数据库关系演算实例
《数据库原理》知识点之关系演算运算
2.3.1 元组关系演算 考核要求：达到“领会”和“简单应⽤” 层次知识点：元组关系演算的定义及表达式的含义 元组演算表达式的⼀般形式为：{t|P（t）} 其含义为：这是⼀个元组集合，其中的每个元组t（t是元组变量）满⾜公式P所规定的条件。
理解有关公式和原⼦公式的定义，对于公式中出现的符号，⽐如 、、=>、∧、∨、┐ 要理解其含义。
Notice：（1）结合例题和习题领会表达式的含义，⼀定要多做练习。
（2）对于给定的关系计算元组表达式的值。
（此部分内容为“简单应⽤”） 2.3.2 域关系演算 考核要求：达到“领会”和“简单应⽤” 层次知识点：域关系演算的定义及表达式的含义 域演算表达式的⼀般形式为：{t1……tk|P（t1……，tk）} 其含义为：这是⼀个域集合，其中每个域变量的取值关系满⾜公式P所规定的条件。
理解域公式的写法Notice： （1）结合例题和习题领会表达式的含义，⼀定要多做练习。
（熟能⽣巧） （2）对于给定的关系计算域表达式的值。
（此部分内容为“简单应⽤”） （3）表达式的转换不⽤强记，关键要从语义上理解。
2.3.3 关系运算的安全性和等价性 考核要求：达到“识记” 层次知识点：安全性和等价性的含义 （1）关系运算的安全性关系代数的运算总是安全性。
关系演算则可能出现⽆限关系（概念）和⽆穷验证（概念）问题。
在数据库技术中，不产⽣⽆限关系和⽆穷验证的运算称为安全运算，相应的表达式称为安全表达式，所采取的措施称为安全约束。
约定：运算只对表达式中公式在涉及到的关系的值范围内操作。
有了这⼀约定后，关系演算是安全的。
（2）关系运算的等价性并、差、笛卡⼉积、投影和选择是关系代数最基本的操作，并构成了关系代数运算的最⼩完备集。
已经证明，在这个基础上，关系代数、安全的元组关系演算、安全的域关系演算在关系的表达和操作能⼒上是安全等价的。
数据库关系代数与关系演算的应用
数据库关系代数与关系演算的应用数据库领域广泛应用着关系代数和关系演算这两种方法，以实现数据的存储、查询和处理。
关系代数通过一系列的操作符，如选择、投影、连接等，对关系进行操作；而关系演算则是一种基于谓词逻辑的查询方法。
本文将深入探讨这两种方法在数据库中的应用。
一、关系代数的应用1. 选择操作（Selection）：选择操作用于从关系中选择满足某一条件的元组。
例如，从学生表中选择出年龄大于等于18岁的学生信息。
选择操作在数据库中广泛用于过滤数据，实现查询结果的精确筛选。
2. 投影操作（Projection）：投影操作用于从关系中选择出指定的属性列。
例如，从学生表中选择出学生的姓名和成绩信息。
投影操作能够简化查询结果，提供所需的属性信息。
3. 连接操作（Join）：连接操作用于将两个或多个关系联接在一起，生成一个新的关系。
例如，通过学生表和课程表的连接操作，可以得到学生选修课程的相关信息。
连接操作在关系数据库中是非常重要的，能够实现多表查询，提供复杂的数据分析功能。
4. 并操作（Union）：并操作用于将两个关系的结果合并为一个。
例如，将两个部门员工列表的并操作，生成整个公司的员工列表。
并操作在数据库中常用于合并关系，实现数据的汇总和整合功能。
5. 差操作（Difference）：差操作用于从一个关系中删除另一个关系的所有元组。
例如，从全体学生表中删除已选课程的学生，得到未选课的学生列表。
差操作能够提供排除某些数据的功能，实现数据的筛选和去重。
二、关系演算的应用1. 元组关系演算（Tuple Relational Calculus）：元组关系演算是一种基于元组的查询方法，通过谓词逻辑来描述查询条件。
例如，查询成绩大于80分的学生信息，可以表示为{ s | ∃s (Student(s) ∧ s.成绩 > 80)}，其中Student(s)表示关系表，s表示元组，∧和∃分别表示逻辑与和存在量词。
元组关系演算适用于简单查询和条件判断，但不太适合复杂的数据操作和关联查询。
数据库关系演算
数据库关系演算介绍数据库关系演算是一种用于描述数据库操作和查询的形式化语言。
它是关系数据库理论的重要组成部分，能够提供一种形式化的方法来描述和操作数据库中的数据。
本文将详细介绍数据库关系演算的概念、类型和应用。
一、数据库关系演算概述数据库关系演算是一种描述和操作数据库关系的形式化语言。
它主要有两种类型：元组关系演算和域关系演算。
元组关系演算用于描述和操作数据库中的元组，而域关系演算用于描述和操作数据库中的域或属性。
1.元组关系演算（Tuple Relational Calculus）：由Codd于1972提出，它的基本思想是通过筛选满足某种条件的元组来实现对数据库的查询。
元组关系演算的语法简单明了，可以用来表达任何关系查询。
2.域关系演算（Domain Relational Calculus）：由Codd于1972提出，它的基本思想是通过在关系中限制属性的取值范围来实现对数据库的查询。
域关系演算通过描述属性之间的关系来实现查询。
二、元组关系演算元组关系演算是一种基于元组的查询语言，它通过描述满足特定条件的元组来进行查询。
元组关系演算有两种形式：简单元组关系演算和完整元组关系演算。
1.简单元组关系演算（Simple Tuple Relational Calculus）：它由一个简单的表达式组成，该表达式定义了查询的条件。
简单元组关系演算的查询结果是满足条件的元组集合。
2.完整元组关系演算（Complete Tuple Relational Calculus）：它由一个完整的表达式组成，该表达式定义了查询的条件和结果。
完整元组关系演算的查询结果包含满足条件的元组及其所有属性。
三、域关系演算域关系演算是一种基于属性的查询语言，它通过描述属性之间的关系来进行查询。
域关系演算有两种形式：简单域关系演算和完整域关系演算。
1.简单域关系演算（Simple Domain Relational Calculus）：它由一个简单的谓词组成，该谓词定义了查询的条件。
数据库关系运算
第3章 关系运算及关系系统
除法的性质：
（1） R÷S的结果属性是由属于R但不属于S的所有属性
构成的。
（2） R÷S的任一元组都是R中某元组的一部分。 （3） R（X，Y）÷S（Y，Z）≡R（X，Y）÷πY（S）
或构造临时关系T={P2，P4}， 再求
πE＃， P＃（EP）÷T
第3章 关系运算及关系系统
⑧ 检索参与全部项目职工姓名。
πEN（（（πE＃， P＃（EP））÷πP＃（P）） πE＃， P＃（EP）÷πP＃（σE＃=′E3′（EP）） E）
⑨ 检索参与项目包含职工E3参与项目的职工号，
或参与项目不包含职工E3所参与项目的职工号及姓名。
第3章 关系运算及关系系统
R÷S=πX（R）－πX（（πX（R）×S）－R）
（4） R÷S的计算过程如下：
① T=πX（R）;
② W=（T×S）－R;
③ V=πX（W）;
④ R÷S=T－V。
【例3.3】 给定关系R和S， 求R÷S。
第3章 关系运算及关系系统
图3.5 除法操作举例
第3章 关系运算及关系系统
然连接。 为了保留更多信息， 还有外连接、 半连接、 外部并-----扩充的关系代数运算。
第3章 关系运算及关系系统
1． 外连接（Outer join） 两个关系 R和 S 作自然连接时， 两个关系
公共属性上值不相等的元组无法进入连接后的
新关系， 造成R和S中部分元组值被舍弃。 有时希望这些该舍弃的元组继续保留在新关系 中-----外连接。
图3.7
S
SC运算结果
关系数据库关系代数运算
• 是一种抽象的查询语言
SQL
• 介于关系代数和关系演算之间 • 集DDL、DML和DCL一身的关系数据语言
2.2 关系数据结构的形式化定义
关系模型建立在集合代数基础上，从集合论角度讨论 关系的形式化定义
定义1：域(Domain)－形式化表示为D
• 一组具有相同数据类型的值的集合，如整数、实数等。定义
张三 女
802
李四 男
803
王五 男
804
赵六 女
805
钱七 男
01
19
01
20
01
20
02
20
02
19
专业号 01 02 03
专业名 信息 数学 计算机
关系间的引用
例2 学生、课程、学生与课程之间的多对多联系
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 课程（课程号，课程名，学分） 选修（学号，课程号，成绩）
外码说明
关系R和S不一定是不同的关系 目标关系S的主码Ks 和参照关系的外码F必
须定义在同一个（或一组）域上 关于取名
外码并不一定要与相应的主码同名 当外码与相应的主码属于不同关系时，往往取
相同的名字，以便于识别
参照完整性举例
例１：学生实体与专业实体间的关系： 外码 学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄） 专业（专业号，专业名）
04
90
04
88
关系间的引用
例3 学生实体及其内部的领导联系(一对多)
学生（学号，姓名，性别，专业号，年龄，班长）
学号
801 802 803 804 805
姓名
张三 李四 王五 赵六 钱七
性别
女 男 男 女 男
第三章-关系代数与关系运算
第三章关系代数与关系运算关系数据语言有三类：1．关系代数语言2．关系演算语言（元组关系演算语言、域关系演算语言）3．具有关系代数和关系演算双重特点的语言如SQL一．关系代数关系代数：一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式。
用对关系的运算来表达查询。
运算：将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果运算三要素：运算符、运算对象、运算结果关系代数的运算对象和结果都是：关系关系代数运算符（四类）：集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符集合运算符：并（U）、差（—）、交（∩）传统的集合运算符——从关系的“水平“方向即行的角度来进行专门的关系运算符：广义笛卡尔积（ⅹ）、选择（σ）、投影（π）、连接、除专门关系运算符不仅涉及行而且涉及列比较运算符：>、<、=、≥、≤、≠逻辑运算符：￢∧∨用来辅助专门的关系运算符二．传统的集合运算符传统集合运算符是二目运算符设关系R和S具有相同的目n(即n个属性),且相应的属性取自同一个域1．并（Union）记作：RUS={t|t∈R∨t∈S}结果仍是n目关系，由属于R或S的元组组成。
例：（a）（b）2.差关系R与S的差记作：R-S={t|t∈R∧t∈S} 结果仍是n目，由属于R而不属于S的所有元组组成。
如图E3.交关系R与S的交记作：R∩S = { t | t∈R∧t∈S }结果仍是n目，由即属于R又属于S的所有元组组成。
如图D 可以用差来表示R∩S=R-(R-S)4．广义笛卡尔积两个分别为n目和m目的关系R和S的广义笛卡尔积是一个（m+n）列的元组的集合。
元组的前n列是关系R的一个元组，后m列是关系S的一个元组。
若R有k1个元组，S有k2个元组，那么关系R与S的广义笛卡尔积有k1 x k2个元组，记作R×S = { t r t s | t r∈R∧t s∈S } 结果是m+n目如图例总结：集合运算符主要研究的是元组，即对表中的行进行研究、操作。
数据库原理第二章关系数据库
关系代数小结
❖ 传统的集合运算
▪ 并、差、交、笛卡尔积
❖ 专门的关系运算
▪ 选择、投影、连接、除
❖ 5种基本运算
▪ 并、差、笛卡尔积、投影、选择
二、关系演算
❖ 关系演算是以数理逻辑中的谓词演算为基础的，通过谓词 形式来表示查询表达式。
❖ 根据谓词变元的不同，可将关系演算分为元组关系演算和 域关系演算。前者以元组为变量，简称元组演算；后者以 域为变量，简称域演算。
❖ 元组关系演算
▪ Tuple Relational Calculus ，简称TRC ▪ 元组关系演算语言ALPHA ▪ 元组关系表达式
❖ 域关系运算
▪ Domain Relational Calculus ，简称DRC ▪ 域关系演算语言QUE
1、元组关系演算
❖ 元组关系演算是以元组变量作为谓词变元的基本对象。 ❖ 元组关系演算语言的典型代表是E.F.Codd提出的ALPHA
例2：查询一名男同学的教师号和姓名，并使他的年龄最小。
GET W (1) (Student) : Student. Ssex = ‘男’ up Student.Sage
▪ 所谓的定额查询就是通过在W后面的括号中加上定额数量， 限定查询出元组的个数。
▪ 这里(1)表示查询结果中男同学的个数，取出学生表中第一 个男同学的学号和姓名。
RANGE Course CX SC SCX
GET W (Student.Sname): SCX (SCX.Sno=Student.Sno∧ CX (o=o∧CX.Pcno='6'))
例5：查询选修全部课程的学生姓名。
RANGE SC X Course CX
GET W (Student.SN) : CXSCX (SCX.SNO=Student.SNO∧O=O)
数据库中的关系代数与关系演算
数据库中的关系代数与关系演算数据库涵盖的范围广泛，其运用的逻辑学与数学原理也十分严谨。
数据库中的关系代数与关系演算两个部分，是数据库分析与设计的重要内容。
本文将讨论它们的定义、方法及应用。
一、关系代数1.1 定义关系代数是一种数学形式，是一种用来描述数据库系统中数据操作的一种标准化语言。
关系代数理论分为两部分：关系代数和关系演算。
关系代数关注的是数据在层次结构中的使用。
1.2 方法关系代数的操作一般基于及定理。
关系代数的符号及运算有选择（selection）、投影（projection）、并（union）、差（difference）、乘积（product）、联接（join）以及除（division）等符号。
通过这些操作符，可以对单个关系进行处理。
一个关系实例可以看做是一个记录的集合，而这些记录也叫作元组。
1.3 应用关系代数的应用可以用于Web数据挖掘，企业数据分析，以及管理信息系统等方面。
在大多数的数据库软件中，关系代数已经内置在了SQL语言之中。
二、关系演算2.1 定义关系演算是关系完备性理论的一种重要语言，指对关系上的操作以及使用代数符号表示的过程。
关系演算是由图灵等科学家提出的一种用来处理关系数据的操作。
这种操作是从一个关系中提取出需要的信息来处理数据的。
2.2 方法关系演算有两种基本形式，分别是元组关系演算和域关系演算。
元组关系演算是指通过运算符来生成新的元组。
而域关系演算则是指通过运算符来生成新的属性值。
2.3 应用关系演算的应用包含多个方面，如关系数据库的设计，数据库查询语言的设计等。
在关系数据库中，使用关系演算的方法可以实现对数据的查询和管理，保证数据的一致性。
在现代信息技术中，关系演算也逐渐开始应用于生产及服务领域。
三、关系代数与关系演算的联系与区别关系代数和关系演算是两个相互补充、相互影响的部分。
它们的相同点在于都是面向关系的运算，都是关系数据库的理论基础。
而它们不同的地方则是，关系代数强调的是关系运算，即加、减、交、差等运算。