随机变量、统计案例

随机变量的分布列及统计案例复习学案参考答案例1、解析 ∵P (A )＝C 22＋C 23C 25＝25，P (AB )＝C 22C 25＝110，∴P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝14. 答案 B例2、解析 该题为几何概型，圆的半径为1，正方形的边长为2，∴圆的面积为π，正方形面积为2，扇形面积为π4.故P (A )＝2π，P (B |A )＝P （A ∩B ）P （A ）＝14.答案 (1)2π(2)14例3、专题三 离散型随机变量的分布列、均值与方差 例4、解设A 、B 、C 分别为甲、乙、丙三台机床各自独立加工同一种零件是一等品的事件，依题意得 ⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧P （A ·B －）＝14，P （B ·C －）＝112，P （A ·C ）＝29，即⎩⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎧P （A ）·（1－P （B ））＝14，P （B ）·（1－P （C ））＝112，P （A ）·P （C ）＝29，得27[P (C )]2－51P (C )＋22＝0， 解得P (C )＝23或P (C )＝119(舍)． ∴P (A )＝13，P (B )＝14，P (C )＝23.即甲、乙、丙三台机床各自独立加工的零件是一等品的概率分别为13，14，23. (2)记D 为从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件． P (D )＝1－P (D －)＝1－(1－P (A ))·(1－P (B ))·(1－P (C ))＝1－23×34×13＝56，即从甲、乙、丙加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率为56.解 (1)记“该生考上大学”为事件A ，其对立事件为A －. 则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －＝C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235. ∴P (A )＝1－[C 15⎝ ⎛⎭⎪⎫13⎝ ⎛⎭⎪⎫234＋⎝ ⎛⎭⎪⎫235]＝131243. (2)参加测试次数X 的可能取值为2，3，4，5， P (X ＝2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝19， P (X ＝3)＝C 12·13·23·13＝427， P (X ＝4)＝C 13·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫232·13＝427， P (X ＝5)＝C 14·13·⎝ ⎛⎭⎪⎫233＋⎝ ⎛⎭⎪⎫234＝1627. 故X 的分布列为： E (X )＝2×19＋3×427＋4×427＋5×1627＝389.所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，E (η)＝3×23＝2， 或者P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127； P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29； ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎛⎭⎪⎫⎝ ⎛⎭⎪⎫P (η＝1)＝C 3⎝ ⎛⎭⎪⎫3⎝ ⎛⎭⎪⎫3＝9； P (η＝2)＝C 2 ⎛⎪⎫22 ⎛⎪⎫1＝4；P (η＝3)＝C 3 ⎛⎪⎫23＝8，例6、例7、解 (1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升的，下面所以E (ξ)＝1×15＋2×35＋3×15＝2.由题意，η～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，23，E (η)＝3×23＝2， 或者P (η＝0)＝C 03⎝ ⎛⎭⎪⎫133＝127；P (η＝1)＝C 13⎝ ⎛⎭⎪⎫231⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝29； P (η＝2)＝C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫232⎝ ⎛⎭⎪⎫13＝49；P (η＝3)＝C 33⎝ ⎛⎭⎪⎫233＝827， 所以，E (η)＝0×127＋1×29＋2×49＋3×827＝2. (2)D (ξ)＝(1－2)2×15＋(2－2)2×35＋(3－2)2×15＝25；由η～B ⎝⎛⎭⎪⎫3，23，D (η)＝3×23×13＝23.可见E (ξ)＝E (η)，D (ξ)＜D (η)，因此建议该单位派甲参加竞赛． 解 ∵考生成绩X ～N (500，502)， ∴μ＝500，σ＝50， ∴P ＝(550＜X ≤600) ＝12[P (500－2×50＜X ≤500＋2×50)－P (500－50＜X ≤500＋50)] ＝12(0.954 4－0.682 6)＝0.135 9. 故考生成绩在550～600分的人数约为25 000×0.135 9 ≈3 398(人)．求回归直线方程．为此对数据预处理如下：对预处理后的数据，容易算得x＝0，y＝3.2.b^＝(－4)×(－21)＋(－2)×(－11)＋2×19＋4×29－5×0×3.2 (－4)2＋(－2)2＋22＋42－5×02＝26040＝6.5，a^＝y－－b x－＝3.由上述计算结果，知所求回归直线方程为y^－257＝b^(x－2 006)＋a^＝6.5(x－2 006)＋3.2，即y^＝6.5(x－2 006)＋260.2. ①(2)利用直线方程①，可预测2012年的粮食需求量为6.5×(2012－2006)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．例8、解(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为70500＝14%.(2)K2＝500×(40×270－30×160)270×300×200×430≈9.967.由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好．随机变量的概率分布及统计案例课后检测参考答案一、选择题1、解析：k 越大，说明“X 与Y 有关系”成立的可信程度越大，反之越小．答案：B2、解析 ∵E (X )＝1×16＋2×13＋3×12＝16＋23＋32＝146＝73.∴E (X ＋2)＝E (X )＋2＝73＋2＝133. 答案 C3、解析 任意取球5次，取得白球3次的概率为C 35·0.53·(1－0.5)2＝C 350.55. 答案 D4、解：回归系数的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位． 答案：C5、解析 记“第一次摸出正品”为事件A ，“第二次摸到正品”为事件B ，则P (A )＝C 16C 19C 110C 19＝35， P (AB )＝C 16C 15C 110C 19＝13. 故P (B |A )＝P （AB ）P （A ）＝59. 答案 D6、解析 本题主要考查了正态分布及随机变量的概率问题．由随机变量服从正态分布N (0，1)，由标准正态分布图可得：P (－1＜ξ＜0)＝12－P (ξ＜－1)＝12－P (ξ＞1)＝12－p . 答案 D7、解析：依据两个变量具有相关关系的意义可知，①正确；根据散点图的定义得②正确；根据最小二乘法的思想，所求得的回归直线，满足一组数据对应点到该直线的距离最小，即线性回归直线方程最能代表观测值x ，y 之间的线性相关关系，故③正确；④不正确．答案：①②③8、解析 甲获胜有两种情况，一是甲以2∶0获胜，此时p 1＝0.62＝0.36；二是甲以2∶1获胜，此时p 2＝C 12·0.6×0.4×0.6＝0.288，故甲获胜的概率为p 1＋p 2＝0.648. 答案 D 。

9、解析 ∵X ～N (110，52)， ∴μ＝110，σ＝5， 又5760＝0.95≈P (μ－2σ＜X ≤μ＋2σ) ＝P (100＜X ≤120)． 答案 C10、解析 三颗骰子各掷一次，点数共有6×6×6＝216种，事件B －表示“三次都没有出现3点”，共有5×5×5＝125种，则P (B )＝1－P (B －)＝1－125216＝91216，P (AB )＝5×4×C 13216＝518， 所以P (A |B )＝P （AB ）P （B ）＝6091. 答案 C11、解析 由已知，得3a ＋2b ＋0×c ＝2，得3a ＋2b ＝2，所以ab ＝16×3a ×2b ≤16⎝⎛⎭⎫3a ＋2b 22＝16. 答案 D12、答案：A二、填空题13、解：设父亲身高为x cm ，儿子身高为y cm ，则x －＝173，y －＝176，b^＝0×(－6)＋(－3)×0＋3×602＋9＋9＝1，a ^＝y －－b ^x －＝176－1×173＝3，∴y ^＝x ＋3，当x ＝182时，y ^＝185. 答案：18514.解析 考察一位乘客是否在第20层下电梯为一次试验，这是5次独立重复 试验，故X ～B ⎝⎛⎭⎫5，13， 即有P (X ＝k )＝C k 5⎝⎛⎭⎫13k×⎝⎛⎭⎫235－k（k ＝0，1，2，3，4，5.）∴P (X ＝4)＝C 45⎝⎛⎭⎫134×⎝⎛⎭⎫231＝10243. 答案 1024315.解析 由题意知甲服从X ～B (5，p 1)，∴E (X )＝5p 1＝2.5 ∴p 1＝12， 又∵1p 1＋1p 2＝5. ∴p 2＝13.答案 12 1316.解析 设事件A 为“取出的两件中有废品”，事件B 为“取出的两件都是废品”，由题意，显然，A ∩B ＝B ，而P (A )＝C 110·C 190＋C 210C 2100，P (B )＝C 210C 2100， 故P (B |A )＝P （B ）P （A ）＝C 210C 210＋C 110·C 190＝121. 答案 121 三、解答题17、解 记“这名同学答对第i 个问题”为事件A i (i ＝1，2，3)， 则P (A 1)＝0.8，P (A 2)＝0.7，P (A 3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率为：P1＝P(A1A－2A3)＋P(A－1A2A3)＝P(A1)P(A－2)P(A3)＋P(A－1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率为：P2＝P1＋P(A1A2A3)＝P1＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.18、解记3件元器件中有X件为不合格品．(1)P＝1－P(X＝0)＝1－C318C320＝2795；(2)X的可能取值为：0、1、2、3，P(X＝0)＝C316C320＝2857，P(X＝1)＝C14C216C320＝819，P(X＝2)＝C24C116C320＝895，P(X＝3)＝C34C320＝1285，∴X的分布列如下：E(X)＝0×2857＋1×819＋2×895＋3×1285＝171285＝35.19、解(1)设参赛学生的成绩为X，因为X～N(70，100)，所以μ＝70，σ＝10.则P(X≥90)＝P(X≤50)＝12[1－P(50＜X＜90)]＝12[1－P(μ－2σ＜X＜μ＋2σ)]＝12×(1－0.954 4)＝0.022 8，12÷0.022 8≈526(人)．因此，此次参赛学生的总数约为526人．(2)由P(X≥80)＝P(X≤60)＝12[1－P(60＜X＜80)]＝12[1－P(μ－σ＜X＜μ＋σ)]＝12×(1－0.682 6)＝0.158 7，得526×0.158 7≈83.因此，此次竞赛成绩为优的学生约为83人．20、解析：(1)由数据，求得x ＝12，y ＝27，由公式，求得b ^＝52，a ^＝y －b ^x ＝－3，所以y 关于x 的线性回归方程为y ^＝52x －3.(2)当x ＝10时，y ^＝52×10－3＝22， |22－23|<2，同样，当x ＝8时，y ^＝52×8－3＝17， |17－16|<2.所以，该农科所得到的线性回归方程是可靠的．21、解析：(1)甲厂抽查的产品中有360件优质品，从而甲厂生产的零件的优质品率估计为360500＝72%；乙厂抽查的产品中有320件优质品，从而乙厂生产的零件的优质品率估计为320500＝64%. (2)K 2＝1 000×(360×180－320×140)500×500×680×320≈7.35>6.635，所以有99%的把握认为“两个分厂生产的零件的质量有差异．” 22、解 (1)设“环保会徽”卡有n 张，由C 2nC 210＝13，得n ＝6.故“绿色环保标志”卡有4张．抽奖者获奖的概率为C 24C 210＝215.(2)ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，215，ξ的分布列为P (ξ＝k )＝C k 4⎝⎛⎭⎫215k·⎝⎛⎭⎫13154－k(k ＝0，1，2，3，4)2 15＝815，D(ξ)＝4×215×⎝⎛⎭⎫1－215＝104225.∴E(ξ)＝4×。