初中数学专题辅导系列

初中数学专题辅导系列1．数学新课程“活动型”中考题评析“活动型”中考试题已成为一大亮点，充分体现了新课标的数学学习理念：数学学习活动应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。

本文以数学新课程中考试题为例，分类评析，供备考的师生参考，并与们交流。

一、游戏型游戏蕴涵了许多数学理论，做游戏本身就是对思维的一种挑战，也是一个非常有趣的过程。

这有助于培养学生对数学的积极情感体验。

例1、扑克牌游戏：小明背对小亮，让小亮按下列四个步骤操作： 第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于两，且各堆牌的 数相同；第二步：从左边一堆拿出两，放入中间一堆； 第三步：从右边一堆拿出一，放入中间一堆；第四步：左边一堆有几牌，就从中间一堆拿几牌放入左边一堆。

这时，小明准确说出了中间一堆牌现有的数，你认为中间一堆牌现有的数是 （省课程改革实验区初中毕业生学业考试15试题） 评析：这是一道有趣的情景题， 小明象魔术师般神奇地说出了准确数,这其中的奥秘是什么？激起学生的思维，把具体问题数学化，用字母a 表示各堆牌相同的数，列表分析：如右表，得中间牌数为5。

在这一过程中学生经历“从具体事物 学生个性化的符号表示 学会数学地表示”这一逐步化、形式化的过程，从而发展学生的“符号感”。

例2、小明和小刚用如图的两个转盘做游戏，，游戏规则如下：分别旋转两个转盘，当两个转盘所转到的数字之积为 奇数时，小明得2分；当所转到的数字之积为偶数时，小刚 得1分。

这个游戏对双方公平吗？若公平，说明理由。

若不公平，如何修改规则才能使游戏对双方公平？ 甲 乙 （省市初级中学学业水平考试16试题）评析：游戏本身就是一种随机事件，每次游戏就是一次实验。

对游戏规则公平性的研究，实际上是事件发生可能性的一种应用。

一种游戏规则公平与否直接与这个游戏的方式有关。

在很大程度上，游戏将有助于学生对随机事件的理解。

另一方面，对游戏公平性的研究，将有利于培养学生公平、公正的态度，有助于学生形成正确的世界观。

本题要求学生先将两个转盘所转到的数字求积（如右表），从表中可以得到：P 积为奇数 =62, P 积为偶数 =64. ∴ 小明的积分为64262=⨯，小刚的积分为64164=⨯。

因此，游戏对双方公平。

二、实践活动型“实践与综合应用”是新数学课程中一个全新的容，要求学生综合运用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活经验密切联系的、具有一定挑战性和综合性的问题，以培养学生的创新意识与实践能力。

例1、新安商厦对销量较大的A 、B 、C 三种品牌的洗衣粉进行了问卷调查，发放问卷270份（问卷由单选和多选题组成）。

对收回的238份问卷进行了整理，部分数据如下： 一、最近一次购买各品牌洗衣粉用户的比例 二、用户对各品牌洗衣粉满意情况汇总表： （如图）：根据上述信息回答下列问题：（1）A 品牌洗衣粉的主要竞争优势是什么？你是怎样看出来的？ （2）广告对用户选择品牌有影响吗？请简要说明理由。

（3）你对厂家有何建议？（２００４年省初中毕业、升学考试２２题）评析：能用精炼的语言表述自己的观点是新课程中考题的新亮点。

本题主要是考查学生的统计分析与推断能力，并要求学生作出合理解释。

解答参考：（1）A 品牌洗衣粉主要竞争优势是质量。

可从以下看出：①对Ａ品牌洗衣粉的质量满意的用户最多；②对Ａ品牌洗衣粉的广告、价格满意的用户不是最多。

（２）广告对用户选择品牌有影响，可从以下看出：①对Ｂ、Ｃ品牌洗衣粉质量、价格满意的用户数相差不大；②对Ｂ品牌洗衣粉的广告满意的用户数多于Ｃ品牌，且相差较大；③购买Ｂ品牌洗衣粉的用户比例高于Ｃ品牌８.４５％ 。

（３）① 要重视质量；② 在保证质量的前提下，要关注广告和价格。

例２、在一次实践活动中，某课题学习小组用测倾器、皮尺测量旗杆的高度，他们设计了如下方案 （如图①所示）： Ｅ(1) 在测点A 处安置测倾器，测得旗杆顶部M 的仰角∠MCE = α; Ａ ① Ｎ(2) 量出测点A 到旗杆底部N 的水平距离AN = m ； M （3）量出测倾器的高度AC = h.根据上述测量数据，即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变，请仿照上述过程，设计一个测量某小山高度 （如图②）的方案.（1）在图②中画出你测量小山高度MN 的示意图（标上适当的字母）； ② N （2）写出你设计的方案.（2004年省市初级中学学业水平考试17题）评析：本题不新，它来源于课本的课题实践，主要考查学生对直角三角形边与角关系的应用，是历年常考的一类题。

本题新，新在考查学生的方案设计，而不要求计算过程。

这体现了新课标要求学生懂得算理而避免繁杂的计算，而且可以考察教师是否真正落实课题实践活动的学习。

这道题要求学生经历“自学——模仿——创造”的过程 ，因为AN 的 M 距离是不能直接测量的。

略解如下：（1）正确画出示意图：（2）① 在测点A 处安置测倾器，测得此时山顶M 的仰角∠MCE = α；② 在测点A 与小山之间的B 处安置测倾器（A 、B 与 C D E N 在同一条直线上），测得此时山顶M 的仰角∠MDE = β； ③ 量出测倾器的高度AC = BD = h ，以及测点A 、B 之 A B N 间的距离AB = m 。

根据上述数据即可求出小山的高度MN.三、动手做（Hands on ）的活动“实验操做探究型”问题是今年实验区中考题的又一特色，它要求学生观察一件物体或一种现象，或者说操作某些学具，让学生在研究所观察的物体或现象的过程中进行发现、猜想、证明，并从中体会学习数学的快乐，有助于发展学生的合情推理能力以及培养学生的创新精神。

例：如图1，⊙1O 和⊙2O 切于点P .C 是 ⊙1O 上任一点（与点P 不重合）.实验操作：将直角三角板的直角顶点放在点C 上， 一条直角边经过点1O ，另一直角边所在直线交⊙2O于点A 、B ，直线P A 、PB 分别交⊙1O 于点E 、F ，连结CE （图2是实验操作备用图）. 图1 图2 探究：（1）你发现弧CE 、弧CF 有什么关系？用你学过的知识证明你的发现； （2）你发现线段CE 、PE 、BF 有怎样的比例关系？证明你的发现. （市毕业升学统一考试26题） 解析：探究（1）结论：CE = CF .证法一：过点P 作两圆外公切线MN ，连结EF .∵ MN 为两圆的公切线 ∴ ∠NPB = ∠PEF = ∠A ∴ EF // AB又∵1O C ⊥ AB ∴ 1O C ⊥ EF 又∵1O C 为⊙1O 的半径 ∴ CE = CF . 证法二：过点P 作两圆外公切线MN ，连结CP . ∵1O C ⊥ AB ， 1O C 为⊙1O 的半径 ∴ AB 切⊙1O 于C∴ ∠BCP = ∠CEP ∵ MN 为两圆的公切线 ∴ ∠MPA = ∠B = ∠PCE ∴ ∠CPE = ∠CPB ∴ CE = CF .探究（2）结论：PE BF CE ⋅=2证法一：过点P 作两圆外公切线MN ，连结CP 、CF . ∵ AB 切⊙1O 于C ∴ ∠BCF = ∠CPBNN N∵⊙1O 是四边形ECFP 的外接圆 ∴ ∠CFB = ∠CEP ∴ ΔBCF ∽ΔCPE ∴ PECFCE BF =∵ CE = CF∴ CE = CF ∴ PECE CE BF =∴ PE BF CE ⋅=2证法二：过点P 作两圆外公切线MN ，连结CP 、CF . ∵ AB 切⊙1O 于C ∴ ∠PCB= ∠PEC ∵ ∠CPE = ∠CPB ∴ΔPEC ∽ΔPCB ∴BCCEPC PE =∴PCBCPE CE =∵ AB 切⊙1O 于C ∴ ∠BCF = ∠CPB 又 ∵ ∠B = ∠B ∴ΔCFB ∽ΔPCB∴ PC CFBC BF =∴PCBCCF BF =∴ CFBF PE CE =∵ CE = CF ∴ CE = CF∴CEBF PE CE =∴ PE BF CE ⋅=2本题后还有一个附加题：如图，若将上述问题的⊙1O 和⊙2O 由切改为外切，其他条件不变，请你探究线段CE 、PE 、BF 有怎样的比例关系， 并说明。

解析：过点P 作两圆公切线MN ，连结CF 、EF 、PC ∵1O C ⊥ BC ， 1O C 为⊙1O 的半径 ∴ BC 切⊙1O 于C∵ MN 为两圆的公切线∴ ∠MPE = ∠EFP ，∠NPA = ∠B∵ ∠MPE = ∠NPA ∴ ∠EFP = ∠B ∴ EF // BC∴ 1O C ⊥ EF∴ CE = CF ∴ CE = CF∵ ∠B = ∠EFP ，∠EFP = ∠ECP ∴ ∠B = ∠ECPEooN pCBAFOOP∴CFPEBF CE =∴CEPEBF CE =∴ PE BF CE ⋅=22．涉及高中知识的阅读理解中考题阅读理解型问题是中考的一个重要考点，涉及高中知识的中考题各地中考试卷中频繁出现，值得重视。

本文就这类题的特点及解法举例说明。

例1. （广西中考题）阅读下列一段话，并解决下面的问题。

观察这样一列数：1，2，4，8，……我们发现这一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于2。

一般地，如果一列数从第2项起，每一项与它前一项的比都等于同一个常数，这一列数就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比。

（1）等比数列5，－15，45，……的第4项是______________；（2）如果一列数a 1，a 2，a 3，a 4，…是等比数列，且公比为q ，那么根据上述的规定，有a a q a a q aa q 213243===，，， 所以，a a q a a q a q q a q 2132112====，()，a a q a q q a q 431213===()，…a n ＝_________。

（用a 1与q 的代数式表示）（3）一等比数列的第2项是10，第3项是20，求第1项与第4项。

解：（1）－135；（2）a qn 11-（3）因a 210=，a 320=，故q a a ==322 因a a q a a q 2143==，，故a 11025==，a 420240=⨯= 评析：本题取材于高中代数中的等比数列，既能考查学生的理解运用能力，又能够锻炼学生的自学能力，引导学生养成良好的探索习惯。

例2. （省中考题）平面上有n 个点（n ≥2），且任意3点不在同一直线上，过这些点作直线，一共能作出多少条不同的直线？分析：当仅有2个点时，可连成1条直线；有3个点时，可连成3条直线；有4个点时，可连成6条直线；有5个点时，可连成10条直线；……归纳：考察点的个数n 和可连成直线的条数S n ，发现规律如表1。

表1推理：平面上有n 个点，两点确定一条直线。

取第一个点A 有n 种取法，取第二个点B 有（n －1）种取法，所以一共可连成n （n －1）条直线，但AB 与BA 是同一条直线，故应除以2，即S n n n =-()12。