[考研数学][优秀资料]考研数学辅导书(附带详细答案,word版本)

[考研数学][优秀资料]考研数学辅导书(附带详细答案,word版本)函数极限连续一. 填空题1(设, 则a = ________.解. 可得=, 所以 a = 2.2. =________. 解.<<所以 <<, (n所以 = 3. 已知函数 , 则f[f(x)] _______.解. f[f(x)] = 1.4. =_______. 解.1=5. =______.解. 6. 已知则A = ______, k = _______.解.所以 k,1=1990, k = 1991;二. 单项选择题1. 设f(x)和x)在(,内有定义, f(x)为连续函数, 且f(xx)有间断点, 则2f(x)]必有间断点 x)]必有间断点 (c) f x)]必有间断点 (d) 必有间断点解. (a) 反例 , f(x) = 1, 则f(x)]=12(b) 反例 x)] = 1(c) 反例 , f(x) = 1, 则f x)]=1(d) 反设 g(x) = 在(,内连续, 则x) = g(x)f(x) 在(,内连续, 矛盾. 所以(d)是答案.2. 设函数, 则f(x)是(a) 偶函数 (b) 无界函数 (c) 周期函数 (d) 单调函数解. (b)是答案.23. 极限的值是(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 不存在解.=, 所以(b)为答案.4. 设, 则a的值为(a) 1 (b) 2 (c) (d) 均不对解. 8 = ==, , 所以(c)为答案.5. 设, 则的数值为(d) 均不对解. (c)为答案.6. 设, 则当时(a) f(x)是x的等价无穷小 (b) f(x)是x的同阶但非等价无穷小 (c) f(x)比x较低价无穷小 (d) f(x)比x较高价无穷小解. =, 所以(b)为答案.7. 设, 则a的值为(a) ,1 (b) 1 (c) 2 (d) 33解. , 1 + a = 0, a = ,1, 所以(a)为答案.8. 设, 则必有(c) a = 4c (d) a =,4c (a) b = 4d (b) b =,4d解. 2 ==, 所以a =,4c, 所以(d)为答案.1. 求下列极限(1)解. (2)解. 令=(3)解.===.2. 求下列极限4(1)解. 当时, , . 按照等价无穷小代换 (2)解. 方法1:========方法2:====5===3. 求下列极限(1)解. (2)解.(3) , 其中a > 0, b > 0 解.=4. 求下列函数的间断点并判别类型6(1)解. , 所以x = 0为第一类间断点.(2)解.显然, 所以x = 1为第一类间断点;, 所以x = ,1为第一类间断点. (3)解. f(+0) =,sin1, f(,0) = 0. 所以x = 0为第一类跳跃间断点;不存在. 所以x = 1为第二类间断点;不存在, 而,所以x = 0为第一类可去间断点;, (k = 1, 2, …) 所以x =为第二类无穷间断点. 5. 设, 且x = 0 是f(x)的可去间断点. 求解. x = 0 是f(x)的可去间断点, 要求存在. 所以7. 所以0 ==所以=上式极限存在, 必须.6. 设求a, b的值.解. 上式极限存在, 必须a =(否则极限一定为无穷). 所以=. 所以. 7. 讨论函数在x = 0处的连续性.解. 当时不存在, 所以x = 0为第二类间断点; 当时8, 所以时,在 x = 0连续, 时, x = 0为第一类跳跃间断点.8. 设f(x)在[a, b]上连续, 且a < x < x < … < x < b, c (i = 1, 2, 3, …, n)为任意正数, 则在(a, b)内12ni至少存在一个使 .证明: 令M =, m =. 不妨假定所以所以存在 < b), 使得 1n9. 设f(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < a, f(b) > b, 试证在(a, b)内至少存在一个使证明: 假设F(x) = f(x),x, 则F(a) = f(a),a < 0, F(b) = f(b),b > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个使10. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且试证在[0, 1]内至少存在一个使证明: (反证法) 反设. 所以恒大于0或恒小于0. 不妨设. 令, 则.因此. 于是, 矛盾. 所以在[0, 1]内至少存在一个使)11. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 且f(a) < g(a), f(b) > g(b), 试证在(a, b)内至少存在一个使证明: 假设F(x) = f(x),g(x), 则F(a) = f(a),g(a) < 0, F(b) = f(b),g(b) > 0 于是由介值定理在(a, b)内至少存在一个使512. 证明方程x,3x,2 = 0在(1, 2)内至少有一个实根.5证明: 令F(x) = x,3x,2, 则F(1) =,4 < 0, F(2) = 24 > 0 所以在(1, 2)内至少有一个满足13. 设f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 且, 求及.9解. . 所以. f(x)在x = 0的某领域内二阶可导, 所以在x = 0连续. 所以f(0) = , 3. 因为, 所以, 所以=由, 将f(x)泰勒展开, 得, 所以, 于是.(本题为2005年教材中的习题, 2006年教材中没有选入. 笔者认为该题很好, 故在题解中加入此题)倒数与微分一. 填空题(理工类)1. , 则= _______.解. , 假设, 则10, 所以2. 设, 则______.解. ,3. 设函数y = y(x)由方程确定, 则______. 解. , 所以4. 已知f(,x) =,f(x), 且, 则______. 解. 由f(,x) =,f(x)得, 所以所以5. 设f(x)可导, 则_______.解.=+=设, 则k = ________. 6.解. , 所以所以117. 已知, 则_______.2解. , 所以. 令x = 2, 所以 8. 设f为可导函数, , 则_______.解. 9. 设y = f(x)由方程所确定, 则曲线y = f(x)在点(0, 1)处的法线方程为_______.解. 上式二边求导. 所以切线斜率. 法线斜率为, 法线方程为, 即 x,2y + 2 = 0. 二. 单项选择题(理工类)1. 设f(x)可导, F(x) = f(x)(1+|sin x|), 则f(0) = 0是F(x)在x = 0处可导的(a) 充分必要条件 (b) 充分但非必要条件 (c) 必要但非充分条件 (d) 既非充分又非必要条件解. 必要性:存在, 所以=, 于是======12所以 , 2f(0) = 0, f(0) = 0充分性:已知f(0) = 0, 所以======== 所以存在. (a)是答案.2. 已知函数f(x)具有任意阶导数, 且, 则当n为大于2的正整数时, f(x)的n阶导数是(a) (b) (c) (d) 解. , 假设=, 所以=, 按数学归纳法=对一切正整数成立. (a)是答案.3. 设函数对任意x均满足f(1 + x) = af(x), 且b, 其中a, b为非零常数, 则(a) f(x)在x = 1处不可导 (b) f(x)在x = 1处可导, 且a (c) f(x)在x = 1处可导, 且b (d) f(x)在x = 1处可导, 且ab 解. 在f(1 + x) = af(x)中代入=, 所以. (d)是答案注: 因为没有假设可导, 不能对于二边求导.4. 设, 则使存在的最高阶导数n为13(a) 0 (b) 1 (c) 2 (d) 3 解. .所以n = 2, (c)是答案.5. 设函数y = f(x)在点x处可导, 当自变量x由x增加到x 时, 记为f(x)的增量, dy为f(x)的000微分, 等于,1 (b) 0 (c) 1 (a)解. 由微分定义o所以. (b)是答案.6. 设在x = 0处可导, 则(a) a = 1, b = 0 (b) a = 0, b为任意常数 (c) a = 0, b = 0 (d) a = 1, b为任意常数解. 在x = 0处可导一定在x = 0处连续, 所以, 所以b = 0., , 所以 0 = a. (c)是答案. 7. 设f(0) = 0, 则f(x)在x = 0处可导的充要条件为(a) h)存在. (b) 存在. (c) h)存在. (d) 存在.14解. 由存在可推出(a)中的极限值为, (b)中的极限值为 , (d)中的极限值为, 而(c)中的极限为:; 反之(a) 及(c)中的极限值存在, 不一定存在, 举反例如下: y = |x|, 不存在, (a)、(c)二表达式的极限都存在排除(a)及(c). (d)中的极限存在, 不一定存在, 举反例如下:, 排除(d). 所以(b)是答案.由(b)推出存在证明如下:==所以存在.8. 设函数f(x)在(,上可导, 则(a) 当时, 必有(b) 当时, 必有(c) 当时, 必有(d) 当时, 必有解. (a)不正确. 反例如下: y = x; (b)不正确. 反例如下: ; (c)不正确. 反例如下: ; (d)是答案. 证明如下: 因为, 所以对于充分大的x, 单增. 如果, 则证单增有上界, 则存在(k为有限数). 任取x, 在区间[x, x + 1]上用拉格朗明结束, 否则日定理令于是矛盾. 所以.159. 设函数f(x)在x = a处可导, 则函数|f(x)|在x = a处不可导的充分条件是 (a) f(a) = 0且. (b) f(a) = 0且.(c) f(a) > 0且. (d) f(a) < 0且.解. (a) 反例f(x) = 0, 取a = 0. 排除(a); (c) 反例: , 取a = 0. f(0) = 1 > 0,, |f(x)| = f(x), 在x = 0可导. 排除(c); (d) 反例: , 取a = 0. 排除(d); 所以(b)是答案. 对于(b)证明如下: 在(b)的条件下证明不存在.不妨假设. . 所以存在当,时. 所以当x > a时, f(x) > 0. 于是. 当x < a时f(x)< 0. 于是. 所以不存在.. 计算题(理工类) 三1.解.2. 已知f(u)可导,解.=3. 设y为x的函数是由方程确定的, 求.解., 所以164. 已知, 求.. , 解设, 求 5.解. ,6. 设函数f(x)二阶可导, , 且, 求, . 解. , 所以=3.所以7. 设曲线x = x(t), y = y(t)由方程组确定. 求该曲线在t = 1处的曲率.17解. . 所以所以 .所以 . 在t = 1的曲率为四. 已知 , 其中g(x)有二阶连续导数, 且g(0) = 1(1) 确定a 的值, 使f(x)在x = 0点连续; (2) 求. 解. (1) f(x)在x = 0点连续, 所以, 所以 , 所以g(0) = cos 0 = 1(这说明条件g(0) = 1是多余的). 所以=(2) 方法1:18=== (0 <=所以方法2:====五. 已知当时, ()有定义且二阶可导, 问a, b, c为何值时 xfx二阶可导.解. F(x)连续, 所以, 所以c = f(,0) = f(0);因为F(x)二阶可导, 所以连续, 所以b = , 且19存在, 所以, 所以, 所以六. 已知.解., k = 0, 1, 2, …, k = 0, 1, 2, … 七. 设, 求.解. 使用莱布尼兹高阶导数公式=所以一元函数积分学一. 求下列不定积分:1.20解. 2.解.3.解. 方法一: 令,=方法二:== 二. 求下列不定积分:1.解.=2.解. 令x = tan t,21=3. 解. 令=4. (a > 0) 解. 令=5.解. 令==22==6.解. 令=三. 求下列不定积分:1.解.2.解. 令,=四. 求下列不定积分:231.解.==2.解.五. 求下列不定积分:1.解.2.解.24=3.解.4.解.六. 求下列不定积分:1.解.== 25===2.解.=3.解.七. 设 , 求.解.26考虑连续性, 所以c =,1+ c, c = 1 + c 11八. 设, (a, b为不同时为零的常数), 求f(x).解. 令, , 所以=九. 设当时, 连续, 求.解.==+,=+c. 十. 设, 求f(x).解.令 , 所以所以十一. 求下列不定积分:1.27解. 令=2.解. 令=3.解. +=,= 4. (a > 0) 解.===28===十二. 求下列不定积分:1.解.=2.解.===一(若f(x)在[a，b]上连续, 证明: 对于任意选定的连续函数均有, 则29证明: 假设不妨假设因为f(x)在[a，b]上连续, 所以存在使得在,上f(x) > 0. 令m = . 按以下方法定义[a，b]上(x): 在,上, 其它地方所以.和矛盾. 所以二. 设为任意实数, 证明: =.证明: 先证: =令 t =, 所以=于是=所以 =.所以同理 .30三(已知f(x)在[0，1]上连续, 对任意x, y都有|f(x),f(y)| < M|x,y|, 证明证明: ,四. 设, n为大于1的正整数, 证明: .证明: 令t =, 则因为 > 0, (0 < t < 1). 所以于是立即得到五. 设f(x)在[0, 1]连续, 且单调减少, f(x) > 0, 证明: 对于满足的任何有证明: 令., (这是因为且f(x)单减). 所以 , 立即得到31六. 设f(x)在[a, b]上二阶可导, 且< 0, 证明:证明令, 所以二边积分=.七. 设f(x)在[0, 1]上连续, 且单调不增, 证明: 任给有证明: 方法一: 令(或令), 所以F(x)单增; 又因为F(0) = 0, 所以即, 即方法二: 由积分中值定理, 存在使;由积分中值定理, 存在使因为 .32所以八. 设f(x)在[a, b]上具有二阶连续导数, 且, 证明: 在(a, b)内存在一点使证明: 对于函数，用泰勒公式展开:= (1)(1)中令x = a, t = b, 得到 (2) (1)中令x = b, t = a, 得到 (3)(3),(2)得到于是=注: 因为需要证明的等式中包含, 其中二阶导数相应于(b,a)的三次幂, 所以将泰勒展开; 若导数的阶数和幂指数相同, 一般直接将f(x)泰勒展开. 九. 设f 连续, 证明:证明:33=所以 2即十. 设f(x)在[a, b]上连续, 在[a, b]内存在而且可积, f(a) = f(b) = 0, 试证:, (a < x < b) 证明: , 所以, 即 ;即所以即 , (a < x < b) 十一. 设f(x)在[0, 1]上具有二阶连续导数, 且, 试证:证明: 因为(0，1)上可设 f(x) > 0 因为f(0) = f(1) = 00,1)使 f(x) =(f(x)) 0034所以> (1)在(0，x)上用拉格朗日定理 0在(x1)上用拉格朗日定理 0,所以(因为)所以由(1)得十二(设f(x)在[a, b]上连续, 且f(x) > 0,则证明: 将lnx在x用台劳公式展开 0(1)令 x = f(t) 代入(1)35将上式两边取，最后一项为0，得十三. 设f(x)在[0, 1]上有一阶连续导数, 且f(1),f(0) = 1, 试证:证明: 十四. 设函数f(x)在[0, 2]上连续, 且= 0, = a > 0. 证明使解. 因为f(x)在[0, 2]上连续, 所以|f(x)|在[0, 2]上连续, 所以取使使所以一. 计算下列广义积分:(1) (2) (3) (4) (5) (6) . 解(1)(2) (3)36因为, 所以积分收敛.所以=2(4)(5)(6)微分中值定理与泰勒公式一. 设函数f(x)在闭区间[0, 1]上可微, 对于[0, 1]上每一个x, 函数f(x)的值都在开区间(0, 1)内, 且, 证明: 在(0, 1)内有且仅有一个x, 使f(x) = x.证明: 由条件知0 < f(x) < 1. 令F(x) = f (x),x, 于是F(0) > 0, F(1) < 0, 所以存在使假设存在不妨假设 , 满足, 122111. 于是 , ),) = ). 所以, 矛22121221 盾.二. 设函数f(x)在[0, 1]上连续, (0, 1)内可导, 且. 证明: 在(0, 1)内存在一个使.证明: , 其中满足. 1由罗尔定理, 存在满足, 且 . 12三(设函数f(x)在[1, 2]上有二阶导数, 且f(1) = f(2) = 0, 又F(x)=(x,1)f(x), 证明: 在(1, 2)内至少存在一个使 .证明: 由于F(1) = F(2) = 0, 所以存在 < 2, 满足. 所以.所以11存在满足, 且 . 137四. 设f(x)在[0, x](x > 0)上连续, 在(0, x)内可导, 且f(0) = 0, 试证: 在(0, x)内存在一个使 .证明: 令F(t) = f(t), G(t) = ln(1+t), 在[0, x]上使用柯西定理,所以 , 即五. 设f(x)在[a, b]上可导, 且ab > 0, 试证: 存在一个a, b), 使证明: 不妨假设a > 0, b > 0. 令. 在[a, b]上使用拉格朗日定理六. 设函数f(x), g(x), h(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 证明:存在一个a, b), 使证明: 令, 则F(a) = F(b) = 0, 所以存在一个a, b), 使七. 设函数f(x)在[0, 1]上二阶可导, 且f(0) = f(1) = 0, 试证: 至少存在一个使证明: (, 二边积分可得, 所以)38令 . 由f(0) = f(1) = 0知存在. 所以所以存在 . 立即可得八. 设f(x)在[x, x]上二阶可导, 且0 < x < x, 证明:在(x, x)内至少存在一个使 121212: 令, 在[, ]上使用柯西定理. 在(, )内至少存在一个满足证明xxxx 1212九. 若xx > 0, 证明: 存在一个x, x)或(x, x), 使 121221证明: 不妨假设0 < x < x. 令, 在[x, x]上使用柯西定理. 在(x, x)内至少存在12 1212一个满足立即可得 .十. 设f(x), g(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内可导, 且f(a) = f(b) = 0, g(x试证: 至少存在一个a, b), 使证明: 令, 所以F(a) = F(b) = 0. 由罗尔定理至少存在一个a, b), 使,于是 .十一. 设f(x)在[a, b]上连续, 在(a, b)内有二阶连续导数, 试证: 至少存在一个a, b), 使39证明x, t a, b], 有=, 分别取 = , = , 得到取txbxa。