高考数学玩转压轴题专题3.2复杂数列的求和问题

专题3.2 复杂数列的求和问题一．方法综述数列的求和问题是数列高考中的热点问题， 数列的求和问题会渗透多种数学思想，会跟其他知识进行结合进行考查.因此求解过程往往方法多、灵活性大、技巧性强，但万变不离其宗，只要熟练掌握各个类型的特点即可.在考试中时常会考查一些压轴小题，如数列求和中的新定义问题、子数列中的求和问题、奇偶性在数列求和中的应用、周期性在数列求和中的应用、数列求和的综合问题中都有所涉及，本讲就这类问题进行分析. 二．解题策略类型一 数列求和中的新定义问题【例1】【2018届广东省中山市第一中学高三月考】定义12nnp p p ++L 为n 个正数1p ， 2p ， L ， np 的“均倒数”，若已知数列{}n a 的前n 项的“均倒数”为121n +，又14n n a b +=，则122334201720181111b b b b b b b b ++++=L （ ） A.20152016 B. 20162017 C. 20172018 D. 12017所以1223342017201811111111112017112232017201820182018b b b b b b b b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ，故选C ． 【答案】C【指点迷津】1.“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 2.解决此类问题的一些技巧：（1）此类问题在设立问题中通常具有“环环相扣，层层递进”的特点，第（1）问让你熟悉所创设的定义与背景，第（2），（3）问便进行进一步的应用，那么在解题的过程中要注意解决前面一问中的过程与结论，因为这本身就是对“新信息”的诠释与应用.抓住“新信息”的特点，找到突破口，第（2）（3）问便可寻找到处理的思路（2）尽管此类题目与传统的数列“求通项，求和”的风格不同，但其根基也是我们所学的一些基础知识与方法.所以在考虑问题时也要向一些基本知识点靠拢，弄清本问所考察的与哪个知识点有关，以便找到一些线索.（3）在分类讨论时要遵循“先易后难”的原则，以相对简单的情况入手，可能在解决的过程中会发现复杂情况与该情况的联系，或者发现一些通用的做法与思路，使得复杂情况也有章可循.【举一反三】【2018安徽省巢湖市柘皋中学第三次月考】已知数列{}n a 的前n 项和为n S，定义11ni i S n =∑为数列{}n a 前n 项的叠加和，若2016项数列1232016,,,a a a a L 的叠加和为2017，则2017项数列1220161,,,a a a L 的叠加和为( )A. 2017B. 2018C. 22017D. 22018故选A ． 【答案】A类型二 子数列中的求和问题【例2】【河南省南阳市2018届高三上学期期中质量评估】已知有穷数列{}n a 中， 1,2,3,,729n =L ，且()()1211n n a n +=--，从数列{}n a 中依次取出2514,,,a a a L 构成新数列{}n b ，容易发现数列{}n b 是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列{}n a 的所有项的和为S ，数列{}n b 的所有项的和为T ，则（ ） A. S T > B. S T = C. S T < D. S 与T 的大小关系不确定 【解析】因为()728135727291127292s =-+-++⨯-=+⨯=L ，()()()133372921n nn b -=--=-≤⨯-，所以6n ≤，当6n =时， 6729b =是n a 中第365项，符合题意，所以()()()()631354613T ---==--,所以S T >，选A.【答案】A【指点迷津】一个数列中某些项的求和问题，关键在于弄清楚新的数列的形式，了解其求和方法. 【举一反三】【安徽省淮南市第二中学、宿城第一中学2018届高三第四次考试】已知*n N ∈，集合13521,,,,2482n n n M -⎧⎫=⎨⎬⎩⎭L ，集合n M 的所有非空子集的最小元素之和为n T ，则使得80n T >的最小正整数n 的值为（ ）A. 12B. 13C. 14D. 15∴n T =S 1+S 2+S 3+…+S n =212n -+2237531......222442n n --++++=则21802n -> 的最小正整数n 为13 故选B 【答案】B类型三 奇偶性在数列求和中的应用【例3】【江苏省淮安中学2018届高三数学月考】已知函数()()2cos f n n n π=，且()()1n a f n f n =++，则123a a a ++++L 100a =__________．【解析】n 为偶数时， ()22121n a n n n =-+=-- ； n 为奇数时， ()22121n a n n n =-++=+ ；123a a a ++++L 100a = 3579199201250100-+-++-=-⨯=-L【答案】-100【指点迷津】数列求和中遇到n)1(-，πn sin ，πn cos 都会用到奇偶性，进行分类讨论.再采用分组转化法求和或者并项求和的方法，即通过两个一组进行重新组合，将原数列转化为一个等差数列. 分组转化法求和的常见类型还有分段型（如,{2,n n n n a n =为奇数为偶数）及符号型（如()21nn a n =- ）【举一反三】【黑龙江省大庆实验中学2018届高三上学期期中考试】设数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知22a =,()1211n n n a a -++-=,则40S =______【答案】240类型四 周期性在数列求和中的应用【例4】【2018陕西西安长安区五中二模】数列{}n a 满足12sin122n n n a a n π+⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，则数列{}n a 的前100项和为__________．【答案】5100【指点迷津】本题主要考查数列的周期性，数列是定义域为正整数集或它的子集的函数，因此数列具有函数的部分性质，本题观察到条件中有sin2n π ，于是考虑到三角函数的周期性，构造()sin 2f n n π=⋅，周期为4，于是研究数列中依次4项和的之间的关系，发现规律，从而转化为熟悉的等差数列求和问题.解决此类问题要求具有观察、猜想、归纳能力，将抽象数列转化为等差或等比数列问题. 【举一反三】已知数列{}n α满足221221,2,1cos sin ,22n nn n a a a a ππ+⎛⎫===++ ⎪⎝⎭则该数列的前21项的和为__________．【解析】n 为奇数时， 22cos 0sin 122n n ππ==，； n 为偶数时， 22cos 1sin 022n n ππ==，；所以n 为奇数时有21n n a a +=+； n 为偶数时22n a n +=; 即奇数项为等差数列，偶数项为等比数列. 所以()()()()()10210112113521246202212111S 12311222611222112221a a a a a a a a -⨯=+++++++=++++++++=+=⨯+-=-L L L L .【答案】2112类型五 数列求和的综合问题【例5】【2017届陕西省西安市铁一中学高三上学期第五次模拟】数列{}n a 满足()2*114,13n n n a a a a n N +==-+∈，则122017111a a a +++L 的整数部分是__________． 【答案】2【指点迷津】本题考查了数列的综合应用问题，其中解答中涉及到数列的通项公式，数列的裂项求和，数列的单调性的应用等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题有一定的难度，属于难题，本题的借助数列递推关系，化简数列为111111n n na a a +=---，再借助数列的单调性是解答的关键.【举一反三】【2017福建外国语学校高三月考】已知数列{}n x 满足21||n n n x x x ++=-（*n N ∈），若11x =，2x a =（1a ≤，0a ≠），且3n n x x +=对于任意正整数n 均成立，则数列{}n x 的前2015项和2015S 的值为 ．（用具体的数字表示）【答案】1344 三．强化训练1．【江西省新余市第一中学2017届高三高考全真模拟考试】数列{}n a 是以a 为首项， q 为公比的等比数列，数列{}n b 满足()1211,2,n n b a a a n =++++=L L ，数列{}n c 满足()1221,2,n n c b b b n =++++=L L ，若{}n c 为等比数列，则a q +=（ ）25【答案】B【解析】由题意，1n n a ab-=，则()111111n nn a b a ab b bb b-=+=+----，得()121?111nn b b a a C n b b b -⎛⎫=++- ⎪---⎝⎭ ()()12212111n ab b a ab n b b b +-+=-++---,要使{}n C 为等比数列，必有()2201{101abb b ab-=--+=-，得1{,32a ab b =+==，故选B.2.【江西省赣州市南康中学2018届高三月考】已知数列： 1,1,2,1,2,4,1,2,4,8,1,2,4,8,16,...，即此数列第一项是02，接下来两项是012,2，再接下来三项是0122,2,2，依此类推，……，设n S 是此数列的前n 项的和，则2017S =（ ）A. 64622- B. 63622- C. 64522- D. 63522- 【答案】A【解析】将数列分组：第一组有一项02；第二组有二项012+2；第n 项有n 项0112+2221n n -+=-，前63项组共有636420162⨯=，()()0010120150201722+2...2+2...22S ∴=++++++()()()126302121...212=-+-++-+()()26322...21+1+1...11=+++-++()6364646212622642212-=-=-=--，故选A.3.【2017届黑龙江省哈尔滨市第九中学高三二模】已知数列{}n a 的通项公式为()()()*121?cos1N 2nn n a n n π=--+∈，其前n 项和为n S ，则60S =（ ） A. 30- B. 60- C. 90 D. 120 【答案】D4.【福建省福州第一中学2017届高三5月质检】已知数列满足，（，），则的整数部分是( )A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】B【解析】121111,,222n n n a a a a a +-===+Q ，所以可得111111*********i i i i i i i i i a a a a a a a a a -+-+-+⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，20172111223233420152016201620171220162017201620172016201711111111111111...=4222222i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-=--=-< ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∑ 2017212i =∴<<∑ ， 20172111i i i a a =-+∑的整数部分是1 ， 故选B.5.【2017届江西省鹰潭市高三第一次模拟考试数学】已知函数()()2cos f n n n π=，且()()1n a f n f n =++，则12100a a a ++⋯+=（ ）A. 100-B. 0C. 100D. 10200 【答案】A6.【2017届湖北省荆、荆、襄、宜四地七校考试联盟高三2月联考】数列满足，且，记为数列的前项和，则( )A.B.C.D.【答案】D 【解析】由得,所以数列为等差数列，因此,因此,,选D.7.【2018届安徽池州一中月考】在数列{}n a 中，若存在非零整数T ，使得m T m a a +=对于任意的正整数m 均成立，那么称数列{}n a 为周期数列，其中T 叫做数列{}n a 的周期，若数列{}n x 满足11||(2,)n n n x x x n n N +-=-≥∈，如121,x x a ==（,0a R a ∈≠），当数列{}n x 的周期最小时，该数列的前2016项的和是（ ）A ．672B ．673C ．1342D ．1344 【答案】D8.【湖南省长沙市长郡中学2018届高三第三次月考】已知函数()()[)()[)112,2,21,2{122,21,22,2nn xsin n x n n f x xsinn x n n ππ+-+∈+=-++∈++（N n ∈），若数列{}n a 满足()()*N m a f m m =∈，数列{}m a 的前m 项的和为m S ，则10596S S -=（ ） A. 909 B. 910 C. 911 D. 912 【答案】A【解析】函数()()[)()[)112,2,212{,122,21,222nn xsin n x n n f x n N xsinn x n n ππ+-+∈+=∈-++∈++，数列{}n a 满足()()*m a f m m N =∈，105969798105...S S a a a ∴-=+++=4849522482249 (2522222)sinsin sin πππ-+⨯+-+⨯+++⨯+= 909 ，故选A. 9.【贵州省遵义市遵义四中2018届高三第三次月考】在数1和2之间插入n 个正数，使得这2n +个数构成递增等比数列，将这2n +个数的乘积记为n A ，令2log n n a A =， *n N ∈，2446222tan ?tan tan ?tan tan ?tan n n n T a a a a a a +=+++=L ______．【答案】()tan 2tan2n tan1n +--10.【安徽省黄山市2017届高三第二次模拟考试】设()A n 表示正整数n 的个位数， ()()2,n a A n A n A =-为数列{}n a 的前202项和，函数()1xf x e e =-+，若函数()g x 满足()11x Ax f g x A -⎡⎤-=⎢⎥⎣⎦，且()()*N n b g n n =∈，则数列{}n b 的前n 项和为__________．【答案】2332nn n +-+ 【解析】由题意得，1234560,2,6,2,0,0a a a a a a ======，7891011122,4,8,0,0,2a a a a a a ==-=-===，…, 可得{}n a 是周期为10的周期数列， 12310...0a a a a ++++=，前202项和为122a a +=，即2A =， ()1x f x e e =-+Q 单调递增，且()()111,1Ax f g x Ax-=∴-=， ()()21211,122nx nx n g x b g n --=+==+， ()211113...21,222n n S n n =⨯+⨯++-⨯+，设()211113 (21222)n nT n =⨯+⨯++-⨯，()()211111113 (23212)2222n n n T n n +=⨯+⨯++-⨯+-⨯， 相式()21111112...22122222n n n T n +=+⨯++⨯--⨯，可得23233,322n n n n T S n n n ++=-=-+，故答案为2332n n n+-+.11.【四川省内江市高中2018届高三第一次模拟考试】已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，1831,3a a a ==，则31241223341n n n a a a aS S S S S S S S ++++++=L _____________. 【答案】()2111n -+12.【河南省中原名校（豫南九校）2018届高三上学期第四次质量考评（期中）】已知数列{}n a 满足11a =，122n n n a a a +=+.记2nn nC a =，则数列{}n C 的前n 项和12...n C C C +++=__________．【答案】2n n ⋅。