高考数学 玩转压轴题 专题4.2 与球相关的外接与内切问题

专题4.2 与球相关的外接与内切问题

一．方法综述

如果一个多面体的各个顶点都在同一个球面上，那么称这个多面体是球的内接多面体，这个球称为多面体的外接球.有关多面体外接球的问题，是立体几何的一个重点，也是高考考查的一个热点. 考查学生的空间想象能力以及化归能力.研究多面体的外接球问题，既要运用多面体的知识，又要运用球的知识，解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．并且还要特别注意多面体的有关几何元素与球的半径之间的关系，而多面体外接球半径的求法在解题中往往会起到至关重要的作用。当三棱锥有三条棱垂直或棱长相等时，可构造长方体或正方体。

与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决.如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.当球与多面体的各个面相切时，注意球心到各面的距离相等即球的半径，求球的半径时，可用球心与多面体的各顶点连接，球的半径为分成的小棱锥的高，用体积来求球的半径。

二．解题策略

类型一构造法（补形法）

【答案】 9

【指点迷津】当一三棱锥的三侧棱两两垂直时，可将三棱锥补成一个长方体，将问题转化为长方体（正方体）来解。长方体的外接球即为该三棱锥的外接球。

【例2】一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（）

【答案】A

【解析】

【指点迷津】当一四面体或三棱锥的棱长相等时，可以构造正方体，在正方体中构造三棱锥或四面体，利用三棱锥或四面体与正方体的外接球相同来解即可。

【举一反三】

1、如图所示，设A，B，C，D为球O上四点，AB，AC，AD两两垂直，且AB＝AC＝3，若AD＝R(R为球O的半径)，则球O的表面积为( )

A．πB．2πC．4πD．8π

【答案】D

【解析】因为AB，AC，AD两两垂直，所以以AB，AC，AD为棱构建一个长方体，如图所示，则长方体的各顶点均在球面上，AB＝AC＝3，所以AE＝6，AD＝R，DE＝2R，则有R2＋6＝(2R)2，解得R＝2，所以球的表面积S＝4πR2＝8π.故选D。

2、如图所示，已知三棱锥A-BCD的四个顶点A，B，C，D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC＝3，BC＝2，CD＝5，则球O的表面积为( )

A．12π B．7π C．9π D．8π

【答案】A

【解析】由AC ⊥平面BCD ，BC ⊥CD 知三棱锥A -BCD 可以补成以AC ，BC ，CD 为三条棱的长方体，设球O 的半径为R ，则有(2R )2

＝AC 2

＋BC 2

＋CD 2

＝3＋4＋5＝12，所以S 球＝4πR 2

＝12π.故选A 。

3、在三棱锥A -BCD 中，AB ＝CD ＝6，AC ＝BD ＝AD ＝BC ＝5，则该三棱锥的外接球的表面积为__________． 【答案】43π

【解析】依题意得，该三棱锥的三组对棱分别相等，因此可将该三棱锥补形成一个长方体，设该长方体的

长、宽、高分别为a 、b 、c ，且其外接球的半径为R ，则?????

a 2＋

b 2＝62

，b 2＋c 2＝52

，

c 2＋a 2＝52，

得a 2＋b 2＋c 2＝43，即(2R )2＝a

2

＋b 2

＋c 2

＝43，易知R 即为该三棱锥的外接球的半径，所以该三棱锥的外接球的表面积为4πR 2

＝43π.

类型二 正棱锥与球的外接

【例3】正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的表面积为 （ ） A ．

814π B ．16π C ．9π D ．274

π

【答案】A ．

【指点迷津】求正棱锥外接球的表面积或体积，应先求其半径，在棱锥的高上取一点作为外接球的球心，构造直角三角形，利用勾股定理求半径。

【举一反三】

1、在三棱锥P －ABC 中，PA ＝,侧棱PA 与底面ABC 所成的角为60°，则该三棱锥外接球的体积为（ ）

A ．π B.

3

π

C. 4π

D.

43π

【答案】D

2、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S -ABC 的体积的最大值为( )

A .

3

3

B . 3

C ．2 3

D ．4 【答案】A

【解析】 (1)由于平面SAB ⊥平面ABC ，所以点S 在平面ABC 上的射影H 落在AB 上，根据球的对称性可知，当S 在“最高点”，即H 为AB 的中点时，SH 最大，此时棱锥S -ABC 的体积最大． 因为△ABC 是边长为2的正三角形，所以球的半径r ＝OC ＝23CH ＝23×32×2＝233.

在Rt △SHO 中，OH ＝12OC ＝3

3，

所以SH ＝

? ????2332－? ??

??332＝1， 故所求体积的最大值为13×34×22

×1＝33

.

3、把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为20 cm 的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）

A.cm 310

B. cm 10

C. cm 210

D. cm 30

【答案】B

类型三 直棱柱的外接球

【例4】直三棱柱111ABC A B C -的各顶点都在同一球面上，若12AB AC AA ===,120BAC ∠=?， 则此球的表面积等于 。 【答案】

【解析】在ABC ?中2AB AC ==,120BAC ∠=?,可得BC =,由正弦定理,可得ABC ?外接圆半径

r=2,设此圆圆心为O '，球心为O ，在RT OBO '?中，易得球半径R =故此球的表面积为2420R ππ=. 【指点迷津】直棱柱的外接球的球心在上、下底面的外接圆的圆心的连线上，确定球心，用球心、一底面的外接圆的圆心，一顶点构成一个直角三角形，用勾股定理得关于外接球半径的关系式，可球的半径。 【举一反三】

1、已知直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的各顶点都在同一球面上，若AB ＝AC ＝AA 1＝2，∠BAC ＝90°，则该球的体积等于________． 【答案】43π

【解析】设该球的球心为O ，△ABC 所在圆面的圆心为O 1，则OO 1⊥平面ABC 且OO 1＝1.在△ABC 中，因为AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝90°，所以△ABC 外接圆的半径r ＝12BC ＝12AB 2＋AC 2＝2，所以该球的半径R ＝r 2＋O 1O

2＝（2）2＋12＝3，所以该球的体积V ＝43

πR 3

＝43π.

2、已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上,若34AB AC ==，,AB AC ⊥,112AA =,

则球O 的半径为 （ ）

A B ．C ．

132

D ．【答案】C

【解析】由球心作面ABC 的垂线，则垂足为BC 中点M 。计算AM=

5

2

，由垂径定理，OM=6，所以半径

13

2

=

,选C. 3、 正四棱柱1111ABCD A B C D -的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最 值，为 .

【答案】大

三．强化训练

1、矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体ABCD 的外接球的体积是( ) A.

π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3

125

【答案】 C

2、棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -的8个顶点都在球O 的表面上，E F ，分别是棱1AA ，1DD 的中点，则直线EF 被球O 截得的线段长为（ ）

A B ．1

C ．1+

D

【答案】 D

3、如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球

面恰好接触水面时测得水深为6cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为

（ ）

A ．

3

5003

cm π B ．

3

8663

cm π C ．

313723

cm π

D ．

3

20483

cm π 【答案】A

【解析】设正方体上底面所在平面截球得小圆M ，则圆心M 为正方体上底面正方形的中心．如图． 设球的半径为R ，根据题意得球心到上底面的距离等于（R ﹣2）cm ，而圆M 的半径为4，由球的截面圆性质，得R 2

=（R ﹣2）2

+42

，

解出R=5，所以根据球的体积公式，该球的体积V=

=

=

．故选A ．

4、如图是一个几何体的三视图， 则这个几何体外接球的表面积为( )

A ．8π

B ．16π

C ．32π

D ．64π

【答案】C

【解析】 该几何体为一个四棱锥，其外接球的球心为底面正方形的中心，所以半径为22，表面积为4π×(22)2

＝32π.故选C 。

5、已知四棱锥S -ABCD 的所有顶点在同一球面上，底面ABCD 是正方形且球心O 在此平面内，当四棱锥的体积取得最大值时，其表面积等于16＋163，则球O 的体积等于( )

A.

42π3 B.162π3 C.322π3 D.642π

3

【答案】D

6、将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为 ( )

【答案】C

球的外切正四面体，这个小球球心与外切正四面体的中心重合，而正四面体的中心到顶点的距离是中心到地面距离的3倍。

7、在正三棱锥S ABC -中，M N 、分别是棱SC BC 、的中点，且AM MN ⊥,若侧棱SA =,则正三棱锥ABC S -外接球的表面积是 。 【答案】π36

8、【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA =AC ，SB =BC ，三棱锥S-ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________． 【答案】36π

因为平面SAC ⊥平面SBC 所以OA ⊥平面SBC 设OA r =

31111

23323

A SBC SBC V S OA r r r r -?=??=????=

所以31933

r r =?=，所以球的表面积为2436r ππ=

9、球O 的球面上有四点S ，A ，B ，C ，其中O ，A ，B ，C 四点共面，△ABC 是边长为2的正三角形，平面SAB ⊥平面ABC ，则棱锥S -ABC 的体积的最大值为( )

A .

3

3

B . 3

C ．2 3

D ．4 【答案】A

10、矩形ABCD 中，4,3,AB BC ==沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D --,则四面体

ABCD 的外接球的体积是( )

A.

π12125 B.π9125 C.π6125 D.π3

125

【答案】 C

11、在半径为R 的球内放入大小相等的4个小球，则小球的半径的最大值为（ ） 【答案】R r )26(-=

12、如图K38-16所示，ABCD -A 1B 1C 1D 1是边长为1的正方体，S -ABCD 是高为1的正四棱锥，若点S ，A 1，B 1，

C 1，

D 1在同一个球面上，则该球的表面积为( )

图K38-16

A.

916π B.2516π C.4916π D.8116

π 【答案】D

【解析】 如图所示作辅助线，易知球心O 在SG 1上，设OG 1＝x ，则OB 1＝SO ＝2－x ，同时由正方体的性质知B 1G 1＝22，则在Rt △OB 1G 1中，由勾股定理得OB 21＝G 1B 21＋OG 21，即(2－x)2＝x 2

＋? ????222，解得x ＝78，所以球的

半径R ＝2－78＝98，所以球的表面积S ＝4πR 2

＝8116

π.