线性代数机械工业出版社第一章答案
线性代数课后参考答案
第一章作业参考答案1-1. 求以下排列的逆序数：（1）134782695 （3）13…(2n-1)(2n)(2n-2)…2 解：（1）t=0+0+0+0+4+2+0+4=10（2）t=0+0+…+0+2+4+6+…+2(n-1)=2(1+2+3+…+n-1)=(1)2(1)2n n n n -⨯=-1-2. 在6阶行列式的定义式中，以下的项各应带有什么符号？ （1）233142561465a a a a a a解：()12(234516)4,•3126454t t t t ====128t t t =+=为偶数，故该项带正号。
1-3. 用行列式的定义计算：（1）0004004304324321（3）0123100010001x x x a a a x a ---+解：（1）12412312400040043(1)(1)444425604324321tq q q a a a ++=-=-⨯⨯⨯⨯=∑ （3）1320123100010()(1)(1)001x x x x x x a x x a x a a a x a --=⨯⨯⨯++-⨯⨯⨯-⨯-+233432103210(1)(1)(1)(1)(1)a a x a x a x a x a +-⨯-⨯-⨯+-⨯-⨯=++++1-4. 计算下列行列式：（1） 1111111111111111--- （3）1200340000130051- （5）1111111111111111a a b b+-+- （7）n a b b b b a b b D b b b a=解：（1）11111111111102001(2)(2)(2)81111002011110002--==⨯-⨯-⨯-=-----（3）()120034001213(1423)113532001334510051-=⨯=⨯-⨯⨯-⨯-⨯=⎡⎤⎣⎦- （5）111111111111111000001111000011110000a a a a a aab a b a b b a b a b++----==+-------2221111110000000000000000a aa b a a a b b b bab+--===---（7）(1)(1)(1)n a b b b a n b a n b a n b b a b b b a bD b b b a b b a+-+-+-==111111100[(1)][(1)][(1)]()00000n ba b a b a n b a n b a n b a b bb a a b--=+-=+-=+---1-5. 证明：（1）332()xy x y y x y x x y x yx y ++=-++ （3）2222222222222222(1)(2)(3)(1)(2)(3)0(1)(2)(3)(1)(2)(3)a a a a b b b b c c c c d d d d ++++++=++++++证明：（1）2()2()2()xy x y x y x y x y y x y x y x y x x yx y x y x y +++++=+++1111112()2()00x y y x y x x y xx y x yx yyx=++=+-+--2332()[()]2()x y x y x y x y =+-+-=-+（3）22222222222222222222(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469(1)(2)(3)214469a a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d ++++++++++++=++++++++++++222221262126021262126a ab bc cd d ++==++1-6. 计算下列行列式：（1）00100000100n a a D a a =（3）123111000022000001(1)n nn n ------ 解：（1）2001000000000(1)10000000100100nn a a a a a D a aa a a==+-⨯⨯2nn a a-=-（3）123112321110001100002200022000001(1)0000(1)n nn n n n n ----=-------112323342101000(1)!(1)002002(1)n n n n n n n n +++++++++++--+===----1-7. 解下列方程：（1）24211231223()023152319x D x x -==-解：要使原方程有解，观察可知只有两种可能：①当221x -=时，即1x =±时，4()0D x = ②当295x -=时，即2x =±时，4()0D x = 综上所述，原方程的解为1，-1，2，-21-8. 设1578111120963437D --=--，试证：414243440A A A A +++=证明：根据拉普拉斯定理可知4142434411110A A A A ⨯+⨯+⨯+⨯=即414243440A A A A +++=1-9. 用Cramer 法则解下列方程组：（1）123412423412342583692254760x x x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪--=⎪⎨-+=-⎪⎪+-+=⎩解：该方程组的系数行列式为215113062702121476D ---==--，常数向量8950β⎛⎫⎪⎪= ⎪- ⎪⎝⎭1815193068152120476D ---==--- 22851190610805121076D --==----3218113962702521406D --==-- 4215813092702151470D --==---312412343,•4,•1,•1D D D Dx x x x D D D D∴====-==-==1-10. （1）问λ取何值时，下列齐次方程组有非零解？12312313220300x x x x x x x x λλ++=⎧⎪++=⎨⎪-=⎩解：要使原方程有解，由定理1.8知2223112001λλλλ=+-=- 解得11λ=或22λ=-。
线性代数第一章习题解答
a 4 9 a2 b 4 9 b2 + c 4 9 c2 d
1 d d
2
1 4a 1 4b 1 4c
4 9
1 = 0 0
d 2 1 4d
1 b−a
(4) 法 1：
1 b b
2
1 c c
2
1 c−a c 2 − ac c 4 − a 2c 2
a4
b4
c4
d4
b 2 − ab 0 b 4 − a 2b 2
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
n( n − 1) ： 2
1个 2个 3个 …
( n − 1) 个
（6）逆序数为 n( n − 1) 32 52，54 ………………
( 2n − 1) 2， ( 2n − 1) 4， ( 2n − 1) 6，…， ( 2n − 1) ( 2n − 2)
3 − 1 2 1 r2 + r1 5 0 6 2 = = 0. 1 2 3 2 1 2 3 2 5 0 6 2 5 0 6 2
e −e
3
c −c c
−1 1
1 −1 1
1 1 = 4abcdef −1
(3)
bd bf
de = adf b
e = adfbce 1
(4)
a −1 0 0
1 b −1 0
也即我们要求的D是多项式f (x)中x3系数的负值. 另一方面， f (x)是一范得蒙得行列式，故
；
（2）
2 1 4 1 3 −1 2 1 1 5 2 0
1 b −1 0
3 2 6 2
0 1
；
线性代数第一章习题解答.docx
《线性代数》第一章习题解答1. 解：(1)31542 的逆序数=2+0+2+1=5(2)264315 的逆序数=1+4+2+1+0=8 （3）54321 的逆序数=4+3+2+1=10⑷ 246..S2）（2“）135..・HWT ）=呼2. 解：四阶彳亍列式中含有t?31的项可表示为（-1）5山％肿2//3104” '其中Ji ，J 2,J 4为2, 3, 4的全排列。
故带有负号的项有：一£?]2024°31°43，~a \3a 22a M a 44 > ~ a 23° 3\a 421 x2 4 展开式中含有%4 5的项必须每行都取含x 的项相乘,6x 1 即=x-3x-6x- x = 18x 4,含有 x 3 的项为(―1 严31)X • 3x • 6x • 7 + (一1)心24)x. 2 • X • x = -128%3关于''如何做线性代数习题”的一些说明：每个人都有自己的套学习方法，并经 过不断借鉴他人优点、总结自我经验，不断完善学习方法。
做习题是学习方法中一部分。
现介绍一种简单的习题解答方法：拿到习题后不要立即动手，应当先观察，看题目考你 的是哪个知识点；再思考，初步猜测要用哪些方法（所用定理、公式、解决技巧）来操作， 然后动手验证刚才猜测的方法是否可行，可行则解答之，不可行则换一种方法，直到找到答 案。
简单来说，这种方法步骤概括为：一停、二看、三想、四动手。
线性代数的计算题一般通过多做练习能很好的掌握,证明题对非数学专业同学而言要稍 难一些，但这仅仅是第一印象，事实证明只要认真听课、勤做练习、自我总结，每位同学都 能解决大部分证明题（非数学专业考试试题中证明题往往只占少数分值），即使自己不会做 的我们可以查阅参考资料是如何做的（对于教材每章的习题来说，教材正文中的例题也是常 用的参考资料），然后记住这种方法，记得多了做证明题的能力自然得到提高。
《线性代数》课后习题答案
《线性代数》课后习题答案第一章行列式习题1.11. 证明：（1）首先证明)3(Q 是数域。
因为)3(Q Q ?，所以)3(Q 中至少含有两个复数。
任给两个复数)3(3,32211Q b a b a ∈++，我们有3)()3()3)(3(3)()()3()3(3)()()3()3(21212121221121212211212122 11b a a b b b a a b a b a b b a a b a b a b b a a b a b a +++=++-+-=+-++++=+++。
因为Q 是数域，所以有理数的和、差、积仍然为有理数，所以)3(3)()3()3)(3()3(3)()()3()3()3(3)()()3()3(2121212122112121221 121212211Q b a a b b b a a b a b a Q b b a a b a b a Q b b a a b a b a ∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++。
如果0322≠+b a ，则必有22,b a 不同时为零，从而0322≠-b a 。
又因为有理数的和、差、积、商仍为有理数，所以)3(33)(3)3()3)(3()3)(3(332222212122222121222222112211Q b a b a a b b a b b a a b a b a b a b a b a b a ∈--+--=-+-+=++。
综上所述，我们有)3(Q 是数域。
（2）类似可证明)(p Q 是数域，这儿p 是一个素数。
（3）下面证明：若q p ,为互异素数，则)()(q Q p Q ?。
（反证法）如果)()(q Qp Q ?，则q b a p Q b a +=?∈?,，从而有q ab qb a p p 2)()(222++==。
由于上式左端是有理数，而q 是无理数，所以必有02=q ab 。
所以有0=a 或0=b 。
线性代数第一章习题参考答案
解：4234231142342311)1342(4432231144322311)1324()1()1(a a a a a a a a a a a a a a a a =--=-ττ4.计算abcdef abcdef abcdef abcdef efcf bfde cd bdae ac ab r r r r c c c r f r d r a c ec c c b 420020111111111111111111111)1(12133213213211,1,11,1,1-=--=--=---=-----++5．求解下列方程10132301311113230121111112121)1(12322+-++-++=+-++-+=+-+-+++x x x x x x x x x x x x c c r r 1132104201)3(113210111)3(21+-+--++=+-+-++=-x x x x x x x x x r r 3,3,30)3)(3(11421)3(3212-==-==-+=+---++=x x x x x x x x x 得二列展开cx b x a x b c a c a b x c x b x a c b a x c b a x c b a x ====------=32133332222,,0))()()()()((1111)2(得四阶范得蒙行列式6.证明322)(11122)1(b a b b a a b ab a -=+右左证明三行展开先后=-=-=-----=----=+=+--323322222)(11)()()()1(100211122)1(:2132b a b a b a ba ba b a b b a a b b a b a b b ab ab a b b a ab ab ac c c c1432222222222222222222222222(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369(3))(1)(2)(3)(1)2369(1)(2)(3)(1)2369c c c ca a a a a a a ab b b b b b b b cc c c cc c cd d d d d d d d --++++++++++++==++++++++++++二三列成比例))()()()()()((1111)4(44442222d c b a d c d b c b d a c a b a d c b a dcbad c b a D +++------==44444333332222211111)(x d c b a xdcbax d c b a x d c b a x f 五阶范得蒙行列式解考虑函数=（5）))()()()()()(())()()()()()(()()())()()()()()()()()((454545453453d c d b c b d a c a b a d c b a A M D d c d b c b d a c a b a d c b a A ，A x x f ，Ｍx x f D a b b c a b c d b d a d d x c x b x a x ------+++-==------+++-=----------=于是的系数是中而对应的余子式中是（5）n n a a a a a xx x x 12101000000000100001----解：nn n n n n n n n n nn x a x a a x a x a a a a a a a xx x x D +++=-++--+--=---=+++-++++-10)1()1(1211110121)1()1()1()1()1(1000000000100001按最后一行展开7、设n 阶行列式)det(ij a D =把D 的上下翻转、或逆时针旋转090、或依副对角线翻转、依次得111131111211111,,a a a a D a a a a D a a a a D n n nn n nn n nnnn=== 证明D D D D D n n =-==-32)1(21,)1(证明：将D 上下翻转，相当于将对D 的行进行)1(21-n n 相邻对换得1D ，故D D n nn 2)1(1)1(--=将D 逆时针旋转090相当于将T D 上下翻转，故D n n D n n D T 2)1(2)1(2-=-=D 依副对角线翻转相当于将D 逆时针旋转090变为2D ， 然后再2D 左右翻转变为3D ，故D D D D n n n n n n =--=-=---2)1(2)1(22)1(3)1()1()1(8、计算下列行列式（k D 为k 阶行列式）（1）aa D n 11=，其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0；解：)1()1(0100)1(1122211111-=-+=-+==--++-+a a a a a aa a a D n n n n n n n n n n 列展开按行展开按（2）x a a a x a a a x D n=解：xaa x a a a n x x a aa x a a a x D nc c c n111])1([21-+==+++12)]()1([0001])1([1--≥--+=---+=n r r k a x a n x ax a x a a a n x k(3)111111)()1()1()()1()1(11111n a n a a a n a n a a a n a n a a a D n n n n n nnm n -+---+---+--=----+解：11111(1)(1)22111111(1)(1)()(1)(1)()111111111111()()()((1)(1)()(1)(1)()n nnn n n n n n n n n n n j i n n n n mnnna a a n a n a a a n a n D a a a n a n a a a n a n j i a a a n a n a a a n a n ----++++≥>≥------+---+-=--+---+-=-=--=--+---+-∏上下翻11)n j i i j +≥>≥-∏（4）n n nnn d c d c b a b a D11112=（未写出的均为0）解：)1(2)1(211112)(02232--↔↔-===n n n n n n n nnn r r c c nnnnn D c b d a D d c b a d c d c b a b a D mn得递推公式)1(22)(--=n n n n n n D c b d a D ，而11112c b d a D -=递归得∏=-=ni i i i i n c b d a D 12)((5)det(),||n ij ij D a a i j ==-解111,2,,1120121111110121111210311111230123010001200(1)(1)211201231i i j r r n i n c c n n n n D n n n n n n n n n n n n +-=-+-------==-------------==---------解:11211*222,3,,1111111(6)1111111111101111000111100:01111i n nr r n i n nna a D a a a a a D D a a -=+++=++-+-===+-解111211121,2,,12111(1)1110001(1)0000i inc c na n i ni ina a a a a a a a a a ++==++++==+∑9．设3351110232152113-----=D ，D 的),(j i 元的代数余子式为ij A ，求44333231223A A A A +-+解：24335122313215211322344333231=-----=+-+A A A A。
线性代数第一章课后习题答案
习题1.11、写出下列随机试验的样本空间.（1）生产产品直到有4件正品为正，记录生产产品的总件数.（2）在单位园中任取一点记录其坐标.（3）同时掷三颗骰子，记录出现的点数之和. 解：（1）}8,7,6,5,4{ =Ω（2）}1).{(22<+=Ωy x y x（3）}18,,10,9,8,7,6,5,4,3{ =Ω2、同时掷两颗骰子，x、y分别表示第一、二两颗骰子出现的点数，设事件A表示“两颗骰子出现点数之和为奇数”，B表示“点数之差为零”，C表示“点数之积不超过20”，用样本的集合表示事件AB-，BC，CB .解：)}6.6(),5.5(),4.4(),3.3(),2.2(),1.1{(=-A B{(=2.2(),1.1BC3.3(),)}4.4(),2.2(),1.13.3(),{(CB4.4(),=5.5(),6.6(),)}6.5(),5.6(),6.4(),4.6(),3、设某人向靶子射击3次，用i A表示“第i次射击击中靶子”（3,2,1=i），试用语言描述下列事件.（1）21A A （2）321)(A A A （3）2121A A A A解：（1）第1，2次都没有中靶（2）第三次中靶且第1，2中至少有一次中靶（3）第二次中靶4．设某人向一把子射击三次，用i A 表示“第i 次射击击中靶子”（i =1，2，3），使用符号及其运算的形式表示以下事件：（1）“至少有一次击中靶子”可表示为 ；（2）“恰有一次击中靶子”可表示为 ；（3）“至少有两次击中靶子”可表示为 ；（4）“三次全部击中靶子”可表示为 ；（5）“三次均未击中靶子”可表示为 ；（6）“只在最后一次击中靶子”可表示为 .解：（1）321A A A ; (2) 321321321A A A A A A A A A ;(3)323121A A A A A A ; (4) 321A A A ; (5) 321A A A (6) 321A A A5.证明下列各题（1）B A B A =- （2）)()()(A B AB B A B A --=证明：（1）右边=AB A B A -=-Ω）（={A ∈ωω且}B A B -=∉ω=左边（2）右边=）（A B AB B A ()() ={}B A B A =∈∈ωωω或习题1.21.设A 、B 、C 三事件，41)()()(===C P B P A P , 0)(,81)()(===AB P BC P AC P ，求A 、B 、C 至少有一个发生的概率.解：0)(0)(=∴=ABC P AB P).(C B A P )()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++= =21812413=⨯-⨯2.已知5.0)(=A p ，2.0)(=B A P ， 4.0)(=B P ，求 （1）)(AB P ，(2))(B A P -， (3))(B A P ， (4))(B A P .解：（1）1.0)()(,==∴=∴⊂A P AB P AAB B A（2）5.0)()(,==∴=∴⊂B P B A P BB A B A3.设)(A P =0.2 )(B A P =0.6 A .B 互斥，求)(B P .解：B A , 互斥，)()()(B P A P B A P +=故4.02.06.0)()()(=-=-=A P B A P B P4.设A 、B 是两事件且)(A P =0.4,8.0)(=B P（1）在什么条件下)(AB P 取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下)(AB P 取到最小值，最小值是多少？解：由加法公式)()()()(B A P B P A P AB P -+==)(2.1B A P -（1）由于当B A ⊂时B B A = ，)(B A P 达到最小， 即8.0)()(==B P B A P ，则此时)(AB P 取到最大值，最大值为0.4（2）当)(B A P 达到最大， 即1)()(=Ω=P B A P ，则此时)(AB P 取到最小值，最小值为0.25.设,1615)(,81)()()(,41)()()(=======C B A P AC P BC P AB P C P B P A P 求).(C B A P 解：)(1)(ABC P ABC P -=,16116151)(1=-=-=C B A P ).(C B A P )()()()()()()(ABC P AC P BC P AB P C P B P A P +---++= =167161813413=+⨯-⨯ 习题1.31.从一副扑克牌（52张）中任取3张（不重复）求取出的3张牌中至少有2张花色相同的概率.解：设事件A ={3张中至少有2张花色相同} 则A ={3张中花色各不相同}602.01)(1)(35211311311334≈-=-=C C C C C A P A P 2.50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱，每个部件用3只铆钉，若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱，问发生一个部件强度太弱的概率.解法一 随机试验是从50只铆钉随机地取3个，共有350C 种取法，而发生“某一个部件强度太弱”这一事件只有33C 这一种取法，其概率为19600135033=C C ，而10个部件发生“强度太弱”这一事件是等可能的，故所求的概率为196011960010101===∑=i i p p 解法二 样本空间的样本点的总数为350C ，而发生“一个部件强度太弱”这一事件必须将3只强度太弱的铆钉同时取来，并都装在一个部件上，共有33110C C 种情况，故发生“一个部件强度太弱”的概率为1960135033110==C C C p 3.从1至9的9个整数中有放回地随机取3次，每次取一个数，求取出的3个数之积能被10整除的概率.解法一 设A 表示“取出的3个数之积能被10整除”，1A 表示“取出的3个数中含有数字5”， 2A 表示“取出的3个数中含有数字偶数”， 214.0786.019495981)(()(1)(1)(1)()(3332121212121=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+--=-=-==A A P A P A P A A P A A P A A P A P ）解法二设”次取得数字为“第5k A k ，3,2,1=k k B k 次取得偶数”，为“第。
《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题
《线性代数》课后习题集与答案第一章B组题基础课程教学资料第1章矩阵习题一(B)1、证明：矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换的充分必要条件是A 为n 阶对角矩阵. 证明：先证明必要性。
若矩阵A 为n 阶对角矩阵. 即令n 阶对角矩阵为：A =??n a a a 00000021,任何对角矩阵B 设为n b b b0000021，则AB=??n n b a b a b a000002211，而BA =??n n a b a b a b000002211，所以矩阵A 与所有n 阶对角矩阵可交换。
再证充分性，设 A =??nn n n n n b b b b b b b b b 212222111211，与B 可交换，则由AB=BA ，得：nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 221122222111122111=nn n n n n n n n b a b a b a b a b a b a b a b a b a 212222221211121111，比较对应元素，得0)(=-ij j i b a a ，)(j i ≠。
又j i a a ≠，)(j i ≠，所以0=ij b ，)(j i ≠，即A 为对角矩阵。
2、证明：对任意n m ?矩阵A ，T AA 和A A T均为对称矩阵. 证明：(TAA )T =(A T )T A T =AA T，所以，TAA 为对称矩阵。
(A A T)T =A T (A T )T =A T A ，所以，A A T 为对称矩阵。
3、证明：如果A 是实数域上的一个对称矩阵，且满足O A =2 ，则A =O . 证明：设A =??nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211，其中，ij a 均为实数，而且ji ij a a =。
由于O A =2，故A 2=AA T =nn n n n n a a a a a a a a a 212222111211nn nnn n a a a a a a a a a 212221212111=0。
《线性代数》第一章行列式精选习题及解答
(C)0, 2
(D)0,1
解 按 三 阶 行 列 式 的 对 角 线 法 则 得 D1 = (λ + 1)(λ − 1)2 , D2 = 0 . 若 D1 = D2 ， 则
(λ + 1)(λ −1)2 = 0 ，于是 λ = 1,−1，故正确答案为（B）．
例 1.5
方程组 ⎪⎨⎧λx1x1++λxx22
故逆序数为 1；于是这个排列的逆序数为 t=0+0+2+4+1=7，故正确答案为（B）．
例 1.2 下列排列中（ ）是偶排列.
(A)54312 (B)51432
(C) 45312
(D) 654321
解 按照例 1 的方法计算知：排列 54312 的逆序数为 9；排列 51432 的逆序数为 7；排列
例17分析如果行列式的各行列数的和相同时一般首先采用的是将各列行加到第一列行提取第一列行的公因子简称列行加法这个行列式的特点是各列4个数的和为10于是各行加到第一行得10101010分析此类确定系数的题目首先是利用行列式的定义进行计算
第一章 行列式
1.1 目的要求
1．会求 n 元排列的逆序数； 2．会用对角线法则计算 2 阶和 3 阶行列式； 3．深入领会行列式的定义； 4．掌握行列式的性质，并且会正确使用行列式的有关性质化简、计算行列式； 5．灵活掌握行列式按（列）展开； 6．理解代数余字式的定义及性质； 7．会用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性及求出方程组的解．
（2） A34 + A35 = （ ）, （3） A51 + A52 + A53 + A54 + A55 = （ ）．
分析 此类题目一般不宜算出表达式里每一项的值，而是注意观察要求的表达式的结构，
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线性代数第一章行列式一、填空题 1.排列631254的逆序数τ(631254)= 8 . 解: τ(631254)=5+2+1=82.行列式213132321= -18 . 解:D=1⨯3⨯2+2×1×3+2×1×3-3⨯3⨯3-1⨯1⨯1-2⨯2⨯2=-18 3、4阶行列式中含1224a a 且带正号的项为_______ 答案：12243341a a a a分析：4阶行列式中含1224a a 的项有12243341a a a a 和12243143a a a a 而 12243341a a a a 的系数：()(1234)(2431)41(1)1ττ+-=-= 12243143a a a a 的系数：()(1234)(2413)31(1)1ττ+-=-=-因此，符合条件的项是12243341a a a a4、222111a a bb cc （,,a b c 互不相等）=_______ 答案：()()()b a c a c b ---分析：222111a a bb cc =222222()()()bc ab a c b c ac ba b a c a c b ++---=---5.行列式1136104204710501λ--中元素λ的代数余子式的值为 42解析: 元素λ的代数余子式的值为64207101-341+-⨯）（=(－1) ×7×6×(－1)=42 6.设31-20312223=D ,则代数余子式之和232221A A A ++=0解析：232221A A A ++=1×21A +1×22A +1×23A =312111222-=0二、 单项选择题1、设xx x x x x f 111123111212)(-=，则x 3的系数为（C ）A. 1B. 0C. -1D. 2 解：x 3的系数为）（）（）（1-21341234 +=-12、 设333231232221131211aa a a a a a a a =m ≠0,则333231312322212113121111423423423a a a a a a a a a a a a ---=（B ）A.12mB. -12mC.24mD. -24m解：333231232221131211a a a a a a a a a )4(2-⨯j →3332312322211312114-4-4-aa a a a a a a a =-4m212j j +⨯→3332313123222121131211114-24-24-2aa a a a a a a a a a a =-4m31⨯j →3332313123222121131211114-234-234-23aa a a a a a a a a a a =-12m3.行列式k-122k-1≠0的充分必要条件是（C ）(A.)k ≠-1 (B)k ≠3(C)k ≠-1且k ≠3(D)k ≠-1或k ≠3 因为原式=(k-1)(k-1)-4≠0 所以k-1≠2且k-1≠-2 所以k ≠-1且k ≠3 所以答案为C4.行列式0000000ab c d e f gh中元素g 的代数余子式的值为（B ）（A ）bcf-bde (B)bde-bcf (C)acf-ade (D)ade-acf41A =4+1(1-）0000bc d ef=-(bcf-bde)=bde-bcf 所以答案为B5.设D=,......... (2)12222111211nnn n n n a a a a a a a a a 则nnn n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka --------- (2)12222111211=( )(A)-kD (B)-k nD (C)k nD (D)(-k)nD 答案:D解:由行列式性质3:将nnn n n n ka ka ka ka ka ka ka ka ka --------- (2)12222111211的每行提出一个-k,得到(-k)nD,即为选项D.6.行列式D 10=10...0000...09000...80..................002...00010...00=( ) (A)50 (B)-(10!) (C)10! (D)9! 答案:C解:由行列式的定义,每个因式的元素取自不同行不同列,且不为零,则每行依次取出1,2,…,10,得到10!.又因为=)09876543211(τ36为偶数,所以结果为正数.最终结果为10!三、计算题1、计算行列式1234101231101205D =---.解D=11332012-3110-4205-=10002270--32103---42129---=1*())(111+-270--2103---2129---=-6100131153=24-2、计算行列式1111120010301004D =.解、D=111112001030104=10001111--1121--1113--=1*()()111+-111--121--113--=2- 3.计算行列式1114113112111111D =解 1114113112111111D ==0003002001001111= -64.计算行列式1234234134124123D =解 1234234134124123D =111023410234103410113(2,3,4)(2,3,4)104120044101230004i i c c i r r i -+=-=-- =1605. 计算n 阶行列式nD i c n i +==1c ),...,3,2(xa aan x aa x a n x aa aan x ...)1(..................)1(...)1(-+-+-+=[x+(n-1)a]xa aa a x a a a ...1..................1...1i x x n i +-⨯==)1(),...,3,2(1[x+(n-1)a]ax a x a a a -- (00)...............0000...1=[x+(n-1)a] 1)(--n a x6.当k 为何值时，方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-+=-+02027023321321321x x x x x kx x x x 有非零解.解由题知D=2131)2(r 331-22-7k1-23r r r +-⨯+⨯=0511036123--k =51136)1()1(31--•-+k =-5(k-6)+33=0 得k=563四.解答题1.写出D=111214--中第3列元素的余子式和代数余子式的值，并求出D 的值。
解：M 31=2101-=-2 A 31=(-1)13+ ×(-2)=-2M 32=2402=4 A 32=(-1)23+×4=-4 M 33=1412-=6 A 33=(-1)33+×6=6D=-1×(-2)+1×(-4)+(-1)×4=-82、用Cramer 法则解线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-=++365213232132321x x x x x x x x解D=11612312--=84012312---=-40且D 1=113125311--=-40 D 2=136150312-=-80 D 3=31652112-=40所以1x =1 2x =2 3x =1- 五、证明题1.设21i =-，试证：1111111122222222333333332a b ia ibc a b c a b ia ibc a b c a b ia ibc a b c ++++=++111111111111122222222222223333333333333=a b i a i b c a a i b c b i a i b c a b i a i b c a a i b c b i a i b c a b i a i b c a a i b c b i a b c +++++++++++++证：111111111111222222222222333333333333a a i c abc b i a i c b i b c a a i c a b c b i a i c b i b c a a i c a b c b i a i c b i b c =+++111111222222233333300a b c a b c a b c i a b c a b c a b c =+-+ 又因为2i =-1,所以原式222333=2a b c a b c ， 所以证毕2.设12,,n a a a 互不相同，证明：线性方程组12112222221122111111221n n n n n n n n n nnx x x a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b ----+=⎧⎪+=⎪⎪+=⎨⎪⎪⎪+=⎩ 证：系数行列式为范德蒙行列式1222212111112111=()n i j n i j nn n n na a a D a a a a a a a a ≤≤≤---=-∏因为1a ,2a ,,n a 互不相同，所以0D ≠，故该线性方程组有唯一解，证毕3设111213212223313233 a a a a a a a a a =a,11122122b b b b =b,证明：111112121112111111121211121221212222212221212122222122222222a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --+-+---=72ab.解: 121113212223313233111221220022200222002223300033000a a a a a a a a ab b b b =72121113212223313233111221220000000000a a a a a a a a ab b b b 由拉普拉斯展开定理可知1211132122233132331112212200000000000a a a a a a a a ab b b b =111213212223313233a a a a a a a a a •11122122b b b b =ab 所以121113212223313233111221220022200222002223300033000a a a a a a a a ab b b b =72ab。