高等数学第三章(中值定理与导数的应用)试题(A卷)
高数阶段练习第三章参考答案
第三章 微分中值定理及导数的应用一、选择题1. 若30sin(6)()lim 0x x xf x x →+= ，则206()lim x f x x→+为（ ） A. 0 B. 6 C. 36 D. ∞2. 设在][1,0上，0)(>''x f ，则下列不等式成立的是（ ）A . )0()0()1()1(f f f f '>->' B. )0()1()0()1(f f f f ->'>'C . )0()1()0()1(f f f f '>'>- D. )0()1()0()1(f f f f '>->'3. 设2()()lim 1()x a f x f a x a →-=--，则在x a =处（ ） A. ()f x 的导数存在 B. ()f x 取得极大值C . ()f x 取得极小值 D. ()f x 的导数不存在4． 设k 为任意实数，则方程33x x k -+在[1,1]-上( )A. 一定没有实根B. 最多只有一个实根C. 最多有两个互异实根D. 最多有三个互异实根5. 设(),()f x g x 在0x 的某个去心邻域内可导，()0g x '≠，且适合0lim ()0x x f x →=，0lim ()0x x g x →=,则0()lim ()x x f x g x λ→=是0'()lim '()x x f x g x λ→=的： A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件C. 充分必要条件D. 既非充分又非必要条件。
6. 设()f x 在区间(a,b)内二阶可导，0(,)x a b ∈，且00()0,()=0f x f x '''≠，则()f x （ ）A. 在0x x =处不取极值， 但00(,())x f x 是其图形的拐点B. 在0x x =处不取极值，但00(,())x f x 可能是其图形的拐点C. 在0x x =处可能取极值， 00(,())x f x 也可能是其图形的拐点D. 在0x x =处不取极值00(,())x f x 也不是其图形的拐点。
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第三章 中值定理与导数的应用(A)1．在下列四个函数中 ,在 1,1 上满足罗尔定理条件的函数是 ()A ． y8 x 1 B ． y 4x 2 1 C ． y1D ． y sin x1 x 22．函数 f x满足拉格朗日中值定理条件的区间是 ( )x A ． 2,2B ．2,0C ． 1,2D ． 0,13．方程 x 5 5x 1 0 在1,1 内根的个数是 ()A ．没有实根B ．有且仅有一个实根C ．有两个相异的实根D ．有五个实根4．若对任意 x a, b ，有 f x g x ，则 ( )A ．对任意 x a,b ，有 f x g xB ．存在 x 0 a,b ，使 f x 0 g x 0C ．对任意 x a,b ，有 f x g x C 0 ( C 0 是某个常数 )D ．对任意 x a,b ，有 f xg xC (C 是任意常数 )5．函数 f x3x 5 5x 3 在 R 上有 ()A ．四个极值点；B ．三个极值点C ．二个极值点D ． 一个极值点6．函数 f x 2x 3 6x 2 18x 7 的极大值是 ()A ．17B ．11C ．10D ． 97．设 f x 在闭区间1,1 上连续，在开区间1,1 上可导，且 f xM ，f 0 0 ，则必有 ()A ． f xM． f xMC ． f x MD ． f x MB8．若函数 f x 在 a, b 上连续，在 a,b 可导，则 ()A ．存在 0,1 ，有 f b f a f b a b aB ．存在0,1 ，有 f af bf ab a b aC ．存在 a, b ，有 f a f b f a bD ．存在a, b ，有 fbf afa b9．若 a 2 3b 0 ，则方程 f x x 3 ax 2 bx c0 ( )A ．无实根B ．有唯一的实根C ．有三个实根D ．有重实根 ．求极限 x 2 sin 1()limx时，下列各种解法正确的是10 sin xx 0A ．用洛必塔法则后，求得极限为 0B ．因为 lim 1不存在，所以上述极限不存在x 0 xx xsin 1C ．原式 lim 0x 0sin x xD ．因为不能用洛必塔法则，故极限不存在11．设函数 y1 2x2 ，在 ()xA ． ,单调增加B ．,单调减少C ． 1,1 单调增加，其余区间单调减少D ．1,1 单调减少，其余区间单调增加e x ()12．曲线 y1 xA ．有一个拐点B ．有二个拐点C ．有三个拐点D ． 无拐点 13．指出曲线 yx的渐近线 ()3 x 2 A ．没有水平渐近线，也没有斜渐近线B ． x3 为其垂直渐近线，但无水平渐近线C ．即有垂直渐近线，又有水平渐近线D ． 只有水平渐近线2x 2 114．函数 f xx 3 1 3 在区间 0,2 上最小值为 ()A ． 729B ． 0C ．1D ．无最小值4x ln 1 x 15．求 limx 2x 01 116．求 limxx 0ln 1 x17．求 lim1 2 sin xxcos3x6118．求 lim 1 x 2 xx 01ln x19．求 limarctgxx220．求函数 y x 3 3x 29x 14 的单调区间。
高数第三章自测题A答案
B： lim ln(x +1)
x→0
x
D： lim 1 2 x→+∞ x
3.下列结论不正确的是（A ）
4.至少存在一个ξ ∈(a,b) 使得 sin b − sin a = (b − a) cosξ 成立.
（ √）
A：函数的最大值一定大于最小值
( ) ( ) 5.至少存在一个ξ ∈(a,b) 使得 b3 − a3 eξ = 3 eb − ea ξ 2 成立.
2.
函数
f
(
x)
=
⎧⎪ ⎨
x2
sin
1 x
,
x
≠
0
在区间
[−1,1]
上满足拉格朗日中值定理的所有条
⎪⎩0,
x=0
件.
（ √）
3.若 lim f ′(x) 不存在，则 lim f (x) 也不存在.
x→∞ g′(x)
x→∞ g(x)
（ ×）
2. 能直接使用洛必达法则求极限的是（ B）
A： lim tan n . n n→+∞
= lim (1− cos x)′ = lim
sin x
= 0 = 0 ....2 分
x→0 (sin x + x cos x)′ x→0 cos x + cos x − x sin x 1+1− 0
解法二： lim( 1 − 1 ) = lim x − sin x ， x→0 sin x x x→0 x sin x
x→0 sin x x x→0 x sin x x→0 (x sin x)′ x→0 sin x + x cos x
lim
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000二、填空题 1、__________________ey 82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ．4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ．5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ．6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ．7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． 8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
高数A第三章 测验题
第三章 中值定理与导数应用 测验题试卷名称： 高等数学第三章（理工类) 课程所在院系： 理学院考试班级 学号 姓名 成绩一、（每题5分，共25分）计算下列各题：1． 求0x →.2． 设()f x 在0x =的某邻域内具有连续的导数，且(0)1f =，(0)2f '=，求极限1(1())01lim(sin )x f x x x x -→.3． 确定,a b 的值，使220(1)lim 0x x e ax bx x →-++=.4． 确定,a b 的值，使点(1,3)为曲线32y ax bx =+的拐点.5． 求数列32(1)(1)n n ⎧⎫+⎨⎬-⎩⎭的最小项的项数及该项的数值.二、（每题6分，共36分）证明下列各题：1． 证明：当1x <时，有11x e x≤-.2． 证明：当0x >时，有1arctan 2x x π+>.3． 若函数()f x 有三阶连续导数，(0)(0)0,f f '''==且满足0()lim 2,||x f x x →'''= 试证明： (0,(0))f 为()f x 的拐点，且0x =不是极值点.4． 若函数()f x 在(,)-∞+∞内具有连续二阶导数，且(0)0,()0f f x ''=≠. 试证明：对(,),x ∀∈-∞+∞且0x ≠，使()f x 满足：()()f x f x ξ'=⋅（ξ介于0与x 之间）的ξ是唯一的.5． 证明函数2()(1)x f x e ax bx =-++至多只有三个零点.6． 若函数()f x 在[0,1]内连续，在(0,1)可导，且1(0)(1)0,()1,2f f f === 证明：(0,1),ξ∃∈使()1f ξ'=.三、（9分）设20()lim 2,x f x x →=- (0)0,f =问()f x 在0x =处是否可导？是否取得极值？四、（10分）过正弦曲线sin y x =上点(,1)2M π处，作一抛物线2y ax bx c =++，使抛物线与正弦曲线在点M 处有相同的曲率和凹向，并写出点M 两曲线的公共曲率圆方程.五、（10分）给定曲线21y x =，求曲线的切线被两坐标轴所截线段的最短长度.六、（10分）求函数22arcsin1x y x =+的单调区间，极值，凹凸区间，拐点，渐近线，并作函数的图形.。
高等数学第三章微分中值定理与导数的应用试题库(附带答案)
>第三章 微分中值定理与导数的应用一、选择题1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ）是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A (2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ）0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''=3、的凸区间是 x e y x -=（ ）) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞，4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ）(A)xx sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2x )x (f = (D)1x )x (f 2+=5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ）(A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ]5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ）(A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-，&8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ．(A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3x 3sin3x asinx f(x)π=+=（ ） (A) 1 (B) 2 (C)3 π(D) 010、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ）]5 4, 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (--- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ）的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000、二、填空题 1、__________________e y82x的凸区间是曲线-=．2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=．3、的凸区间为曲线x 3 e y x+=_____________________ ． 4、函数f （x ）＝x x 3-在[0,3]上满足罗尔定理的条件，由罗尔定理确定的罗尔中值点ξ＝ ． 5、设曲线y ＝a 23bx x +以点（1，3）为拐点，则数组（a ，b ）＝ ． 6、函数1x 3x y 3+-=在区间 [-2,0] 上的最大值为 ，最小值为 ． 7、函数 x sin ln y =在 [65, 6 ππ] 上的罗尔中值点ξ= ． …8、1 x y +=在区间 [ 1，3 ] 的拉格朗日中值点ξ = _______________． 9、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 10、______________ 2x y x 的极小值点是函数⋅=。
第3章习题及答案
第三章 中值定理与导数应用§1 中值定理一、是非判定题一、假设0)('),,(,),(,],[)(=∈ξξf b a b a b a x f 使且必存在可导在有定义在 （×）二、假设0)('),,(),()(,],[)(=∈=ξξf b a b f a f b a x f 使则必存在在连续在 （×）3、假设0)('),,(),(lim )(lim ,],[)(00=∈=-→+→ξξf b a x f x f b a x f b x a x 使则存在且内可导在 （√）4、假设))((')()(),,(,],[)(a b f a f b f b a b a x f -=-∈ξξ使则必存在内可导在 （√）五、假设使内至少存在一点则在可导在上连续在与,),(,),(,],[)()(ξb a b a b a x g x f )(')(')()()()(ξξg f a g b g a f b f =-- （×）（提示：柯西中值定理，少条件0)('≠ξg ）六、假设对任意,0)('),,(=∈x f b a x 都有那么在(a,b)内f(x)恒为常数 （√）二．单项选择题 一、设1.0,(),()()'()()ab f x a x b f b f a f b a xξξ<=<<-=-则在内,使成立的有 C 。
（A ）只有一点（B ）有两个点（C ）不存在（D ）是不是存在与a,b 取值有关二、设],[)(b a x f 在上持续，(,),()(()()a b I f a f b =内可导则与 Ⅱ)0)(',),((≡x f b a 内在之间关系是 B 。
(A) (I)是（Ⅱ）的充分但非必要条件； （B ）（I ）是（Ⅱ）的必要但非充分条件；（C ）（I ）是（Ⅱ）的充分必要条件； （D ）（I ）不是（Ⅱ）的充分条件，也不是必要条件。
《高等数学》第三章微分中值定理与导数的应用的习题库（201511）
《⾼等数学》第三章微分中值定理与导数的应⽤的习题库（201511）第三章微分中值定理与导数的应⽤⼀、判断题1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（）2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（）3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→-=，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。
（） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。
（） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以⾄少存在⼀点()1,1ξ∈-使'()0f ξ=。
（） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。
（） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。
（） 8. arcsin arccos ,[1,1]2x x x π+=∈-。
（） 9. arctan arctan ,(,)2x x x π+=∈-∞+∞。
（） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。
（） 12. ''222(2)lim lim21(21)x x x x x x →→=--（）13. 22'0011limlim()sin sin x x x x e e x x→→--= （） 14. 若'()0f x >则()0f x >。
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高等数学第三章（中值定理与导数的应用）试题（A 卷）
班级： 姓名： 学号： 评分：
一．填空题（每空3分，共30分）
1. 微分中值定理有三个。
罗尔定理的条件是：函数f(x)在〔a,b 〕上连续，在（a,b ）内可导，且f(a)=f(b)，结论是：在(a,b)内至少存在一点ξ，使得 。
另外两个中值定理的名称是 。
2. 函数f(x)在x 。
的某个邻域内可导，x 。
是f(x)的驻点这一条件是x 。
成为极值点的 条件。
（选填：充分，必要，充分且必要）
3. 函数f(x)在点x 。
处具有二阶导数，且f ＇(x 。
)=0, f ＂（x 。
）≠0,那么，当f ＂（x 。
）>0时，函数f(x)在点x 。
处取得极 值。
4. 如果曲线弧位于其上每一点处切线的下方，则曲线的凹凸性应该是 。
5. 直线上任意点处的曲率等于 。
6. 利用导数描绘函数图形时，在某个区间上，一阶导的符号可以确定函数的 ，二阶导的符号可以确定曲线的 。
7. 曲线2)
1(12−−=
x x y 的铅直渐近线方程为 ；水平渐近线方程为 。
二．计算题（每小题7分，共49分）
1. 求极限 （1）. x x x x x x sin cos lim 0−−→ （2） ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−−→x x x x ln 11lim 1
2. 求函数 的n 阶麦克劳林公式。
x xe
x f −=)(
3. 求椭圆 在点（0,2）处的曲率。
4422=+y x
4. 求函数x
x y ⎟⎠
⎞⎜⎝⎛=1的极值。
5. 求曲线 的拐点及凹、凸的区间。
14334+−=x x y
6. 求函数在给定区间上的最大值与最小值 322)1()2(+−=x x y ，〔—2, 2〕。
三．证明题 （7分）
证明 当x x x
x x <+<+>)1ln(10时，。
四．应用题 （每题7分，共14分）
1. 圆柱体内接于半径为R 的球，试求体积为最大的圆柱体的高。
2. 曲线上曲率最大的点称为此曲线的顶点，试求指数曲线 的顶点，并求在该点处的曲率半径。
x e y =。