度2()x x ρ=的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于任意一点(1)[,]ii l il n n ξ-∈处的函数值2()i i ρξξ=. 于是，细棒在小段(1)[,]i l iln n-上质量 2()i i i lm x nρξξ∆≈∆=（1,2,i n =L ）. （3）求和得细棒的质量 2111()n n ni i i i i i l m m x nρξξ====∆≈∆=∑∑∑.（4）取极限 细棒的质量 21lim ni n i l m nξ→∞==∑，所以20l m x dx =⎰..1．6微积分基本定理 练习（P55）（1）50； （2）503； （3）533-； （4）24； （5）3ln 22-； （6）12； （7）0； （8）2-. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 习题1.6 A 组（P55）1、（1）403； （2）13ln 22--； （3）9ln 3ln 22+-； （4）176-； （5）2318π+； （6）22ln 2e e --. 说明：本题利用微积分基本定理和定积分的性质计算定积分. 2、3300sin [cos ]2xdx x ππ=-=⎰.它表示位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积与x 轴下方的曲边梯形的面积之差. 或表述为：位于x 轴上方的两个曲边梯形的面积（取正值）与x 轴下方的曲边梯形的面积（取负值）的代数和. 习题1.6 B 组（P55）1、（1）原式＝221011[]222x e e =-； （2）原式＝4611[sin 2]224x ππ=-； （3）原式＝3126[]ln 2ln 2x =. 2、（1）cos 1sin [][cos cos()]0mx mxdx m m m mππππππ--=-=---=⎰； （2）sin 1cos [sin sin()]0mx mxdx m m m m ππππππ--=|=--=⎰； （3）21cos 2sin 2sin []224mx x mx mxdx dx mπππππππ----==-=⎰⎰；（4）21cos 2sin 2cos []224mx x mx mxdx dx mπππππππ---+==+=⎰⎰.3、（1）0.202220()(1)[]49245245tkt kt t kt t g g g g g gs t e dt t e t e t e k k k k k k----=-=+=+-=+-⎰. （2）由题意得 0.2492452455000tt e -+-=.这是一个超越方程，为了解这个方程，我们首先估计t 的取值围. 根据指数函数的性质，当0t>时，0.201t e -<<，从而 5000495245t <<， 因此，500052454949t <<.因此50000.2749245 3.3610e-⨯-≈⨯，52450.2749245 1.2410e-⨯-≈⨯，所以，70.271.2410245 3.3610t e ---⨯<<⨯.从而，在解方程0.2492452455000tt e-+-=时，0.2245t e -可以忽略不计.因此，.492455000t -≈，解之得 524549t≈（s ）. 说明：B 组中的习题涉及到被积函数是简单的复合函数的定积分，可视学生的具体情况选做，不要求掌握. 1．7定积分的简单应用 练习（P58）（1）323； （2）1. 说明：进一步熟悉应用定积分求平面图形的面积的方法与求解过程. 练习（P59） 1、52533(23)[3]22st dt t t =+=+=⎰（m ）.2、424003(34)[4]402Wx dx x x =+=+=⎰（J ）.习题1.7 A 组（P60）1、（1）2； （2）92. 2、2[]bb a aq q q q Wkdr k k k r r a b==-=-⎰. 3、令()0v t =，即40100t -=. 解得4t =. 即第4s 时物体达到最大高度.最大高度为 42400(4010)[405]80ht dt t t =-=-=⎰（m ）.4、设t s 后两物体相遇，则 20(31)105ttt dt tdt +=+⎰⎰，解之得5t=. 即,A B 两物体5s 后相遇.此时，物体A 离出发地的距离为 523500(31)[]130t dt t t +=+=⎰（m ）.5、由Fkl =，得100.01k =. 解之得1000k =.所做的功为 0.120.10010005005Wldl l ==|=⎰（J ）.6、（1）令55()501v t t t=-+=+，解之得10t =. 因此，火车经过10s 后完全停止. （2）1021000551(5)[555ln(1)]55ln1112st dt t t t t =-+=-++=+⎰（m ）.习题1.7 B 组（P60）1、（1）22aaa x dx --⎰表示圆222x y a +=与x 轴所围成的上半圆的面积，因此2222aaa a x dx π--=⎰（2）120[1(1)]x x dx ---⎰表示圆22(1)1x y -+=与直线y x =所围成的图形（如图所示）的面积，因此，212111[1(1)]114242x x dx ππ⨯---=-⨯⨯=-⎰. 2、证明：建立如图所示的平面直角坐标系，可设抛物线的方程为2y ax =，则2()2b h a =⨯，所以24ha b=.从而抛物线的方程为224h y x b =. 于是，抛物线拱的面积232202204422()2[]33b b h h Sh x dx hx x bh b b =-=-=⎰.3、如图所示.解方程组223y x y x⎧=+⎨=⎩得曲线22y x =+与曲线3y x =交点的横坐标11x =，22x =.于是，所求的面积为122201[(2)3][3(2)]1x x dx x x dx +-+-+=⎰⎰.4、证明：2[]()R hR h R RMm Mm MmhWGdr G G r r R R h ++==-=+⎰.第一章 复习参考题A 组（P65） 1、（1）3； （2）4y =-.2、（1）22sin cos 2cos x x x y x+'=； （2）23(2)(31)(53)y x x x '=-+-； （3）22ln ln 2xxy x x'=+； （4）2422(21)x x y x -'=+.3、32GMmF r'=-. 4、（1）()0f t '<. 因为红茶的温度在下降.（2）(3)4f '=-表明在3℃附近时，红茶温度约以4℃／min 的速度下降. 图略.yxh b O（第2题）5、因为()f x =()f x '=.当()0f x '=>，即0x >时，()f x 单调递增；当()0f x '=<，即0x <时，()f x 单调递减.6、因为2()f x x px q =++，所以()2f x x p '=+.当()20f x x p '=+=，即12px =-=时，()f x 有最小值. 由12p-=，得2p =-. 又因为(1)124f q =-+=，所以5q =. 7、因为2322()()2f x x x c x cx c x =-=-+， 所以22()34(3)()f x x cx c x c x c '=-+=--.当()0f x '=，即3c x =，或x c =时，函数2()()f x x x c =-可能有极值. 由题意当2x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值，所以0c >.由于所以，当3c x =时，函数2()()f x x x c =-有极大值. 此时，23c=，6c =. 8、设当点A 的坐标为(,0)a 时，AOB ∆的面积最小. 因为直线AB 过点(,0)A a ，(1,1)P ，所以直线AB 的方程为001y x ax a--=--，即1()1y x a a=--. 当0x =时，1a y a =-，即点B 的坐标是(0,)1aa -.因此，AOB ∆的面积21()212(1)AOBa a S S a a a a ∆===--.令()0S a '=，即2212()02(1)a aS a a -'=⋅=-. 当0a=，或2a =时，()0S a '=，0a =不合题意舍去.由于所以，当2a =，即直线AB 的倾斜角为135︒时，AOB ∆的面积最小，最小面积为2.9、D .10、设底面一边的长为x m ，另一边的长为(0.5)x +m. 因为钢条长为14.8m.所以，长方体容器的高为14.844(0.5)12.88 3.2244x x xx --+-==-.设容器的容积为V ，则32()(0.5)(3.22)2 2.2 1.6V V x x x x x x x ==+-=-++，0 1.6x <<.令()0V x '=，即26 4.4 1.60xx -++=.所以，415x =-（舍去），或1x =. 当(0,1)x ∈时，()0V x '>；当(1,1.6)x ∈时，()0V x '<. 因此，1x =是函数()V x 在(0,1.6)的极大值点，也是最大值点. 所以，当长方体容器的高为1 m 时，容器最大，最大容器为1.8 m 3. 11、设旅游团人数为100x +时， 旅行社费用为2()(100)(10005)5500100000y f x x x x ==+-=-++(080)x ≤≤.令()0f x '=，即105000x -+=，50x =.又(0)100000f =，(80)108000f =，(50)112500f =.所以，50x =是函数()f x 的最大值点.所以，当旅游团人数为150时，可使旅行社收费最多. 12、设打印纸的长为x cm 时，可使其打印面积最大. 因为打印纸的面积为623.7，长为x ，所以宽为623.7x，打印面积623.7()(2 2.54)(2 3.17)S x x x=-⨯-⨯ 23168.396655.9072 6.34x x =--，5.0898.38x <<.令()0S x '=，即23168.3966.340x -=，22.36x ≈（负值舍去），623.727.8922.36≈. 22.36x =是函数()S x 在(5.08,98.38)唯一极值点，且为极大值，从而是最大值点. 所以，打印纸的长、宽分别约为27.89cm ，22.36cm 时，可使其打印面积最大. 13、设每年养q 头猪时，总利润为y 元.则21()20000100300200002y R q q q q =--=-+-(0400,)q q N <≤∈.令0y '=，即3000q -+=，300q =.当300q =时，25000y =；当400q =时，20000y =.300q=是函数()y p 在(0,400]唯一极值点，且为极大值点，从而是最大值点.所以，每年养300头猪时，可使总利润最大，最大总利润为25000元.14、（1）2； （2）22e -； （3）1；（4）原式＝22222000cos sin (cos sin )[sin cos ]0cos sin x x dx x x dx x x x xπππ-=-=+=+⎰⎰；（5）原式＝22001cos sin 2[]224x x x dx πππ---==⎰.15、略. 说明：利用函数图象的对称性、定积分的几何意义进行解释.16、2.17、由F kl =，得0.0490.01k =. 解之得 4.9k =.所做的功为 20.30.30.10.14.9 4.90.1962l W ldl ==⨯|=⎰（J ） 第一章 复习参考题B 组（P66） 1、（1）43()10210b t t '=-⨯. 所以，细菌在5t =与10t =时的瞬时速度分别为0和410-.（2）当05t≤<时，()0b t '>，所以细菌在增加；当55t<<+时，()0b t '<，所以细菌在减少.2、设扇形的半径为r ，中心角为α弧度时，扇形的面积为S . 因为212Sr α=，2l r r α-=，所以2lrα=-.222111(2)(2)222l S r r lr r r α==-=-，02l r <<.令0S '=，即40l r-=，4lr =，此时α为2弧度.4l r =是函数()S r 在(0,)2l唯一极值点，且是极大值点，从而是最大值点. 所以，扇形的半径为4l、中心角为2弧度时，扇形的面积最大. 3、设圆锥的底面半径为r ，高为h ，体积为V ，那么222rh R +=.因此，222231111()3333Vr h R h h R h h ππππ==-=-，0h R <<.令22103V R h ππ'=-=，解得h =.容易知道，3hR =是函数()V h 的极大值点，也是最大值点.所以，当3h R =时，容积最大.把3h R =代入222r h R +=，得3r R =.由2R r απ=，得α=.所以，圆心角为α=时，容积最大.4、由于28010k =⨯，所以45k=. 设船速为x km ／h 时，总费用为y ，则2420204805y x x x=⨯+⨯ 960016x x=+，0x > 令0y '=，即29600160x -=，24x ≈. 容易知道，24x =是函数y 的极小值点，也是最小值点.当24x =时，960020(1624)()9412424⨯+÷≈（元／时） 所以，船速约为24km ／h 时，总费用最少，此时每小时费用约为941元.5、设汽车以x km ／h 行驶时，行车的总费用2390130(3)14360x y x x=++⨯，50100x ≤≤ 令0y '=，解得53x ≈（km ／h ）. 此时，114y ≈（元）容易得到，53x ≈是函数y 的极小值点，也是最小值点.因此，当53x ≈时，行车总费用最少.所以，最经济的车速约为53km ／h ；如果不考虑其他费用，这次行车的总费用约是114元. 6、原式＝4404422022[]2xx x x x e dx e dx e dx e e e e -----=+=-+|=+-⎰⎰⎰. 7、解方程组 2y kxy x x =⎧⎨=-⎩得，直线y kx =与抛物线2y x x =-交点的横坐标为0x =，1k -.抛物线与x 轴所围图形的面积2312100111()[]23236x x S x x dx =-=-=-=⎰. 由题设得1120()2k k S x x dx kxdx --=--⎰⎰ 31221001()[]23kkk x x x kx dx x ---=--=-⎰3(1)6k -=.又因为16S =，所以31(1)2k -=. 于是1k =说明：本题也可以由面积相等直接得到111220()()kkkx x kx dx kxdx x x dx -----=+-⎰⎰⎰，由此求出k 的值. 但计算较为烦琐.。
导数及其应用五年(2018-2022)高考数学真题专项汇编卷
考点三 ：导数及其应用——五年（2018-2022）高考数学真题专项汇编卷 新高考版1.【2019年 北京卷】在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足12125lg2E m m E -=，其中星等为k m 的星的亮度为(1,2)k E k =.已知太阳的星等是-26.7，天狼星的星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为( ) A.10.110B.10.1C.lg10.1D.10.110-2.【2022年 新高考Ⅰ卷】（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=.若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则( )A.(0)0f =B.102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.(1)(4)f f -=D.(1)(2)g g -=3.【2022年 新高考Ⅱ卷】曲线ln ||y x =过坐标原点的两条切线的方程为____________，_________.4.【2018年 江苏卷】若函数()()3221f x x ax a R =-+∈在()0,+∞内有且只有一个零点，则()f x 在[]1,1-上的最大值与最小值的和为__________．5.【2021年 新高考Ⅰ卷】已知函数()()1ln f x x x =-. （1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e ab<+<. 6.【2021年 新高考Ⅱ卷】已知函数2()(1)e x f x x ax b =--+. （1）讨论()f x 的单调性.（2）从下面两个条件中选一个，证明：()f x 有一个零点.①21e 22a <≤，2b a >； ②102a <≤，2b a ≤.7.【2020年 天津卷】已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数. （1）当6k =时：（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值.（2）当3k ≥-时，求证：对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.8.【2020年 北京卷】已知函数2()12f x x =-.（1）求曲线()y f x =的斜率等于2-的切线方程；（2）设曲线()y f x =在点(,())t f t 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()S t ，求()S t 的最小值.9.【2019年 浙江卷】已知实数0a ≠，设函数()=ln 1,0.f x a x x x +>(1).当34a =-时，求函数()f x 的单调区间；(2).对任意21[,)ex ∈+∞均有()2x f x a ≤ 求a 的取值范围. 注：e 2.71828=⋯为自然对数的底数.10.【2018年 北京卷】设函数2(){(41)43}x f x ax a x a e =-+++ (1).若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线与x 轴平行,求a (2).若f ()x 在2x =处取得极小值,求a 的取值范围答案以及解析1.答案：A解析：依题意，126.7m =-，2 1.45m =-，所以125lg1.45(26.7)25.252E E =---=，所以122lg25.2510.15E E =⨯=，所以10.11210E E =.故选A. 2.答案：BC解析：通解（转化法）因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以函数()f x 的图象关于直线32x =对称，3535222424f f ⎛⎫⎛⎫-⨯=+⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即(1)(4)f f -=，所以C 正确；因为(2)g x +为偶函数，所以(2)(2)g x g x +=-，函数()g x 的图象关于直线2x =对称，因为()()g x f x '=，所以函数()g x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以()g x 的周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，因为(1)(4)f f -=，所以(1)(4)f f ''-=-，即(1)(4)(2)g g g -=-=-，所以D 不正确；因为332222f f ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即1722f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1722f f ⎛⎫⎛⎫''-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1711(22)2222g g g g ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-⨯-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，所以B 正确；不妨取()1()f x x =∈R ，经验证满足题意，但(0)1f =，所以选项A 不正确.综上，选BC. 光速解（特例法）因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，所以函数()f x 的图象关于直线32x =对称，函数()g x 的图象关于直线2x =对称.取符合题意的一个函数()1()f x x =∈R ，则(0)1f =，排除A ；取符合题意的一个函数()sin f x x =π，则()cos f x x '=ππ，即()cos g x x =ππ，所以(1)cos()g -=π-π=-π，(2)cos2g =ππ=π，所以(1)(2)g g -≠，排除D.故选BC.3.答案：1e y x =，1ey x =-解析：先求当0x >时，曲线ln y x =过原点的切线方程，设切点为()00,x y ，则由1y x'=，得切线斜率为01x ，又切线的斜率为00y x ，所以0001yx x =，解得01y =，代入ln y x =，得0e x =，所以切线斜率为1e ，切线方程为1e y x =.同理可求得当0x <时的切线方程为1e y x =-.综上可知，两条切线方程为1e y x =，1ey x =-.4.答案：-3解析：解： '()2(3),(0,)f x x x a x =⋅-∈+∞ 当0a ≤时， '()0f x >()f x ∴在(0,)+∞递增，(0)1f =时，则在(0,)+∞为零点，舍去当0a >时，()f x 在(0,)3a递减，(,)3a +∞递增，又()f x 只有一个零点， ()033a f a =⇒=32()231f x x x =-+ []'()6(1),1,1f x x x x =-∈-5、（1）答案：()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞解析：函数的定义域为()0,+∞，又1ln 1)n (l f x x x '=--=-，当()0,1x ∈时，()0f x '>，当()1,+x ∈∞时，()0f x '<，故()f x 的递增区间为()0,1，递减区间为()1,+∞.（2）答案：见解析解析：因为ln ln b a a b a b -=-，故()()ln 1ln +1b a a b +=，即ln 1ln +1a b a b+=，故11f f a b ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，设11x a =，21x b =，由(1)可知不妨设101x <<，21x >.因为()0,1x ∈时，()()1ln 0f x x x =->，(),x e ∈+∞时，()()1ln 0f x x x =-<， 故21x e <<.先证：122x x +>，若22x ≥，122x x +>必成立. 若22x <，要证：122x x +>，即证122x x >-，而2021x <-<， 故即证12()(2)f x f x >-，即证：22()(2)f x f x >-，其中212x <<. 设()()()2g x f x f x =--，12x <<则()()()()()2ln ln 2ln 2g x f x f x x x x x '''⎡⎤=+-=---=--⎣⎦， 因为12x <<，故()021x x <-<，故()ln 20x x -->，所以()0g x '>，故()g x 在()1,2为增函数，所以()()10g x g >=，故()()2f x f x >-，即()()222f x f x >-成立，所以122x x +>成立，综上，122x x +>成立.设21x tx =，则1t >，结合ln 1ln +1a b a b +=，11x a =，21x b=可得：()()11221ln 1ln x x x x -=-， 即：()111ln 1ln ln x t t x -=--，故11ln ln 1t t tx t --=-， 要证：12x x e +<，即证()11t x e +<，即证()1ln 1ln 1t x ++<， 即证：()1ln ln 111t t tt t --++<-，即证：()()1ln 1ln 0t t t t -+-<， 令()()()1ln 1ln S t t t t t =-+-，1t >，则()112()ln 11ln ln 111t S t t t t t t -⎛⎫'=++--=+-⎪++⎝⎭， 先证明一个不等式：()ln 1x x ≤+.设()()ln 1u x x x =+-，则1()111xu x x x -'=-=++， 当10x -<<时，()0u x '>；当0x >时，()0u x '<，故()u x 在()1,0-上为增函数，在()0,+∞上为减函数，故max ()(0)0u x u ==，故()ln 1x x ≤+成立由上述不等式可得当1t >时，112ln 11t tt ⎛⎫+≤<⎪+⎝⎭，故()0S t '<恒成立， 故()S t 在()1,+∞上为减函数，故()()10S t S <=，故()()1ln 1ln 0t t t t -+-<成立，即12x x e +<成立.综上所述，112e a b<+<. 6.答案：（1）由题意得()()e 2x f x x a '=-，当0a ≤时，令()0f x '>，得0x >；令()0f x '<，得0x <. 所以()f x 在(,0)-∞上单调递减，在(0,)+∞上单调递增. 当0a >时，令()0f x '=，得0x =或ln2x a =，①当102a <<时，令()0f x '>，得ln2x a <或0x >，令()0f x '<，得ln20a x <<.所以()f x 在(,ln 2)a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln 2,0)a 上单调递减，②当12a =时，()()e 10x f x x '=-≥且等号不恒成立，所以()f x 在R 上单调递增.③当12a >时，令()0f x '>，得0x <或ln2x a >； 令()0f x '<，得0ln2x a <<，所以()f x 在(,0)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(0,ln 2)a 上单调递减. （2）选择条件①，证明如下：由（1）知当12a >时，()f x 在(,0)-∞，(ln 2,)a +∞上单调递增，在(0,ln 2)a 上单调递减.所以()f x 在0x =处取得极大值(0)f ，在ln2x a =处取得极小值(ln 2)f a ， 且(0)1fb =-+，(ln 2)(2ln 2)ln 22f a a a a a b a =-+-.由于21e 22a <≤，2b a >，所以(0)0f >，ln20a >，20b a ->.令()2ln 2g x x x x =-，则()2ln 211ln 2g x x x '=--=-，令()0g x '=，得e2x =，当1e 22x <<时，()0g x '>.当2e e 22x <≤时，()0g x '<. 所以()g x 在1e ,22⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，在2e e ,22⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递减，所以()g x 在e 2x =处取得极大值e2g ⎛⎫⎪⎝⎭. 由于e e 022g ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，102g ⎛⎫> ⎪⎝⎭，2e 02g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以()0g x ≥在21e ,22⎛⎤⎥⎝⎦上恒成立，所以(ln 2)0f a >.当x →-∞时，()f x →-∞，所以()f x 有一个零点，得证. 选择条件②，证明如下：由（1）知，当102a <<时，()f x 在(,ln 2)a -∞，(0,)+∞上单调递增，在(ln 2,0)a 上单调递减，所以()f x 在ln2x a =处取得极大值(ln 2)f a ， 在0x =处取得极小值(0)f .由于102a <<，2b a ≤，所以(0)0f <，20b a -≤，ln20a <，ln20a a ->， 则2ln20a a a ->，所以(ln 2)0f a <.当x →+∞，()f x →+∞，所以()f x 有一个零点，得证.7.答案：（1）（i ）当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+.所以(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-.（ii ）依题意，323()36ln g x x x x x =-++，(0,)x ∈+∞，从而可得2263()36g x x x x x '=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x -+'=.令()0g x '=，解得1x =.当x 变化时，()g x '，()g x 的变化情况如表：x(0,1) 1 (1,)+∞()g x ' -0 + ()g x单调递减极小值单调递增()g x (0,1)(1,)+∞()g x (1)1g =，无极大值.（2）由3()ln f x x k x =+，得2()3kf x x x'=+. 对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+-- ⎪⎝⎭.①令1()2ln h x x x x=--，[1,)x ∈+∞.当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭， 由此可得()h x 在[1,)+∞上单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0t t t-->. 因为21x ≥，323331(1)0t t t t -+-=->，3k ≥-，所以()()332322113312ln 33132ln x t t t k t t t t t t t tt⎛⎫⎛⎫-+-+--≥-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭32336ln 1t t t t=-++-.②由（1）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>，故32336ln 10t t t t-++->.③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->. 所以当3k ≥-时，对任意的1x ，2[1,)x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-.8.答案：()212f x x =-（1）设切点为()()00,x f x ()2f x x '=-()0022f x x '=-=-01x ∴= ()111f =∴切线()1121y x -=--213y x ∴=-+（2）()212f x x =-定义域R ，()()f x f x -=.∴()f x 为偶函数()f x 关于y 轴对称∴只须分析0x ≥既可当0x =不合题意舍0t ∴>()2f x x '=- ()2f t x '=-：在()()t f t 、处切线()()2122y t t x t --=-- 令0x = 得212y t =+；令0y =时2122t x t+= ()()22221211244t S t xy tt +=== ∴t x =()0x >()412x g x x+=()()()(234223222412x x x x x x g x x x +---+'==()0g x '> 2x ()0g x '< 02x <<()min 282g x g∴==()()()2min min 1324S t g x ∴== 9.答案：(1).当34a =-时，3()ln 1,04f x x x x =-++>．3(12)(211)()42141x x f 'x x x x x+-++=-=++ 所以，函数()f x 的单调递减区间为03（，），单调递增区间为3+∞（，）． (2).由1(1)2f a≤，得20a <≤当204a <≤时，()2x f x a ≤等价于212ln 0x xx a a+--≥． 令1t a=，则22t ≥． 设()212ln ,2g t t x t x x t =+≥，则()(22)4212ln g t g x x x ≥=+．①.当1,7x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭1122x + ()(22)4212ln g t g x x x ≥=+．记1()4221ln ,7p x x x x x =+≥，则 212121()11x x x x p'x x x x x x +--+==++. 故x17 1(,1)71 (1,)+∞()p'x+ ()p x1()7p 单调递减极小值(1)p单调递增()(1)0p x p ≥=因此，()(22)2()0g t g p x ≥=≥．②.当211,e 7x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，12ln (1)()12x x x g t g x x --+≥+=． 令211()(1),,e 7q x x x x x ⎡⎤=++∈⎢⎥⎣⎦，则()10q'x x =>， 故()q x 在211,e 7⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，所以1()7q x q ⎛⎫≤ ⎪⎝⎭．由（i ）得127127(1)07777q p p ⎛⎫⎛⎫=-<-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．所以，()<0q x ．因此1()102g t g x x ≥+=>． 由（i ）（ii ）得对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，[22,),()0t g t ∈+∞≥，即对任意21,e x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，均有()2x f x a ≤．综上所述，所求a 的取值范围是20,4⎛ ⎝⎦．10.答案：(1). 1a =(2). a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭解析：(1). 因为2()(41)43xf x ax a x a e ⎡⎤=-+++⎣⎦,所以()()()()()22 2414143212x x xf x ax a e ax a x a e x R ax a x e ⎡⎤⎡⎤--⎡⎤⎣⎦⎣'=-+++++∈=++⎦⎣⎦,()()11.f a e '=-由题设知()10,f '=即()10,a e -=解得1a =. 此时()130f e =≠.所以a 的值为1(2).由(1)得()()()()221212x xf x ax a x e ax x e ⎡'=++-⎣⎦-⎤-=.若12a >,则当1,2x a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时, ()'0f x <;当()2,x ∈+∞时, ()0f x '>.所以()0f x <在2x =处取得极小值. 若12a ≤,则当()0,2x ∈时, 1–20,1102x ax x <-≤-<,所以()0f x '>. 所以2不是()f x 的极小值点.综上可知, a 的取值范围是1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭。
导数及其应用复习完整版
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆=D ． 0x ∆≠ 【答案】D2．函数f (x )＝2x 2－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 变式．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________.3． 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.（x+x 1）′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=－2xsinx4．下列说法正确的是（ ）A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5．设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 ．【解析】：因为当12x -≤≤ 时，204x ≤≤ ，所以，212116x -≤≤所以由估值定理得：()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， 即22132316x dx --≤≤⎰，所以答案应填：3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6．211dx x +=⎰⎰．【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．变式1．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.变式2．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ．9．已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 ． 变式.点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．题型三、导数的综合应用 类型1：导数的运算性质10.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-变式1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是______ ．变式2．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)变式3．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________． 变式4．定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为（ ）A ．{}1x x ≠±B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-【解析】：当0x >时，由()()220f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得： ()()2220xf x x f x x -'-< 设：()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：∴()g x 在(0)+∞，单调递减，由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-，即()()1g x g <，即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-；综上可知：实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞，，，故选：B变式5．函数()f x 的定义域是R ，(0)3f =，对任意,()()1x R f x f x ∈+>/，则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|0}x x >C ．{|1,}x x x <->或1D ．{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/，∴()()0xxxe f x e f x e +>>/，∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/，即{[()1]}0x e f x '->，∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增，且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->，∴x>0，故选B类型2：单调性问题11．函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）DA ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 变式1．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调，实数a 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()()4,00,4- C ．()0,2 D ．()0,4【答案】D变式2．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B < 12．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式1．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．变式2．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．变式3．函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上递增，则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)13．已知f(x)=e x -ax-1.（1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】解 ： f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] （3）由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤1，∴a=1.14．设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ． D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确16．函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能（ ）O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )类型4：极值（最值）问题17．已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. （1）曲线在P 点处的切线方程； （2）求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解：（1）因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1，所以1b = 又'2y x a =-，所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=（2）由题意可得，令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下：x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭， 极小值为661f =⎝⎭18．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 经检验合题意；………4分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当0)(/<x f 时，10<<x ，)(x f 单调递减；当0)(/>x f 时，1>x ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……8分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，列表略 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间]2,1[上的最小值；（3）设)(')()(x f x f x g +=，当2523≤≤k 时，对任意]1,0[∈x ，都有λ≥)(x g 成立，求实数λ的范围。