三角形的角平分线和中线PPT课件
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三角形高、中线与角平分线课件
三角形的性质法
利用三角形的性质，如角的和差、 外角等于不相邻两内角之和等性质 来证明角平分线。
角平分线在三角形中的位置
角的内部
角平分线一定在角的内部 。
边的中点
角平分线上的点是相对边 的中点。
垂直平分线
在等腰三角形中，顶角的 角平分线也是底边的垂直 平分线。
04
三角形高、中线与角平分 线的相互关系
中线的判定方法
判定方法一
通过三角形的顶点和对边的中点连接，如果这条线段平分对边，则这条线段是 中线。
判定方法二
如果一条线段经过三角形一边的中点，并且这条线段将相对的边分为两段相等 的部分，则这条线段是中线。
中线在三角形中的位置
中线与三角形其他线的关系
中线与三角形的角平分线、高线等其他重要线段存在特定的位置 关系。
在求解三角形问题时，高、中线和角平分线还可以帮助判断三角形的形状和大小。
在解决实际问题中的应用
三角形高、中线和角平分线在解决实 际问题中也有广泛的应用，如建筑设 计、工程测量和航海等。
在工程测量时，可以利用高、中线和 角平分线的性质来测量物体的尺寸和 角度，以确保工程的质量和精度。
在建筑设计时，可以利用高、中线和 角平分线的性质来设计建筑物的结构 ，以确保建筑物的稳定性和安全性。
中线将相对边分为两个相等的部分，并且与三角 形的两个顶点相连。
角平分线的性质
角平分线将相对边分为两个相等的部分，并且与 三角形的两个角相交于一点。
05
三角形高、中线与角平分 线的应用
在几何证明中的应用
三角形高、中线与角平分线是几何证 明中的重要工具，它们在证明三角形 性质和定理时有着广泛的应用。
高线位置
高线是从三角形的一个顶点垂直 到对边的线段。
利用三角形的性质，如角的和差、 外角等于不相邻两内角之和等性质 来证明角平分线。
角平分线在三角形中的位置
角的内部
角平分线一定在角的内部 。
边的中点
角平分线上的点是相对边 的中点。
垂直平分线
在等腰三角形中，顶角的 角平分线也是底边的垂直 平分线。
04
三角形高、中线与角平分 线的相互关系
中线的判定方法
判定方法一
通过三角形的顶点和对边的中点连接，如果这条线段平分对边，则这条线段是 中线。
判定方法二
如果一条线段经过三角形一边的中点，并且这条线段将相对的边分为两段相等 的部分，则这条线段是中线。
中线在三角形中的位置
中线与三角形其他线的关系
中线与三角形的角平分线、高线等其他重要线段存在特定的位置 关系。
在求解三角形问题时，高、中线和角平分线还可以帮助判断三角形的形状和大小。
在解决实际问题中的应用
三角形高、中线和角平分线在解决实 际问题中也有广泛的应用，如建筑设 计、工程测量和航海等。
在工程测量时，可以利用高、中线和 角平分线的性质来测量物体的尺寸和 角度，以确保工程的质量和精度。
在建筑设计时，可以利用高、中线和 角平分线的性质来设计建筑物的结构 ，以确保建筑物的稳定性和安全性。
中线将相对边分为两个相等的部分，并且与三角 形的两个顶点相连。
角平分线的性质
角平分线将相对边分为两个相等的部分，并且与 三角形的两个角相交于一点。
05
三角形高、中线与角平分 线的应用
在几何证明中的应用
三角形高、中线与角平分线是几何证 明中的重要工具，它们在证明三角形 性质和定理时有着广泛的应用。
高线位置
高线是从三角形的一个顶点垂直 到对边的线段。
9.3 三角形的角平分线、中线和高 课件 (共30张PPT) 数学冀教版七年级下册
高(D) C
AD
D
BC B
B C
CA B
A.
B.
AD C.
D
A
D.
2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角 形的一个顶点，那么这个三角形是（ B ） A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形
3、如图，△ABC中，AD是BC边上的中线，若△ABC的周长
为35 cm，BC=11 cm，且△ABD与△ACD的周长之差为3 cm，
知识点1 三角形的角平分线
1.复习用量角器或折纸的办法画出或折出 一个角的平分线。
角平分线的定义及画法： 从一个角的顶点引出的一条射 线把这个角分成两个相等的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
2.什么是三角形的角平分线？
定义：在三角形中，一个内角的平分线与
这个角的对边相交，这Байду номын сангаас角的顶点和交点
A
之间的线段叫三角形的角平分线。
如图，△ABC 中，AD 是△ABC 的角平分线，DE∥AC，DF∥AB，
EF 交AD 于点O，请问DO 是△DEF 的角平分线吗？说明理由．
导引：要知道DO 是不是△DEF 的角平 分线，只需要知道∠EDO 与 ∠FDO 是否相等．若相等，根 据三角形的角平分线的定义即 可判定．
解：DO 是△DEF 的角平分线．理由如下： 因为AD是△ABC 的角平分线， 所以∠DAB＝∠DAC (角平分线定义)．
若和“DE∥AB ”交换． 理由如下：∵DF∥AC，∴∠FDA＝∠EAD.
∵AD 是∠CAB 的平分线， ∴∠EAD＝∠FAD.∴∠FAD＝∠FDA. ∵DO 是∠EDF 的平分线， ∴∠EDA＝∠FDA.∴∠EDA＝∠FAD.
∴DE∥AB.
角形的高.中线.角平分线课件
能力，以及计算建筑物的面积和体积等。
三角形中线在建筑布局中的应用
02
在建筑布局中，三角形中线可以用来确定建筑物的对称性和平
衡感，以及优化建筑物的空间利用率。
角平分线在建筑美学中的应用
03
在建筑美学中，角平分线可以用来实现建筑物的对称美和平衡
美，以及创造多样化的建筑形态和风格。
在优化问题中应用
利用三角形高优化路径规划
通过三角函数将角度和边长联系起来，实现问题的求解。
三角形高、中线、角
04
平分线在几何证明中
应用
在证明线段相等或成比例中应用
利用三角形的高
利用三角形的角平分线
在等腰三角形或等边三角形中，高可 以将底边平分，从而证明两条线段相 等。
角平分线将一个角平分为两个相等的 小角，并且与对边相交，将对边分为 两段成比例的线段。
性质
01
02
03
三角形的中线是线段。
三角形的中线平行于对应的 底边且等于底边的一半。
04
05
任意三角形的三条中线交于 一点，该点称为三角形的重
心。
角平分线定义及性质
性质
三角形的角平分线是射线。
三角形的角平分线将对应角平分 为两个相等的小角。
定义：从一个角的顶点引出一条射线 ，把这个角分成两个完全相同的角， 这条射线叫做这个角的平分线。
在其他领域应用
三角形高在物理学中的应用
在物理学中，三角形高可以用来描述物体的运动轨迹和速度变化 等物理现象。
三角形中线在化学中的应用
在化学中，三角形中线可以用来表示分子结构和化学键等化学概念。
角平分线在地理学中的应用
在地理学中，角平分线可以用来描述地球表面的地形地貌和气候变 化等地理现象。
三角形的高线中线角平分线优秀课件
∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
小结: ①任何三角形有三条中线，并且
都在三角形 的内部，交与一 点。 ②三角形的中线是一条线段。 ③三角形的任意一条中线把这个
三角形分成了两个面积相等的 三角形。
我来分地
❖ 如图有一块三角形的菜地，现在要求
分成面积比为2：3：4三块，且图中 A处是三块菜地的共同的水源处。问： 怎样分？
A
·
· · B
C
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD， 交∠A所对的边BC于点D，
线段AD叫做ΔABC的
角平分线。
●
B
A
F ●
●
●E
●
●
D
C
画一画 画出ΔABC的另外两条角平分线； 想一想 观察三条角平分线，说说你的发现。
对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果？
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点
角平分线的理解
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
A
【拓展训练】
B
D
C
1、已知，AD是△ABC的中线△ABD的周长比△ACD的周
长大3cm，AB=8cm，则AC=
2、如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A=40º， 则∠O= 3、如图， AD是△ABC的中线，则S△ABD S△ACD
4、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，斜边AB的 高为CD，AC=3，BC=4，AB=5
求：CD的长
C
A
A
D
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
三角形 的高线
从三角形的一个顶 点向它的对边所在 的直线作垂线,顶 点和垂足之间的线 段
小结: ①任何三角形有三条中线，并且
都在三角形 的内部，交与一 点。 ②三角形的中线是一条线段。 ③三角形的任意一条中线把这个
三角形分成了两个面积相等的 三角形。
我来分地
❖ 如图有一块三角形的菜地，现在要求
分成面积比为2：3：4三块，且图中 A处是三块菜地的共同的水源处。问： 怎样分？
A
·
· · B
C
三角形的角平分线
画∠A的平分线AD， 交∠A所对的边BC于点D，
线段AD叫做ΔABC的
角平分线。
●
B
A
F ●
●
●E
●
●
D
C
画一画 画出ΔABC的另外两条角平分线； 想一想 观察三条角平分线，说说你的发现。
对于其它的任意三角形是不是也有同样的结果？
三角形的三条角平分线在三角形的内部交于一点
角平分线的理解
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.锐角三角形
A
【拓展训练】
B
D
C
1、已知，AD是△ABC的中线△ABD的周长比△ACD的周
长大3cm，AB=8cm，则AC=
2、如图，BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∠A=40º， 则∠O= 3、如图， AD是△ABC的中线，则S△ABD S△ACD
4、已知：如图，在Rt△ABC 中，∠ACB=90º，斜边AB的 高为CD，AC=3，BC=4，AB=5
求：CD的长
C
A
A
D
三角形的 重要线段
概念
图形
表示法
三角形 的高线
从三角形的一个顶 点向它的对边所在 的直线作垂线,顶 点和垂足之间的线 段
三角形的高、中线与角平分线课件(yong)
叫做三角形的角平分线。
●
︶
●
D
C
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三 角形的内部。
角平分线的理解
∵BE是△ABC的角平分线
A
1 ∴∠ABE=_____ = ∠ABC _____ ∠CBE 2
∵CF是△ABC的角平分线
B ∠ACF ∠BCF ∴∠ACB=2______=2______
5
2 3
4
3
2
1
0
D
C
0
1
2
3
4
5 5 5
0 1 4 5 6 7 8 8 8 9 1 1 10
锐角三角形的三条高
A F
∵AD是△ABC的高
B ∴AD⊥BC， ∠ADC=∠ADB=90°(高的定义)
E O C
D
锐角三角形的三条高交于同一点,交点在三角形内部.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
三角形的三条高的特性：
锐角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 直角三角形 钝角三角形
3
相交 相交
1
相交 相交 直角顶点
1
不相交 相交 三角形外部
三条高所在直线的交点的位置 三角形内部
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
A ∵AD是 △ ABC的角平分线 １ ∴∠ BAD = ∠ CAD = ２∠BAC B （角平分线的定义）
A
B
D
E
C
已知：AD,AM分别是△ABC的高和角 平分线，∠B=60°，∠C=40° 求：∠MAD的度数.
A
B
D
M
●
︶
●
D
C
三角形的三条角平分线相交于一点,交点在三 角形的内部。
角平分线的理解
∵BE是△ABC的角平分线
A
1 ∴∠ABE=_____ = ∠ABC _____ ∠CBE 2
∵CF是△ABC的角平分线
B ∠ACF ∠BCF ∴∠ACB=2______=2______
5
2 3
4
3
2
1
0
D
C
0
1
2
3
4
5 5 5
0 1 4 5 6 7 8 8 8 9 1 1 10
锐角三角形的三条高
A F
∵AD是△ABC的高
B ∴AD⊥BC， ∠ADC=∠ADB=90°(高的定义)
E O C
D
锐角三角形的三条高交于同一点,交点在三角形内部.
锐角三角形的三条高都在三角形的内部。
直角三角形的三条高
三角形的三条高的特性：
锐角三角形 高在三角形内部的数量 高之间是否相交 高所在的直线是否相交 直角三角形 钝角三角形
3
相交 相交
1
相交 相交 直角顶点
1
不相交 相交 三角形外部
三条高所在直线的交点的位置 三角形内部
三角形的角平分线
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
A ∵AD是 △ ABC的角平分线 １ ∴∠ BAD = ∠ CAD = ２∠BAC B （角平分线的定义）
A
B
D
E
C
已知：AD,AM分别是△ABC的高和角 平分线，∠B=60°，∠C=40° 求：∠MAD的度数.
A
B
D
M
三角形的中线与角平分线
中线与角平分线的应用
在几何学中，中线和角平分线的 性质和定理被广泛应用于证明和
解题。
例如，可以利用中线和角平分线 的性质证明三角形中的一些等式
或不等式。
此外，在三角形的面积计算中， 中线和角平分线也是常用的工具。
04 三角形中线与角平分线的定理和证明
CHAPTER
三角形中线定理
总结词
三角形中线定理描述了中线与基线之 间的关系，即三角形中线将相对边分 为两段相等的线段。
在等腰三角形中，中线也是底边 的垂直平分线，因此其长度等于
底边的一半。
在直角三角形中，斜边的中线长 度等于斜边的一半。
02 角平分线的定义与性质
CHAPTER
角平分线的定义
01
角平分线是从一个角的顶点出发 ，将该角平分的线段。
02
角平分线将相对边分为两段相等 的线段。
角平分线的性质
角平分线上的点到该 角的两边距离相等。
三角形三条中线
一个三角形有三条中线，分别连 接每个顶点与其对边中点。
三角形中线的性质
三角形中线与对应的底边平行且等于底边的一半。 三角形中线将对应的顶点与对边中点连接，且将相对的边分为两段相等的部分。
三角形中线将相对的角分为两个相等的角。
三角形中线的长度
三角形中线的长度等于从顶点垂 直于底边的线段长度的一半。
05 三角形中线与角平分线的实际应用
CHAPTER
在几何问题中的应用
三角形中线定理
三角形中线将三角形分为面积相等的两部分，且中线长度为 对应底边的一半。
角平分线定理
角平分线将相对边分为两段相等的线段，且角平分线长度为 相对边上的高的一半。
在三角函数中的应用
三角形的角平分线和中线-PPT课件
OBC OCB 1 (1800 800 ) 500 ,BOC 1300
2
3
任意画一个三角形，用刻度尺画BC的中 A 点D，连接AD。
在三角形中，连结一个顶 点与它对边中点的线段， 叫做三角形的中线。
B
D
C
书写形式：∵AD是△ABC中的BC边上的中线。 ∴BD＝CD
特别提醒：（1）三角形的中线是一条线段；（2）三角
形的中线的一端平分这条边。
4
Байду номын сангаас
操作归纳：
任意画一个三角形， 然后利用刻度尺画 出这个三角形的三 条中线，你有什么 发现？
三角形的三条中线相交于一点，交点在三角形内部。
5
巩固提升：
A
1.如图，AF是ΔABC的角平分线，AE是BC边
上的中线，选择“＞”“＜”或“=”号填空：
（1）BE_=__EC
（2）∠CAF_=__
点， CF C，D如果 ACB 7，0那么下列说法中错误的
是（ B） A．CF 平分 ACE B．B、 55 C．1 4 90
D．3 4 55
5．如图，E、 F、G 分别是 AB 、BC AC 边上的中点，则
S SABC __4___ SBEF ___4_____ FGC
9
大家有疑问的，可以询问和交流
形，这两个小三角形的周长的差是2cm。你能求出AB的长吗？
解 ABD的周长 AB AD BD
A
ACD的周长 AC AD DC
AD是中线 BD DC,两三角形
的周长差为: AB AC 2, AB 7
B
C D
7
课堂巩固：
1. 如图，在 ABC 中，若 BD平分 ABC
则下列说法中不正确的是（ D ）
三角形的高、中线与角平分线(ppt课件)
复习提问
1.什么叫线段的中点？
把一条线段分成两条相等的线段的点叫线段的中点
A
B
2.什么叫角平分线？
一条射线把一个角分成两个相等的角,这条射线叫做
这个角的平分线
B
O
A
复习提问 3.你还记得“过一点画已知直线的垂线”吗?
放、靠、过、画.
01
01
01
23
23
23
0
1 0 2 1 03 21 3 2
3
探究新知
B
C
探究新知
3.钝角三角形的三条高
(1)你能画出钝角三角形的三条高吗？
AF
(2)AC边上的高是__B_F__； BC边上的高是__A__D_；
DB
C
AB边上的高是__C_E__；
E
(3)钝角三角形的三条高交于一点吗?
钝角三角形的三条高不相交于一点.
O
(4)它们所在的直线交于一点吗?
钝角三角形的三条高所在直线交于一点.
三角形的中线
B
D
C
定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中 点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.
三角形中线的符号语言：
∵AD是△ABC的中线
∴BD=CD =12 BC
探究新知
思考2.如图，在△ABC中，还能画出几条中 线呢？你发现了什么特征？
还能画出2条，3条中线交于一点.
B
重心：三角形的三条中线相交于一点，三 角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
重心
A
O C
D
探究新知
1.如图，有一块三角形的菜地，现要求分成面积比为1：1：2
三块，且图中A处是三块菜地的共同水源处，应该怎么分？
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C
2
∵ ∠BAC+∠B+∠C=1800
（三角形的内角和定理）
∴∠BAC=1800-∠B-∠C=1800-450-600=750
∴∠B=∠CAE+∠C （三角形的一个外角等于和它
∠CAE=∠BAE
不相邻的两个内角的和）
∴∠AEB=37.50+600=97.50
试一试：
B
D
C
思考:
2
三（角1）形三的角角形平的分角线平与分角线的是平一分条线线有段什；么不同？
（2）三角形的角平分线仍具有角平分线的基本性质。
一个三角形有几条角平分线？ (三条)
请画出这个三角形的另外两 A
F
E
条角平分线,你发现了什么？
B
D
C
三角形的三条角平分线交于一点． 称之为三角形的内心．
角平分线的理解
A
∵BE是△ABC的角平分线
∴∠_A_B__E=_∠_C_B_E_= 1 _∠_A_B__C
F
E
O
2
∵CF是△ABC的角平分线
∴∠ACB=2__∠__A_C_F=2__∠_B_C_F_ B
D
C
.
9
3、填空：
（1）如图（1），AD，BE，CF是ΔABC的
三条中线，则AB=2__A_F_,BD= CD ,AE=_1_/2_A__C_.
B
间的线段
三角形 的中线
三角形中,连结一 个顶点和它对边 中点的线段
B
三角形一个内角
三角形的 角平分线
的平分线与它的 对边相交,这个角 顶点与交点之间
B
的线段
∵AD是△ABC的BC上的高 A 线. D C ∴AD⊥BC
∠ADB=∠ADC=90°.
A ∵ AD是△ABC的BC上的中 线.
D C ∴ BD=CD= ½BC.
A
A
B
C D
AB > AC
B
D
C
AB < AC
!
再 见
.
18
1
C
∠AOC=∠BOC= ∠AOB.
2
O
A
.
4
你能用同样的方法画出或折出任意一个三
角形的一个内角的平分线吗?
任意剪一张三角形纸片ABC，把内角∠ BAC对折 一次，使AB与AC重合，得到一条折痕AD。把三角形 纸片展开、铺平。AD一定平分∠ BAC吗？
A
B
D
C
用量角器画∠ＢＡＣ的平
分线交对边ＢＣ于Ｄ
3、如图，AF是ΔABC的角平分线，
AE是BC边上的中线，选择
A
“＞”、“＜”或“=”号填空：
（1）BE_=__EC （2）∠CAF_=__―12 ∠BAC B （3）∠AFB_=__∠C+∠FAB
（4）∠AEC_＞__∠B
EF
C
1、如图，在ΔABC中，∠ACB=90°，
CE是ΔABC的角平分线，已知
A ∵.AD是△ABC的∠BAC的 2 1 平分线 D C ∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
.
11
例１、如图,AE是 △ ABC的角平分线.已知∠B=4
0
0
５ , ∠ C=60 ,求下列角的大小.
(1) ∠BAE (2) ∠AEB
解：（１）∵ＡE是△ABC的角平分线
∴∠CAE=∠BAE= 1 ∠BAC
△ABC中,∠ABC=80°∠ACB=40°,BO、CO分别平
分∠ＡBＣ、∠ＡCＢ，求∠BOC的度数.
解：∵ ∠ABC=80° BO平分∠ＡBＣ A
∴∠OBC= 1∠ABC=40° 21
O
同理：∴∠OCB= 2∠ACB=20° B
C
∴∠BOC= 180°－ ∠OBC － ∠OCB
=180° － 40°－20° =120°
复习：三角形的中线的定义： 三角形中，连接一个顶点与它对边 中点的线
段,叫做这个三角形的中线.
如图，D为BC的中点，线段AD就ΔABC的BC边上的中线。 A
∵AD是△ ABC的 中线
∴BD = CD =
1BC 2
B
D
C
一特个点三：角（形1）有三几角条形中的线中?有线什是么一特条点线？段；
（2(）三三条角)形的中线的. 一端平分这条边。 1
补充练习 教材第五页第2题
（2）如图(2),AD，∠2BE，CF是ΔABC的三条角
平分线，则∠1=
,∠3=_∠_A_B__E_
∠ACB=2 ∠4 。
A
A
F
E
F 12 E
B
D
C
图1
B
3 D
4
C
图2
.
10
知识归纳
三角形的 重要线段
概念
图形
几何表示法
从三角形的一个
三角形 的高线
顶点向它的对边 所在的直线作垂 线,顶点和垂足之
∠CEB=110°，求∠A和∠B的度数。
C
A
E
B
2、如图，在△ABC中,BE是边AC上的中线. 已知AB=4cm,AC=3cm, BE=5cm, 求△ABE的周长.
A
E
B
C
3、已知△ABC中，AC=5cm。中线AD把△ABC分成两 个小三角形，这两个小三角形的周长的差是2cm。 你能求出AB的长吗？
A
B
D
C
∠BAD 和∠CAD 有什么关系？
∠BAD =∠CAD
三角形的角平分线的定义：
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，
这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
如图∠BAC的平分线交BC于点D,线段AD就是
△ABC的一条角平分线. A
∵ AD是 △ ABC的 角平分线
∠BAD =∠CAD = 1∠BAC
请画出这个三角形的另外两条中线，
你发现了什么？
A
F
E
B
D
C
三角形的三条中线交于一点．
称之为三角形的重心．
.
2
11.1.2 三角形的角平分线 和中线
怎样才能得到一个角的平分线?
角平分线
用量角器或折纸的办法
从一个角的顶点引出的一条射线，把这个
角分成两个相等的角。这条射线叫做这个角 的平分线。
B
如图，记作