点估计的评价标准
概率统计6.2__点估计的评价标准
6.2 点估计的评价标准1,总体X U （θ，2θ）是未知参数，又1x ,…..,nx为取自该总体的样本，_x 为样本均值。
（1）证明 θ =23x --是参数θ的无偏估计和相和估计；（2）求θ的最大似然估计，它是无偏估计吗？是相和估计吗？ 解 （1）总体X U(θ，2θ）,则 2123(),()2nE X Var X θθ==-，从而123()2E x θ=, ()212Var x n θ=于是，E （θ ）=_2()3E x =θ，这说明θ =_23x 是参数θ的无偏估计。
进一步，224()091227Var n nθθθ=⨯=→这就证明了θ也是θ的相和估计。
（2）似然函数为(1)()()(2),1()n nL I x x θθθθ=<<<显然()L θ是θ的减函数，且θ的取值范围为()(1)2n xx θ<<，因而θ的最大似然估计为()2n mlexθ=下求mleθ的均值与方差，由于()n x 的密度函数为1()()n f x n x θθ-=-。
1θ=1()n n nx n θ--，（2x θθ<<）,故2112(1)021()(),1()n n n nnn E xdx t dt n x n x t θθθθθθθ--+==+=+-⎰⎰2221222482()(1)(2)(1)()n n nE dx n n n x n x xθθθθ-++==++-⎰22()(2)(1)n n Var n x n θ=++，从而()121()()22(1)n n E E n n x θθθ+==→→+∞+ ，这说明mleθ不是θ的无偏估计，而是θ的渐进无偏估计。
又22()1()()0()44(2)(1)n n V Var n n x n θθ==→→+∞++， 因而mleθ是θ的相和估计。
2，设123,,x x x 是取自某总体的容量为3的样本，试证下列统计量都是该总体均值μ的无偏估计，在方差存在时指出哪一个估计的有效性最差？（1） 1123111233x x x μ=++ （２） 2123111333x x x μ=++ （３） 3123112663x x x μ=++ 解 先求三统计量的数学期望，1123111111()()()(),236236E E E E x x x μμμμμ=++=++= 2123111111()()()()333333E E E E x x x μμμμμ=++=++= 3123112112()()()()663663E E E E x x x μμμμμ=++=++= 这说明它们都是总体均值μ的无偏估计，下面求它们的方差，不妨设总体的方差为2σ则222211231111117()()()()4936493618V a r V a r V a r V a r x x x μσσσσ=++=++=222221231111111()()()()9999993Var Var Var Var x x x μσσσσ=++=++=222231231141141()()()()36369363692Var Var Var Var x x x μσσσσ=++=++= 不难看出(1,)(,)L M x L M x += 213()()()Var Var Var μμμ<<。
统计学试题及答案
统计学考试题一一、单项选择题（请将正确答案的番号写在括号内,每小题1分,共20分)1．统计学名称来源于A．政治算术学派B．国势学派C．数理统计学派D．社会经济统计学派2．统计学是一门关于研究客观事物数量方面和数量关系的A．社会科学B．自然科学C．方法论科学D．实质性科学3．几位学生的统计学考试成绩分别为55，60，70,80，85,60,这几个数字是A．指标B．变量C．标志D．变量值4．重点调查中的重点单位就是A．有关国际名声的单位B．在总体中其单位数目占绝大比重的单位C．特殊的单位D．其单位数虽少，但被调查的标志值在总体标志值中占绝大比重的单位5．调查某大学学生学习情况,则总体是A．该大学所有学生B．该大学每一名学生的学习成绩C．该大学每一名学生D．以上都不正确6．某公司员工的工资分为：（1）800元以下；（2）800~1500元；（3）1500~2000元；（4）2000元以上,则第四组的组中值近似为A．2000元B．1750元C．2250元D．2500元7．分配数列是A．按数量标志分组的数列B．按品质标志分组的数列C．按指标分组的数列D．按数量标志或品质标志分组的数列8．统计表的形式构成由总标题、横行标题、纵栏标题A．数据资料B．主词C．宾此D．以上都不正确9．反映同类现象在不同时期发展变化一般水平的指标是A．算术平均数B．序时平均数C．众数D．调和平均数10．某企业5月份计划要求成本降低3%，实际降低5％，其成本计划完成程度为A．97。
94％B．166。
67% C．101。
94% D．1.94%11．若两总体的计量单位不同，在比较两总体的离散程度时，应采用A．全距B．平均差C．标准差D．标准差系数12．下列指标中，属于强度相对数的是A．某企业的工人劳动生产率B．人均国民收入C．某种商品的平均价格D．某公司的平均工资13．拉氏指数所用的同度量因素是固定在A．基期B．报告期C．固定时期D．任意时期14．某市工业总产值增长了10％，同期价格水平提高了3％,则该市工业生产指数为A．113。
2.3点估计的评价标准(1)
均方误差 ˆ 评价一个估计 X 好坏的一个度量标准是该估 ˆ ˆ 计 X 偏离实际参数的绝度偏差 X 。 ˆ 偏离值 X 小的估计比偏离值大的要好。 但是，这个标准在实际中不可取，因为： ˆ 1） X 是随机变量，因为样本X 是随机的； ˆ 2） 是未知的，算不出 X 的具体数值。
例2.3.1 设总体X 的期望和方差分别为， 2， X 1 , , X n是总体X 的一个样本，则样本均值X 和样本方差S 2分别是参数， 2的无偏估计。 证明：因为 1 1 n 1 n E X E X i EX i n , n n i 1 n i 1 1 n 2 1 n ES 2 E ( X i X )2 E X i nX 2 n 1 i 1 n 1 i 1 1 n EX i2 nEX 2 n 1 i 1 2 1 2 2 2 n( ) n n 1 n 2
* 2
但是，对估计的仅有无偏性 要求是不够的。因为 1)无偏估计不一定存在。 2)偏估计不一定存在 设X B n, ,0 1，参数g 没有无偏估计。 若T ( X )是g 的无偏估计，则ET ( X ) g ( ). n i 1 n i 而 T (i ) 1 ET ( X ) g ( ) , 1 i 0 i n n i n i 1 即 T (i ) 1 1 0， i 0 i 由于上式左端是关于的一个n+1次多项式，无论
i 1 i 1 n n
ˆ 能否确定ci使得估计量的方差最小？ ˆ ˆ 解：首先是的无偏估计，因为Ｅ＝。 ˆ ˆ 其次 Var 2 ci2 , 欲使 Var 达到最小，只需在
判断点估计好坏的三个标准
参数估计一般用样本统计量作为总体参数的点估计值，而样本统计量是一个随机变量，因此就有必要给出评价点估计值好坏的标准。
点估计值好坏的评价标准有以下3个。
1.无偏性
无偏性是指用来估计总体参数的样本统计量的分布是以总体参数真值为中心的，在一次具体的抽样估计中，估计值或大于或小于总体参数，但在多次重复抽样估计的过程中，所有估计值的平均数应该等于待估计的总体参数。
可以证明，样本平均数x是总体均值μ的无偏估计，样本方差[图片]是总体方差σ2的无偏估计。
2.有效性
有效性是指在同一总体参数的两个无偏估计量中，标准差越小的估计量对总体参数的估计越有效。
3.一致性
一致性是指随着样本容量的增加，点估计量的值越来越接近总体参数的真值。
换句话说，一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体参数。
6.2点估计的评价标准
6.2点估计的评价标注我们已经看到，点估计有各种不同的求法，为了在不同点估计间进行比较选择，就必须对各种点估计的好坏给出评价标准.数理统计中给出了众多的估计量评价标准，对同一估计量实用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此在评价某一个估计好坏时首先要说明是在哪一个标准下，否则所论好坏则毫无意义.但不管怎么说，有一个基本标准时所有的估计都应该满足的，它是衡量一个估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性，我们就从相合性开始。
6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。
但如果我们有足够的观测值，根据格里文科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下：定义6.2.1 设θ∈Θ为未知参数，()12,,,n n n x x x θθ∧∧= 是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0ε>，有()ˆlim 0nn P θθε→∞->= 则称ˆnθ为参数θ的相合估计。
相合性被认为是对估计的一个最基本的要求，如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度，那么这个估计值是很值得怀疑的。
通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。
证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证。
若把依赖于样本量n 的估计量ˆn θ看作一个随机变量序列，相合性就是ˆnθ依概率收敛于θ，所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质以及各种大数定律。
例6.2.1 设12,,x x 是来自正态总体()2,N μσ的样本，则有辛钦大数定律及依概率收敛的性质知：x 是μ的相合估计；*2s 是2σ相合估计；2s 也是2σ的相合估计。
由此可见参数的相合估计不止一个。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。
点估计的评价标准
例6.2.7 均匀总体U(0, )中 的极大似然估计是x(n) 由于 ，所以x(n)不是 的无偏估计，而是 的渐近无偏估计。经过修偏后可以得到 的一个无 偏估计： 。且
另一方面，由矩法我们可以得到 的另一个无偏 估计 ，且 由此，当n>1时， 比 有效。
6.2.4
均方误差
无偏估计不一定比有偏估计更优。 评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值 与参 数真值 的距离平方的期望，这就是下式给出的均方 误差
量序列,相合性就是 依概率收敛于,所以证明
估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种
大数定律。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。 定理6.2.1 设ˆn ˆn ( x1 , , x n ) 是 的一个估计量， ˆn ˆn ( x1 , , x n ) 若 lim E ˆn , lim Var ˆn 0,
由定理6.2.1可知，x(n)是 的相合估计。
由大数定律及定理6.2.2，我们可以看到： 矩估计一般都具有相合性。比如：
样本均值是总体均值的相合估计；
样本标准差是总体标准差的相合估计；
样本变异系数是总体变异系数的相合估计。
6.2.2
无偏性
定义6.2.2
设 ˆ ˆ ( x , , x ) 是 的一个估计， 1 n 的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有
均方误差是评价点估计的最一般的标准。我们希望 估计的均方误差越小越好。
注意到
MSE ( ) Var( ) ( E )
ˆ )=Var( ˆ )+(E ˆ - )2 . MSE(
2
(1)
若 ˆ是 的 无 偏 估 计 , 则 M SE ((ˆ ) Var) (ˆ ), ) Var( ˆ M SE
7-3点估计的优劣标准
数理统计
设总体X的均值 例1 设总体 的均值
未知, 未知,
X 1 ,… , X n是取自
n 1 n 的样本, 于X的样本,则统计量 X = ∑ X i , Y = ∑ ai X i , X 1 的样本 n i =1 i =1 n 的无偏估计量, 为常数, 均为 的无偏估计量,其中 a1,…, an为常数,且 ∑ ai = 1
未知, 未知,
( X 1 ,… , X n )为来自 的样本,则 X 是 为来自X的样本 的样本,
的优效估计量. 的优效估计量.
数理统计
估计量的无偏性,有效性是在样本容量 一定的 估计量的无偏性,有效性是在样本容量n一定的 条件下来考虑的,实践证明,样本容量 越大越能精 条件下来考虑的,实践证明,样本容量n越大越能精 确地估计未知参数,因此自然想到,随着样本容量 确地估计未知参数,因此自然想到,随着样本容量n 的无限增大, 的无限增大,一个好的估计量与被估计的参数任意接 近的可能性会越大.由此得出一致性的概念. 近的可能性会越大.由此得出一致性的概念.
这就产生无偏性这个标准是未知参数的估计量若数理统计例如用样本均值作为总体均值的估计时虽无法说明一次估计所产生的偏差但这种偏差随机地在0的周围波动对同一统计问题大量重复使用不会产生系统偏差设总体x的均值未知是取自于x的样本则统计量均为的无偏估计量其中为常数且数理统计所以无偏估计以方差小者为好这就引进了有效性这一概念都是参数的无偏估计量我们可以比较数理统计二有效性都是参数的无偏估计量若对任意且至少对于某个上式中的不等号成立设总体x的均值未知是取自于x的样本则统计量作为的估计量更有效当总体的概率密度函数关于参数且微分和积分次序可以交换时有以下罗克拉默不等式
数理统计
常用的几条标准是: 常用的几条标准是:
点估计的评价标准.
则 X 是总体均值E(X)= μ的相合估计量.
相合性是对估计量的基本要求
四. 区间估计
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大 似然估计为1000条. 湖中鱼数的真值
ˆ 1
[
]Hale Waihona Puke ˆ 2ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
1. 区间估计定义： 设 是 一个待估参数，给定 0, 若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ( X , X ,, X ), ˆ ˆ ( X , X ,, X ) 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n (ˆ1 ˆ2 ) 满足
ˆ | } 1 P{|
ˆ | 可以解出 ： 3. 由不等式 |
ˆ ˆ
2 例1 设X1,…Xn是取自N ( , 2 )的样本， 已知,
求参数 的置信水平为1 的置信区间. 解： 选 的点估计为X
三. 点估计的评价标准
1．无偏性 2．有效性 3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
标准一:
无偏性
真值
.
ˆ ) , ˆ 为θ的一个点估计,若 E( 设 ˆ为θ的一个无偏估计. 则称
注意
无偏估计若存在，则可能不唯一.
标准二: 有效性
ˆ 是 的两个无偏估计, 设 ˆ 和
取 U
寻找未知参数的 明确问题,是求什么参数的置信区间 ? 一个良好估计. 置信水平是多少？ X
n
~N(0, 1)
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
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第三讲点估计的评价标准
副教授
主讲教师叶宏
在前两讲中我们介绍了两种点估计法，发现了点估计
的不唯一性，即对于同一个未知参数,不同的方法得到的
估计量可能不同,于是提出问题:
应该选用哪一种估计量?用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用
标准(1) 无偏性(3) 一致性(2) 有效性
这一讲我们介绍
估计量是随机变量，对于不同的样本值会得到不同的估计值. 我们希望估计值在未知参数真值附近摆动，而它的期望值等于未知参数的真值. 这就导致无偏性这个标准.
(1) 无偏性
θ
θ=)ˆ(E 则称为的无偏估计.θ
ˆθ),,(ˆ1n X X θ设是未知参数的估计量，若
θ.真值∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
),,,(21n X X X 是总体X 的样本,
证明: 不论X 服从什么分布(但期望存在),
是k μ的无偏估计量.证∑∑====n i k i n i k i k X E n X n E A E 1
1)(1)1()(例设总体X 的k 阶矩)(k k X E =μ存在，
因而n
i X E k k i ,,2,1)( ==μ由于k k n n μμ=⋅⋅=1∑==n i k i k X n A 1
1特别地样本二阶矩∑==n i i X n A 1
221是总体二阶矩是总体期望E ( X ) 的X 样本均值无偏估计量
)(22X E =μ的无偏估计量
例设总体X 的期望与方差存在,X 的样本为)
,,,(21n X X X (1) 不是D ( X )的无偏估计; ∑=-=n i i n X X n S 122)(1(2) 是D ( X ) 的无偏估计. ∑=--=n i i X X n S 1
22)(11原样本方差样本修正方差2221)(σσ≠-=n
n S E n ()2
2σ=S E 2221lim ()lim n n n n E S n
σσ→∞→∞-==是D ( X )的渐进无偏估计2n S
无偏估计以方差小者为好, 这就引进了有效性的概念12
ˆˆ,θθ一个参数往往有不止一个无偏估计, 若θ都是参数的无偏估计量，我们可以比较
的大小来决定谁更优.
21)ˆ(θθ-E 和22)ˆ(θθ-E 211)ˆ()ˆ(θθθ-=E D 由于
222)ˆ()ˆ(θθθ-=E D (2) 有效性
(2) 有效性
D ( )< D ( )2
ˆθ1ˆθ则称较有效.
2ˆθ1ˆθ都是参数的无偏估计量，若有
),,(ˆ11n X X θ)
,,(ˆˆ122n X X θθ==1ˆθ设和θ*1ˆˆ()()D D θθ≤*ˆθ是的任一无偏估计.θ则称为的最小方差无偏估计.θθ
ˆ若
3212321112
54131ˆ)(3
1ˆX X X X X X ++=++=μμ都是μ的无偏估计量1ˆμ
最有效例如X ~ N ( μ,σ2) ,样本是.,,321X X X μμμ==)ˆ()ˆ(21E E 222172
25)ˆ(31)ˆ(σμσμ=<=D D 推广i n i i X c ∑==1ˆμ
是μ的无偏估计量X X c i n
i i 中∑==1ˆμ
最有效1
1n i i c ==∑当时
ˆlim ()1n P θθε→∞
-<=则称θ
ˆ是参数θ的一致(或相合)估计量.(3) 一致性(相合性)
即,0>∀ε一致性估计量仅在样本容量
n 足够大时,才显示其优越性.
定义设是总体参数θ),,,(ˆˆ21n X X X θθ=θˆ的估计量. 若n →∞时, 依概率收敛于θ,
关于一致性的常用结论
样本k 阶矩是总体k 阶矩的一致性估计量由大数定律可证明
矩法得到的估计量一般为一致估计量为方便鉴别有效性，引进定理： 1lim (),lim ()(,,0)n n n
n n n n X X E D θ
θθθθθ→∞→∞=== 设是未知参数的估计量，若定理 n θθ则是的一个相合估计量.
2
12221~(,),,,1()1n n i i X N X X X S X X n μσσ==--∑ 设总体是的样本
则是的一致例估计量.22211()1n
i i S X X n σ==--∑是的一致估计量.证明2222(1)(1)1,2(1)
n S n S E n D n σσ⎛⎫⎛⎫
--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2
22lim (),lim 0n n E S D S σ→∞→∞⇒==2
22(1)~(1)n S n χσ-- ()()4
2222,1E S D S n σσ=∴=-由卡方分布性质知。