高考综合复习课件：函数与方程
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2025年高考数学总复习课件16第二章第八节函数与方程
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
函数零点个数的判断方法 (1)直接求零点：令f (x)＝0，有几个解就有几个零点． (2)函数零点存在定理：要求函数f (x)在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f (a)·f (b)<0，再结合函数的图象与性质确定函数的零点个数． (3)利用函数图象：作出两函数的图象，观察其交点个数即得零点个数．
A．(0，1)
B．(1，2)
√C．(2，3)
D．(3，4)
C 解析：(方法一)因为函数f (x)是增函数，且f (2)＝ln 2－1<0，f (3)＝ln 3>0， 所以由函数零点存在定理，得函数f (x)的零点位于区间(2，3)上．故选C． (方法二)函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在区间转化为g(x)＝ln x，h(x)＝－x＋3的 图象的交点横坐标所在的范围．如图所示，可知函数f (x)的零点在(2，3)内．
b]上一定有实根
D．“二分法”对连续不断的函数的所有零点都有效
BC 解析：由结论知A错误，B正确，由函数零点存在定理可得C正确．由于
“二分法”是针对连续不断的函数的变号零点而言的，所以D错误．故选BC．
第八节 函数与方程
核心考点
提升“四能”
判断函数零点所在的区间
1．函数f (x)＝x＋ln x－3的零点所在的区间为( )
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
自查自测 知识点二 函数零点存在定理 1．(教材改编题)下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中的函数 零点的是( C )
第八节 函数与方程
必备知识 落实“四基”
核心考点 提升“四能”
课时质量评价
人教版高考总复习一轮数学精品课件 主题二 函数 第三章 函数与基本初等函数-第八节 函数与方程
2.用二分法求方程 + lg − 3 = 0的近似解，以下区间可以作为初始区间的是() B
A.[1,2]B.[2,3]C.[3,4]D.[4,5]
[解析]设 = + − ，显然函数图象是连续的，且 = − < ，
= − < ， = > ， = + > ， = + > ，
[解析]因为函数 =
−
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
− 在区间 , 上单调递增，又函数
= − − 的一个零点在区间 , 内，则有 ⋅ < ，所以
− − − < ，即 − < ，所以 < < .故选C.
4.已知函数 = e − e− + 4，若方程 = + 4 > 0 有三个不同的实根1 ，
= 或 = ，作出 的图象，如图所示：
观察图象可知, = − 无解, = 有3个解, = 有1个解.综上所述,函数
的零点个数为4.故答案为4.
［对点训练3］（1）已知函数 =
实根个数为() A
A.3
2 +1
൞ 2
−1
B.4
定理得函数 的零点位于区间 , 内.故选C.
法二（数形结合）：
函数 = + − 的零点所在区间转化为 = ，
= − + 的图象的交点横坐标所在范围.如图所示，可知
的零点在 , 内.故选C.
［对点训练1］ （多选题）下列函数中，在区间[−1,3]上存在唯一零点的有() BCD
人教B版高考总复习一轮数学精品课件 第2章一元二次函数、方程和不等式 第2节均值不等式
和最小).
s2
(2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 4 (简记:和定积
最大).
微点拨应用均值不等式求最值时,要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条
件,就有可能导致错误.
常用结论
1.当
1
x>0 时,x+ ≥2(当且仅当
x=1 时,等号成立);当
1
x<0 时,x+ ≤-2(当且仅当-
x=1,即 x=-1 时,等号成立).
2.若
2
a,b>0,则+
≤ ≤
+
2
3.三个正数的均值不等式:若
号成立.
≤
2 + 2
,当且仅当
2
++c
a,b,c>0,则 3
≥
3
a=b 时,等号成立.
c,当且仅当 a=b=c 时,等
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
为 1.
≥
1
可得=2-y,则
1
+2-
)
2
(
2
2
1.
1
x= (y≠2),由
2-
> 0,
=
=1,当且仅当 y=2-y,即当 y=1
1
2-
可得 0<y<2,所以
>0
时,等号成立,故的最小值
(3)(2024·河南洛阳模拟)已知x>0,y>0,且 +2 =4,则xy的最大值
是
解析
4
s2
(2)如果和 x+y 是定值 s,那么当且仅当 x=y 时,xy 有最大值是 4 (简记:和定积
最大).
微点拨应用均值不等式求最值时,要注意:“一正,二定,三相等”,忽略某个条
件,就有可能导致错误.
常用结论
1.当
1
x>0 时,x+ ≥2(当且仅当
x=1 时,等号成立);当
1
x<0 时,x+ ≤-2(当且仅当-
x=1,即 x=-1 时,等号成立).
2.若
2
a,b>0,则+
≤ ≤
+
2
3.三个正数的均值不等式:若
号成立.
≤
2 + 2
,当且仅当
2
++c
a,b,c>0,则 3
≥
3
a=b 时,等号成立.
c,当且仅当 a=b=c 时,等
自主诊断
题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“ ”,错误的画“×”)
为 1.
≥
1
可得=2-y,则
1
+2-
)
2
(
2
2
1.
1
x= (y≠2),由
2-
> 0,
=
=1,当且仅当 y=2-y,即当 y=1
1
2-
可得 0<y<2,所以
>0
时,等号成立,故的最小值
(3)(2024·河南洛阳模拟)已知x>0,y>0,且 +2 =4,则xy的最大值
是
解析
4
2025版高考数学一轮总复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第8讲函数与方程课件
解法二：(图象法)函数 f(x)的图象如图所示，
由图象知函数 f(x)共有 2 个零点．
2．已知函数y＝f(x)是周期为2的周期函数，且当x∈[－1,1]时，f(x)
＝2|x|－1，则函数g(x)＝f(x)－|lg x|的零点个数是( B )
A．9
B．10
C．11
D．18
[解析] 由函数y＝f(x)的性质，画出函数y＝f(x)的图象，如图，再
考向 2 函数零点个数的确定——师生共研
x2＋x－2，x≤0， 1.函数 f(x)＝－1＋ln x，x>0 的零点个数为( B )
A．3
B．2
C．7
D．0
[解析] 解法一：(直接法)由 f(x)＝0 得
x≤0，
x>0，
x2＋x－2＝0 或－1＋ln x＝0，
解得 x＝－2 或 x＝e.
因此函数 f(x)共有 2 个零点．
2．几个等价关系 方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与__x_轴__有交点⇔函数y＝ f(x)有__零__点____.
3．函数零点的判定(零点存在性定理)
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并 且有___f_(_a_)f_(_b_)＜__0_____，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存 在c∈(a，b)，使得___f_(c_)_＝__0__，这个c也就是方程f(x)＝0的根．
点所在的大致区间是( C )
1
A．e，1
C．(2，e)
B．(1,2) D．(e，＋∞)
2 [解析] y＝f(x)＝ln x－x的定义域为(0，＋∞)，因为 y＝ln x 与 y＝
2
2
－x在(0，＋∞)上单调递增，所以 f(x)＝ln x－x在(0，＋∞)上单调递增，
函数与方程-高考数学复习课件
内无零点，在(1，e)内有零点.
2. (2024·山东滨州模拟)[ x ]表示不超过 x 的最大整数，例如[3.5]＝3，[－
0.5]＝－1.已知 x 0是方程ln x ＋3 x －15＝0的根，则[ x 0]＝(
A. 2
B. 3
C. 4
D. 5
C )
设 f ( x )＝ln x ＋3 x －15，显然 f ( x )在定义域(0，＋∞)上单调递增，
上存在零点，则实数 a 的取值范围是(
B. (－e，＋∞)
D. (－∞，e)
D
)
由题意知，函数 y ＝e－ x 与 g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象在(0，＋∞)上有交点.
当 a ＞0时， g ( x )＝ln( x ＋ a )的图象是由函数 y ＝ln x 的图象向左平移 a
个单位长度得到的，
解得 x ＝0或 x ＝1或 x ＝2，
所以函数 f ( x )＝( x 2－ x )ln｜2 x －3｜在区间[－2，2]上的零点个数为3.
(2)设函数 f ( x )是定义在R上的奇函数，当 x ＞0时， f ( x )＝e x ＋ x －3，
则 f ( x )的零点个数为( C )
A. 1
B. 2
－ x ＋1的零点所在的区间是(－2，－1).
4. 函数 f ( x )＝e x ＋3 x 零点的个数为(
A. 0
B. 1
C. 2
D. 4
B )
关键能力的区间
(1)(2024·陕西咸阳模拟)函数 f ＝log4 x －
C )
−
1
2
的零点所在的区间
过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼
高考数学文(二轮复习)课件 函数与方程思想
(2)方程的思想，就是分析数学问题中变量间的等量关系， 建立方程或方程组，或者构造方程，通过解方程或方程组，或 者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决．方程 的教学是对方程概念的本质认识，用于指导解题就是善于利用 方程或方程组的观点观察处理问题．方程思想是动中求静，研 究运动中的等量关系．
函数的主干知识、 函数的综合应用以及函数与方程思想的考 查一直是高考的重点内容之一．高考试题中，既有灵活多变的客 观性小题，又有一定能力要求的主观性大题，难度有易有难，可 以说是贯穿了数学高考整份试卷，高考中所占比重比较大．
(1)对于函数与方程思想， 在解题中要善于挖掘题目中的隐含 条件， 构造出函数解析式和妙用函数与方程的相互转化的关系是 应用函数与方程思想解题的关键． (2)当问题中出现多个变量时， 往往要利用等量关系减少变量 的个数， 如果最后能把其中一个变量表示成关于另一个变量的表 达式，那么就可有研究函数的方法将问题解决．
[回访名题] x2 若点O和点F(－2,0)分别是双曲线 a2 －y2＝1(a>0)的中心和左 →· → 的取值范围为 焦点，点P为双曲线右支上的任意一点，则 OP FP ( ) A．[3－2 3，＋∞)
7 C.－4，＋∞ NhomakorabeaB．[3＋2 3，＋∞)
7 D.4，＋∞
答案：B
解析：因为F(－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以a2＋1＝
2 x 4，即a2＝3，所以双曲线方程为 3 －y2＝1.设点P(x0，y0)，则有 2 x20 x → 0 2 3 －y0 ＝1(x0≥ 3)，解得y20＝ 3 －1(x0≥ 3)，因为 FP ＝(x0＋
(4)解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关 系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程 与二次函数的有关理论． (5)立体几何中有关线段的长、面积、体积的计算，经常需 要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决.
第07讲函数与方程(课件)-2024年高考数学一轮复习(新教材新高考)
范围是________．
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
【答案】 −∞, −1
2
当 < 0时，令′ = 0，解得 = 0或 = − ，
【解析】因为 = 3 + 3 2 − 4，所以′ = 3 2 + 6 = 3 + 2
当 = 0时，有 = 3 2 − 4 = 0，解得 = ± 2 3，
公共点.
N
Q
Z
R
N
(3)函数零点存在定理
如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有
f(a)f(b)<0
(a，b) 内至少有一个零点，即存
__________，那么，函数y＝f(x)在区间
在c∈(a，b)，使得 f(c)＝0 ，这个c也就是方程f(x)＝0的解.
2.二分法
2
−∞, −
=
2
2
2
−∞, −
2
当 ∈ 0, − ，′ > 0， 在区间 0, − 上单调递增；
当 > 0时，由′ = 0，解得 = 0或 = − ，
2
且有 0 = −4， −
> 0，
， 存在一个正数零点，所以不符合题意；
2 3
,0
3
2
2 3
3
2024
高考一轮复习
第07讲 函数与方程
导师：稻壳儿
目录
C
O
N
T
E
01
考情分析
N
T
S
02
03
04
网络构建
知识梳理
题型归纳
真题感悟
01
考情分析
考点要求
考题统计
考情分析
《课堂新坐标》高考数学一轮总复习课件：第二章 第八节 函数与方程(共33张PPT)
2＋4 确度 ε＝0.01，取区间(2，4)的中点 x1＝ 2 ＝3，计算
得 f(2)·f(x1)＜0，则此时零点 x0 所在的区间为( )
A．(2，4)
B．(3，4)
探究·提知能
C．(2，3)
D．(2.5，3)
课后作
【解析】 由零点存在性定理知x0∈(2，3)，故选C.
【答案】 C
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
Δ＝b2－4ac
落实·固基础
Δ>0
二次函数 y＝ax2＋bx＋c
(a>0)的图象
Δ＝0
Δ<0
高考体验·明
探究·提知能与x轴的交点 零点个数
_(_x_1，___0_)，___(x_2_，__0__) __(_x_1，___0_)_
2
1
无交点 课后作 0
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
菜单
新课标 ·文科数学（广东专用）
落实·固基础
1．解答本题一要从图表中寻找数量信息，二要注 高考体验·明 意“精确度”的含义，切不可与“精确到”混淆．
2．(1)用二分法求函数零点的近似解必须满足①y
＝f(x)的图象在[a，b]内连续不间断，②f(a)·f(b)＜0.(2)
在第一步中，尽量使区间长度缩短，以减少计算量及计
落实·固基础
新课标 ·文科数学（广东专用）
第八节 函数与方程
高考体验·明
探究·提知能 菜单
课后作
新课标 ·文科数学（广东专用）
落实·固基础 1．函数零点
高考体验·明
(1)定义：对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使____f_(x_)_＝_0___成
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高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数 2．函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点 横坐标的是( )
[答案] B
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数 3．(2010·广东六校联考)方程x2＋2x－a＝0在[－1,1]上有解， 则a的取值范围是________．
[解析] 令 f(x)＝x2＋2x－a，由题意知 f(x)在[－1,1]上有
已知函数f(x)＝3x－x2.问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有 没有实数解？为什么？ [分析] 要判断f(x)在某个区间上是否有解，可先确定f(x)在
这个区间上是否有零点．
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
[解] 2 因为 f(－1)＝3 －(－1) ＝－ <0， 3
－1
2
f(0)＝30－(0)2＝1>0， 函数 f(x)＝3x－x2 的图象是连续曲线， 所以 f(x)在区间[－ 1,0]内有零点， 即 f(x)＝0 在区间[－1,0]内有实数解．
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数 二、用二分法求方程的近似解 对于在区间[a，b]上连续，且满足 f(a)·f(b)<0 区间的两个端点 逐步逼近零点 法叫做 给定 如下： 二分法 精度ξ ． ，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 的函数y
＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使 ，进而得到零点近似值的方
解得 2<a<3
(2)方程一根大于 1， 另一根小于 1， 即要求 f(x)＝x2－2ax ＋2＋a 两零点在 x＝1 两旁， ∴只需 f(1)<0 ∴a>3.
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
[点评与警示] 二次方程根的分布问题，常借助二次函数 的图示进行等价转化，先作出二次函数的大致图象，然后列出 相应满足条件的不等式组，使问题得到解决．
零点．由于 f(x)的对称轴为 x＝－1，∴f(x)在[－1,1]上单调递
f(－1)≤0， 增，且由零点定理知 f(1)≥0， a≥－1， 则 a≤3，
即 a∈[－1,3]．
[答案] [－1,3]
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
设x0是方程lnx＋x＝4的解，则属于区间( A．(0,1) C．(2,3) B．(1,2) D．(3,4)
)
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数 [解析] 转化为函数的零点去考虑，令f(x)＝lnx＋x－4，在
A中，当x→0时，f(x)＝lnx＋x－4<0，f(1)＝ln1＋1－4＝－3<0， 故不能确定是否有根；在B中，f(1)＝ln1＋1－4＝－3<0，f(2)＝ ln2＋2－4＝－2＋ln2<0，故不能确定是否有根；在C中，f(2)＝ ln2＋2－4＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3＋3－4＝－1＋ln3>0，f(x)＝ 0有根，故x0 属于区间(2,3)；在D中，f(3)＝ln3＋3－4＝－1＋ ln3>0，f(4)＝ln4＋4－4＝ln4>0，故不能确定是否有根．故选C. [答案] C
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
高考总复习 数学
高考总复习 数学
，则得到零章 函数与基本初等函数
1．(2010·天津，4)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区 间是( ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)
[解析] f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0， f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0， ∵y＝ex是单调增函数，y＝x－2是增函数， ∴f(x)＝ex＋x－2在R上是增函数， ∴在(0,1)区间上f(x)存在一个零点．故选C. [答案] C
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
已知一元二次方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有且仅有一实根在 (0,1)内，求m的范围． [解] 设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m 由f(0)·f(1)<0⇒m<0. ⇒
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
(北师大版高中数学必修1改编) 求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点，(精确到 0.01)． [解] ∵f(1)<0 f(1.5)>0 ∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点 用二分法逐次计算列表如下：
区间 [2,3] [2,2.5] [2,2.25] [2.125,2.25] [2.187 5,2.25] 中点 2.5 2.25 2.125 2.187 5 中点函数值 0.416 4 0.060 9 －0.121 2 －0.029 7
由于区间[2.187 5,2.25]的长度2.25－2.187 5＝0.062 5＜0.1， 所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根．
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数 ∵|1.3203125－1.328125|＝0.005<0.01 至此可以看出，函数的零点落在区间长度小于0.01的区间 [1.3203125,1.328125]内，因为该区间的所有值精确到此为0.01 都是1.32，因此1.32是函数f(x)＝x3－x－1精确到0.01的一个近似 零点． [点评与警示] 用二分法求函数零点近似值的步骤，借助
高考总复习 数学
x1<x2<k
k<x1<x2
第二章 函数与基本初等函数
根的分布 图象 充要条件
x1<k<x2
f(k)<0
x1，x2∈ (k1，k2)
∆≥0 f(k1)>0 f(k2)>0 k1<－ b <k2 2a
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
根的分布 图象 充要条件 f(k1)f(k2)<0 或 ∆＝0 且 b － ∈(k1，k2)或 2a x1，2 有且仅 x 有一个在 (k1，k2)内 f(k1)＝0 b k1＋k2 k1<－2a< 2 f(k2)＝0， 或k1＋k2 b 2 <－2a<k2
于计算器一步步求解即可，我们可以借助于表格和数轴，清楚 地描写逐步缩小零点所在区间的过程，而运算终止的时候就在 区间长度小于精确度ε的时候．
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数 求方程lnx＋x－3＝0在(2,3)的近似解(结果精确到0.1) [解] 令f(x)＝lnx＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点， 用二分法逐步计算，列表如下：
高考总复习 数学
第二章 函数与基本初等函数
3．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根， 也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 4．二分法求方程近似解的过程中，蕴涵了算法思想，体 现了程序化这一现代数学方法，是信息技术与数学内容有机的 整合，注意掌握用程序框图来描述二分法的求解过程以及二分 法的思想内涵．
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第二章 函数与基本初等函数 1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ξ. 2．求区间(a，b)的 中点x1. 3．计算f(x1)： (1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点． (2)若 f(a)·f(x)<0 ，则令 b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1)． (3)若 f(x1)·f(b)<0，则令 a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b)． 4．判断是否达到精度ξ 即若 |a－b|<ξ 重复步骤2～4.
若关于x的方程x2 －2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根， 分别满足下列条件，求a的取值范围． (1)方程的两根都大于1； (2)方程一根大于1，另一根小于1.
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第二章 函数与基本初等函数
[解] 设 f(x)＝x2－2ax＋2＋a
(1)两根大于 1，即 f(x)在(1，＋∞)上有两个不相同的零 点， ∆＝4a2－4(2＋a)>0 －2a ∴－ ＝a>1 2 f(1)＝3－a>0
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第二章 函数与基本初等函数 3．求函数y＝f(x)的零点 (1)(代数法)求方程f(x)＝0的 实数根 ． (2)(几何法)结合函数y＝f(x)的图象，并利用函数的性质找 出 零点 ． 4．零点存在性定理 函数在区间[a，b]上的图象是 连续 的，且f(a)f(b)<0， 那 么函数f(x)在区间[a，b]上至少 有一个零点 ．
[点评与警示] 函数零点的存在性常用方法，一是用零点 定理，二是解方程，三是用图象；而求函数零点就是求相应方 程的实数根；确定零点个数时，要注意重根时的表述．
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第二章 函数与基本初等函数
x2＋2x－3， f(x)＝ －2＋ln x，
(2010·福建，7)函数 点个数为( A．3 C．1 )
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第二章 函数与基本初等函数
设函数f(x)＝x＋ln x－3的零点为m，则m所在的区间为 ( A．(1,2) C．(3,4) B．(2,3) D．(4,5) )
[解析] 由f(3)＞0，f(2)＜0.故选B. [答案] B
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数 1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是y＝ f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以：f(x)＝0有实根⇔y＝f(x) 与x轴有交点⇔y＝f(x)有零点． 2．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布、存在问题， 既可以用判别式、求根公式、韦达定理等代数方法，也可以借 助方程对应的二次函数的图象特征列出等价条件组，解题时应 选择计算量小的方法．
第二章 函数与基本初等函数 2．函数图象与x轴均有公共点，但不能用二分法求公共点 横坐标的是( )
[答案] B
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第二章 函数与基本初等函数 3．(2010·广东六校联考)方程x2＋2x－a＝0在[－1,1]上有解， 则a的取值范围是________．
[解析] 令 f(x)＝x2＋2x－a，由题意知 f(x)在[－1,1]上有
已知函数f(x)＝3x－x2.问：方程f(x)＝0在区间[－1,0]内有 没有实数解？为什么？ [分析] 要判断f(x)在某个区间上是否有解，可先确定f(x)在
这个区间上是否有零点．
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第二章 函数与基本初等函数
[解] 2 因为 f(－1)＝3 －(－1) ＝－ <0， 3
－1
2
f(0)＝30－(0)2＝1>0， 函数 f(x)＝3x－x2 的图象是连续曲线， 所以 f(x)在区间[－ 1,0]内有零点， 即 f(x)＝0 在区间[－1,0]内有实数解．
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第二章 函数与基本初等函数 二、用二分法求方程的近似解 对于在区间[a，b]上连续，且满足 f(a)·f(b)<0 区间的两个端点 逐步逼近零点 法叫做 给定 如下： 二分法 精度ξ ． ，用二分法求函数f(x)的零点近似值的步骤 的函数y
＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间 一分为二 ，使 ，进而得到零点近似值的方
解得 2<a<3
(2)方程一根大于 1， 另一根小于 1， 即要求 f(x)＝x2－2ax ＋2＋a 两零点在 x＝1 两旁， ∴只需 f(1)<0 ∴a>3.
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第二章 函数与基本初等函数
[点评与警示] 二次方程根的分布问题，常借助二次函数 的图示进行等价转化，先作出二次函数的大致图象，然后列出 相应满足条件的不等式组，使问题得到解决．
零点．由于 f(x)的对称轴为 x＝－1，∴f(x)在[－1,1]上单调递
f(－1)≤0， 增，且由零点定理知 f(1)≥0， a≥－1， 则 a≤3，
即 a∈[－1,3]．
[答案] [－1,3]
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
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第二章 函数与基本初等函数
设x0是方程lnx＋x＝4的解，则属于区间( A．(0,1) C．(2,3) B．(1,2) D．(3,4)
)
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第二章 函数与基本初等函数 [解析] 转化为函数的零点去考虑，令f(x)＝lnx＋x－4，在
A中，当x→0时，f(x)＝lnx＋x－4<0，f(1)＝ln1＋1－4＝－3<0， 故不能确定是否有根；在B中，f(1)＝ln1＋1－4＝－3<0，f(2)＝ ln2＋2－4＝－2＋ln2<0，故不能确定是否有根；在C中，f(2)＝ ln2＋2－4＝－2＋ln2<0，f(3)＝ln3＋3－4＝－1＋ln3>0，f(x)＝ 0有根，故x0 属于区间(2,3)；在D中，f(3)＝ln3＋3－4＝－1＋ ln3>0，f(4)＝ln4＋4－4＝ln4>0，故不能确定是否有根．故选C. [答案] C
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，则得到零章 函数与基本初等函数
1．(2010·天津，4)函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区 间是( ) A．(－2，－1) C．(0,1) B．(－1,0) D．(1,2)
[解析] f(0)＝e0＋0－2＝－1＜0， f(1)＝e＋1－2＝e－1＞0， ∵y＝ex是单调增函数，y＝x－2是增函数， ∴f(x)＝ex＋x－2在R上是增函数， ∴在(0,1)区间上f(x)存在一个零点．故选C. [答案] C
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第二章 函数与基本初等函数
已知一元二次方程2x2－(m＋1)x＋m＝0有且仅有一实根在 (0,1)内，求m的范围． [解] 设f(x)＝2x2－(m＋1)x＋m 由f(0)·f(1)<0⇒m<0. ⇒
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第二章 函数与基本初等函数
(北师大版高中数学必修1改编) 求函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点，(精确到 0.01)． [解] ∵f(1)<0 f(1.5)>0 ∴f(x)在区间[1,1.5]存在零点 用二分法逐次计算列表如下：
区间 [2,3] [2,2.5] [2,2.25] [2.125,2.25] [2.187 5,2.25] 中点 2.5 2.25 2.125 2.187 5 中点函数值 0.416 4 0.060 9 －0.121 2 －0.029 7
由于区间[2.187 5,2.25]的长度2.25－2.187 5＝0.062 5＜0.1， 所以其两个端点的近似值2.2就是方程的根．
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第二章 函数与基本初等函数 ∵|1.3203125－1.328125|＝0.005<0.01 至此可以看出，函数的零点落在区间长度小于0.01的区间 [1.3203125,1.328125]内，因为该区间的所有值精确到此为0.01 都是1.32，因此1.32是函数f(x)＝x3－x－1精确到0.01的一个近似 零点． [点评与警示] 用二分法求函数零点近似值的步骤，借助
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x1<x2<k
k<x1<x2
第二章 函数与基本初等函数
根的分布 图象 充要条件
x1<k<x2
f(k)<0
x1，x2∈ (k1，k2)
∆≥0 f(k1)>0 f(k2)>0 k1<－ b <k2 2a
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根的分布 图象 充要条件 f(k1)f(k2)<0 或 ∆＝0 且 b － ∈(k1，k2)或 2a x1，2 有且仅 x 有一个在 (k1，k2)内 f(k1)＝0 b k1＋k2 k1<－2a< 2 f(k2)＝0， 或k1＋k2 b 2 <－2a<k2
于计算器一步步求解即可，我们可以借助于表格和数轴，清楚 地描写逐步缩小零点所在区间的过程，而运算终止的时候就在 区间长度小于精确度ε的时候．
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第二章 函数与基本初等函数 求方程lnx＋x－3＝0在(2,3)的近似解(结果精确到0.1) [解] 令f(x)＝lnx＋x－3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点， 用二分法逐步计算，列表如下：
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第二章 函数与基本初等函数
3．函数F(x)＝f(x)－g(x)的零点就是方程f(x)＝g(x)的实数根， 也就是函数y＝f(x)的图象与函数y＝g(x)的图象交点的横坐标． 4．二分法求方程近似解的过程中，蕴涵了算法思想，体 现了程序化这一现代数学方法，是信息技术与数学内容有机的 整合，注意掌握用程序框图来描述二分法的求解过程以及二分 法的思想内涵．
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第二章 函数与基本初等函数 1．确定区间[a，b]，验证f(a)·f(b)<0，给定精度ξ. 2．求区间(a，b)的 中点x1. 3．计算f(x1)： (1)若f(x1)＝0，则x1就是函数的零点． (2)若 f(a)·f(x)<0 ，则令 b＝x1 (此时零点x0∈(a，x1)． (3)若 f(x1)·f(b)<0，则令 a＝x1 (此时零点x0∈(x1，b)． 4．判断是否达到精度ξ 即若 |a－b|<ξ 重复步骤2～4.
若关于x的方程x2 －2ax＋2＋a＝0有两个不相等的实根， 分别满足下列条件，求a的取值范围． (1)方程的两根都大于1； (2)方程一根大于1，另一根小于1.
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第二章 函数与基本初等函数
[解] 设 f(x)＝x2－2ax＋2＋a
(1)两根大于 1，即 f(x)在(1，＋∞)上有两个不相同的零 点， ∆＝4a2－4(2＋a)>0 －2a ∴－ ＝a>1 2 f(1)＝3－a>0
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第二章 函数与基本初等函数 3．求函数y＝f(x)的零点 (1)(代数法)求方程f(x)＝0的 实数根 ． (2)(几何法)结合函数y＝f(x)的图象，并利用函数的性质找 出 零点 ． 4．零点存在性定理 函数在区间[a，b]上的图象是 连续 的，且f(a)f(b)<0， 那 么函数f(x)在区间[a，b]上至少 有一个零点 ．
[点评与警示] 函数零点的存在性常用方法，一是用零点 定理，二是解方程，三是用图象；而求函数零点就是求相应方 程的实数根；确定零点个数时，要注意重根时的表述．
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第二章 函数与基本初等函数
x2＋2x－3， f(x)＝ －2＋ln x，
(2010·福建，7)函数 点个数为( A．3 C．1 )
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第二章 函数与基本初等函数
设函数f(x)＝x＋ln x－3的零点为m，则m所在的区间为 ( A．(1,2) C．(3,4) B．(2,3) D．(4,5) )
[解析] 由f(3)＞0，f(2)＜0.故选B. [答案] B
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第二章 函数与基本初等函数 1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也是y＝ f(x)的图象与x轴的交点的横坐标．所以：f(x)＝0有实根⇔y＝f(x) 与x轴有交点⇔y＝f(x)有零点． 2．二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的分布、存在问题， 既可以用判别式、求根公式、韦达定理等代数方法，也可以借 助方程对应的二次函数的图象特征列出等价条件组，解题时应 选择计算量小的方法．