高中物理一题多变一题多解在教学中的应用
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用
探索篇誗方法展示在高中数学课标中，要求数学教师注重培养学生的数学思维能力，并把它作为重要的教学内容。
培养思维能力，既能提高学生的理解能力，又能提高学生分析解决问题的能力，还能提高教学效益。
“一题多解与一题多变”是培养高中学生的数学思维能力，特别是发散思维能力的好方法。
数学教师在讲解数学例题时，不仅要讲解题方法，最重要的是教给学生如何正确理解题意，抓住解题的关键，如何开拓解题思路，也就是培养学生的思维能力。
一、“一题多解与一题多变”的教学价值1.“一题多解”的教学价值“一题多解”就是从多个视角去分析思考数学问题，用多种方法途径去解答数学问题。
这种方法可以拓宽解题思路，增强数学知识之间的联系，培养学生学会运用多种方式多种方法解题和灵活多变的思考方式，而灵活的思维方式正是创新能力的基础。
教师在教学中，要运用“一题多解”的方式进行教学，就要培养学生在解答数学问题时善于从多角度观察感知和思考问题，运用多种方法推导验证问题，多方面寻找运用关联条件，不但要考虑条件本身，还要考虑条件之间的联系，用多种方式进行表述，只有这样才能培养学生数学思维的灵活性。
2.“一题多变”的教学价值“一题多变”是指在数学解题练习中，将原来数学题目中的一些已知条件进行变换，或者把要求解答的问题与题目一个或者几个条件变换后，再去求解问题的结果；也可能是给出问题的部分条件，让学生去补充另外一些条件；也可能是对数学问题的拓展，增加问题的难度或背景来训练学生的发散思维能力。
采用“多变”的方式进行教学，主要是对数学例题或习题进行多种变换，让学生从不同方面、不同情形、不同层次下对该数学问题进行重新求解或认识。
它是教学反思的一种方式，它要求学习者从出题人的视角去看问题，并对原来的数学问题有一个深刻的理解，才能做到“多变”。
“多变”解题能培养学生观察问题、归纳类比、概括抽象、运算能力、空间想象、构建与反思等多种数学思维能力。
二、“一题多解与一题多变”在培养数学思维能力上的应用1.培养开放性思维方式数学教学离不开数学解题，搞“题海战术”仅能得到“一对一”的解题方法和思路，不是科学的解题方法。
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用
一题多解与一题多变在高中数学教学中的运用一题多解和一题多变是高中数学教学中常常运用的教学策略。
它们旨在培养学生的创新思维能力和解决问题的能力，并激发学生的兴趣，提高学习效果。
接下来，我将探讨这两种教学策略的具体运用和重要性。
一题多解是指在一个数学问题中，可以有多种方法或角度来解决问题。
这样的设计可以激发学生的创造力和解决问题的能力。
通过多样的解法，学生能够体验到数学的多样性，培养他们的思维灵活性和创新思维能力。
例如，对于一个简单的方程题，学生可以选择代入法、消元法或配方法等多种解法来解决，而不仅仅依赖于固定的解题顺序。
这样，学生在解题中会产生一种自主思考和探索的意识，从而提高他们的创造力和解决问题的能力。
一题多变是指通过改变题目中的条件或参数，从而使得问题具有不同的情境和挑战性。
这样的设计可以提高学生的应变能力和灵活思维。
通过处理不同版本的问题，学生能够培养他们的思维逻辑，培养他们从不同角度思考和解决问题的能力。
例如，在一个几何问题中，通过改变图形的形状、增加限制条件或改变性质，可以设计出多个相关的问题，从而激发学生不同层次的思考和解决问题的能力。
在高中数学教学中，一题多解和一题多变的运用是十分重要的。
首先，它们可以激发学生的自主学习兴趣和主动学习探索的能力。
通过多种不同的解法和问题情境，学生可以展开自主思考和探索，从而培养他们的学习兴趣和学习动力。
其次，它们能够提高学生的解决问题的能力和思维能力。
通过面对多样的解法和不同版本的问题，学生需要灵活运用知识和技巧，培养他们的应变能力和解决问题的能力。
同时，这种培养的能力也是他们今后在现实生活中解决问题的重要能力之一要充分运用一题多解和一题多变的教学策略，教师需要合理设置问题，鼓励和引导学生思考。
教师可以设计一些具有挑战性的问题，引导学生尝试不同的解法和思路。
此外，教师还可以通过提供不同版本的问题，或者给定一些开放式的问题，鼓励学生从不同的角度思考和解决问题。
一题多解在中学物理习题教学中的应用——记一道力学题的多种解法
以及 运 动学 公 式 ：ｓ：
（４）
联 立 （３）、（４）并代 人 已 知条 件 ｍ＝３ｋｇ，ｔ＝２ｓ，ｓ＝５ｍ 得
２２．５Ｎ
这 是 用平 均 速 度 公 式所 做 的 解 答 。 解法 四 ：由 动 能定 理 得 ：
（，咿 ｓ： 舢 （１）
再 由 运 动学 公 式 ：ｓ＝ ａｔ： （２）
Ｆ￣＝２２．５Ｎ
这 是 利 用 运 动 学 方 程 （１）、（２）及 动 力 学 方 程 （３）所 做 的
运 动 。但 稍 加 分 析 会得 出并 不 是 自 由落体 运动 的结 论 。
解 答 过 程 力 。所 以不 是 自由 落 体 运 动 ；二 是
再 由 ２ （２）
及 ｓ＝
（３）
联立 （１）、（２）、（３）并代 入 已知 条 件 解 得
ｖ，＝Ｓｍ／ｓ Ｆ，＝２２．５Ｎ
解 法 六 ：由动 能定 理 （ｍｇ—Ｆｆ） ｓ＝ １ ｍｙ （１）
以及＿＿ （２）
＿＿ （３）
联 立 （１）、（２）、（３）解 得 ｖ￣＝５ｕｄｓ， ２２．５Ｎ 运 用 动量 定 理 与 运 动 学 公式 搭 配 解 题 的方 法 有 ： 解法七：由动量定理 （，咿 跏 ＝肌ｋ （１）
‘
设 刚 分 离 时 男 演 员 速 度 的大 小 为 Ｖ。，方 向 与 ｖ０相 同 ； 女 演 员 速 度 的 大 小 为 ｖ２， 方 向 与 ｖ０相 反 ， 由 动 量 守 恒 ， （ｍＩ＋ｍ ０＝ｍ 广ｍｊｖ２分离后 ，男演员做 平抛运动 ，设男 演员 从 被 推 出 到 落 到Ｃ点 所 需 的 时 间 为 ｔ，根 据 题 给 条 件 。由 运
动 学 规 律 ，４Ｒ＝ １ Ｘ－－ＶＩｔ，根 据 题 给 条 件 ，女 演 员 刚 好 回Ａ
新课改背景下问题教学法在高中物理教学中的有效运用
教改前沿JIAO GAI QIAN YAN新课改背景下问题教学法在高中物理教学中的有效运用张英彬沧州市第二中学 （河北省沧州市 061000）摘 要：在新课改背景下，高中物理教学不仅要传授给学生相应的物理知识，还要重点培养学生的理性思维，提升学生的分析能力，让学生可以运用所学发现并解决日常生活中的物理问题，达到学以致用的目的。
而问题教学法是一种具有创新特点的教学方法，将其应用到高中物理教学中，具有十分重要的作用。
但如何才能有效运用问题教学法，是高中物理教师需要解决的问题。
关键词：问题教学法 高中物理 教学 运用新课程改革的不断深入，使得高中物理教学内容与教学形式发生了很大的变化。
如果教师依然使用传统的灌输式教学方法，不仅无法激发出学生的学习兴起，还有可能产生反作用，让学生对物理学习产生排斥。
在这种情况下，教师必须要掌握问题教学法的有效运用技巧，通过问题教学法的有效运用来保证高中物理教学质量的有效提升。
1 新课改背景下问题教学法在高中物理教学中的运用原则所谓问题教学法，指的是以将问题贯穿于整个物理教学过程中，教学需要进行相应问题情境的创设，让学生发现问题、提出问题，然后再通过自主学习或者合作探究等有效学习方法进行解决问题。
要想将问题教学法有效运用到高中物理教学中，需要遵循以下几大原则。
1.1 趣味性原则经过大量的教学实践，只有激发出学生对物理知识的学习兴趣，才能够让学生积极主动的参与到物理教学活动中。
问题教学法的运用，也需要以激发学生对物理知识的学习兴趣为前提条件。
对此，教师在设置物理问题的时候，可以加强一切有趣生活现象、历史故事、漫画插图以及音视频的运用，并使用学生喜闻乐见的方式。
只有保证物理问题设计的幽默性与有趣性，才能够对学生的注意力进行有效的吸引，对学生的学习欲望进行有效的刺激。
1.2 延伸性原则在高中物理教学中，问题教学法的有效运用，也应当遵循延伸性原则，即教师需要提出具有一定延伸性的物理问题，需要提出既与教材内容相关，又高于教材基本要求的物理问题，确保可以通过这一物理问题，引起学生的深度思考，进而让学生通过课外物理知识的探索来提升自身的物理思维[1]。
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用练芳宙
“一题多解与一题多变”在培养学生思维能力中的应用练芳宙发布时间：2021-09-29T00:58:37.125Z 来源：《现代中小学教育》2021年9月上作者：练芳宙[导读] 数学教学要注重培养学生的数学思维能力，而根据数学教学过程中的反馈也可以得知“一题多解与一题多变”思维对于培养学生的数学思维能力，建立学生的思维空间以及发散学生的数学思维等方面具有重要的作用。
浙江省杭州市建德市航头初级中学练芳宙摘要：数学教学要注重培养学生的数学思维能力，而根据数学教学过程中的反馈也可以得知“一题多解与一题多变”思维对于培养学生的数学思维能力，建立学生的思维空间以及发散学生的数学思维等方面具有重要的作用。
在数学教学过程中也可以发现，以一些常见的习题求解与分析过程为例，通过对于同一道题目分析和寻找出不同的解答方式，能够帮助学生加强知识点之间的联系，增加数学知识学习的有效性。
那么这也就要求初中数学教师在教学环节当中，就需要注重将这种思维运用，以及渗透到数学课堂中，帮助学生逐渐建立这种数学学习思维。
而笔者也将针对于该种教学方式，在学科当中的渗透展开相关探讨。
关键词：初中数学；一题多解；一题多变；提高效果；加快思维转变；加强知识联系；提高解题效果；增强思考水平随着近几年来素质教育在教育过程中的不断渗透，培养学生一题多解的能力也是教学要求。
不仅要求学生进行概念知识点的掌握，更加要求学生在学习概念知识基础上，加强知识点之间的联系，学会从多角度多方面解决这些问题。
一题多解让学生学会从不同的方位以及角度去分析题目。
而一题多变则是通过题目设题变化出的新问题让学生对知识的理解更深刻，体现出思维的可创性。
而且在课堂中让学生学会从不同的角度，从不同的方向去看待问题，也是为了能够帮助学生，在学习数学知识内容时可以建立自身的思维形式，提高学生数学学习的综合能力。
经过教师的合理设置和数学课堂的趣味开展，学生不仅能够借助一题多解建立起良好的数学知识应用能力，也将借助一题多变的探究和分析实现数学素养的建立和健全。
一题多解在普通物理教学中的作用
一
题 多解 在 普通 物 理 教 学 中的作 用
祁 翔
湖北黄冈师范学院物理科学与技术学院 ４８０） ３００ 惯性质量同引力质量的等效性并不意味着 （
的主动 引力 质量 为 ｍ ，被 动 引力 质 量为 ｍ 产生和感受引力作用的特性 ，在一定条件下总 ，
则物体 １受 到物 体 ２的引 力 为： 。 ｍ 是 同时存 在 、同时变 化 的 ，以致 它们在数 量上 ＝Ｇ 。 ｍ ／ ｒ，物体 ２受到物体 １的引力为 ：Ｆ ： 存在 着正 比关 系 ，因而适 当选 择单 位时 ，可用 。
Ｇｍ２ ｍ１／ｒ． ＂
同一 数量来 表 征这两 种质量．
３ 测 度质 量
一
根据 牛顿 第三 定律 。 。 ＝Ｆ
可推 出 ：ｍ１ ｍ１ ＝ｍ ｍ ” Ｋ ” ２ ２＝ ／ ／
个物体或一群物体所含的物质的多少的 这是 说 明主动 引力质 量 与被 动引力 质 量永 量度 ，通 常称 之为物质 之量． 它包含 以下 两个
根据实验观察所得的结果与物体 自由下落 的多 少似 乎更 为 恰 当． 因此 宜 称 为测 度 质 量 ： 而在 动能公 式 Ｅ ＝ｍ ２及 质 心 动量 公 式 ｍ ｙ／ ｙ 的加 速度 ａ 相 等． 即 。 ａ１ ａ２ ａ０ Ｚ 之 中的 ｍ、ｍ 及 肘 系指 惯 性 的大小 ， ｍ 它们应 称 为惯性质 量． 又 由于物 体在地 面 附近 的重力 可写 成 ：
到 的 重 力 分 别 为 Ｐ 、Ｐ ，惯 性 质 量 分 别 为 ｍ惯 ，ｍ ，则 根据 牛顿第 二定 律得 ：
基于一道高考试题的“一题多解”和“一题多变”
基于一道高考试题的“一题多解”和“一题多变”作者：刘彦永来源：《求学·教学教研版》2018年第03期摘要：“一题多解”能快速整合所学知识，培养学生细致的观察力、丰富的联想力和创造性的思维能力.“一题多变”在形式上不同，但实质上相同.教学中的“一题多解”和“一题多变”旨在通过强化训练提高学生解题技巧与技能，做到举一反三、触类旁通，使学生的思维既可發散，又可回归，做到收放自如.本文通过对2013年高考课标Ⅰ卷16题的分析、解法探究和变式练习，浅谈试题“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.关键词：高考数学；一题多解；一题多变；解题能力众所周知，“一题多解”训练是克服学生思维定式的一种有效途径，也是培养学生发散思维和思维灵活性的有效方法.通过长期“一题多解”的训练，学生可以从多角度、多途径寻求解决问题的方法，开拓解题思路，并从多种解法的对比中选择最佳解法，总结解题规律，提高分析问题、解决问题的能力，增强思维的发散性和创造性.下面以一道高考试题为载体浅谈“一题多解”和“一题多变”的必要性和重要性.2013年全国课标Ⅰ卷文科数学第16题，题目虽不新颖，但是内涵丰富、简洁明快，解法丰富多样，这类题型的练习对学生的发散性思维有一定的启发性，引起了笔者的深入探索和思考.题目如下：设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos θ= .一、试题分析本题属于传统题，考查以三角函数的辅助角公式、导数和向量等为工具解决函数最大值问题；以三角函数为载体，考查数形结合思想、等价转化思想、函数方程及不等式思想.二、解法探究（一题多解）本题解法很多，不同的解法体现不同的思维层次和思考角度，考生较容易入手，同时也要求考生要有一种勇于探索、敢于实践的精神.【解法1】（利用导数与极值、最值的关系将问题转化为方程组问题）f（x）=5sin（x-φ）的最大值为5，根据条件可知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，及sin θ-2cos θ=5，解得cos θ=-255.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，当两向量共线且同向时取得最大值，如图，易知cos θ=-255.（本法本质同柯西不等式）【解法3】（利用潜在条件将问题转化为方程组问题）函数f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-φ）的最大值为5，由条件得sin θ-2cos θ=5，sin2θ+cos2θ=1，利用代入消元法消去sin θ得（2cos θ+5）2+cos2θ=1，即5cos2θ+45cos θ+4=0，（5cos θ+2）2=0，解得cos θ=-255.【解法4】（利用辅助角公式巧妙解决问题）f（x）=sin x-2cos x=5sin x·15-cos x·25=5sin（x-φ），其中cos φ=15，sin φ=25.因为当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，所以θ-φ=π2+2kπ，k∈Z，即θ=φ+π2+2kπ，k∈Z.故cos θ=cosφ+π2=-sin φ=-25=-255.【解法5】（利用二阶导数将问题转化为函数的凹凸性问题）根据条件知f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，结合sin2θ+cos2θ=1解得cos θ=±255.又函数取得最大值附近函数图象上凸（可通过图象上点的切线的斜率变化理解）[1]，即f″（θ）=-sin θ+2cos θ三、解后反思函数的极值和最值问题是高考的重点和难点问题，解决此类问题主要从几何角度和代数角度两大思路思考，常常采用数形结合、导数和重要公式等方法，具体问题还需要具体分析.①一般将问题转化为我们熟悉的最值问题，直接降低解答的难度，灵活应用所学知识解决（如解法1和2）.②最值问题的求解要求同学们在按部就班条件下还要具有胆大心细、敢想敢算的精神.（如解法3、4和5）.③一般地，设当x=θ时，函数f（x）=asin x+bcos x（ab≠0）取得最大（小）值，则可用上述方法求出sin θ和cos θ，进一步可求tan θ、sin θ±cos θ、s in 2θ、cos 2θ和tan 2θ等.我们在试题讲解过程中要渗透学生从多角度深刻剖析问题.只有让学生的思维在“多角度”上下功夫，才能取得事半功倍的良好效果，学生的思维才能在不断地展开中得到充分的训练和培养.四、变式练习（一题多变）为了加强学生对某一类问题的掌握，教师适当地对题目加以改编再练习，会起到强化解题思想方法的积极作用，能够让学生在亲身实践中寻求变通，悟出其中的来龙去脉，掌握科学的解题规律和法则.在实际教学过程中，我们应抓住这个有效时机让学生亲自去感受、体验、思考、动手做、总结和反思，使其体会到灵活地应用所学知识、思想和方法创造性地解决问题的美妙感觉，进而培养学习的兴趣，提高解题的信心.下面给出6个变式练习及其简要解答供大家参考.【变式题1】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则cos 2θ= .【变式题2】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最大值，则2θ是第象限角.【变式题3】设当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，则tan θ= .【变式题4】若x∈0，3π4，则函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为 .【变式题5】若x∈[0，m]时，函数f（x）=sin x-2cos x的最大值为322，则正数m的值是 .【变式题6】如果函数f（x）=sin 2x+acos 2x的图象关于直线x=π8对称，那么a= .【变式题1】【解】根据高考题目解法可知cos θ=-255，故cos 2θ=2cos2θ-1=35.【变式题2】【解】根据高考题目解法知cos θ=-255，sin θ=55，故cos 2θ=2cos2θ-1=35，sin 2θ=2sin θcos θ=-45，故2θ是第四象限角.【变式题3】【解】下面只给出直接求导方法.当x=θ时，函数f（x）=sin x-2cos x取得最小值，f′（θ）=cos θ+2sin θ=0，则tan θ=-12.【变式题4】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）根据条件知f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；當x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，f（x）max=f3π4=322.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，易知当x=3π4时数量积取得最大值，f（x）max=322.【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，则-π2【变式题5】【解法1】（利用导数将问题转化为求函数最大值问题）根据条件知f3π4=322，f′（x）=cos x+2sin x，当x∈0，π2时，f′（x）=cos x+2sin x>0；当x∈π2，3π4时，f′（x）=cos x+2sin x=cos x（1+2tan x）>0.故f（x）=sin x-2cos x在0，3π4上单调递增，故m=3π4.【解法2】（利用向量数量积的意义将问题转化为几何问题）将f（x）=sin x-2cos x=（-2，1）·（cos x，sin x）视为向量的数量积问题，又f3π4=322，易知当x=3π4时取得最大值，故m=3π4.【解法3】f（x）=sin x-2cos x=5sin（x-θ），其中sin θ=25，cos θ=15.不妨取θ∈π4，π2，结合条件有-π2【变式题6】【解法1】根据条件知f（0）=fπ4，即a=1.检验：当a=1时，f（x）=2 sin2x+π4，则fπ8=2，因此f（x）的图象关于x=π8对称.故a=1满足题意.【解法2】f′（x）=2cos 2x-2asin 2x，由题意知f′π8=2cosπ4-2asinπ4=0，得a=cosπ4sinπ4=1.【解法3】利用辅助角公式f（x）=sin 2x+acos 2x=a2+1sin（2x+θ），其中a=tan θ.根据条件知fπ8=a2+1sinπ4+θ=±a2+1，故sinπ4+θ=±1.解得θ=π4+kπ，k∈Z，a=tanπ4+kπ=1.下面再给出两道不错的一题多解练习题供读者参考：2015年重庆高考文科数学14题：设a，b>0，a+b=5，则a+1+b+3的最大值为 .2009年安徽高考理科数学14题：给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°.如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动.若OC=xOA+yOB，其中x，y∈R，则x+y的最大值是 .五、结束语“一题多解”和“一解多变”训练是提高数学解题能力的有效途径.学生通过“一题多解”，可以开阔思路、发散思维，学会多角度分析和解决问题；通过“一题多变”，能够加深思维深度，学会由表及里抓住事物的本质，找出事物间的内在联系.试题多种解法的探究仅仅是试题研究的一个开端.对解法的探索是在践行我们所学的知识技能和思想方法，同时也使我们的思维更广阔、思想更深刻.对试题本质的探源，使我们更深刻地认识问题，将新旧解题经历跨时空贯通起来，这又是一个新的开始.美国著名数学教育家波利亚说过[2]，掌握数学就意味着学会解题，而想要学会解题，好的数学题目是关键.一道好的试题之所以能引起大家的共鸣，不是因为其独特的解题技巧，而是其中所蕴含着的数学思想和方法.本文中的试题素材平朴，但求解过程精彩纷呈，妙趣横生，真可谓是一道平中孕奇的好题.正如波利亚说“一个专心的认真备课教师能拿出一个有意义的但不复杂的题目，去帮助学生发展问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的领域”.参考文献[1]华东师范大学数学系. 数学分析第四版上册[M].北京：高等教育出版社， 2011.[2]余启西.以智慧启迪智慧学好数学[J].福建中学数学，2015（5）：15-17.。
一题多解和一题多变
２０２４年１月上半月㊀解法探究㊀㊀㊀㊀一题多解和一题多变:一道有关抛物线焦半径问题的探究∗◉江苏省新沂市第一中学㊀吴玉章㊀苗庆硕㊀㊀抛物线的焦半径问题是抛物线综合问题中的一类特殊类型,其可以联系起抛物线的定义(问题的本质)㊁几何性质( 数 的属性)与几何特征( 形 的特征)㊁焦半径公式(三角形式)等, 串联 起平面解析几何㊁平面几何㊁函数与方程㊁三角函数等众多相关知识,为问题的切入与解决提供较多的思维视角,给问题的解决提供更多的方案与技巧方法,是有效发散数学思维,考查学生 四基 ㊁数学能力以及数学思想方法等方面比较有效的一个重要载体,备受各方关注．１问题呈现问题㊀已知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x 轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A F|＝．此题以抛物线为问题场景,通过设置过准线与x 轴交点的直线l与抛物线交于两点,利用两个角相等来创设定交点问题,进而求解相应焦半径的长度．涉及抛物线的焦半径问题,可以从解析几何的实质入手,利用解析几何思维来合理进行数学运算与分析处理;也可以从平面几何的图形入手,利用平面几何思维进行逻辑推理与分析处理;还可以从焦半径的公式入手,利用三角函数思维来合理数学运算㊁逻辑推理与综合应用等．不同思维视角的切入,都给问题的解决提供了切实可行的技巧与方法,实现问题的巧妙解决．２问题破解２．１解析几何思维解法１:设线法．依题意可得p＝４,则F(２,０),C(－２,０)．根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图１所示．设直线l的方程为x＝m y－２,其中m＞０．设A(x１,y１),B(x２,y２),y１＞y２＞０．图１联立x＝m y－２,y２＝８x,{消去参数x并整理,可得y２－８m y＋１６＝０．利用韦达定理,可得y１＋y２＝８m,y１y２＝１６,则|A B|＝１＋m２|y１－y２|＝１＋m２ ６４m２－６４＝８m４－１,|B C|＝１＋m２|y２|＝１＋m２ y２．由抛物线的定义,可得|A F|＝x１＋p２＝m y１－２＋２＝m y１．由于øA F B＝øC F B,则F B是øA F C的角平分线．由三角形内角平分线定理,得|C F||A F|＝|B C||A B|,即４m y１＝１＋m２ y２８m４－１．整理并化简,可得m y１y２＝３２m２－１,即１６m＝３２m２－１,则m２＝４３,解得m＝２３３．所以y１＋y２＝８m＝１６３３,又y１y２＝１６,解得y１＝４３,则|A F|＝m y１＝２３３ˑ４３＝８．解后反思:设线法是借助解析几何思维处理问题的一种 通性通法 ,成为解决直线与圆锥曲线位置关系问题时首选的一种基本方法．２．２平面几何思维解法２:几何法．依题意可得,p＝４．根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图２所示．过点A,B作抛物线准线的垂线,垂足分别为D,３８∗课题信息:江苏省教育科学 十四五 规划普教重点课题 指向关键能力的高中数学主题单元式教学的实践研究 ,课题编号为B/２０２１/０２/３４;江苏省教研室第十一期立项课题 差异教学在课程基地中应用的实践研究 ,课题编号为２０１５J K１１ＧL O４２．解法探究２０２４年１月上半月㊀㊀㊀图２E,延长E B交A F于点G．由于E GʊC F,因此øG B F＝øC F B,又øA F B＝øC F B,所以øA F B＝øG B F,可得|B G|＝|F G|．由øA F B＝øC F B,则F B是øA F C的角平分线,利用三角形内角平分线定理可得|A B||B C|＝|A F||C F|．结合抛物线的定义有|A D|＝|A F|,可得|A B||C F|＝|B C| |A D|．由于E GʊC FʊD A,因此|B G||C F|＝|A B||A C|,|B E||A D|＝|B C||A C|．所以有|B G| |A C|＝|B E| |A C|,可得|B G|＝|B E|,又结合抛物线的定义有|B E|＝|B F|,故|B G|＝|F G|＝|B F|,即әB F G是正三角形,从而øB F G＝６０ʎ,可得øA F x＝６０ʎ．利用抛物线的焦半径公式,可得|A F|＝p１－c o sθ＝４１－c o s６０ʎ＝８．解后反思:平面解析几何侧重 数 与 形 的结合与转化,借助代数思维中的数学运算来处理几何图形中的逻辑推理问题等,实现问题的突破与应用．２．３三角函数思维解法３:性质法．依题意可得,p＝４．图３根据已知可得直线l的斜率存在且不为０,利用图形的对称性,不失一般性,设点A,B位于x轴的上方,如图３所示,过点A,B作抛物线的准线的垂线,垂足分别为D,E．设øA F x＝θ,其中θ为锐角．结合øA F B＝øC F B,利用抛物线的焦半径公式可得|A F|＝p１－c o sθ＝p２s i n２θ２,|B F|＝p１－c o s(θ＋π－θ２)＝p１＋s i nθ２．由øA F B＝øC F B知,F B是øA F C的角平分线,则利用三角形内角平分线定理可得|C F||A F|＝|B C||A B|．结合比例性质,可得|C F||A F|＋|C F|＝|B C||A B|＋|B C|＝|B C||A C|．而由E BʊD A,可得|B E||A D|＝|B C||A C|．结合抛物线的定义有|A D|＝|A F|,|B E|＝|B F|,即|B C||A C|＝|B E||A D|＝|B F||A F|,所以|C F||A F|＋|C F|＝|B F||A F|,即pp２s i n２θ２＋p＝p１＋s i nθ２p２s i n２θ２,整理可得s i nθ２－２s i n２θ２＝０．解得s i nθ２＝１２,或s i nθ２＝０(舍去),结合θ为锐角,解得θ＝６０ʎ．所以|A F|＝p１－c o sθ＝４１－c o s６０ʎ＝８．解后反思:抛物线的焦半径三角公式|A F|＝p１－c o sθ(θ为直线A F的倾斜角),是解决与抛物线的焦半径相关问题常用的结论．借助三角函数思维,结合三角函数的相关知识来巧妙综合与应用．３变式拓展３．１同源变式变式１㊀己知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴的交点为C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|B F|＝．在此基础上,可以对问题进行一般化的归纳与总结．结论:已知抛物线y２＝２p x(p＞０)的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A F|＝２p,|B F|＝２p３．变式２㊀己知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则|A B|＝．３．２同阶变式变式３㊀已知抛物线y２＝８x的焦点为F,准线与x轴交于点C,过点C的直线l与抛物线交于A,B两点,若øA F B＝øC F B,则直线A F的斜率为．变式１,２,３的参考答案分别为:８３,８７３,ʃ３．４教学启示此类涉及抛物线的焦半径问题,往往是多知识点交汇与融合的产物,这样的创设契合高考数学命题精神,而多知识点交汇也为问题的切入提供了更多的思维视角,给各层面的学生提供了更多的机会,从而更加有效地体现数学试题的选拔性与区分性．在数学学习中,针对此类涉及圆锥曲线的焦半径问题,要深刻体会并加以系统学习,把握问题的实质与内涵,构建知识体系,理解技巧方法,形成解题习惯,培养数学品质．Z４８。