点估计评价标准PPT课件
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2.2 点估计的评价标准
例1 设总体X 的 k 阶矩 k E ( X ) 存在 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体X 的样本,
k
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 1 n 则 Ak X ik 是 k 的无偏估计量. n i 1 证 由于 E ( X ik ) k i 1,2, , n 因而
智商
组别
人数
智商平均数
样本标准差
甲 组 乙 组
n 6
46
x 78
99
s
19 16
由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一 代的智力？若有影响，推断其影响程度有 多大? 提示 前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题
解 智商一般受诸多因素的影响.从而可以
假定两组儿童的智商服从正态分布.
N (u1 , )和N (u 2 , )
n
2
因而
n n 1 1 2 2 2 E ( X i X ) E ( X i ) E ( X ) n i 1 n i 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n 1 2 2 n 1 n 2 2 (Xi X ) 故 E 证毕. n 1 i 1
2
估计量
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 ( X 1 , X 2 , , X n ) (n > 1) . 证明
n 1 2 2 (1) S n ( X i X ) 不是 D( X )的无偏估 n i 1
量; 1 2 (2) S
n 1 i 1
2 ( X X ) i
1 2 故 (n n) p X i X m i 1
2 2
m
点估计的评价标准.
则 X 是总体均值E(X)= μ的相合估计量.
相合性是对估计量的基本要求
四. 区间估计
譬如，在估计湖中鱼数的问题中，若 我们根据一个实际样本，得到鱼数的极大 似然估计为1000条. 湖中鱼数的真值
ˆ 1
[
]Hale Waihona Puke ˆ 2ˆ ˆ } 1 P{ 1 2
1. 区间估计定义： 设 是 一个待估参数，给定 0, 若由样本X1,X2,…Xn确定的两个统计量 ˆ ˆ ( X , X ,, X ), ˆ ˆ ( X , X ,, X ) 1 1 1 2 n 2 2 1 2 n (ˆ1 ˆ2 ) 满足
ˆ | } 1 P{|
ˆ | 可以解出 ： 3. 由不等式 |
ˆ ˆ
2 例1 设X1,…Xn是取自N ( , 2 )的样本， 已知,
求参数 的置信水平为1 的置信区间. 解： 选 的点估计为X
三. 点估计的评价标准
1．无偏性 2．有效性 3．相合性
这里我们重点介绍前面两个标准 .
标准一:
无偏性
真值
.
ˆ ) , ˆ 为θ的一个点估计,若 E( 设 ˆ为θ的一个无偏估计. 则称
注意
无偏估计若存在，则可能不唯一.
标准二: 有效性
ˆ 是 的两个无偏估计, 设 ˆ 和
取 U
寻找未知参数的 明确问题,是求什么参数的置信区间 ? 一个良好估计. 置信水平是多少？ X
n
~N(0, 1)
寻找一个待估参数和 估计量的函数 ，要求 其分布为已知.
有了分布，就可以求出 U取值于任意区间的概率.
6-2点估计的评价标准-PPT课件
例7. 设 (x 1, x 2, , x m) 是总体 X 的一个样本 , X ~ b(1 , p). （1）求p 2 的无偏估计量； （2）证明 1／p 的无偏估计不存在.
x 1 e 例8. 设总体 X 的密度函数为 p( x; ) (x , x , , x ) 为 X 的一个样本， 0
1 2 k
ˆ ˆ ˆ 数，则 是 的相合估计. g ( . . . . , n n, n, n)
例1. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个 样本, 证明：θ的最大似然估计是相合估计. （P294）
x 1 e X ~ p(x; ) 0
为无偏方差.
2 EX 2
的无偏估计.
1 样本二阶原点矩a 2 x i2 是总体二阶原点矩 n i 1
n 12 n 2 *2 E ( S ) 注 2.由于 ,称 S 为 2 的渐近无偏估计 n
2 *
注 3.同一参数可能有多个无偏估计（U.E不唯一）.
注 4 . 无 偏 估 计 不 具 有 不 变 性 , 即 ˆ 当 是 θ 的 无 偏 估 计 时 , g ( θ ) 却 未 必 是 g ( θ ) 的 无 偏 估 计 .
2. 设 n 是 的一个估计, 且 ˆ ) 0 定理1 lim V a r ( ˆ n limE( )
n
定理2
则 ˆ n 是 的相合估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
ˆ , ˆ ,...., ˆ 分别是 1,2,....,k 的相合 3. 若 n n n 1 2 k g ( ,2 , . . . . , ) 估计， 是 1,2,....,k的连续函 1 k
点估计(课件)
i 1 10 1 x ( 1050 ... 1200 ) 1147(小时) 用1147估计μ 10 1 10 统计量 X X i 称为参数μ的估计量; 10 i1 1 10 统计量 X 的观测值 x xi 1147 称为参数μ的 10 i 1
估计值.
一般地， 设总体的分布中 有一个未知参数θ, θ的取值范围为Θ, 即 , 称Θ为参数空间. θ是未知的, 但其参数空间Θ是事先知道的. 为了估计θ, 从总体中抽取样本 X1 , X 2 ,..., X n 相应的一个样本观测值为 x1 , x2 ,..., xn 构造一个统计量 h( X1 , X 2 ,..., X n )， 用它的观测值 h( x1 , x2 ,..., xn )来估计未知参数θ, 称 h( X1 , X 2 ,..., X n ) 为θ的估计量; h( x1 , x2 ,..., xn ) 为θ的估计值. ˆ ( X , X ,..., X ) 和 ˆ ( x , x ,..., x ) 分别记为 1 2 n 1 2 n
2
2 DX EX , 例 设 X 是任一总体, 存在,
X1 , X 2 ,..., X n 是来自 X 的简单随机样本, 则 2 1 n 2 (3) S0 X i X 不是 DX 2 的无偏估计量. n i 1 即 E ( S02 ) 2 2 n 2 n1 n n1 2 1 1 2 Xi X S 证 S0 X i X n n n 1 i 1 n i 1 n1 2 n 1 2 n 1 2 2 2 E ( S0 ) E S E( S ) n n n
一、点估计
例 某厂在某月内 生产了一大批灯泡, 设X是 灯泡的寿命, X是随机变量,代表总体. 已知 但平均寿命μ未知, 于是厂家 X ~ N ( , 952 )， 抽出10只灯泡, 进行寿命试验, 得到10只灯泡 的寿命如下:
估计值.
一般地， 设总体的分布中 有一个未知参数θ, θ的取值范围为Θ, 即 , 称Θ为参数空间. θ是未知的, 但其参数空间Θ是事先知道的. 为了估计θ, 从总体中抽取样本 X1 , X 2 ,..., X n 相应的一个样本观测值为 x1 , x2 ,..., xn 构造一个统计量 h( X1 , X 2 ,..., X n )， 用它的观测值 h( x1 , x2 ,..., xn )来估计未知参数θ, 称 h( X1 , X 2 ,..., X n ) 为θ的估计量; h( x1 , x2 ,..., xn ) 为θ的估计值. ˆ ( X , X ,..., X ) 和 ˆ ( x , x ,..., x ) 分别记为 1 2 n 1 2 n
2
2 DX EX , 例 设 X 是任一总体, 存在,
X1 , X 2 ,..., X n 是来自 X 的简单随机样本, 则 2 1 n 2 (3) S0 X i X 不是 DX 2 的无偏估计量. n i 1 即 E ( S02 ) 2 2 n 2 n1 n n1 2 1 1 2 Xi X S 证 S0 X i X n n n 1 i 1 n i 1 n1 2 n 1 2 n 1 2 2 2 E ( S0 ) E S E( S ) n n n
一、点估计
例 某厂在某月内 生产了一大批灯泡, 设X是 灯泡的寿命, X是随机变量,代表总体. 已知 但平均寿命μ未知, 于是厂家 X ~ N ( , 952 )， 抽出10只灯泡, 进行寿命试验, 得到10只灯泡 的寿命如下:
17.第十七讲(点估计、估计量的评选标准)
r
1
2
n
1
2
k
例4 设总体 X 服从0-1分布，且P {X = 1} = p, 用极大似然法求 p 的估计值。 解 X 的概率分布可以写成
P{ X x} p x (1 p)1 x , x 0,1
设 X1, X2,…, Xn为总体 X 的样本,
设 x1, x2,…, xn为总体 X 的样本值,
则 P{ X1 x1 , X 2 x2 ,, X n xn }
p i1 (1 p) xi
n
n
xi
i 1
n
L( p)
xi 0,1, i 1, 2,, n
对于不同的 p ,L (p)不同，见右下图
Lp 0.01 0.008 0.006 0.004 0.002 0.2 p 0.4 0.6 0.8 1
2
解得
ˆ a矩 X 3( A2 X 2 )
3 n X ( X i X )2 n i 1
ˆ X 3( A X 2 ) b矩 2
3 n X ( X i X )2 n i 1
求极大似然估计(MLE)的一般步骤是： (1) 由总体分布导出样本的联合分布律 (或联合密度); (2) 把样本联合分布律(或联合密度)中自变 量看成已知常数,而把参数 看作自变量, 得到似然函数L( ); (3) 求似然函数L( ) 的最大值点(常常转化 为求ln L( )的最大值点) ，即 的MLE; (4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入 就得参数的极大似然估计值 .
解 X 的密度函数为
1 , a xb f ( x; a, b) b a 0, 其它
似然函数为
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点估计
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从某厂生产的一批器件中随机抽取10件，测得其 寿命值分别为 1 0 1 0 , 9 8 0 , 9 7 5 , 1 0 5 0 , 1 1 0 0 , 9 9 0 , 1 0 2 0 , 1 1 5 0 , 1 2 1 0 , 9 6 0 (小时) 试问怎样估计该批器件的平均寿命？ ( , 2) 一般地,整批产品寿命 X ~N
2 E ( X ) ,D ( X )
X 与 的“差别”应该较小 ˆ 作为 X 故可用 的估计
n
所以器件的平均寿命估计值为
1 0 1 ˆ (小时) x 0 4 4 .5 i 1 1 0i1
《概率统计》
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结束
(x, ), 其中 F 的函数形式为已知 , 为未 设总体 X ~F , 2 , ,X 未知参数 ,XX 为来自总体 X 的样本. n 1
10 按题设,从总体 X抽取了一个容量为 的样本 现要根据抽检结果,对未知参数 的大小进行推断
2 E ( X ) ,D ( X )
由大数定律有
n
n P k 1 X X E ( X ) ( n ) i n n i 1
X 当 n 较大时 与 的“差别”应该较小
X 即 , 2 B 2
解得 , 2 的矩计量分别为
ˆ ˆ2 X , B 2
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结束
例2．设总体X~U[a , b] ，试求a ，b的矩估计量. 解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本，
1 1 2 E ( X ) ( a b ) , D ( X ) ( b a ) , 依题意知 2 1 2 1 (a b ) X 1 A1 2 , , 即 据矩估计法有 1 (b a ) 2 s 2 c2 B2 12
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从某厂生产的一批器件中随机抽取10件，测得其 寿命值分别为 1 0 1 0 , 9 8 0 , 9 7 5 , 1 0 5 0 , 1 1 0 0 , 9 9 0 , 1 0 2 0 , 1 1 5 0 , 1 2 1 0 , 9 6 0 (小时) 试问怎样估计该批器件的平均寿命？ ( , 2) 一般地,整批产品寿命 X ~N
2 E ( X ) ,D ( X )
X 与 的“差别”应该较小 ˆ 作为 X 故可用 的估计
n
所以器件的平均寿命估计值为
1 0 1 ˆ (小时) x 0 4 4 .5 i 1 1 0i1
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(x, ), 其中 F 的函数形式为已知 , 为未 设总体 X ~F , 2 , ,X 未知参数 ,XX 为来自总体 X 的样本. n 1
10 按题设,从总体 X抽取了一个容量为 的样本 现要根据抽检结果,对未知参数 的大小进行推断
2 E ( X ) ,D ( X )
由大数定律有
n
n P k 1 X X E ( X ) ( n ) i n n i 1
X 当 n 较大时 与 的“差别”应该较小
X 即 , 2 B 2
解得 , 2 的矩计量分别为
ˆ ˆ2 X , B 2
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例2．设总体X~U[a , b] ，试求a ，b的矩估计量. 解：设(X1,…,Xn)为X的一个样本，
1 1 2 E ( X ) ( a b ) , D ( X ) ( b a ) , 依题意知 2 1 2 1 (a b ) X 1 A1 2 , , 即 据矩估计法有 1 (b a ) 2 s 2 c2 B2 12
6.2点估计的评价标准
6.2点估计的评价标注我们已经看到，点估计有各种不同的求法,为了在不同点估计间进行比较选择，就必须对各种点估计的好坏给出评价标准.数理统计中给出了众多的估计量评价标准,对同一估计量实用不同的评价标准可能会得到完全不同的结论，因此在评价某一个估计好坏时首先要说明是在哪一个标准下,否则所论好坏则毫无意义。
但不管怎么说，有一个基本标准时所有的估计都应该满足的，它是衡量一个估计是否可行的必要条件，这就是估计的相合性,我们就从相合性开始。
6.2.1 相合性我们知道，点估计是一个统计量,因此它是一个随机变量，在样本量一定的条件下，我们不可能要求它完全等同于参数的真实取值。
但如果我们有足够的观测值,根据格里文科定理,随着样本量的不断增大，经验分布函数逼近真实分布函数，因此完全可以要求估计量随着样本量的不断增大而逼近参数真值，这就是相合性，严格定义如下：定义6。
2.1 设θ∈Θ为未知参数，()12,,,n n n x x x θθ∧∧=是θ的一个估计量，n 是样本容量，若对任何一个0ε>，有()ˆlim 0nn P θθε→∞->= 则称ˆnθ为参数θ的相合估计。
相合性被认为是对估计的一个最基本的要求,如果一个估计量，在样本量不断增大时，它都不能把被估参数估计到任意指定的精度,那么这个估计值是很值得怀疑的。
通常，不满足相合性要求的估计一般不予考虑。
证明估计的相合性一般可应用大数定律或直接由定义来证。
若把依赖于样本量n 的估计量ˆn θ看作一个随机变量序列，相合性就是ˆnθ依概率收敛于θ，所以证明估计的相合性可应用依概率收敛的性质以及各种大数定律。
例6.2.1 设12,,x x 是来自正态总体()2,N μσ的样本，则有辛钦大数定律及依概率收敛的性质知:x 是μ的相合估计；*2s 是2σ相合估计；2s 也是2σ的相合估计。
由此可见参数的相合估计不止一个。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。
定理 6。
点估计的评价标准共40页
估计量
Ch7-49
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1,X2,,Xn) (n > 1) . 证明
(1)
Sn2
1 n
n i1
(Xi
X)2不是 D(
X
)的无偏估量;
(2) S2n11in1(Xi X)2是 D( X ) 的无偏估计量.
证 前已证 n 1i n1(Xi X)2n 1i n1Xi2X2 E ( X i ) E ( X ) ,D ( X i ) D ( X ) 2 E (X)E (X),D (X)2 n
则
Ak
1 n
n i1
Xik
是 k 的无偏估计量.
证 由于 E (Xik)k i1,2,,n因而
E(Ak)E(1 ni n1Xik)1 ni n1E(Xik)
1nnk k
Ch7-48
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i1
Xi2是总体
二阶原点矩 2 E(X2) 的无偏
i1
i1
n
n
Ch7-58
(2) D(ˆ1) ci2D(Xi)2 ci2
i1
i1
n
2n
而
1
ic
ic 2
2
ic jc
i1 i1
1i jn
n
n
ci2 (ci2c2 j)n ci2
i1
1ijn
i1
n
i 1
c
2 i
1 n
D(ˆ)1n2D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
Ch7-59
Ch7-57
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我们不可能要求每一次由样本得到的 估计值与真值都相等，但可以要求这些估 计值的期望与真值相等.
例1 设总体X 的 k 阶矩k E(Xk)存在
(X1,X2,,Xn)是总体X 的样本,
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在),
则
Ak
1 n
n i1
Xik
是 k 的无偏估计量.
证 由于 E (Xik)k i1,2,,n因而
则称 ˆ1 比ˆ 2 更有效.
例3 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2
(X1,X2,,Xn)为总体 X 的一个样本
(1)
设常数
ci
1 n
i1,2,,n.
n
ci 1.
i1
n
证明 ˆ1 ci Xi 是 的无偏估计量；
i1
n
(2) 证明 ˆ X 比 ˆ1 ci Xi 更有效.
第7 章 参数估计
§7.2 点估计的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用 标准
(1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 相合性(一致性)
无偏性
定义 若 E(ˆ) 则称 ˆ是 的无偏估计量.
定义的合理性
E(Ak)E(1 ni n1Xik)1 ni n1E(Xik)
1nnk k
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量；
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i1
Xi2是总体
二阶原点矩 2 E(X2) 的无偏
估计量.
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1,X2,,Xn) (n > 1) . 证明
由大数定律证明
用切贝雪夫不 等式证明
矩法得到的估计量一般为一致估计量
在一定条件下, 极大似然估计具有一致性
例4
X
~
f
(x;
)
1
x
e
0
x0, 0 为常数
x0
证 பைடு நூலகம் 是 的无偏、有效、一致估计量.
ˆ 依概率收敛于 , 即 0, lim P(ˆ))0
n
则称ˆ 是总体参数 的相合(一致)估计量.
一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
2. 设ˆ 是 的无偏估计
量, 且 limD(ˆ)0, 则 n
ˆ 是 的一致估计量.
i1
n
n
证 (1) E(ˆ1)ciE(Xi)ci
i1
i1
n
n
(2) D(ˆ1) ci2D(Xi)2 ci2
i1
i1
而 1 n ci2n ci22
cicj
i1 i1
1ijn
n
n
ci2 (ci2c2 j)n ci2
i1
1ijn
i1
n
i 1
c
2 i
1 n
D(ˆ)1n2D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
例如 X ~ N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.
ˆ 1
2 3
X1
1 3
X
2
ˆ 2
1 4
X1
3 4
X
2
都是 的无偏估计量
ˆ 3
1 2
X1
1 2
X
2
由前例知 ˆ 3 最有效.
相合性(一致性)
定义 设 ˆˆ(X1,X2,,Xn)是总体参数
的估计量. 若对于任意的 , 当n 时,
(1)
Sn2
1 n
n i1
(Xi
X)2不是 D(
X )的无偏估量;
(2) S2n11in1(Xi X)2是 D( X ) 的无偏估计量.
证 前已证 n 1i n1(Xi X)2n 1i n1Xi2X2 E ( X i ) E ( X ) ,D ( X i ) D ( X ) 2 E (X)E (X),D (X)2 n
因而
E 1 ni n 1(X iX )2 1 ni n 1E (X i2) E (X 2)
(22)(22)
n
n1 2 2
n
故
En11in1(Xi
X)22
证毕.
有效性
定义 设 ˆ11(X1,X2,,Xn)
ˆ22(X 1,X2,,Xn)
都是总体参数 的无偏估计量, 且
D (ˆ1)D (ˆ2)
例1 设总体X 的 k 阶矩k E(Xk)存在
(X1,X2,,Xn)是总体X 的样本,
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在),
则
Ak
1 n
n i1
Xik
是 k 的无偏估计量.
证 由于 E (Xik)k i1,2,,n因而
则称 ˆ1 比ˆ 2 更有效.
例3 设总体 X，且 E( X )= , D( X )= 2
(X1,X2,,Xn)为总体 X 的一个样本
(1)
设常数
ci
1 n
i1,2,,n.
n
ci 1.
i1
n
证明 ˆ1 ci Xi 是 的无偏估计量；
i1
n
(2) 证明 ˆ X 比 ˆ1 ci Xi 更有效.
第7 章 参数估计
§7.2 点估计的评价标准
对于同一个未知参数,不同的方法得到 的估计量可能不同,于是提出问题
应该选用哪一种估计量? 用何标准来评价一个估计量的好坏?
常用 标准
(1) 无偏性 (2) 有效性 (3) 相合性(一致性)
无偏性
定义 若 E(ˆ) 则称 ˆ是 的无偏估计量.
定义的合理性
E(Ak)E(1 ni n1Xik)1 ni n1E(Xik)
1nnk k
特别地
样本均值 X 是总体期望 E( X ) 的 无偏估计量；
样本二阶原点矩
A2
1 n
n i1
Xi2是总体
二阶原点矩 2 E(X2) 的无偏
估计量.
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的
样本为 (X1,X2,,Xn) (n > 1) . 证明
由大数定律证明
用切贝雪夫不 等式证明
矩法得到的估计量一般为一致估计量
在一定条件下, 极大似然估计具有一致性
例4
X
~
f
(x;
)
1
x
e
0
x0, 0 为常数
x0
证 பைடு நூலகம் 是 的无偏、有效、一致估计量.
ˆ 依概率收敛于 , 即 0, lim P(ˆ))0
n
则称ˆ 是总体参数 的相合(一致)估计量.
一致性估计量仅在样本容量 n 足够大时,才显示其优越性.
关于一致性的两个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致性估计量.
2. 设ˆ 是 的无偏估计
量, 且 limD(ˆ)0, 则 n
ˆ 是 的一致估计量.
i1
n
n
证 (1) E(ˆ1)ciE(Xi)ci
i1
i1
n
n
(2) D(ˆ1) ci2D(Xi)2 ci2
i1
i1
而 1 n ci2n ci22
cicj
i1 i1
1ijn
n
n
ci2 (ci2c2 j)n ci2
i1
1ijn
i1
n
i 1
c
2 i
1 n
D(ˆ)1n2D(ˆ1)
结论 算术均值比加权均值更有效.
例如 X ~ N( , 2 ) , ( X 1 ,X 2 ) 是一样本.
ˆ 1
2 3
X1
1 3
X
2
ˆ 2
1 4
X1
3 4
X
2
都是 的无偏估计量
ˆ 3
1 2
X1
1 2
X
2
由前例知 ˆ 3 最有效.
相合性(一致性)
定义 设 ˆˆ(X1,X2,,Xn)是总体参数
的估计量. 若对于任意的 , 当n 时,
(1)
Sn2
1 n
n i1
(Xi
X)2不是 D(
X )的无偏估量;
(2) S2n11in1(Xi X)2是 D( X ) 的无偏估计量.
证 前已证 n 1i n1(Xi X)2n 1i n1Xi2X2 E ( X i ) E ( X ) ,D ( X i ) D ( X ) 2 E (X)E (X),D (X)2 n
因而
E 1 ni n 1(X iX )2 1 ni n 1E (X i2) E (X 2)
(22)(22)
n
n1 2 2
n
故
En11in1(Xi
X)22
证毕.
有效性
定义 设 ˆ11(X1,X2,,Xn)
ˆ22(X 1,X2,,Xn)
都是总体参数 的无偏估计量, 且
D (ˆ1)D (ˆ2)