5.3_水箱变高了讲解
5.3应用一元一次方程水箱变高了(教案)
4.培养学生的数学建模素养，通过构建水位高度与时间的关系模型，培养学生运用数学知识解决现实问题的能力。
5.培养学生的数据分析素养，让学生在解决问题的过程中，学会收集、整理、分析数据，为解决更复杂的实际问题奠定基础。
举例：在本节课中，教师应重点讲解如何将水箱注水过程中水位的变化转化为数学模型，即一元一次方程。例如，如果水箱每分钟注水V升，初始水位为h0米，经过t分钟后水位变为h米，那么可以通过方程h = h0 + Vt来描述这一过程。
2.教学难点
-抽象出实际问题中的一元一次方程模型，特别是当问题情境较为复杂时。
三、教学难点与重点
1.教学重点
-理解并掌握一元一次方程在描述现实问题中的应用，尤其是水箱注水问题中水位高度与时间的关系。
-学会根据实际问题抽象出一元一次方程，并能正确列出方程。
-掌握一元一次方程的解法，特别是如何将实际问题转化为方程求解。
-能够运用一元一次方程解决类似水箱注水问题，如计算注水时间、确定水位高度等。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调如何从实际问题中抽象出一元一次方程，以及如何解这样的方程。对于难点部分，我会通过具体的例子和逐步解析来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与水位变化相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的模拟实验。通过加水到容器中，观察并记录水位随时间的变化。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。
（五）总结回顾（用时5分钟）
北师版初中七上数学5.3 应用一元一次方程-水箱变高了(课件)
例题欣赏 ☞
例题&解析
（2）若使长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时正方形 的边长是多少米？围成的面积与第二次围成的面积相比，又有什么 变化？
x
例题&解析
解：（2）设正方形的边长为x米.
根据题意，得：(x +x) ×2 =10 解得：x=2.5
面积：2.5×2.5=6.25(米2)
同样长的铁丝围成 怎样的四边形面积
x x+0.8
例题&解析
解：（1）设长方形的宽为x米，则它的长为（x+0.8） 米.根据题意，得：
(x+0.8 +x)×2=10 解得：x=2.1 长：2.1+0.8=2.9 面积：2.9×2.1=6.09(米2)
此时长方形的长为2.9米，宽为2.1米，面积为6.09平方米.此时长 方形的面积比第一次围成的面积增大6.09-5.76=0.33(平方米).
探索&交流
如下图，将一个底面直径是20厘米，高为9厘米的“矮胖”形圆 柱锻压成底面直径是10厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少？
10
20 9
锻压前的体积＝锻压后的体积．
10
20 9
探索&交流
探索&交流
设锻压后圆柱的高为x厘米，填写下表： （单位：厘米）
底面半径 高
锻压前 10 9
锻压后 5 x
体积
探索&交流
列方程解应用题的一般步骤： 设未知数、列方程、解方程、检验所得结果、确 定答案；可简要地概括为“设、列、解、检、答”．
例题欣赏 ☞
例题&解析
例3.3月12日是植树节，七年级170名学生参加义务植树活动，如 果平均一名男生一天能挖树坑3个，平均一名女生一天能种树7棵， 要正好使每个树坑种一棵树，则该年级的男生、女生各有多少人？
5.3水箱变高了
周长一定的长方形，长和宽的 差值越小，长方形的面积越大.
当长和宽相等时（即为正方形 时），长方形（正方形）的面 积最大.
应用方程解决问题的一般步骤：
审 设 列 解 答
审清题意，找出等量关系 设出未知数把有关的量用含有未知 数的代数式表示 根据等量关系列出方程。 解方程
检验作答
P142 随堂练习
（3）使得该长方形的长和宽相等，即 围成一个正方形，此时正方形的边长是 多少米？围成的面积与（2）所围成的 面积相比，又有什么变化？ 解：设正方形的边长为x米. 由题意得 4x = 10. 解，得 x=2.5. 边长为：2.5米； 面积为：2.5×2.5=6.25(平方米). 面积增加：6.25-6.09=0.16（平方米）
提示：变化前的体积=变化后的体积
例 用一根长10米的铁丝围成一个长方形 （1）使得该长方形的长比宽多1.4 米， 此时长方形的长、宽各是多少米呢？ 等量关系： （长+宽）× 2 = 周长. 解：（1）设长方形的宽为x米，则 它的长为(x+1.4) 米， 2 ( x+1.4 +x ) =10. 解,得 x=1.8. 长为：1.8+1.4=3.2（米）; 答：长方形的长为3.2米，宽为1.8米.
(1) 正方形的周长公式 . S=a2 (2)长方形的周长公式 . S=ab (3)圆的周长公式 式 S=πr2 .
C=4a
面积公式
C=2(a+b) 面积公式
面积公 .
C=2πr
1 2 (a+b)h
(4)梯形的面积公式 S=
(5)长方体的体积公式 V=abc
(6)圆柱体的体积公式
.
.
2h V= πr
习题5.6 144页 问题解决 2 3 （必做） 数学理解 1 （选做） 全品53页（选做5，8）
水箱变高了讲学稿—徐克伟
5.3一元一次方程的应用----水箱变高了教学目标：1.借助立体及平面图形学会分析复杂问题中的数量关系和等量关系，体会直接或间接设未知数的解题思路，从而建立方程，解决实际问题.2.通过分析图形问题中的数量关系体会方程模型的作用，进一步提高学生分析问题、解决问题、敢于提出问题的能力.3.通过对实际问题的探讨，使学生在动手独立思考、方程意识的过程中，进一步体会数学应用的价值，鼓励学生大胆质疑，激发学生主动学习的积极性. 教学重点、难点：重点：分析应用问题中已知量与未知量的关系，列出方程解应用题。
难点：分析问题中的等量关系。
教学过程一、预习反馈明确目标1.圆柱的体积公式，长方形周长公式2.底面直径是8厘米，高为16厘米的圆柱的体积是厘米（结果保留π）二、创设情境自主探究“乌鸦喝水”中的数学聪明的你想一想怎样知道乌鸦放进瓶子中的石头使瓶子中的水位上升高度？探究一例1．某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水箱。
需要将它的底面直径由4m减少为3.2m。
那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？1.想一想：观察“矮胖”与“瘦长”的圆柱，分析现象.考虑几个问题: （1）在操作的过程中，圆柱由“胖”变“瘦”，圆柱的底面直径变了没有？圆柱的高呢？（2）在这个变化过程中，是否有不变的量？是什么没变？（3）由“胖”变“瘦”的变化中等量关系应该是什么？2.完成表格：这个问题中有如下的等量关系：旧水箱的容积＝新水箱的容积。
根据等量关系，列出方程：x。
解得答：高变成了米指导：此类题目中的π值由等式的基本性质就可以约去，无须带具体值；（1）若题目中的π值约不掉，也要看题目中对近似数有什么要求，再确定π值取到什么精确程度.练一练：将一个底面直径是6厘米、高为16厘米的“瘦长”形圆柱锻压成底面直径为8厘米的“矮胖”形圆柱，高变成了多少？（个体归纳，相互交流）三、展示交流点拨提高想一想（1）把一根铁丝围成一个长方形，有多少种围法？（2哪些量没变化？其中哪些量发生了变化？（3）等量关系是什么？例2、用一根长10米的铁丝围成一个长方形。
初中学案水箱变高了
5.3 水箱变高了
一、学习目标
1．了解一元一次方程在解决实际问题中的应用．体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系．
2．学会通过分析图形问题中的基本等量关系，并由此关系列方程解相关的应用题．
3. 寻找图形问题中的等量关系，建立一元一次方程，使实际问题数学化．
二、学习重、难点
学习重点：使学生进一步体会运营方程解决问题的关键是抓住等量关系，列出方程。
学习难点：关键是让学生抓住问题变化中的不变量，确定等量关系。
三、主问题
1.某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆柱形储水．现该楼进行维修改造，为减少楼顶原有储水箱的占地面积，需要将它的底面直径由4m减少为3.2m．那么在容积不变的前提下，水箱的高度将由原先的4m增高为多少米？
设：新水箱的高为x m，完成下表：
等量关系是：
由等量关系列出方程：。
七年级数学上册 5.3 水箱变高了课件 (新版)北师大版
3. 应用一元一次方程(yī cì fānɡ chénɡ)
——水箱变高了
第一页，共11页。
“朝三暮四(zhāo sān 从m前有ù个s叫ì)狙”公的的故人养事了一群猴子。
每一天他都拿足够的栗子给猴子吃， 猴子高兴他也快乐。有一天他发现如 果再这样喂猴子的话，等不到下一个 栗子的收获季节，他和猴子都会饿死 ，于是他想了一个办法，并且把这个 办法说给猴子听，当猴子听到只能早 上吃四个，晚上吃三个栗子的时候很 是生气(shēng qì)，呲牙咧嘴的。没办 法狙公只好说早上三个，晚上四个， 没想到猴子一听高兴的直打筋斗。
长为：2.1+0.8=2.9（米）;
面积为：2.9 ×2.1=6.09(平方米)
x+0.8
面积增加了：6.09-5.76=0.33（平方米）.
第六页，共11页。
（3）使得该长方形的长和宽相等，即围成一个正方形，此时 正方形的边长是多少米？围成的面积与（2）所围成的面积相 比，又有什么(shén me)变化？
？
解：设圆的半径为x米. 由题意得 2πx = 10. 解,得 x≈1.59. 面积(miàn jī)为：π×1.592=7.94(平方米).
答：这个圆的半径是1.59米，面积(miàn jī)是 7.94平方米.
第八页，共11页。
例1：用一根长为10米的铁线(tiě xiàn)围成一个长 方形（1）若该长方形的长比宽多1. 4 米，此时(cǐ shí)长方形的长
锻压前
锻压后
底面半径
高
x
体积 p
px
第三页，共11页。
大家(dàjiā)一起来动手
请点击画面便可链 接(liàn jiē)到几何
53应用一元一次方程——水箱变高了
53应用一元一次方程——水箱变高了
假设有一个水箱，原来的高度为x，突然上升了h，现在的高度为
x+h。
我们知道，水箱的体积等于底面积乘以高度。
假设水箱的底面积为A，则原来的体积为V1=A*x，现在的体积为V2=A*(x+h)。
根据题意，水箱的体积变大了。
即V2-V1>0，即A*(x+h)-A*x>0，即
A*h>0。
由于A是一个正数（底面积不会为负），所以我们可以得到h>0。
这个结果告诉我们，水箱的高度变大了，即增加了一些高度。
现在，我们来解一元一次方程来计算出增加的高度h。
根据上面的推导，我们得到了方程A*h>0，我们可以通过将A*h除以
A来消去A，得到h>0。
这说明增加的高度必须大于0。
这样，我们可以得到结论，水箱的高度上升了。
例如，假设水箱原来的高度为2米，突然上升了1米。
那么现在的高
度就变成了2+1=3米。
通过解一元一次方程，我们可以计算出增加的高度为1米。
总结一下，应用一元一次方程可以帮助我们解决一些与高度变化、体
积变化相关的问题。
在这个例子中，我们解一元一次方程来计算出水箱增
加的高度。
当然，水箱变高了不仅仅可以用一元一次方程来解决，还可以用其他
方法解决，比如直接通过观察得出结论。
但是对于更复杂的问题，一元一次方程就是一种有效的解决方法。
我们可以通过列方程、化简方程、求解方程等步骤，得到问题的答案。
希望这个例子可以帮助你更好地理解应用一元一次方程的方法。
应用一元一次方程——水箱变高了
5.3应用一元一次方程——水箱变高了制作人：王目桥审核人：【学习目标】（1）通过分析图形问题中的数量关系，建立方程解决问题。
（2）体会运用方程解决问题的关键是找出等量关系，以及认识方程模型的重要性。
（3）通过对“变量中的不变量”的分析，提高分析问题、解决问题的能力。
【重点、难点】重点：“形积”之间的变化问题。
难点：找出“变量中的不变量”，建立等量关系。
【学习过程】一、课前预习1、解一元一次方程的一般步骤有哪些？2、相关公示：长方体体积= ××正方体体积=圆柱体体积= 圆锥体体积=长方形周长= 三角形面积=长方形面积= 梯形的面积=圆的周长= 圆的面积=二、新课探究听老师讲故事：阿基米德洗澡的故事，听完后，让学生思考：在这一过程中，哪些是变量？哪些是不变量？引出课题：提问：“水箱变高了”指的是什么？在这一情景中哪些是变量？哪些是不变量？（二人一组交流）三、典例分析：例1：（思考与交流）：如图将一个底面直径为20cm，高为10cm的圆柱，锻造成一个直径为10cm 的“高”圆柱，它的高变成了多少？请回答：（1）在锻造圆柱的过程中，哪些是变量？哪些是不变量？（2）相等关系为： ，即： 。
（3）设未知数： 。
（4）所列方程为： 。
（请同学们独自求出此方程的解）总结：等体积变形：即物体的 或 发生变化，但变化前后的 不变，利用 这一等量关系，可列方程解决等积变形问题。
变式训练：有一个底面直径为10m 的圆柱形储油器，油中浸有一个钢球，其直径为2m ，若从油中捞出钢球，问液面将下降多少米？例2：（思考与交流）用一根铁丝可围成边长为9cm 的正方形，若用这根铁丝围成长比宽多2cm 的长方形，则长方形的面积是多少？请回答：（1）在这一过程中，变量是 ，不变量是 。
（2）相等关系是： 。
锻压（3）设未知数：。
（4）列出方程为：。
总结1：等长变形：即用物体围成不同的图形，图形的、发生了变化，但不变，利用不变列出方程。
北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿
北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》说课稿一. 教材分析北师大版数学七年级上册5.3《应用一元一次方程——水箱变高了》这一节内容，是在学生已经掌握了一元一次方程的基本知识、解一元一次方程的基本方法的基础上进行讲解的。
通过前面的学习，学生已经知道如何列出一元一次方程，并能够熟练地解一元一次方程。
而本节课，则是让学生运用一元一次方程解决实际问题，从而提高学生解决实际问题的能力，培养学生运用数学知识解决生活问题的意识。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一元一次方程的基本知识和解一元一次方程的基本方法，对于如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决问题，也有一定的了解。
但是，学生在解决实际问题时，往往因为对问题的理解不够深入，而导致列出的方程不正确，或者解出的答案与实际情况相差较远。
因此，在教学过程中，我需要引导学生深入理解问题，培养学生解决实际问题的能力。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生会将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。
2.过程与方法目标：学生通过解决实际问题，提高运用数学知识解决生活问题的能力。
3.情感态度与价值观目标：学生感受到数学在生活中的应用，提高学习数学的兴趣。
四. 说教学重难点1.教学重点：学生能够将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决实际问题。
2.教学难点：学生对实际问题的理解，如何正确列出方程，并解出符合实际情况的答案。
五. 说教学方法与手段在本节课的教学过程中，我将采用问题驱动的教学方法，引导学生通过自主探究、合作交流的方式，解决实际问题。
同时，我会利用多媒体手段，如PPT、视频等，为学生提供丰富的学习资源，帮助学生更好地理解问题，提高解决问题的能力。
六. 说教学过程1.导入：通过一个简单的实际问题，引导学生思考如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决。
2.新课讲解：讲解如何将实际问题转化为数学问题，并运用一元一次方程解决。
应用一元一次方程——水箱变高了
【自主研“究”】
某居民楼顶有一个底面直径和高均为4m的圆 柱形储水箱.现该楼进行维修改造,为减少楼顶原 直径 4m减 有储水箱的占地面积,需要将它的底面直径由 新水箱 容积不变 少为3.2m.那么在容积不变的前 旧水箱 提下,水箱的高度将由原来的4m 增高为多少米？
r
h
此时水面离杯口还差多少cm？
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分析：在这个问题中有如下的等量关系：
= = 新水箱的容积 . 旧水箱的容积 .
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【自主研“究”】
分析：在这个问题中有如下的等量关系：
旧水箱的容积 = 新水箱的容积.
(用列表分析数量关系是常用的方法)
旧水箱
底面半径/m 高/m
3 m 容积/
新水箱
x
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【例】
问题:用一根长20厘米的铁丝围成一个长方形．
（1）使长方形的宽比长少5厘米，求这个长方形的长和宽．
（2）使长方形的宽比长少4厘米，求这个长方形的面积？
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随堂练习P142
解应用题的关键是什么？
建立等量关系
例3．把一块长、宽、高分别为3cm、3cm 、5cm的 长方体铁块，浸入内径为8cm，高为10cm的圆柱形 玻璃杯中（杯中盛有6cm高的水），水面将增高多 少？（不外溢）
LOGO
5.3 应用一元一次方 程——水箱变高了
阿基米德是古希腊著名的数学家、物理 学家，他被称为想撬米德与皇冠的故事：阿基米德用非常巧妙地方法 测出了皇冠的体积，你知道他是如何测量的吗？
形状改变，
体积不变。
=
r
h
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比较
面积：1.8 × 3.2=5.76
围 成
正
面积：
方
2.9 ×2.1=6.09
形
时
面
积
面积：
最
2.5 × 2.5 =6. 25
大
随堂练习
墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的 饰物，如图实线所示.小颖将梯形下底的钉子 去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如图 虚线所示.小颖所钉长方形的长、宽各为多少 厘米？
第7讲 水箱变高了
情景引入
将一个底面直径是10厘米,高为36厘米的 “瘦长”形水箱改造成底面直径为20厘米的 “矮胖”形水箱，高变成了多少？
等量关系： 旧水箱的体积=新水箱的体积
解：设改造后新圆柱的高为 x 厘米，填写下表：
旧水箱
新水箱
底面半径
5厘米
高
36厘米
容 积
× 52×36
10厘米 x厘米
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为(x+1.4)米，
根据题意，得 2（x+x+1.4）=10
解这个方程得 ： x=1.8
长方形的长为1.8+1.4=3.2 故 长方形的长为3.2米，宽为1.8米
例题解析
(2) 使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长、宽各为多 少米？它所围成的长方形与（1）中所围成的长方形相比、面积 有什么变化？
x x+4
墙面 铁线
小结
这节课我们学到了什么？
Byebye!
例题解析
(3) 使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形 的边长是多少米？它所围成的面积与(2)中相比又有什么变化？
解：设此时正方形的边长为x米，根据题意，得
4x=10
同样长的铁丝
围成怎样的四边
x
x=2.5
形面积最大呢？
正方形的边长为2.5米，
S=2.5×2.5＝6.25 米2 比（1）中面积增大6.25－6.09＝0.16 米2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
10
10
10
6 10 6
随堂练习
如图所示，小明将一个正方形纸片剪去
一个宽为4厘米的长条后，在从剩下的长方形
纸片上剪去一个宽为5厘米的长条，如果两次
剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条
的面积为多少？
4厘米
5厘米
随堂练习
小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一 个鸡棚，使长比宽大4米，问小明要帮他爸 爸围成的鸡棚的长和宽各是多少呢？
解：设此时长方形的宽为x米， 则它的长为（x+0.8）米，
根据题意，得 2（x+x+0.8）=10
解这个方程得 ：x=2.1 x
长方形的长2.1+0.8＝2.9
x+0.8
故 长方形的长为2.9米，宽为2.1米，S=2.9×2.1＝6.09米2，
（1）中的长方形围成的面积：3.2×1.8＝5.76米2 比（1）中面积增大6. 09－5.76＝0.33米2
× 102 × x
根据等量关系，列出方程：
× 52×36 = × 102 × x
解得： x=9
列方程时, 关键是找 出问题中的等量关系.
因此，高变成了 9 厘米
例题解析
例1 用一根长为10米的铁丝围成一个长方形.
（1）使得这个长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长、 宽各为多少米？
x
x+1.4