含参一元二次不等式的解法及其应用
含参数的一元二次不等式的解法
02
形如$ax^{2} + bx + c > 0$或$ax^{2} + bx + c < 0$的不等式，其中$a \neq 0$。
通常表示为$ax^{2} + bx + c > 0$，其中$a \neq 0$，当$a < 0$时，不等式表示的为开口向下的抛物线在$x$轴上方（或下方）的部分。
研究意义
研究目的和意义
在国内外学者的研究中，一元二次不等式的解法已经得到了广泛的研究。对于不含参数的一元二次不等式，学者们已经提出了多种求解方法，如公式法、图解法等。而对于含参数的一元二次不等式，由于参数的出现使得问题变得更为复杂，因此相关的研究相对较少。目前，已有的研究主要集中在求解含参数的一元二次不等式的解集上，而对其求解方法、参数对解的影响等方面的研究尚不充分。因此，本文将深入研究含参数的一元二次不等式的解法，探讨参数对不等式解的影响，并总结出一套有效的求解策略。
未来，我们将进一步深入研究含参数的一元二次不等式问题，探讨更加高效的解法，并尝试将其应用于更广泛的领域。
我们计划利用现代数学方法和技术，对含参数的一元二次不等式问题进行深入研究，以期取得更加系统和全面的研究成果。
同时，我们也希望通过进一步的研究，能够为解决其他相关数学问题提供思路和方法上的借鉴。
工作展望
利用数轴法求解
方法比较和实例分析
04
直接求解法
直接根据一元二次不等式的解法公式，将参数代入公式进行计算。优点是简单易懂，但计算量较大，容易出现计算错误。
方法比较
分解因式法
将一元二次不等式转化为两个一元一次不等式，再分别求解。优点是计算量较小，但需要一定的观察能力和分解因式技巧。
含参数的一元二次不等式的解法
2
方程
a a2 4 a a2 4 , x2 的两根 x1 2 2
a a2 4 a a2 4 或x 不等式的解集为 x / x 2 2
解题心得
你能说说解含参数的一元二次不等式按怎样的层次 进行分类讨论？
2ax 3a 0(a R)
2
（ 2）
ax (2a 2) x 4 0(a R)
2
误区警示：对于含有参数的不等式，在求解过程中，注意不 要忽视对其中的参数恰当的分类讨论，尤其是涉及形式上看似一 元二次不等式，而其中的二次项系数中又含有参数变量时，往往 需要针对这个系数是否为 0 进行分类讨论，并且如果对应的一元 二次方程有两个不等的实根且根的表达式中又含有参数时，还要 再次针对这两根的大小进行分类讨论.
f′(x)<0 得 x>2.故 f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减 区间是(2，＋∞)． ② 当 a 0 时， ,令 f′(x)＞0 得 0<x<2; 令 f′(x)<0 得 x>2. 故 f(x)的增区间是(0，2)，减区间是(2，＋∞)．
1 1 1 ③当 0＜a＜ 时， ＞2，在区间(0，2)和 a，＋∞上，f′(x)＞0； a 2 1 在区间 2，a 上， f′ (x)＜ 0，故
a a 1 ④ 当 a 1 即 1 时 ，不等式的解集为 a 1 1 1 时，不等式的解集为 x / x 1 ⑤当 a 1 即 a a
●三个防范 (1)二次项系数中含有参数时， 参数的符号影响不等式的解集； 不要忘了二次项系数是否为零的情况． (2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根 的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类 讨论，分类要不重不漏． (3)不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．
含参数的一元二次不等式及其解法
3.2.2含参数的一元二次不等式及其解法一．自主学习以上结论是针对a>0的情形给出相应的解，a<0时请同学们自行分析。
解一元二次不等式的步骤：1：确定二次项系数符号（一般将二次系数化为正）;2:计算△,求相应一元二次方程的根(能用十字相乘法的则不需用公式）;3：根据二次函数的图像,写出不等式的解集二．自主探究在解关于含参数的一元二次不等式时，往往都要对参数进行分类讨论。
分类讨论的思想方法是中学数学的基本方法之一，是历年高考的重点。
下面举例说明解题时如何做到分类“不重不漏”。
【题型一】对根的大小讨论例1． 解关于x 的不等式0)1(2<+++a x a x .(a R ∈ ).对应练习：解关于的不等式2x a x a--<0 (a R ∈ ).【题型二】对所对应方程根的个数进行讨论例2、 解不等式02>+-a x x ，R a ∈对应练习：012<+-ax x【题型三】对首项系数a 的讨论例3、 2(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式，R a ∈对应练习：（1）关于x 的不等式0122<+-ax ax ，R a ∈训练（2）：函数()f x =R ，则实数m 的取值范围.课堂小结：含参数的一元二次不等式需讨论一般分为1：对二次项系数进行讨论；2：对所对应方程根的个数进行讨论；3：对所对应方程根的大小进行讨论；注意：因不确定所以需要讨论，在讨论时需清楚在哪讨论；怎样讨论.讨论要不重不漏,通过讨论后化不确定为确定.三．巩固性练习及作业1．不等式x 2-ax-122a <0 (其中a<0)的解集为（ ）A.（-3a, 4a ）B.(4a , -3a)C.(-3, 4)D.(2a , 6a)2、22210x xx m -+->解关于的不等式32(1)10、x ax a x +-->解关于的不等式4.若不等式ax 2+bx+c>0 的解集为{x|-3<x<4}.，求不等式bx 2+2ax-c-3b<0的解集分析提示：给出了一元二次不等式的解集，则可知a 的符号和ax 2+bx+c=0的两根，由韦达定理可知a,b ，c 之间的关系。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法解含参数的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按2x 项的系数a 的符号分类，即0,0,0<=>a a a ;例1 解不等式：()0122>+++x a ax分析：本题二次项系数含有参数，()044222>+=-+=∆a a a ，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：∵()044222>+=-+=∆a a a解得方程()0122=+++x a ax 两根,24221a a a x +---=aa a x 24222++--=∴当0>a 时,解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<++-->a a a x a a a x x 242242|22或当0=a 时，不等式为012>+x ,解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧->21|x x当0<a 时, 解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧+---<<++--a a a x a a a x 242242|22练习1 解不等式()00652≠>+-a a ax ax二、按判别式∆的符号分类，即0,0,0<∆=∆>∆；例2 解不等式042>++ax x分析 本题中由于2x 的系数大于0,故只需考虑∆与根的情况。
解：∵162-=∆a ∴当()4,4-∈a 即0<∆时，解集为R ；当4±=a 即Δ＝0时，解集为⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠∈2a xR x x 且； 当4>a 或4-<a 即>∆,此时两根分别为21621-+-=a a x ，21622---=a a x ，显然21x x >, ∴不等式的解集为⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧----+->21621622a a x a a x x 〈或练习2 解不等式()()R m x x m∈≥+-+014122三、按方程2=++c bx ax 的根21,x x 的大小来分类，即212121,,x x x x x x <=<；例3 解不等式)0( 01)1(2≠<++-a x aa x分析：此不等式可以分解为：()0)1(<--ax a x ，故对应的方程必有两解。
含参数的一元二次不等式
1 1 1 即 a 1时，原不等式的解集为： {x | x 1} a a 1 1即 a 1 时，原不等式的解集为： a
1 1 a
即
1 {x |1 x } 0 a 1 时，原不等式的解集为： a
含参数的一元二次不等式的解法
综上所述， (1)当 a 0 时，原不等式的解集为 (2)当 a 0 时，原不等式的解集为
2
又不等式即为 (x-2a)(x-3a)>0
故只需比较两根2a与3a的大小.
x 解: 原不等式可化为： 2a ( x 3a) 0
相应方程 x 2a ( x 3a) 0 的两根为 x1 2a, x2 3a ∴(1)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 2a或x 3a
综上所述： a 0时，原不等式解集为：x | x 2a或x 3a
a 0时，原不等式解集为： | x 3a或x 2a x
(2)当 2a 3a 即 a 0 时，原不等式解集为 x | x 3a或x 2a
两根大小的讨论
例题讲解
含参数的一元二次不等式的解法
2 ∴(a)当 k 0 时,原不等式即为 2 x 0
解集为：x x 0
解集为：x x 2
2 x 2 8x 8 0 ∴(b)当 k 8时,原不等式即为
k 2 8k 0 即 k 0 或 k 8 （３)当
时,
k k 2 8k k k 2 8k x x 4 4
例3： 解不等式
2
x ax 4 0
2
解：∵ a 16 ∴ 当a 4,4即 0时
一元二次不等式的解法(含参不等式 恒成立问题及根的分布)
②当a>2时，则△≤0，有2<a≤6；
③当a<2时，则a的值不存在；
综上，所求a的取值范围为{a|2≤a≤6}.
A
5
题型与解法
（二）不等式的恒成立
a x2b xc0 恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
ax2bxc0恒 成 立 ca0b0或a00
1.一元二次方程、一元二次不等式均可用二次 函数图象一统天下，但必须注意前后的等价； 2.一元二次方程根的分布问题； 3.有关一元二次不等式恒成立问题. 4.含参数的一元二次不等式的解法
x=-b/2a
x1
x2
A
25
课后作业
1.P87 习题3—2 B组第1题、第2题； 2.课时作业.
A
26
本节课到此结束，请同学们 课后再做好复习。谢谢！
(C) 4ax3a (D) 3ax4a
A
23
课堂练习
3.（1）不等式ax2+bx+2＞0的解集是
{x|-1/2＜x＜1/3}，则a+b= -14 (a=-12,b=. -2)
（2）关于x不等式ax2+bx+c＞0的解集是 {x|x＜-2或x＞1/2}，则关于x的不等式 ax2-bx+c＜0的解集为 {x|-1/2<x<2} .
A
11
题型与解法
（四）一元二次方程根的分布问题
例3 分别求使方程x2-mx-m+3=0的两根满足下列条 件的m值的集合： (3)两根都小于1;
解： (3) ∵两根都小于1,
0
m
2
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中的重要内容，也是一个比较难以掌握的部分。
而当一元二次不等式中含有参数时，更是让学生感到困惑和挑战。
在数学学习中，一元二次不等式的解法探究是非常重要的，下面我们就来探讨一下高中数学一元二次含参不等式的解法。
一、含参一元二次不等式的一般形式ax^2 + bx + c > 0 或者 ax^2 + bx + c < 0其中a、b、c是常数，x是未知数，不等式的解集也就是x的取值范围。
1. 代入法当一元二次不等式中含有参数时，一种比较简单的解法是采用代入法。
将参数用实数代入，然后对得到的一元二次不等式进行求解。
将得到的解与参数的取值范围相结合，得到最终的解集。
2. 讨论法3. 图像法一元二次函数的图像方法可以帮助我们更直观的理解含参不等式的解法。
我们可以根据一元二次函数的图像特征，结合参数的取值范围，来判断不等式的解集。
1. 例题一已知不等式(x-1)(3x-k) > 0，若k为正数，求x的取值范围。
解：我们根据不等式的性质得到x-1>0，3x-k>0或者x-1<0，3x-k<0。
然后我们可以推导出k>3x或者k<3x。
结合k为正数，可得k>0。
最终，x的取值范围为(1,k/3)。
通过以上应用实例，我们可以看到含参一元二次不等式的解法在实际应用中是非常有用的，能够帮助我们更好地理解和掌握不等式的解题方法。
四、总结含参一元二次不等式是高中数学中的一个重要内容，具有一定的难度。
解决含参一元二次不等式，我们可以采用代入法、讨论法和图像法等多种方法。
在应用实例中，我们可以根据不等式的性质和参数的取值范围来求解不等式，得到最终的解集。
通过不断练习和应用，我们可以更好地掌握含参一元二次不等式的解法，提高自己的数学解题能力。
在学习过程中，我们还需要多总结经验，勤加练习，多探索多思考，在老师的指导下加深对含参一元二次不等式的理解，从而更好地解决各种数学问题。
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中一个非常重要的知识点，而含参的一元二次不等式更是需要同学们格外注重。
因为含参的一元二次不等式在现实中有着广泛应用，例如通过解决含参的一元二次不等式，可以优化设计制造成本、确定工艺参数、调节运动规律等等问题。
所以，解决含参的一元二次不等式，对提高数学水平和现实生活都是非常有益的。
解决含参的一元二次不等式，可以从以下四个方面入手。
1. 方程法含参的一元二次不等式可以理解为是变量 $x$ 的一元二次函数，而求解含参一元二次不等式，就是为了知道这个函数图像 $y=ax^{2}+bx+c\left( a,b,c\in R \right)$ 在数轴上的位置关系，因此，使用方程法求解含参一元二次不等式是非常直接和简单的。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式的两边同时移项，将不等式转换为相等式，得到一个含参二次方程；2）解出方程，得到二次函数图像的根；3）分别把这些根代入原不等式中，求出参数的取值范围。
例如要求 $\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1+qx \right)<0$ (其中 $q>0$)，我们可以按以下步骤来解决：3）分别将这些解代回原不等式中，得出 $x>1/q^2$ 或 $x<0$。
因为 $q>0$，所以$x>1/q^2$，也就是说，当 $x\in \left( 0,\frac{1}{q^2}\right)$ 时，原不等式成立。
2. 图像法尽管用方程法可以得到含参一元二次不等式的解，但这种方法需要解出二次方程，不太方便。
另一种方法是通过函数图像，观察函数的零点和拐点，直接得出不等式的解。
这种方法叫做图像法。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式写成一元二次函数的形式，并确定函数的最高次幂系数 $a$，括号里的内容作为变量 $x$，同时限制 $x$ 的取值范围，画出函数的图像。
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2 a
1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
( 2)
(3)
例2、解关于 x的不等式： ax ( a 2) x 2 0
2
(a R)
综上所述，当a 0时, 解集为(,1]
2 当a 0时，解集为 ( ,1] [ , ) a 2 当a 2, 解集为[1, ] a 2 当 2 a 0, 解集为[ ,1] a
当a 1时, 有f ' ( x) 0, 所以f ( x)在(0,)上为减函数
当 1 a 0时，令 f ' ( x) 0, 得x 2 (a 1) 0 2a
(a 1) ) 2a
(a 1) 2a (a 1) 2a
所以，令f ' ( x) 0, 得x (0,
1 a
1 2
1 a
0
; 综上所述， 当a 0时，f ( x)在(0,)上为增函数
1 1 当a 0时， f ( x)在(0, )上为增函数 , 在( , )上为减函数 . a a
1 综上所述，当a 时, 解集为 ( , a) (1 a, ) 2 1 当a 时, 解集为 ( ,1 a) (a, ) 2 1 1 1 当a 时, 解集为 ( , ) ( , ) 2 2 2
例2、解关于 x的不等式： ax ( a 2) x 2 0
1
2 a
2 2 (1)当 1 时，即 a 2, 原不等式解集为 [1, ] a a
1 2
a
(1)
2 2 (2)当 1 时，即 2 a 0, 原不等式解集为 [ ,1] a a 2 (3)当 1 时，即 a 2, 原不等式解集为 x | x 1 a
x | x 1 当a 2, 解集为
解关于x的不等式： (1) 2 x ax 2 0
2
(a R)
(2) ax 2x a 0
2
(a R)
1、先看能否因式分解，能因式分解则讨论根的大小;
2、不能因式分解，则讨论△，分△＞0 ，△ =0， △ ＜ 0;
3、若二次项系数含参数a，则要先讨论a＞0，a=0,a＜0, 再讨论根或△。
(2011 *辽宁)已知f ( x) ln x ax2 (2 a) x, 讨论f ( x)单调性.
解：定义域为（ 0， ）
1 2ax2 (2 a) x 1 (ax 1)(2 x 1) f ( x) 2ax 2 a x x x
'
2
(a R)
解：当a 0时，原不等式可化为 2 x 2 0(a R), 解集为 ， 1 当a 0时，原不等式等价于 (ax 2)(x 1) 0
2 a 2 当a 0时，原不等式解集为 ( ,1] [ , ) a 当a 0时， 对应方程的根： x1 1, x2
对应方程的根： x1 a, x2 1 a
1 , 原不等式的解集为 ( , a) (1 a, ) 2 1 当a 1 a时，即 a , 原不等式的解集为 ( ,1 a) (a, ) 2 1 1 1 当a 1 a时，即 a , 原不等式的解集为 ( , ) ( , ) 2 2 2 当a 1 a时，即 a
令f ' ( x) 0, 得x (
(a 1) ,) 2a
0
综上所述， 当a 0时，f ( x)在(0,)上为增函数 ;
当a 1时, f ( x)在(0,)上为减函数 ;
当 1 a 0时, f ( x)在(0,
(a 1) (a 1) )上为增函数，在 ( ,)上为减函数 . 2a 2a
我演讲的题目是：“克服职业倦怠，点亮教学生涯”
克服职业倦怠，首先点亮第一盏明灯——学会享受 克服职业倦怠，让我们点亮第二盏明灯——学会抛弃 克服职业倦怠，让我们点亮第三盏明灯——学会当闲人
例1、解关于 x的不等式： x 2 x a ( a 1) 0 (a R)
解：原不等式等价于 ( x a)(x a 1) 0
当a 0时， f ' ( x)
2x 1 0，所以 f ( x)在(0, )上为增函数 . x
当a 0时，f ' ( x) 0，所以f ( x)在(0,)上为增函数 .
当a 0时， 令f ' ( x) 0，得 0 x
令f ' ( x) 0，得 x 1 a
(2010*辽宁)已知f ( x) (a 1) ln x ax2 1, 讨论f ( x)单调性.
解：定义域为（ 0， ）
a 1 2ax2 a 1 f ( x) 2ax x x
'
有f ' ( x) 0，所以f ( x)在(0,)上为增函数 . 当a 0时，
令f ' ( x) 0，得a 1 x 1
'
( x 1) 2 当a 1 1时，即a 2, 令f ( x) 0，且仅在x 1处为0, 所以f ( x)在(0， )上为增函数 . x
0
1
当a 2时, f ( x)在(0， 1)和(a 1 ， )为增函数，在 (1, a 1)上为减函数 ; 综上所述， 当 1 a 2时, f ( x)在(0，a 1)和(1 ， )为增函数，在 (a 1,1)上为减函数 ; 当a 2时, f ( x)在(0， )为增函数 .
a 1 0
解：定义域为（ 0， ）
'
1 2 (2009 * 辽宁)已知 f ( x) x ax (a 1) ln x(a 1), 讨论 f ( x)单调性 . 2
( x 1 a)( x 1) a 1 x 2 ax a 1 f ( x) x a x x x
当a 1 1时，即a 2, 令f ' ( x) 0，得0 x 1或x a 1
01 0
a 1
令f ' ( x) 0，得 1 x a 1
当a 1 1时，即 1 a 2,令f ' ( x) 0，得0 x a 1或x 1
a 1
1