高中数学必修2第二章点、直线、平面之间的位置关系测试题+答案
第二章直线与平面的位置关系测试题一、选择题1．设，为两个不同的平面，l，m 为两条不同的直线，且l ⊂，m⊂β，有如下的两个命题：①若∥，则l∥m；②若l⊥m，则⊥．那么( )．A．①是真命题，②是假命题B．①是假命题，②是真命题C．①②都是真命题D．①②都是假命题2．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误．．的是( )．A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC ．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB 1角为60°(第2题) 3．关于直线m，n与平面，，有下列四个命题：①m∥，n ∥且∥，则m∥n；②m ⊥，n ⊥且⊥，则m⊥n；③m⊥，n ∥且∥，则m⊥n；④m∥，n⊥且⊥，则m∥n．其中真命题的序号是( )．A．①②B．③④C．①④D．②③4．给出下列四个命题：①垂直于同一直线的两条直线互相平行②垂直于同一平面的两个平面互相平行③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线其中假．命题的个数是( )．A．1 B．2 C．3 D．45．下列命题中正确的个数是( )．①若直线l上有无数个点不在平面内，则l∥②若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都平行③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行④若直线l与平面平行，则l与平面内的任意一条直线都没有公共点A．0个B．1个C．2个D．3个6．两直线l1与l2异面，过l1作平面与l2平行，这样的平面( )．A．不存在B．有唯一的一个C．有无数个D．只有两个7．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )．A．90°B．60°C．45°D．30°8．下列说法中不正确的．．．．是( )．A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直9．给出以下四个命题：①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直其中真命题的个数是( )．A．4 B．3 C．2 D．110．异面直线a ，b 所成的角60°，直线a ⊥c ，则直线b 与c 所成的角的范围为( )．A ．[30°，90°] B．[60°，90°] C ．[30°，60°]D ．[30°，120°] 二、填空题11．已知三棱锥P －ABC 的三条侧棱PA ，PB ，PC 两两相互垂直，且三个侧面的面积分别为S 1，S 2，S 3，则这个三棱锥的体积为 ．12．P 是△ABC 所在平面外一点，过P 作PO ⊥平面，垂足是O ，连PA ，PB ，PC ．(1)若PA ＝PB ＝PC ，则O 为△ABC 的 心； (2)PA ⊥PB ，PA ⊥PC ，PC ⊥PB ，则O 是△ABC 的 心；(3)若点P 到三边AB ，BC ，CA 的距离相等，则O 是△ABC 的 心； (4)若PA ＝PB ＝PC ，∠C ＝90º，则O 是AB 边的 点； (5)若PA ＝PB ＝PC ，AB ＝AC ，则点O 在△ABC 的 线上． 13．如图，在正三角形ABC 中，D ，E ，F 分别为各边的中点，G ，H ，I ，J 分别为AF ，AD ，BE ，DE 的中点，将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为 ．14．直线l 与平面 所成角为30°，l ∩＝A ，直线m ∈，则m 与l 所成角的取值范围 是 ．15．棱长为1的正四面体内有一点P ，由点P 向各面引垂线，垂线段长度分别为d 1，d 2，d 3，d 4，则d 1＋d 2＋d 3＋d 4的值为 ．16．直二面角－l －的棱上有一点A ，在平面，内各有一条射线AB ，AC 与l 成45°，AB ⊂，AC ⊂，则∠BAC ＝ ．J(第13题)三、解答题17．在四面体ABCD中，△ABC与△DBC都是边长为4的正三角形．(1)求证：BC⊥AD；(2)若点D到平面ABC的距离等于3，求二面角A－BC－D的正弦值；(3)设二面角A－BC－D的大小为，猜想为何值时，四面体A－BCD的体积最大．(不要求证明)(第17题)18．如图，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BB 1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连结ED，EC，EB和DB．(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；(2)求二面角E－DB－C的正切值.(第18题)19*．如图，在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ－ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，1．SA⊥面ABCD，SA＝AB＝BC＝１，AD＝2(1)求四棱锥S—ABCD的体积；(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．(提示：延长BA，CD相交于点E，则直线SE是所求二面角的棱.)(第19题)20*．斜三棱柱的一个侧面的面积为10，这个侧面与它所对棱的距离等于6，求这个棱柱的体积．(提示：在AA1上取一点P，过P作棱柱的截面，使AA1垂直于这个截面.)(第20题)第二章点、直线、平面之间的位置关系参考答案一、选择题1．D 解析：命题②有反例，如图中平面∩平面＝直线n，l⊂，m⊂，且l∥n，m⊥n，则m⊥l，显然平面不垂直平面，(第1题)故②是假命题；命题①显然也是假命题，2．D解析：异面直线AD与CB1角为45°．3．D解析：在①、④的条件下，m，n的位置关系不确定．4．D解析：利用特殊图形正方体我们不难发现①②③④均不正确，故选择答案D．5．B解析：学会用长方体模型分析问题，A1A有无数点在平面ABCD外，但AA1与平面ABCD相交，①不正确；A1B1∥平面ABCD，显然A1B1不平行于BD，②不正确；A1B1∥AB，A1B1∥平面ABCD，但AB⊂平面ABCD内，③不正确；l与平面α平行，则l与无公共点，l与平面内的所有直线都没有公共点，④正确，应选B． (第5题)6．B解析：设平面过l1，且l2∥，则l1上一定点P与l2确定一平面，与的交线l3∥l2，且l3 过点P. 又过点P与l2平行的直线只有一条，即l3有唯一性，所以经过l1和l3的平面是唯一的，即过l1且平行于l2的平面是唯一的.7．C解析：当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．8．D解析：A．一组对边平行就决定了共面；B．同一平面的两条垂线互相平行，因而共面；C．这些直线都在同一个平面内即直线的垂面；D．把书本的书脊垂直放在桌上就明确了．9．B 解析：因为①②④正确，故选B ．10．A 解析：异面直线a ，b 所成的角为60°，直线c ⊥a ，过空间任一点 P ，作直线 a ’∥a ， b ’∥b ， c ’∥c . 若a ’，b ’，c ’ 共面则 b ’ 与 c ’ 成 30° 角，否则 b ’ 与 c ’ 所成的角的范围为(30°，90°]，所以直线b 与c 所成角的范围为[30°，90°] ．二、填空题 11．313212S S S ．解析：设三条侧棱长为 a ，b ，c ．则 21ab ＝S 1，21bc ＝S 2，21ca ＝S 3 三式相乘： ∴ 81a 2 b 2 c 2＝S 1S 2S 3， ∴ abc ＝23212S S S ． ∵ 三侧棱两两垂直， ∴ V ＝31abc ·21＝313212S S S ．12．外，垂，内，中，BC 边的垂直平分．解析：(1)由三角形全等可证得 O 为△ABC 的外心；(2)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的垂心； (3)由直线和平面垂直的判定定理可证得，O 为△ABC 的内心； (4)由三角形全等可证得，O 为 AB 边的中点；(5)由(1)知，O 在 BC 边的垂直平分线上，或说 O 在∠BAC 的平分线上． 13．60°．解析：将△ABC 沿DE ，EF ，DF 折成三棱锥以后，GH 与IJ 所成角的度数为60°．14．[30°，90°]．解析：直线l 与平面所成的30°的角为m 与l所成角的最小值，当m 在内适当旋转就可以得到l ⊥m ，即m 与l 所成角的的最大值为90°．15．36．解析：作等积变换：4331⨯×(d 1＋d 2＋d 3＋d 4)＝4331⨯·h ，而h ＝36． 16．60°或120°．解析：不妨固定AB ，则AC 有两种可能． 三、解答题17．证明：(1)取BC 中点O ，连结AO ，DO ． ∵△ABC ，△BCD 都是边长为4的正三角形， ∴AO ⊥BC ，DO ⊥BC ，且AO ∩DO ＝O ， ∴BC ⊥平面AOD ．又AD ⊂平面AOD ，∴BC ⊥AD ． (第17题) 解：(2)由(1)知∠AOD 为二面角A －BC －D 的平面角，设∠AOD ＝，则过点D 作DE ⊥AD ，垂足为E ．∵BC ⊥平面ADO ，且BC ⊂平面ABC ，∴平面ADO ⊥平面ABC ．又平面ADO ∩平面ABC ＝AO ， ∴DE ⊥平面ABC ．∴线段DE 的长为点D 到平面ABC 的距离，即DE ＝3． 又DO ＝23BD ＝23，在Rt △DEO 中，sin＝DODE ＝23，故二面角A －BC －D 的正弦值为23． (3)当＝90°时，四面体ABCD 的体积最大．18．证明：(1)在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，BB 1＝BC ＝1，E 为D 1C 1的中点．∴△DD 1E 为等腰直角三角形，∠D 1ED ＝45°．同理∠C 1EC ＝45°．∴︒=∠90DEC ，即DE ⊥EC ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，BC ⊥平面11DCC D ，又DE ⊂平面11DCC D ， ∴BC ⊥DE ．又C BC EC = ，∴DE ⊥平面EBC ．∵平面DEB 过DE ，∴平面DEB ⊥平面EBC ．(2)解：如图，过E 在平面11DCC D 中作EO ⊥DC 于O ．在长方体ABCD －1111D C B A 中，∵面ABCD⊥面11DCC D ，∴EO ⊥面ABCD ．过O 在平面DBC 中作OF ⊥DB 于F ，连结EF ，∴EF ⊥BD ．∠EFO为二面角E －DB －C 的平面角．利用平面几何知识可得OF ＝51， (第18题)又OE ＝1，所以，tan ∠EFO ＝5．19*．解：(1)直角梯形ABCD 的面积是M 底面＝AB AD BC ⋅)(＋21＝43＝1221＋1⨯，∴四棱锥S —ABCD 的体积是V ＝31·SA ·M 底面＝31×1×43＝41． (2)如图，延长BA ，CD 相交于点E ，连结SE ，则SE 是所求二面角的棱． ∵AD ∥BC ，BC ＝2AD ， ∴EA ＝AB ＝SA ，∴SE ⊥SB∵SA ⊥面ABCD ，得面SEB ⊥面EBC ，EB 是交线． 又BC ⊥EB ，∴BC ⊥面SEB ，故SB 是SC 在面SEB 上的射影，∴CS ⊥SE ，∠BSC 是所求二面角的平面角． ∵SB ＝22＋AB SA ＝2，BC ＝1，BC ⊥SB ， ∴tan ∠BSC ＝22＝SB BC ， (第19题)即所求二面角的正切值为22． 20*．解：如图，设斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧面BB 1C 1C 的面积为10，A 1A 和面BB 1C 1C 的距离为6，在AA 1上取一点P 作截面PQR ，使AA 1⊥截面PQR ，AA 1∥CC 1，∴截面PQR ⊥侧面BB 1C 1C ，过P 作PO ⊥QR 于O ，则PO ⊥侧面BB 1C 1C ，且PO ＝6． ∴V 斜＝S △PQR ·AA 1＝21·QR ·PO ·AA 1＝21·PO ·QR ·BB 1 ＝21×10×6 ＝30．(第20题)。
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之间的位置关系》(含答案)
高中数学人教版必修二第二章《点、直线、平面之前的位置关系》（含答案）一、选择题1．下列说法正确的个数是()①若直线a，b相交，b，c相交，则a，c相交；②若a∥b，则a，b与c所成的角相等；③若a⊥b，b⊥c，则a∥c.A．3B．2C．1 D．0【解析】①中a与c也可能异面，③中a与c也可能相交或异面，②正确．【答案】C2．a、b为异面直线是指①a∩b＝∅，且a不平行于b；②a⊂平面α，b⊄平面α，且a∩b ＝∅；③a⊂平面α，b⊂平面β，且α∩β＝∅；④不存在平面α能使a ⊂α，且b⊂α成立．()A．①②③B．①③④C．②③ D．①④【解析】②③中的a，b有可能平行，①④符合异面直线的定义．【答案】D3．下列选项中，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，并且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的一个图是()【解析】易知选项A，B中PQ∥RS，选项D中RS与PQ相交，只有选项C中RS与PQ是异面直线．【答案】C4．如图2119所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F、G、H 分别为AA1、AB、B1B、B1C1的中点，则异面直线EF与GH所成的角等于()图2119A．45°B．60°C．90°D．120°【解析】连接A1B，BC1，因为E、F、G、H分别是AA1、AB、BB1、B1C1的中点．A1B∥EF，BC1∥GH.∴A1B和BC1所成角为异面直线EF与GH所成角，连接A1C1知，△A1BC1为正三角形，故∠A1BC1＝60°.【答案】B5．如图2120，三棱柱ABCA1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是()图2120A．CC1与B1E是异面直线B．C1C与AE共面C．AE与B1C1是异面直线D．AE与B1C1所成的角为60°【解析】由于CC1与B1E都在平面C1B1BC内，故C1C与B1E 是共面的，所以A错误；由于C1C在平面C1B1BC内，而AE与平面C1B1BC相交于E点，点E不在C1C上，故C1C与AE是异面直线，B错误；同理AE与B1C1是异面直线，C正确；而AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，E为BC中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，D错误．【答案】C二、填空题6．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是________(写出所有符合要求的图形序号)．图229【解析】①设MP中点为O，连接NO.易得AB∥NO，又AB⊄平面MNP，所以AB∥平面MNP.②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．③易知AB∥MP，所以AB∥平面MNP.④易知存在一直线MC∥AB，且MC⊄平面MNP，所以AB与平面MNP不平行．【答案】①③7．在如图2210所示的几何体中，三个侧面AA1B1B，BB1C1C，CC1A1A都是平行四边形，则平面ABC与平面A1B1C1平行吗？______(填“是”或“否”)．图2210【解析】因为侧面AA1B1B是平行四边形，所以AB∥A1B1，因为AB⊄平面A1B1C1，A1B1⊂平面A1B1C1，所以AB∥平面A1B1C1，同理可证：BC∥平面A1B1C1.又因为AB∩BC＝B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，所以平面ABC∥平面A1B1C1.【答案】是三、解答题8．如图2224，在三棱柱ABCA1B1C1中，M是A1C1的中点，平面AB1M∥平面BC1N，AC∩平面BC1N＝N.求证：N为AC的中点．图2224【证明】因为平面AB1M∥平面BC1N，平面ACC1A1∩平面AB1M＝AM，平面BC1N∩平面ACC1A1＝C1N，所以C1N∥AM，又AC∥A1C1，所以四边形ANC1M为平行四边形，所以AN＝C1M＝21A1C1＝21AC，所以N为AC的中点．9．如图2225，平面EFGH分别平行于CD，AB，E，F，G，H 分别在BD，BC，AC，AD上，且CD＝a，AB＝b，CD⊥AB.(1)求证：EFGH是矩形．(2)设DE＝m，EB＝n，求矩形EFGH的面积．图2225【解】(1)证明：因为CD∥平面EFGH，而平面EFGH∩平面BCD＝EF，所以CD∥EF.同理HG∥CD，所以EF∥HG.同理HE∥GF，所以四边形EFGH是平行四边形．由CD∥EF，HE∥AB，所以∠HEF为CD和AB所成的角．又因为CD⊥AB，所以HE⊥EF.所以四边形EFGH是矩形．(2)由(1)可知在△BCD中，EF∥CD，DE＝m，EB＝n，所以CD EF ＝DB BE .又CD ＝a ，所以EF ＝m ＋n n a . 由HE ∥AB ，所以AB HE ＝DB DE .又因为AB ＝b ，所以HE ＝m ＋n mb .又因为四边形EFGH 为矩形，所以S 矩形EFGH ＝HE ·EF ＝m ＋n m b ·m ＋n n a ＝(m ＋n2mn ab .10．对于直线m 、n 和平面α，下列命题中正确的是( )A ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n ∥αB ．如果m ⊂α，n ⊄α，m 、n 是异面直线，那么n 与α相交C ．如果m ⊂α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥nD ．如果m ∥α，n ∥α，m 、n 共面，那么m ∥n【解析】 对于A ，如图(1)所示，此时n 与α相交，故A 不正确；对于B ，如图(2)所示，此时m ，n 是异面直线，而n 与α平行，故B 不正确；对于D ，如图(3)所示，m 与n 相交，故D 不正确．故选C.图(1) 图(2) 图(3)【答案】 C11．如图2226，三棱柱ABCA 1B 1C 1中，底面是边长为2的正三角形，点E ，F 分别是棱CC 1，BB 1上的点，点M 是线段AC 上的动点，EC ＝2FB ＝2，当点M 在何位置时，BM ∥平面AEF .图2226【解】如图，取EC的中点P，AC的中点Q，连接PQ，PB，BQ，则PQ∥AE.因为EC＝2FB＝2，所以PE＝BF.所以四边形BFEP为平行四边形，所以PB∥EF.又AE，EF⊂平面AEF，PQ，PB⊄平面AEF，所以PQ∥平面AEF，PB∥平面AEF.又PQ∩PB＝P，所以平面PBQ∥平面AEF.又BQ⊂平面PBQ，所以BQ∥平面AEF.故点Q即为所求的点M，即点M为AC的中点时，BM∥平面AEF.。
高中数学必修二 点直线平面间位置关系章末检测题 答案解析版
必修二第二章点、直线、平面间位置关系检测试题(基础级)(时间:90分钟满分:120分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列命题正确的是()A.没有公共点的两条直线是平行直线B.互相垂直的两条直线是相交直线C.既不平行又不相交的两条直线是异面直线D.不在同一平面内的两条直线是异面直线【解析】没有公共点的两条直线还可能异面,所以A选项不正确;互相垂直的直线还可能是异面直线,所以B选项不正确;D选项中,缺少任一平面内,所以D选项不正确;很明显C选项正确.【答案】C2.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,异面直线AB,A1D1所成的角等于()A.30°B.45°C.60°D.90°【解析】由于AD∥A1D1,则∠BAD是异面直线AB,A1D1所成的角,很明显∠BAD=90°.【答案】D3.对两条不相交的空间直线a与b,必存在平面α,使得()A.a⊂α,b⊂αB.a⊂α,b∥αC.a⊥α,b⊥αD.a⊂α,b⊥α【解析】对于选项A,当a与b是异面直线时,A错误;对于选项B,若a,b不相交,则a与b平行或异面,都存在α,使a⊂α,b∥α,B正确;对于选项C,a⊥α,b⊥α,一定有a∥b,但当a与b异面时,不存在平面α,使结论成立,C错误;对于选项D,a⊂α,b⊥α,一定有a⊥b,但当a与b平行时,不存在平面α,使结论成立,D错误.【答案】B4.给出下列四个命题:①垂直于同一条直线的两条直线互相平行②垂直于同一个平面的两个平面互相平行③若直线l1,l2与同一平面所成的角相等,则l1,l2互相平行其中不正确的个数是( )A.1B.2C.3D.0【解析】利用特殊的几何体正方体进行验证,我们不难发现①②③均不正确.故选C.【答案】C5.若l为直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若l∥α,l∥β,则α∥βB.若l⊥α,l⊥β,则α∥βC.若l⊥α,l∥β,则α∥βD.若α⊥β,l∥α,则l⊥β【解析】对于A,若l ∥α,l ∥β,则α和β可能平行也可能相交,故A 错误;对于B,由线面垂直的性质可得,B 正确;对于C,若l ⊥α,l ∥β,应推出α⊥β,故C 错误;对于D,l 与β的位置关系不确定,l ∥β,l ⊂β,l 与β相交,都有可能,故D 错误.【答案】B6.如图,在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,若E 是A 1C 1的中点,则直线CE 垂直于( )A .BDB .ACC .AD D .A 1D 1【解析】由BD ⊥AC ,BD ⊥CC 1,AC ∩CC 1=C ,则BD ⊥平面ACC 1A 1.又CE ⊂平面ACC 1A 1,所以BD ⊥CE.【答案】A7.如图,点S 在平面ABC 外,SB ⊥AC ,SB=AC=2,E ,F 分别是SC 和AB 的中点,则EF 的长是( )A .1BCD .12【解析】取CB 的中点D ,连接ED ,DF ,则∠EDF (或其补角)为 异面直线SB 与AC 所成的角,即∠EDF=90°.在△EDF 中,ED=12SB=1,DF=12AC=1,所以=. 【答案】B 8.已知四棱锥的侧棱长与底面边长都是1,底面为正方形,则侧棱与底面所成的角为( )A .75°B .60°C .45°D .30°【解析】如图,O 为底面ABCD 的中心,连接AC ,BD ,SO ,易得SO ⊥平面ABCD.所以∠OCS 为侧棱SC 与底面ABCD 所成的角.又由已知可求得OC=2.因为SC=1,所以∠OCS=45°. 【答案】C9.已知平面α⊥平面β,α∩β=l ,点A ∈α,A ∉l ,直线AB ∥l ,直线AC ⊥l ,直线m ∥α,m ∥β,则下列四种位置关系中,不一定成立的是( )A.AC ⊥βB.AC ⊥mC.AB ∥βD.AB ∥m【解析】如图,则有AB ∥l ∥m ;AC ⊥l ,m ∥l ⇒AC ⊥m ;AB ∥l ,AB ⊄β⇒AB ∥β.【答案】A10.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,E ,F 分别是线段A 1B 1,B 1C 1上与端点不重合的动点,A 1E=B 1F ,有下面四个结论:①EF ⊥AA 1; ②EF ∥AC ;③EF 与AC 异面; ④EF ∥平面ABCD.其中一定正确的是( )A.①②B.②③C.②④D.①④【解析】如图,由于AA1⊥平面A1B1C1D1,EF⊂平面A1B1C1D1,则EF⊥AA1,所以①正确;当E,F 分别是线段A1B1,B1C1的中点时,EF∥A1C1,又AC∥A1C1,则EF∥AC,所以③不正确;当E,F不是线段A1B1,B1C1的中点时,EF与AC异面,所以②不正确;由于平面A1B1C1D1∥平面ABCD,EF⊂平面A1B1C1D1,所以EF∥平面ABCD,所以④正确.【答案】D二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在题中的横线上)11.直线l1∥l2,在l1上取2个点,l2上取2个点,由这4个点能确定平面的个数是.【解析】因为l1∥l2,所以经过l1,l2有且只有一个平面.【答案】112.在空间四边形ABCD中,E,F分别是AB和BC上的点,若AE∶EB=CF∶FB=1∶3,则对角线AC与平面DEF的位置关系是.【解析】因为AE∶EB=CF∶FB=1∶3,所以EF∥AC.又因为AC⊄平面DEF,EF⊂平面DEF,所以AC∥平面DEF.【答案】平行13.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,直线l过点A且垂直于平面ABC,动点P∈l,当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小会.(填“变大”“变小”或“不变”)【解析】∵l⊥平面ABC,∴l⊥BC.∵∠ACB=90°,∴BC⊥AC.又PA∩AC=A,PA,AC⊂平面PAC,∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥PC.∴∠PCB=90°.故当点P逐渐远离点A时,∠PCB的大小不变.【答案】不变14.已知长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD为正方形,,底面对角线的长为,则A1B1与平面AB1C1所成角的大小为.【解析】由已知可求得长方体ABCD-A1B1C1D1的底面边长为1,过点A1作A1E⊥AB1于点E,因为B1C1⊥平面ABB1A1,所以B1C1⊥A1E.因为AB1∩B1C1=B1,所以A1E⊥平面AB1C1.所以∠A 1B 1E 即为A 1B 1与平面AB 1C 1所成的角.因为AA 1A 1B 1=1,所以AB 1=2,A 1E=2. 因为sin ∠A 1B 1E=111A E A B , 所以∠A 1B 1E=60°.【答案】60°15.如图,在直四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1中,当底面四边形A 1B 1C 1D 1满足条件 时,有A 1C ⊥B 1D 1(注:填上你认为正确的一种情况即可,不必考虑所有可能的情况).【解析】由直四棱柱可知CC 1⊥平面A 1B 1C 1D 1,所以CC 1⊥B 1D 1.要使得B 1D 1⊥A 1C ,只要B 1D 1⊥平面A 1C 1C ,即只要B 1D 1⊥A 1C 1.此题还可以填写四边形A 1B 1C 1D 1是菱形、正方形等条件.【答案】B 1D 1⊥A 1C 1(答案不唯一)三、解答题(本大题共5小题,共45分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)16.(8分)如图,PA ⊥正方形ABCD 所在的平面,经过点A 且垂直于PC 的平面分别交PB ,PC ,PD 于E ,F ,G ,求证:AE ⊥PB.【证明】因为PA ⊥平面ABCD ,所以PA ⊥BC.又ABCD 是正方形,所以AB ⊥BC.而PA ∩AB=A ,所以BC ⊥平面PAB.因为AE ⊂平面PAB ,所以BC ⊥AE.由PC ⊥平面AEFG ,得PC ⊥AE.因为PC ∩BC=C ,所以AE ⊥平面PBC.所以AE ⊥PB.17.(8分)如图,已知直三棱柱ABC-A'B'C'的底面为等边三角形,D 是AA'上的点,E 是B'C'的中点,且A'E ∥平面DBC'.试判断点D 在AA'上的位置,并给出证明.【解析】点D 为AA'的中点.证明如下:取BC 的中点F ,连接AF ,EF.设EF 与BC'交于点O ,连接DO ,易证A'E ∥AF ,A'E=AF,且A',E ,F ,A 共面于平面A'EFA.因为A'E ∥平面DBC',A'E ⊂平面A'EFA ,且平面DBC'∩平面A'EFA=DO ,所以A'E ∥DO.在平行四边形A'EFA 中,因为O 是EF 的中点(因为EC'∥BF ,且EC'=BF ),所以点D 为AA'的中点.18.(9分)如图,在四棱锥P-ABCD 中,PC ⊥平面ABCD ,AB ∥DC ,DC ⊥AC.(1)求证:DC ⊥平面PAC.(2)求证:平面PAB ⊥平面PAC.(3)设点E 为AB 的中点,在棱PB 上是否存在点F ,使得PA ∥平面CEF ?说明理由.(1)【证明】因为PC ⊥平面ABCD ,所以PC ⊥DC.又因为DC ⊥AC ,所以DC ⊥平面PAC.(2)【证明】因为AB ∥DC ,DC ⊥AC ,所以AB ⊥AC.因为PC ⊥平面ABCD ,所以PC ⊥AB.所以AB ⊥平面PAC.所以平面PAB ⊥平面PAC.(3)【解析】棱PB 上存在点F ,使得PA ∥平面CEF.证明如下:取PB 中点F ,连接EF ,CE ,CF.又因为E 为AB 的中点,所以EF ∥PA.又因为PA ⊄平面CEF ,所以PA ∥平面CEF.19.(10分)已知四面体A-BCD 的棱长都相等,Q 是AD 的中点,求CQ 与平面DBC 所成的角的正弦值.【解析】过点A 作AO ⊥平面BCD ,连接OD ,OB ,OC ,可知O 是△BCD 的中心.作QP ⊥OD ,如图.易知QP ∥AO ,所以QP ⊥平面BCD.连接CP ,则∠QCP 即为所求的角.设四面体的棱长为a ,因为在等边三角形ACD 中,Q 是AD 的中点,所以 a. 因为QP ∥AO ,Q 是AD 的中点,所以QP=1212==,即sin ∠QCP=QP CQ =.20.(10分)如图,在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,侧棱垂直于底面,AB ⊥BC ,AA 1=AC=2,BC=1,E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点.(1)求证:平面ABE ⊥平面B 1BCC 1;(2)求证:C 1F ∥平面ABE ;(3)求三棱锥E-ABC 的体积.(1)【证明】在三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,BB 1⊥底面ABC.所以BB 1⊥AB. 又因为AB ⊥BC ,所以AB ⊥平面B 1BCC 1. 所以平面ABE ⊥平面B 1BCC 1.(2)【证明】取AB 的中点G ,连接EG ,FG.因为E ,F 分别是A 1C 1,BC 的中点,所以FG ∥AC ,且FG=12AC. 因为AC ∥A 1C 1,且AC=A 1C 1, 所以FG ∥EC 1,且FG=EC 1.所以四边形FGEC 1为平行四边形. 所以C 1F ∥EG.又因为EG ⊂平面ABE ,C 1F ⊄平面ABE , 所以C 1F ∥平面ABE.(3)【解析】因为AA 1=AC=2,BC=1,AB ⊥BC ,所以=所以三棱锥E-ABC 的体积V=13S △ABC ·AA 1=111232⨯⨯=.。
人教版高中数学必修二第二章点、直线、平面之间的位置关系学业分层测评14含答案
学业分层测评(十四)(建议用时：45分钟)[达标必做]一、选择题1．△ABC所在的平面为α，直线l⊥AB，l⊥AC，直线m⊥BC，m⊥AC，则直线l，m的位置关系是()A．相交B．异面C．平行D．不确定【解析】因为l⊥AB，l⊥AC且AB∩AC＝A，所以l⊥平面ABC.同理可证m⊥平面ABC，所以l∥m，故选C.【答案】 C2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面．下列命题中正确的是()A．若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥nB．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥nC．若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β【解析】A中，m，n可能为平行、垂直、异面直线；B中，m，n可能为异面直线；C中，m应与β中两条相交直线垂直时结论才成立．【答案】 D3．已知平面α、β和直线m、l，则下列命题中正确的是()A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB．若α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥βC．若α⊥β，l⊂α，则l⊥βD．若α⊥β，α∩β＝m，l⊂α，l⊥m，则l⊥β【解析】选项A缺少了条件l⊂α；选项B缺少了条件α⊥β；选项C缺少了条件α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直的性质定理的全部条件．故选D.【答案】 D4．(2016·蚌埠高二检测)如图2-3-42，P A⊥矩形ABCD，下列结论中不正确的是()图2-3-42A．PD⊥BD B．PD⊥CDC．PB⊥BC D．P A⊥BD【解析】若PD⊥BD，则BD⊥平面P AD，又BA⊥平面P AD，则过平面外一点有两条直线与平面垂直，不成立，故A不正确；因为P A⊥矩形ABCD，所以P A⊥CD，AD⊥CD，所以CD⊥平面P AD，所以PD⊥CD，同理可证PB⊥BC.因为P A⊥矩形ABCD，所以由直线与平面垂直的性质得P A⊥BD.故选A.【答案】 A5．如图2-3-43所示，三棱锥P-ABC的底面在平面α内，且AC⊥PC，平面P AC⊥平面PBC，点P，A，B是定点，则动点C的轨迹是()图2-3-43A．一条线段B．一条直线C．一个圆D．一个圆，但要去掉两个点【解析】∵平面P AC⊥平面PBC，AC⊥PC，平面P AC∩平面PBC＝PC，AC⊂平面P AC，∴AC⊥平面PBC.又∵BC⊂平面PBC，∴AC⊥BC.∴∠ACB＝90°.∴动点C的轨迹是以AB为直径的圆，除去A和B两点．【答案】 D二、填空题6．如图2-3-44，在三棱锥P-ABC中，P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，F是AC的中点，E是PC上的点，且EF⊥BC，则PEEC＝________.图2-3-44【解析】在三棱锥P-ABC中，因为P A⊥底面ABC，∠BAC＝90°，所以AB⊥平面APC. 因为EF⊂平面P AC，所以EF⊥AB，因为EF⊥BC，BC∩AB＝B，所以EF⊥底面ABC，所以P A∥EF，因为F是AC的中点，E是PC上的点，所以E是PC的中点，所以PEEC＝1.【答案】 17．在三棱锥P-ABC中，平面P AC⊥平面ABC，∠PCA＝90°，△ABC 是边长为4的正三角形，PC＝4，M是AB边上的一动点，则PM的最小值为________．【导学号：09960085】【解析】连接CM，则由题意知PC⊥平面ABC，可得PC⊥CM，所以PM＝PC2＋CM2，要求PM的最小值只需求出CM的最小值即可，在△ABC中，当CM⊥AB时，CM有最小值，此时有CM＝4×32＝23，所以PM的最小值为27.【答案】27三、解答题8．(2016·成都高一检测)如图2-3-45，三棱锥P-ABC中，已知△ABC 是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△P AC是直角三角形，∠P AC＝90°，平面P AC⊥平面ABC.求证：平面P AB⊥平面PBC.【导学号：09960086】图2-3-45【证明】∵平面P AC⊥平面ABC，平面P AC∩平面ABC＝AC，P A⊥AC，∴P A⊥平面ABC.又BC⊂平面ABC，∴P A⊥BC.又∵AB⊥BC，AB∩P A＝A，AB⊂平面P AB，P A⊂平面P AB，∴BC⊥平面P AB.又BC⊂平面PBC，∴平面P AB⊥平面PBC.9．如图2-3-46，△ABC是边长为2的正三角形．若AE＝1，AE⊥平面ABC，平面BCD⊥平面ABC，BD＝CD，且BD⊥CD.图2-3-46(1)求证：AE∥平面BCD；(2)求证：平面BDE⊥平面CDE.【证明】(1)取BC的中点M，连接DM，因为BD＝CD，且BD⊥CD，BC＝2.所以DM＝1，DM⊥BC.又因为平面BCD⊥平面ABC，所以DM⊥平面ABC，又AE⊥平面ABC，所以AE∥DM.又因为AE⊄平面BCD，DM⊂平面BCD，所以AE∥平面BCD.(2)由(1)知AE∥DM，又AE＝1，DM＝1，所以四边形DMAE是平行四边形，所以DE∥AM.连接AM，易证AM⊥BC，因为平面BCD⊥平面ABC，所以AM⊥平面BCD，所以DE⊥平面BCD.又CD⊂平面BCD，所以DE⊥CD.因为BD⊥CD，BD∩DE＝D，所以CD⊥平面BDE.因为CD⊂平面CDE，所以平面BDE⊥平面CDE.[自我挑战]10．设m，n，l是三条不同的直线，α是一个平面，l⊥m，则下列说法正确的是()A．若m⊄α，l⊥α，则m∥αB．若l⊥n，则m⊥nC．若l⊥n，则m∥nD．若m∥n，n⊂α，则l⊥α【解析】若l⊥m，l⊥n，则m与n可能平行，也可能相交或异面，即B，C 都不正确；由l⊥m，m∥n，可得l⊥n，不一定有l⊥α，即D不正确；对于A，可在l上取一点P，过P作m′∥m，则m′⊥l，m′与l确定一个平面β，β∩α＝a，由l⊥α，得l⊥a，又m′，a，l同在平面β内，则由l⊥m′，l⊥a得m′∥a，于是m∥a，又m⊄α，所以m∥α.故选A.【答案】 A11．如图2-3-47，在矩形ABCD中，AB＝2AD，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起．(1)如果二面角A-DE-C是直二面角，求证：AB＝AC；(2)如果AB＝AC，求证：平面ADE⊥平面BCDE.图2-3-47【解】(1)过点A作AM⊥DE于点M，∵二面角A-DE-C是直二面角，则AM⊥平面BCDE，∴AM⊥BC.又AD＝AE，∴M是DE的中点，取BC中点N，连接MN，AN，则MN⊥BC. 又AM⊥BC，AM∩MN＝M，∴BC⊥平面AMN，∴AN⊥BC.又∵N是BC中点，∴AB＝AC.(2)取BC的中点N，连接AN，∵AB＝AC，∴AN⊥BC.取DE的中点M，连接MN，AM，∴MN⊥BC.又AN∩MN＝N，∴BC⊥平面AMN，∴AM⊥BC.又M是DE的中点，AD＝AE，∴AM⊥DE.又∵DE与BC是平面BCDE内的相交直线，∴AM⊥平面BCDE.∵AM⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BCDE.附赠材料答题六注意：规范答题不丢分提高考分的另一个有效方法是减少或避免不规范答题等非智力因素造成的失分,具体来说考场答题要注意以下六点: 第一,考前做好准备工作。
高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试(一)
数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试一.单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.面α⋂面β=l ，A α∈，B α∈，AB ⋂l =D ，C β∈，C l ∉，则平面ABC 与平面β的交线是()A .有无数条B .有两条C .至多有两条D .有一条2.圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则圆锥的表面积为()A.)π１ B.4π C.3πD.5π3.已知直三棱柱111ABC A B C -中，120ABC ∠=，2AB =，11BC CC ==，则异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值为A .10B .5-C .5D .54.点E ，F ，G ，H 分别为空间四边形ABCD 中AB ，BC ，CD ，AD 的中点，若AC=BD ，且AC 与BD 所成角的大小为90°，则四边形EFGH 是()A.梯形B.空间四边形C.正方形D.有一内角为60°的菱形5在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，Q 为AD 中点，点M 在线段PC 上，且PM tPC =，0t >，试确定实数t 的值，使得//PA 面MQB .A .14B .1C .23D .136.在直三棱柱111ABC A B C -中，2BAC π∠=，12AB AC AA ===，点,G E 分别为线段111,A B CC 的中点，点,D F 分别为,AC AB 上的动点，且GD EF ⊥，则线段DF 的最小值为A .12B .1C D .二.多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.7.设a ，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b 都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴，有以下结论：(1)当直线AB 与a 成60 角时，AB 与b 成30角.(2)当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角.(3)直线AB 与a 所成角的最小值为45 .(4)直线AB 与a 所成角的最大值为60.则正确结论的序号为A (1)B(2)C(3)D(4)8.一张A4纸的长宽之比为，E ，F 为AD ，BC 的中点.现分别将ABE ∆，CDF ∆沿BE ，DF 折起，且A ，C 在面BFDE 同侧，下列命题正确的是()(1)A ,G ,H ,C 四点共面.(2)当面ABE //面CDF 时，AC //面BFDE .(3)当A ，C 重合于点P 时，面PDE ⊥面PBF .(4)当A ，C 重合于点P 时，设面PBE ⋂面PDF =l ，则l //面BFDE .A (1)B(2)C(3)D(4)三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分.9已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，BA 1=C 1D =5，C 1A 1=BD =，DA1=BC 1=.则三棱锥B -A 1DC 1的体积为________10.已知点E ,F 分别为正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的棱AB ,AA 1点，且12AE AB =，113AF AA =.点,M N 分别为线段1D E 和线段1C F 上的动点.则与面ABCD 平行的直线MN 有__________条.11.在正方体1111ABCD A B C D -中，E 是AB 的中点，F 在1CC 上，且12CF FC =.点P 是侧面11AA D D 上一动点，且1//PB 面DEF ，则tan ABP ∠的取值范围是__________.12设α，β，γ为两两不重合的平面，l ，m ，n 为两两不重合的直线，给出下列四个命题：①若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β;②若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β;③若α∥β，l ⊂α，则l ∥β;④若α∩β=l ，β∩γ=m ，γ∩α=n ，l ∥γ，则m ∥n.其中正确的命题是________和________.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13.(本小题满分16分)在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，2AB BC ==，1AA =E 为1CC 中点，F 为AB 上一点.证明面EBD ⊥面1A FC .14.(本小题满分18分)如图，已知二面角α-MN-β的大小为60°，菱形ABCD 在面β内，A ，B 两点在棱MN 上，∠BAD=60°，E 是AB 的中点，DO ⊥面α，垂足为O.(1)证明：AB ⊥平面ODE;(2)求异面直线BC 与OD 所成角的余弦值.15.(本小题满分18分)在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-A 1C 1D 1，且这个几何体的体积为403(1)求棱A 1A 的长;(2)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积.数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》测试答案一.单项选择题：本大题共6小题，每小题4分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1选D 2选C 3选C 4选C 5选D 6选C二.多项选择题：本大题共2小题，每小题4分，共8分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.7选B ，C 8选A BCD三、填空题：本大题共4题，每小题4分，共16分.9.20解析：111114B A DC B A B C V V V --=-长方体.设长方体的长宽高分别为,,a b c ，易求得5a =，4b =，3c =.所以111114B A DC B A B C V V V --=-长方体20=.10.无数条解析：取113BH BB =，连接FH ，则//FH AB .在线段1D E 上取113OE D E =，在线段DE 上取13EK DE =.连接,,OH OK BK .则易得四边形OKBH 为矩形.连接HE ，在段1D E 上任取一点M ，过点M 在面1D HE 中，作//HO MG ，交1D H 于G .再过点G 作//GN HF ，交1C F 于N ，连接MN .由面面平行的判定定理可知面MNG //面ABCD ，又MN ⊂面MNG ，所以//MN 面ABCD .由于M 为1D E 上任意一点，故与面ABCD 平行的直线MN有无数条.11.11333⎡⎢⎣⎦，.解析：取112AM MA =，连接11,,B M B F DM .易证四边形1MDFB 为平行四边形，所以1//B M DF .取11D C 中点N ，连接1,B N MN ，则1//B N DE .故面1//B NM 面DEF .作//NG DF ，连接MG ，则1//NG MB .因此面1//B NGM 面DEF .所以点P 落在面11AA D D 与面1B NGM 的交线上，即P MG ∈.易求得tan ABP ∠的取值范围是11333⎡⎢⎣⎦，.12(3)和(4)①不正确，面α，β可能相交.②不正确，当直线m ，n 平行时，α，β还可能相交;根据面面平行的判定定理只有当m ，n 相交时，α∥β.③正确，根据面面平行的定义可知l 与β无公共点，即可知l ∥β.④正确，因为α∩β=l ，可知l ⊂α，又因为l ∥γ，γ∩α=n ，则m ∥n.四、解答题：本大题共3小题，共52分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.13(本小题满分16分)证明：如图所示，易知BE ⊥1CB .又BE ⊥11A B ，1111CB A B B ⋂=，所以BE ⊥面11A B C .由于1A C ⊂面11A B C ，所以BE ⊥1AC .又BD ⊥CA ，BD ⊥1A A ，1CA A A A ⋂=，所以BD ⊥面1A AC .由于1A C ⊂面1A AC ，所以BD ⊥1AC .由于BE BD B ⋂=，所以1AC ⊥面EBD ，所以面EBD ⊥面1A FC14(本小题满分18分)(1)因为DO ⊥α，AB ⊂α，所以DO ⊥AB.连接BD ，由题设知，△ABD 是正三角形.又因为E 是AB 的中点，所以DE ⊥AB.而DO∩DE=D ，故AB ⊥平面ODE.(2)因为BC ∥AD ，所以BC 与OD 所成的角等于AD 与OD 所成的角，即∠ADO 是BC 与OD 所成的角.由(1)知，AB ⊥平面ODE ，所以AB ⊥OE.又DE ⊥AB ，于是∠DEO 是二面角α-MN-β的平面角，从而∠DEO=60°.不妨设AB=2，则AD=2，易知DE=3.在Rt △DOE 中，DO=DE·sin 60°=32.连接AO ，在Rt △AOD 中，cos ∠ADO=DO AD =322=34.故异面直线BC 与OD 所成角的余弦值为34.15(本小题满分18分)(1)设A 1A=h ，因为几何体ABCD-A 1C 1D 1的体积为403，所以V ABCD−A 1C 1D 1=V ABCD−A 1B 1C 1D 1-V B−A 1B 1C 1=403即S 四边形ABCD ·h-13·S △A 1B 1C 1·h=403，即2×2×h-13×12×2×2×h=403解得h=4.所以棱A 1A 的长为4.(2)如图，连接D 1B ，设D 1B 的中点为O ，连接OA 1，OC 1，OD.因为ABCD-A 1B 1C 1D 1是长方体，所以A 1D 1⊥平面A 1AB.因为A 1B ⊂平面A 1AB ，所以A 1D 1⊥A 1B.所以OA 1=12D 1B.同理OD=OC 1=12D 1B.所以OA 1=OD=OC 1=OB.所以经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的球心为点O.因为D 1B 2=A 1D 12+A 1A 2+AB 2=22+42+22=24，所以S 球=4π·(OD 1)2=4π·(D 1B 2)2=π·D 1B 2=24π.故经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积为24π.。
数学2必修第二章点、直线、平面之间的位置关系基础训练A组及答案
A直线、平面之间的位置关系测试题一、选择题（10小题，每小题4分，共40分．）1、若一个几何体的俯视图是圆，则它不可能是（）A、球；B、圆柱；C、圆锥；D、三棱锥。
2.下列四个结论：⑴两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行⑵两条直线没有公共点，则这两条直线平行⑶两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行⑷一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行其中正确的个数为（）A0 B1 C2 D33垂直于同一条直线的两条直线一定（）A平行 B相交 C异面 D以上都有可能4如右图所示，正三棱锥V ABC-（顶点在底面的射影是底面正三角形的中心）中，,,D E F分别是,,VC VA AC的中点，P为VB上任意一点，则直线DE与PF所成的角的大小是（）A030 B090 C060 D随P点的变化而变化5右上图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（）A．9πB．10πC．11πD．12π6一个几何体的三视图如右下图，该几何体的表面积为（）A、280B、292C、360D、3727．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱（其底面是正方形，且侧棱垂直于底面）高为4，体积为16，则这个球的表面积是（）Ａ16πＢ20πＣ24πＤ32π8已知在四面体ABCD中，,E F分别是,AC BD的中点，若2,4,AB CD EF AB==⊥，则EF与CD所成的角的度数为（）Ａ90Ｂ45Ｃ60Ｄ309.下列说法不正确的．．．．是（）A空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形；B过一条直线有且只有一个平面与已知平面平行C过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内；D一个平面内有无数条直线与已知平面平行，则两个平面平行。
10下列命题正确的个数是（）．(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则α//l； (2)若直线l平行于平面α内的无数条俯视图正(主)视图侧(左)视图直线，则α//l ； (3)若直线l 与平面α平行，则l 与平面α内的任一直线平行； (4)若直线l 在平面α外，则α//l ．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个二、填空题（5小题，每小题4分，共20分．）1．空间四边形ABCD 中，,,,E F G H 分别是,,,AB BC CD DA 的中点，则BC 与AD 的 位置关系是_____________；四边形EFGH 是__________形；当___________时，四边形EFGH 是菱形；当___________时，四边形EFGH 是矩形；当___________时，四边形EFGH 是正方形2．若某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则此几何体的体积是 3cm ．3 若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其外接球的表面积是 . 4.下列命题中：（1）平行于同一直线的两个平面平行；（2）平行于同一平面的两个平面平行；（3）垂直于同一直线的两直线平行； （4）垂直于同一平面的两直线平行， 其中正确的个数有_____________ 三. 解答题(本大题满分60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)1 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图．它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm ）（Ⅰ）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图； （Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积； （Ⅲ）在所给直观图中连结BC '，证明：BC '∥面EFG ．E D A CFG B 'C 'D '2．如图，已知P 是ABCD 所在平面外一点，M 为PB 的中点，求证：PD//平面MAC3.如图：S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的中点， 求证：//MN 平面SBCC4.如图所示，已知ABCD-A 1B 1C 1D 1是棱长为3的正方体，点E 在AA 1上，点F 在CC 1上，G 在BB 1上，且AE=FC 1=B 1G=1，H 是B 1C 1的中点。
最新人教版高中数学必修2第二章《点、直线、平面之间的位置关系》单元测试
本章测评(用时90分钟,满分100分)一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)1.若直线a 不平行于平面α，则下列结论成立的是( )A.α内所有的直线都与a 异面B.α内不存在与a 平行的直线C.α内所有的直线都与a 相交D.直线a 与平面α有公共点解析:若直线a 不平行于平面α，包括直线a 与平面α相交及直线a 在平面α内，故直线a 与平面α有公共点. 答案：D2.已知两个平面垂直，下列命题①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是( )A.3B.2C.1D.0解析:①错，不一定;②对③错，一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面;④错，过一个平面内任意一点作交线的垂线，不一定与交线相交. 答案：C3.已知平面α内有无数条直线都与平面β平行，那么( ) A.α∥β B.α与β相交C.α与β重合D.α∥β或α与β相交 解析:不管α∥β或α与β相交，平面α内都有无数条直线与平面β平行. 答案：D4.两等角的一组对应边平行，则( )A.另一组对应边平行B.另一组对应边不平行C.另一组对应边也不可能垂直D.以上都不对解析:两等角的一组对应边平行，则另一组对边可能平行，也可能异面. 答案：D5.如图2-1所示，点S 在平面ABC 外，SB ⊥AC ，SB=AC=2，E 、F 分别是SC 和AB 的中点，则EF 的长是( )图2-1A.1B.2C.22D.21解析:取SA 的中点H ，连结EH 、FH.因为SB ⊥AC ，则EH ⊥FH ，在△EFH 中，应用勾股定理得EF=2.答案：B6.直线a 在平面α内，则命题（1）“若平面α平行于平面β，则直线a 平行于平面β”，命题（2）“若直线a 平行于平面β，平面α平行于平面β”，则下列判断正确的是( ) A.（1）是真命题，（2）是真命题 B.（1）是真命题，（2）是假命题 C.（1）是假命题，（2）是真命题 D.（1）是假命题，（2）是假命题 解析:直线a 在平面α内，若平面α平行于平面β,则平面α的任何一条直线包括a 平行于平面β.若直线a 平行于平面β，则平面α与平面β有可能相交. 答案：B7.长方体中，AB=AD=32，CC 1=2，则二面角C 1-BD-C 的大小为( )A.30°B.45°C.60°D.90°解析:过C 作CE ⊥BD ，连结C 1E ，则C 1E ⊥BD,∠C 1EC 就是所求的二面角.在Rt △BCD 中，可求得CE=6，tan ∠C 1EC=33, ∴∠C 1EC=30°. 答案：A8.已知ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，如果对角线AC=4，BD=2，那么EG 2+HF 2的值等于( )A.10B.15C.20D.25解析:ABCD 是空间四边形，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，则EFGH 是平行四边形，EG 2+HF 2=2（EF 2+FG 2）=10. 答案：A二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分) 9.a 、b 是异面直线，下面四个命题：①过a 至少有一个平面平行于b;②过a 至少有一个平面垂直于b;③至多有一条直线与a 、b 都垂直;④至少有一个平面与a 、b 都平行.其中正确的命题是____________________.(填序号)解析:①④正确;②错，当a 、b 不垂直时，过a 不存在平面垂直于b;③错，有无数条直线与a 、b 都垂直. 答案：①④10.在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中,O 是底面ABCD 的中心,E 、F 、G 、H 分别是棱AA 1、BB 1、CC 1、DD 1的中点,请写出一个与A 1O 垂直的正方体的截面_____________________.(截面用给定的字母表示,不必写出全部符合条件的截面)解析:根据线面垂直的定义逐一分析,不过本题只需找到一个即可. 答案：GDB 或AFC 1H 或ED 1B 111.如图2-2所示，A 是△BCD 所在平面外一点，M 、N 分别是△ABC 和△ACD 的重心，若BD=6，则MN=______________.图2-2解析:连结AM 交BC 于E ，连结AN 交CD 于F ，连结EF ，则MN ∥EF ，EF ∥BD ，MN=.231213232==∙=BD BD EF 答案：212.已知平面α∥平面β，P 是α、β外一点，过P 点的两条直线AC,BD 分别交α于A 、B ，交β于C 、D ，且PA=6，AC=9，AB=8，则CD 的长为_________________. 解析:若P 在α,β的同侧，由于平面α∥平面β,故AB ∥CD ，则CDABPC PA =,可求得CD=20;若P 在α,β之间，可求得CD=4. 答案：20或413.已知m 、n 是直线,α、β、γ是平面,给出下列命题: ①若α⊥β,α∩β=m,n ⊥m,则n ⊥α或n ⊥β; ②若α∥β,α∩γ=m,β∩γ=n,则m ∥n;③若m 不垂直于α,则m 不可能垂直于α内的无数条直线;④若α∩β=m,n ∥m 且n α,n β,则n ∥α且n ∥β.其中正确的命题序号是_______________.(注:把你认为正确的命题的序号都填上)解析:①n 与α相交或n 与β相交，不正确.③m ⊥b,b ∈α,但m 不垂直于α.∴在α内有无数条与b 垂直的直线.∴m 可以垂直α内无数条直线.∴③不正确. 答案：②④三、解答题(本大题共5小题,共51分)14.(8分)设P 是△ABC 所在平面外一点，P 到A 、B 、C 的距离相等，∠BAC 为直角. 求证：平面PCB ⊥平面ABC.证明：如图所示，取BC 的中点D ，连结PD 、AD ，∵D 是Rt △ABC 的斜边BC 的中点，∴BD=CD=AD.又PA=PB=PC ，PD 是公共边， ∴∠PDA=∠PDB=∠PDC=90°.∴PD ⊥BC ，PD ⊥DA ，PD ⊥平面ABC. 又PD ⊂平面PCB,∴平面PCB ⊥平面ABC.15.(10分)如图2-3所示，三个平面两两相交，有三条交线，求证：这三条交线交于一点或互相平行.图2-3证明：如题图所示，设已知平面α,β,γ，α∩β=l 1，β∩γ=l 2，α∩γ=l 3，如果l 1、l 2、l 3中有任意两条交于一点P ，设l 1∩l 2=P ，即P ∈l 1，P ∈l 2，那么P ∈α，P ∈γ，则点P 在平面α、γ的交线l 3上，即l 1,l 2,l 3交于一点,如题中(a)图；如果l 1,l 2,l 3中任何两条都不相交，那么，因为任意两条都共面，所以l 1∥l 2∥l 3,如题中（b ）图.16.(10分)如图2-4所示，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是AB 、BC 的中点，G 为DD 1上一点，且D 1G ∶GD=1∶2，AC∩BD =O ，求证：平面AGO ∥平面D 1EF.图2-4证明：如题图所示，设EF∩BD=H ，在△DD 1H 中，132DD DGDH DO ==， ∴GO ∥D 1H.又GO 平面D 1EF ，D 1H ⊂平面D 1EF ， ∴GO ∥平面D 1EF.在△BAO 中，BE=AE ，BH=HO ，∴EH ∥AO.AO 平面D 1EF ，EH ⊂平面D 1EF ， ∴AO ∥平面D 1EF.又AO∩GO=O ， ∴平面AGO ∥平面D 1EF.17.(11分)如图2-5所示，四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，M 、N 分别是AB 、PC 的中点，PA=AD=a.图2-5求证:（1）MN ∥平面PAD ； （2）平面PMC ⊥平面PCD. 证明：如图所示，(1)设PD 的中点为E ，连结AE 、NE ，由N 为PC 的中点,知EN 21DC. 又四边形ABCD 是矩形，∴DC AB. ∴EN21AB.又M 是AB 的中点， ∴EN AM.∴AMNE 是平行四边形. ∴MN ∥AE.而AE ⊂平面PAD ，NM平面PAD,∴MN ∥平面PAD.(2)∵PA=AD ，∴AE ⊥PD.又∵PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ， ∴CD ⊥PA ，而CD ⊥AD ， ∴CD ⊥平面PAD.∴CD ⊥AE. ∵PD∩CD=D ，∴AE ⊥平面PCD. ∵MN ∥AE,∴MN ⊥平面PCD. 又MN ⊂平面PMC ， ∴平面PMC ⊥平面PCD.18.(12分)如图2-6，棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是B 1C 1、C 1D 1的中点，图2-6（1）求证：E 、F 、B 、D 四点共面； （2）求四边形EFDB 的面积.(1)证明：如图所示，连结B 1D 1，在△C 1B 1D 1中，C 1E=EB 1，C 1F=FD 1，∴EF ∥B 1D 1，且EF=21B 1D 1.又A 1A B 1B ，A 1A D 1D ，∴B 1B D 1D. ∴四边形BB 1D 1D 是平行四边形. ∴B 1D 1∥BD ，EF ∥BD. ∴E 、F 、D 、B 四点共面.(2)解：由AB=a ，知BD=B 1D 1=a 2，EF=a 22， DF=BE=a a a EB BB 25)2(222121=+=+，过F 作FH ⊥DB 于H ，则DH=a EF DB 422=-， ∴FH=a a a a DH DF 42316181624522222==-=-.四边形的面积为S四边形EFBD =21(EF+BD)×FH=21(a 22+a 2)×228942322321423a a a =⨯⨯=.。
高中数学必修二 点线面间的位置关系检测题及参考答案
高中数学必修二阶段质量检测（二）点、直线、平面之间的位置关系(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．分别在两个平行平面内的两条直线间的位置关系不可能为()A．平行B．相交C．异面D．垂直【答案】B。
【解析】因为两平行平面没有公共点，所以两直线没有公共点，所以两直线不可能相交．2．设BD1是正方体ABCDA1B1C1D1的一条对角线，则这个正方体中面对角线与BD1异面的有()A．0条B．4条C．6条D．12条【答案】C。
【解析】每个面中各有一条对角线与BD1异面，它们是：AC，A1C1，B1C，A1D，AB1，DC1.3．下列说法不正确的是()A．空间中，一组对边平行且相等的四边形一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【答案】D。
【解析】如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，AD⊥平面DCC1D1，因此平面ABCD、平面AA1D1D均与平面DCC1D1垂直，而且平面AA1D1D∩平面ABCD＝AD，显然选项D不正确，故选D.4．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是() A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面【答案】D。
【解析】A项，α，β可能相交，故错误；B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故正确．5．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E是A1C1的中点，则直线CE垂直于() A．AC B．BD C．A1D D．A1D1【答案】选B【解析】CE⊂平面ACC1A1，而BD⊥AC，BD⊥AA1，∴BD⊥平面ACC1A1，∴BD⊥CE.6．已知在四面体ABCD中，E，F分别是AC，BD的中点，若AB＝2，CD＝4，EF ⊥AB，则EF与CD所成的角的度数为()A．90°B．45°C．60°D．30°【答案】D【解析】取BC的中点G，连接EG，FG，则EG＝1，FG＝2，EF⊥EG，则EF与CD所成的角等于∠EFG，为30°.7.如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥底面ABC，D，E分别是棱BC，AB的中点，点F在棱CC1上，AB＝BC＝CA＝CF＝2，AA1＝3，则下列说法正确的是() A．设平面ADF与平面BEC1的交线为l，则直线EC1与l相交B．在棱A1C1上存在点N，使得三棱锥NADF的体积为37C．设点M在BB1上，当BM＝1时，平面CAM⊥平面ADFD．在棱A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF【答案】C【解析】连接CE交AD于点O，则O为△ABC的重心，连接OF.由已知得OF∥EC1，则EC1∥l，故A错；若在A1C1上存在点N，则V NADF＝V DAFN，当N与C1重合时，V DAFN取最小值为36，故B错；当BM＝1时，可证得△CBM≌△FCD，则∠BCM＋∠CDF＝90°，即CM⊥DF.又∵AD⊥平面CBB1C1，CM⊂平面CBB1C1，∴AD⊥CM.∵DF∩AD＝D，∴CM⊥平面ADF.∵CM⊂平面CAM，∴平面CAM⊥平面ADF，故C正确；过C1作C1G∥FA交AA1于点G.若在A1B1上存在点P，使得C1P⊥AF，则C1P⊥C1G.又∵C1P⊥GA1，C1G∩GA1＝G，∴C1P⊥平面A1C1G.∵A1C1⊂平面A1GC1，∴C1P⊥A1C1，矛盾，故D错．故选C.8．在四面体ABCD中，已知棱AC的长为2，其余各棱长都为1，则二面角ACDB的余弦值为()A.12B.13C.33D.23【答案】C【解析】取AC 的中点E ，CD 的中点F ，则EF ＝12，BE ＝22，BF ＝32∴△BEF 为直角三角形，cos θ＝EF BF ＝33.9.如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与平面α，β所成的角分别为45°和30°，过A ，B 分别作两平面交线的垂线，垂足分别为A ′，B ′，若AB ＝12，则A ′B ′等于()A ．4B ．6C ．8D ．9【答案】B【解析】连接AB ′，BA ′，则∠BAB ′＝45°，∠ABA ′＝30°.在Rt △ABB ′中，AB ＝12，可得BB ′＝6 2.在Rt △ABA ′中，可得BA ′＝6 3.故在Rt △BA ′B ′中，可得A ′B ′＝6.10．矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝3，沿AC 将矩形ABCD 折成一个直二面角B AC D ，则四面体ABCD 的外接球的体积为()A.125π12B.125π9C.125π6D.125π3【答案】C【解析】球心O 为AC 中点，半径为R ＝12AC ＝52，V ＝43πR 3＝125π6.11．如图，四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AD ＝AB ，∠BCD ＝45°，∠BAD ＝90°，将△ABD 沿BD 折起，使平面ABD ⊥平面BCD ，构成四面体ABCD ，则在四面体ABCD 中，下列结论正确的是()A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面ADC ⊥平面BDC C ．平面ABC ⊥平面BDCD ．平面ADC ⊥平面ABC 【答案】D【解析】易知△BCD 中，∠DBC ＝45°，∴∠BDC ＝90°，又平面ABD ⊥平面BCD ，而CD ⊥BD ，∴CD ⊥平面ABD ，∴AB ⊥CD ，而AB ⊥AD ，CD ∩AD ＝D ，∴AB ⊥平面ACD ，∴平面ABC ⊥平面ACD .12．(2019·全国卷Ⅲ)如图，点N 为正方形ABCD 的中心，△ECD 为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM ＝EN ，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM ≠EN ，且直线BM ，EN 是异面直线【答案】B【解析】如图，取CD 的中点F ，DF 的中点G ，连接EF ，FN ，MG ，GB .∵△ECD 是正三角形，∴EF ⊥CD .∵平面ECD ⊥平面ABCD ，平面ECD ∩平面ABCD ＝CD ，EF ⊂平面ECD ，∴EF ⊥平面ABCD .∴EF ⊥FN .不妨设AB ＝2，则FN ＝1，EF ＝3，∴EN ＝FN 2＋EF 2＝2.∵EM ＝MD ，DG ＝GF ，∴MG ∥EF 且MG ＝12EF ，∴MG ⊥平面ABCD ，∴MG ⊥BG .∵MG ＝12EF ＝32，BG ＝CG 2＋BC 2＝2235222⎛⎫+= ⎪⎝⎭，∴BM ＝MG 2＋BG 2＝7，∴BM ≠EN .连接BD ，BE ，∵点N 是正方形ABCD 的中心，∴点N 在BD 上，且BN ＝DN ，∴BM ，EN 是△DBE 的中线，∴BM ，EN 必相交．二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．设正三角形ABC 的边长为a ，PA ⊥平面ABC ，PA ＝AB ，则A 到平面PBC 的距离为________．【答案】217a 【解析】如图所示，取BC 中点E ，连接AE ，PE ，则AE ⊥BC ，又BC ⊥PA ，∴BC ⊥平面PAE .∴平面PAE ⊥平面PBC .在平面PAE 内过A 作AF ⊥PE ，垂足为F ，则AF ⊥平面PBC .则AF ＝PA ·AE PE ＝217a .14．如图所示，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是棱AA 1和AB 上的点，若∠B 1MN 是直角，则∠C 1MN 等于________．【答案】90°【解析】∵B 1C 1⊥平面A 1ABB 1，MN ⊂平面A 1ABB 1，∴B 1C 1⊥MN ，又∠B 1MN 为直角．∴B 1M ⊥MN ，而B 1M ∩B 1C 1＝B 1.∴MN ⊥平面MB 1C 1，又MC 1⊂平面MB 1C 1，∴MN ⊥MC 1，∴∠C 1MN ＝90°.15．如图，圆锥SO 中，AB 、CD 为底面圆的两条直径，AB ∩CD ＝O ，且AB ⊥CD ，SO ＝OB ＝2，P 为SB 的中点，则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为________．【答案】2【解析】连接PO ，则PO ∥SA ，∴∠OPD 即为异面直线SA 与PD 所成的角，且△OPD 为直角三角形，∠POD 为直角，∴tan ∠OPD ＝OD OP ＝22＝ 2.16．(2019·全国卷Ⅰ)已知∠ACB ＝90°，P 为平面ABC 外一点，PC ＝2，点P 到∠ACB 两边AC ，BC 的距离均为3，那么P 到平面ABC 的距离为________．【答案】2【解析】如图，过点P 作PO ⊥平面ABC 于O ，则PO 为P 到平面ABC 的距离．再过O 作OE ⊥AC 于E ，OF ⊥BC 于F ，连接PC ，PE ，PF ，则PE ⊥AC ，PF ⊥BC .又PE ＝PF ＝3，所以OE ＝OF ，所以CO 为∠ACB 的平分线，即∠ACO ＝45°.在Rt △PEC 中，PC ＝2，PE ＝3，所以CE ＝1，所以OE ＝1，所以PO ＝PE 2－OE 2＝(3)2－12＝ 2.三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)如图，在四面体ABCD 中，CB ＝CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点．求证：(1)EF ∥平面ACD ；(2)平面EFC ⊥平面BCD .证明：(1)∵E ，F 分别是AB ，BD 的中点，∴EF 是△ABD 的中位线，∴EF ∥AD ，∵EF ⊄平面ACD ，AD ⊂平面ACD ，∴EF ∥平面ACD .(2)∵AD ⊥BD ，EF ∥AD ，∴EF ⊥BD .∵CB ＝CD ，F 是BD 的中点，∴CF ⊥BD .又EF ∩CF ＝F ，∴BD ⊥平面EFC .∵BD ⊂平面BCD ，∴平面EFC ⊥平面BCD .18．(本小题满分12分)(2019·全国卷Ⅰ)如图，直四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1＝4，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．(1)证明：MN ∥平面C 1DE ；(2)求点C 到平面C 1DE 的距离．解：(1)证明：连接B 1C ，ME .因为M ，E 分别为BB 1，BC 的中点，所以ME ∥B 1C ，且ME ＝12B 1C .又因为N 为A 1D 的中点，所以ND ＝12A 1D .由题设知A 1B 1綊DC ，可得B 1C 綊A 1D ，故ME 綊ND ，因此四边形MNDE 为平行四边形，所以MN ∥ED .又MN ⊄平面C 1DE ，所以MN ∥平面C 1DE .(2)过点C 作C 1E 的垂线，垂足为H .由已知可得DE ⊥BC ，DE ⊥C 1C ，所以DE ⊥平面C 1CE ，故DE ⊥CH .从而CH ⊥平面C 1DE ，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝17，故CH＝41717.从而点C到平面C1DE的距离为41717.19．(本小题满分12分)矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，沿AE将△DAE折起到△D1AE的位置，使平面D1AE⊥平面ABCE.(1)若F为线段D1A的中点，求证：EF∥平面D1BC；(2)求证：BE⊥D1A.证明：(1)取AB的中点G，连接EG、FG，则EG∥BC，FG∥D1B，且EG∩FG＝G，EG、FG⊂平面EFG；D1B∩BC＝B，D1B、BC⊂平面D1BC.∴平面EFG∥平面D1BC，注意到EF⊂平面EFG，∴EF∥平面D1BC.(2)易证BE⊥EA，平面D1AE⊥平面ABCE，平面D1AE∩平面ABCE＝AE，∴BE⊥平面D1AE，且D1A⊂平面D1AE，∴BE⊥D1A.20．(本小题满分12分)在三棱锥SABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC.(1)求证：BD⊥平面SAC；(2)求二面角EBDC的大小．解：(1)证明：如图，∵DE⊥SC，且E为SC的中点，又SB＝BC，∴BE⊥S C.又DE∩BE＝E，根据直线与平面垂直的判定定理知SC⊥平面BDE，BD⊂平面BDE，∴SC⊥BD.又SA⊥平面ABC，BD⊂平面ABC，∴SA⊥BD.又SA∩SC＝S，∴BD⊥平面SAC.(2)由(1)知∠EDC为二面角EBDC的平面角，又△SAC ∽△DEC ，∴∠EDC ＝∠ASC .在Rt △SAB 中，∠SAB ＝90°，设SA ＝AB ＝1，则SB ＝ 2.由SA ⊥BC ，AB ⊥BC ，AB ∩SA ＝A ，∴BC ⊥平面SAB ，SB ⊂平面SAB ，∴BC ⊥SB .在Rt △SBC 中，SB ＝BC ＝2，∠SBC ＝90°，则SC ＝2.在Rt △SAC 中，∠SAC ＝90°，SA ＝1，SC ＝2.∴cos ∠ASC ＝SA SC ＝12.∴∠ASC ＝60°，即二面角E BD C 的大小为60°.21．(本小题满分12分)如图，正方形ABCD 和四边形ACEF 所在的平面互相垂直，EF ∥AC ，AB ＝2，CE ＝EF ＝1.(1)求证：AF ∥平面BDE ；(2)求证：CF ⊥平面BDE .证明：(1)设AC 与BD 交于点O ，连接EO ，∵EF ∥AC ，且EF ＝1，AO ＝12AC ＝1，∴四边形AOEF 为平行四边形，∴AF ∥OE .∵OE ⊂平面BDE ，AF ⊄平面BDE ，∴AF ∥平面BDE .(2)连接FO ，∵EF ∥CO ，EF ＝CO ＝1，且CE ＝1，∴四边形CEFO 为菱形，∴CF ⊥EO .∵四边形ABCD 为正方形，∴BD ⊥AC .又平面ACEF ⊥平面ABCD ，且平面ACEF ∩平面ABCD ＝AC ，∴BD ⊥平面ACEF ，∴CF ⊥BD .又BD ∩EO ＝O ，∴CF ⊥平面BDE .22．(本小题满分12分)如图，已知空间几何体ABCDE 中，△BCD 与△CDE 均为边长为2的等边三角形，△ABC 为腰长为3的等腰三角形，平面CDE ⊥平面BCD ，平面ABC ⊥平面BCD .(1)试在平面BCD 内作一条直线，使得直线上任意一点F 与E 的连线EF 均与平面ABC 平行，并给出详细证明；(2)求三棱锥E ABC 的体积．解：(1)取DC 的中点N ，取BD 的中点M ，连接MN ，EN ，EM ，则直线MN 即为所求．取BC 的中点H ，连接AH ，∵△ABC 为腰长为3的等腰三角形，H 为BC 的中点，∴AH ⊥BC .又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，AH ⊂平面ABC ，∴AH ⊥平面BCD ，同理，可证EN ⊥平面BCD ，∴EN ∥AH .∵EN ⊄平面ABC ，AH ⊂平面ABC ，∴EN ∥平面ABC .又M ，N 分别为BD ，DC 的中点，∴MN ∥BC .∵MN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，∴MN ∥平面ABC .又MN ∩EN ＝N ，MN ⊂平面EMN ，EN ⊂平面EMN ，∴平面EMN ∥平面ABC .又EF ⊂平面EMN ，∴EF ∥平面ABC .(2)连接DH ，取CH 的中点G ，连接NG ，则NG ∥DH ，NG ＝12DH ，由(1)可知，EN ∥平面ABC ，∴点E 到平面ABC 的距离与点N 到平面ABC 的距离相等．又△BCD 是边长为2的等边三角形，∴DH ⊥BC ，又平面ABC ⊥平面BCD ，平面ABC ∩平面BCD ＝BC ，DH ⊂平面BCD ，∴DH ⊥平面ABC ，∴NG ⊥平面ABC .又DH ＝3，∴NG ＝32.又AC ＝AB ＝3，BC ＝2，∴AH ＝22，∴S △ABC ＝12·BC ·AH ＝22，∴V E ABC ＝V N ABC ＝13·S △ABC ·NG ＝63.。
高中数学必修2第二章点、线、面的位置关系知识点+习题+答案
D B A α 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； ] ]； a 来表 a a 线线平行 A ·α C ·B · A · α P· αLβ 共面直线p线面平行 面面平行 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行叫做垂足。
叫做垂足。
的垂线，则这两个ba第 3 页 共 3 页aa b a b //,a a a ÞþýüË^^1、性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
符号表示：符号表示：b a b a //,Þ^^a a 2、性质定理：一条直线与一个平行垂直，那么过这条直线的平面也与此平面垂直 符号表示：b a b a ^ÞÌ^a a ,2.3.4平面与平面垂直的性质1、性质定理：、性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
符号表示：b b a a b a ^Þïþïýü=^Ì^a l l a a ,2、性质定理：垂直于同一平面的直线和平面平行。
符号表示：符号表示：符号表示：一、异面直线所成的角一、异面直线所成的角1.已知两条异面直线,a b ，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ¢¢， 我们把a ¢与b ¢所成的锐角（或直角）叫异面直线,a b 所成的角。
所成的角。
2.角的取值范围：090q <£°；垂直时，异面直线当b a ,900=q二、直线与平面所成的角二、直线与平面所成的角1. 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫这条斜线和这个平面所成的角2.角的取值范围：°°££900q 。
三、两个半平面所成的角即二面角：三、两个半平面所成的角即二面角： 1、从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》测试卷及答案解析
2019-2020学年高中数学必修二《2.1空间点、直线、平面之间的位置关系》参考答案与试题解析一．选择题（共37小题）1．如图所示，用符号语言可表达为（）A．α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂n D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n【分析】结合图形考查两个平面的位置关系、两条直线的位置关系，以及点与线、线与面的位置关系．【解答】解：如图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n⊂α，m∩n＝A，故选：A．【点评】本题考查平面的画法及表示，点、线、面之间的位置关系的符号表示．2．两个平面能把空间分成几个部分（）A．2或3B．3或4C．3D．2或4【分析】根据平面之间的关系，即可得到结论．【解答】解：若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分，故选：B．【点评】本题主要考查平面的概念以及平面的基本性质的应用．3．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以表示为（）A．A⊂a，a⊂α，B∈αB．A∈a，a⊂α，B∈αC．A⊂a，a∈α，B⊂αD．A∈a，a∈α，B∈α【分析】直接按照平面内点、线、面的位置关系，写出结果即可．【解答】解：A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为：A∈a，a⊂α，B∈α．故选：B．【点评】本题考查空间中，点、线、面的符号表示方法，基本知识的考查．4．若点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作（）A．B∈b∈βB．B∈b⊂βC．B⊂b⊂βD．B⊂b∈β【分析】由题意，点B在直线b上，b在平面β内，点与面之间的关系是属于关系，线与面之间的关系是包含关系，由此三者之间的关系易得【解答】解：由题意，点B在直线b上，b在平面β内，则B、b、β之间的关系可记作B∈b⊂β故选：B．【点评】本题考查平面的概念及表示，解题的关键是理解平面的概念及平面中点线面之间表示的符号，本题是基础概念考查题，对点线面间关系规范书写是解题的重点5．若A，B表示点，a表示直线，α表示平面，则下列叙述中正确的是（）A．若A⊂α，B⊂α，则AB⊂αB．若A∈α，B∈α，则AB∈αC．若A∉a，a⊂α，则AB∉αD．若A∈a，a⊂α，则A∈α【分析】本题要正确应用点，线，面之间的关系和符号表示，利用公理一判断即可．【解答】解：点与面的关系用符号∈，而不是⊂，所以答案A错误；直线与平面的关系用⊂表示，则AB∈α表示错误；点A不在直线a上，但只要A，B都在平面α内，也存在AB⊂α，答案C错误；而A∈a，a⊂α，则A∈α，所以答案D正确．故选：D．【点评】立体几何图形语言、符号语言、文字语言之间三者之间相互转化，对公理一要准确理解到位．6．经过空间不共线的四点，可确定的平面个数是（）A．1B．4C．1或4D．1或3【分析】分四个点在一个面和三个点在一个面，另一个点在平面外三种情况讨论．【解答】解：当这四个点在一个平面内时候，确定一个平面；当三个点在一个平面上，另一个点在平面外时候，确定四个平面，可想象一些三棱锥的样子．故选：C．。
《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题(含答案)
《必修2》第二章“点、直线、平面之间的位置关系”测试题一、选择题：(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符号题目要求的)1.若直线l 不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）A.α内所有的直线都与l 异面B.α内不存在与l 平行的直线C.α内所有的直线都与l 相交D.直线l 与平面α有公共点 2. 给出下列命题：（1）和直线a 都相交的两条直线在同一个平面内； （2）三条两两相交的直线在同一平面内； （3）有三个不同公共点的两个平面重合； （4）两两平行的三条直线确定三个平面． 其中正确命题的个数是（ ） A ．0B ．1C ．2D ．33.空间四边形ABCD 中，若AB AD AC CB CD BD =====，则AC 与BD 所成角为( )A.030B.045C.060D.090 4.给出下列命题：（1）直线l 与平面α不平行，则l 与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线l 与平面α不垂直，则l 与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线,a b 不垂直，则过直线a 的任何平面与直线b 都不垂直； （4）若直线a 和b 共面，直线b 和c 共面，则a 和c 共面 其中错误命题的个数为（ ）A.0B.1C.2D.35．正方体1111ABCD A B C D -中，与对角线1AC 异面的棱有（ ）条 A.3 B.4 C.6 D.86. 点P 为ABC ∆所在平面外一点，PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，若PA PB PC ==，则点O 是ABC ∆的（ ）BA.内心B.外心C.重心D.垂心 7.如图长方体中，AB AD ==1CC =，则二面角 1C BD C --的大小为（ ）A ．300B.450C.600D.900AB CD A 1B 11D 18.已知直线,,a b c 及平面,αβ，下列命题正确的是（ ）A.若,,,a b c a c b αα⊂⊂⊥⊥，则c α⊥B.若,//b a b α⊂ ，则//a αC.若//,a b ααβ=，则//a b D.若,a b αα⊥⊥，则//a b9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）A.α内有无穷多条直线与β平行；B.直线l //α,l //βC.直线m α⊂,直线n β⊂,且m //β,n //αD.α内的任何直线都与β平行 10. 如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中：①BM 与ED 平行． ②CN 与BE 是异面直线．③CN 与BM 成60˚角． ④DM 与BN 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是（ ） Ａ．①②③ Ｂ．②④ Ｃ．③④Ｄ．②③④二、填空题：(本大题共5个小题，每小题5分，共25分)11．已知两条相交直线a ，b ，a α平面∥则b 与α的位置关系是 ．12．空间四边形ABCD 中，E ，F ，G ，H 分别是AB ，BC ，CD ，DA 的中点，若AC BD a ==，且AC 与BD 所成的角为90，则四边形EFGH 的面积是 ． 13．如图，ABC 是直角三角形，90ABC ∠=，P A ⊥平面ABC ，此图形中 有 个直角三角形.14．已知a b ，是一对异面直线，且a b ，成70角，P 为空间一定点， 则在过P 点的直线中与a b ，所成的角都为70的直线有 条．15．已知平面αβ//，P 是平面αβ，外的一点，过点P 的直线m 与平面αβ，分别交于A C ，两点，过点P 的直线n 与平面αβ，分别交于B D ，两点，若698PA AC PD ===，，，则BD 的长为 。