点估计的基本思想及评价标准
点估计的评价标准
点估计的评价标准在统计学中，点估计是指利用样本数据对总体参数进行估计的方法。
点估计的评价标准是统计学中一个非常重要的问题，因为它直接关系到所得到的估计结果的准确性和可靠性。
在实际应用中，我们常常需要对总体参数进行估计，比如平均值、方差、比例等，而点估计就是用来解决这个问题的。
对于点估计的评价标准，主要有无偏性、有效性和一致性三个方面。
首先，无偏性是评价点估计的重要标准之一。
无偏性是指在重复抽样的情况下，样本估计量的数学期望等于总体参数的真值。
换句话说，就是样本估计量的平均值等于总体参数的真值。
如果一个估计量是无偏的，那么它的抽样分布的中心值将会接近总体参数的真值。
无偏性是一个估计量的一个重要性质，因为它能够保证在大量重复抽样的情况下，估计结果不会出现系统性的偏差。
其次，有效性是评价点估计的另一个重要标准。
有效性是指在所有可能的总体分布下，一个估计量的方差最小。
换句话说，就是在所有可能的估计量中，方差最小的那个估计量是最有效的。
有效性是一个估计量的一个重要性质，因为它能够保证在给定样本量的情况下，估计结果的精确度最高。
最后，一致性是评价点估计的另一个重要标准。
一致性是指当样本量逐渐增大时，估计量趋向于总体参数的性质。
换句话说，就是当样本量足够大的时候，估计结果将会越来越接近总体参数的真值。
一致性是一个估计量的一个重要性质，因为它能够保证在大样本量的情况下，估计结果的稳定性和可靠性。
综上所述，无偏性、有效性和一致性是点估计的评价标准。
在实际应用中，我们需要根据具体的情况来选择合适的估计方法，并且对所得到的估计结果进行评价。
只有在估计结果具有无偏性、有效性和一致性的情况下，我们才能够对总体参数进行准确和可靠的估计。
因此，对于点估计的评价标准，我们必须严格把关，确保所得到的估计结果是具有统计学意义的。
点估计的评价标准
例6.2.7 均匀总体U(0, )中 的极大似然估计是x(n) 由于 ，所以x(n)不是 的无偏估计，而是 的渐近无偏估计。经过修偏后可以得到 的一个无 偏估计： 。且
另一方面，由矩法我们可以得到 的另一个无偏 估计 ，且 由此，当n>1时， 比 有效。
6.2.4
均方误差
无偏估计不一定比有偏估计更优。 评价一个点估计的好坏一般可以用：点估计值 与参 数真值 的距离平方的期望，这就是下式给出的均方 误差
量序列,相合性就是 依概率收敛于,所以证明
估计的相合性可应用依概率收敛的性质及各种
大数定律。
在判断估计的相合性时下述两个定理是很有用的。 定理6.2.1 设ˆn ˆn ( x1 , , x n ) 是 的一个估计量， ˆn ˆn ( x1 , , x n ) 若 lim E ˆn , lim Var ˆn 0,
由定理6.2.1可知，x(n)是 的相合估计。
由大数定律及定理6.2.2，我们可以看到： 矩估计一般都具有相合性。比如：
样本均值是总体均值的相合估计；
样本标准差是总体标准差的相合估计；
样本变异系数是总体变异系数的相合估计。
6.2.2
无偏性
定义6.2.2
设 ˆ ˆ ( x , , x ) 是 的一个估计， 1 n 的参数空间为Θ，若对任意的∈Θ，有
均方误差是评价点估计的最一般的标准。我们希望 估计的均方误差越小越好。
注意到
MSE ( ) Var( ) ( E )
ˆ )=Var( ˆ )+(E ˆ - )2 . MSE(
2
(1)
若 ˆ是 的 无 偏 估 计 , 则 M SE ((ˆ ) Var) (ˆ ), ) Var( ˆ M SE
点估计量的评价标准
点估计量的评价标准点估计是统计学中一个重要的概念，它是利用样本数据来估计总体参数的值。
在实际应用中，我们经常需要对总体参数进行估计，而点估计量就是用来估计总体参数的统计量。
在进行点估计时，我们需要对点估计量的表现进行评价，以确保我们得到的估计是准确可靠的。
因此，本文将从偏差、方差和均方误差三个方面对点估计量的评价标准进行详细介绍。
首先，我们来看偏差。
偏差是指估计量的期望值与真实参数值之间的差异。
一个好的点估计量应该是无偏的，即其期望值等于真实参数值。
如果估计量存在偏差，那么它在大量重复抽样的情况下，估计值的平均将会偏离真实参数值。
因此，我们通常会对估计量的偏差进行评价，以确保我们得到的估计是准确的。
其次，方差也是一个重要的评价指标。
方差衡量了估计量的离散程度，即在重复抽样的情况下，估计值的变动程度。
一个好的点估计量应该是具有较小的方差，这意味着在不同的样本中，估计值的变动程度较小，估计结果较为稳定。
因此，我们需要对估计量的方差进行评价，以确保我们得到的估计是稳定可靠的。
最后，我们来看均方误差。
均方误差是衡量估计量的精确程度的指标，它是估计值与真实参数值之间差异的平方的期望值。
一个好的点估计量应该是具有较小的均方误差，这意味着估计值与真实参数值之间的差异较小，估计结果较为精确。
因此，我们需要对估计量的均方误差进行评价，以确保我们得到的估计是精确可靠的。
综上所述，点估计量的评价标准主要包括偏差、方差和均方误差三个方面。
一个好的点估计量应该是无偏的、具有较小的方差和均方误差，这样才能保证估计结果的准确性和可靠性。
因此，在进行点估计时，我们需要对估计量的偏差、方差和均方误差进行综合评价，以确保我们得到的估计是准确、稳定和精确的。
希望本文对点估计量的评价标准有所帮助，谢谢阅读！。
6-2点估计的评价标准
n
n
Var(ˆ1 ) ci2Var(xi ) 2 ci2
n
i 1n
n
i 1
利用柯西不等式 ( aibi )2 ( ai2 )( bi2 ) ,其中等号成立的充要条件是
i 1
i 1
i 1
a1 b1 a2 b2 an bn
而 1
n
ci
2
1 (
n
ci2 )(
n
1) n
判断一致性的三个常用结论
1. 样本 k 阶矩是总体 k阶矩的 相合估计. 即矩估计具有相合性 由辛钦大数定律可证
2. 设ˆn是 的一个估计, 且
定理1
lim
n
E(ˆn
)
lim
n
Var
(ˆn
)
0
定理2 则 ˆn 是 的相合估计量.
用切贝雪夫不 等式证明
3. 若ˆn1 ,ˆn2 ,....,ˆnk 分别是 1,2 ,....,k 的相合
例11. 设 X ~ U (0,θ), x1, x2,…, xn 是 X 的一个
样本, 则由前可知：θ的最大似然估计是x(n).
由于
Ex(n)
n
n 1
所以x(n)不是θ的无偏估计, 而是渐近无偏估计.
但修正后可得θ的一个无偏估计:
ˆ 1
n
n
1
x(
n
)
另由矩法估计可知 ˆ2 2x 也是θ的无偏估计,
n
Var (ˆi )
1
2
n1
n
Var j 1
(
x
j
)
2
n1
ji
. 因此, x比 ˆi的方差小, 因而x比ˆi要优
概率论与数理统计-点估计-矩法估计
x
dx
2
2
0
故令
1
n
n
i2
i 1
2ˆ2
n
于是解得 的矩估计量为
ˆ
1 2n
i2
i 1
估计量的评价 标准
点估计有多种方法，同一个未知参数用不同的方法可得 到不同的估计量，那一个估计量好呢？必须有个评价标准。 评价标准有多种，用不同方法评价，得到的结论也不一样。
因此，说一个估计量的好坏，必须说明是用那一个评价标准 评价的。否则，是没有意义的。
点估计的求法: (两种) 矩估计法和极大似然估计法.
一、 矩估计法 它是基于一种简单的“替换” 思想建立起来的一种估计方法 . 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的 . 其基本思想是用样本矩估计总体矩 .
理论依据: 大数定律
由辛钦大数定理知，
可以用
X
1 n
n i 1
Xi去估计EX,
如.求一个战士的射击命中率?
估计量,这个估计量称为矩估计量.
例2.设 : （， 2），求， 2的矩法估计量。
解：p( ,, 2 )
1
e
(
x )2 2 2
2
E x
1
(x )2
e 2 2 dx
2
xR
E 2 x2
1
(x )2
e 2 2 dx 2 2
2
列方程组：
2
1 n
n i1
2 1
n
i
n i 1
点估计问题就是要构造一个适当的统计量
ˆ(1,2 ,L ,n ),用它的观察值ˆ(x1, x2 ,L , xn ) 来估计未知参数 .
ˆ(1,2,L ,n )称为 的估计量. 通称估计,
2.2 点估计的评价标准
例1 设总体X 的 k 阶矩 k E ( X ) 存在 ( X 1 , X 2 , , X n ) 是总体X 的样本,
k
证明: 不论 X 服从什么分布(但期望存在), 1 n 则 Ak X ik 是 k 的无偏估计量. n i 1 证 由于 E ( X ik ) k i 1,2, , n 因而
智商
组别
人数
智商平均数
样本标准差
甲 组 乙 组
n 6
46
x 78
99
s
19 16
由此结果推断母亲嗜酒是否影响下一 代的智力？若有影响，推断其影响程度有 多大? 提示 前一问题属假设检验问题 后一问题属区间估计问题
解 智商一般受诸多因素的影响.从而可以
假定两组儿童的智商服从正态分布.
N (u1 , )和N (u 2 , )
n
2
因而
n n 1 1 2 2 2 E ( X i X ) E ( X i ) E ( X ) n i 1 n i 1 2 2 2 2 ( ) ( ) n n 1 2 2 n 1 n 2 2 (Xi X ) 故 E 证毕. n 1 i 1
2
估计量
例2 设总体 X 的期望 与方差存在, X 的 样本为 ( X 1 , X 2 , , X n ) (n > 1) . 证明
n 1 2 2 (1) S n ( X i X ) 不是 D( X )的无偏估 n i 1
量; 1 2 (2) S
n 1 i 1
2 ( X X ) i
1 2 故 (n n) p X i X m i 1
2 2
m
第六章点估计教案要点
第六章参数估计在实际问题中, 当所研究的总体分布类型已知, 但分布中含有一个或多个未知参数时, 如何根据样本来估计未知参数，这就是参数估计问题.参数估计问题分为点估计问题与区间估计问题两类.点估计就是用某一个函数值作为总体未知参数的估计值；区间估计就是对于未知参数给出一个范围，并且在一定的可靠度下使这个范围包含未知参数.参数估计问题的一般提法:设有一个统计总体, 总体的分布函数为),(x F ,其中为未知参数(可以是向量). 现从该总体中随机地抽样, 得一样本nX X X ,,,21,再依据该样本对参数作出估计, 或估计参数的某已知函数).(g 第一节点估计问题概述一、点估计的概念设n X X X ,,,21是取自总体X 的一个样本, n x x x ,,,21是相应的一个样本值. 是总体分布中的未知参数, 为估计未知参数, 需构造一个适当的统计量),,,,(?21n X X X 然后用其观察值),,,(?21n x x x 来估计的值.称),,,(?21n X X X 为的估计量. 称),,,(?21n x x x 为的估计值. 在不致混淆的情况下,估计量与估计值统称为点估计,简称为估计, 并简记为?.注: 估计量),,,(?21n X X X 是一个随机变量, 是样本的函数，即是一个统计量, 对不同的样本值,的估计值?一般是不同的.例1设X 表示某种型号的电子元件的寿命(以小时计)，它服从指数分布：.0,00,1),(~/xx ex f X x 为未知参数, 0. 现得样本值为168, 130, 169, 143, 174, 198, 108, 212, 252,试估计未知参数.二、评价估计量的标准估计量的评价一般有三条标准:无偏性; 有效性; 相合性（一致性）.1．无偏性定义1设),,(?1n X X 是未知参数的估计量, 若,)?(E 则称?为的无偏估计量.注: 无偏性是对估计量的一个常见而重要的要求, 其实际意义是指估计量没有系统偏差，只有随机偏差. 在科学技术中, 称)?(E 为用?估计而产生的系统误差.定理1 设n X X ,,1为取自总体X 的样本,总体X 的均值为, 方差为2.则(1) 样本均值X 是的无偏估计量;(2) 样本方差2S 是2的无偏估计量;(3) 样本二阶中心矩ni iX X n12)(1是2的有偏估计量.2．有效性定义2设),,(??111n X X 和),,(??122n X X 都是参数的无偏估计量, 若)?()?(21D D ,则称1?较2?有效.注:在数理统计中常用到最小方差无偏估计, 其定义如下:设n X X ,,1是取自总体X 的一个样本, ),,(?1n X X 是未知参数的一个估计量,若?满足:(1) ,)?(E 即?为的无偏估计;(2) ),?()?(E ?是的任一无偏估计.则称?为的最小方差无偏估计(也称最佳无偏估计).3．相合性(一致性) 定义 3 设),,(??1n X X 为未知参数的估计量, 若?依概率收敛于, 即对任意0, 有,1}|?{|lim P n或,0}|?{|lim P n则称?为的(弱)相合估计量.例2设总体),0(~2N X ,n x x x ,,,21是来自这一总体的样本.(1) 证明ni ix n1221?是2的无偏估计;(2) 求).?(2D 例3设n X X X ,,,21为来自总体X 的样本, X ,),,2,1(n i X i 均为总体均值)(X E 的无偏估计量, 问哪一个估计量有效?例4 设总体),(~2N X ,n X X ,,1为其样本. 试证样本方差2S 是2的相合估计量.课堂练习设总体X 的k 阶矩)1)((kX E kk存在, 又设nX X X ,,,21是X 的一个样本. 试证明不论总体服从什么分布, k 阶样本矩ni k ikXnA 11是k 阶总体矩k的无偏估计量.课后作业：P137 T 3、4第二节点估计的常用方法（1）一、矩估计法矩估计法的基本思想是用样本矩估计总体矩. 因为由在大数定理知, 当总体的k 阶矩存在时,样本的k 阶矩依概率收敛于总体的k 阶矩.例如, 可用样本均值X 作为总体均值)(X E 的估计量, 一般地, 记总体k 阶矩);(kkX E 样本k 阶矩ni kik X n A 11;总体k 阶中心矩;)]([kk X E X E V 样本k 阶中心矩.)(11ni kikX X nB 用相应的样本矩去估计总体矩的方法就称为矩估计法. 用矩估计法确定的估计量称为矩估计量. 相应的估计值称为据估计值. 矩估计量与矩估计值统称为矩估计.求矩估计的方法：设总体X 的分布函数),,;(1k x F 中含有k 个未知参数k,,1, 则(1) 求总体X 的前k 阶矩k,,1，一般都是这k 个未知参数的函数, 记为k i g ki i,,2,1),,,(1（*）(2) 从（*）中解得kjh kj j,,2,1),,,(1(3) 再用),,2,1(k ii 的估计量i A 分别代替上式中的i,即可得),,2,1(k i j的矩估计量:.,,2,1),,,(?1k j A A h k j j注：求,,,1k V V 类似于上述步骤，最后用kB B ,,1代替k V V ,,1，求出矩估计j?),,2,1(k I。
62 点估计的评价标准
通过此例题,我们看到,要证明一个估计量具有相 合性,必须证明它依概率收敛,这有时很麻烦.因此,我们 下面我们不加证明的给出一个相合性的判定定理.
17
ˆ 是的 定 理 6 .1 设 个 估 计 量 ,若 n 一 ˆ ) ˆ )0 lim E ( , 且 lim V a r (
2 C (X X ) i 1 i i 1 n 1
为Var (X)的无偏估计. 分析 需选择C，使
2 E [ C ( X X )] V a rX ( ) i 1 i i 1 n 1
6
2 2 C E ( X X ) E [ C ( X X ) ] 解 i1 i i 1 i
证
k k 故有 E ( X ) E ( X ) ,i 1 , 2 , , n . i k
因为 X , X , , X 与 X 同分布， 1 2 n
1n k k. 即 E ( A ) E ( X k i) n i 1
故 k 阶 样 本 矩 A 是 k 阶 总 体 矩 的 无 偏 估 计 . k k
16
故B A X 2 2
2
2 2 依概率收敛于 E ( X ) [ E ( X )] 2,
所 以 B 是 的 相 合 估 计 量 . 2 n 又 lim 1 , n n 1 n 2 2 所 以 S B 也 是 的 相 合 估 计 量 . n 2 n 1
2
V a r ( X X ) V a r ( X ) V a r ( X ) 2 V a r ( X ) i 1 i i 1 i
E ( X X ) E ( X ) E ( X ) 0 i 1 i i 1 i
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最大似然估计
原理：似然函数：
L(1 ,..., k ) f ( xi ;1 ,..., k )
i 1
n
似然函数是把联合分布中的样本观察值( x1 ,..., xn )
看成1 ,...,k
的函数。
似然的意思就是“好像是”，即“好像是” ( x1 ,..., xn ) 这样一组 1 ,...,k 使得结果 发生 了。
EX 依概率收敛于
r
由方程r (1 ,...,k )
Ar , r 1, 2,...k
ˆ 解得 r
ˆ ( X ,..., X )(r 1,2,...k ) r 1 k
常见分布参数的矩估计量
X X X X X
ˆX b(1, p ), p ˆX P ( ), ˆ 2X U (0, ), 1 ˆ e( ), X 2 2 ˆ N ( , ), X , 2
的评价标准。即 ˆ( x ,..., x ) | ) 0 lim P(| 1 n
n
判断公式:
ˆ( x ,..., x ) 0 lim D 1 n
n n
ˆ( x ,..., x ) ] 0 lim b( ) lim[ E 1 n
n
谢谢！
参数点估计的本质和方法
参数估计的本质：根据样本(x1,x2,…,xn),猜
测总体X分布f(x, θ1, θ2,…,θk)中未知参数θ1, θ2,…,θk的值。 常用的两种参数估计方法： 矩估计法 最大似然估计法
矩估计法
r EX 原理：若总体X的r阶原点矩 存在，样
1 n r 本的r阶原点矩 Ar X i n i 1
似然函数
求解方法：
列出似然函数
写出对数自然函数（如果可以）
求导，令导数为0
求出最大似然估计量
评选估计量的标准
无偏性： 若
ˆ ( x ,...x ) 的数学期望存在且 1 n ˆ ( x ,...x ) E 1 n 则称 ˆ 为无偏估计量。 ( x ,...x )
无偏估计的含义是估计参数与真实参数的误
1 n
差的平均值为0，即只有随机误差，没有系统 误差。
评选估计量的标准
有效性： 若
ˆ ( x ,..., x ) , i 1, 2 E i 1 nˆ 比
2
2
有效。
只有无偏估计量才可以比较有效。
评选估计量的标准
相合性：相合性是综合考虑无偏性和有效性