2019年百校联考(四)·数学·答案
2019年湖南省百所名校大联考(长郡中学、湖南师大附中等)高考数学冲刺试卷及参考答案(文科)(4月份)
2019年湖南省百所名校大联考（长郡中学、湖南师大附中等）高考数学冲刺试卷（文科）（4月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项1．（5分）全集U＝R，A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}，，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2]D．（1，2）2．（5分）若x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，则|x|+|y|等于（）A．B．2C．2D．43．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（）A．﹣2B．0C．1D．24．（5分）北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度5．（5分）下列四个命题：p1：任意x∈R，2x＞0；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，p3：任意x∈R，sin x＜2x；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．其中的真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p3，p4D．p1，p46．（5分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4B．C．D．27．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y＝f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为8．（5分）已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；；；其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P49．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||＝，则）的取值范围是（）A．[0，12]B．[0，]C．[0，6]D．[0，3]10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）11．（5分）直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为C的焦点，若sin∠ABF＝2sin∠BAF，则k的值是（）A．B．C．1D．12．（5分）已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）执行如图的程序框图，若，则输出n的值为．14．（5分）已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x﹣4与x轴、y轴交于M，N 两点，点A（2，﹣4）且＝+，则λ+μ的最小值为．15．（5分）锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，则△ABC面积的取值范围为．16．（5分）已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且AB＝AC＝AD＝2，BC＝BD＝4，CD＝8．若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，（n＝1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）令b n＝（2﹣n）（a n﹣1）（n＝1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，∠ABC＝45°，VB＝2，，BC＝1，，且V在平面ABC上的射影D在线段AB上．（Ⅰ）求证：DC⊥BC；（Ⅱ）设二面角V﹣AC﹣B为θ，求θ的余弦值．19．（12分）近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表l所示：表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：x i y i x i u i其中参考公式：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．20．（12分）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，直线l：y＝a（a ＜﹣1）与抛物线C交于A，B两点，过这两点分别作抛物线C的切线，且这两条切线相交于点D．（1）若D的坐标为（0，2），求a的值；（2）设线段AB的中点为N，点D的坐标为（0，﹣a），过M（0，2a）的直线l′与线段DN为直径的圆相切，切点为G，且直线l′与抛物线C交于P，Q两点，求的取值范围．21．（12分）已知函数（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝e x+mx2﹣2e2﹣3，当a＝e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）＝k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．2019年湖南省百所名校大联考（长郡中学、湖南师大附中等）高考数学冲刺试卷（文科）（4月份）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项1．（5分）全集U＝R，A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}，，则A∩（∁U B）＝（）A．[1，2]B．[1，2）C．（1，2]D．（1，2）【解答】解：A＝{x|y＝log2018（x﹣1）}＝{x|x﹣1＞0}＝{x|x＞1}，＝{y|y＝≥2}，则∁U B＝{x|x＜2}，则A∩（∁U B）＝{x|1＜x＜2}，故选：D．2．（5分）若x，y为共轭复数，且（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，则|x|+|y|等于（）A．B．2C．2D．4【解答】解：x，y为共轭复数，可设x＝a+bi，y＝a﹣bi（a，b∈R）．∵（x+y）2﹣3xyi＝4﹣6i，∴4a2﹣3（a2+b2）i＝4﹣6i，∴，解得a2＝b2＝1．∴|x|+|y|＝2＝2．故选：C．3．（5分）已知函数f（x）为奇函数，且当x＞0时，，则f（﹣1）＝（）A．﹣2B．0C．1D．2【解答】解：∵函数f（x）为奇函数，x＞0时，f（x）＝x2+，∴f（﹣1）＝﹣f（1）＝﹣2，故选：A．4．（5分）北京市2016年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是（）A．第一季度B．第二季度C．第三季度D．第四季度【解答】解：根据图中数据知，第一季度的数据是72.25，43.96，93.13；第二季度的数据是66.5，55.25，58.67；第三季度的数据是59.36，38.67，51.6；第四季度的数据是82.09，104.6，168.05；观察得出第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．故选：B．5．（5分）下列四个命题：p1：任意x∈R，2x＞0；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，p3：任意x∈R，sin x＜2x；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．其中的真命题是（）A．p1，p2B．p2，p3C．p3，p4D．p1，p4【解答】解：p1：任意x∈R，2x＞0，由指数函数的性质得命题p1是真命题；p2：存在x∈R，x2+x+1＜0，由x2+x+1＝（x+）2+≥，得命题p2是假命题；p3：任意x∈R，sin x＜2x，由x＝﹣时，sin x＞2x，得命题p3是假命题；p4：存在x∈R，cos x＞x2+x+1．命题p4是真命题．故选：D．6．（5分）某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（）A．4B．C．D．2【解答】解：根据三视图，得直观图是三棱锥，底面积为＝2，高为；所以，该棱锥的体积为V＝S底面积•h＝×2＝．故选：B．7．（5分）已知函数f（x）＝sin（x+），以下结论错误的是（）A．函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称B．函数y＝f（x）的图象关于点（π，0）对称C．函数y＝f（x+π）在区间[﹣π，]上单调递增D．在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为【解答】解：对于函数f（x）＝sin（x+），令x＝，求得f（x）＝，为函数的最大值，可得它的图象关于直线x＝对称，故A正确；令x＝，求得f（x）＝0，可得它的图象关于点（，0）对称，故B正确；函数y＝f（x+π）＝sin（x+π+）＝﹣sin（x+），在区间[﹣π，]上，x+∈[﹣，]，故f（x+π）单调递减，故C错误；令f（x）＝1，求得sin（x+）＝，∴x+＝2kπ+，或x+＝2kπ+，k∈Z，故在直线y＝1与曲线y＝f（x）的交点中，两交点间距离的最小值为，故D正确，故选：C．8．（5分）已知，给出下列四个命题：P1：∀（x，y）∈D，x+y≥0；P2：∀（x，y）∈D，2x﹣y+1≤0；；；其中真命题的是（）A．P1，P2B．P2，P3C．P3，P4D．P2，P4【解答】解：作出集合D表示的平面区域如图所示：设P（x，y）为平面区域内的任意一点，则P在△ABC内部或边上．显然当P为（﹣2，0）时，x+y＝﹣2＜0，故而命题p1为假命题；作出直线2x﹣y+1＝0，由图象可知△ABC在直线2x﹣y+1＝0的上方，故而对于任意一点P，都有2x﹣y+1≤0，故命题p2为真命题；取点M（1，﹣1），连结MB，MC，则k MB＝﹣，k MC＝﹣3，∴﹣3≤≤﹣，故命题p3错误；联立方程组，解得A（﹣1，3），故OA2＝10，故命题p4正确．故选：D．9．（5分）已知△ABC是边长为2的正三角形，点P为平面内一点，且||＝，则）的取值范围是（）A．[0，12]B．[0，]C．[0，6]D．[0，3]【解答】解：∵）＝•（+++）＝•（2++）＝2||2+||×|+|×cosθ＝6+6cosθ∵﹣1≤cosθ≤1∴0≤6+6cosθ≤12故选：A．10．（5分）已知定义在R上的奇函数f（x）满足当x≥0时，f（x）＝1og2（x+2）+x+b，则|f（x）|＞3的解集为（）A．（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）B．（﹣∞，﹣，4）∪（4，+∞）C．（﹣2，2）D．（﹣4，4）【解答】解：由题意，f（0）＝1+b＝0，∴b＝﹣1，∴f（x）＝1og2（x+2）+x﹣1，∴f （2）＝3，函数在R上单调递增，∵|f（x）|＞3，∴|f（x）|＞f（2），∴f（x）＞2或f（x）＜﹣2，∴x＞2或x＜﹣2，故选：A．11．（5分）直线y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线C：y2＝8x交于A，B两点，F为C的焦点，若sin∠ABF＝2sin∠BAF，则k的值是（）A．B．C．1D．【解答】解：分别过A，B项抛物线的准线作垂线，垂足分别为M，N，则AF＝AM，BF＝BN，∵sin∠ABF＝2sin∠BAF，∴AF＝2BF，∴AM＝2BN，∴＝，即B为AP的中点．联立方程组，消去x可得：y2﹣+16＝0，设A（，y1），B（，y2），则y1y2＝16，又B是P A的中点，∴y1＝2y2，∴y2＝2，即B（1，2），又P（﹣2，0），∴直线AB的斜率为．故选：B．12．（5分）已知函数，若x＝2是函数f（x）的唯一极值点，则实数k的取值范围是（）A．B．C．（0，2]D．[2，+∞）【解答】解：∵函数f（x）的定义域是（0，+∞）∴f′（x）＝+﹣k＝，∵x＝2是函数f（x）的唯一一个极值点∴x＝2是导函数f′（x）＝0的唯一根，∴e x﹣kx2＝0在（0，+∞）无变号零点，即k＝在x＞0上无变号零点，令g（x）＝，因为g'（x）＝，所以g（x）在（0，2）上单调递减，在x＞2 上单调递增所以g（x）的最小值为g（2）＝，所以必须k≤，故选：A．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）执行如图的程序框图，若，则输出n的值为5．【解答】解：模拟程序的运行，可得：循环依次为：；结束循环，输出n＝5．故答案为：5．14．（5分）已知P为抛物线C：y＝x2上一动点，直线l：y＝2x﹣4与x轴、y轴交于M，N两点，点A（2，﹣4）且＝+，则λ+μ的最小值为．【解答】解：由题意得M（2，0），N（0，﹣4），由＝+，得（x﹣2，y+4）＝λ（0，4）+μ（﹣2，0），∴x﹣2＝﹣2μ，y+4＝4λ，因此．故答案为：．15．（5分）锐角三角形ABC中，∠A＝30°，BC＝1，则△ABC面积的取值范围为．【解答】解：∵∠A＝30°，BC＝1，可得：，∴AB＝2sin C，AC＝2sin B＝2sin（150°﹣C）＝2（cos C+sin C）＝cos C+sin C，∴S△ABC＝AB•AC，∵C∈（，），可得：2C﹣∈（0，），∴sin（2C﹣）∈（0，1]，可得：，则△ABC面积的取值范围为，故答案为：．16．（5分）已知A，B，C，D四点均在以点O1为球心的球面上，且AB＝AC＝AD＝2，BC＝BD＝4，CD＝8．若球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球O2直径的最大值为8【解答】解：如图三棱锥A﹣BCD，底面为等腰直角三角形，斜边为CD，底面圆心为CD中点F，由AB＝AC＝AD，可得AF⊥平面BCD，球心O1在直线AF上，AF＝＝＝2，设球O1的半径为r1，可得r12＝（r1﹣2）2+16，解得r1＝5，由球O2在球O1内且与平面BCD相切，则球心O2在直线AE上，球O2直径的最大值为10﹣2＝8．故答案为：8．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：60分．17．（12分）已知数列{a n}满足：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，（n＝1，2，3，…）（Ⅰ）求证：数列{a n﹣1}是等比数列；（Ⅱ）令b n＝（2﹣n）（a n﹣1）（n＝1，2，3，…），如果对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，求实数t的取值范围．【解答】（Ⅰ）证明：由题可知：a1+a2+a3+…+a n＝n﹣a n，①a1+a2+a3+…+a n+1＝n+1﹣a n+1，②②﹣①可得2a n+1﹣a n＝1 …..（3分）即：a n+1﹣1＝（a n﹣1），又a1﹣1＝﹣…..（5分）所以数列{a n﹣1是以﹣为首项，以为公比的等比数列…．…..（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得a n＝1﹣，…（7分）∴b n＝（2﹣n）（a n﹣1）＝…（8分）由b n+1﹣b n＝﹣＝＞0可得n＜3由b n+1﹣b n＜0可得n＞3 …（9分）所以b1＜b2＜b3＝b4，b4＞b5＞…＞b n＞…故b n有最大值b3＝b4＝所以，对任意n∈N*，都有b n+t≤t2，等价于对任意n∈N*，都有≤t2﹣t成立…（13分）所以t2﹣t﹣≥0解得t≥或t≤﹣所以，实数t的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）…（14分）18．（12分）如图，在三棱锥V﹣ABC中，∠ABC＝45°，VB＝2，，BC＝1，，且V在平面ABC上的射影D在线段AB上．（Ⅰ）求证：DC⊥BC；（Ⅱ）设二面角V﹣AC﹣B为θ，求θ的余弦值．【解答】18（Ⅰ）证明：VB＝2，，BC＝1⇒BC⊥VC，VD⊥平面ABC⇒VD⊥BC，VD∩VC＝V，∴BC⊥平面VCD⇒DC⊥BC．（Ⅱ）解：作DE⊥AC垂足为E，连接VE，则∠VED为二面角V﹣AC﹣B的平面角．在△BCD中，∠DBC＝45°，DC⊥BC，BC＝1，∴CD＝1，，∠BDC＝45°，在△ADC中，∠ADC＝135°，，∴，∴，又VD⊥平面ABC，∴VD⊥CD，又，∴，∴．19．（12分）近期，某公交公司分别推出支付宝和徽信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付．某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x表示活动推出的天数，y表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表l所示：表1根据以上数据，绘制了如右图所示的散点图．（1）根据散点图判断，在推广期内，y＝a+bx与y＝c•d x（c，d均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y关于活动推出天数x的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）；（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，求y关于x的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次；参考数据：x i y i x i u i其中参考公式：对于一组数据（u1，υ1），（u2，υ2），…，（u n，υn），其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：．【解答】解：（1）根据散点图判断，y＝c•d x适宜作为扫码支付的人数y关于活动推出天数x的回归方程类型；…………（3分）（2）由y＝c•d x，两边同时取常用对数得：1gy＝1g（c•d x）＝1gc+1gd•x；设1gy＝v，∴v＝1gc+1gd•x；………………（5分）计算，，∴lg＝＝，………………（7分）把样本中心点（4，1.54）代入v＝1gc+1gd•x，得：，∴，∴，……………………（9分）∴y关于x的回归方程式：；………（10分）把x＝8代入上式，；活动推出第8天使用扫码支付的人次为3470；…………………………（12分）20．（12分）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，直线l：y＝a（a ＜﹣1）与抛物线C交于A，B两点，过这两点分别作抛物线C的切线，且这两条切线相交于点D．（1）若D的坐标为（0，2），求a的值；（2）设线段AB的中点为N，点D的坐标为（0，﹣a），过M（0，2a）的直线l′与线段DN为直径的圆相切，切点为G，且直线l′与抛物线C交于P，Q两点，求的取值范围．【解答】解：（1）由抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点到准线的距离为，得p＝，则抛物线C的方程为x2＝﹣y．设切线AD的方程为y＝kx+2，代入x2＝﹣y得x2+kx+2＝0，由△＝k2﹣8＝0得k＝±2．当k＝2时，A的横坐标为﹣＝﹣，则a＝﹣（﹣）2＝﹣2，当k＝﹣2时，同理可得a＝﹣2．（2）由（1）知，N（0，a），D（0，﹣a），则以线段ND为直径的圆为圆O：x2+y2＝a2，根据对称性，只要探讨斜率为正数的直线l′即可，因为G为直线l′与圆O的切点，所以OG⊥MG，cos∠MOG＝＝，所以∠MOG＝，所以|MG|＝|a|，则直线l′的斜率为，所以直线l′的方程为y＝x+2a，代入x2＝﹣y得x2+x+2a＝0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），所以x1+x2＝﹣，x1x2＝2a，△＝3﹣8a＞0，所以|PQ|＝•＝2，所以＝＝•＝•，设t＝﹣，因为a＜﹣1，所以t∈（0，1），所以3t2+8t∈（0，11），所以＝•＝•∈（0，）．21．（12分）已知函数（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；（Ⅱ）设g（x）＝e x+mx2﹣2e2﹣3，当a＝e2+1时，对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），求实数m的取值范围．【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+∞），又，令f'（x）＝0，得x＝1或x＝a﹣1．当a≤1，则a﹣1≤0，由f'（x）＜0得0＜x＜1，由f'（x）＞0得x＞1，函数f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增．当1＜a＜2，则0＜a﹣1＜1，由f'（x）＜0得a﹣1＜x＜1，由f'（x）＞0得0＜x＜a﹣1或x＞1，函数f（x）在（a﹣1，1）上单调递减，在（0，a﹣1）和（1，+∞）上单调递增．当a＝2，则a﹣1＝1，可得f'（x）≥0，此时函数f（x）在（0，+∞）上单调递增．当a＞2时，则a﹣1＞1，由f'（x）＜0得1＜x＜a﹣1，由f'（x）＞0得0＜x＜1或x＞a﹣1，函数f（x）在（1，a﹣1）上单调递减，在（0，1）和（a﹣1，+∞）上单调递增．（II）当a＝e2+1时，由（1）得函数f（x）在（1，e2）上单调递减，在（0，1）和（e2，+∞）上单调递增，从而f（x）在[1，+∞）上的最小值为f（e2）＝﹣e2﹣3．对任意x1∈[1，+∞），存在x2∈[1，+∞），使g（x2）≤f（x1），即存在x2∈[1，+∞），g（x2）函数值不超过f（x）在区间[1，+∞）上的最小值﹣e2﹣3．由e x+mx2﹣2e2﹣3≤﹣e2﹣3得e x+mx2≤e2，．记，则当x∈[1，+∞）时，m≤p（x）max．＝，当x∈[1，2]，显然有e x x+2（e2﹣e x）＞0，当x∈（2，+∞），e x x+2（e2﹣e x）＞e x x﹣2e x＞0，故p（x）在区间[1，+∞）上单调递减，得，从而m的取值范围为（﹣∞，e2﹣e]．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知曲线C1的参数方程是（θ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ．（1）写出C1的极坐标方程和C2的直角坐标方程；（2）已知点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），直线M1M2与曲线C2相交于P，Q两点，射线OP与曲线C1相交于点A，射线OQ与曲线C1相交于点B，求的值．【解答】解：（1）曲线C1的普通方程为，化成极坐标方程为，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，可得：曲线C2的直角坐标方程为x2+y2＝2y，配方为x2+（y﹣1）2＝1．（2）由点M1、M2的极坐标分别为和（2，0），可得直角坐标：M1（0，1），M2（2，0），∴直线M1M2的方程为，化为x+2y﹣2＝0，∵此直线经过圆心（0，1），∴线段PQ是圆x2+（y﹣1）2＝1的一条直径，∴∠POQ＝90°，由OP⊥OQ得OA⊥OB，A，B是椭圆上的两点，在极坐标下，设，分别代入中，有和，∴，，则，即．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）＝k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，求k的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝+＝+＝|x ﹣3|+|x+4|，∴f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．∴①，或②，或③．得不等式①：x≤﹣5；解②可得x无解；解③求得：x≥4．所以f（x）≥f（4）的解集为{x|x≤﹣5，或x≥4}．（2）f（x）＞g（x）对任意的x∈R都成立，即f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∵f（x）＝|x﹣3|+|x+4|＝．由于函数g（x）＝k（x﹣3）的图象为恒过定点P（3，0），且斜率k变化的一条直线，作函数y＝f（x）和y＝g（x）的图象如图，其中，K PB＝2，A（﹣4，7），∴K P A＝﹣1．由图可知，要使得f（x）的图象恒在g（x）图象的上方，∴实数k的取值范围为（﹣1，2]．。
2019届江苏省百校联考高三数学试题(含全解析)
答案 8 3 2 6 3
uuur uuur 由任意三角形面积公式与 AB AC 2 3 构建关系表示 | AB|| AC| ，再由已知与平面向量
的线性运算、平面向量数量积的运算转化
uuur uuuur BN CM ，最后由重要不等式求得最值 .
解：
由 △ABC的面积为 6 得 1 | AB|| AC|sin ∠ BAC= 6 ，
集合 B 的补集 eU B { x | x 1} ，则 A (eU B) { x | 0 x 1}
故答案为： (0,1]
点评：
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题
.
2
2
2．已知双曲线
x a2
y b2
1(a 0,b 0) 的一条渐近线经过点
为 _______.
(1,2) ，则该双曲线的离心率
答案 5
绝密 ★启用前
2019 届江苏省百校联考高三数学试题
注意事项： 1 、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2 、请将答案正确填写在
答题卡上 一、填空题
1．设全集 U R ，集合 A
x | x2 2x 0 ， B { x | x 1} ，则集合
A (eU B) ______.
解：
由题可知，集合 A中 x2 2x 0 x x 2 0 0 x 2
由题可构建如图所示的图形，因为 AQ是 ACP 的角平分线，由角平分线成比例定理可
AC AQ 2
知
AP PQ 1
uuur uuur AQ 2PQ , 所以 AQ 2PQ .
uuur
uuur
设点 Q m, n ，点 P x, y ，即 AQ m 3, n , PQ
x m, y n ，
2019-2020年四校联考文科数学参考答案及说明
2019-2020年四校联考文科数学参考答案及说明一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题的4个选项中,只有一项是符合题目要求的.二、填空题：本大题共5小题, 考生作答４小题，每小题5分,共20分. 11. 0或23-； 12. 30； 13. 1(0,)(2,)2+∞； 14. 4； 15. 30x y --=．三、解答题：本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.（本小题满分12分）已知向量()()()cos 3sin ,1,,cos a x x b f x x ωωω=+=，其中ω＞0，且//a b ，又函数()f x 的图像两相邻对称轴之间的距离为3π2. (1) 求ω的值；(2) 求函数()f x 在区间5,2π⎡⎤π⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值及相应的x 值． 解.(1) 由题意//a b ，()cos (cos )f x x x x ωωω∴=+1cos 2222x x ωω+=+1πsin(2)26x ω=++．…………………………………………… 4分由题意，函数的最小正周期为3π，又ω＞0，2π3π=2ω∴13ω∴=； ………………6分 (2) 由(１)知12()sin()236f x x π=++，5,2x π⎡⎤∈π⎢⎥⎣⎦，2511,,3666x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦∴当25,366x ππ+=即x =π时，()f x 取得最大值1, ……………………………… 9分 当29,366x ππ+=即2x =π时，()f x 取得最小值1.2- ………………………12分HPA BCDE 17．（本小题满分12分）为了让学生更多的了解“数学史”知识，某中学高二年级举办了一次“追寻先哲的足迹，倾听数学的声音”的数学史知识竞赛活动，共有800名学生参加了这次竞赛．为了解本次竞赛的成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩（得分均为整数，满分为100分）进行统计．请你根据频率分布表，解答下列问题：（1）填充频率分布表中的空格（在解答中直接写出对应空格序号的答案）；（2）为鼓励更多的学生了解“数学史”知识，成绩不低于80分的同学能获奖，请估计在参加的800名学生中大概有多少同学获奖？（3）在上述统计数据的分析中有一项计算见算法流程图，求输出S 的值． 解：（1）①为8，②为0.44，③为6，④为0.12． …………………………………4分（2）()0.280.12800320+⨯=，即在参加的800名学生中大概有320名同学获奖． ………………………………8分 （3）由流程图11223344S G F G F G F G F =+++650.16750.44850.28950.12=⨯+⨯+⨯+⨯78.6=．……………………12分 18．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AD CD ⊥，且BD 平分ADC ∠，E 为PC 的中点， 1==CD AD ,PC BC =,22=DB . （1）求证：PA ∥平面BDE ； （2）求证：AC ⊥平面PBD ； （3）求四棱锥ABCD P -的体积.（1）证明:设AC BD H =，连结EH ，在ADC ∆中，,AD CD =且DB 平分ADC ∠，H ∴为AC 的中点， E 为PC 的中点， EH ∴∥.PAHE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，PA ∴∥平面BDE ； ………………………………………………………………5分 （2）证明: PD ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，PD AC ∴⊥，由（Ⅰ）知BD AC,⊥PD BD D,=PD ⊂平面PBD ，BD ⊂平面PBD ，AC ∴⊥平面PBD ; …………………………………………………………………9分 另证：PD ⊥平面ABCD ，PD ⊂平面PBD ，∴平面PBD ⊥平面ABCD ， 由（Ⅰ）知AC BD,⊥平面PBD 平面ABCD BD,=AC ⊂平面ABCD ，AC ∴⊥平面PBD ． ……………………………………………………………………9分（3）解：在△BCD中，1,45DC DB BDC ==∠=︒，得222121455,BC BC =+-⨯⨯︒==在Rt △PDC中，1,PC BC DC ===从而2,PD =…………………………11分22,ABCD BCD S S ∆== ………………………………………………13分故四棱锥ABCD P -的体积142233P ABCD V -=⋅⋅=．………………………………14分 19．（本小题满分14分）如图，在直角梯形ABCD中，,,3,4,AD AB BC AB AD AB BC ⊥⊥===点E 在线段AB 的延长线上.曲线段DE 上任一点到A 、B 两点的距离之和都相等． （１）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE 的方程； （２）试问：过点C 能否作一条直线l 与曲线段DE 相交于两点M 、N ，使得线段MN 以C 为中点？若能，则求直线l 的方程；若不能，则说明理由． 解：（1）以直线AB 为x 轴，线段AB 的中点为原点， 建立如图所示的平面直角坐标系，则(2,0),(2,0),(2,3).A B C D -- …………… 1分358AD BD AB +=+=>，∴依题意，曲线段DE 是以A 、B 为左、右焦点，长轴长为8的椭圆的一部分． ……………… 4分故曲线段DE 的方程为221(2,0).1612x y x y +=≥-≥ …………………………………… 6分（2）设这样的直线l 存在，由直线2x =与曲线段DE 只有一个交点(0,3)，知直线l 存在斜率，设直线l 的方程为(2),y k x =-即 (2)y k x =-将其代入2211612x y +=得2222(34)16)16360k x k x k ++-+--= ① ……………………………… 9分设1122(,),(,)M x y N x y ，则由122,2x x +=知124,4,x x +==解得k = …………………………12分当2k =-时，方程①化为：240x x -=，解得120, 4.x x ==即(0,(4,0)M N ，适合条件．故直线l 存在，其方程为2y x =-+20.y +-= ………………… 14分 20．（本小题满分14分）设函数()3221f x x ax a x =+--,二次函数()21g x ax x =--，其中常数a R ∈．（1）若函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数，求实数a 的取值范围； （2）当函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点且()g x 存在最大值时，记()g x 的最大值为()h a ，求函数()h a 的解析式．解：（1）由题意0.a ≠()()223233a f x x ax a x x a ⎛⎫'=+-=-+ ⎪⎝⎭，()21g x ax '=-. ……………………………………………………………………………………………2分 1︒ 当0a >时，()03a f x x '>⇔>,或,x a <-函数()f x 的增区间为(),a -∞-、,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭. ()10,2g x x a '>⇔>函数()g x 的增区间为1,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭.函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数，023122a a a a a ⎧⎪>⎪⎪∴-≥⎨⎪⎪-≥⎪⎩解得3a ≥. ……………………………………………………………5分2︒ 当0a <时，()03af x x '>⇔<,或,x a >- 函数()f x 的增区间为,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭、(),a -+∞. ()10,2g x x a '>⇔<函数()g x 的增区间为1,2a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭.函数()f x 与()g x 在区间()2,a a -内均为增函数函数，0312a a a a a ⎧⎪<⎪⎪∴≤⎨⎪⎪≤⎪⎩，解得a ≤. ……………………………………………………………8分综上所述，实数a的取值范围是[)(,3,-∞+∞. ………………………………9分（2）∵二次函数()21g x ax x =--有最大值，0a ∴<， 由()()f x g x =得()2210x x a -+=，即0x =,或221.x a =-∵函数()y f x =与()y g x =的图象只有一个公共点，210a ∴-≤，又0a <，10a ∴-≤<． ……………………………………………12分又()211124g x a x a a ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，当12x a =时, ()g x 有最大值114a --, ()11,104h a a a∴=---≤<． …………………………………………………………14分 21．（本小题满分14分）已知数列{}n a 满足：1113,2(2,n n n a a a n n --==+≥)*∈N ．（１）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S ； （２）令11n n n b a a +=⋅，11222(n n n T b b b n -=+++)*∈N ,求证：16n T <(n )*∈N ． 解:（1）解法一：()1122,n n n a a n --≥-=∴当2n ≥时，()()()12132121()n n n n n a a a a a a a a a a ---=+-+-++-+-221123222222112nn n n ---=+++++=+=+-．检验知当1n =时，结论也成立，故21n n a =+ (n )*∈N ．…………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分解法二：()1122,n n n a a n --≥-=1122n n n n a a --∴-=- ()2n ≥, ……………………3分∴数列{}2n a -是首项为121a -=,公差为0的等差数列,21n n a ∴-=,21n n a =+ (n )*∈N ． ………………………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分解法三：()1122,n n n a a n --≥-=11112222n n n n a a --∴=⋅+，()11211(1)222n n n n a a n --≥-=-． ……………………………………………………………３分 1111022a -=≠， ∴数列12n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是首项与公比均为12的等比数列, 11(),2122nn n n n a a ∴-==+(n )*∈N ． …………………………………………5分2112(12)(2222)2212n n nn n S n n n -+-=+++++=+=+--(n )*∈N ．………………7分证明:（2）()()111222121n n n n n b --+=++ ()()()()11121211112212122121n n n n n n ++++-+⎛⎫==- ⎪++++⎝⎭(n )*∈N ． ……………………………………………………………………11分11222n n n T b b b -∴=+++223111111112121212122121nn +⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-⎪ ⎪ ⎪⎢⎥++++++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 1111111212212126n +⎛⎫=-<⋅= ⎪+++⎝⎭． ……………………………………………14分。
广东省2019届高考百校联考理科数学试卷(PDF版,含详解)
an 2n
，求数列{bn}的前 n 项和Tn
．
18．（12 分） 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的 1200 名男生和 800 名女生中按分层抽样的方法抽
取 20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类（不 参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过 3 小时），C 类（参加课外 阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过 3 小时）．调查结果如下表：
解析：因为
sin 2 sin
cos 7 5
cos
2
，所以 sin 3 ，从而 cos 2 1 2sin2 7 ．
5
25
5
4．如图 1 为某省 2018 年 1~4 月快递义务量统计图，图 2 是该省 2018 年 1~4 月快递业务收入统计图，下
列对统计图理解错．误．的是（
3 4
，则直线
F1F2
的斜率为（
）
A． 1 2
B． 1 4
C． 1 3
D． 1 5
9．如图， B 是 AC 上一点，分别以 AB, BC, AC 为直径作半圆．从 B 作 BD AC ，与半圆相交于 D ．
AC 6, BD 2 2 ，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）
2a 3c b
2R c 2 5 ．
2sin A 3sin C sin B
sin C
6．已知平面向量 a,b 满足 a 2, b 1，且 4a b a 3b 2 ，则向量 a, b 的夹角 为（ ）
A． 6
6．答案：D
B． 3
C． 2
D． 2 3
解析：因为
2019山西中考模拟百校联考试卷(四)数学答案解析
20. （本题 9 分） 如图，△ABC 内接于 O ，∠ACB=60°，BD 是 O 的直径，点 P 是 BD 延长线上一点，且 PA 是 O 的 切线. （1）求证：AP=AB；
（2）若 PD 5 ，求 O 的直径.
【考点】圆中综合 【难度星级】★★
【答案】（1）见解析
（2） 2 5
积为（ ）
A. 9 4
B.4
C.5
D. 11 4
【考点】反比例函数的几何意义.
【难度星级】★
【答案】D
【解析】因为 D 为 AP 的中点，所以△CDP 的面积为 5 5 ，△CBP 的面积为 3 3 ，总面积为 11 .
44
22
4
-3 -
第Ⅱ卷 非选择题 （共 90 分）
二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 3 分，共 15 分）
【考点】一元二次方程的应用
【难度星级】★★
【答案】（1） 2, 1,0,1, 2
（2） 3, 2, 1,0,1, 2,3或21, 22, 23, 24, 25, 26, 27
【解析】（1）假设连续的五个整数，为 n 2,n 1, n, n 1, n 2
依题意，可列方程 n 22 n 12 n2 n 12 n 22 , n1 0, n2 12
.
【考点】三角形综合
【难度星级】★★
【答案】 20 2 9
【解析】如图所示：过点 B 作 BF 垂直 AC 于点 F，在△ABF 中，BF= 5 2 ，△ABC 的面积为 5 2 8 20 2 2
△ABD 的面积为 20 2 5 100 2 ，DE= 100 2 2 10 20 2
【考点】科学记数法的表示方法 【难度星级】★ 【答案】D 【解析】13800000000 1.38 1010 ，大数科学记数法指数为位数减 1.
中考数学复习考点知识专题讲义第6讲 一元二次方程及其应用
2．列一元二次方程解决实际问题的一般步骤： 同列一元一次方程解决实际问题的步骤一样：审、设、列、解、验、答． 关键是：审、设、列、解． 注意：检验时既要检验所求结果是否为所列方程的解，还要检验是否为原问题的解.
命题点一 一元二次方程的概念及解法(8 年 4 考)
1．(2019·山西 8 题)一元二次方程 x2－4x－1＝0 配方后可化为( D )
aa((11＋＋x)nx＝)nb＝b 或 aa((11－－x)nx＝)nb＝b
[a 为原来的量，x 为平均增长(降低)率，b 为增长(降低)后的量，n 为
增长(降低)的次数]
利率问题 销售利润问题
本息和＝本金＋利息 利息＝ 本本金×金年×利年率×利年率数×年数
利润＝售价－成本 利润
利润率＝成本×100%
2．(2019·百校联考四)一元二次方程 y2－y＝34配方后可化为( B )
B．(40－2x)(30－x)＝15×30×40 D．(40－2x)(30－x)＝45×30×40
【跟踪训练】 5．改善小区环境，争创文明家园．如图所示，某社区决定在一块长(AD)10 m，宽 (AB)4 m 的矩形场地 ABCD 上修建两条同样宽的小路，其中一条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种草．要使草坪部分的总面积为 27 m2，则小路的宽应为多少？
2．一元二次方程根与系数的关系(选学内容)：
若关于 x 的一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的两个实数根为 x1，x2，则 x1＋x2＝
－－ba
，x1·x2＝
c a
.
考点三 一元二次方程的实际应用 1．实际问题常见类型
类型
数量间的等量关系 增长数量 增长率＝基础数量×100%
2019届江苏省百校联考高三数学试题(解析版)
一、填空题
1．设全集 ，集合 ， ，则集合 ______.
【答案】
【解析】分别解得集合A与集合B的补集，再由集合交集的运算法则计算求得答案.
【详解】
由题可知，集合A中
集合B的补集 ，则
故答案为：
【点睛】
本题考查集合的交集与补集运算，属于基础题.
2．已知双曲线 的一条渐近线经过点 ，则该双曲线的离心率为_______.
3．各项均为正数的等比数列 中， 为其前 项和，若 ，且 ，则公比 的值为_____.
【答案】
【解析】将已知由前n项和定义整理为 ，再由等比数列性质求得公比，最后由数列 各项均为正数，舍根得解.
【详解】
因为
即
又等比数列 各项均为正数，故
故答案为：
【点睛】
本题考查在等比数列中由前n项和关系求公比，属于基础题.
（1）求 关于 的函数解析式；
（2）当 为何值时， 面积 为最小，政府投资最低？
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）以点 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则 ，在 中，设 ，又 ，故 ， ，进而表示直线 的方程，由直线 与圆 相切构建关系化简整理得 ，即可表示OA,OB，最后由三角形面积公式表示 面积即可；
12．在平面直角坐标系 中，已知圆 及点 ，设点 是圆 上的动点，在 中，若 的角平分线与 相交于点 ，则 的取值范围是_______.
【答案】
【解析】由角平分线成比例定理推理可得 ，进而设点表示向量构建方程组表示点P坐标，代入圆C方程即可表示动点Q的轨迹方程，再由将所求视为该圆上的点与原点间的距离，所以其最值为圆心到原点的距离加减半径.
本题主要考查了棱柱与棱锥的体积的计算问题，其中解答中正确认识几何体的结构特征，合理、恰当地表示直四棱柱三棱锥的体积是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，以及空间想象能力，属于中档试题。
南通市达标名校2019年高考四月大联考数学试卷含解析
南通市达标名校2019年高考四月大联考数学试卷一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，若点(2,1)P -在角α的终边上，则sin 22πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．45-B ．45C ．35D ．352．已知抛物线220y x ＝的焦点与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为92，那么该双曲线的离心率为（ ） A ．54 B ．53C ．52D ．53．己知函数()()1,0,ln ,0,kx x f x x x ->⎧=⎨--<⎩若函数()f x 的图象上关于原点对称的点有2对，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(),0-∞B ．()0,1C ．()0,∞+D ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭4．已知点(2,0)M ，点P 在曲线24y x =上运动，点F 为抛物线的焦点，则2||||1PM PF -的最小值为（ ）A ．3B ．2(51)-C ．45D ．45．在正方体1AC 中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1A F 与平面1D AE 的垂线垂直，如图所示，下列说法不正确．．．的是（ ）A ．点F 的轨迹是一条线段B ．1A F 与BE 是异面直线C ．1A F 与1DE 不可能平行D ．三棱锥1F ABD -的体积为定值且二面角A BD C --的大小为23π，若四面体ABCD 的顶点都在球O 上，则球O 的表面积为（ ）A ．223πB ．283πC ．2π D ．23π 7．若两个非零向量a 、b 满足()()0a b a b +⋅-=，且2a b a b +=-，则a 与b 夹角的余弦值为（ ） A ．35B ．35±C ．12D ．12±8．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若13a =，535S =，则数列{}n a 的公差为（ ） A ．-2B ．2C ．4D ．79．复数的()12z i i =--为虚数单位在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限10．()712x x-的展开式中2x 的系数为（ ）A ．84-B ．84C ．280-D ．28011．已知函数()(N )k f x k x+=∈，ln 1()1x g x x +=-，若对任意的1c >，存在实数,a b 满足0a b c <<<，使得()()()g a f b g c ==，则k 的最大值是( ) A ．3B ．2C ．4D ．512．已知复数()()2019311i i z i--=（i 为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A ．z 的虚部为4B ．复数z 在复平面内对应的点位于第三象限C ．z 的共轭复数42z i =-D ．25z =二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
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⊥ ⊥ ⊥⊥ ∴m=4
1 m2- 1 m-242
1 2
m-2
.
解得m1=5，m2=0（舍去）.
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ ∴点E的坐标为（5，0），点D的坐标为
5，
7 4
，点F的坐标为
5，
1 2
.
!!!!! 6分
∴S四边形DOBF=S△OED－S△BEF
=
1 2
×5×
7 4
-
1 2
×1×
1 2
= 383 .
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7分
⊥∴
⊥
4k+b=0， 解得
k= ⊥
⊥ ⊥⊥ ⊥
1 2
，
b=-2.
⊥ ⊥
⊥⊥⊥b=-2.
∴直线BC的函数表达式为y= 1 x-2. 2
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分
⊥ ⊥ ⊥ ⊥ 设点D的坐标为
m，
1 4
m2-
1 2
m-2
，则点F的坐标为
m，
1 2
m-2
，点E的坐标为（m，0）.
∵点D在第一象限，∴m>0，又∵OE=4DF，
200（1－5%）=190（元）. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!
答：在实际销售过程中每个背包售价为190元. !!!!!!!!!!!!!! 9分
22. 解：（1）菱形 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1分
证明：由平移得CF∥AD，CF=AD， !!!!!!!!!!!!!!!!!! 2分
8，
7 4
-n
，
（答图 3）
代入y= 1 x2- 1 x-2，得 7 -n=16-4-2.
42
4
解得n=-
ห้องสมุดไป่ตู้
33 4
.
此时点M的坐标为（8，10）． !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 13分
综上所述，存在以点B，D，M，N为顶点的四边形是平行四边形，点M的坐标分别为（0，－2）
或（2，－2）或（8，10）.
C（ 1 3，－3）. !!!!!!!!!!!!! 3分
（2）如图，△A2BC2即为所求， !!!!!! 5分
△A2BC2的面积为20. !!!!!!!!! 6分
18. 解：（1）存在其他像这样五个连续的整数，前三个
数的平方和正好等于后两个数的平方和. ! 1分
设x为这五个连续整数的第二个数. !!! 2分
又∵OA=OB，
（第 20 题答图）
∴∠ABP=∠OAB=30°. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 3分
∵PA是⊙O的切线．
∴OA⊥PA.
∴∠OAP=90°. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分
∴∠OPA=90°－∠AOP=30°.
∴∠OPA=∠ABP.
∴AP=AB. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
数学（四）答案 第 5 页 （共 5 页）
（鸡，鸡）
（虫，鸡）
虫
（虎，虫）
（棒，虫）
（鸡，虫）
（虫，虫）
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 虫分
由表可知，共有16种等可能的结果，李四取胜的结果共有（鸡，虎），（虎，棒），（虫，鸡），
（棒，虫）4种情况. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
∴李四取胜的概率为 4 = 1 . 16 4
∵AB= AC =2， sin30°
数学（四）答案 第 3 页 （共 5 页）
∴S梯形CDBF=
1（CF+DB）·CG= 2
1（AD+DB）·CG= 2
1 2
AB·CG=S△ABC=
1 2
×2×
姨3 2
=姨3 2
.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 9分
（3）①四边形CDBF的对角线互相垂直；
（第 17 题答图）
数学（四）答案 第 1 页 （共 5 页）
依题意列方程，得（x－1）2+x2+（x+1）2=（x+2）2+（x+3）2. !!!!!!!!!!! 3分
化简，得x2－10x－11=0.
解这个方程，得x1=11，x2=－1. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
∴五个连续的整数为10，11，12，13，14和－2，－1，0，1，2，前三个数的平方和正好等于后
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6分
（3）两人能分出胜负的概率为 1 . 2
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8分
20. 证明：（1）连接OA，
∵∠ACB=60°，
∴∠AOB=2∠ACB=120°. !!!!!!!!!!!!! 1分
∴∠AOP=60°. !!!!!!!!!!!!!!!!!! 2分
又∵点D为AB的中点，∴AD=BD，
∴CF=BD， !!!!!!!!!!!!!!!! 3分
又∵CF∥AD，
∴CF∥BD，
（第 22 题答图 1）
∴四边形CDBF是平行四边形. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分
在Rt△ACB中，CD为中线，
∴CD=DB， !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
两个数的平方和.
答：存在其他五个连续的整数－2，－1，0，1，2，前三个数的平方和正好等于后两个数的
平方和. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6分
（2）21，22，23，24，25，26，27和－3，－2，－1，0，1，2，3. !!!!!!!!!!!! 8分
19. 解：（1）张三喊出“虎”时，李四可能喊出“虎”“棒”“鸡”“虫”四种情况，其中只有李四喊
摇
姨
2
-1
!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分
=4-1+1+
摇
姨
2
-1
=3+
摇
姨
2
.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 5分
（2）原式= 3（x-1） ·（x+1）2 + 1 （x+1）（x-1） 3x x2-x
!!!!!!!!!!!!!!!!! 7分
= x+1 + 1 x x（x-1）
山西中考模拟百校联考试卷（四）
数学参考答案及评分标准
一、选择题
1~5 BACDB
6~10 ADBCD
二、填空题
11.（3n+1） 三、解答题
99x+y=1000，
9
12.
99
9911
9
x+
4
y=999
9 99
9
7
13. 5.2
14. 180
15.
20
摇
姨
2
9
16.
解：（1）原式=4-8×0.125+1+
（3）设点N的坐标为（1，n），
⊥ ⊥ ①当NB为对角线时，如答图1所示，点M的坐标为
0，n-
7 4
.
代入y= 1 x2- 1 x-2，得n- 7 =-2，解得n=- 1 .
42
4
4
数学（四）答案 第 4 页 （共 5 页）
此时点M的坐标为（0，－2）； !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 9分
出“鸡”一种情况，张三能取胜.
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 1分
∴张三喊出“虎”取胜的概率为 1 . 4
!!!!!!!!!!!!!!!!!! 2分
（2）根据题意，列表得：
李四
张三
虎
虎 （虎，虎）
棒 （棒，虎）
鸡 （鸡，虎）
虫 （虫，虎）
棒
（虎，棒）
（棒，棒）
（鸡，棒）
（虫，棒）
鸡
（虎，鸡）
（棒，鸡）
= x2 !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8分 x（x-1）
=x. x-1
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 9分
当x=
摇
姨
2
+1时，
原式=
x
=
摇
姨
2
+1
=
2+
摇
姨
2
.
x-1
摇
姨
2
+1-1
2
!!! 10分
17. 解：（1）如图，△A1B1C1即为所求， !!!!! 2分
②四边形CDBF一组对边平行；
③四边形CDBF面积是一个定值. !!!!!!!!!!!!!!!!!!! 11分
（写出两个即可，答案不唯一）
（4）答案不唯一，只要符合要求即可得1分. 如：平移过程中，求∠FDB与∠CBD的和.
!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 12分
23. 解：（1）由y=0，得 1 x2- 1 x-2=0. 42
数学（四）答案 第 2 页 （共 5 页）
（2）解：在Rt△OAP中，∵∠OPA=30°， ∴PO=2OA=OD+PD. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 6分 又∵OA=OD， ∴PD=OA. !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 7分
∵PD=姨 5 ，
∴2OA=2PD=2姨 5 . !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! 8分
答：每个背包售价应不高于200元． !!!!!!!!!!!!!!!!!!! 4分