否命题与命题的否定
命题的否定和否命题 举例
命题的否定和否命题举例命题的否定和否命题命题是指能够明确判断真假的陈述句，例如“今天是星期一”。
而命题的否定是指对原命题的反向陈述，例如“今天不是星期一”。
而否命题则是指对原命题的完全相反的陈述，例如“今天不是星期二”。
一、命题的否定1.1 否定的定义否定是指对原命题进行反向陈述，即将其真假性质颠倒。
如果原来的命题为真，那么它的否定就为假；如果原来的命题为假，那么它的否定就为真。
1.2 否定的表示方法在逻辑中，常用符号“¬”表示否定。
例如，“¬p”表示对p进行了否定。
1.3 否定与肯定之间的关系在逻辑中，肯定和否定之间存在着互补关系。
即一个命题与其否定只有一个为真，另一个必须为假。
二、否命题2.1 否命题的定义否命题是指对原来的命题进行完全相反的陈述。
如果原来的命题为真，则其否命题为假；如果原来的命题为假，则其否命题为真。
2.2 否命题与否定之间的区别否命题与否定之间的区别在于，否命题是对原来的命题进行了完全相反的陈述，而否定只是对原来的命题进行了反向陈述。
2.3 否命题的表示方法在逻辑中，常用符号“∼”或“~”表示否命题。
例如，“∼p”或“~p”表示对p进行了否命题。
三、举例说明3.1 命题的否定举例原命题：“今天是星期一。
”否定：“今天不是星期一。
”解释：如果原来的命题为真，则其否定为假，即如果今天是星期一，则今天不可能不是星期一。
3.2 否命题举例原命题：“今天是星期一。
”否命题：“今天不是星期二。
”解释：如果原来的命题为真，则其否命题为假，即如果今天是星期一，则今天肯定不可能不是星期二。
结语：通过以上内容可以得知，在逻辑学中，除了肯定和否定之外还有一个重要概念——否命题。
而这些概念在日常生活中也经常被运用到。
因此，掌握这些概念能够帮助我们更好地理解和分析各种事物。
否命题与命题的否定和反证法
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4
∴p+q ≤2，这与命题的条件p＋q＞2相矛盾，
∴假设不成立，即p2＋q2≠2，
故原命题为真命题。
反证法
（同题多解，学会等价法与反证法地灵活应用）
关于反证法
在直接证明某一个命题为真命题有困难 时,可以通过证明它的逆否命题为真命题,来 间接证明原命题为真命题.
否命题与命题的否定 关于反证法
紐绅中学
否命题与命题的否定
否命题是用否定条件也否定结论的方式构成新命题。 命题的否定是逻辑联结词“非”作用于判断,只否定结
论不否定条件。 对于原命题: 若 p , 则 q 有
否命题: 若┐p , 则┐q 。 命题的否定: 若 p ，则┐q 。
例.命题：△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角.命
• 证明一：要证“若p＋q＞2，则p2＋q2≠2”
只需证它的逆否命题“若p2＋q2＝2，则p＋q≤2”成立。
∵p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
∴（p+q）2 =p2＋q2+2pq=2+2pq ≤4
∴p+q ≤2 ∴逆否命题为真命题，
故原命题也为真命题。
等价法
证明二：假设p2＋q2=2，则2=p2＋q2≥2pq ∴pq≤1
方法一：直接法，从命题的条件p出发，经 推理直接得出结论p，证明其为真命题；
方法二：等价法，证明命题（若p，则q） 的等价命题——逆否命题（若┐q，则┐q） 为真，则原命题也为真；
方法三：反证法，证明命题的否定（若p， 则┐q）为假命题，从而间接地证明了命题 （若p，则q）为真命题。
例1： 证明：若p＋q＞2，则p2＋q2≠2.
题型3-命题否命题与命题的否定
写出否命题及命题的否定应先弄清原命题的条件与 结论.
2021/6/12
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引例的解答
(1)否命题:不是菱形的四边形,其对角线不互 相垂直. 命题的否定:菱形的对角线不互相垂直. (或:存在一个菱形,其对角线不互相垂直) (2)否命题：面积不相等的三角形不是全等三 角形. 命题的否定:面积相等的三角形不是全等三 角形.
Ｃ
Ｄ．对任意的 x R ,x3-x2+ 1 0
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题型训练
5、写出下列命题的否定和否命题： 自然数的平方是正数.
命题的否定: 自然数的平方不是正数 否命题: 某些自然数的平方不是正数
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用于科普，若有不 当之处，请指正，感
谢您的下载。
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C. 3AB D . 3 UA U B
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题型训练
2、命题“若A∪B=A,则A∩B=B”的否命题是
A .A B A A B B
A
B .A B B A B A C .A B B A B A
D .A B A A B B
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正面
至多有 至少有 至多有 P或q P且q 一个 一个 n个
否定
至少有 一个也 至少有 非p且 非p或
两个 没有 n+1个 非q
非q
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模仿训练
1、写出下列命题的“非”命题和否命题， 并判断真假.
(1)在△ABC中，角A=B=45度，则三角形是 等腰直角三角形；
命题的否定与否命题的区别
命题的否定与否命题的区别命题的否定与否命题是完全不同的概念。
其理由一任何命题均有否定无论是真命题还是假命题而否命题仅针对命题“若P则q”提出来的。
二命题的否定是原命题的矛盾命题两者的真假性必然是一真一假一假一真而否命题与原命题可能是同真同假也可能是一真一假。
如下面真值表可知Pq┓p┓q”Pq┓p┓q”110011100101011010001111三原命题“若P则q”的形式它的否定命题在前面已讲过而它的否命题为“若非P则非q”记为“若┓p则┓q”即是说既否定条件又否定结论。
例6写出下列命题的否定命题与否命题。
并判断其真假性。
1若xy则5x5y。
2若x2x2则x2-x2。
3正方形的四条边相等。
4已知ab为实数若x2axb≤0有非空实解集则a2-4b≥0。
解1的否定xyxy且5x≤5y。
假命题否命题Vxyx≤y5x≤5y。
真命题原命题为Vxyxy5x5y。
真命题2的否定xx2x2且x2-x≥2。
真命题否命题Vxx2x≥2x2-x≥2。
假命题原命题为Vxx2x2x2-x2。
假命题3的否定存在一个四边形尽管它是正方形然而四条边中至少有两条边不相等。
假命题否命题若一个四边形不是正方形则它的四条边不相等。
假命题原命题是真命题。
看例554的否定存在两个实数ab虽然满足x2axb≤0有非空实解集但使a2-4b0。
假命题否命题已知ab为实数若x2axb≤0没有非空实解集则a2-4b0。
真命题原命题为对任意的实数ab若x2axb≤0有非空实解集则a2-4b≥0真命题在教学中务必理清各类型命题形式结构性质关系。
才能真正准确地完整地表达出命题的否定才能避犯逻辑性错误才能更好把逻辑知识负载于其它知识之上达到培养和发展学生的逻辑思维能力。
否命题、命题的否定与非命 题的区别
否命题、命题的否定与非命题有何区别？
否命题，命题的否定与非命题是不同的概念，只有弄清楚它们之间的区别与联系才不会出错。
区别：（1）概念：否命题是对原命题的条件和结论分别否定后组成的命题；命题的否定形式是针对全称命题和特称命题而言，是要把相应的量词进行互换（特称量词换成存在量词，存在量词换成全称量词），然后直接对命题的结论进行否定;非命题中，“非”是否定的意思，一个命题P经过使用逻辑连接词“非”，构成一个复合命题“非”P，从集合的角度可以看作是P在全集U中的补集，它是只对命题P的结论进行否定；
（2）构成：对于“若p，则q”形式的命题，其否命题为“若﹁p,则﹁q”;而其命题的否定为“若p,则﹁q”,也就是条件中换量词，而否定结论；“非”命题为“﹁p”,对结论否定；
（3）联系：它们在否定过程中，对其正面叙述的词语的否定叙述都是一样的（如“至多有一个”的否定形式为“至多有两个”，“都是”的否定形式为“不都是”）。
“命题的否定”与“否命题”辨析
命题的“否定”与“否命题”的辨析（邮编331800）江西省东乡县实验中学数学组黄树华数学是一门逻辑性很强的学科，学习数学时处处涉及命题之间的逻辑关系和推理论证，现行教材新课标高中数学(北师大版)选修1-1、2-1的第一章均新增“常用逻辑用语”内容，介绍一些简单而又实用的逻辑知识，本意是让学生弄清命题之间的逻辑关系，自觉地使用逻辑规则，避免一些易犯的错误，从而增强判断能力和推理能力，提高数学思维能力。
由于新增内容，对于高中新生来说是较为抽象，在理解上尚一定难度，加之资料书上对这方面谈得少，且我们有些一线教师知识上也存在一定缺陷。
鉴于此，本人根据自己已从事一轮新课标教学的实践，就此问题加以诠释，供同仁探讨。
一、命题的“否命题”关于“否命题”，教材中讲得很明确，仅针对命题“若P则q”提出来的。
写出一个命题的否命题，简单地说就是将原命题改写成否定条件并且否定结论的形式。
即“若p则q”的否命题为“若非p则非q”。
命题的否命题与原命题的真假可能相同也可能相反。
如“若两个三角形全等则面积相等”（真命题）的否命题为“若两个三角形不全等则面积不相等”（假命题）。
又如“若x≠2，则x2≠4”（假命题）的否命题为“若x=2，则x2=4”（真命题）。
写出一个命题的否命题，关键是弄清楚命题的条件和结论，如命题“正方形是菱形”的条件是“四边形是正方形”，结论是“这个四边形是菱形”，其否命题为“若四边形不是正方形则这个四边形不是菱形”。
二、命题的“否定”“非p”叫做命题p的非命题，即命题p的否定。
一个命题p经过使用逻辑联结词“非”，就构成一个复合命题“非p”（记作“┓p”）称为命题的否定。
“非p”形式的复合命题的真值与原命题p的真值正好相反，构成一对矛盾命题。
但值得注意的是“非p”绝不是“是”与“不是”的简单演译，而是要对判断对象做出正确的否定。
以下分别举例说明：（一）简单命题的否定。
简单命题是不含逻辑联结词的命题。
常见的有：1．形如“A是B”的命题，这类命题的否定为：“A不是B”。
命题的否定和否命题的区别
命题的否定和否命题的区别
（1）从定义的角度：
<1>否命题：设原命题是“若p则q”形式，那么“若非p则非q”就叫做原命题的否命题；
<2>命题的否定：设“p”是一个命题，那么“非p”叫做命题p的否定。
（2）从真值的角度：
<1>否命题：
是对原命题的条件和结论都进行否定，“若p则qà若非p则非q”，对于不具有“若p则q”形式的命题，我们应该先改写成“若p则q”形式，再写否命题。
注意：否命题与原命题真值可同真同假。
举例：原命题是“若同位角相等，则两直线平行”。
<2>命题的否定：
如果考虑原命题的条件和结论，则只对命题的结论进行否定，即“若
非p则非q”；
如果不考虑原命题的条件和结论，则对整个命题作否定，也就是在原命题前面加上“并非”即可。
由此看出：命题的否定与原命题必然真值相反。
另外，如果原命题涉及一些关键词，在否定时也要相应地做出改变：
都à不都（而不是都不）；
全是à不全是（而不是都不是）；
且à或，或à且；
任意à存在，存在à任意；
至少有一个à一个也没有；
至多有一个à至少有两个等等。
细说“否命题”与“命题的否定”
细说“否命题”与“命题的否定”作者：张圣官来源：《新高考·高二数学》2015年第10期在学习《常用逻辑用语》的过程中，不少同学常常把“否命题”与“命题的否定”混为一谈，其实这两个概念是在不同的层面上研究问题时所出现的.“否命题”出现在“命题及其关系”中，指的是当原有命题（即原命题）为“若p则q”形式时，同时否定它的条件和结论得到“若￢p则￢q（读作若非p则非q）”，这称为原命题的否命题；而“命题的否定”是指将命题p（通常是较简单的命题）直接进行否定得到￢p，也即是直接得到命题的反面.1.要写出否命题，首先要将原命题改写成“若p则q”形式例1 已知命题“全等三角形一定相似”，试写出它的否命题，并判断这两个命题的真假.解将原命题改写为：若两个三角形全等，则它们一定相似.其否命题即为：若两个三角形不全等，则它们一定不相似.原命题为真，否命题为假.点评将原命题首先改写成“若p则q”形式，是正确写出否命题的关键.当然还要注意这里的“一定”是语气助词而不是谓语动词，有的同学会写成：若两个三角形不全等，则它们不一定相似.这样写就错了！违背了常用逻辑的基本规则.事实上，在处理命题中含有“一定”、“必然”等词语的问题时有一个办法是切实可行的，这就是将它们去掉，因为它们仅仅是加强语气而已.还有一点需要强调的是，原命题为真（假）时，否命题的真假性并不确定，即否命题可能为真也可能为假，这要根据具体的问题结论来确定.在四种命题关系中，原命题与逆否命题真假性相同，逆命题与否命题真假性相同.例2 写出命题p：“若a，b，c∈R，ac2+bx+c=0有两个不相等的实数根”的否命题.分析本题中对“p”的理解很关键，“a，b，c∈R”必须当做前提条件才行，而不能对它进行否定.否命题应该写成“若a，b，c∈R，以c≥0，则方程ax2+bx+c=0没有两个不相等的实数根”.如果命题中含有逻辑联结词“或”、“且”、“非”时，那么在写“￢p”和“￢q”时要注意利用等价命题的原理和规律.例3 写出命题“若ab=0，则a=0或b=0”的否命题，并判断两个命题的真假，分析原命题是真命题，逆命题是真命题，因此写出的否命题必须也为真命题才行.否命题应该为“若ab≠0，则a≠0且b≠O”，假如写成“若ab≠0，则a≠O或b≠0”的话就错了.2.要写出命题的否定，关键是要找到原有命题中省略的量词命题的否定是对命题p进行直接否定，通常针对的命题p是较为简单的命题，例如要对命题p：3>2进行否定，当然￢p就是“3不大于2”，也即是“3≤2”.再如，请写出命题“实数的绝对值是正数”的否定，答案是“实数的绝对值不是正数”还是“不是实数的绝对值不是正数”呢？第二个逻辑上发生了混乱，这可不是对命题进行否定，是不对的；第一个从逻辑关系上来讲是对的，但写法不太规范.究竟该怎样才好呢？较为科学的做法是先找到原有命题中省略的量词“任意”或“存在”，具体到这道题而言，命题“实数的绝对值是正数”是指“任意实数的绝对值是正数”还是指“存在实数的绝对值是正数”？显然指的是前者，这是一个全称命题，即p：“任意实数的绝对值都是正数”，那么它的否定应该是一个存在性命题，￢p：“存在一个实数，它的绝对值不是正数”.写命题p的否定形式，不能一概在关键词前加“不”，而要搞清这个命题研究的对象是个体还是全体.如果研究的对象是个体，只须将“是”改成“不是”，将“不是”改成“是”即可.如果命题研究的对象不是一个个体，就不能这样简单地处理了，而要分清命题是全称命题还是存在性命题.因此，在表述一个命题的否定形式的时候，不仅“是”与“不是”要发生变化，有关命题的关键词也应发生相应的变化，建议大家将常见关键词及其否定形式做个统计分类，制成表格，以加深印象，命题p与它的否定￢p的真假性一定相反，即命题p为真，￢p一定为假；命题p为假，￢p一定为真.利用其中的逻辑关系，有时可以简化解题过程.分析本题若直接求解则较为繁难，由于该命题是存在性命题，因此依据上述全称命题与存在性命题的关系，将该命题的否定形式写出，依据“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可推知其否定形式必为真命题，从而求出满足题设要求的实数a的取值范围.≤O恒成立，由“命题真，其否定假；命题假，其否定真”可知命题￢p是真命题.事实上，当a=0时，对任意的x∈R，不等式3≤0恒成立；当a≠0时，借助二次函数的图象，数形结合，很容易知道：不等式ax2-2ax-3≤O恒成立的等价条件是a2+12a≤0，即3≤a点评这里巧妙地借助全称命题与存在性命题的关系及真假的判定，将较为困难的问题等价转化为“在一个不等式ax2-2ax 3≤0恒成立的条件下，求实数a的取值范围”，使问题得到了巧妙的化归与转化，达到了化难为易，避繁就简的目的.3.当“否命题”与“命题的否定”碰面时，关键是各行其道“否命题”与“命题的否定”这两个概念是在不同的层面上研究问题时所出现的，它们一般是不会碰面的.但是也需要注意一些特殊的情况下，既需要写出一个命题的否命题，也需要对它进行否定.这时怎么办好呢？一言以蔽之，各行其道就行了.例5 已知命题“对顶角相等”，试写出它的否命题以及该命题的否定，并分别判断它们的真假性.分析写否命题前，先将原命题改为“若p则q”的形式.命题“对顶角相等”怎么表述呢？“若两个角是对顶角，则它们相等”，这样否命题写成“若两个角不是对顶角，则它们不相等”就行了；要对它进行否定之前，先看看原命题可以加上什么量词，是“任意”还是“存在”？发现命题“对顶角相等”是全称命题，可以改为“任意两个角是对顶角，它们相等”，这样它的否定是存在性命题，写成“存在两个角是对顶角，它们不相等”就行了.在该题中，否命题以及命题的否定均为假命题.例6已知命题“若x≥1，则x2≥1”，试写出它的否命题以及该命题的否定，并分别判断它们的真假性.。
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否命题与命题的否定
一、识别否命题与命题的否定
1．命题的否命题：既否定命题的条件又否定命题的结论，命题“若p 则q ”，则其否命题是“若非p ，则非q ”。
2．“非m ”叫做命题m 的否定，对命题怎样否定呢？保留其条件，否定其结论，即命题是“若 p，则q ”，那么命题“非m ”是：若p ，则非q 。
由此可知命题的否定与原命题的条件相同，结论相反；命题的否定与原命题的的真假相反；。
二、区别否命题与命题的否定
1．注意区分“命题的否定”与“否命题”这两个不同的概念。
命题的否定为“非”，记作，一般只是否定命题的结论，否命题是对原命题“若p 则q ”既否定它的条件，又否它的结论。
2．“非”是否定的意思，一个命题m经过使用逻辑联结词“非”，构成了一个复合命题“非m ”，从集合的角度可以看作是在全集中的补集。
“非”的含义有四条：
①“非m ”只否定的结论；
②m与“非m ”的真假必须相反；
③“非m ”必须包含原结论的所有对立面；
④“非m ”必须使用否定词语。
三、实例帮您理解否命题与命题的否定
对于这两个问题，有些同学对命题的否定不知如何把握，很容易与否命题混淆，下面以具体实例作一比较。
若 m是一个命题，则非m 是m 的否定，它是对整个命题进行否定。
命题“若p 则q ”的否命题是“若非p 则非q ”，即对命题的题设与结论同时否定，例如：
①命题：（所有）质数不都是奇数（真）；否定形式：（所有）质数都是奇数（假）；否命题：有些质数是奇数（真）。
②命题：面积相等的三角形一定是全等三角形（假）；否定形式：面积相等的三角形不一定是全等三角形（真）；否命题：面积不相等的三角形一定不是全等三角形（真）。
四、“或”、“且”连结的命题的否定形式
“p 或q ”的否定是“非p且非 q”；“p且q”的否定形式是“非p 或非q ”。
它类似于集合中的“并、交”，如“实数a与b 均为零”的否定是“实数a 与 b中至少有一个不为零”，而不是“实数 a与b 都不为零”；“实数 a与 b中至少有一个为零”的否定是“实数a 与b 均为零”。
五、命题的否定形式、否命题与原命题的真假关系
原命题
否定形
式
否命题
真假与原命题的真假无关与逆命题真假相
同
假真与原命题的真假无关与逆命题真假相
同
六、命题中关键词的否定表
把握好命题的否定和正确地写出命题的否命题，必须掌握一些关键词的否定，见下表：关键词大（小）于是有全部任何，所有的至少有一个至多有一个任意
否定不大（小）于不是无不全部不都某些，有几个一个也没有至少有两个存在
七、含有一个量词的命题的否定
含有一个量词的全称命题的否定，有下面的结论：
全称命题：，它的否定：
全称命题的否定是存在性命题。
含有一个量词的存在性命题的否定，有下面的结论：
存在性命题：，它的否定：：
存在性命题的否定是全称命题
八、典型例题剖析
例1写出命题“若≤ 或≤ ，则≤ ”的否命题
错解一：否命题为“若≤ 或≤ ，则”
错解二：否命题为“若或，则”。
错解剖析：这两种结论都是错误的，在写否命题时，首先要分清是“否命题”还是“命题的否定”。
“否命题”是对条件与结论分别否定，而“命题的否定”是只对结论的否定。
即若原命题为，那么它的否命题是非非，而命题的否定是非。
其次要注意对“且”与“或”的否定。
一般来说，“且”的否定是“或”，而“或”的否定是“且”。
正解：原命题的否命题为：
若且，则。
例2写出下列命题的否定，并判断其真假
（1）： R，≥ ；（2）：所有的正方形都是矩形；（3）： R，≤ ；（4）：至少有一个实数，使。
解：（1）： R，。
（假）
这是由于 R，≥ 恒成立；
（2）：至少存在一个正方形不是矩形。
（假）
（3）： R，。
（真）
这是由于， R，≥ 成立。
例3已知命题：存在一个实数，使得，写出。
分析：命题有两种答案：（1）存在一个实数，使得≥；或（2）不存在一个实数，使得。
这两个答案哪一种正确？
解：由。
故原命题是真命题。
又时，，所以分析中答案（1）也是真命题。
而与的真假性相反，所以（1）是错误的。
答案（2）是正确的。
事实上，我们不妨把命题改写成：若一个不等式是，则存在一个实数使这个不等式成立。
由此可知，答案（2）才是否定了命题的结论，得到了“ ”。
例4写出命题“若，则”的否定和否命题。
解：命题“若，则”的否定为“若，则≤ ”；否命题为：若，则≤ 。