北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件(1)
-4-
§4 用向量讨论垂直与平行
一
二
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J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理 如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行. 2.线面平行判定定理 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行. 3.面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行.
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§4 用向量讨论垂直与平行
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探究一
探究二
探究三
求平面的法向量
要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用 待定系数法求解,一般步骤如下:
(1)设出平面的法向量为 n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
∴������������1 =(0,2,1),������������=(2,0,0),������������ =(0,2,1).
设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 ADE 和平面 B1C1F 的法向量, 则 n1⊥������������,n1⊥������������,
思路分析:可采用待定系数法,设出法向量,根据它和 α 内不共线两个向 量的垂直关系建立方程组进行求解.
解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
∴������������ =(1,-2,-4),������������ =(2,-4,-3).
设平面 α 的法向量是 n=(x,y,z), 依题意,应有 n·������������=0,且 n·������������=0, 即 ������-2������-4������ = 0, 解得 z=0,且 x=2y.
a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组
������·������ = 0, ������·������ = 0. (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量.由于一个平面的法向量有 无数个,故可在代入方程组的解中取一个最简单的作为平面的法向量. 确定平面的法向量通常有两种方法:①几何体中已经给出有向线段,只 需证明线面垂直.②几何体中没有具体的直线,此时可以采用待定系数法求 解平面的法向量.
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思考 2 如何利用向量知识判断直线、平面的平行?
提示:平行关系包括:线线平行、线面平行和面面平行.用向量知识判断 时,主要是研究直线的方向向量、平面的法向量之间的关系.通常情况下,构 建空间直角坐标系,用坐标运算进行求解.两条直线(不重合)的方向向量共 线时,两条直线平行.一条直线与一个平面的法向量垂直时,若直线不在平面 内,则直线与平面平行.两个平面(不重合)的法向量共线时,两个平面平行.通 常,用向量共线的充要条件或向量数量积的计算公式求解.
证法二:������������
=
������������
+
������������
+
������������
=
1 2
������������
−
������������
+
1 2
������������1 ,
������������
=
������������1
+
������1 ������1
+
������1 Q
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一
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思考 1 如何利用向量知识判断直线、平面的垂直?
提示:垂直关系包括:直线与直线的垂直,常用两条直线的方向向量的数 量积为 0 来判断;直线与平面的垂直,常用直线的方向向量与平面的法向量 共线来判断;平面与平面垂直,常用法向量互相垂直来判断.用向量知识来探 讨空间的垂直问题,主要研究向量的共线或垂直,以便用向量的基本运算进 行求解.当几何体比较特殊时,构建空间直角坐标系解题较为简单.
2������-4������-3������ = 0, 令 y=1,则 x=2. 故 n=(2,1,0)是平面 α 的一个法向量.
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探究一
探究二
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∴ ������1·DA = 2x1 = 0, ������1·AE = 2y1 + z1 = 0,
∴ ������1 = 0, 取 ������1 = -2������1,
y1=1,则
n1=(0,1,-2).
同理可求 n2=(0,1,-2).
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一
二
一、空间中的垂直关系
1.线面垂直判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平面垂 直. 2.面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直. 3.三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投影,则 这两条直线垂直. 4.三垂线定理的逆定理 如果平面内的一条直线 a 垂直于平面外的一条直线 b,那么 a 垂直于直 线 b 在平面上的投影.
证明:PQ∥RS. 思路分析:证明线线平行可以转化为证明它们的方向向量平行.
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证法一:以 D 为原点,DA,DC,DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建 立如图所示的空间直角坐标系 D-xyz.
点评用待定系数法求平面的法向量,关键是在平面内找两个不共
线的向量,然后列出方程组,方程组有无数组解,取其中的一组解即可,但要 注意在取方程组的一组解时,不能都取零,否则得到零向量,而零向量的方向 不能确定,不能作为法向量.
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(1)∵n1·������������1 =(0,1,-2)·(0,2,1)=0,
∴n1⊥������������1 . 又 FC1⊈ 平面 ADE,∴FC1∥平面 ADE. (2)∵n1∥n2,∴平面 ADE∥平面 B1C1F.
思路分析:用向量证明面面平行有两个途径:利用面面平行的判定定理, 即证明一个平面内的两个不共线的向量都平行另一个平面;证明两个平面 的法向量平行.
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证明:如图所示,建立空间直角坐标系 D-xyz,则有 D(0,0,0),A(2,0,0), C(0,2,0),C1(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1),
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课程目标
学习脉络
1.能用向量语言表述线线、线面、面面的平 行、垂直关系. 2.能用向量方法证明有关线、面位置关系的 一些定理. 3.能用向量方法解决立体几何中的平行、垂 直问题,体会向量方法在研究几何问题中的 作用,并培养学生的运算能力.
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探究一
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【典型例题 1】 已知平面 α 经过三点 A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),试求 平面 α 的一个法向量.
则 P(3,0,1),Q(0,2,2),R(3,2,0),S(0,4,1).
∵������������ =(-3,2,1),������������ =(-3,2,1),
∴������������ = ������������.∴������������ ∥ ������������,即 PQ∥RS.
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数学第二章4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)
ED→′ ＝ (0， 0， 1)－(1， 0，1)＝ (－ 1， 0，1)．
2
2
∵B→F ＝ED→′ ，
∴B→F ∥ED→′ .
又直线 BF 与 ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
法二：B→F＝B→C＋C→F＝B→C＋1C→ C′ 2
＝A→D＋1DD→′， 2
ED→′ ＝EA→′ ＋A→′D′＝1AA→′ ＋A→D 2
线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1m1＋b1n1 ＋c1p1＝0； 面面平行 u∥α∥v β⇔_________⇔u＝kv⇔(m1， n1 ， p1) ＝ k(m2 ， n2 ， p2) ⇔ m1 ＝ km2 ， n1 ＝ kn2,p1＝kp2.
(2)线线垂直 l⊥m⇔a·ba＝⊥0b⇔_________⇔a1a2
y1＝－ x1.
令
x1＝ 1，则
n1＝
(1，－
1，1)． 2
设平面 BDEF 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··ED→→FE＝＝
0，即2x2＋ 0， 2y2＋
24yz22＝＝00，，即xz22＝＝－－12yy2，2，
＝A→D＋1DD→′， 2
∴B→F ＝ED→′ ，B→F ∥ED→′ .
又直线 BF 与 ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
【名师点评】 当两条直线的方向向量平行 时，依据图形说明一个向量所在直线上的点 不在另一个向量所在直线上，从而得到空间 两条直线平行．
变式训练 1.已知三棱锥O－ABC中，OA＝1，OB＝1，OC ＝2，OA、OB、OC两两互相垂直，如何找出 一点D，使得BD∥AC，DC∥AB?
2.已知a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量,
且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是
高中数学 用向量讨论垂直与平行参考课件 北师大版选修21
0
0
第四页，共18页。
二、新课
（一）用向量处理平行 (píngxíng)问题
（二）用向量(xiàngliàng)处 理垂直问题
第五页，共18页。
（一）用向量处理(chǔlǐ)平行问
题例1: 如图已知四边形ABCD、
E
ABEF为两个正方形,
MN分别在其对角线BF上, F M
B
且FM AN.求证：MN // 平面EBC
线（关线1系）平平行行(p(pílní/ng/gxmíxníngg) )a
//
b
a
b
线面平行 面面平行
l // //
a u //
u v
a u
u 0
v
第三页，共18页。
设直线l，m的方向向量分别为a， b， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
线线关面（面系线面2垂垂）垂直直垂直((直cchhl(lucuíhzízuhmhííz)í)hí) aau// ubvaaubvu
（化为 向量问题）
（2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及 它们之间距离和夹角等问题；
（进行向量运算）
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义。
（回到图形 问题）
第二页，共18页。
2、平行与垂直关系(guān xì)的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a， b， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
第十五页，共18页。
三、小结(xiǎojié)
利用向量解决平行与垂直问题 向量法：利用向量的概念技巧运算解决问 题。 坐标法：利用数及其运算解决问题。
两种方法经常结合起来(qǐ lái)使用。
第十六页，共18页。
(zuòyè)
用向量讨论垂直与平行(2)(北师大版选修2-1)PPT课件
例3 :
Z
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
E
A' F (1,1, 2),
DB (2, 2,0), DE (0, 2,1)
F
Y
A' F • DB (1,1, 2) • (2, 2,0) 0,X
A' F • DE (1,1, 2) • (0, 2,1) 0 A' F DB, A' F DE,又DB DE D. A' F 平面BDE
方能减少运算量。本题选用了坐标法。
9
（二）用向量处理垂直问题 Z
例3 :
在正方体ABCD A' B 'C ' D '中.
E
E,F分别是CC ', BD的中点.
求证：A' F 平面BDE.
证明:如图
Y
F
取DA, DC, DD '分别为x轴,y轴,z轴X 建立空间直角坐标系,
设正方体的棱长为2.
A(2,0,0),B(2,2,0),A '(2,0,2),E(0,2,1),F(1,1,0) 10
（3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义（。回到图形 问题）
2
2、平行与垂直关系的向量表示
设直线l，m的方向向量分别为a ，b ， 平面 ， 的法向量分别为 u，v
（1）平行关系
线线平行 l // m
a
//
b
a b
线面平行 面面平行
l // //
a u //
u v
a u
北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件
• 3．对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
• (1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共 线．
• (2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面 的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面 内的两条相交直线的方向向量是否共面．
• (3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共 线．
• 如 AB图＝，5，在A直A1＝三4棱，柱点ADB是C－ABA的1B1中C1点中．，AC＝3，BC＝4， • (1)求证：AC⊥BC1； • (2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，又 CC1⊥平面 ABC，
证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面 EFG 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，
则 m·E→F＝(x1，y1，z1)·(0，－1,1)＝－y1＋z1＝0，m·F→G＝(x1， y1，z1)·(1,1,0)＝x1＋y1＝0，
从而，得 x1＝－y1＝－z1. 设 x1＝－1，则 m＝(－1,1,1)．
• [分析] 用向量证明面面平行 有两个途径：利用面面平行的 判定定理，即证明一个平面内 的两个不共线向量都平行于另 一个平面；证明两个平面的法 向量平行．
[证明] 证法一：如图，以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C， D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D－xyz，不妨设正方体的棱 长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)．
∴n＝(－1,1,1)，
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量，
高中数学课件-2.4用向量讨论垂直与平行 课件(北师大版选修2-1)
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3．三垂线定理 (1)三垂线定理：若平面内的一条直线垂直于平面外的一条 直线在该平面上的__投__影____，则这两条直线垂直． (2)三垂线定理的逆定理：若平面内的一条直线垂直于平面 外的一条直线，则这条直线也垂直于直线在该平面内的 _投__影_____．
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一般采用以下步骤来求法向量． (1)建立空间直角坐标系，设法向量 n＝(x，y，z)． (2)找出平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(x1，y1，z1)， b＝(x2，y2，z2)． (3)建立方程组nn··ab＝ ＝00 . (4)解方程组，由于解不确定，只取其中一组解，也就求出 此平面的一个法向量．
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC，BC，C1C 两两垂直．
如图，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB，CC1 分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则 C(0,0,0)，A(3,0,0)，C1(0,0,4)， B(0,4,0)，B1(0,4,4)，D(32，2,0)．
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5．利用空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题 中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以 及它们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
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第二章 空间向量与立体几何
2.4用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1精品课件
列条件,判断l1,l2的位置关系.
(1)a (2,1,2),b(6,3,6) 平行或重合
(2)a (1,2,2),b(2,3,2)
垂直
(3)a (0,0,1),b(0,0,3)
平行或重合
巩固性训练2
1.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据
下列条件,判断α,β的位置关系.
(1)u (2,2,5),v (6,4,4) (2)u (1,2,2),v (2,4,4)
；
解4：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1
中，E、F分别是BB1,，
l
a
b
m
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则
(2) la//u au
l
u
a
C
A
B
设直线 l,m 的方向向量分别为 a, b ，
平面, 的法向量分别为 u, v ，则 （3）u v u v0
平行或重合
巩固性训练2
1.设 u , v 分别是平面α,β的法向量,根据
A
2.一个平面的所有法向量都
互相平行;
3.向量n 是平面的法向量，向
量m 是与平面平行或在平面
内，则有 n m 0
问 题 ： 如 何 求 平 面 的 法 向 量 ？
(1)设出平面的法向量n为 (x, y, z)
(2)找出（求出）平 两面 个内 不的 共线的 向量的坐 a标 (a1,b1,c1),b(a2,b2,c2) (3)根据法向量的定关义于 x建 , y,立 z的 方程组 n•a0
线线平行 l1 // l2 e1 // e2 e1 e2 ；
线面平行l1 // 1 e1 n1 e1 n1 0 ；
高中数学选修2-1北师大版 用向量讨论垂直与平行 课件(40张)
③证明一个平面的法向量也是另一个平面的法向量．
(3)当几何体的形状不易建系或建系后各点的坐标不易求出时，可
利用基向量把需要的向量表示出来，通过基向量间的运算来解决问 题．
(4)用向量法证明线段垂直
证明两直线的方向向量垂直． (5)用向量法证明线面垂直
设a表示一条直线的方向向量，n是平面的法向量．
①a∥n，则线面垂直． ②在平面内找到两条不共线的直线，分别求出它们的方向向量b，
对于证 CO2⊥AD ，因为 CO2 是 BC的射影，所以只需证 BC⊥AD. 而
在平面BCD中，AD是平面BCD的斜线，DO1是AD的射影，所以只要证 BC⊥DO1即可，而这是显然成立的．
[证明] 连接DO1，BO1，AO2，CO2并延长至与线段相交． ∵O1是△BCD的垂心，∴DO1⊥BC. 又AO1⊥平面BCD， ∴DO1是AD在平面BCD内的射影， ∴BC⊥AD(三垂线定理)． ∵BC是平面ACD的斜线，BO2⊥平面ACD， ∴CO2是BC在平面ACD内的射影， ∴CO2⊥AD(三垂线定理的逆定理)． 同理，AO2⊥CD.故O2是△ACD的垂心．
§4 用向量讨论垂直与平行
重点：用向量方法证明垂直与平行． 难点：正确建系，准确表示相关向量的坐标.
一、直线、平面间的平行、垂直
设空间中两条直线l1，l2的方向向量分别为e1，e2，平面α 的法向
量为n，则： 平行 l1与l2 l1与α ________ ________ 垂直 ________ ________
c，只需证明a⊥b，a⊥c.
(6)用向量法证明面面垂直 ①转化为证线面垂直．
②证两平练] 2．直线 l1 的方向向量为 v1＝(1,0，－1)，直线 l2 的方向向量为 v2＝ (－2,0,2)，则 l1 与 l2 的位置关系是( A．平行 B．相交 ) C．垂直 D．不能确定
2.4《用向量讨论垂直与平行》课件(北师大版选修2-1)(北师大版选修2-1)
2 3
5.已知α ∥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m，n，且m＝ (1，－2，5)，n＝(－3，6，z)，则z＝______． 【解析】因为α∥β，所以m∥n，所以 ，
所以z=－15.
答案：－15
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD， AD＝PD＝2．AB＝4，E，F分别为CD,PB的中点． 求平面AEF的一个法向量的坐标．
3
2.平面α 的法向量为m，若向量AB⊥m，则直线AB与平面α 的 位置关系为( (A)ABα (C)ABα 或AB∥α ) (B)AB∥α (D)不确定
【解析】选C.因为向量没有位置，是可以平行移动的，所以直
线AB可能平行平面也可能在平面内.
3.已知空间中三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1,－1，5)， 若向量 a 分别与AB,AC都垂直，且|a|= ，则 a =( 3 )
【解析】选B.因为（-1,1, -1）·（1，2，1）=0，且（-1,1, -1）·（-1，1，2）=0.
所以选项B中的向量与平面内的两个向量都垂直.
2.（5分）若直线l的方向向量为a=（2，3，5），平面α 的法
向量为n=（1，0，2），则(
（A）l∥α （C）l α
)
（B）l⊥α （D）l与α 斜交
D1(0，0，4)，C1(0，2，4)，E(1，0，4)，F(0，0，2)， M(1，
2，0)，N(2，2，2)．
1.（5分）设平面α 内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、 （-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( （A）（-1，-2，5） （C）（1, 1,1） （B）（-1,1, -1） （D）（1，-1，-1） )
5.已知α ∥β ，平面α 与平面β 的法向量分别为m，n，且m＝ (1，－2，5)，n＝(－3，6，z)，则z＝______． 【解析】因为α∥β，所以m∥n，所以 ，
所以z=－15.
答案：－15
三、解答题（6题12分，7题13分，共25分） 6.如图，四棱锥P－ABCD中,底面ABCD为矩形，PD⊥底面ABCD， AD＝PD＝2．AB＝4，E，F分别为CD,PB的中点． 求平面AEF的一个法向量的坐标．
3
2.平面α 的法向量为m，若向量AB⊥m，则直线AB与平面α 的 位置关系为( (A)ABα (C)ABα 或AB∥α ) (B)AB∥α (D)不确定
【解析】选C.因为向量没有位置，是可以平行移动的，所以直
线AB可能平行平面也可能在平面内.
3.已知空间中三点A(0，2，3)，B(－2，1，6)，C(1,－1，5)， 若向量 a 分别与AB,AC都垂直，且|a|= ，则 a =( 3 )
【解析】选B.因为（-1,1, -1）·（1，2，1）=0，且（-1,1, -1）·（-1，1，2）=0.
所以选项B中的向量与平面内的两个向量都垂直.
2.（5分）若直线l的方向向量为a=（2，3，5），平面α 的法
向量为n=（1，0，2），则(
（A）l∥α （C）l α
)
（B）l⊥α （D）l与α 斜交
D1(0，0，4)，C1(0，2，4)，E(1，0，4)，F(0，0，2)， M(1，
2，0)，N(2，2，2)．
1.（5分）设平面α 内两个向量的坐标分别为（1，2，1）、 （-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是( （A）（-1，-2，5） （C）（1, 1,1） （B）（-1,1, -1） （D）（1，-1，-1） )
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一课件北师大版选修2_1
利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系， 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为 向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题 再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平 面平行.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平 面平行.
高中数学北师大版选修2-1 2.4用向量讨论垂直与平行 课件(48张)
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【做一做 2】 已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一 个法向量. 解 :设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z). 由题意得 ������������ = (−1,1,0), ������������ = (1,0, −1). ������· ������������ = -������ + ������ = 0,
∵n⊥ ������������ , 且n⊥������������ , ∴
������· ������������ = ������-������ = 0. ∴平面 ABC 的一个法向量 n=(1,1,1).
令x=1,得 y=z=1.
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3.垂直与平行的相关定理 (1)线面垂直判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平 面垂直. (2)面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平 面平行. (3)三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投 影,则这两条直线垂直.
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2������ , 3
【做一做3-2】 如图,已知矩形ABCD,PA=AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等 于 .
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解析 :建立如图所示的空间直角坐标系,设 |������������ | = ������, 则A(0,0,0),Q(1,b,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,a,0),
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(4)面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直. 说明:用空间向量解决空间线面关系的步骤: ①建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及 的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; ②通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之 间的距离和夹角等问题; ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.