6.2点估计的评价标准
§6.2 估计量的评价标准 演示文稿3
所以
ES=E S E(
2
n ( ) n n 2 n 1 2 2 ( ) 2 n 1 2 n 1 2 ( ) 2 ( ) 2 2 2
n 1
Y)
EY1/ 2
注意到 当 n 时，Cn 1
所以， S 是的渐近无偏估计量。从而当样本容量 很大时，不经修正，S 也是 很好的估计量。
n n 1 2 n
ˆ 若对任意 0, lim P( n ) 1 成立，
n
ˆ 则称 n为的相合估计量。(一致估计量)
由定义可知， 估计量
P ˆ (未知参数） n
依据贝努里大数定律： 由辛钦大数定律
频率
i
n
是概率P的相合估计量，
1 n 样本均值 X i 是 EX的相合估计量。 n i 1
要使似然函数取最大值，要求的取值越小越好，
n
0 x i i 1, 2,.....n.
ˆ max X1 , X 2 .......Xn 的密度函数为
ˆ y n( y ) n 1 1 dy n E 0 n+1 ˆ max X1 , X2 .......Xn 不是的无偏估计量。
n 1 2 n (n 1) 2 2 ( ) n n2 n(n 2) 2 2 ˆ2 E 2 E 2 (n 1) 2 2 ˆ ˆ D n(n 2) n(n 2)
2
ˆ n+1 E( x ) n+1 n E (n ) n n n 1 ˆ 2 ( n+1) 2 E( x ) 2 ( n 1) 2 y 2 n( y ) n 1 1 dy E (n ) 0 n n
点估计法优劣评价标准
点估计法优劣评价标准点估计法是一种常见的统计方法，用于估计某个未知的参数。
在评价点估计法的优劣时，我们可以考虑以下标准：1. 准确性：准确性是衡量点估计法估计结果与真实值之间的差异大小的标准。
如果估计结果与真实值之间的差异很小，则说明该方法准确性高。
为了评估准确性，我们可以使用如均方误差（MSE）、均方根误差（RMSE）等指标。
2. 可靠性：可靠性是指点估计法在多次重复估计时能够稳定地得到合理结果的特性。
如果一个方法在多次重复估计时得到的结果不稳定，那么这个方法的可靠性就比较低。
为了评估可靠性，我们可以使用如置信区间、偏差和方差等指标。
3. 鲁棒性：鲁棒性是指点估计法在面对异常数据、缺失数据或错误假设时的稳健性。
如果一个方法在面对这些情况时结果仍然合理，那么它的鲁棒性就比较高。
为了评估鲁棒性，我们可以使用如Z-score、IQR等指标来衡量数据分布的异常值。
4. 效率：效率是指点估计法在计算上的复杂度和速度。
如果一个方法需要大量的计算资源和时间来得到结果，那么它的效率就比较低。
为了评估效率，我们可以使用如计算时间、所需的计算资源等指标。
5. 解释性：解释性是指点估计法得到的结果能够被理解和解释的程度。
如果一个方法得到的结果难以理解和解释，那么它的解释性就比较低。
为了评估解释性，我们可以考虑如结果呈现的清晰度、直观性等指标。
综上所述，对于点估计法的优劣评价，我们需要综合考虑准确性、可靠性、鲁棒性、效率和解释性等多个方面。
通过对这些标准的评估，我们可以全面了解点估计法的性能，并选择最适合我们数据和需求的点估计法。
6.2 决策的概念与决策过程——学习材料
决策的概念和作用（一）决策的概念随着管理科学的发展，人们对现代决策的认识越来越趋于一致。
所谓决策，就是为了实现某一目的而制定行动方案并从若干个可行方案中选择一个满意方案的分析判断过程。
这一定义表明：1、决策要有明确的目的决策或是为了解决某个问题，或是为了实现一定的目标，没有问题就无需决策，没有目标就无从决策。
因此，决策所要解决的问题必须是十分明确的，要达到的目标必须有一定的标准可资衡量比较。
2、决策要有着若干可行的备选方案如果只有一个方案，就无法比较其优劣，更没有可选择的余地，因此，“多方案抉择”是科学决策的重要原则。
决策时不仅要有若干个方案相互比较，而且决策所依据的各方案必须是可行的。
3、决策要进行方案的分析评价每个可行方案都有其可取之处，也存在一定的弊端，因此，必须对每个方案进行综合分析与评价，确定各方案对目标的贡献程度和所带来的潜在问题，比较各方案的优劣。
4、决策的结果是选择一个满意方案决策理论认为，最优方案往往要求从诸多方面满足各种苛刻的条件，只要其中有一个条件稍有差异，最优目标便难以实现。
所以，决策的结果应该是从诸多方案中选择一个合理的满意方案。
5、决策是一个分析判断过程决策有一定的程序和规则，同时它也受价值观念和决策者经验的影响。
因此，管理者要做出科学的决策，就必须不断提高自身素质，以提高自己的决策能力。
（二）决策的作用决策是管理者从事管理工作的基础，是衡量管理者水平高低的重要标志之一，它在管理活动中具有十分重要的地位和作用。
1、决策是管理的核心一切管理工作都是围绕管理目标进行的，而目标的选取要靠决策。
没有决策，就没有目标，管理活动就没有目的性错误，管理就会受挫。
所以，决策是管理的核心。
2、决策贯穿于管理的全过程首先，计划工作的每一个环节都涉及决策，如目标的确立、预测方法和分析方法的选取、行动方案的选择等都离不开决策；其次，组织、领导、控制等管理职能的发挥也离不开决策，如组织结构形式、领导方式的选取以及如何控制等，都需要通过决策来解决。
点估计的评价标准
点估计的评价标准在统计学中，点估计是利用样本数据来估计总体参数的方法。
在实际应用中，我们经常需要评价点估计的好坏，以确定其是否可靠。
本文将从准确性、一致性、有效性三个方面来评价点估计的质量。
首先，准确性是评价点估计的重要标准之一。
准确性指的是点估计的期望值与真实参数值的接近程度。
一个好的点估计应该是无偏的，即其期望值等于真实参数值。
此外，点估计的方差应该尽可能小，这意味着点估计的波动越小越好。
在实际应用中，我们可以通过模拟抽样来评价点估计的准确性，观察其抽样分布是否接近于总体分布，以及点估计的抽样分布是否集中在真实参数值附近。
其次，一致性是评价点估计的另一个重要标准。
一致性指的是当样本容量逐渐增大时，点估计逐渐接近真实参数值的性质。
换句话说，随着样本容量的增大，点估计的抽样分布应该逐渐集中在真实参数值附近。
一致性是评价点估计长期稳定性的重要标准，一个好的点估计应该是一致的，即在样本容量充分大时，能够准确地估计出真实参数值。
最后，有效性是评价点估计的另一个重要标准。
有效性指的是点估计的方差达到了克拉美罗下界，即在所有无偏估计中，方差最小的估计。
在实际应用中，我们可以通过计算不同点估计的方差来评价其有效性，方差越小，说明点估计的效率越高，估计结果越稳定。
综上所述，点估计的评价标准主要包括准确性、一致性和有效性三个方面。
在实际应用中，我们可以通过模拟抽样和计算方差等方法来评价点估计的质量。
只有在准确性高、一致性好、有效性强的情况下，我们才能够相信点估计的结果，从而进行科学的决策和预测。
因此，在实际应用中，我们需要充分考虑这些评价标准，选择合适的点估计方法，以确保估计结果的可靠性和准确性。
统计学 第 6 章 抽样与参数估计
第6章抽样与参数估计第6章抽样与参数估计6.1抽样与抽样分布6.2参数估计的基本方法6.3总体均值的区间估计6.4总体比例的区间估计6.5样本容量的确定学习目标理解抽样方法与抽样分布估计量与估计值的概念点估计与区间估计的区别评价估计量优良性的标准总体均值的区间估计方法总体比例的区间估计方法样本容量的确定方法参数估计在统计方法中的地位统计推断的过程6.1抽样与抽样分布什么是抽样推断概率捕样方法抽样分布抽样方法抽样方法概率抽样(probabilitysampling)也称随机抽样特点按一定的概率以随机原则抽取样本抽取样本时使每个单位都有一定的机会被抽中每个单位被抽中的概率是已知的，或是可以计算出来的当用样本对总体目标量进行估计时，要考虑到每个样本单位被抽中的概率简单随机抽样(simplerandomsampling)从总体N个单位中随机地抽取n个单位作为样本，每个单位入抽样本的概率是相等的最基本的抽样方法，是其它抽样方法的基础特点简单、直观，在抽样框完整时，可直接从中抽取样本用样本统计量对目标量进行估计比较方便局限性当N很大时，不易构造抽样框抽出的单位很分散，给实施调查增加了困难没有利用其它辅助信息以提高估计的效率分层抽样(stratifiedsampling)将抽样单位按某种特征或某种规则划分为不同的层，然后从不同的层中独立、随机地抽取样本优点保证样本的结构与总体的结构比较相近，从而提高估计的精度组织实施调查方便既可以对总体参数进行估计，也可以对各层的目标量进行估计系统抽样(systematicsainplmg)将总体中的所有单位(抽样单位)按一定顺序排列，在规定的范闱内随机地抽取一个单位作为初始单位，然后按爭先规定好的规则确定其它样本单位先从数字1到k之间随机抽取一个数字r作为初始单位，以后依次取r+k,r+2k…等单位优点：操作简便，可提高估计的精度缺点：对估计量方差的估计比较困难整群抽样(clustersampling)将总体中若干个单位合并为组(群)，抽样时直接抽取群，然后对中选群中的所有单位全部实施调查特点抽样时只需群的抽样框，可简化工作量调查的地点相对集中，节省调查费用，方便调查的实施缺点是估计的精度较差抽样分布总体中各元素的观察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服从某种分布总体分布(populationdistribution)一个样本中各观察值的分布也称经验分布当样本容屋n逐渐增大时，样本分布逐渐接近总体的分布样本分布(sampledistribution)抽样分布的概念(samplingdistribution)抽样分布是指样本统计屋的分布，即把某种样本统计量看作一个随机变量，这个随机变屋的全部可能值构成的新的总体所形成的分布即为某种统计量的抽样分布.统计量:样本均值，样本比例，样本方差等样本统计量的概率分布是一种理论概率分布随机变量是样本统计量样本均值，样本比例，样本方差等结果来自容量相同的所有可能样本提供了样本统计量长远稳定的信息，是进行推断的理论基础，也是抽样推断科学性的重要依据对抽样分布的理解抽样分布:即不是总体分布，也不是样本分布，是根据所有可能样本计算的统计量的全部可能取值形成的分布样本均值的抽样分布容量相同的所有町能样本的样本均值的概率分布一种理论概率分布进行推断总体均值的理论基础样本均值的抽样分布样本均值的抽样分布（例题分析）【例】设一个总体，含有4个元素（个体），即总体单位数N=4。
点估计的评价标准
点估计的评价标准在统计学中，点估计是指利用样本数据对总体参数进行估计的方法。
点估计的评价标准是统计学中一个非常重要的问题，因为它直接关系到所得到的估计结果的准确性和可靠性。
在实际应用中，我们常常需要对总体参数进行估计，比如平均值、方差、比例等，而点估计就是用来解决这个问题的。
对于点估计的评价标准，主要有无偏性、有效性和一致性三个方面。
首先，无偏性是评价点估计的重要标准之一。
无偏性是指在重复抽样的情况下，样本估计量的数学期望等于总体参数的真值。
换句话说，就是样本估计量的平均值等于总体参数的真值。
如果一个估计量是无偏的，那么它的抽样分布的中心值将会接近总体参数的真值。
无偏性是一个估计量的一个重要性质，因为它能够保证在大量重复抽样的情况下，估计结果不会出现系统性的偏差。
其次，有效性是评价点估计的另一个重要标准。
有效性是指在所有可能的总体分布下，一个估计量的方差最小。
换句话说，就是在所有可能的估计量中，方差最小的那个估计量是最有效的。
有效性是一个估计量的一个重要性质，因为它能够保证在给定样本量的情况下，估计结果的精确度最高。
最后，一致性是评价点估计的另一个重要标准。
一致性是指当样本量逐渐增大时，估计量趋向于总体参数的性质。
换句话说，就是当样本量足够大的时候，估计结果将会越来越接近总体参数的真值。
一致性是一个估计量的一个重要性质，因为它能够保证在大样本量的情况下，估计结果的稳定性和可靠性。
综上所述，无偏性、有效性和一致性是点估计的评价标准。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况来选择合适的估计方法，并且对所得到的估计结果进行评价。
只有在估计结果具有无偏性、有效性和一致性的情况下，我们才能够对总体参数进行准确和可靠的估计。
因此，对于点估计的评价标准，我们必须严格把关，确保所得到的估计结果是具有统计学意义的。
6.2点估计的评价标准
6.2点估计的评价标注我们已经看到，点估计有各种不同的求法，为了在不同点估计间进行比较选择，就必须对各种点估计的好坏给出评价标准.数理统计中给出了众多的估计量评价标准，对同一估计量实用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此在评价某一个估计好坏时首先要说明是在哪一个标准下，否则所论好坏则毫无意义.但不管怎么说，有一个基本标准时所有的估计都应该满足的，它是衡量一个估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性，我们就从相合性开始。
6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。
但如果我们有足够的观测值，根据格里文科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下：定义6.2.1 设θ∈Θ为未知参数，()12,,,n n n x x x θθ∧∧= 是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0ε>，有()ˆlim 0nn P θθε→∞->= 则称ˆnθ为参数θ的相合估计。
相合性被认为是对估计的一个最基本的要求，如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度，那么这个估计值是很值得怀疑的。
通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。
证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证。
若把依赖于样本量n 的估计量ˆn θ看作一个随机变量序列，相合性就是ˆnθ依概率收敛于θ，所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质以及各种大数定律。
例6.2.1 设12,,x x 是来自正态总体()2,N μσ的样本，则有辛钦大数定律及依概率收敛的性质知：x 是μ的相合估计；*2s 是2σ相合估计；2s 也是2σ的相合估计。
由此可见参数的相合估计不止一个。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。
点估计的评价标准
例6.2.7 均匀总体U(0, )中 的极大似然估计是x(n) 由于 ，所以x(n)不是 的无偏估计，而是 的渐近无偏估计。经过修偏后可以得到 的一个无 偏估计： 。且
另一方面，由矩法我们可以得到 的另一个无偏 估计 ，且 由此，当n>1时， 比 有效。
6.2.4
均方误差
无偏估计不一定比有偏估计更优。 评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值 与参 数真值 的距离平方的期望，这就是下式给出的均方 误差
量序列,相合性就是 依概率收敛于,所以证明
估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种
大数定律。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。 定理6.2.1 设ˆn ˆn ( x1 , , x n ) 是 的一个估计量， ˆn ˆn ( x1 , , x n ) 若 lim E ˆn , lim Var ˆn 0,
由定理6.2.1可知，x(n)是 的相合估计。
由大数定律及定理6.2.2，我们可以看到： 矩估计一般都具有相合性。比如：
样本均值是总体均值的相合估计；
样本标准差是总体标准差的相合估计；
样本变异系数是总体变异系数的相合估计。
6.2.2
无偏性
定义6.2.2
设 ˆ ˆ ( x , , x ) 是 的一个估计， 1 n 的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有
均方误差是评价点估计的最一般的标准。我们希望 估计的均方误差越小越好。
注意到
MSE ( ) Var( ) ( E )
ˆ )=Var( ˆ )+(E ˆ - )2 . MSE(
2
(1)
若 ˆ是 的 无 偏 估 计 , 则 M SE ((ˆ ) Var) (ˆ ), ) Var( ˆ M SE
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6.2点估计的评价标注我们已经看到，点估计有各种不同的求法，为了在不同点估计间进行比较选择，就必须对各种点估计的好坏给出评价标准.数理统计中给出了众多的估计量评价标准，对同一估计量实用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此在评价某一个估计好坏时首先要说明是在哪一个标准下，否则所论好坏则毫无意义.但不管怎么说，有一个基本标准时所有的估计都应该满足的，它是衡量一个估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性，我们就从相合性开始。
6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量，因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。
但如果我们有足够的观测值，根据格里文科定理，随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下：定义6.2.1 设θ∈Θ为未知参数，()12,,,n n n x x x θθ∧∧= 是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0ε>，有()ˆlim 0nn P θθε→∞->= 则称ˆnθ为参数θ的相合估计。
相合性被认为是对估计的一个最基本的要求，如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度，那么这个估计值是很值得怀疑的。
通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。
证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证。
若把依赖于样本量n 的估计量ˆn θ看作一个随机变量序列，相合性就是ˆnθ依概率收敛于θ，所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质以及各种大数定律。
例6.2.1 设12,,x x 是来自正态总体()2,N μσ的样本，则有辛钦大数定律及依概率收敛的性质知：x 是μ的相合估计；*2s 是2σ相合估计； 2s 也是2σ的相合估计。
由此可见参数的相合估计不止一个。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。
定理 6.2.1 设()12,,,n n n x x x θθ∧∧= 是θ的一个估计量，若ˆˆlim ()lim ()0,n nn n E Var θθθ→+∞→+∞==， 则ˆnθ是θ的相合估计。
证明：对任意的0ε>，由切比雪夫不等式有()()24ˆˆˆ/2n n n P E Var θθεθε-≥≤ 另一方面，由ˆlim ()nn E θθ→∞=可知，当n 充分大时有 ˆ/2nE θθε-< 注意到此时如果ˆˆ/2n nE θθε-<，就有 ˆˆˆˆn n n nE E θθθθθθε-≤-+-< 故{}{}ˆˆˆ/2n nnE θθεθθε-<⊂-< {}{}ˆˆˆ/2nnnE θθεθθε-≥⊃-≥ 由此即有{}{}()()24ˆˆˆˆ/20,n n n n P P E Var n θθεθθεθε->≤-≥≤→→+∞ 定理得证。
例 6.2.2 设12,,,n x x x 是来自均匀总体(0,)U θ的样本，证明θ的最大似然估计是相合估计。
证明 在例6.1.8中我们已经给出θ的最大似然估计是()n x 。
由次序统计量的分布，我们知道()ˆn x θ=的分布密度函数为 1()/,n n p y ny y θθ-=<故有0ˆ/1n n nE ny dy n θθθθθ==→+⎰2120ˆ/2n n n E ny dy n θθθθ+==+⎰ ()2222ˆ021(1)(2)n n n Var n n n n θθθθ⎛⎫=-=→ ⎪++++⎝⎭ 由定理6.2.1可知，()n x 是θ的相合估计。
定理 6.2.2 若1ˆˆ,,n nk θθ 分别是1,,n θθ 的相合估计，1(,,)k g ηθθ= 是1,,k θθ 的连续函数，则1ˆˆˆ(,,)n n nkg ηθθ= 是η的相合估计。
证明 有函数g 的连续性，对任意给定的0ε>，存在一个0δ>，当ˆ,1,,j jj k θθδ-<= ，有11ˆˆ(,,)(,,)k kg g θθθθε-< （6.2.3） 又由1ˆˆ,,n nkθθ 的相合性，对给定的δ，对任意给定的0v >，存在正整数N ，使得N n ≥时,,/)ˆ(k v P jnj <≥-δθθk j ,,1 =. 从而有{}{}⎪⎪⎭⎫⎝⎛≥--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛<-== k j j nj k j j nj P P 11ˆ1ˆδθθδθθ ∑=≥--≥kj jnj P 1)ˆ(1δθθ .1/1v k v k -=⋅->根据（6.2.3）,{}{}εηηδθθ<-⊂<-=n k j j njˆˆ1,故有 v P n -><-1)ˆ(εηη, 由v 的任意性，定理得证.由大数定律及定理6.2.2,我们可以看到，矩估计一般都具有相合性.比如： ·样本均值是总体均值的相合估计； ·样本标准差是总体标准差的相合估计；·样本变异系数x s /是总体变异系数的相合估计.例 6.2.3 设一个试验有三种可能结果，其发生概率分别为.)1(),1(2,23221θθθθ-=-==p p p现做了n 次试验，观测到三种结果发生的次数分别为 321,,n n n ，可以采用频率 替换方法估计θ.由于可以有三个不同的θ的表达式：.2/,1,2131p p p p +=-==θθθ从而可以给出θ三种不同的频率替换估计，它们分别是：./)2/(ˆ,/1ˆ,/ˆ2133211n n n n n n n +=-==θθθ 由大数定律，n n n n n n /,/,/321分别是321,,p p p 的相合估计，由定理6.2.2知， 上述三个估计都是θ的相合估计.6.2.2 无偏性相合性是大样本下估计量的评价标准，对小样本而言，需要一些其他的评价 标准，无偏性便是一个常用的评价标准 .定义 6.2.2 设),,(ˆˆ1nx x θθ=是θ的一个估计，θ的参数空间为Θ，若对 任意的 Θ∈θ,有θθ=)ˆ(E , 则称θˆ是θ的无偏估计，否则称为有偏估计.无偏性要求可以改写为0)ˆ(=-θθE ，这表示无偏估计没有系统偏差.当我们使用θˆ估计θ时,由于样本的随机性,θˆ与θ总是有偏差的,这种偏差时而（对某些样本观测值）为正,时而（对另一些样本观测值）为负,时而大,时而小.无偏性表示，把这些偏差平均起来其值为0，这就是无偏估计的含义.而若估计不具有无偏性，则无论使用多少次，其平均也会与参数真值有一定距离，这个距离就是系统误差.例 6.2.4 对任一总体而言，样本均值是总体均值的无偏估计.当总体k 阶 矩存在时,样本k 阶原点矩k a 是总体k 阶原点矩k μ的无偏估计.但对k 阶中心 矩则不一样,譬如,样本方差2*s 就不是总体方差2σ的无偏估计,因为在定理 5.2.1中已经指出 ：22*n1n )(σ-=s E . 对此，有如下两点说明：（1） 当样本趋于无穷时，有22*)(σ→s E ，我们称2*s 为2σ的渐近无偏估计，这表明当样本量较大时，2*s 可近似看作2σ的无偏估计.（2） 若对2*s 作如下修正：∑=--=-=ni i x x n n ns s 122*2)(111 ， (6.2.5) 则2s 是总体方差的无偏估计.这种简单的修正方法在一些场合被采用.（6.2.5）定义的2s 也称为样本方差，它比2*s 更常用.这是因为在2≥n 时，2*s <2s ，因此用2*s 估计2σ有偏小的倾向，特别在小样本场合要使用2s 估计2σ.无偏性不具有不变性.即若θˆ是θ的无偏估计，一般而言，)ˆ(θg 不是)(θg 的无偏估计，除非)(θg 是θ的线性函数.譬如，2s 是2σ的无偏估计，但s 不是σ的无偏估计.下面我们以正态分布为例加以说明.例 6.2.5 设总体为n x x N ,,),(1 2,σμ是样本，我们已经指出2s 是2σ的无偏估计.由定理5.3.1,),1(~)1(222--=n s n Y χσ其密度函数为0,)21(21)(212121>-Γ=----y e yn y p yn n .从而⎰+∞=02/12/1)()(dy y p y Y E⎰∞+----Γ=021221)21(21dy e yn y n n)21()2(2)21(2)2(2212-ΓΓ=-ΓΓ=-n nn n n n由此，我们有1/2()2()1()2n n Es E Y n c σσΓ==⋅≡-Γ 这说明s 不是σ的无偏估计，用修正技术可得s c n ⋅是σ的无偏估计，其中n c =)2()21(21n n n Γ-Γ⋅-是修偏系数，表6.2.1给出了n c 的部分取值。
可以证明当n +∞→时有1→n c ，这说明s 是σ的渐近无偏估计，从而在样本容量较大时,不经修正的s 也是σ的一个很好的估计。
6.2.3 有效性参数的无偏估计可以有很多，如何在无偏估计中进行选择？直观的想法是希望该估计围绕参数真值的波动越小越好，波动大小可以用方差来衡量，因此人们常用无偏估计的方差的大小作为度量无偏估计优劣的标准，这就是有效性。
定义 6.2.3 设1ˆθ，2ˆθ是θ 的两个无偏估计，如果对任意的θΘ∈有 Var(1ˆθ)≤Var(2ˆθ), 且至少有一个θΘ∈使得上述不等号严格成立，则称1ˆθ比2ˆθ有效。
例6.2.6 设n x x ,,1 是取自某总体的样本，记总体均值为μ，总体方差为2σ,则1ˆμ=1x ,2ˆμ=x 都是μ的无偏估计，但 Var(1ˆμ)=2σ,Var(2ˆμ)=n2σ.显然,只要1n >，2ˆμ比1ˆμ有效。
这表明，用全部数据的平均估计总体均值要比只使用部分数据更有效。
例6.2.7 在例6.2.2中，我们指出均匀总体(0,)U θ中θ的极大似然估计是)(n x ，由于θ1)(+=n nEx n ，所以)(n x 不是θ的无偏估计，但是θ的渐近无偏估计。
经过修偏后可以得到θ的一个无偏估计： 1()1ˆn n x n θ+=。
且 ())2()2(11)(1)ˆ(2222)(21+=++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n n nn n x Var n n Var n θθθ.另一方面，由矩法，我们可以得到θ的一个无偏估计2ˆθ=2x ，且 nn X Var n x Var Var 3124)(4)(4)ˆ(222θθθ=⋅===由此，当1n >时, 1ˆθ比2ˆθ更有效。
6.2.4 均方误差无偏性是估计的一个优良性质，对无偏估计我们还可以通过其方差进行有效性比较。
然而不能由此认为：有偏估计一定是不好的估计。