数字信号处理[第二章时域离散信号和系统的频域分析
数字信号处理第2章
Z变换与拉氏变换的关系:
这一关系实际上是通过 到了Z平面。
若将Z平面用极坐标表示
标表示
，代入
将S平面的函数映射
，S平面用直角坐 ，得：
上述关系表明： z 的模 r 仅与 s 的实部 相对应， z 的幅角 则仅与 s 的虚部 对应。
映射关系：
Z变换与拉氏变换的关系
0 0,2 (S平面实轴映射到Z平面的正实轴)
解：
，求它的傅立叶变换。
其幅度谱和相位谱分别为：
典型例题
❖ 例2 已知序列的傅立叶变换如下，求它的反变换。
解：
显然序列 h(n)不是绝对可和的，而是平方可和 的 ，但其依然存在傅立叶变换。 Parseval定理
典型例题
❖ 例3 证明复指数序列 x(n) e j0n 的傅立叶变换为：
证：根据序列的傅立叶反变换定义，利用冲击函 数 的性质，有：
即序列绝对可和
某的有 立些序些叶既列序变不，列换满若虽依足引然然绝入不存对频满在可 域足。和的以见的冲上后条击条例件函件。也数，不但满满，足足其平平傅方方立可可叶和和变条，换件其傅
也存在。如
、某些周期序列，见后例。
序列傅立叶变换的定义
5．常用序列的傅立叶变换
序列
(n)
傅立叶变换
1
1
典型例题
❖ 例1 已知
A形k(式k=求0,X取1(…：z),N)B，(此z) A( z )
时
为了方bi 便z i通常利用
i0
N
1 ai z i
X(z)/z的
i 1
若序列为因果序列，且N≥M，当X(z)的N个极点都是单
极点时，可以展开成以下的部分分式的形式：
则其逆Z变换为：
数字信号处理第三版第2章.ppt
| z | 2
试利用部分分式展开法求其Z反变换。
解：
X (z)
A1 1 2z 1
1
A2 0.5
z
1
4 1 1 1 3 1 2z1 3 1 0.5z1
x(n)
4 3
2n
1 3
(0.5)n
u(n)
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
X (z)
7）终值定理：设x(n)为因果序列，且X(z)=Z［x(n)］的全部
极点，除有一个一阶极点可以在z=1 处外，其余都在单位
圆内，则 ： lim x(n) lim[(z 1)X (z)]
n
z1
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
8）序列卷积（卷积定理）
若： y(n) x(n) h(n) x(m)h(n m) m
3z (z 3)2
z2
3z , 6z 9
试利用长除法求其Z反变换。
解：
| z | 3
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
2.5.4 Z 变换的性质和定理
1）线性性质
Z［ax(n)+by(n)］=aX(z)+bY(z)
2）序列的移位 Z[x(n m)] zm X (z) Rx | z | Rx
2 j c
c (Rx , Rx )
直接利用围线积分的方法计算逆Z变换比较麻烦。 下面介绍几种常用的逆Z变换计算方法： 1）用留数定理求逆Z变换（了解） 2）部分分式展开法（掌握） 3）幂级数展开法（长除法）
第2章 时域离散信号和系统的频域分析
例： 设
1
数字信号处理 Z域分析
这是一个有限项几何级数之和。因此
X
(
z)
1 1
zN z 1
0 | z |
李建勋--- ljx088@
8
例 x(n)=anu(n), 求其Z变换及收敛域。
解 这是一个因果序列，其Z变换为
无穷项等比级 数求和
X (z)
a nu(n) z n
n
an z n
n0
(az 1 ) n
另外，由于函数
z
z
a
1 1 az1
只在z=a处有一极点，
整个收敛域应该在极点所在的圆内。
李建勋--- ljx088@
10
jIm[z] a
o
Re[z]
|z|＝a| |
对于左边序列，如果序列Z变换有 N个有限极点｛z1, z2, …, zN｝，那么收敛 域一定在模最小的极点所在的圆内
0 | z | 0 | z | 0 | z |
有时将开域(0, ∞)称为“有限Z平面”。
李建勋--- ljx088@
4
（2）右边序列：右边序列是指x(n)只在n≥n1时有值。
1
X (z) x(n)zn x(n)zn x(n)zn
nn1
nn1
n0
则右边序列Z变换的收敛域为 Rx-<|z|<∞
结论：一个左边序列与一个右边序列的Ｚ变换表达式是 完全一样的。所以，只给出Z变换的闭合表达式不能正确 得到原序列，需要已知收敛域。
李建勋--- ljx088@
11
李建勋--- ljx088@
12
例 x(n)=a|n|, a为实数，求其Z变换及收敛域。
aa
26
同一个X(z)， 若收敛域不同，则对应的序列就完全不同。
数字信号处理：时域离散信号和系统的频域分析
2. 线性
设： 则：
FXFXTF1XT1([T(1e[ae(a[jexjax1j)1x()(1n)n()n)FF)TFTbb[Tx[bxx2x[1x2(1x((2n(1nn(n()n))n])]])]),],]XX,aaX2X2aX((2eX1e1((j(e1eje(j)je)j)j))F)FbTFbTX[bTX[xX2x[22(x2(2(e(2en(n(jej)n)]j)])),,]),
1 2
[x(n)
x(n)]
xo
(n)
1 2
[x(n)
x(n)]
将上FT面[x两xe(on式()n]分=) 1别/21进2[X[行x(e(FjnωT))，+X得x*(到(ejωn)])=] Re[X(ejω)]=XR(ejω)
FT[xo(n)]=1/2[X(ejω)-X*(ejω)]=jIm[X(ejω)]=jXI(ejω)
xxr (rxn(nr)XX(e)ne(()eejejjjnnj))n
n nn
FFXXTT(e[(e[xexjrjr()()nn))]]F12T[nX[nx(er(jxnxr))(r]n(n)Xe)
o (XeXojo((e)ejj)F)TF[FTjTx[i[j(xjnix()in]()n])]jnjnjnxxrXXir(x(noonr(()()eeenjj)ejj))njXnFXFTooT(([ee[jjjjxxi))i((nn)12)]F][TX[(jejnjxnji()nx)xr]X(r
2.2 序列的傅里叶变换的定义和性质
实因果序列h(n)与其共轭对称部分he(n)和共轭反对称部分 ho(n)的关系
h(n) = he(n) + ho(n) he(n)=1/2[h(n) + h(-n)] ho(n)=1/2[h(n) - h(-n)] 因为h(n)是实因果序列，he(n)和ho(n)可以用h(n)表示为：
第二章 时域离散信号和系统(数字信号处理)
第二章 时域离散信号和系统
6. 复指数序列
x(n)=e(σ+jω0)n 式中ω0为数字域频率，设σ=0，用极坐标和实部虚 部表示如下式： x(n)=e jω0n
x(n)=cos(ω0n)+jsin(ω0n)
由于n取整数，下面等式成立： e j(ω0+2πM)n= e jω0n, M=0,±1,±2…
第二章 时域离散信号和系统
图1.2.5 正弦序列
第二章 时域离散信号和系统
则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取
值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列 才是以N为周期的周期序列。
正弦序列有以下三种情况：
(1)当2π/ ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ ω0 为周期的周期序列。例如sin(π/8)n， ω0 =π/8，2π/ ω0 =16,该正弦序列周期为16。
例 设x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。
解 按照公式，
y (n )
m
R ( m) R ( n m)
4 4
上式中矩形序列长度为4，求解上式主要是根据矩
形序列的非零值区间确定求和的上、下限，R4(m)的非
令n-k=m，代入上式得到
u( n )
n
( m)
n
第二章 时域离散信号和系统
u(n) 1 „ n 0 1 2 3
单位阶跃序列
第二章 时域离散信号和系统
3. 矩形序列RN(n) 1, RN(n)= 0， 0≤n≤N-1 其它n
上式中N称为矩形序列的长度。当N=4时，R4(n)的
第二章 时域离散信号和系统
第2章 时域离散信号和系统
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号和系统的频域分析信号与系统的分析方法有两种：时域分析方法和频域分析方法。
在连续时间信号与系统中，信号一般用连续变量时间t 的函数表示，系统用微分方程描述，其频域分析方法是拉普拉斯变换和傅立叶变换。
在时域离散信号与系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，系统则用差分方程描述，频域分析方法是Z 变换和序列傅立叶变换法。
Z变换在离散时间系统中的作用就如同拉普拉斯变换在连续时间系统中的作用一样，它把描述离散系统的差分方程转化为简单的代数方程，使其求解大大简化。
因此，对求解离散时间系统而言，Z变换是一个极重要的数学工具。
2．2 序列的傅立叶变换（离散时间傅立叶变换）一、序列傅立叶变换：正变换：DTFT[x(n)]=（2.2.1）反变换：DTFT-1式（2.2.1）级数收敛条件为||= (2.2.2)上式称为x(n)绝对可和。
这也是DTFT存在的充分必要条件。
当遇到一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其DTFT可用冲激函数的形式表示出来。
二、序列傅立叶变换的基本性质：1、 DTFT的周期性，是频率的周期函数，周期为2。
∵ = 。
问题1：设x(n)=R N(n)，求x(n)的DTFT。
====设N为4，画出幅度与相位曲线。
2、线性设=DTFT[x1(n)]，=DTFT[x2(n)]，则：DTFT[a x1(n)+b x2(n)]= = a+b3、序列的移位和频移设 = DTFT[x(n)]，则：DTFT[x(n-n0)] ==DTFT[x(n)] == =4、 DTFT的对称性共轭对称序列的定义：设序列满足下式则称为共轭对称序列。
共轭对称序列的性质：共轭对称序列的实部是偶函数，虚部是奇函数证明：=+j（实部加虚部）∵∴+j=-j∴=（偶函数）∴=－（奇函数）一般情况下，共轭对称序列用表示：共轭反对称序列的定义：设序列满足下式则称为共轭反对称序列。
共轭反对称序列的性质：共轭反对称序列的实部是奇函数，虚部是偶函数证明：=+j（实部加虚部）∵∴+j=+j∴=（奇函数）∴=（偶函数）一般情况下，用来表示一个序列可用共轭对称序列与共轭反对称序列之和表示。
数字信号处理第2章 时域离散信号和系统的频率分析实验报告
成绩：《数字信号处理》作业与上机实验（第二章）班级：学号：姓名：任课老师：完成时间：信息与通信工程学院2014—2015学年第1 学期第2章 时域离散信号和系统的频率分析1、设计两个数学信号处理系统：系统初始状态为零。
分别用这两个系统对数字信号：1.020.5cos(2/8/4)0140()0n n n x n ππ++≤≤⎧=⎨⎩其它 进行处理。
该信号为缓慢变化的指数信号（1.02n ）上叠加了一个正弦干扰噪声序列，我们希望通过该系统对()x n 进行处理来消除这个正弦干扰噪声。
1）.应用dtft 子程序分析信号()x n 的频谱，并用MATLAB 工具画出0π频率范围的频谱图，并在图中标记噪声的频谱。
(1)matlab 代码如下： %dtft 函数function [ X,w ] = dtft( x,n,dw,k )X=x*(exp(-1j*dw)).^(n'*k); w=dw*k; end%应用dtft 子程序分析信号x(n)的频谱 n=0:140;x=1.02.^n+0.5*cos(2*pi*n/8+pi/4); dw=pi/500; k=-1500:1500;[ X,w ] = dtft( x,n,dw,k ); %调用dtft 函数 magX=abs(X); %信号x(n)的幅度谱 angX=angle(X); %信号x(n)的相位谱701()()8() 1.3576(1)0.9216(2)() 1.4142(-1)(2)i y n x n i y n y n y n x n x n x n ==---+-=-+-∑系统一：系统二：subplot(2,1,1); plot(w/pi,magX); axis([0,1,0,800]); title('信号x(n)幅频特性'); xlabel('w'); ylabel('幅度'); subplot(2,1,2); plot(w/pi,angX); axis([0,1,-4,4]);title('信号x(n)相频特性'); xlabel('w'); ylabel('相位');(2)信号()x n 的频谱图见图一:图一 信号()x n 的频谱图2）. 应用Hmp 子程序分析系统一与系统二的频谱特性，画出频谱图（0ωπ=）。
数字信号处理-时域离散随机信号处理(丁玉美)第2章
rxx (0) rxx (0) Rxx r ( M 1) xx
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 （2.2.22）式可以写成矩阵的形式， 即
Rxd Rxxh
对上式求逆，得到
h Rxx1Rxd
(2.2.23)
(2.2.24)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 上式表明已知期望信号与观测数据的互相关函数及观测 数据的自相关函数时，可以通过矩阵求逆运算， 得到维纳滤
E[| e(n) |2 ] E[| e(n) |2 ] j 0 a j b j
记
j=0, 1, 2, … （2.2.6）
j j a j b j
j=0, 1, 2, …
（2.2.７）
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波 则（2.2.6）式可以写为
j E[| e(n) |2 ] 0
j 0
(2.2.16)
假定滤波器工作于最佳状态，滤波器的输出yopt(n)与期望信号d(n) 的误差为eopt(n)，把（2.2.15）式代入上式，得到
* E[ yopt (n)eopt (n)] 0
(2.2.17)
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
d(n) eo pt(n)
yo pt(n)
图 2.2.1 期望信号、 估计值与误差信号的几何关系
方法求解，简单易行，具有一定的工程实用价值，并且物理概
念清楚，但不能实时处理；维纳滤波的最大缺点是仅适用于一 维平稳随机信号。这是由于采用频域设计法所造成的， 因此人 们逐渐转向在时域内直接设计最佳滤波器的方法。
第二章 维纳滤波和卡尔曼滤波
2.2 维纳滤波器的离散形式——时域解
2.2.1 维纳滤波器时域求解的方法 根据线性系统的基本理论，并考虑到系统的因果性，可以 得到滤波器的输出y(n),
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~
解：x(n)
cos 0 n
1 [e 2
j0n
e
] j0n
X
(e
j
)
FT [cos 0 n]
FT [
1 2
(e
j0n
e
j0n
)]
[ ( 0 2 r) ( 0 2 r)] r
时域离散信号和系统的频域分析 时域离散信号与模拟信号的FT关系
X a ( j)
xa
(t
)e
jt
dt
1
H虚h(e部(jnw是))实奇部函2是h数he偶e0((n,函nn)),数,nn000
,
he
h(n)
ho
((nn))21122hh[[hx(o0((0(nn,n)))n,)n,hhn((0nn0))]]0
h(0), n 0
0, n 0
he (n)
h(n) / 2, n
0
, ho (n)
h(n) / 2, n 0
n0
1 e jN 1 e j
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
1.FT的周期性
X (e j(2 M ) )
x(n)e j(2 M )n
n
x(n)e jne j 2 Mn
n
x(n)e jn X (e j )
n
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
时域离散信号和系统的频域分析
序列的傅里叶变换（FT）的性质
7.FT的对称性
预备知识
x(n) xr (n) jxi (n)
实部对应的FT具有 共轭对称性
X (e j ) X e (e j ) X o (e j ) x(n) xe (n) xo (n)
虚部与j对应的FT具 有共轭反对称性
序列的共轭对称部分 对应FT的实部
FT e j0n x(n) X (e j(0 ) )
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质 4.FT的时域卷积定理
y(n) x(n) h(n) Y (e j ) X (e j )H (e j )
时域离散信号和系统的频域分析 序列的傅里叶变换（FT）的性质
5.FT的频域卷积定理
序列的傅里叶变换（FT）
正 : X (e j )
x(n)e jn
n
反 : x(n) 1 X (e j )e jnd
2
x(n)
n
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 x(n) RN (n) ，求 x(n)的FT。
解：X (e j ) RN (n)e jn n
N 1
e jn
0
连续的 非周期的 非周期的 连续的
时域离散信号和系统的频域分析 二 连续时间、离散频率的傅里叶级数
x(t)
X ( jk0 )
---
---
0
t
Tp
0
0
2
Tp
正
:
X
(
jk 0
)
时域1信号Tp / 2 频x域(t信)e号 jk0t dt 连T续p 的Tp / 2非周期的
反 : x(t ) 周期X的( jk 离散0的)e jk0t
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
x(n)的FT。
采样信号：xa (t) cos(2 f0nT ) (t nT )
周期延拓X：a ( j)n[ ( 2 f0 ) ( 2 f0 )]
X a ( j) FT[xa (t)]
s 2 / T 2 fs
Xa(
j)e jnT d
'
2 T
r
1
xa (nT ) 2 r
/T /T
Xa ( j'
j
2 T
r)e d j
('
2 T
) nT
'
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
xa (nT )
1
2
r
/T /T
Xa ( j
j
2 T
r
)e
j
(
2 T
)
nT
d
交换区间
1 2
j 2 kn j 2 mn
x(n)e N [ ake N ]e N
n0
n0 k
N 1 j 2 (k m)n
ak e N
ak N
k n0
k
时域离散信号和系统的频域分析
周期序列的离散傅里叶级数（DFS）
ak
1
N 1 ~
j 2 kn
x(n)e N
N n0
~
令 X (k) Nak
~
X
(k)
N 1
~
x(n)e
j 2 N
kn，称为
~
x(n)的离散傅里叶级数，为DFS
n0
~
x(n)
1
N
1
~
X
(k
)e
j
2 N
kn，称为
~
X
(k
)的反离散傅里叶级数，为IDFS
N k0
时域离散信号和系统的频域分析
~
[例] 设 x(n) R4 (n) ，求 x8 (n) 的DFS。
～
解：X (k)
，以采样频率
fs
200Hz
对
xa
(t
)
进行采样，得到采样信号
xa (t)
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
x(n)的FT。
模拟信号的傅里叶变换：X a ( j) FT[xa (t)]
X a ( j)
cos 2
f0te jt dt
1 2
[e
j
2
f0t
X (e j ) X R (e j ) jX I (e j )
序列的共轭反对称部 分对应FT的虚部与j
时域离散信号和系统的频域分析
分析实因果序列h(n)的对称性
h(n) hr (n) jhi (n)
h(n) he (n) ho (n)
H (e j ) H e (e j ) Ho (e j ) H (e j ) H R (e j ) jH I (e j )
2
序列的X(ejw)与模拟信号的X(j )有什么关系？
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
xa
(t)
1
2
t nT
X
a
(
j)e
jt
d
x(n) 1
2
X (e j )e jn d
xa (nT )
1
2
X
a
(
j)e
jnT
d
区间不同
1
2 r
(2r 1) /T (2r 1) /T
xa (t) 2
X
a
(
j)e
jt
d
xa (t) xa (nT ) (t nT )
n
Xa(
j)
1 T
n
Xa(
j
jks )
时域离散信号和系统的频域分析
时域离散信号与模拟信号的FT关系
x(n) xa (nT )
X (e j )
x(n)e jn
n
x(n) 1 X (e j )e jn d
/T /T
r
X
a
(
j
xj(n2T)r)e
1 jnT d
2
X (e j )e jn d
＝T
1
2
1 T
r
Xa(
j
T
j
2 T
r)e jnd
X (e j )
1 T
r
Xa(
j
T
j
2 T
r)
序列的FT是模拟信号 FT的周期延拓
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 xa (t) cos(2 f0t) ， f0 50Hz
1 T
X a ( j jks )
k
T
[ ( 2 f0 ks ) ( 2 f0 ks )]
k
时域离散信号和系统的频域分析
[例] 设 xa (t) cos(2 f0t) ， f0 50Hz
，以采样频率
fs
200Hz
对
xa
(t
)
进行采样，得到采样信号
xa (t)
和
时域离散信号 x(n)，求 xa (t)和 xa (t)的傅里叶变换以及
傅里叶变换就是建立以时间为自变量的“信号” 与以频率为自变量的“频谱函数”之间的某种变换关系
时域离散信号和系统的频域分析 一 连续时间、连续频率的傅里叶变换
x(t)
0 X ( j)
正 : X ( j) x(t)e jtdt
t 反 : x(t) 1 X ( j)e jtd
2
时域信号 频域信号
当xa (t) e j0t : X a ( j)
e e j0t
jt dt
2
(
0 )
当x(n) e j0n e j(0 2r)n : X (e j ) 2 ( 0 2 r)
r
X (e j ) FT ( 1
N 1 ~
j 2 kn
X (k)e N )
1
N 1 ~
j 2 kn
s s / 2
时域离散信号和系统的频域分析
四 离散时间、离散频率的离散傅里叶变换
x(nT)=x(n)
Tp
1 F
Tp NT
0 T 2T