极值点偏移问题

f ( x) 0, f ( x)
设A( x1 , 0), B( x2 , 0), (0 x1
x1 x2 x x 1 1 ) f ( ) 1 2 2 a 2 a
1 x2 ), a
2 x1 x2 1 x12 x2 x1 x2 1 f ( x1 ) f ( x2 ) 0 a ln x1 ln x2 2( x1 x2 ) ln x1 ln x2
极值点偏移问题
现在是互联网+时代，互联网技术体现在我们社会生活的各个方 面，我们的教育事业当然也离不开互联网。利用好互联网，可以极 大的提高我们的备课的效率和备课的质量。 在这一方面，我们的学生往往走到了我们的前面，你比如同学们 熟悉的“作业帮”，我们只需要在手机上下载一个APP就可以了，他不 但可以给我们提供习题的解答，还能提供一定量的变式练习；再比如 我们使用的QQ，里面有个腾讯课堂，里面有我们需要的各类视频以及 其他方面的教学资源。
（15年福建高考20题）已知函数f ( x) ln( x 1), g ( x) kx(k R ). （1 ） .证明：当x 0, f ( x) x. （3） .确定k的值，使得存在t 0, 对任意的x (0, t ), 恒有 | f ( x) g ( x) | x 2 .
由（1 ）得：a 0, x 1是极值点，x1 1 x2 2
f ( x1 ) f ( x2 ) ( x1 2)e x1 a ( x1 1) 2 ( x2 2)e x2 a ( x2 1) 2
( x1 2)e x1 ( x2 2)e x2 a( x2 x1 )( x1 x2 2)
2. （2013年新课标全国理数21题）设函数 f ( x ) e x ln( x m). (1)设x 0是f ( x )的极值点，求m, 并讨论f ( x ) 的单调性； (2)当m 2时，证明f ( x ) 0.
3. （2014年新课标全国理数21题）设函数 be x 1 f ( x ) ae ln x ,曲线y f ( x )在点(1, f (1)) x 处的切线为y e( x 1) 2.
对于极值点偏转问题解法很多：如：
（2010年天津卷）已知f ( x) xe x , x R. (3)如果x1 x2 , 且f ( x1 ) f ( x2 ), 证明：x1 x2 2.
x1
2 x1
x2
f (2 x1 ) f ( x1 ) f ( x2 ) 2 x1 x2 即证：f (2 x1 ) f ( x1 )
麦克劳林公式
e x 1 x(e x 1 x ln( x 1) x
1 2 x )( x 0处取等号） 2
（15年福建高考20题）已知函数f ( x) ln( x 1), g ( x) kx(k R ). （1 ） .证明：当x 0, f ( x) x. （3） .确定k的值，使得存在t 0, 对任意的x (0, t ), 恒有 | f ( x) g ( x) | x 2 .
1 x x e . 1 x
（II）证明：当f ( x1 ) f ( x2 )( x1 x2 )时, x1 x2 0
策略二：切实落实课堂上所传授的解题方法与策略；我们可以把高考题按照解题的 思路分类，使得学生练习的习题与老师所讲的例题属于同一种题型，讲一练三。
（2016年全国I 卷21题）f ( x ) ( x - 2)e x a ( x 1) 2 有两个零点. (1)求a的取值范围； （2）设x1 , x2是f ( x )的两个零点，证明：x1 x2 2
f ( x1 x2 f ( x2 ) f ( x1 ) 1 2 ) x f ( x ) dx 0 f (1) x 2 x2 x1 1 x2 x1
策略四：了解考题的命题背景，提高学生把超越函数转化为初等函数的能力。
1. （2010年新课标全国理数21题）设函数 f ( x ) e x 1 x ax 2 . (1)若a 0, 求f ( x )的单调区间； (2)若x 0时，f ( x ) 0, 求a的取值范围.
当：x1 x2 2 0时:( x1 2)e x1 ( x2 2)e x2 0
(2 x1 )e x1 (2 x2 )e x2
x2 x1 ln(2 x1 ) ln(2 x2 )
x2 x1 2 2 1 1 2
ln(2 x1 ) x1 ln(2 x2 ) x2
x
(1)求a, b; (2)证明：f ( x) 1
我们对历年来高考试题（尤其是全国卷）的研究，可以发现对于压轴的导 数题或多或少的总是有高等数学的影子，尤其是泰勒展开式。泰勒展开式 很好的把初等函数与超越函数联系起来。
f ( x0 ) f n ( x0 ) 2 泰勒公式：f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n 2! n!
a b ab ( a b, a , b R + ) ln a ln b 2
（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f ( x) ln x ax 2 (2 a ) x ( I )讨论f ( x)的单调性； （III）若y f ( x )的图像与x轴交于A，B两点， 线段AB的中点的横坐标为x0 , 证明：f ( x0 ) 0.
（2010年天津卷）已知f ( x) xe x , x R. (3)如果x1 x2 , 2011年辽宁理科高考21题）已知 : f ( x) ln x ax 2 (2 a ) x ( I )讨论f ( x)的单调性； （III）若y f ( x )的图像与x轴交于A，B两点， 线段AB的中点的横坐标为x0 , 证明：f ( x0 ) 0.
a b ab ( a b, a , b R + ) ln a ln b 2
加细不等式：ab
（2010年天津卷）已知f ( x) xe x , x R. (3)如果x1 x2 , 且f ( x1 ) f ( x2 ), 证明：x1 x2 2.
我们容易得到：x 1 是函数的极值点， 0 x1 1 x2
（2016年全国I 卷21题）f ( x ) ( x - 2)e x a ( x 1) 2 有两个零点. (1)求a的取值范围； （2）设x1 , x2是f ( x )的两个零点，证明：x1 x2 2
（2010年天津卷）已知f ( x) xe x , x R. (3)如果x1 x2 , 且f ( x1 ) f ( x2 ), 证明：x1 x2 2.
由f ( x1 ) f ( x2 ) x1e x1 x2e x2
x2 ln x1 x1 ln x2
x1e x2 x2 e x1
ln x1 ln x2 x1 x2
x1 x2 1 ln x1 ln x2
加细不等式：ab
x1 x2 2
1 2ax 2 (2 a) x 1 (2 x 1)( ax 1) 1 1 f ( x) 2ax 2 a , f ( ) 0, f ( x) 2 2a x x x a x
与x轴有两个交点 a 0,
f ( x0 ) 0 f (
f ( x0 ) f n ( x0 ) 2 泰勒公式：f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) ( x x0 ) n 2! n!
1).
1 1 x x2 xn ( xn ) 1 x 1 2 1 n 2).e x 1 x x x ( xn ) 2! n! 1 3 1 5 3).sin x x x x 3! 5! 1 2 1 4 4).cos x 1 x x 2! 4 1 2 1 5).ln(1 x ) x x x3 2 3
（2011年辽宁理科高考21题）已知 : f ( x ) ln x ax 2 (2 a ) x ( I )讨论f ( x )的单调性； （III）若y f ( x )的图像与x轴交于A，B两点，线段AB的中点的 横坐标为x0 , 证明：f ( x0 ) 0.
（2013年高考湖南卷文科21题）已知函数f ( x ) ( I )求函数f ( x )的单调区间；
ln( x 1) x ln( x 1) x x 1 k 1 另一方面：g ( x) x x x x x x 2 ln( x 1) 1 ln( x 1) 1 x x 1 x g ( x) x 1 x x x x x 1 x 1 x 记：h( x)
利用好各类教学方面的报刊杂志，里面有我们老师们发表的优秀的文章， 如果能够拿来归我所用，对我们的帮助我想是巨大的，在这一方面做得 比较好的是陕西师大的教学参考，里面有一个栏目“高考频道”，对于 我们复习备考很有帮助。
策略一：关注最近几年来的各省的高考题，以它们为蓝本，组织二轮复习， 不一定要做太多太烂的复习题。提高复习材料的质量是关键。
x1 x2
x1 x2 1 2 2 2 x1 x2
x1 x2 2
x1 x2
x1 x2 x x ln x1 ln x2 2 1 2 ln x1 ln x2 2 x1 x2 x1 x2
（2016年全国I 卷21题）f ( x ) ( x - 2)e x a ( x 1) 2 有两个零点. (1)求a的取值范围； （2）设x1 , x2是f ( x )的两个零点，证明：x1 x2 2
（2013年高考湖南卷文科21题）已知函数f ( x ) ( I )求函数f ( x )的单调区间；