【弹塑性力学】7 有限元程序设计祥解
弹塑性问题的有限单元法
1
(3-9) Q
r
线
1 2 3 3
式中 ρ
σ
—偏平面与原点的距离
而π 平面的方程为
偏平面（ ）
1 2 3 0
为了确定偏剪应力的方向 引入罗德角θ σ 的概念。
Q’
O
2
平面
M
' 2
3
1'
3'
偏剪应力与O′M线的夹角就定 义为罗德角，规定顺时针（-）， 逆时针（+）。这样θ σ 就代表 偏剪应力在偏平面上的作用方 向。
或写成：
xx yx zx
xy yy zy
xz yz zz
资源与地球科学学院
x xy xz yx y yz ij zx zy z
（3-1）
O’
资源与地球科学学院
与等压线相正交的平面称为偏平面，通过坐标原点与等压
线相正交的平面称为π平面。可见π平面是一个特殊的偏平面。
由偏平面的定义可知，在一个偏平面内平均应力为常量，故偏 平面的方程为：
1 2 3 3
式中
（3-9）
偏平面与原点的距离
资源与地球科ห้องสมุดไป่ตู้学院
1
Q
r
线
原点O与Q的连线OQ称为 该点的应力矢量，它代 表着岩土体中相应点的 应力大小与方向。
Q’
偏平面（ ）
O
3
2
平面
•在主应力空间中，与三个坐标轴成相等倾角的线称为λ 线(等 压线）。λ 线的方程可以表示为 • σ 1=σ 2=σ 3 (3-8)
弹塑性力学-第7章柱体的弹塑性扭转
第七章柱体的弹塑性扭转第七章等截面柱体的弹塑性扭转在船舶、航空、土建以及机械工程等的机械传动机构中，作为传递扭矩的柱体是个重要的部件。
所谓柱体的扭转，是指圆柱体和棱柱体只在端部受到扭矩的作用，且扭矩矢量与柱体的轴线 z 的方向相重合。
扭转问题属于仅在端面上受力柱体的平衡问题，若严格地满足其边界条件，按弹塑性力学求解是比较困难的。
因此，利用圣维南原理，将边界条件放松，即认为柱体中间截面上的应力仅与端面上外力的合力及合力矩有关，这种放松了边界条件的问题称为圣维南问题。
即使对于圣维南问题，仍需要求解一组偏微分方程，并使其满足一定的边界条件。
但在实用上很少由直接积分其基本方程而得到解答，大部分工程问题用间接的或近似的方法得到。
在间接方法中，圣维南的半逆解法是很重要的。
即先在应力或位移分量中假设一部分未知函数，然后将这部分函数代入基本方程，求得另外一部分的未知函数，并使全部未知函数满足所给定的边界条件，则所假设的和求得的函数即为问题的解。
由于用应力作为基本未知函数用半逆法求解时可以导致比较简单的边界条件，因此求解比较方便。
7.1弹性柱体自由扭转的基本关系式与应力函数解在材料力学中曾经过讨论圆轴的扭转，其特点是扭转变形前后的截面都是圆形，而且每一个截而只作刚体转动，在小变形条件下，没有铀向位移，取坐标系为 x, y, z ，且柱体的轴线为z方向，z方向的位移为w，即w(x, y, z) 0。
这样，变形后截面的半径及圆轴长度基本不变。
非圆形截面柱体的情况要复杂得多。
由于截面的非对称性，在扭转过程中，截面不再保持为平面，而发生了垂直于截面的翘曲变形，即w(x, y, z)0 。
函数w(x, y, z) 称为翘曲函数。
下面讨论任意截面形状的棱柱体扭转基本方程。
设有任意截面形状的等截面棱柱体，柱体两端受纠扭矩 M T作用，如图7.1所示。
1.边界条件对于扭转问题，柱体侧面为自由表面，因此柱体侧面的边界条件为第七章柱体的弹塑性扭转x lxymxy l y m0(7.1-1)zx l zy m0式中 l cos( n, x), m cos( y, n) 。
弹塑性有限元法基本理论与模拟方法
用于模拟流体流动和传热问题 ，如流体机械、航空航天和化 工等领域。
电磁场
用于分析电磁场问题和电气设 备性能，如电机、变压器和天 线等。
声学
用于模拟声音传播和噪声控制 问题，如声学器件和声学环境
等。
04 弹塑性有限元法的基本原 理
弹塑性有限元法的离散化方法
有限元离散化
将连续的物理场或结构体离散为有限个小的单元体， 每个单元体之间通过节点相互连接。
结构强度分析的模拟
结构强度评估
通过弹塑性有限元法模拟，可以对结构的强度进行评估，预测结构在不同载荷下的响应， 确保结构的安全性和稳定性。
疲劳寿命预测
利用弹塑性有限元法，可以模拟结构的疲劳载荷历程，预测结构的疲劳寿命，为结构的维 护和更换提供依据。
结构优化设计
通过模拟结构的应力分布和变形，可以优化结构设计，降低结构重量，提高结构效率。
边界条件和初始条件
在平衡方程中考虑边界条件和初始条件，以确保模拟的准确性和收 敛性。
弹塑性有限元法的边界条件和初始条件
边界条件的处理
01
根据实际情况，将边界条件转化为节点约束或单元载荷的形式。
初始条件的设置
02
在非稳态问题中，需要考虑初始条件的设置，以模拟问题的初
始状态。
边界条件和初始条件的实施
03
随着计算机技术的不断发展，弹塑性 有限元法在各个工程领域中得到了广 泛应用，如机械、航空航械设计中，弹塑性有限元法可用于分析各种复杂结构 的应力分布、变形和疲劳寿命等，提高产品的可靠性和安 全性。
航空航天
在航空航天领域，弹塑性有限元法可用于分析飞行器结构 在各种载荷下的响应，优化结构设计，提高飞行器的性能 和安全性。
塑性材料的有限元分析
针对复杂材料和结构，需要深入研究材料的非线 性行为和多场耦合效应，建立更加完善的物理模 型和数值算法。
此外，应加强与实验研究的结合，通过实验验证 和修正有限元模型，提高模拟结果的可靠性。同 时，实验研究也能够为有限元分析提供更加真实 和全面的材料性能数据。
THANK YOU
03
有限元分析方法
有限元分析的基本原理
离散化
将连续的物理系统离散为有限个小的单元，每个 单元称为有限元。
近似解法
通过数学方法求解每个有限元的近似解，再通过 组合所有有限元的解得到整个系统的近似解。
平衡方程
建立每个有限元的平衡方程，通过求解平衡方程 得到每个节点的位移和应力。
有限元分析的实现过程
然而，塑性材料的有限元分析仍存在 一些挑战和限制，如模型的简化、边 界条件的确定、材料参数的获取等， 需要进一步研究和改进。
研究展望
未来研究应致力于发展更加精确和高效的有限元 分析方法，提高模拟结果的可靠性和精度。
在实际工程应用中，应加强有限元分析与其他数 值方法（如边界元、有限体积等）的结合，实现 优势互补，提高计算效率。
塑性变形的微观机
制
塑性变形是通过位错的滑移和攀 移等微观机制实现的，这些机制 在宏观上表现为塑性变形。
塑性变形的温度效
应
温度对塑性变形的影响较大，温 度升高会使材料的屈服强度降低， 塑性变形能力增强。
塑性变形的加工硬
化
在塑性变形过程中，材料的屈服 强度会随着变形程度的增加而逐 渐提高，这种现象称为加工硬化。
背景
随着计算机技术的不断发展，有限元分析已成为工程领域中解决复杂问题的常 用方法。通过有限元分析，可以模拟材料的变形、应力分布、应变等，为实际 工程提供重要的理论依据。
弹塑性力学与有限元绪论
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
矢量代数、标量积、矢量积、三重积、标量场和矢量场
如下图，三维空间直角坐标系Oxyz,
x3
x1, x2 , x3
x, y, z
P
rV
e3
o
x1
e1
e2
n i 1
ai
xi
• 另外 ( x y z )( x y z ) 应写成 ii jj ，不能写作 ii ii ，因为 后者的标号重复了4次。
《弹塑性力学与有限元》
矢量和张量
指标记法与求和约定
求和约定
定义：凡在同一项内不重复出现的指标,如 a ji xi bj , j 为自由指标
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
建立力学模型
模型建立以后，对其采用适当的求解方法（解析 解和有限元）进行计算并对计算的结果进行分析整理 ，返回实际问题进行验证。
一般通过实验验证：直接实验验证：直接实验比 较简单时可以直接进行，但有时十分困难。相似模型 实验：相似实验的模型一般应与实际问题的边界条件 和形态是几何相似的。
《弹塑性力学与有限元》
弹塑性力学与有限元
教学内容：包括绪论和如下三部分内容：
（一）弹性力学理论
（三）有限单元法
1) 矢量与张量 2) 应力分析 3) 应变分析 4) 弹性应力-应变关系
（二）塑性力学理论
1) 有限元法的理论基础——加权余量法和变分原理 2) 弹性力学问题有限元方法的一般原理和表达格式 3) 单元和插值函数的构造 4) 等参元和数值积分 5) 有限元法应用中的若干实际考虑 6) 线性代数方程组的解法
a a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a31 a32 a33 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
弹塑性力学基础与有限元分析-接触分析实例
06
结论与展望
结论
1
本文通过理论分析和有限元模拟，深入研究了弹 塑性力学基础与有限元分析在接触分析中的应用。
2
研究结果表明，弹塑性力学基础与有限元分析在 接触分析中具有较高的精度和可靠性，能够有效 地模拟复杂接触问题。
3
本文所采用的有限元分析方法在处理接触问题时 具有较好的通用性和扩展性，为进一步研究复杂 接触问题提供了有力支持。
弹塑性本构模型
弹塑性本构模型的定义
弹塑性本构模型是描述弹塑性材料力学行为的数学模型，它通过应力应变关系来描述材料的弹塑性行 为。
常见的弹塑性本构模型
常见的弹塑性本构模型包括Mohr-Coulomb模型、Drucker-Prager模型、Cam-Clay模型等。这些模 型在描述材料的弹塑性行为方面各有特点，适用于不同的材料和工程问题。
接触面完全贴合，无相对运动。
滑动状态
接触面部分贴合，存在相对运动。
混合状态
接触面同时存在分离、粘结和滑动。
接触检测与跟踪
初始接触检测
确定初始状态下接触面的位置和状态。
接触状态跟踪
实时监测接触面的运动状态和相互作用。
接触面更新
根据接触状态调整接触面的几何形状和参数。
接触刚度与阻尼
1 2
接触刚度
描述接触面间的相互作用力与相对位移的关系。
求解阶段主要进行有限元 方程的求解，得到各节点 的位移和应力等结果。
ABCD
前处理阶段主要完成有限元 模型的建立和网格划分，为 求解阶段提供输入数据。
后处理阶段主要对求解结果进 行可视化、分析和评估，为工 程设计和优化提供依据。
04
接触分析原理
接触状态描述
分离状态
弹性力学_第7章_平面问题的有限单元法
(d* )T p {ε* }T σdxdy {δ* }T F L
5. 建立有限单元法的基本方程： 在各个节点处，列出内力和外力的平衡方程，就得到有限 单元法的总体劲度方程
Kδ FL
其中：K FL
— 总体劲度矩阵， — 位移列阵，各个节点的位移， — 荷载列阵，将荷载化为节点力列阵
《弹塑性力学》课件
内容提要 平 面 问 题 的 有 限 单 元 法
2012/5/10
§7-1 §7-2 §7-3 §7-4 §7-5 §7-6 §7-7
基本量及基本方程的矩阵表示 有限单元法的概念 单元的位移模式与解答的收敛性 单元的应变列阵和应力列阵 单元的结点力列阵与劲度矩阵 载荷向结点移置 等效节点荷载 结构的整体分析 节点平衡方程组
有限单元法的基本解题步骤为： 1. 划分单元； 2. 建立位移模式。即建立单元内任一点位移与节点位移之间的 关系，设三角形单元三个节点的位移分别为：(ui,vi), (uj,vj), (um,vm)，三角形单元任何一点的位移 u 与 v用结点位移表示。 ui ui 结点位移列阵 v u [ N , N , N ] i i j m u j δi u j um 人为设计 δe δ j δ v j 的表达式。 v i m u m v [ N i , N j , N m ]v j v m v m 这种表示是人为设计的，每种单元都有不同表示方法，本 课程仅讲三结点三角形单元。
2 56
1、有限元法（Finite Element Method）
简称FEM，是弹性力学的一种近似解法。 首先将连续体变换为离散化结构，然后再利用分片插值技术与虚功原 理或变分方法进行求解。
塑性成形过程中的有限元法
塑性成形过程中的有限元法金属塑性成形技术是现代化制造业中金属加工的重要方法之一。
它是金属材料在模具和锻压设备作用下发生变形，获得所需要求的形状、尺寸和性能的制件的加工过程。
金属成形件在汽车、飞机仪表、机械设备等产品的零部件中占有相当大的比例。
由于其具有生产效率高，生产费用低的特点，适合于大批量生产，是现代高速发展的制造业的重要成形工艺。
据统计，在发达国家中，金属塑性成形件的产值在国民经济中的比重居行业之首，在我国也占有相当大的比例。
随着现代制造业的高速发展，对塑性成形工艺分析和模具设计方面提出了更高的要求。
若工艺分析不完善、模具设计不合理或材料选择不当，则会造成产品达不到质量要求，造成大量的次品和废品，增加了模具的设计制造时间和费用。
为了防止缺陷的产生，以提高产品质量，降低产品成本，国内外许多大公司企业及大专院校和研究机构对塑性成形件的性能、成形过程中的应力应变分布及变化规律进行了大量的理论分析、实验研究与数值计算，力图发现各种制件、产品成形工艺所遵循的共同规律以及力学失效所反映的共同特征。
由于塑性成形工艺影响因素甚多，有些因素如摩擦与润滑、变形过程中材料的本构关系等机理尚未被人们完全认识和掌握，因而到目前为止还未能对各种材料各种形状的制件成形过程作出准确的定量判定。
正因为大变形机理非常复杂，使得塑性成形研究领域一直成为一个充满挑战和机遇的领域。
一般来说，产品研究与开发的目标之一就是确定生产高质量产品的优化准则，而不同的产品要求不同的优化准则，建立适当的优化准则需要对产品制造过程的全面了解。
如果不掌握诸如摩擦条件、材料性能、工件几何形状、成形力等工艺参数对成形过程的影响，就不可能正确地设计模具和选择加工设备，更无法预测和防止缺陷的生成。
在传统工艺分析和模具设计中，主要还是依靠工程类比和设计经验，经过反复试模修模，调整工艺参数以期望消除成形过程中的产品缺陷如失稳起皱、充填不满、局部破裂等。
仅仅依靠类比和传统的经验工艺分析和模具设计方法已无法满足高速发展的现代金属加工工业的要求。
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D11
0
0
0
0
D33
SUBROUTINE SHAPEF(S, T, XL, XSJ, SHP)
C--- shape function routine for 4-node isoparametric quadrilateral
C SHP(1,I) = X-direivative fo I –node shape function
C SHP(2,I) = Y-direivative fo I –node shape function
C SHP(3,I) = shape function for I-node
C XJ
= Jacobian array
C XSJ = Jacobian determinant
C
DIMENSION SHP(3,4), XL(2,4), XS(2,2), SI(4), TI(4)
单元数据定位 XL（NDM, NEN) 单元内节点坐标数组 UL (NDM, NEN) 单元内节点位移数组 LD(NDF*NEN) 方程编号
单元数组的计算
以平面四边形等参单元为例
形函数
Ni
1 4
1
i
1
i
x Ni xi
y Ni yi
u Niui
v Nivi
坐标变换和位移函数都采用同样的形函数
x Q31 x Q31
Ni, xQ12 Ni, yQ32
Ni, yQ22
Ni, xQ32
单元刚度矩阵
kij
e
t
1 -1
1 -1
k ij
| J | dd
用高斯积分转化为求和
kij e t
WiWj | J | [Kij]
ij
SUBROUTINE PGAUSS(L,LINT,R,Z,W) 高斯积分权重 C C---- GAUSS POINTS AND WEIGHTS FOR TWO
结果整理（后处理）
• 等值线 • 矢量图 • 变形网格图
编程基本原则 结构化，模块化
• 可读性强 变量命名简单直观，适当注释 程序条理清楚，逻辑性强
• 节约内存，计算效率优化
有限元分析软件发展5个阶段
1.1950-1960，航空工业的发展促进了有限元程序的发展。 2.人们致力于多功能通用有限元程序开发。如NASTRAN，
DATA SI,TI/-0.5, 0.5, 0.5, -0.5, -0.5, -0.5, 0.5, SHAPE FUNCTIONS AND DERIVATIVES
C--- IN NATURAL COORDINATES
C
DO 100 I = 1,4
SHP(3,I) = (0.5+SI(I)*S)*(0.5+TI(I)*T)
有限元程序三大模块
• 数据输入(前处理) •求解计算 • 结果整理与输出(后处理) 统计结果：第1阶段所用时间最长，第3阶段次 之，第2阶段相对较少。
数据输入(前处理)
• 单元几何: 单元编号; 节点坐标 • 材料性质 • 边界条件(约束) • 荷载(体积力, 面积力)
求解计算
• 单元刚度矩阵 • (形函数矩阵，B矩阵，D矩阵，高斯积分) • 单元荷载列阵 • 组集整体刚度矩阵和整体荷载列阵 • 方程组求解
DIMENSIONS C
DATA LR/-1,1,1,-1,0,1,0,-1,0/,LZ/-1,-1,1,1,-1,0,1,0,0/ LW/4/
LINT = L + L GO TO (1,2,3) L C---- 11 INTERGRATION 1 R(1) = 0. Z(1) = 0. W(1) = 4. RETURN
C C---COMPUTE JACOBIAN DETERMINANT C
XSJ = XS(1,1)*XS(2,2) - XS(1,2)*XS(2,1) C C--- TRANSFORM NATURAL DERIVATIVES TO C--- X,Y DERIVATIVES C
DO 300 I = 1,4 TEMP = (XS(2,2)*SHP(1,I) – XS(2,1)*SHP(2,I))/XSJ SHP(2,I) = (XS(2,2)*SHP(1,I) – XS(2,1)*SHP(2,I))/XSJ 300 SHP(1,I) = TEMP RETURN END
D矩阵
D11 D12
D12
D11
0
0
单元刚度矩阵
0
0
D33
kij BiT DB j
Q j DB j
D11N j,x
Q j D12N j,x D33N j,y
D12 N j,y
D11N j,y
D 33 N
j
,
x
kij
N i, xQ11 N i, y Q21
N i, N i,
和同样多的参数，所以称为等参单元。
形函数导数
Ni,
Ni,
x,
x,
y, y,
Ni,
Ni,
x y
J
N i,
Ni,
x y
于是
N i,
Ni,
x y
J
1
Ni, Ni,
B矩阵
N i, x
Bi 0
N i, y
0
N i, y
N i, x
D矩阵
D11 D12
D12
C---- 2 2 INTERGRATION 2 G = 1./SQRT(3.)
DO 21 I = 1,4 R(I) = G*LR(I) Z(I) = G*LZ(I) 21 W(I) = 1. RETURN C---- 3 3 INTERGRATION 3 G = 1./SQRT(0.6) H = 1./81. DO 31 I = 1,9 R(I) = G*LR(I) Z(I) = G*LZ(I) 31 W(I) = H*LW(I) RETURN END
ANSYS，SAP等。多采用FORTRAN语言开发。 3.进一步优化程序代码，采用面向对象的软件设计方法，
加强前后处理技术。 4.适应计算机系统的并行化改进。 5.20世纪90年代中期开始，与CAD/CAM进行集成，向智能
化方向发展。 近15-20年是有限元分析软件商品化的迅速发展阶段。
整体刚度矩阵的形成
SHP(1,I) = SI(I)*(0.5+TI(I)*T) 100 SHP(2,I) = (0.5+SI(I)*S)*TI(I) C C---COMPUTE JACOBIAN TRANSROMATION C---FROM X,Y TO S,T C
DO 200 I = 1,2 DO 200 J = 1,2 XS(I,J) = 0.0 D0 200 K = 1,4 200 XS(I,J) = XS(I,J) + XL(I,K)*SHP(J,K)