估计量的评价标准.
§6.2 估计量的评价标准 演示文稿3
所以
ES=E S E(
2
n ( ) n n 2 n 1 2 2 ( ) 2 n 1 2 n 1 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2
n 1
Y)
EY1/ 2
注意到 当 n 时，Cn 1
所以， S 是的渐近无偏估计量。从而当样本容量 很大时，不经修正，S 也是 很好的估计量。
n n 1 2 n
ˆ 若对任意 0, lim P( n ) 1 成立，
n
ˆ 则称 n为的相合估计量。(一致估计量)
由定义可知， 估计量
P ˆ (未知参数） n
依据贝努里大数定律： 由辛钦大数定律
频率
i
n
是概率P的相合估计量，
1 n 样本均值 X i 是 EX的相合估计量。 n i 1
要使似然函数取最大值，要求的取值越小越好，
n
0 x i i 1, 2,.....n.
ˆ max X1 , X 2 .......Xn 的密度函数为
ˆ y n( y ) n 1 1 dy n E 0 n+1 ˆ max X1 , X2 .......Xn 不是的无偏估计量。
n 1 2 n (n 1) 2 2 ( ) n n2 n(n 2) 2 2 ˆ2 E 2 E 2 (n 1) 2 2 ˆ ˆ D n(n 2) n(n 2)
2
ˆ n+1 E( x ) n+1 n E (n ) n n n 1 ˆ 2 ( n+1) 2 E( x ) 2 ( n 1) 2 y 2 n( y ) n 1 1 dy E (n ) 0 n n
评价估计量好坏的标准有三个
评价估计量好坏的标准有三个评价估计量的好坏，是指对某一事物或现象进行评估时，所采用的量化标准是否合理、准确、科学。
在现实生活中，评价估计量的好坏对于决策和判断具有重要意义。
那么，如何确定评价估计量的好坏呢？这里我们可以从三个方面来进行评价。
首先，评价估计量的好坏需要考虑其准确性。
准确性是评价估计量的首要标准，也是最基本的要求。
一个好的评价估计量应当能够准确地反映出所评价事物的真实情况。
在实际应用中，我们可以通过与实际情况的对比来评估其准确性。
如果评价估计量与实际情况相符合，那么可以认为其准确性较高；反之，则需要重新考虑其准确性。
因此，准确性是评价估计量的基本要求，也是其好坏的重要标准之一。
其次，评价估计量的好坏需要考虑其客观性。
客观性是指评价估计量所采用的标准和方法是否公正、客观、无偏倚。
一个好的评价估计量应当能够排除主观因素的干扰，客观地进行评价。
在实际应用中，我们可以通过多方面的比较和分析来评估其客观性。
如果评价估计量能够公正客观地反映事物的真实情况，那么可以认为其客观性较高；反之，则需要重新考虑其客观性。
因此，客观性是评价估计量的重要标准之一。
最后，评价估计量的好坏需要考虑其实用性。
实用性是指评价估计量是否具有实际应用的意义。
一个好的评价估计量应当能够为决策和判断提供有益的参考。
在实际应用中，我们可以通过评估其对决策和判断的影响来评价其实用性。
如果评价估计量能够为决策和判断提供有益的参考，那么可以认为其实用性较高；反之，则需要重新考虑其实用性。
因此，实用性是评价估计量的重要标准之一。
综上所述，评价估计量的好坏主要从准确性、客观性和实用性三个方面进行评价。
只有在这三个方面都能够得到较好的表现，才能够认为是一个优秀的评价估计量。
因此，在实际应用中，我们应当在评价估计量的好坏时，充分考虑这三个方面，以便能够得出准确、客观、实用的评价结论。
《评价估计量的标准》课件
区间估计
给出未知参数可能落在某个区间的概 率。
03
评价估计量的标准
评价标准一：无偏性
总结词
无偏性是指估计量的数学期望值（均值）与总体参数的真实值之间的接近程度。
详细描述
无偏性意味着估计量的平均值与总体参数的真实值相等，即多次重复抽样所得到 的估计量均值趋于稳定，不会出现系统性的偏差。无偏性是评价估计量最基本的 要求之一，因为只有当估计量无偏时，我们才能准确地估计总体参数。
常见估计方法
我们介绍了常见的估计方法，如最小二乘法、极大似然法等。这些方法 在实践中被广泛使用，对于理解和应用估计量评价标准具有重要意义。
03
案例分析
通过案例分析，我们深入了解了如何在实际问题中应用估计量的评价标
准。这些案例涵盖了经济学、统计学等多个领域，有助于拓宽我们的视
野和增强实践能力。
下一步学习计划
常见估计量及其评价
点估计量
点估计量是直接用样本统计量来估计未知参数的方法。
评价点估计量的标准：无偏性、有效性和一致性。
无偏性是指估计量的均值等于未知参数的真值；有效性是指估计量的方差尽可能小 ；一致性是指随着样本容量的增加，估计量逐渐趋近于未知参数的真值。
区间估计量
区间估计量是通过给定样本统计量和 置信水平，来估计未知参数可能取值 的一个区间范围。
实践应用
通过参与实际项目或案例研究，我们将尝试运用所学的估 计方法和评价标准来解决实际问题。这将有助于巩固所学 知识，并培养我们的实际操作能力。
THANKS
感谢观看
先验分布反映了决策者对未知参数的主 观信念；后验分布是在给定样本信息后 ，对未知参数的重新评估；预测分布是 基于贝叶斯定理对未来观测值的预测。
7-2估计量的评价标准
E( X ) D X (E X )
2 2
2
2
n
2 2 ，
所以 X 不是 2 的无偏估计．
2
【注】 本例表明：虽然 E X ，但 E( X ) 2 ．
ˆ) g ( ) ，即 一般地，虽然 Eˆ ，但未必有 Eg ( ．．．
2
ˆ) 未必为 g ( ) 的无偏估计． 如果 ˆ 为 的无偏估计，但 g ( ．．．
中，哪个更有效？
【简解】 由第六章例３ .２知，
4 4 2 2 2 2 E ( S0 ) 2 , E ( S 2 ) 2 , D( S 0 ) , D( S 2 ) ， n n 1 2 S2和 2 S 2 均为 2 的无偏估计．且 D(S 2 ) D(S 2 ) ， 所以 0 1 0 2
估 )2 ] 越小时，表明在均方误差意义下，用 当 E[(
计 的效果越好．
E ) E E 0 ，E( E )2 ( E )2 ，所以 由于 E(
)2 ] E{[( E ) ( E )]2} E[(
，就称 为 的渐近无偏估计． lim E
n
无偏估计的直观意义：由于样本 ( X1, X 2 ,, X n ) 是随机
ˆ ˆ( X , X ,, X ) 估计 时，有时会偏高，有时会 的，利用 1 2 n
偏低，但整体平均来说等于 ．
讨论无偏性的关键在于计算 Eˆ ．
证 由于
m i 1
ˆ c E E ci i ˆi ci ci ， i
i 1 i 1 i 1 i 1
m
m
估计量的三个评价标准
估计量的三个评价标准估计量是统计学中非常重要的概念，它在实际应用中有着广泛的用途。
在进行估计量的评价时，我们通常会采用一些评价标准来衡量其优劣，从而选择最适合的估计量。
本文将从三个方面来介绍估计量的评价标准。
首先，我们来看估计量的无偏性。
无偏性是评价估计量优劣的重要标准之一。
一个估计量如果是无偏的，意味着在重复抽样的情况下，其期望值等于被估计的参数真值。
换句话说，无偏估计量不会出现系统性的偏差，能够在一定程度上准确地估计参数的真值。
因此，无偏性是评价估计量优劣的重要标准之一。
其次，我们来讨论估计量的一致性。
一致性是另一个重要的评价标准。
一个估计量如果是一致的，意味着当样本容量趋于无穷大时，估计量收敛于被估计的参数真值。
换句话说，一致估计量能够在大样本情况下稳定地接近参数的真值，具有较高的精确度和可靠性。
因此，一致性也是评价估计量优劣的重要标准之一。
最后，我们来考虑估计量的效率。
效率是评价估计量优劣的另一个重要标准。
一个估计量如果是有效的，意味着在所有无偏估计量中具有最小的方差，能够以最小的误差估计参数的真值。
换句话说，有效估计量具有最佳的精确度和准确性，能够在给定的样本容量下提供最优的估计结果。
因此，效率也是评价估计量优劣的重要标准之一。
综上所述，无偏性、一致性和效率是评价估计量优劣的三个重要标准。
在实际应用中，我们需要综合考虑这三个标准，选择最合适的估计量来进行参数估计。
只有在估计量具有较高的无偏性、一致性和效率时，我们才能够更准确地估计参数的真值，从而得到更可靠的统计推断结果。
因此，在统计学中，对于估计量的评价标准是非常重要的，它直接影响着我们对于总体参数的估计和推断的准确性和可靠性。
常用估计量的评价标准
常用估计量的评价标准
常用估计量的评价标准有：
1. 偏差（Bias）：估计量的期望值与真实值之间的差距。
偏差越小越好。
2. 方差（Variance）：估计量的离散度，即估计量与其期望值之间的差异。
方差越小越好。
3. 平均绝对误差（MAE）：估计量的绝对误差的平均值。
MAE越小越好。
4. 均方误差（MSE）：估计量的误差的平方的平均值。
MSE越小越好。
5. 均方根误差（RMSE）：MSE的平方根。
RMSE越小越好。
6. 相对误差（Relative Error）：估计量的误差与真实值之间的比率。
相对误差越小越好。
7. 系数相关度（Correlation Coefficient）：估计量与真实值之间的相关程度。
系数相关度越大越好。
8. 准确率（Accuracy）：估计量正确的比率。
准确率越高越好。
9. 召回率（Recall）：真实值中被正确估计量估计到的比率。
召回率越高越好。
10. F1得分（F1 Score）：综合考虑准确率和召回率的得分。
F1得分越高越好。
估计量的评价标准例
例1 2,S X 分别是μ, σ2无偏估量量;μμ=⋅==⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∑∑==n n EX n X n E X E n i i n i i 11111 因为 21σn X D =,2221122*********)(1111)()(11)())((2)(11)]()[(11)(11σσσμμμμμμμμ=⋅--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+-----=⎭⎬⎫⎩⎨⎧----=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=∑∑∑∑∑∑======n n n n X nD DX n X nE X E n X n X X X E n X X E n X X n E ESn i i n i i n i ni i i n i i n i i 而对于样本二阶中心矩∑=-=n i i X X n B 122)(1()2222111σn n ES n n S n n E B E -=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-= 可见, 2B 是2σ有偏估量, 故通常总是取S 2作为2σ估量量.例2 设总体()λP X ~, 未知参数λ>0, X 1为X 样本.试证: 1)2()(ˆ1X X g -=是λ3-e 无偏估量量. 证实λλλλλλλ3201!)2(!)2()2()(ˆ1---∞=-∞=-=⋅=-=⋅-=-=∑∑e e e k e e k E X gE k k k k k X这证实了1)2(X-确是λ3-e 无偏估量量; 但03>-λe , 而X 1取奇数值时, 估量值1)2(X -为负数.所以这是一个有显著弊病无偏估量量.例3 设m X X X ''',,,21 和n X X X '''''',,,21 是来自总体X 容量分别为n m ,两个样本, 其样本均值分别为∑='='mi i X m X 11和∑=''=''ni i X n X 11.若n m<, 试比较它们哪个有效？例4设总体X 均值μ, 方差2σ都存在, n X X X ,,,21 是X 一个样本, 试证实: X 是μ相合估量量.证实 易知21,σμn X D X E ==由Chebyshev 不等式, 有}{lim 1}{lim 1}{:1}{22=≥-⇔=<-⇒≤<--≥<-∞→∞→εμεμεμεσεμX p X p X p nX p n n 而 即μpX →, X 是μ相合估量量.。
评价估计量的标准
评价估计量的标准
1.准确性：估计量应该尽可能接近真实值。
2.精确度：估计量应该具有足够的精度，以支持正确的决策。
3.一致性：估计量应该在相同的背景下多次测量所得到的结果是一致的。
4.可靠性：估计量应该具有足够的可靠性，以在不确定的环境中使用。
5.效度：估计量应该具有足够的效度，以反映所评估的属性或变量。
6.适用性：估计量应该适用于特定的变量或场景，并且在不同场景下使用时应该具有相似的表现。
7.可解释性：估计量应该能够被易于理解的方式解释并解释。
8.稳定性：估计量应该对于不同的操作者、时间和环境条件变化不敏感。
9.可比性：估计量应该具有足够的可比性，以支持不同实验结果的比较。
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一、问题的提出
二、无偏性 三、有效性 四、相合性
一、问题的提出
从前一节可以看到, 对于同一个参数, 用不
同的估计方法求出的估计量可能不同.然而, 原
则上都可以作为未知参数的估计量. 问题 (1) 对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好? (2) 评价估计量优劣的标准是什么?
下面介绍几个常用标准：
三、有效性
ˆ 和 ˆ , 如果 比较参数 的两个无偏估计量 1 2 ˆ 的观察值较 ˆ更 在样本容量 n相同的情况下, 1 2 ˆ 较 ˆ 理想. 密集在真值 的附近, 则认为 1 2
ˆ 关于 换句话说，对参数 的无偏估计量
的波动越小，即方差 ˆ ) E[ ˆ E ( ˆ )]2 D(
C ( X i 1 X i )
i 1
n 1
2
为D(X)的无偏估计. 分析 需选择C，使
n 1 i 1
E[C ( X i 1 X i )2 ] D( X )
2 2 C E ( X X ) E [ C ( X X ) ] 解 i 1 i i 1 i
特别地,
不论总体 X 服从什么分布,
只要它的数学期望存在,
X 总是总体 X 的数学期望 1 E ( X ) 的无偏 估计量.
n 1 2 2 2 显然 S n ( X i X ) 是 D( X ) n 1 i 1 的无偏估计量 .
例3 设总体X的方差D(X)存在，且 D(X) > 0, (X1, X2 , · · ·, Xn ) 为来自总体XБайду номын сангаас样本，试选择适 当的常数C，使得
1）无偏性；
2）有效性； 3） 相合性.
二、无偏性
若 X1 , X 2 ,, X n 为总体 X 的一个样本，
是包含在总体X 的分布中的待估参数 ,
(是 的取值范围 ) ˆ ˆ ( X , X , , X )是参数的估计量， 定义6.2 设 1 2 n
ˆ) , 若 E ( ˆ 是 的无偏估计(量). 则称
2 E [ C ( X X ) 依题意，要求： i 1 i ] D( X )
n 1
i 1 n 1 i 1
n 1
D( X i 1 X i ) D( X i ) 2 D( X ) 即 C 2( n 1) D( X ) D( X ) E ( X i 1 X i ) E ( X i 1 1 ) E( X i ) 0 . D( X ) 0 C 2( n 1) ( i 1, 2, , n )
可用求条件 极值的拉格 朗日乘数法 证明
( X1 , X 2 )是 例4 设E ( X ) , D( X ) 2 0存在，
来自总体X的样本，问：下列三个对 的无偏估
计量哪一个最有效？
3 1 ˆ1 X 1 X 2 , 4 4 1 1 ˆ 2 X1 X 2 , 2 2 2 1 ˆ 3 X1 X 2 . 3 3
注 一般地，在 的 无偏估计量
Ci X i ( Ci 1)
i 1 i 1
n
n
中，X最有效.
5 2 9 1 解 D( ˆ1 ) D ( X 1 ) D ( X 2 ) , 16 16 8
5 2 1 2 ˆ3 ) , D( ˆ 2 ) , D( 9 2
n 1 i 1
n 1 i 1
C { D( X i 1 X i ) [ E ( X i 1 X i )]2 }
i 1
n 1
而X1, X2 , · · ·, Xn 相互独立，且与X 同分布
E ( X i ) E ( X ), D( X i ) D( X ) ( i 1, 2, , n )
ˆ )2 E (
ˆ) ) ( E (
越小越好.
定义6.3 设 ˆ1 ˆ1 ( X 1 , X 2 ,, X n )，ˆ2 ˆ2 ( X 1 , X 2 ,, X n )
均是 的无偏估计量，若
ˆ比 ˆ 有效. 则称 1 2
ˆ ) D( ˆ ), D( 1 2
D( X i 1 X i ) D( X i 1 ) D( X i ) 2 D( X ) E ( X i 1 X i ) E ( X i 1 ) E ( X i ) 0
E[C ( X i 1 X i ) ]
2
n 1 i 1
C { D( X i 1 X i ) [ E ( X i 1 X i )]2 } C 2 D( X ) C 2( n 1) D( X )
i 1 D( X i 1 )
注 一般地，一个参数 的无偏估计量不唯一. 如：设样本(X1, X2 , · · ·, Xn ) 来自总体X，E(X)=,
则 X 是的无偏估计. 此外，
n n
Ci X i
i 1
( C i 1)
i 1
也均是的无偏估计.
问题： 对于同一个参数的多个无偏估计量， 如何评价它们的优劣？
证
因为 X1 , X 2 ,, X n 与 X 同分布，
故有 E ( X ik ) E ( X k ) k , i 1,2,, n.
1 n 即 E ( Ak ) E ( X ik ) k . n i 1
故 k 阶样本矩 Ak 是 k 阶总体矩 k 的无偏估计.
ˆ 是 的一列估计量，且 lim E ( ˆ ) , 若 n n
n
ˆ 是 的渐近无偏估计(量). 则称 n
例1 设总体 X 的k 阶矩 k E ( X k ) ( k 1)存在,
又设 X 1 , X 2 , , X n 是 X 的一个样本，试证明不 论 1 n k 总体服从什么分布 , k 阶样本矩 Ak X i 是 n i 1 k 阶总体矩 k的无偏估计.