历年高考数学真题精选11 函数与方程

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题十一 函数与方程（学生版）

一．选择题（共17小题）

1．（2014?山东）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )

A ．1(0,)2

B ．1

(2，1)

C ．(1,2)

D ．(2,)+∞

2．（2017?新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则(a = ) A ．1

2

-

B ．13

C ．

12

D ．1

3．（2016?天津）已知函数2

1

1

()sin sin (0)222

x f x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( )

A ．(0，1

]8

B ．(0，15

][48

，1) C ．(0，5]8 D ．(0，11][84，5]8

4．（2014?北京）已知函数26

()log f x x x

=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是(

)

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,4)

D ．(4,)+∞

5．（2011?新课标）在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( )

A ．1(4，1)2

B ．1

(4-，0)

C ．1

(0,)4

D ．1(2，3)4

6．（2010?浙江）已知0x 是函数1

()21x f x x

=+-的一个零点．若10(1,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞，则( )

A ．1()0f x <，2()0f x <

B ．1()0f x <，2()0f x >

C ．1()0f x >，2()0f x <

D ．1()0f x >，2()0f x >

7．（2019?新课标Ⅲ）函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为( ) A ．2

B ．3

C ．4

D ．5

8．（2015?天津）已知函数2

2||,2

()(2),2x x f x x x -?=?->?

，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

A ．7

(4

，)+∞

B ．7(,)4-∞

C ．7(0,)4

D ．7

(4，2)

9．（2012?山东）设函数1

()f x x

=，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象

有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是( ) A ．120x x +>，120y y +> B ．120x x +>，120y y +< C ．120x x +<，120y y +>

D ．120x x +<，120y y +<

10．（2019?新课标Ⅱ）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8

()9

f x -

，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]4

B ．(-∞，7

]3

C ．(-∞，5

]2

D ．(-∞，8]3

11．（2019?浙江）设a ，b R ∈，函数32

,0,

()11(1),03

2x x f x x a x ax x

B ．1a <-，0b >

C ．1a >-，0b <

D ．1a >-，0b >

12．（2015?湖北）已知符号函数1,

0,

01,0

x sgnx x x >??

==??-

，()f x 是R 上的增函数，

()()()(1)g x f x f ax a =->，则( )

A ．[()]sgn g x sgnx =

B ．[()]sgn g x sgnx =-

C ．[()][()]sgn g x sgn f x =

D ．[()][()]sgn g x sgn f x =-

13．（2013?天津）设函数()2x f x e x =+-，2()3g x lnx x =+-．若实数a ，b 满足f （a ）0=，

g （b ）0=，则( )

A ．g （a ）0f <<（b ）

B ．f （b ）0g <<（a ）

C ．0g <（a ）

f <（b ）

D ．f （b ）g <（a ）0<

14．（2012?山东）设函数1

()f x x

=

，2()(g x ax bx a =+，b R ∈，0)a ≠若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是( )

A ．当0a <时，120x x +<，120y y +>

B ．当0a <时，120x x +>，120y y +<

C ．当0a >时，120x x +<，120y y +<

D ．当0a >时，120x x +>，120y y +>

15．（2011?新课标）函数1

1y x

=-的图象与函数2sin y x π=，(24)x -的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．8

B ．6

C ．4

D ．2

16．（2011?天津）对实数a 与b ，定义新运算“?”： ,1

,1

a a

b a b b a b -?=?

->??．设函数22()(2)()f x x x x =--?，x R ∈．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，

则实数c 的取值范围是( ) A ．3(,2]

(1,)2-∞--

B ．3(,2]

(1,)4

-∞---

C ．1

1

(,)

(,)4

4-∞+∞ D ．31

(1,)[,)44

--+∞

17．（2010?福建）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()(h x kx b k =+，

b 为常数）对任给的正数m ，

存在相应的0x D ∈使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x m

h x g x m

<-

:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐进线”．给出定义域均为{|1}D x x =>的四组函数如下：

①2

()f x x =，()g x =②()102x

f x -=+，23()x

g x x -=③2

1

()x f x x +=，1()xlnx g x lnx

+=④

2

2()1

x f x x =

+，()2(1)x g x x e -=-- 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是( ) A ．①④

B ．②③

C ．②④

D ．③④

二．填空题（共10小题）

18．（2015?湖南）已知函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 ．

19．（2015?湖南）已知函数32,(),x x a f x x x a ?=?>?

若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零

点，则a 的取值范围是 ．

20．（2011?辽宁）已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是 ．

21．（2011?山东）已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠．当234a b <<<<时，函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+，*n N ∈，则n = ．

22．（2018?新课标Ⅰ）已知函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=，则a = ． 23．（2018?上海）设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是

24．（2015?江苏）已知函数()||f x lnx =，2

0,01

()|4|2,1x g x x x ?

，则方程|()()|1f x g x +=实根的个数为 ．

25．（2015?安徽）在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数||1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为 ．

26．（2014?天津）已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈，若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ．

27．（2014?天津）已知函数2|54|,0

()2|2|,0x x x f x x x ?++=?->?

，若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，

则实数a 的取值范围为 ．

历年高考数学真题精选（按考点分类）

专题十一 函数与方程（教师版）

一．选择题（共17小题）

1．（2014?山东）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )

A ．1(0,)2

B ．1

(2

，1)

C ．(1,2)

D ．(2,)+∞

【答案】B

【解析】由题意可得函数()f x 的图象（蓝线）

和函数()g x 的图象（红线）有两个交点，如图所示：12OA K =，数形结合可得1

12

k <<.

2．（2017?新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则(a = ) A ．1

2-

B ．13

C ．

12

D ．1

【答案】C

【解析】因为211211

1()2()1(1)()0x x x x f x x x a e e x a e e --+--=-++=-+-++=，

所以函数()f x 有唯一零点等价于方程211

11(1)()x x x a e e ----=+有唯一解，

等价于函数21(1)y x =--的图象与11

1()x x y a e e --=+

的图象只有一个交点．

①当0a =时，2()21f x x x =--，此时有两个零点，矛盾； ②当0a <时，由于21(1)y x =--在(,1)-∞上递增、在(1,)+∞上递减， 且11

1()x x y a e e

--=+

在(,1)-∞上递增、在(1,)+∞上递减，

所以函数21(1)y x =--的图象的最高点为(1,1)A ，11

1()x x y a e e --=+的图象的最高点为

(1,2)B a ，

由于201a <<，此时函数21(1)y x =--的图象与11

1()x x y a e e --=+

的图象有两个交点，

矛盾； ③当0a >时，由于21(1)y x =--在(,1)-∞上递增、在(1,)+∞上递减， 且11

1()x x y a e e

--=+

在(,1)-∞上递减、在(1,)+∞上递增，

所以函数21(1)y x =--的图象的最高点为(1,1)A ，11

1()x x y a e e --=+的图象的最低点为

(1,2)B a ，

由题可知点

A 与点

B 重合时满足条件，即21a =，即12

a =，符合条件；

综上所述，1

2

a =

， 方法二：211211()2()(1)()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-， 令1t x =-，则2()()1t t f t t a e e -=++-为偶函数，图象关于0t =对称， 若()0f t =有唯一零点，则根据偶函数的性质可知(0)120f a =-+=， 所以12

a =

． 3．（2016?天津）已知函数2

1

1

()sin sin (0)222

x f x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( )

A ．(0，1

]8

B ．(0，15

][48

，1) C ．(0，5]8

D ．(0，1

1]

[8

4，5]8

【答案】D

【解析】

函数2

111cos 11()sin sin )2222224

x

x f x sin x x x ωωπ

ωωω-=+-=+-=-， 由()0f x =，可得sin()04

x π

ω-=，解得4(,2)k x π

πππω

+

=?，

115599115

(,)

(,)(,)(,)(,)84848484

8ω∴??=+∞， ()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，115

(0,][,]848

ω∴∈．故选D ．

4．（2014?北京）已知函数26

()log f x x x

=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是(

)

A ．(0,1)

B ．(1,2)

C ．(2,4)

D ．(4,)+∞

【答案】C 【解析】

26

()log f x x x

=

-，f ∴（2）20=>，f （4）102=-<，

满足f （2）f （4）0<，()f x ∴在区间(2,4)内必有零点，故选C ．

5．（2011?新课标）在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( )

A ．1(4，1

)2

B ．1

(4-，0)

C ．1

(0,)4

D ．1(2，3)4

【答案】A

【解析】函数()43x f x e x =+- ()4x f x e ∴'=+ 当0x >时，()40x f x e '=+>

∴函数()43x

f x e x =+-在(,)

-∞+∞上为0(0)320f e =-=-<

1

()102f > 1()204f =-=<

11()()024f f <， ∴函数()43x

f x e x =+-的零点所在的区间为1(4，1)

2 故选A ． 6．（2010?浙江）已知0x 是函数1

()21x f x x

=+-的一个零点．若10(1,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞，

则( )

A ．1()0f x <，2()0f x <

B ．1()0f x <，2()0f x >

C ．1()0f x >，2()0f x <

D ．1()0f x >，2()0f x >

【答案】B 【解析】

0x 是函数1

()21x

f x x

=+

-的一个零点0()0f x ∴= 1

()21x f x x

=+

-是单调递增函数，且10(1,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞， 102()()0()f x f x f x ∴<=<

7．（2019?新课标Ⅲ）函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5

【答案】B

【解析】函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数， 即：2sin sin20x x -=在区间[0，2]π的根个数， 即2sin sin2x x =，令左右为新函数()h x 和()g x ，

()2sin h x x =和()sin 2g x x =，作图求两函数在区间[0，2]π的图象可知： ()2sin h x x =和()sin 2g x x =，在区间[0，2]π的图象的交点个数为3个．

8．（2015?天津）已知函数2

2||,2

()(2),2x x f x x x -?=?

->?

，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )

A ．7

(4

，)+∞

B ．7

(,)4-∞

C ．7

(0,)4

D ．7

(4

，2)

【答案】D 【解析】

()(2)g x b f x =--，()()()(2)y f x g x f x b f x ∴=-=-+-，

由()(2)0f x b f x -+-=，得()(2)f x f x b +-=， 设()()(2)h x f x f x =+-，若0x ，则0x -，22x -， 则2()()(2)2h x f x f x x x =+-=++， 若02x ，则20x --，022x -，

则()()(2)22|2|2222h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+-+=，

若2x >，2x -<-，20x -<，则22()()(2)(2)2|2|58h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+． 即222,0()2,0258,2x x x h x x x x x ?++?

=?

，作出函数()h x 的图象如图：

当0x 时，22177()2()244h x x x x =++=++，当2x >时，2257

7()58()24

4

h x x x x =-+=-+

， 故当7

4

b =时，()h x b =，有两个交点，

当2b =时，()h x b =，有无数个交点，由图象知要使函数()()y f x g x =-恰有4个零点， 即()h x b =恰有4个根，则满足

7

24

b <<，故选：D ．

9．（2012?山东）设函数1

()f x x

=

，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是( ) A ．120x x +>，120y y +> B ．120x x +>，120y y +< C ．120x x +<，120y y +> D ．120x x +<，120y y +<

【答案】B

【解析】设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不

同零点1x ，2x ．由()0F x '=得0x =或23x b =．这样，必须且只须(0)0F =或2()03

F b =， 因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得3322b =．不妨设12x x <，则322

23

x b ==．所以

231()()(2)F x x x x =-，比较系数得341x -=，故33112112.2022

x x x =+=，

由此知12

121212

110x x y y x x x x ++=

+=<，故选B ． 10．（2019?新课标Ⅱ）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8

()9

f x -

，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9

]4

B ．(-∞，7

]3

C ．(-∞，5

]2

D ．(-∞，8]3

【答案】B

【解析】因为(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，

(0x ∈，1]时，1

()(1)[4

f x x x =-∈-

，0]， (1x ∴∈，2]时，1(0x -∈，1]，1()2(1)2(1)(2)[2

f x f x x x =-=--∈-，0]； (2x ∴∈，3]时，1(1x -∈，2]，()2(1)4(2)(3)[1f x f x x x =-=--∈-，0]，

当(2x ∈，3]时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或8

3x =，

若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8

()9

f x -，则73m ．故选：B ．

11．（2019?浙江）设a ，b R ∈，函数32

,0,

()11(1),03

2x x f x x a x ax x C ．1a >-，0b < D ．1a >-，0b >

【答案】C

【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1b

x a

=-； ()y f x ax b =--最多一个零点；

当0x 时，32321111

()(1)(1)3232

y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，

2(1)y x a x '=-+，

当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；

当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；

根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点?函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如右图：

∴01b a

<-且32

11(1)(1)(1)03

2

b a a a b ->???+-++-

?，解得0b <，10a ->，3

1(1)6b a >-+． 31

(1)06

a b ∴-+<<，11a -<< 故选C ．

12．（2015?湖北）已知符号函数1,0

0,

01,0

x sgnx x x >??

==??-

，()f x 是R 上的增函数，

()()()(1)g x f x f ax a =->，则( )

A ．[()]sgn g x sgnx =

B ．[()]sgn g x sgnx =-

C ．[()][()]sgn g x sgn f x =

D ．[()][()]sgn g x sgn f x =-

【答案】B

【解析】由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数1,0

0,

01,0

x sgnx x x >??

==??-

，()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，不妨令()f x x =，2a =， 则()()()g x f x f ax x =-=-，[()]sgn g x sgnx =-．所以A 不正确，B 正确，

[()]sgn f x sgnx =，C 不正确；D 正确；

对于D ，令()1f x x =+，2a =，则()()()g x f x f ax x =-=-，

1,1[()](1)0,11,1x sgn f x sgn x x x >-??=+==-??-<-?；1,0[()]()0,01,0x sgn g x sgn x x x >??

=-==??-

，

1,1[()](1)0,11,1x sgn f x sgn x x x ->-??

-=-+==-??<-?

；所以D 不正确；故选B ．

13．（2013?天津）设函数()2x f x e x =+-，2()3g x lnx x =+-．若实数a ，b 满足f （a ）0=，

g （b ）0=，则( )

A ．g （a ）0f <<（b ）

B ．f （b ）0g <<（a ）

C ．0g <（a ）

f <（b ）

D ．f （b ）g <（a ）0<

【答案】A

【解析】①由于x y e =及2y x =-关于x 是单调递增函数，∴函数()2x f x e x =+-在R 上单调递增，分别作出x y e =，2y x =-的图象，

(0)1020f =+-<，f （1）10e =->，f

（a ）0=，01a ∴<<．同理2()3g x lnx x =+-在R +上单调递增，g （1）11320ln =+-=-<，

21

(

3)3(3)3302

g ln ln =+-=>，g （b ）0=，∴13b <<．

g ∴（a ）23lna a g =+-<（1）11320ln =+-=-<，

f （b ）2b e b f =+->（1）1210e e =+-=->．

g ∴（a ）0f <<（b ）

．故选A ．

14．（2012?山东）设函数1

()f x x

=

，2()(g x ax bx a =+，b R ∈，0)a ≠若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是

A ．当0a <时，120x x +<，120y y +>

B ．当0a <时，120x x +>，120y y +<

C ．当0a >时，120x x +<，120y y +<

D ．当0a >时，120x x +>，120y y +>

【答案】B

【解析】当0a <时，作出两个函数的图象，

若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点， 必然是如图的情况，因为函数1

()f x x

=

是奇函数，所以A 与A '关于原点对称， 显然210x x >->，即120x x +>，12y y ->，即120y y +<， 同理，当0a >时，有当0a >时，120x x +<，120y y +>

15．（2011?新课标）函数1

1y x

=-的图象与函数2sin y x π=，(24)x -的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．8 B ．6

C ．4

D ．2

【答案】A 【解析】函数11

1y x

=

-，22sin y x π=的图象有公共的对称中心(1,0)， 作出两个函数的图象，如图，当14x <时，10y < 而函数2y 在(1,4)上出现1.5个周期的图象，

在3(1,)2和5(2，7)2上是减函数；在3(2，5)2和7

(2

，4)上是增函数．

∴函数

1y 在(1,4)上函数值为负数，且与2y 的图象有四个交点E 、F 、G 、H

相应地，1y 在(2,1)-上函数值为正数，且与2y 的图象有四个交点

A 、

B 、

C 、D

且：2A H B G C F D E x x x x x x x x +=+=+=+=，故所求的横坐标之和为8．故选

A ．

16．（2011?天津）对实数a 与b ，定义新运算“?”： ,1

,1a a b

a

b b a b -?=?

->?

?．设函数

22()(2)()f x x x x =--?，x R ∈．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，

则实数c 的取值范围是( ) A ．3(,2]

(1,)2-∞--

B ．3(,2]

(1,)4

-∞---

C ．1

1

(,)

(,)4

4-∞+∞ D ．31

(1,)[,)44

--+∞

【答案】B

【解析】,1, 1.a a b a

b b a b -?=?->??

，∴函数()()()2

22

232,1223,12

x x f x x x x x x x x

?--??=-?-=??--??或，

由图可知，当3

(,2]

(1,)4

c ∈-∞---

函数()f x 与y c =的图象有两个公共点，c ∴的取值范围是3(,2](1,)4

-∞---，

故选：B ．

17．（2010?福建）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()(h x kx b k =+，

b 为常数）对任给的正数m ，

存在相应的0x D ∈使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x m

h x g x m <-

<-

，则称直线

:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐进线”．给出定义域均为{|1}D x x =>的四组函数如下：

①2

()f x x =，()g x x =②()102x

f x -=+，23()x

g x x -=③2

1

()x f x x +=，1()xlnx g x lnx

+=④

2

2()1

x f x x =

+，()2(1)x g x x e -=-- 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是( ) A ．①④ B ．②③

C ．②④

D ．③④

【答案】C

【解析】()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0f x g x -→． 对于①2()f x x =，()g x x =

，当1x >时便不符合，所以①不存在；

对于②()102x f x -=+，23

()x g x x -=

肯定存在分渐近线，因为当时，()()0f x g x -→； 对于③21

()x f x x +=，1()xlnx g x lnx +=，11()()f x g x x lnx

-=-，

设()x x lnx λ=-，21

()0n x x

λ=>，且lnx x <，

所以当x →∞时x lnx -越来愈大，从而()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，

所以不存在分渐近线；

对于④

2

2 ()

1

x

f x

x

=

+

，()2(1)x

g x x e-

=--，当

x→+∞时，22

()()20

1

1

x

f x

g x

e

x

-

-=++→

+

，因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C

二．填空题（共10小题）

18．（2015?湖南）已知函数()|22|

x

f x b

=--有两个零点，则实数b的取值范围是．【答案】02

b

<<

【解析】由函数()|22|

x

f x b

=--有两个零点，可得|22|

x b

-=有两个零点，

从而可得函数|22|

x

y=-函数y b

=的图象有两个交点，

结合函数的图象可得，02

b

<<时符合条件.

19．（2015?湖南）已知函数

3

2

,

()

,

x x a

f x

x x a

?

=?

>

?

若存在实数b，使函数()()

g x f x b

=-有两个零点，则a的取值范围是．

【答案】{|0

a a<或1}

a>

【解析】()()

g x f x b

=-有两个零点，

()

f x b

∴=有两个零点，即()

y f x

=与y b

=的图象有两个交点，

由32

x x

=可得，0

x=或1

x=

①当1

a>时，函数()

f x的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故1

a>满足题意

②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意

④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意

⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点

综上可得，0a <或1a >，故答案为：{|0a a <或1}a >

20．（2011?辽宁）已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】(-∞，222]ln -

【解析】()2x f x e '=-，可得()0f x '=的根为02x ln =

当2x ln <时，()0f x '<，可得函数在区间(,2)ln -∞上为减函数； 当2x ln >时，()0f x '>，可得函数在区间(2,)ln +∞上为增函数，

∴函数

()y f x =在2x ln =处取得极小值(2)222f ln ln a =-+，

并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数()y f x =的最小值要小于或等于零，即

2220ln a -+，可得222a ln -

21．（2011?山东）已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠．当234a b <<<<时，函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+，*n N ∈，则n = ． 【答案】2

【解析】设函数log a y x =，m x b =-+ 根据234a b <<<<， 对于函数log a y x = 在2x =时，一定得到一个值小于1，

在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在(2,3)之间，

∴函数

()f x 的零点0(,1)x n n ∈+时，2n =，故答案为2

22．（2018?新课标Ⅰ）已知函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=，则a = 7- ． 【答案】7-

【解析】函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=，可得：2log (9)1a +=，可得7a =-． 23．（2018?上海）设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是

【答案】1119(,]66

ππ

【解析】函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，

即方程212(1)sin()x x x ax -=+-有两不同根，也就是(1)(2sin 1)0x ax -+=有两不同根， (0,1)x ∈，1

sin 2

ax ∴=-在(0,1)上有两不同根．

0a >，726ax k ππ∴=

+或1126

ax k ππ=+，k Z ∈． 又

(0,1)x ∈，且0a >，0ax a ∴<<，仅有两解时，应有11161916a

a

π

π?

???，则111966a ππ<． a ∴的取值范围是1119(,]6

6

ππ．

24．（2015?江苏）已知函数()||f x lnx =，2

0,01

()|4|2,1x g x x x ?

，则方程|()()|1f x g x +=实根的个数为 ． 【答案】4

【解析】由|()()|1f x g x +=可得()()1g x f x =-±．

()g x 与()()1h x f x =-+的图象如图所示，图象有2个交点

()g x 与()()1x f x ?=--的图象如图所示，图象有两个交点；

所以方程|()()|1f x g x +=实根的个数为4．

25．（2015?安徽）在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数||1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为 ． 【答案】1

2

-

【解析】由已知直线2y a =是平行于x 轴的直线，由于y x a =-为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数||1y x a =--的图象是折线，所以直线2y a =过折线顶点时满足题意，所以21a =-，解得12

a =-