2020年高考数学热点复习：解析几何热点问题
2020版新高考复习理科数学教学案：解析几何含答案 (2)
A1(－a,0).A2(a,0)
A1(0.－a).A2(0.a)
轴
实轴：线段A1A2.虚轴：B1B2
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ .e∈(1.＋∞)
a.b.c的关系
c2＝a2＋b2
渐近线
y＝± x
y＝± x
三、离心率e的作用
(1)椭圆：e越大.图形越扁．
(2)双曲线：e越大.开口越小．
四、常见结论
答案：B
7．[20xx·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中.P是曲线y＝x＋ (x>0)上的一个动点.则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
解析：通解：设P .x>0.则点P到直线x＋y＝0的距离d＝ ＝ ≥ ＝4.当且仅当2x＝ .即x＝ 时取等号.故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.
(2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)当|MF1|－|MF2|＝2a时.曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时.曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时.轨迹为分别以F1.F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时.动点轨迹不存在．
(2)弦长公式：l＝2a＝2 .
3．切线长公式
圆的方程为f(x.y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.或f(x.y)＝(x－a)2＋(y－b)2－R2＝0.圆外有一点P(x0.y0).由点P向圆引的切线的长为l＝ .
■自测自评——————————————
1．设a.b.c分别是△ABC中角A.B.C所对的边.则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是( )
2020届高考文科数学平面解析几何中的高考热点问题
平面解析几何中的高考热点问题［命题解读］1.圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上.2.高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考中的解答题，在第（1）问中常以求曲线的标准方程，在第（2）问以求作或证明位置关系、定点、定值、最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同特点，就是起点低,但在第（2）问或第（3）问中一般都伴有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高.圆锥曲线的方程与性质是高考考查的重点，求离心率、准线、双曲线的渐近线是常见题型，多以选择题或填空题的形式考查，各种难度均有可能.【例1】（2017•全国卷UI）巳知双曲线C：5—右=1（口＞0,》＞0）的一条渐近巫x2v2线方程为y=^x,且与椭圆吉+；=1有公共焦点，则。
的方程为（）X2/X2/A・厂亦=1 B.厂普=1C^=1D丈=iJ54'43'B［由y=^~x可得卜平•①22由椭圆书+；=1的焦点为（3,0）,（—3,0）,可得疽+方2=9.②由①②可得（?2=4,b2=5.x2v2所以C的方程为于一普=L故选B.］-［规律方法］解决此类问题的关键是熟练掌握各曲线的定义、性质及相关参数间的联系.掌握一些常用的结论及变形技巧，有助于提高运算能力.⑴（2017•全国卷II）若双曲线C：号一］=1（。
＞0,力＞°）的一条渐近线被圆（*—2尸+寸=4所截得的弦长为2,则。
的离心率为（）A. 2B. «C.也D.罕(2)(2017-全国卷I)已知F 为抛物线C ： /=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直 的直线h ，直线Zi 与。
交于A, 8两点，直线，2与。
交于D, E 两点，则|A8| + \DE\的最小值为()A. 16B. 14C. 12D. 10⑴A (2)A [⑴设双曲线的一条渐近线方程为圆的圆心为(2,0),半径为2,由弦长为2得出圆心到渐近线的距离为卡二根据点到直线的距离公式得』2/>|解得 Z>2=3<z 2.所以。
专题10 解析几何小题问题之一角度-备战2020年高考数学二轮痛点突破专项归纳与提高(解析版)
备战2020高考数学二轮痛点突破专项归纳与提高专题10 解析几何小题之一 角度问题1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中,当直线l 与x 轴相交时,x 轴 方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°,故直线的倾斜角α的取值范围为 .【答案】正，0°≤α<180°，k=tan α2.向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则 叫做向量a 与b 的夹角，记作 ；向量夹角b a ,的范围是 ，且a b b a ,,=；若2,π=b a ，则a 与b ，记作a ⊥b.【答案】.(1)∠AOB ＝θ，b a ,，],0[π，垂直 3.三角形的内角的性质（1）一个角为锐角：（2）一个角为直角：（3）一个角为钝角： ①.PA ⊥PB ⇔以AB 为直径的圆过点P ⇔0=⋅； ②∠APB 是钝角⇔点P 在以AB 为直径的圆内⇔0<⋅； ③∠APB 是锐角⇔点P 在以AB 为直径的圆外⇔0>⋅PB PA ； 4.两个角的关系：（1）两个角相等：cos cos αβαβ=⇔=⇔ 向量转化 （2）两个角互余：12cos tan tan 112sin k k παβαβαβ+=⇔=⇔=⇔=（3）两个角互补：12sin tan tan +0sin k k αβπαβαβ+=⇔=⇔=-⇔= 5.椭圆的焦点三角形中角：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。
性质：1.周长为定值：2()a c +；sin()sin sin e αβαβ+=+2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。
类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。
)3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。
2020年高考试题：解析几何
(x 3)2 y2 9 圆心 (3,0) ，半径 3 。
过圆内一点的直线截得弦长最小值：与圆内该点与圆心连线垂直的直线截得弦长。
如下图所示：
根据两点之间的距离公式得到： PC (3 1)2 (0 2)2 22 22 8 ；
根据勾股定理得到： PA2 AC 2 PC 2 9 8 1 PA 1 ；
(1 m2 )x2 6m2 x (9m2 9) 0 。直线 PB 与椭圆 E 交于 B ， D 两点。
根据韦达定理得到： xB
xD
6m2 1 m2
， xB
3
3
xD
6m2 1 m2
xD
6m2 1 m2
3
6m2 3(1 m2 ) 1 m2
6m2 3 3m2 1 m2
3m2 3
。
9 m2
AG GB 8 a a 1 (1) 8 a2 y2 1 。 a 3 A(3,0) ， B(3,0) 。 9
（2） P 为直线 x 6 上的动点 假设：点 P 的坐标为 (6, m) 。
P(6, m)
，
A(3,0)
)
，
D(
3m2 3 1 m2
,
2m 1 m2
)
kCD
6m 2m 9 m2 1 m2 27 3m2 3m2 3
6m(1 m2 ) 2m(9 m2 ) (27 3m2 )(1 m2 ) (3m2 3)(9 m2 )
9 m2 1 m2
6m 6m3 18m 2m3
8m3 24m
（1）求 E 的方程；
（2）证明：直线 CD 过定点。
本题解析：（1） A ， B 分别为椭圆 E ： x2 y2 1的左右顶点 A(a,0) ， B(a,0) ； a2
2020年高考数学(理)之解析几何高频考点04 椭圆及其性质附解析
解析几何04 椭圆及其性质一、具体目标：掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，了解椭圆的参数方程．能处理与椭圆有关的问题.二、知识概述：1. 椭圆方程的第一定义：一个动点到两个定点的距离为一个常数（大于两定点之间的距离）则动点的轨迹就是椭圆.几何表示：()121222PF PF a a F F +=>.当()121222PF PF a a F F +=<无轨迹；当()121222=PF PF a a F F +=，以12,F F 为端点的线段.⑴①椭圆的标准方程：中心在原点，焦点在x 轴上：()222210x y a b a b +=>>.中心在原点，焦点在轴上：()222210y x a b a b+=>>.②一般方程：()2210,0Ax By A B +=>>.③椭圆的标准参数方程：的参数方程为（一象限应是属于02πθ<<）.⑵①顶点：或.②轴：对称轴：x 轴，轴；长轴长，短轴长. ③焦点：或.④焦距：.⑤准线：或.⑥离心率：()01c e e a=<<.⑦焦点半径：i. 设为椭圆()222210x y a b a b+=>>上的一点，为左、右焦点，则 y 12222=+b y a x ⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x θ),0)(0,(b a ±±)0,)(,0(b a ±±y a 2b 2)0,)(0,(c c -),0)(,0(c c -2221,2b a c c F F -==c a x 2±=c a y 2±=),(00y x P 21,F F 【考点讲解】⇒-=+=0201,ex a PF ex a PF由椭圆方程的第二定义可以推出.ii.设为椭圆()222210x y a b b a+=>>上的一点，为上、下焦点，则 由椭圆方程的第二定义可以推出.由椭圆第二定义可知：()210000a PF e x a ex x c ⎛⎫=+=+< ⎪⎝⎭()220000a PF e x ex a x c ⎛⎫=-=-> ⎪⎝⎭归结起来为“左加右减”.注意：椭圆参数方程的推导：得方程的轨迹为椭圆. ⑧通径：垂直于x 轴且过焦点的弦叫做通经.坐标：和⑶共离心率的椭圆系的方程：椭圆()222210x y a b a b+=>>的离心率是，方程是大于0的参数，0a b >>的离心率也是 我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. ⑸若P 是椭圆：上的点.为焦点，若，则的面积为（用余弦定理与可得）. 若是双曲线，则面积为.（6）椭圆的标准方程和几何性质－a ≤x ≤a －b ≤x ≤b 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 A (－a,0)，A (a,0) A (0，－a )，A (0，a ) ),(00y x P 21,F F →)sin ,cos (θθb a N ),(2222a b c a b d -=),(2ab c )(22b a c a c e -==tt b y a x (2222=+ace =12222=+b y a x 21,F F θ=∠21PF F 21F PF ∆2tan2θb a PF PF 221=+2cot 2θ⋅b ⇒-=+=0201,ey a PF ey a PF1.【2019年高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为（ ）A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质.法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n nn +-⋅⋅⋅=，解得2n =． 22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===， 由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4422cos 9n n AF F n n n BF F n ⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩， 又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得【真题分析】223611n n +=，解得2n =．22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【答案】B2.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y 2=2px (p >0)的焦点是椭圆2231x y pp+=的一个焦点，则p =（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8【解析】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质.因为抛物线22(0)y px p =>的焦点(,0)2p是椭圆2231x y pp +=的一个焦点，所以23()2pp p -=，解得8p =，故选D ． 【答案】D3.【2019年高考北京卷理数】已知椭圆2222 1x y a b+=（a ＞b ＞0）的离心率为12，则（ ）A ．a 2=2b 2B ．3a 2=4b 2C ．a =2bD ．3a =4b【解析】本题考查椭圆的标准方程与几何性质.椭圆的离心率2221,2c e c a b a ===-，化简得2234a b =，故选B. 【答案】B4.【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知椭圆C ：22214x y a +=的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ）A ．13 B ．12 C ．2 D ．3【解析】本题主要考查椭圆的方程及离心率.由题可得2c =，因为24b =，所以2228a b c =+=，即a =所以椭圆C 的离心率2e ==，故选C ． 【答案】C5．【2018年高考全国Ⅰ卷文数】已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，若12PF PF ⊥，且2160PF F∠=︒，则C的离心率为（）A．312-B．23-C．312-D．31-【解析】本题主要考查椭圆的定义和简单的几何性质.在12F PF△中，122190,60F PF PF F∠=∠=︒o，设2PF m=，则12122,c F F m PF===，又由椭圆定义可知1221)a PF PF m=+=，则212c cea a====，故选D．【答案】D6.【2018年高考全国Ⅱ理数】已知1F，2F是椭圆22221(0)x yC a ba b+=>>：的左、右焦点，A是C的左顶点，点P在过A且斜率为3的直线上，12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，则C的离心率为（）A．23B．12C．13D．14【解析】因为12PF F△为等腰三角形，12120F F P∠=︒，所以212||2||PF F F c==，由AP的斜率为6可得2tan6PAF∠=，所以2sin PAF∠=，2cos PAF∠=，由正弦定理得2222sinsinPF PAFAF APF∠=∠，所以2225sin()3ca c PAF==+-∠，所以4a c=，14e=，故选D．【答案】D7.【2017年高考全国Ⅰ卷文数】设A，B是椭圆C：2213x ym+=长轴的两个端点，若C上存在点M满足∠AMB=120°，则m的取值范围是（）A．(0,1][9,)+∞U B．[9,)+∞U C．(0,1][4,)+∞U D．[4,)+∞U【解析】本题考查的是以椭圆知识为背景的求参数范围的问题．解答问题时要利用条件确定ba,的关系，要借助题设条件ο120=∠AMB 转化为360tan =≥οba，简化求解过程. 当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60a b ≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，故选A ． 【答案】A8.【2019年高考浙江卷】已知椭圆22195x y +=的左焦点为F ，点P 在椭圆上且在x 轴的上方，若线段PF 的中点在以原点O 为圆心，OF 为半径的圆上，则直线PF 的斜率是___________．【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、椭圆的几何性质、圆的方程与性质的应用.方法1：如图，设F 1为椭圆右焦点.由题意可知||=|2OF OM |=c =，由中位线定理可得12||4PF OM ==，设(,)P x y ，可得22(2)16x y -+=，与方程22195x y +=联立，可解得321,22x x =-=（舍），又点P 在椭圆上且在x 轴的上方，求得32P ⎛- ⎝⎭，所以212PF k ==方法2：（焦半径公式应用）由题意可知|2OF |=|OM |=c =， 由中位线定理可得12||4PF OM ==，即342p p a ex x -=⇒=-，从而可求得3,22P ⎛- ⎝⎭，所以212PFk ==9.【2019年高考全国Ⅲ卷】设12F F ，为椭圆C :22+13620x y =的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限.若12MF F △为等腰三角形，则M 的坐标为___________.【解析】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，解答本题时，根据椭圆的定义分别求出12MF MF 、，设出M 的坐标，结合三角形面积可求出M 的坐标.由已知可得2222236,20,16,4a b c a b c ==∴=-=∴=，11228MF F F c ∴===，∴24MF =．设点M 的坐标为()()0000,0,0x y x y >>，则121200142MF F S F F y y =⋅⋅=△，又1201442MF F S y =⨯=∴=△0y，22013620x ∴+=，解得03x =（03x =-舍去），M \的坐标为(．【答案】(10.【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的两个焦点，P 为C 上一点，O 为坐标原点．（1）若2POF △为等边三角形，求C 的离心率；（2）如果存在点P ，使得12PF PF ⊥，且12F PF △的面积等于16，求b 的值和a 的取值范围． 【解析】本题主要考查利用椭圆的性质来求椭圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题， （1）连结1PF ，由2POF △为等边三角形可知在12F PF △中，1290F PF ∠=︒，2PF c =，1PF =，于是1221)a PF PF c =+=，故C的离心率是1ce a==. （2）由题意可知，满足条件的点(,)P x y 存在．当且仅当1||2162y c ⋅=，1y y x c x c ⋅=-+-，22221x y a b+=，即||16c y =，① 222x y c +=，② 22221x y a b+=，③由②③及222a b c =+得422b y c =，又由①知22216y c=，故4b =．由②③得()22222a x c b c=-，所以22c b ≥，从而2222232,a b c b =+≥=故a ≥当4b =，a ≥存在满足条件的点P ．所以4b =，a的取值范围为)+∞． 【答案】（11；（2）4b =，a的取值范围为)+∞.11.【2019年高考天津卷文数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .|2||OA OB =（O 为原点）.（1）求椭圆的离心率； （2）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C 在直线x =4上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【解析】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识.（1）设椭圆的半焦距为c ，2b =，又由222a b c =+，消去b得222a c ⎫=+⎪⎪⎝⎭，解得12c a =.所以，椭圆的离心率为12. （2）由（1）知，2,a c b ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=.由题意，(, 0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221,433(),4x y c cy x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7c x c x ==-.代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-. 因为点P 在x 轴上方，所以3,2P c c ⎛⎫⎪⎝⎭.由圆心C 在直线4x =上，可设(4, )C t . 因为OC AP ∥，且由（1）知( 2 , 0)A c -，故3242ct c c=+，解得2t =.因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径长为2，又由圆C 与l2=，可得=2c .所以，椭圆的方程为2211612x y +=.【答案】（1）12；（2）2211612x y +=.12．【2019年高考天津卷理数】设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，上顶点为B ．已知椭圆的短轴长为4（1）求椭圆的方程；（2）设点P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M 为直线PB 与x 轴的交点，点N 在y 轴的负半轴上．若||||ON OF =（O 为原点），且OP MN ⊥，求直线PB 的斜率． 【解析】主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识. （1）设椭圆的半焦距为c，依题意，24,5c b a ==，又222a b c =+，可得a =2,b =1c =． 所以，椭圆的方程为22154x y +=．（2）由题意，设()()()0,,0P P p M P x y x M x ≠，．设直线PB 的斜率为()0k k ≠，又()0,2B ，则直线PB 的方程为2y kx =+，与椭圆方程联立222,1,54y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩整理得()2245200k x kx ++=，可得22045P k x k =-+，代入2y kx =+得2281045P k y k -=+，进而直线OP 的斜率24510P py k x k -=-． 在2y kx =+中，令0y =，得2M x k=-． 由题意得()0,1N -，所以直线MN 的斜率为2k-．由OP MN ⊥，得2451102k k k -⎛⎫⋅-=- ⎪-⎝⎭，化简得2245k =，从而5k =±．所以，直线PB的斜率为5或5-． 【答案】（1）22154x y +=；（2）230或230-． 13.【2019年高考全国Ⅱ卷理数】已知点A (−2，0)，B (2，0)，动点M (x ，y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为−12.记M 的轨迹为曲线C .（1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G .（i ）证明：PQG △是直角三角形； （ii ）求PQG △面积的最大值.【解析】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题.（1）由题设得1222y y x x ⋅=-+-，化简得221(||2)42x y x +=≠，所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点．（2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为(0)y kx k =>．由22142y kxx y =⎧⎪⎨+=⎪⎩得x =． 记u =，则(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --．于是直线QG 的斜率为2k ，方程为()2ky x u =-． 由22(),2142k y x u x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得22222(2)280k x uk x k u +-+-=．① 设(,)G G G x y ，则u -和G x 是方程①的解，故22(32)2G u k x k +=+，由此得322G uky k =+．从而直线PG 的斜率为322212(32)2uk uk k u k ku k-+=-+-+．所以PQ PG ⊥，即PQG △是直角三角形．（ii ）由（i ）得2||21PQ u k =+，221||uk k PG +=，所以△PQG 的面积222218()18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k++===++++‖． 设t =k +1k，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为2812t S t =+在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为169．因此，△PQG 面积的最大值为169．1.【2017年高考浙江卷】椭圆22194x y +=的离心率是（ ）A B C ．23 D ．59【解析】椭圆22194x y +=的离心率e ==，故选B ． 【答案】B2.【2017年高考全国Ⅲ】已知椭圆C ：22220)1(x y a ba b +=>>的左、右顶点分别为A 1，A 2，且以线段A 1A 2为直径的圆与直线20bx ay ab -+=相切，则C 的离心率为（ ）A B C D ．13【解析】以线段12A A 为直径的圆的圆心为坐标原点(0,0)，半径为r a =，圆的方程为222x y a +=，【模拟考场】直线20bx ay ab -+=与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即d a ==，整理可得223a b =，即2223()a a c =-即2223a c =，从而22223c e a ==，则椭圆的离心率c e a ===，故选A ． 【答案】A3.已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点为F 1、F 2，离心率为33，过F 2的直线l 交C 于A 、B 两点，若△AF 1B 的周长为43，则C 的方程为( )A.x 23＋y 22＝1B.x 23＋y 2＝1C.x 212＋y 28＝1D.x 212＋y 24＝1 【解析】 根据条件可知c a ＝33，且4a ＝43，∴a ＝3，c ＝1，b ＝2，椭圆的方程为x 23＋y 22＝1.【答案】 A4.【2018年高考浙江卷】已知点P (0，1)，椭圆24x +y 2=m (m >1)上两点A ，B 满足AP u u u u r =2PB u u u u r ，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．【解析】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由2AP PB =u u u r u u u r得122x x -=，1212(1)y y -=-，所以1223y y -=-，因为A ，B 在椭圆上，所以22114x y m +=，22224x y m +=，所以22224(23)4x y m +-=， 所以224x +22324()m y -=，与22224x y m +=对应相减得234m y +=，2221(109)44x m m =--+≤， 当且仅当5m =时取最大值． 【答案】55.【2018年高考北京卷理数】已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>，双曲线2222:1x y N m n-=．若双曲线N的两条渐近线与椭圆M 的四个交点及椭圆M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M 的离心率为________________；双曲线N 的离心率为________________．【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为c +，再根据椭圆定义得2c a +=，所以椭圆M的离心率为1c a ==．双曲线N 的渐近线方程为n y x m =±，由题意得双曲线N 的一条渐近线的倾斜角为π3，所以222πtan 33n m ==，所以222222234m n m m e m m ++===，所以2e =．1 26.【2016北京理】已知椭圆C ：22221+=x y a b（0a b >>）的离心率为2，(,0)A a ，(0,)B b ，(0,0)O ，△OAB 的面积为1.（I ）求椭圆C 的方程；（II ）设P 是椭圆C 上一点，直线P A 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N . 求证：BM AN ⋅为定值.【分析】（I）根据离心率为2，即2=c a ，△OAB 的面积为1，即121=ab ，椭圆中222c b a +=列方程组进行求解；（II ）根据已知条件分别求出BM AN ,的值，求其乘积为定值.【解析】（I ）由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===,,121,23222c b a ab a c 解得1,2==b a .所以椭圆C 的方程为1422=+y x . （II ）由（I ）知，)1,0(),0,2(B A ，设),(00y x P ，则442020=+y x .当00≠x 时，直线PA 的方程为)2(200--=x x y y . 令0=x ，得2200--=x y y M ，从而221100-+=-=x y y BM M . 直线PB 的方程为110+-=x x y y . 令0=y ，得100--=y x x N ，从而12200-+=-=y x x AN N .所以221120000-+⋅-+=⋅x y y x BM AN 228844224844400000000000000002020+--+--=+--+--++=y x y x y x y x y x y x y x y x y x 4=.当00=x 时，10-=y ，,2,2==AN BM 所以4=⋅BM AN . 综上，BM AN ⋅为定值.7.已知点M 是圆心为E的圆(2216x y ++=上的动点，点)F，线段MF 的垂直平分线交EM于点P .（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）矩形ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切，设矩形ABCD 的面积为S ，求S 的取值范围.【分析】1）利用定义法求椭圆的轨迹方程；（2）设AB 的方程为1y k x m =+， CD 的方程为1y k x m =-，直线AB 与CD 间的距离为1d =，直线BC 与AD 间的距离为2d =，S =S 的范围.【解析】（1)依题PM PF =，所以4PE PF PE PM ME +=+== (为定值)，EF =>所以点P 的轨迹是以,E F为焦点的椭圆，其中24,2a c ==所以P 点轨迹C 的方程是2214x y += (2)①当矩形的边与坐标轴垂直或平行时，易得8S =；②当矩形的边均不与坐标轴垂直或平行时，其四边所在直线的斜率存在且不为0，设AB 的方程为1y k x m =+， BC 的方程为2y k x n =+，则CD 的方程为1y k x m =-， AD 的方程为2y k x n =-，其中121k k ⋅=-，直线AB 与CD 间的距离为1d ==，同理直线BC 与AD 间的距离为2d ==()12*S d d =⋅=L2222211111{ 21044x y k x k mx m y k x m+=⎛⎫⇒+++-= ⎪⎝⎭=+，因为直线AB 与椭圆相切，所以221410k m ∆=+-=，所以2141m k =+，同理2241n k =+，所以 S ===44==212112k k +≥ (当且仅当11k =±时，不等式取等号），所以4S <≤810S <≤， 由①②可知， 810S ≤≤.【答案】(1) 2214x y +=;(2) 810S ≤≤.。
高考数学复习重难点四种解析几何数学思想(核心考点讲与练)
重难点10四种解析几何数学思想（核心考点讲与练）能力拓展题型一：函数与方程思想一、单选题1．（2022·全国·高三专题练习）抛物线2y x =上的一动点M 到直线:10l x y --=距离的最小值是（）A ．8B ．38C ．34D ．42．（2022·全国·高三专题练习）点(cos ,sin )P θθ到直线34120x y +-=的距离的取值范围为（）A ．1217,55⎡⎤⎢⎣⎦B ．712,55⎡⎤⎢⎣⎦C ．717,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1224,55⎡⎤⎢⎥⎣⎦3．（2020·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆2212y x +=上任一点，O 是坐标原点，则OP 中点的轨迹方程为（）A ．22421x y +=B ．2221x y +=C ．2212y x +=D ．22241x y +=二、填空题4．（2020·全国·高二课时练习）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线C ：()222210,0x ya b a b-=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，设过右焦点2F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，若1F AB 是正三角形，则双曲线C 的离心率为__________.5．（2020·江苏·一模）在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22214x y a -=(a ＞0)的一条渐近线方程为23y x =，则a ＝_______．6．（2022·全国·高三专题练习）若过点(1,1)P 且斜率为k 的直线l 与双曲线2214yx -=只有一个公共点，则k =___________.三、解答题7．（2022·全国·高三专题练习）已知直线222111a y x a a =+++与x 轴交于A 点，与y 轴交于B 点（1）若0a <，6OAB π∠=，求a 的值；（2）若0a ≥，求直线l 的倾斜角的取值范围.8．（2022·四川凉山·三模（理））已知椭圆()22122:10x y C a b a b+=>>经过点12⎫⎪⎭，过其焦点且垂直于x 轴的弦长为1．(1)求椭圆1C 的标准方程；(2)已知曲线22:4C x y =，2C 在点P 处的切线l 交1C 于M ，N 两点，且4NM MP = ，求l 的方程．9．（2022·全国·高三专题练习）设函数()e ()x f x ax a a R =-+∈其图象与x 轴交于1(A x ，0)，2(B x ，0)两点，且12x x <.(1)求()f x 的单调区间和极值点；(2)证明：0(()f f x ''<是()f x 的导函数）；(3)证明：1212x x x x <+.题型二：数形结合思想一、单选题1．（2020·山西临汾·高三阶段练习（理））已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为45°的直线与C 的右支有且仅有一个交点，则C 的离心率的取值范围为（）A ．)+∞B ．[2,)+∞C ．D ．(1,2]2．（2022·河南·开封高中模拟预测（理））若直线():340R l x y a a ++=∈与圆22:9O x y +=交于不同的两点A 、B ，且，则=a （）A ．±B ．±C ．±D ．5±3．（2022·全国·模拟预测）已知点A 为圆22:2220C x y x y +---=上一点，点()23,4M m m --，()23,4N n n --，m n ≠，若对任意的点A ，总存在点M ，N ，使得90MAN ∠≥︒，则m n -的取值范围为（）A ．[)2,+∞B ．[]1,2C ．2,5⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭D ．20,5⎛⎤⎥⎝⎦二、多选题4．（2022·全国·高三专题练习）在同一平面直角坐标系中，表示直线l 1：y ＝ax +b 与l 2：y ＝bx ﹣a 的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．5．（2022·福建龙岩·模拟预测）已知直线y x b =+与圆2216x y +=交于A ､B两点，且OA OB OA OB +=-（其中O 为坐标原点），则实数b 的值可以是（）A ．4-B ．-C ．D ．4三、填空题6．（2022·山西吕梁·三模（文））已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过点F 的直线与C 交于,A B两点（点A 在x 轴上方），过,A B 分别作l 的垂线，垂足分别为,M N ，连接,MF NF .若MF =，则直线AB 的斜率为__________.四、解答题7．（2022·山西太原·三模（文））已知抛物线C 开口向右，顶点为坐标原点，且经过点(.A (1)求抛物线C 的方程；(2)过点()3,0B -的直线交抛物线C 于点M ，N ，直线MA ，NA 分别交直线3x =-于点P ，Q ，求PB BQ的值.8．（2022·山西吕梁·三模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，且过点2,2A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)点A 关于原点O 的对称点为点B ，与直线AB 平行的直线l 与C 交于点,M N ，直线AM 与BN 交于点P ，点P 是否在定直线上？若在，求出该直线方程；若不在，请说明理由.题型三：分类与整合思想一、单选题1．（2020·湖南·高三学业考试）已知直线l 过点()4,3P ，圆C ：2225x y +=，则直线l 与圆C 的位置关系是（）A ．相交B ．相切C ．相离D ．相交或相切2．（2020·浙江·高三专题练习）点()1,1M 到抛物线22y ax =准线的距离为2，则a 的值为A ．1B ．1或3C ．18或124-D ．14-或1123．（2022·全国·高三专题练习（理））设e 是椭圆2218x yk+=的离心率，且1e ,12⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则实数k 的取值范围是（）A ．(0,6)B ．32(0,6),3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．16(0,3),3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(0,2)二、多选题4．（2022·全国·高三专题练习）已知圆锥曲线()22:10C mx y m +=≠，则下列说法可能正确的有（）A ．圆锥曲线C 的离心率为mB ．圆锥曲线CC ．圆锥曲线CD ．圆锥曲线C 5．（2022·湖北·荆门市龙泉中学二模）已知双曲线22:17x y C t t-=-的一条渐近线方程为430x y -=，过点（5，0）作直线l 交该双曲线于A 和B 两点，则下列结论中正确的有（）A ．16t =或9-B ．该双曲线的离心率为53C ．满足323AB =的直线l 有且仅有一条D ．若A 和B 分别在双曲线左、右两支上，则直线l 的斜率的取值范围是44(,33-6．（2022·全国·高三专题练习）已知A 、B 两点的坐标分别是(1,0)-，(1,0)，直线AP 、BP 相交于点P ，且两直线的斜率之积为m ，则下列结论正确的是（）A ．当1m =-时，点P 的轨迹圆（除去与x 轴的交点）B ．当10m -<<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除去与x 轴的交点）C ．当01m <<时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的抛物线D ．当1m >时，点P 的轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除去与x 轴的交点）三、解答题7．（2020·全国·高三专题练习（理））求满足下列条件的直线方程：（1）经过点(5,2)A -，且在x 轴上的截距等于在y 轴上截距的2倍；（2）经过点(3,4)B ，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.8．（2022·全国·高三专题练习）已知圆C 经过点()5,0P 和点()1,4Q ，且圆心在直线1x y +=上.(1)求圆C 的标准方程；(2)若过点()1,4-的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且120ACB ∠=︒，求直线l 的方程.题型四：转化与划归思想一、单选题1．（2020·全国·高三（文））双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>）A ．y =B ．y =C ．2y x=±D ．3y x=±2．（2020·云南德宏·高三期末（理））已知点M 是抛物线2:4C y x =上一点，以M 为圆心，r 为半径的圆与抛物线的准线相切，且与x 轴的两个交点的横坐标之和为4，则此圆的半径r 为（）AB ．2C ．3D ．4二、多选题3．（2022·全国·高三专题练习）[多选题]已知抛物线212x y =的焦点为F ，()11,M x y ，()22,N x y 是抛物线上两点，则下列结论正确的是（）A ．点F 的坐标为1,08⎛⎫⎪⎝⎭B ．若直线MN 过点F ，则12116x x =-C ．若MF NF λ= ，则MN 的最小值为12D ．若32MF NF +=，则线段MN 的中点P 到x 轴的距离为58三、填空题4．（2022·全国·高三专题练习）已知点M 是椭圆2212516y x +=上的一动点，点T 的坐标为(0,3)-，点N 满足||1NT =，且90MNT ∠=︒，则||MN 的最大值是__．5．（2022·全国·高三专题练习）圆1C ：222410x y x y ++++=与圆2C ：224410x y x y +---=的公切线有___________条.四、解答题6．（2021·海南·模拟预测）已知抛物线C 的顶点为坐标原点，焦点为圆F ：2220x x y -+=的圆心，y 轴负半轴上有一点P ，直线PF 被C 截得的弦长为5．（1）求点P 的坐标；（2）过点P 作不过原点的直线PA ，PB 分别与抛物线C 和圆F 相切，A ，B 为切点，求直线AB 的方程．巩固提升一、单选题1．（2022·安徽·芜湖一中高三阶段练习（理））已知抛物线2:C y =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作准线的垂线，垂足为Q ，若3PFQ π∠=，则PF =（）A ．B ．CD ．62．（2022·贵州毕节·三模（文））曲线1y =+()21y k x -=-有两个交点，则实数k 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．10,2⎛⎤⎝⎦C ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．11,23⎛⎤-- ⎥⎝⎦3．（2022·贵州毕节·三模（理））曲线1y =与直线()()21110k x k y +-++=有两个交点，则实数k 的取值范围为（）A ．()0,∞+B ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦C ．()1,1,2⎛⎫-∞-⋃-+∞ ⎪⎝⎭D ．11,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭4．（2022·湖北·模拟预测）已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，过抛物线上一点P 作准线的垂线，垂足为Q ，若3PFQ π∠=，则PF =（）A ．2B ．4C ．6D ．5．（2022·全国·高三专题练习）如图①，用一个平面去截圆锥得到的截口曲线是椭圆.许多人从纯几何的角度出发对这个问题进行过研究，其中比利时数学家Germinaldandelin （17941847-）的方法非常巧妙，极具创造性.在圆锥内放两个大小不同的球，使得它们分别与圆锥的侧面､截面相切，两个球分别与截面相切于,E F ，在截口曲线上任取一点A ，过A 作圆锥的母线，分别与两个球相切于,C B ，由球和圆的几何性质，可以知道，AE AC =，AF AB =，于是AE AF AB AC BC +=+=.由,B C 的产生方法可知，它们之间的距离BC 是定值，由椭圆定义可知，截口曲线是以,E F 为焦点的椭圆.如图②，一个半径为2的球放在桌面上，桌面上方有一个点光源P ，则球在桌面上的投影是椭圆，已知12A A 是椭圆的长轴，1PA 垂直于桌面且与球相切，15PA =，则椭圆的焦距为（）A ．4B ．6C ．8D ．126．（2020·全国·高三专题练习（文））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左､右焦点分别为1F ，2F ，若双曲线上存在点P 使21120PF F ∠=︒，则离心率的取值范围是（）A ．⎛ ⎝⎭B ．()1,2C ．()2,+∞D ．⎫+∞⎪⎪⎝⎭7．（2021·江西南昌·高三开学考试（理））已知函数()22e e ex xf x -=，若()()0f a f b +>，若点(),a b 不可能在曲线C 上，则曲线C 的方程可以是（）A ．()()22112x y -+-=B ．()2212x y -+=C ．222x y +=D ．()2212x y +-=二、多选题8．（2022·山东泰安·三模）已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（）A ．yx 的最大值为43B ．yx的最小值为0C ．22x y +1D ．x y ＋的最大值为39．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）椭圆C :2214x y +=的左、右焦点分别为12,F F ，点P 在椭圆C 上，点Q 在以(2,4)M -为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．过点M 的直线与椭圆C 只有一个公共点，此时直线方程为1516340x y +-=D ．2PQ PF -6三、填空题10．（2022·内蒙古赤峰·模拟预测（文））直线l 过定点()1,2-，过点()1,0P -作l 的垂线，垂足为M ，已知点()2,1N ，则MN 的最大值为______．11．（2022·河南商丘·三模（理））已知F 是抛物线C ：22y px =（0p >）的焦点，C 的准线与x 轴交于点A ，过点A 作曲线C 的一条切线AB ，若切点B 在第一象限内，D 为C 上第四象限内的一点，且//DF AB ，则AB DF=______．12．（2022·河北·模拟预测）已知A ，B 是抛物线2x y =上的两个动点，过A ，B 的两条切线交于点P ，若90APB ∠= ，则点P 的纵坐标为___________.13．（2022·浙江·效实中学模拟预测）已知实数x ，y 满足()()22121x y -+-=，则z =的取值范围是___________.14．（2022·重庆市第十一中学校高三阶段练习）参加数学兴趣小组的小何同学在打篮球时，发现当篮球放在地面上时，篮球的斜上方灯泡照过来的光线使得篮球在地面上留下的影子有点像数学课堂上学过的椭圆，但他自己还是不太确定这个想法，于是回到家里翻阅了很多参考资料，终于明白自己的猜想是没有问题的，而且通过学习，他还确定地面和篮球的接触点（切点）就是影子椭圆的焦点.他在家里做了个探究实验：如图所示，桌面上有一个篮球，若篮球的半径为1个单位长度，在球的右上方有一个灯泡P （当成质点），灯泡与桌面的距离为4个单位长度，灯泡垂直照射在平面的点为A ，影子椭圆的右顶点到A 点的距离为3个单位长度，则这个影子椭圆的离心率e =______.15．（2022·北京·首都师范大学附属中学高三开学考试）数学中有许多形状优美的曲线，如星形线，让一个半径为r 的小圆在一个半径为4r 的大圆内部，小圆沿着大圆的圆周滚动，小圆的圆周上任一点形成的轨迹即为星形线.如图，已知1r =，起始位置时大圆与小圆的交点为A （A 点为x 轴正半轴上的点），滚动过程中A 点形成的轨迹记为星形线C .有如下结论：①曲线C 上任意两点间距离的最大值为8；②曲线:4D x y +=的周长大于曲线C 的周长；③曲线C 与圆224x y +=有且仅有4个公共点.其中正确的序号为________________.四、解答题16．（2022·浙江金华·三模）如图，已知点P 在直线l ：2x =-上，A ，B 为抛物线C ：()220y px p =>上任意两点，PA ，PB 均与抛物线C 相切，直线AB 与直线l 交于点Q ，过抛物线C 的焦点F 作AB 的垂线交直线l 于点K ．(1)若点A 到F 的距离比到直线l 的距离小1，求抛物线C 的方程；(2)在（1）的条件下，当KQ 最小时，求ABKQ 的值．17．（2022·全国·高三专题练习）已知抛物线()2:20C x py p =>的焦点为F .且F 与圆()22:41M x y ++=上点的距离的最小值为4.（1）求抛物线的方程；（2）若点P 在圆M 上，PA ，PB 是C 的两条切线.A ，B 是切点，求PAB △面积的最大值.18．（2021·全国·高三专题练习）（1）试求函数()f x =（2）设a 、b 都是实数，试求：22()S a b =-+的最小值.高考一轮复习专项。
2020年高考解析几何大招题型梳理学生
2020年高考解析几何大招题型梳理（学生版）目录第1课面积问题 (2)第2课中点弦问题 (4)第3课圆锥曲线的垂直问题 (6)第4课定值问题 (8)第5课定点问题 (10)第6课对称问题 (13)第7课三点共线问题 (15)第8课切线问题 (18)第9课最值或取值范围问题 (21)第10课圆锥曲线中的探究问题 (24)第1课 面积问题基本方法：方法一：直线与圆锥曲线的位置关系常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识，圆锥曲线中的面积问题经常会涉及到弦长公式和点到直线的距离公式.弦长公式：12AB x -=12y y =-=；点到直线距离公式d =.此时1||2S d AB =. 方法二：如图，当已知直线与坐标轴的交点时，也可用121||||2AOB S OM y y =⋅-V 求其面积.一、典型例题1. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于,A B 两点，O 为坐标原点，若3AF =，求AOB ∆的面积.2. 已知椭圆22:143x y C +=，设,,A B P 三点均在椭圆C 上，O 为坐标原点， OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，求四边形OAPB 的面积.x二、课堂练习1. 已知抛物线24y x =，过点()2,0M 的直线l 交抛物线于,A B 两点，若ABO ∆的面积为，求直线l 的方程.2. 已知椭圆22:14x C y +=过点()1,0D 作直线l 与C 交于P ，Q 两点，A 为椭圆的右顶点，连接直线PA ，QA 分别与直线3x =交于M ，N 两点．若APQ V 和AMN V的面积相等，求直线l 的方程．三、课后作业1. 已知抛物线2:4C y x =，若O 为坐标原点，F 是C 的焦点，过点F 且倾斜角为45o 的直线l 交C 于A ，B 两点，求AOB ∆的面积.2. 已知椭圆22:14x E y +=，过点()1,0P 的直线l 交E 于M ，N 两点，O 为坐标原点，MON ∆，求直线l 的方程.3. 已知椭圆22:143x y C +=，过原点O 的两条直线EG ，FH ，交椭圆C 于E ，G ，F ，H 四点，若3·4EG FH k k =-，求四边形EFGH 的面积.第2课 中点弦问题基本方法：直线与圆锥曲线的位置关系常涉及圆锥曲线的性质和直线的基本知识，中点弦问题主要涉及点差法和中点坐标公式. 常用到的公式：中点坐标公式1202x x x +=. 涉及到中点和斜率问题，也可以考虑设而不求法，利用点差法求解.一、典型例题1. 已知抛物线2:2E x y =的焦点为F ，,A B 是E 上两点，且AF BF m +=.若线段AB 的垂直平分线与y 轴仅有一个公共点()0,2C ，求m 的值.2. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个顶点为()0,1B ，半焦距为c ，离心率e ，又直线():0l y kx m k =+≠交椭圆于()11,M x y ，()22,N x y 两点.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若1,1k m ==-，求弦MN 的长；（3）若点11,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭恰好平分弦MN ，求实数,k m .x二、课堂练习1. 已知()(2,0),2,0A B -，斜率为k 的直l 上存在不同的两点,M N 满足MA MB -=，NA NB -=且线段MN 的中点为()6,1，求直线的斜率k .2. 已知椭圆22:14x C y +=，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线交y 轴于点30,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且AB =l 的方程.三、课后作业1. 已知椭圆22:1164x y C +=，过点()2,1P 作直线l 与该椭圆相交于,A B 两点，若线段AB 恰被点P 所平分，求直线l 的方程．2. 已知抛物线26y x =，过点()2,1P 引一条弦12P P 使它恰好被点P 平分，求这条弦所在的直线方程及12P P .3. 已知椭圆22:12x E y +=，设直线:(0)l y x m m =+<与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点T ，当点T 到直线l 时，求直线l 方程和线段AB 长.第3课 圆锥曲线的垂直问题基本方法：垂直转化为向量的数量积为零；联立方程，韦达定理；代入化简.一、典型例题1. 已知抛物线2:2C y x =，过点(2,0)的直线l 交C 于,A B 两点，圆M 是以线段AB 为直径的圆．证明：坐标原点O 在圆M 上.2. 过圆222:3E x y +=上任意一点P 作圆的切线l 与椭圆22:12x C y +=交于,A B 两点，O 为坐标原点，求AOB ∠.二、课堂练习1. 已知直线l 是抛物线24x y =的准线，点M 在直线l 上运动，过点M 做抛物线C 的两条切线，切点分别为12,P P ，在平面内找一点N ，使得12MN PP⊥恒成立.2. 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的焦距为，且C 过点12⎫⎪⎭. （1）求椭圆C 的方程；（2）设12,B B 分别是椭圆C 的下顶点和上顶点，P 是椭圆上异于12,B B 的任意一点，过点P 作PM y ⊥轴于M ，N 为线段PM 的中点，直线2B N 与直线1y =-交于点D ，E 为线段1B D 的中点，O 为坐标原点，求证：.ON EN ⊥三、课后作业1. 已知抛物线28y x =，直线8y x =-与抛物线交于,A B 两点，O 为坐标原点. 求证：OA OB ⊥.2. 动直线:l y kx m =+是圆2283x y +=的切线，且与椭圆22:184x y C +=交于,P Q 两点，求证OP OQ ⊥.3. 已知()2,0A -，()2,0B ，点C 是动点，且直线AC 和直线BC 的斜率之积为34-. （1）求动点C 的轨迹方程；（2）设直线l 与（1）中轨迹相切于点P ，与直线4x =相交于点Q ，且()1,0F ，求证：90PFQ ∠=o .第4课 定值问题基本方法：1. 求解定点和定值问题的思路是一致的，定点问题是求解的一个点（或几个点）的坐标，使得方程的成立与参数无关，定值问题是证明求解的量与参数无关.2.在解析几何中，有些几何量，如斜率、距离、面积、比值等基本量和动点坐标或动线中的参变量无关，这类问题统称为定值问题．3.探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种：① 从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关；② 直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．解答的关键是认真审题，理清问题与题设的关系，建立合理的方程或函数，利用等量关系统一变量，最后消元得出定值．一、典型例题1. 在平面直角坐标系xOy 中，22:1168x y E +=. 过点()4,0A -作直线l 交E 于点P ，交y 轴于点Q ，过O 作直线l l 'P ，l '交E 于点R ．试判断2||AQ AP OR ⋅是否为定值？若是，求出其定值；若不是，请说明理由．2. 已知抛物线2:8E x y =，直线AB 与曲线E 交于不同两点()()1122,,,A x y B x y ，且2211x x m -=+（m 为常数），直线l '与AB 平行，且与曲线E 相切，切点为C ，试问ABC ∆的面积是否为定值.若为定值，求出ABC ∆的面积；若不是定值，说明理由.二、课堂练习1. 设抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，准线为l .已知点A 在抛物线C 上，点B 在l 上， ABF ∆是边长为4的等边三角形.（1）求p 的值；（2）在x 轴上是否存在一点N ，当过点N 的直线l '与抛物线C 交于Q ,R 两点时，2211||||NQ NR +为定值？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由.2. 已知点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，椭圆22:143x y C +=上不与P 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，若直线PD ，PE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被直线32y =截得的弦长是定值．三、课后作业 1. 已知椭圆C ：22184x y +=，直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . 证明：直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值.2. 已知椭圆22:12x C y +=，若直线l ：2y kx =+与椭圆C 相交于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点D ，使直线AD 与BD 的斜率之和AD BD k k +为定值？若存在，求出点D 坐标及该定值，若不存在，试说明理由．3. 已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，过点F 的直线交椭圆C 于,A B 两点，交直线:4l x =于点P ，若1PA AF λ=，2PB BF λ=，求证：12λλ-为定值．第5课 定点问题基本方法：1. 求解定点和定值问题的思路是一致的，定点问题是求解的一个点（或几个点）的坐标，使得方程的成立与参数无关，定值问题是证明求解的量与参数无关.2. 直线过定点的解题策略一般有以下几种：(1)如果题设条件没有给出这个定点，那么，我们可以这样思考：由于这个定点对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定点，再证明这个点与变量无关.(2)直接推理、计算，找出参数之间的关系，并在计算过程中消去部分参数，将直线方程化为点斜式方程，从而得到定点. (3)若直线方程含多个参数并给出或能求出参数满足的方程，观察直线方程特征与参数方程满足的方程的特征，即可找出直线所过定点坐标，并代入直线方程进行检验.注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元的思想的运用可有效地简化运算.3. 对于直线过定点，有以下常用结论：若直线l ：y kx m =+（其中m 为常数），则直线l 必过定点()0,m ；若直线l ：y kx nk =+（其中n 为常数），则直线l 必过定点(),0n -；若直线l ：y kx nk b =++（其中,n b 为常数），则直线l 必过定点(),n b -；若直线l ：x ty m =+（其中m 为常数），则直线l 必过定点(),0m ；若直线l ：x ty nt =+（其中n 为常数），则直线l 必过定点()0,n -；若直线l ：x ty nt b =++（其中,n b 为常数），则直线l 必过定点(),b n -.一、典型例题1. 已知椭圆C ：22221x y a b +=()0a b >>，四点()11,1P ，()20,1P ，3P ⎛- ⎝⎭，4P ⎛ ⎝⎭中恰有三点在椭圆C 上.（1）求C 的方程；（2）设直线l 不经过2P 点且与C 相交于A 、B 两点，若直线2P A 与直线2P B 的斜率的和为1-，证明：l 过定点.2. 已知椭圆C ：22142x y +=，如图，椭圆左顶点为A ，过原点O 的直线（与坐标轴不重合）与椭圆C 交于P ，Q 两点，直线P A ，QA 分别与y 轴交于M ，N 两点，试问以MN 为直径的圆是否经过定点？请证明结论.二、课堂练习1. 已知抛物线()2:20C x py p =>过点()2,1，直线l 过点()0,1P -与抛物线C 交于A ，B 两点.点A 关于y 轴的对称点为A '，连接A B '. 问直线A B '是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.x2. 已知椭圆C ：22142x y +=，过点()1,0做两条相互垂直的直线1l 、2l 分别与椭圆C 交于P 、Q 、M 、N 四点. 若MS SN =u u u r u u u r ，PT TQ =u u u r u u u r ，证明直线ST 是否过定点.三、课后作业1. 已知抛物线24y x Γ=：，过点()12,8P 的两条直线1l 、2l 分别交抛物线Γ于点C 、D 和E 、F ，线段CD 和EF 的中点分别为M 、N .如果直线1l 与2l 的倾斜角互余，求证：直线MN 经过一定点.2. 已知椭圆2212x y +=，直线l 不经过点A （0,1），且与椭圆交于M ，N 两点，若以MN 为直径的圆经过点A ，求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标.3. 已知过抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F ，()()112212,,,()A x y B x y x x <两点，且6AB =.（1）求该抛物线C 的方程；（2）已知抛物线上一点(),4M t ，过点M 作抛物线的两条弦MD 和ME ，且MD ME ⊥，判断直线DE 是否过定点？并说明理由.第6课 对称问题基本方法：对称问题是解析几何中的一个重要问题，主要类型有：1. 点关于点成中心对称问题（即线段中点坐标公式的应用问题）设点()000,P x y ，对称中心为(),A a b ，则点()000,P x y 关于(),A a b 的对称点为()002,2P a x b y '--.2. 点关于直线成轴对称问题由轴对称定义可知，对称轴即为两对称点连线的垂直平分线，利用“垂直”“平分”这两个条件建立方程，就可以求出对称点的坐标，一般情形如下：设点()000,P x y 关于直线y kx b =+的对称点为(),P x y '''，则有0000122y y k x x y y x x k b '-⎧⋅=-⎪'-⎪⎨''++⎪=⋅+⎪⎩，可求得(),P x y '''.特殊情形：①点()000,P x y 关于直线x a =对称的点为()002,P a x y '-；②点()000,P x y 关于直线y b =对称的点为()00,2P x b y '-；③若对称轴的斜率为1±，则可把()000,P x y 直接代入对称轴方程求得对称点P '的坐标.一、典型例题1．已知椭圆C ：2214x y +=，A 为椭圆左顶点，设椭圆C 上不与A 点重合的两点D ，E 关于原点O 对称，直线AD ，AE 分别交y 轴于M ，N 两点．求证：以MN 为直径的圆被x 轴截得的弦长是定值．2．已知椭圆22143x y +=与直线y kx m =+相交于不同的两点,M N ，如果存在过点10,2P ⎛⎫- ⎪⎝⎭的直线l ,使得点M N ,关于l 对称，求实数m 的取值范围.二、课堂练习1．已知椭圆22184x y +=，上顶点为,P O 为坐标原点，设线段PO 的中点为M ，经过M 的直线l 与椭圆交于,A B 两点，()3,0C -，若点A 关于x 轴的对称点在直线BC 上，求直线l 方程.2．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.三、课后作业1．已知椭圆:Γ221106x y +=.ABC ∆的顶点都在椭圆Γ上，其中,A B 关于原点对称，试问ABC ∆能否为正三角形？并说明理由.2．已知椭圆2212y x +=，记椭圆的右顶点为C ，点(),D m n （0n ≠）在椭圆上，直线CD 交y 轴于点M ，点E 与点D 关于y 轴对称，直线CE 交y 轴于点N ．问：x 轴上是否存在点Q ，使得OQM ONQ ∠=∠（O 为坐标原点）？若存在，求点Q坐标；若不存在，说明理由．3．已知椭圆22413yx+=，右顶点为A，设直线l：1x=-上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B（B异于点A），直线BQ与x轴相交于点D. 若APDV AP的方程.第7课三点共线问题基本方法：三点共线问题解题策略一般有以下几种：①斜率法：若过任意两点的直线的斜率都存在，通过计算证明过任意两点的直线的斜率相等证明三点共线；②距离法：计算出任意两点间的距离，若某两点间的距离等于另外两个距离之和，则这三点共线；③向量法：利用向量共线定理证明三点共线；④直线方程法：求出过其中两点的直线方程，再证明第三点也在该直线上;⑤点到直线的距离法：求出过其中某两点的直线方程，计算出第三点到该直线的距离，若距离为0，则三点共线.⑥面积法：通过计算求出以这三点为三角形的面积，若面积为0，则三点共线.在处理三点共线问题时，离不开解析几何的重要思想：“设而不求思想”.一、典型例题1．已知椭圆22:12xC y+=，41,33M⎛⎫⎪⎝⎭为椭圆上一点，若,R S是椭圆C上的两个点，线段RS的中垂线l的斜率为12且直线l与RS交于点P，O为坐标原点，求证：,,P O M三点共线．2．已知椭圆的焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y=的焦点，离心率e=．过椭圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l，交椭圆于A、B两点.（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥u u u r u u u r u u u r ，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．二、课堂练习1．抛物线2:4C y x =，已知斜率为k 的直线l 交y 轴于点P ，且与曲线C 相切于点A ，点B 在曲线C 上，且直线PB x P 轴，P 关于点B 的对称点为Q ，判断点,,A Q O 是否共线，并说明理由.2．已知椭圆22143x y +=，点F 是椭圆的右焦点. 是否在x 轴上存在定点D ，使得过D 的直线l 交椭圆于,A B 两点.设点E 为点B 关于x 轴的对称点，且,,A F E 三点共线？若存在，求D 点坐标；若不存在，说明理由.三、课后作业1. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，直线l 过点()1,0-，直线l 与抛物线C 相交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D . 证明：,,B F D 三点共线.2．已知椭圆:E 22162x y +=，其右焦点为F ，过x 轴上一点()3,0A 作直线l 与椭圆E 相交于,P Q 两点，设(1)AP AQ λλ=>u u u r u u u r ，过点P 且平行于y 轴的直线与椭圆E 相交于另一点M ，试问,,M F Q 是否共线，若共线请证明；反之说明理由.3．已知椭圆22:132x y E +=，过定点()3,4P -且斜率为k 的直线交椭圆E 于不同的两点,M N ，在线段MN 上取异于,M N 的点H ，满足PM MH PN NH =，证明：点H 恒在一条直线上，并求出这条直线的方程.第8课 切线问题基本方法：圆锥曲线的切线问题有两种处理思路：思路1，导数法，将圆锥曲线方程化为函数)(x f y =，利用导数法求出函数)(x f y =在点00(,)x y 处的切线方程，特别是焦点在y 轴上常用此法求切线；思路2，根据题中条件设出切线方程，将切线方程代入圆锥切线方程，化为关于x （或y ）的一元二次方程，利用切线与圆锥曲线相切的充要条件为判别式0=∆，即可解出切线方程，注意关于x （或y ）的一元二次方程的二次项系数不为0这一条件.圆锥曲线的切线问题要根据曲线不同，选择不同的方法.一、典型例题1．已知椭圆C ：221(0)42x y a b +=>>上顶点为D ，右焦点为F ，过右顶点A 作直线l DF P ，且与y 轴交于点()0,P t ，又在直线y t =和椭圆C 上分别取点Q 和点E ，满足OQ OE ⊥（O 为坐标原点），连接EQ .（1）求t 的值，并证明直线AP 与圆222x y +=相切；（2）判断直线EQ 与圆222x y +=是否相切？若相切，请证明；若不相切，请说明理由.x2． 已知椭圆221:143x y C +=，在椭圆1C 上是否存在这样的点P ，过点P 引抛物线22:4C x y =的两条切线12,l l ，切点分别为,B C ，且直线BC 过点()1,1A ？若存在，指出这样的点P 有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由.二、课堂练习1．已知椭圆22:194x y C +=. 点P 为圆22:13M x y +=上任意一点，O 为坐标原点.设直线l 经过点P 且与椭圆C 相切，l 与圆M 相交于另一点A ，点A 关于原点O 的对称点为B ，证明：直线PB 与椭圆C 相切.2．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>与抛物线22(0)y px p =>共焦点2F ，抛物线上的点M 到y 轴的距离等于21MF -，且椭圆与抛物线的交点Q 满足252QF =． （1）求抛物线的方程和椭圆的方程；（2）过抛物线上的点P 作抛物线的切线y kx m =+交椭圆于A 、B 两点，求此切线在x 轴上的截距的取值范围．三、课后作业1．已知椭圆22:162x y C +=，点()3,0A ，P 是椭圆C 上的动点. 若直线AP 与椭圆C 相切，求点P 的坐标.2．对任意的椭圆()222210x y a b a b+=>>，有如下性质：若点()00,x y 是椭圆上的点，则椭圆在该点处的切线方程为00221x x y y a b+=．利用此结论解答下列问题．已知椭圆22143x y +=，若动点P 在直线3x y +=上，经过点P 的直线m ，n 与椭圆C 相切，切点分别为M ，N ．求证：直线MN 必经过一定点．3．已知抛物线2:2E x y =，O 为坐标原点，设T 是E 上横坐标为2的点，OT 的平行线l 交于E 于A ，B 两点，交E 在T 处的切线于点N . 求证：25||2NT NA NB =⋅.第9课 最值或取值范围问题基本方法：最值或取值范围问题解题策略一般有以下几种：（1）几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质求解.（2）代数法：在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数（自变量）的取值范围；②利用已知参数（自变量）的范围，求新参数（新自变量）的范围，解这类问题的核心是在两个参数（自变量）之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数（自变量）的取值范围；④利用基本不等式求出参数（自变量）的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，如导数法等，确定参数（自变量）的取值范围．最值或取值范围问题，是解析几何中的一类常见问题，解决这类问题的关键是构造含参数（自变量）的不等式，通过解不等式求出其范围，韦达定理、曲线与方程的关系等在构造不等式中起着重要作用.一、典型例题1. 已知抛物线2y x =和C e ：()2211x y ++=，过抛物线上的一点()()000,1P x y y ≥，作C e 的两条切线，与y 轴分别相交于A ，B 两点.求ABP ∆面积的最小值.x2. 已知椭圆:C 2214y x +=，过点()0,3M 的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点A ，B . 设P 为椭圆上一点，且OA OB OP λ+=u u u v u u u v u u u v （O 为坐标原点）.求当AB <λ的取值范围.二、课堂练习1. 已知椭圆C ：2214x y +=，过点()4,0M 的直线l 交椭圆于A ，B 两个不同的点，且MA MB λ=⋅，求λ的取值范围.2. 已知A ，B 为椭圆Γ：22142x y +=的左，右顶点，若点()()000,0P x y y ≠为直线4x =上的任意一点，PA ，PB 交椭圆Γ于C ，D 两点，求四边形ACBD 面积的最大值.三、课后作业1. 已知椭圆22:143x y C +=，过点1,02⎛⎫ ⎪⎝⎭作直线l 与椭圆C 交于点,E F (异于椭圆C 的左、右顶点)，线段EF 的中点为M .点A 是椭圆C 的右顶点.求直线MA 的斜率k 的取值范围.2. 已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，准线为l ，过焦点F 的直线交C 于()11,A x y ，()22,B x y 两点，点B 在准线l 上的投影为E ，D 是C 上一点，且AD EF ⊥，求ABD V 面积的最小值及此时直线AD 的方程.3. 已知F 为椭圆2214x y +=的一个焦点，过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于,A B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点G ，求点G 横坐标的取值范围.x第10课 圆锥曲线中的探究问题基本方法：解决直线与圆锥曲线位置关系的存在性问题，往往是先假设所求的元素存在，然后推理论证，检验说明假设是否正确.这类题型存在两类问题：一是判断位置关系，二是依据位置关系确定参数的范围. 这两类问题在解题方法上是一致的，都要将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用判别式及根与系数的关系进行求解.一、典型例题1．已知菱形ABCD ，AB 在y 轴上且()0,1A ，C (),1t -（0t ≠，t ∈R ）．（1）求D 点轨迹Γ的方程；（2）延长DA 交轨迹Γ于点M ，轨迹Γ在点M 处的切线与直线BD 交于点N ，试判断以N 为圆心，线段NA 为半径的圆与直线DA 的位置关系，并证明你的结论．2. 已知椭圆C ：22198x y +=，过点()0,2P 作斜率为()0k k ≠的直线l 与椭圆C 交于两点A ，B ，试判断在x 轴上是否存在点D ，使得ADB ∆为以AB 为底边的等腰三角形.若存在，求出点D 的横坐标的取值范围，若不存在，请说明理由.x二、课堂练习1. 已知椭圆22:143x y E +=，31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，过点()1,1M 任作一条直线l ，l 与椭圆E 交于不同于点P 的A ，B 两点，l 与直线:34120m x y +-=交于C 点，记直线PA ，PB ，PC 的斜率分别为1k ，2k ，3k .试探究12k k +与3k 的关系，并证明你的结论.2. 已知椭圆C 的标准方程2214x y +=，直线l 过点（1,1），且与椭圆C 交于A ,B 两点，点M 满足AM MB =u u u u r u u u r ，点O 为坐标原点，延长线段OM 与椭圆C 交于点R ，四边形OARB 能否为平行四边形？若能，求出此时直线l 的方程，若不能，说明理由.三、课后作业1. 在直角坐标系xOy 中，曲线:C 24x y =与直线:l y kx a =+（0a >）交于M ，N 两点. 在y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有OPM OPN ∠=∠？说明理由.2. 已知椭圆C 的标准方程2212x y +=，12,A A 是椭圆C 的长轴的两个端点（2A 位于1A 右侧），B 是椭圆在y轴正半轴上的顶点，是否存在经过点且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同两点P 和Q ，使得向量OP OQ +u u u r u u u r 与2A B u u u u r 共线？若存在，求出直线l 方程，若不存在，请说明理由.3. 已知抛物线E ：24x y =，m ，n 是过点(,1)A a -且倾斜角互补的两条直线，其中m 与E 有唯一公共点B ，n 与E 相交于不同的两点C ，D .是否存在常数λ，使得2||||||AC AD AB λ⋅=？若存在，求λ的值；若不存在，说明理由.。
解析几何大题
解析几何大题（原创版）目录1.解析几何大题的概述2.解析几何大题的解题思路3.解析几何大题的解题技巧4.解析几何大题的例题解析5.总结正文解析几何大题是高中数学中非常重要的一部分，也是高考数学中的热点题型。
这种题型主要考察学生的解析几何知识和解题能力，包括对解析几何概念的理解，对解析几何方法的应用，以及对解析几何题目的解析能力。
一、解析几何大题的概述解析几何大题主要涉及到解析几何中的直线、圆、椭圆、双曲线等几何图形，以及它们之间的关系。
这种题型的难度较大，需要学生有较强的逻辑思维能力和数学运算能力。
二、解析几何大题的解题思路解析几何大题的解题思路主要包括以下几个步骤：1.认真阅读题目，理解题意，确定题目要求的解。
2.分析题目，找出题目中的已知条件和待求解的问题。
3.根据已知条件，运用解析几何的相关知识和方法，进行逻辑推理和数学运算。
4.得出结论，并对结论进行验证。
三、解析几何大题的解题技巧解析几何大题的解题技巧主要包括以下几个方面：1.对解析几何中的基本概念和公式有深入的理解，熟练掌握解析几何的方法和技巧。
2.能够灵活运用解析几何中的几何方法、代数方法和几何与代数的结合方法。
3.在解题过程中，要注意保持思路的清晰和逻辑的严密，避免因为粗心大意而造成错误。
四、解析几何大题的例题解析例如，解析几何中的一道经典题目：已知直线 l：y=2x+1，圆 O：(x-1)+(y-2)=5，求直线 l 与圆 O 的交点。
解：首先，根据题目中的已知条件，我们可以列出直线 l 和圆 O 的方程。
然后，通过解析几何中的方法，我们可以求出直线 l 和圆 O 的交点。
五、总结解析几何大题是高中数学中的重点和难点，对学生的逻辑思维能力和数学运算能力有较高的要求。
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y
l
P3A
P2
P1
P4
F2
O
F1
x
B
故不满足． ………………………6 分 (得分点 4)
从而可设 l：y＝kx＋m(m≠1)． 将 y＝kx＋m 代入x42＋y2＝1 得(4k2＋1)x2＋8kmx＋4m2－4＝0.
…7 分 (得分点 5)
由题设可知 Δ＝16(4k2－m2＋1)>0.
设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
❸得计算分：解题过程中的计算准确是得满分的根本保证，如(得分点 3)，(得 分点 5)，(得分点 7)．
解答圆锥曲线中的定点问题的一般步骤 第一步：研究特殊情形，从问题的特殊情形出发，得到目标关系所 要探求的定点． 第二步：探究一般情况．探究一般情形下的目标结论． 第三步：下结论，综合上面两种情况定结论．
(1)解 ∵椭圆xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 22， ∴e2＝ac22＝a2－a2b2＝12，得 a2＝2b2，① 又点 Qb，ba在椭圆 C 上，∴ba22＋ab24＝1，②
联立①、②得 a2＝8，且 b2＝4. ∴椭圆 C 的方程为x82＋y42＝1.
(2)证明 当直线 PN 的斜率 k 不存在时，
2020年高考数学热点复习
解析几何热点问题
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1.圆锥曲线是平面解析几何的核心部分，也是高考必考知识，主 要以一个小题一个大题的形式呈现，难度中等偏上； 2.高考中的选择题或填空题主要考查圆锥曲线的基本性质，高考 中的解答题，常以求曲线的标准方程、位置关系、定点、定值、 最值、范围、探索性问题为主.这些试题的命制有一个共同的特 点，就是起点低，但在第(2)问或第(3)问中一般都伴有较为复杂 的运算，对考生解决问题的能力要求较高.
则 x1＋x2＝－48k2k＋m1，x1x2＝44mk22＋－14.8 分 (得分点 6)
l
y
则 k1＋k2＝y1x－1 1＋y2x－2 1＝kx1＋xm1 －1＋kx2＋xm2 －1
A
P2
＝2kx1x2＋（m－x1x12）（x1＋x2）.
F2
O
F1
x
B
由题设 k1＋k2＝－1，
故(2k＋1)x1x2＋(m－1)(x1＋x2)＝0. ∴(2k＋1)·44mk22＋－14＋(m－1)·4－k28＋km1＝0. …10 分 (得分点 7)
F1
x
B
❶得步骤分：抓住得分点的解题步骤，“步步为赢”，在第(1)问中，分析隐含信 息，列出方程组，求出方程．在第(2)问中，分类讨论设出直线方程→联立方程 →写出根与系数的关系→利用公式化简求解． ❷得关键分：(1)列出方程组．(2)直线方程．(3)韦达定理．(4)斜率公式．都是不 可少的过程，有则给分，无则没分．
满分解答 (1)解 由于点 P3，P4 关于 y 轴对称，
y
由题设知 C 必过 P3，P4. 又由a12＋b12>a12＋43b2知，椭圆 C 不经过点 P1，
P3
P2
P1
P4
F2
O
F1
x
所以点 P2 在椭圆 C 上. ………1 分 (得分点 1)
因此b12＝1， a12＋43b2＝1，
解之得 m＝－2k－1，此时 Δ＝32(m＋1)>0，方程有解，
∴当且仅当 m>－1 时，Δ>0，…11 分 (得分点 8) ∴直线 l 的方程为 y＝kx－2k－1，即 y＋1＝k(x－2)． 当 x＝2 时，y＝－1， 所以 l 过定点(2，－1)． ……12 分 (得分点 9)
y
l
A
P2
F2
O
解得ab22＝ ＝41，. … 3 分 (得分点 2)
故 C 的方程为x42＋y2＝1.
…………5 分 (得分点 3)
(2)证明 设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2.
如果直线 l 的斜率不存在，l 垂直于 x 轴． 设 l：x＝m，A(m，yA)，B(m，－yA)， k1＋k2＝yAm－1＋－ymA－1＝－m2＝－1，得 m＝2， 此时 l 过椭圆右顶点，不存在两个交点，
教材探源 本题第(1)问源于教材选修2－1P40例1， 主要考查利用待定系数法及方程思想求曲线方程. 本题第(2)问源于教材选修2－1P41例3，主要考查利 用坐标法研究几何问题，充分考查学生解决综合问 题的能力.
y
P3
P2
P1
P4
F2
O
F1
x
命题角度 1 圆锥曲线中定点问题 [例 1－1] (满分 12 分)(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)，四点 P1(1， 1)，P2(0，1)，P3－1， 23，P41， 23中恰有三点在椭圆 C 上．(1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率 的和为－1，证明：l 过定点．
定点、定值问题一般涉及曲线过定点、关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问 题．圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面 积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几 何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问 题．
命题角度 1 圆锥曲线中定点问题 [例 1－1] (满分 12 分)(2017·全国Ⅰ卷)已知椭圆 C：xa22＋yb22＝1(a>b>0)，四点 P1(1， 1)，P2(0，1)，P3－1， 23，P41， 23中恰有三点在椭圆 C 上．(1)求 C 的方程； (2)设直线 l 不经过 P2 点且与 C 相交于 A，B 两点．若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率 的和为－1，证明：l 过定点．
PN 方程为 x＝ 2或 x＝－ 2，从而有|PN|＝2 3， 所以 S＝21|PN|·|OM|＝12×2 3×2 2＝2 6；
命题角度 2 圆锥曲线中的定值问题 [例 1－2] (2017·唐山一模)已知椭圆 C：xa22＋by22＝1(a>b>0)的离心率为 22,点 Qb，ab 在椭圆上，O 为坐标原点. (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知点 P，M，N 为椭圆 C 上的三点，若四边形 OPMN 为平行四边形，证明 四边形 OPMN 的面积 S 为定值，并求该定值.