历年高考数学真题精选11 函数与方程
高考数学一轮复习专题11函数与方程(含解析)
专题11函数与方程最新考纲结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.基础知识融会贯通1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y＝f(x)(x∈D)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．(2)三个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个__c__也就是方程f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系【知识拓展】有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．重点难点突破【题型一】函数零点所在区间的判定【典型例题】函数f（x）＝lnx+2x﹣6的零点所在的区间为（）A．（1，2）B．（2，3）C．（3，4）D．（4，5）【解答】解：f（1）＝2﹣6＜0，f（2）＝4+ln2﹣6＜0，f（3）＝6+ln3﹣6＞0，f（4）＝8+ln4﹣6＞0，∴f（2）f（3）＜0，∴m的所在区间为（2，3）．故选：B．【再练一题】函数f（x）＝log8x的一个零点所在的区间是（）A．（0，1）B．（1，2）C．（2，3）D．（3，4）【解答】解：函数f（x）＝log8x的连线增函数，∵f（1）＝00，f（2）＝log820，可得f（1）f（2）＜0，∴函数f（x）的其中一个零点所在的区间是（1，2），故选：B．思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在性定理；(2)数形结合法．【题型二】函数零点个数的判断【典型例题】已知偶函数y＝f（x）（x∈R）满足f（x+1）＝f（x﹣1）且x∈[0，1]时f（x）＝x，则函数g（x）＝f（x）﹣log3|x|的零点个数共有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解答】解：由f（1+x）＝f（1﹣x），取x＝x+1，得：f（x+1+1）＝f（1﹣x﹣1），所以f（x+2）＝f（﹣x），又因为函数为偶函数，所以f（x+2）＝f（﹣x）＝f（x），所以函数f（x）是以2为周期的周期函数．因为当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝x，由偶函数可知，当x∈[﹣1，0]时，f（x）＝﹣x，所以函数f（x）的图象是f（x）＝x在[﹣1，1]内的部分左右平移2个单位周期出现，0求函数g（x）＝f（x）﹣|log3x|的零点个数，就是求两函数y＝f（x）与y＝|log3x|的交点个数，由于log33＝1，所以两函数在（0，3]内有2个交点，根据对称性可知：[﹣3，0）内有2个交点，所以交点总数为4个，所以函数g（x）＝f（x）﹣|log3x|的零点个数为4．故选：D．【再练一题】已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：已知f（x）x，则y＝f（x）的零点个数，即方程πx的解的个数．当x＞0时，方程即x+1，故该方程解的个数即函数y＝x+1与函数y的图象的交点个数．当x＜0时，方程即x﹣1，故该方程解的个数即函数y＝x﹣1与函数y的图象的交点个数，数形结合可得，方程πx的解的个数为2，故选：C．思维升华函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点；(2)利用零点存在性定理再结合函数的单调性确定零点个数；(3)利用函数图象的交点个数判断．【题型三】函数零点的应用命题点1 根据函数零点个数求参数【典型例题】已知函数f（x）＝lnx﹣ax+1．（1）若f（x）在x＝1处取到极值，求实数a的值；（2）若函数f（x）有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）＝lnx﹣ax+1，∴x＞0，，∵f（x）在x＝1处取到极值，∴f′（1）＝1﹣a＝0，解得a＝1，∴实数a的值为1．（2）∵x＞0，，由f′（x）＝0，得x当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，x∈（0，），f′（x）＞0，f（x）在上单调递增，x∈（，+∞），f′（x）＜0，f（x）在上单调递减．∴当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，不可能有两个零点；当a＞0时，f（x）在（0，）上是增函数，在（，+∞）上是减函数，∴f（）是函数f（x）的最大值，当f（）≤0时，f（x）最多只有一个零点，∴f（）＝ln0，解得0＜a＜1，此时，，且f（）＝﹣110，f（）＝2﹣2lna1＝3﹣2lna，（0＜a＜1），令F（a）＝3﹣2lna，则F′（x）0，∴F（a）在（0，1）上单调递增，∴F（a）＜F（1）＝3﹣e2＜0，即f（）＜0，∴a的取值范围是（0，1）．【再练一题】已知函数的图象过点．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若函数g（x）＝f（x）﹣2m+3有3个零点，求m的取值范围．【解答】解：（1）因为函数的图象过点．所以，解得a＝2，即，所以f'（x）＝x2﹣x﹣2．由f'（x）＝x2﹣x﹣2＜0，解得﹣1＜x＜2；由f'（x）＞0，得x＜﹣1或x＞2．所以函数f（x）的递减区间是（﹣1，2），递增区间是（﹣∞，﹣1），（2，+∞）．（2）由（1）知，同理，，由数形结合思想，要使函数g（x）＝f（x）﹣2m+3有三个零点，则，解得．所以m的取值范围为．命题点2 根据函数有无零点求参数【典型例题】已知函数f（x）＝x2+（a﹣1）x+b，f（1）＝1．（1）若函数f（x）没有零点，求a的取值范围；（2）若函数f（x）的图象的对称轴是x＝1，解不等式f（x）＞1．【解答】解：（1）由f（1）＝1得1+a﹣1+b＝1，得a+b＝1，因为函数f（x）没有零点，所以x2+（a﹣1）x+b＝0中△＜0，即（a﹣1）2﹣4b＜0，又b＝1﹣a，所以（a﹣1）2﹣4（1﹣a）＜0，化为a2+2a﹣3＜0，解得﹣3＜a＜1；（2）函数f（x）的图象的对称轴是x＝1，即，又b＝1﹣a，联立解得a＝﹣1，b＝2．∴x2﹣2x+2＞1，化为（x﹣1）2＞0，解得x≠1，所以f（x）＞1的解集为{x|x≠1}．【再练一题】已知f（x）＝a cos2x+2cos x﹣3（Ⅰ）当a＝1时，求函数y＝f（x）的值域；（Ⅱ）若函数y＝f（x）存在零点，求a的取值范围．【解答】解：由已知可得：f（x）＝a cos2x+2cos x﹣3＝2a cos2x+2cos x﹣（3+a）．（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝2cos2x+2cos x﹣4＝2（cos x）2由﹣1≤cos x≤1，得函数y＝f（x）的值域为[，0]（Ⅱ）函数y＝f（x）存在零点，即2at2+2t﹣（3+a）＝0在[﹣1，1]上有解．（1）a＝0时，方程的解t∉[﹣1，1]不满足条件（2）当a≠时，设g（t）＝2t2（）则①当g（﹣1）g（1）≤0时满足条件，此时有1≤a≤5②当g（﹣1）g（1）＞0时时，必有以下四式同时成立即g（﹣1）＞0，g（1）＞0，△≥0，﹣11．解得a＞5，或a综上可得，a的取值范围为（﹣∞，）∪[1，+∞）命题点3 根据零点的范围求参数【典型例题】已知函数f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，其中k∈R．（1）设函数p（x）＝f（x）+g（x）．若p（x）在（0，3）上有零点，求k的取值范围；（2）设函数q（x）是否存在k，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）？若存在，求k的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5，g（x）＝2k2x+k，p（x）在（0，3）上有零点，∴p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5在（0，3）上有零点．∴△＝（4k2﹣8k+4）﹣12k﹣60≥0，解得k≤﹣2，或k≥7．若p（x）在（0，3）上有唯一零点，则p（0）p（3）＝（k+5）（7k+26）＜0 ①，或②，或③，或④．解①得﹣5＜k，解②得k∈∅，解③得k，解④可得k＝﹣2，或k＝7．当k＝7时，p（x）＝f（x）+g（x）＝3x2+2（k﹣1）x+k+5＝3x2+12x+12的零点是﹣2，不符合题意所以k＝7舍去．若p（x）在（0，3）上有2个零点，则有，解得k≤﹣2．综上所述，实数k的取值范围为[﹣5，﹣2]．（2）函数q（x），即q（x）．显然，k＝0不满足条件，故k≠0．当x≥0时，q（x）＝2k2x+k∈[k，+∞）．当x＜0时，q（x）＝3x2﹣2（k2﹣k+1）x+5∈（5，+∞）．记A＝[k，+∞），B∈（15，+∞）．①当x2＞0时，q（x）在（0，+∞）上是增函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＜0，且A⊆B，故k≥5；②当x2＜0时，q（x）在（﹣∞，0）上是减函数，要使q（x2）＝q（x1），则x1＞0，且B⊆A，故k≤5；综上可得，k＝5满足条件．故存在k＝5，对任意给定的非零实数x1，存在惟一的非零实数x2（x2≠x1），使得q（x2）＝q（x1）．【再练一题】已知函数f（x）alnx．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若a＞0，函数f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，求a的取值范围．【解答】解：（1）函数f（x）alnx的定义域为（0，+∞），f′（x）＝x．①a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增；②a＞0时，由f′（x）＞0得x；由f′（x）＜0得0＜x．即f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．综上：a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增；a＞0时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增．（2）当a＞0时，由（1）知f（x）在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，①若1，即0＜a≤1时，f（x）在（1，e）上单调递增，f（1），f（x）在区间（1，e）上无零点．②若1e，即1＜a＜e2时，f（x）在（0，）上单调递减，在（，e）上单调递增．f（x）min＝f（）a（1﹣lna）．∵f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点，∴f（1）0，f（）a（1﹣lna）＜0．f（e）e2﹣a＞0，∴e＜a e2．③若e，即a≥e2时，f（x）在（1，e）上单调递减，f（1）0，f（e）e2﹣a＜0，f（x）在区间（1，e）上有一个零点．综上，f（x）在区间（1，e）上恰有两个零点时a的取值范围是（e，e2）．思维升华根据函数零点的情况求参数有三种常用方法．(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解．基础知识训练1．下列函数中，能用二分法求零点的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意以及零点判定定理可知：只有选项D能够应用二分法求解函数的零点，故选：D．2．方程的根所在的区间为A．B．C．D．【答案】C【解析】令函数，则方程的根即为函数的零点，再由，且，可得函数上有零点．故选：C．3．函数的零点所在的一个区间是A．B．C．D．【答案】C【解析】上的增函数，又，故零点所在对的区间为，选C．4．已知函数若方程有5个解，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，当时，，所以函数上是偶函数，当时，单调递减，且当时，，当时，，因此，作出函数的大致图象如图所示：设，则原方程为，因为是方程的根，所以由图象可知，若关于的方程有五个不同的实数解，只需直线与函数的图象有三个不同的公共点，且关于的方程有两个不同的公共点，其中一根，另一根，所以，解得，所以实数的取值范围为，故选D.5．已知函数满足，当时，；当时，，若函数上有五个零点，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】有题意知，则的周期为。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套）函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数$f(x)=x\ln(x+a+x^2)$为偶函数，则$a=$解析】由题知$y=\ln(x+a+x^2)$是奇函数，所以$\ln(x+a+x^2)+\ln(-x+a+x^2)=\ln(a+x-x)=\ln a$，解得$a=1$。
考点：函数的奇偶性。
2.（2018年2卷11）已知$$f(x)=\begin{cases}\frac{x+1}{x},x<0\\ax^2,x\geq0\end{cases}$$ 是定义域为$(-\infty,0)\cup[0,+\infty)$的奇函数，满足$f(\frac{1}{2})=1$。
若，$f'(-1)=-2$，则$a=$解：因为$f(x)$是奇函数，所以$f(-\frac{1}{2})=-1$，$f(0)=0$。
又因为$f'(-1)=-2$，所以$f'(-x)|_{x=1}=2$，$f'(0+)=0$，$f'(0-)=0$。
由此可得$$\begin{aligned}a&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}\\&=\lim\limits_{x\to 0^+}\frac{ax^2}{x}\\&=\lim\limits_{x\to0^+}ax\\&=\lim\limits_{x\to 0^-}ax\\&=-\frac{1}{2}\end{aligned}$$ 故选B。
3.（2016年2卷12）已知函数$f(x)(x\in R)$满足$f(-x)=2-f(x)$，若函数$y=\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)$的图像的交点为$(x_1,y_1),(x_2,y_2),\cdots,(x_m,y_m)$，则$\sum\limits_{i=1}^m(x_i+y_i)=( )$解析】由$f(x)$的奇偶性可得$f(0)=1$，又因为$f(x)$是偶函数，所以$f'(0)=0$。
高三数学函数与方程试题
高三数学函数与方程试题1.要制作一个容器为4，高为的无盖长方形容器，已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是_______（单位：元）【答案】88【解析】假设底面长方形的长宽分别为, . 则该容器的最低总造价是.当且仅当的时区到最小值.【考点】函数的最值.2.若函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则实数a的取值范围是________．【答案】(－2,2)【解析】由f(x)＝x3－3x＋a，得f′(x)＝3x2－3，令f′(x)＝3x2－3＝0，得x＝±1，由图象可知f(x)的极大值为f(－1)＝2＋a，f(x)的极小值为f(1)＝a－2，要使函数f(x)＝x3－3x＋a有三个不同的零点，则有f(－1)＝2＋a>0，f(1)＝a－2<0，即－2<a<2，所以实数a的取值范围是(－2,2)．3.已知函数，，的零点分别为，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】令，，分别得，，，则分别为函数的图象与函数，，的图象交点的横坐标，在同一平面直角坐标系下作出它们的图象，易得，，，故选．【考点】函数图象、零点的概念.4.已知函数，若关于的方程有两个不同的实根，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为关于的方程有两个不同的实根，即有两个不同的实根．等价于函数与函数有两个交点．如图可得．【考点】1．含绝对值的函数的图象．2．函数与方程问题．3．数形结合的数学思想．5.是定义在上的奇函数，其图象如图所示，令,则下列关于函数的叙述正确的是()A．若,则函数的图象关于原点对称B．若,则方程有大于2的实根C．若,则方程有两个实根D．若,则方程有两个实根【答案】B【解析】还是奇函数，当时，不是奇函数，其图象不可能关于原点对称，A错；如，则函数的极小值小于，时，把图象向上平移2个单位，的极小值小于0，方程仍然有三个根，C错，极大值为，当时，的极大值小于0，方程只有一个根，D错，故选B．【考点】函数图象变换，函数的零点．6.已知函数，若关于的方程有三个不同的实根，则实数的取值范围是.【答案】【解析】如图，直线y=x-a与函数的图象在处有一个切点，切点坐标为（0，0），此时；直线与函数的图象有一个切点，切点坐标是，此时相应，观察图象可知，方程有三个不同的实根时，实数的取值范围是.【考点】1函数图像；2数形结合及转化思想。
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析(含答案)
全国卷历年高考函数与导数真题归类分析（含答案）（2015年-2018年共11套） 函数与导数小题（共23小题）一、函数奇偶性与周期性1.（2015年1卷13）若函数f （x ）=2ln()x x a x ++为偶函数，则a=【解析】由题知2ln()y x a x =++是奇函数，所以22ln()ln()x a x x a x +++-++ =22ln()ln 0a x x a +-==，解得a =1.考点：函数的奇偶性2.（2018年2卷11）已知是定义域为的奇函数，满足．若，则A.B. 0C. 2D. 50解：因为是定义域为的奇函数，且，所以,因此，因为，所以，，从而，选C.3.（2016年2卷12）已知函数()()R f x x ∈满足()()2f x f x -=-，若函数1x y x+=与()y f x =图像的交点为()11x y ，，()22x y ，，⋯，()m m x y ，，则()1mi i i x y =+=∑（ ）（A ）0 （B ）m （C ）2m （D ）4m【解析】由()()2f x f x =-得()f x 关于()01，对称，而111x y x x+==+也关于()01，对称，∴对于每一组对称点'0i i x x += '=2i i y y +，∴()111022mmmi i i i i i i mx y x y m ===+=+=+⋅=∑∑∑，故选B ．二、函数、方程与不等式4.（2015年2卷5）设函数211log (2),1,()2,1,x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩,2(2)(log 12)f f -+=( ) （A ）3 （B ）6 （C ）9 （D ）12【解析】由已知得2(2)1log 43f -=+=，又2log 121>， 所以22log 121log 62(log 12)226f -===，故，2(2)(log 12)9f f -+=．5.（2018年1卷9）已知函数．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A. [–1，0）B. [0，+∞）C. [–1，+∞）D. [1，+∞） 解：画出函数的图像，在y 轴右侧的去掉，画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点A 时，直线与函数图像有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C.6.（2017年3卷15）设函数1,0,()2,0,+⎧=⎨>⎩xx x f x x ≤则满足1()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．【解析】()1,02 ,0+⎧=⎨>⎩x x x f x x ≤，()112f x f x ⎛⎫+-> ⎪⎝⎭，即()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭由图象变换可画出12y f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭与()1y f x =-的图象如下：12-1211(,)44-1()2y f x =-1()y f x =-yx由图可知，满足()112f x f x ⎛⎫->- ⎪⎝⎭的解为1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭.7.（2017年3卷11）已知函数211()2(e e )x x f x x x a --+=-++有唯一零点，则a =（）A ．1-２B ．13C ．12D ．1【解析】由条件，211()2(e e )x x f x x x a --+=-++，得：221(2)1211211(2)(2)2(2)(e e )4442(e e )2(e e )x x x x x x f x x x a x x x a x x a ----+----+-=---++=-+-+++=-++∴(2)()f x f x -=，即1x =为()f x 的对称轴，由题意，()f x 有唯一零点，∴()f x 的零点只能为1x =，即21111(1)121(e e )0f a --+=-⋅++=，解得12a =．三、函数单调性与最值8.（2017年1卷5）函数()f x 在(,)-∞+∞单调递减，且为奇函数．若(11)f =-，则满足21()1x f --≤≤的x 的取值范围是 A ．[2,2]- B ．[1,1]- C ．[0,4] D ．[1,3] 【解析】：()()()()12112112113f x f f x f x x -≤-≤⇒≤-≤-⇒-≤-≤⇒≤≤故而选D 。
历年高考数学函数题库(含答案)
【答案】D，做出点知即,,2121y y x x >-<-方法二：设3()F x x bx =-【答案】Ｃ图像大致是=，则函数题库(1)g -=【答案】330.（2012高考广东文11）函数的定义域为 .1x y x+=【答案】[)()1,00,-+∞U 31.（2102高考北京文12）已知函数，若，则x x f lg )(=1)(=ab f =+)()(22b f a f _____________。
【答案】232.（2102高考北京文14）已知，，若)3)(2()(++-=m x m x m x f 22)(-=xx g ，或，则m 的取值范围是_________。
R x ∈∀0)(<x f 0)(<x g 【答案】)0,4(-33.（2012高考天津文科14）已知函数的图像与函数的图像恰有两个交211x y x -=-y kx =点，则实数的取值范围是 .k 【答案】或。
10<<k 21<<k 34.（2012高考江苏5）函数的定义域为 ．x x f 6log 21)(-=【答案】。
(0 6⎤⎦（【考点】函数的定义域，二次根式和对数函数有意义的条件，解对数不等式。
35.（2012高考江苏10）设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，()f x R [11]-，其中．若，0111()201x x ax f x bx x <+-⎧⎪=+⎨⎪+⎩≤≤≤，，，，a b ∈R ，1322f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则的值为 ．3a b +【答案】。
10-【答案】C【解析】因为,所以令,得,此时原函数是增函'12cos 2y x =-'12cos 02y x =->1cos 4x <数;令,得,此时原函数是减函数,结合余弦函数图象，可得选C'12cos 0y x =-<1cos x >8．(2011年高考浙江卷理科1)设函数,则实数=2,0,()()4,0.x x f x f x x α-≤⎧==⎨>⎩若α（A ）-4或-2 （B ）-4或2 （C ）-2或4 （D ）-2或2【答案】 B【解析】：当，故选B2042,a a a >=⇒=时,044a a a ≤=⇒=-当时,-9. (2011年高考全国新课标卷理科2)下列函数中，既是偶函数又是区间上的增函数),0(+∞的是（ ）A B C D 3x y =1+=x y 12+-=x y xy -=2【答案】B解析：由偶函数可排除A ，再由增函数排除C,D,故选B ；点评：此题考查复合函数的奇偶性和单调性，因为函数都是偶函数，所以，x y x y -==和内层有它们的就是偶函数，但是，它们在的单调性相反，再加上外层函数的单调性),0(+∞就可以确定。
历年高考数学真题精选11 函数与方程
历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十一 函数与方程（学生版）一．选择题（共17小题）1．（2014•山东）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．（2017•新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则(a = ) A ．12-B ．13C ．12D ．13．（2016•天津）已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，1]8B ．(0，15][48U ，1) C ．(0，5]8D ．(0，11][84U ，5]84．（2014•北京）已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4,)+∞5．（2011•新课标）在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A ．1(4，1)2B ．1(4-，0)C ．1(0,)4D ．1(2，3)46．（2010•浙江）已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点．若10(1,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞，则( )A ．1()0f x <，2()0f x <B ．1()0f x <，2()0f x >C ．1()0f x >，2()0f x <D ．1()0f x >，2()0f x >7．（2019•新课标Ⅲ）函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．58．（2015•天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩…，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A ．7(4，)+∞B ．7(,)4-∞C ．7(0,)4D ．7(4，2)9．（2012•山东）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是( ) A ．120x x +>，120y y +> B ．120x x +>，120y y +<C ．120x x +<，120y y +>D ．120x x +<，120y y +<10．（2019•新课标Ⅱ）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]4B ．(-∞，7]3C ．(-∞，5]2D ．(-∞，8]311．（2019•浙江）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >12．（2015•湖北）已知符号函数1,00,01,0x sgnx x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则( )A ．[()]sgn g x sgnx =B ．[()]sgn g x sgnx =-C ．[()][()]sgn g x sgn f x =D ．[()][()]sgn g x sgn f x =-13．（2013•天津）设函数()2x f x e x =+-，2()3g x lnx x =+-．若实数a ，b 满足f （a ）0=，g （b ）0=，则( )A ．g （a ）0f <<（b ）B ．f （b ）0g <<（a ）C ．0g <（a ）f<（b ）D ．f （b ）g <（a ）0<14．（2012•山东）设函数1()f x x=，2()(g x ax bx a =+，b R ∈，0)a ≠若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是()A ．当0a <时，120x x +<，120y y +>B ．当0a <时，120x x +>，120y y +<C ．当0a >时，120x x +<，120y y +<D ．当0a >时，120x x +>，120y y +>15．（2011•新课标）函数11y x=-的图象与函数2sin y x π=，(24)x -剟的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．8B ．6C ．4D ．216．（2011•天津）对实数a 与b ，定义新运算“⊗”： ,1,1a a b a b b a b -⎧=⎨->⎩⊗…．设函数22()(2)()f x x x x =--⊗，x R ∈．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．3(,2](1,)2-∞--UB ．3(,2](1,)4-∞---UC ．11(,)(,)44-∞+∞UD ．31(1,)[,)44--+∞U17．（2010•福建）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()(h x kx b k =+，b 为常数）对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x mh x g x m <-<⎧⎨<-<⎩，则称直线:l y kx b=+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐进线”．给出定义域均为{|1}D x x =>的四组函数如下：①2()f x x =，()g x =()102xf x -=+，23()xg x x -=③21()x f x x +=，1()xlnx g x lnx+=④22()1x f x x =+，()2(1)x g x x e -=-- 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是( ) A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④二．填空题（共10小题）18．（2015•湖南）已知函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 ． 19．（2015•湖南）已知函数32,(),x x a f x x x a ⎧=⎨>⎩…若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 ．20．（2011•辽宁）已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是 ．21．（2011•山东）已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠．当234a b <<<<时，函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+，*n N ∈，则n = ．22．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=，则a = ． 23．（2018•上海）设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是24．（2015•江苏）已知函数()||f x lnx =，20,01()|4|2,1x g x x x <⎧=⎨-->⎩…，则方程|()()|1f x g x +=实根的个数为 ．25．（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数||1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为 ．26．（2014•天津）已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈，若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ．27．（2014•天津）已知函数2|54|,0()2|2|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩…，若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十一 函数与方程（教师版）一．选择题（共17小题）1．（2014•山东）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( ) A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞【答案】B【解析】由题意可得函数()f x 的图象（蓝线）和函数()g x 的图象（红线）有两个交点，如图所示：12OA K =，数形结合可得112k <<.2．（2017•新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则(a = ) A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】因为2112111()2()1(1)()0x x x x f x x x a e e x a e e --+--=-++=-+-++=，所以函数()f x 有唯一零点等价于方程21111(1)()x x x a e e----=+有唯一解，等价于函数21(1)y x =--的图象与111()x x y a e e --=+的图象只有一个交点．①当0a =时，2()21f x x x =--…，此时有两个零点，矛盾； ②当0a <时，由于21(1)y x =--在(,1)-∞上递增、在(1,)+∞上递减， 且111()x x y a e e --=+在(,1)-∞上递增、在(1,)+∞上递减，所以函数21(1)y x =--的图象的最高点为(1,1)A ，111()x x y a e e--=+的图象的最高点为(1,2)B a ，由于201a <<，此时函数21(1)y x =--的图象与111()x x y a e e --=+的图象有两个交点，矛盾； ③当0a >时，由于21(1)y x =--在(,1)-∞上递增、在(1,)+∞上递减， 且111()x x y a e e--=+在(,1)-∞上递减、在(1,)+∞上递增，所以函数21(1)y x =--的图象的最高点为(1,1)A ，111()x x y a e e --=+的图象的最低点为(1,2)B a ，由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即21a =，即12a =，符合条件； 综上所述，12a =， 方法二：211211()2()(1)()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-， 令1t x =-，则2()()1t t f t t a e e -=++-为偶函数，图象关于0t =对称， 若()0f t =有唯一零点，则根据偶函数的性质可知(0)120f a =-+=， 所以12a =． 3．（2016•天津）已知函数211()sin sin (0)222xf x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( ) A ．(0，1]8B ．(0，15][48U ，1) C ．(0，5]8D ．(0，11][84U ，5]8【答案】D【解析】函数2111cos 11()sin sin )2222224xx f x sin x x x ωωπωωω-=+-=+-=-， 由()0f x =，可得sin()04x πω-=，解得4(,2)k x ππππω+=∉，115599115(,)(,)(,)(,)(,)848484848ω∴∉⋯=+∞U U U U ，()f x Q 在区间(,2)ππ内没有零点，115(0,][,]848ω∴∈U ．故选D ．4．（2014•北京）已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是( )A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】26()log f x x x=-Q ，f ∴（2）20=>，f （4）102=-<，满足f （2）f （4）0<，()f x ∴在区间(2,4)内必有零点，故选C ．5．（2011•新课标）在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( ) A ．1(4，1)2B ．1(4-，0)C ．1(0,)4D ．1(2，3)4【答案】A【解析】Q 函数()43x f x e x =+- ()4x f x e ∴'=+ 当0x >时，()40x f x e '=+>∴函数()43x f x e x =+-在(,)-∞+∞上为0(0)320f e =-=-<1()102f => 1()204f =<11()()024f f <Q g ， ∴函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为1(4，1)2故选A ． 6．（2010•浙江）已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点．若10(1,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞，则( )A ．1()0f x <，2()0f x <B ．1()0f x <，2()0f x >C ．1()0f x >，2()0f x <D ．1()0f x >，2()0f x >【答案】B【解析】0x Q 是函数1()21x f x x=+-的一个零点0()0f x ∴= 1()21x f x x=+-Q 是单调递增函数，且10(1,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞， 102()()0()f x f x f x ∴<=<7．（2019•新课标Ⅲ）函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数， 即：2sin sin20x x -=在区间[0，2]π的根个数，即2sin sin2x x =，令左右为新函数()h x 和()g x ，()2sin h x x =和()sin 2g x x =，作图求两函数在区间[0，2]π的图象可知： ()2sin h x x =和()sin 2g x x =，在区间[0，2]π的图象的交点个数为3个．8．（2015•天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩…，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( ) A ．7(4，)+∞B ．7(,)4-∞C ．7(0,)4D ．7(4，2)【答案】D【解析】()(2)g x b f x =--Q ，()()()(2)y f x g x f x b f x ∴=-=-+-， 由()(2)0f x b f x -+-=，得()(2)f x f x b +-=， 设()()(2)h x f x f x =+-，若0x …，则0x -…，22x -…， 则2()()(2)2h x f x f x x x =+-=++， 若02x 剟，则20x --剟，022x -剟，则()()(2)22|2|2222h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+-+=，若2x >，2x -<-，20x -<，则22()()(2)(2)2|2|58h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+．即222,0()2,0258,2x x x h x x x x x ⎧++⎪=<⎨⎪-+>⎩……，作出函数()h x 的图象如图：当0x …时，22177()2()244h x x x x =++=++…，当2x >时，22577()58()244h x x x x =-+=-+…，故当74b =时，()h x b =，有两个交点， 当2b =时，()h x b =，有无数个交点，由图象知要使函数()()y f x g x =-恰有4个零点， 即()h x b =恰有4个根，则满足724b <<，故选：D ．9．（2012•山东）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是( ) A ．120x x +>，120y y +> B ．120x x +>，120y y +<C ．120x x +<，120y y +>D ．120x x +<，120y y +<【答案】B【解析】设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点1x ，2x ．由()0F x '=得0x =或23x b =．这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =，因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得3322b =．不妨设12x x <，则32223x b ==．所以231()()(2)F x x x x =--，比较系数得341x -=，故33112112.2022x x =+=>， 由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故选B ． 10．（2019•新课标Ⅱ）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]4B ．(-∞，7]3C ．(-∞，5]2D ．(-∞，8]3【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，(0x ∈Q ，1]时，1()(1)[4f x x x =-∈-，0]，(1x ∴∈，2]时，1(0x -∈，1]，1()2(1)2(1)(2)[2f x f x x x =-=--∈-，0]；(2x ∴∈，3]时，1(1x -∈，2]，()2(1)4(2)(3)[1f x f x x x =-=--∈-，0]， 当(2x ∈，3]时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =，若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -…，则73m …．故选：B ．11．（2019•浙江）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩g …若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b < B ．1a <-，0b > C ．1a >-，0b < D ．1a >-，0b >【答案】C【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-； ()y f x ax b =--最多一个零点；当0x …时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x '=-+，当10a +…，即1a -…时，0y '…，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如右图：∴01b a<-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 31(1)06a b ∴-+<<，11a -<< 故选C ．12．（2015•湖北）已知符号函数1,00,01,0x sgnx x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则( )A ．[()]sgn g x sgnx =B ．[()]sgn g x sgnx =-C ．[()][()]sgn g x sgn f x =D ．[()][()]sgn g x sgn f x =-【答案】B【解析】由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数1,00,01,0x sgnx x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，不妨令()f x x =，2a =，则()()()g x f x f ax x =-=-，[()]sgn g x sgnx =-．所以A 不正确，B 正确， [()]sgn f x sgnx =，C 不正确；D 正确；对于D ，令()1f x x =+，2a =，则()()()g x f x f ax x =-=-，1,1[()](1)0,11,1x sgn f x sgn x x x >-⎧⎪=+==-⎨⎪-<-⎩；1,0[()]()0,01,0x sgn g x sgn x x x >⎧⎪=-==⎨⎪-<⎩，1,1[()](1)0,11,1x sgn f x sgn x x x ->-⎧⎪-=-+==-⎨⎪<-⎩；所以D 不正确；故选B ．13．（2013•天津）设函数()2x f x e x =+-，2()3g x lnx x =+-．若实数a ，b 满足f （a ）0=，g （b ）0=，则( )A ．g （a ）0f <<（b ）B ．f （b ）0g <<（a ）C ．0g <（a ）f<（b ） D ．f （b ）g <（a ）0<【答案】A【解析】①由于x y e =及2y x =-关于x 是单调递增函数，∴函数()2x f x e x =+-在R 上单调递增，分别作出x y e =，2y x =-的图象，(0)1020f =+-<Q ，f （1）10e =->，f （a ）0=，01a ∴<<．同理2()3g x lnx x =+-在R +上单调递增，g （1）11320ln =+-=-<，21(3)3(3)3302g ln ln =+-=>，g （b ）0=，∴13b <<．g ∴（a ）23lna a g =+-<（1）11320ln =+-=-<，f （b ）2b e b f =+->（1）1210e e =+-=->．g ∴（a ）0f <<（b ）．故选A ．14．（2012•山东）设函数1()f x x=，2()(g x ax bx a =+，b R ∈，0)a ≠若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是A ．当0a <时，120x x +<，120y y +>B ．当0a <时，120x x +>，120y y +<C ．当0a >时，120x x +<，120y y +<D ．当0a >时，120x x +>，120y y +>【答案】B【解析】当0a <时，作出两个函数的图象，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点， 必然是如图的情况，因为函数1()f x x=是奇函数，所以A 与A '关于原点对称，显然210x x >->，即120x x +>，12y y ->，即120y y +<， 同理，当0a >时，有当0a >时，120x x +<，120y y +>15．（2011•新课标）函数11y x=-的图象与函数2sin y x π=，(24)x -剟的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．8 B ．6 C ．4 D ．2【答案】A 【解析】函数111y x=-，22sin y x π=的图象有公共的对称中心(1,0)， 作出两个函数的图象，如图，当14x <…时，10y < 而函数2y 在(1,4)上出现1.5个周期的图象，在3(1,)2和5(2，7)2上是减函数；在3(2，5)2和7(2，4)上是增函数．∴函数1y 在(1,4)上函数值为负数，且与2y 的图象有四个交点E 、F 、G 、H相应地，1y 在(2,1)-上函数值为正数，且与2y 的图象有四个交点A 、B 、C 、D 且：2A H B G C F D E x x x x x x x x +=+=+=+=，故所求的横坐标之和为8．故选A ．16．（2011•天津）对实数a 与b ，定义新运算“⊗”： ,1,1a a b a b b a b -⎧=⎨->⎩⊗…．设函数22()(2)()f x x x x =--⊗，x R ∈．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．3(,2](1,)2-∞--UB ．3(,2](1,)4-∞---UC ．11(,)(,)44-∞+∞UD ．31(1,)[,)44--+∞U【答案】B【解析】Q ,1, 1.a a b a b b a b -⎧=⎨->⎩⊗…，∴函数()()()222232,1223,12x x f x x x x x x x x⎧--⎪⎪=-⊗-=⎨⎪--⎪⎩或剟，由图可知，当3(,2](1,)4c ∈-∞---U函数()f x 与y c =的图象有两个公共点，c ∴的取值范围是3(,2](1,)4-∞---U ，故选：B ．17．（2010•福建）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()(h x kx b k =+，b 为常数）对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x m h x g x m <-<⎧⎨<-<⎩，则称直线:l y kx b=+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐进线”．给出定义域均为{|1}D x x =>的四组函数如下：①2()f x x =，()g x x =()102xf x -=+，23()xg x x -=③21()x f x x +=，1()xlnx g x lnx+=④22()1x f x x =+，()2(1)x g x x e -=-- 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是( ) A ．①④ B ．②③ C ．②④ D ．③④【答案】C【解析】()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0f x g x -→． 对于①2()f x x =，()g x x =，当1x >时便不符合，所以①不存在； 对于②()102x f x -=+，23()x g x x-=肯定存在分渐近线，因为当时，()()0f x g x -→； 对于③21()x f x x +=，1()xlnx g x lnx +=，11()()f x g x x lnx-=-，设()x x lnx λ=-，21()0n x xλ=>，且lnx x <，所以当x →∞时x lnx -越来愈大，从而()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0， 所以不存在分渐近线；对于④22 ()1xf xx=+，()2(1)xg x x e-=--，当x→+∞时，22()()2011xf xg xex--=++→+，因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C二．填空题（共10小题）18．（2015•湖南）已知函数()|22|xf x b=--有两个零点，则实数b的取值范围是．【答案】02b<<【解析】由函数()|22|xf x b=--有两个零点，可得|22|x b-=有两个零点，从而可得函数|22|xy=-函数y b=的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b<<时符合条件.19．（2015•湖南）已知函数32,(),x x af xx x a⎧=⎨>⎩…若存在实数b，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a的取值范围是．【答案】{|0a a<或1}a>【解析】()()g x f x b=-Q有两个零点，()f x b∴=有两个零点，即()y f x=与y b=的图象有两个交点，由32x x=可得，0x=或1x=①当1a>时，函数()f x的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故1a>满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a >，故答案为：{|0a a <或1}a >20．（2011•辽宁）已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】(-∞，222]ln -【解析】()2x f x e '=-，可得()0f x '=的根为02x ln =当2x ln <时，()0f x '<，可得函数在区间(,2)ln -∞上为减函数； 当2x ln >时，()0f x '>，可得函数在区间(2,)ln +∞上为增函数，∴函数()y f x =在2x ln =处取得极小值(2)222f ln ln a =-+，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数()y f x =的最小值要小于或等于零，即2220ln a -+…，可得222a ln -…21．（2011•山东）已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠．当234a b <<<<时，函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+，*n N ∈，则n = ． 【答案】2【解析】设函数log a y x =，m x b =-+ 根据234a b <<<<， 对于函数log a y x = 在2x =时，一定得到一个值小于1，在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在(2,3)之间，∴函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+时，2n =，故答案为222．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=，则a = 7- ． 【答案】7-【解析】函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=，可得：2log (9)1a +=，可得7a =-．23．（2018•上海）设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是 【答案】1119(,]66ππ【解析】函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程212(1)sin()x x x ax -=+-有两不同根，也就是(1)(2sin 1)0x ax -+=有两不同根， (0,1)x ∈Q ，1sin 2ax ∴=-在(0,1)上有两不同根．0a >Q ，726ax k ππ∴=+或1126ax k ππ=+，k Z ∈． 又(0,1)x ∈Q ，且0a >，0ax a ∴<<，仅有两解时，应有11161916aaππ⎧<⎪⎪⎨⎪⎪⎩…，则111966a ππ<…． a ∴的取值范围是1119(,]66ππ．24．（2015•江苏）已知函数()||f x lnx =，20,01()|4|2,1x g x x x <⎧=⎨-->⎩…，则方程|()()|1f x g x +=实根的个数为 ． 【答案】4【解析】由|()()|1f x g x +=可得()()1g x f x =-±． ()g x 与()()1h x f x =-+的图象如图所示，图象有2个交点()g x 与()()1x f x ϕ=--的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|()()|1f x g x +=实根的个数为4．25．（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数||1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为 ． 【答案】12-【解析】由已知直线2y a =是平行于x 轴的直线，由于y x a =-为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数||1y x a =--的图象是折线，所以直线2y a =过折线顶点时满足题意，所以21a =-，解得12a =-26．（2014•天津）已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈，若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ． 【答案】(0，1)(9⋃，)+∞【解析】由()|1|0y f x a x =--=得()|1|f x a x =-， 作出函数()y f x =，()|1|y g x a x ==-的图象，当0a …，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件， 则0a >，此时(1)1()|1|(1)1a x x g x a x a x x -⎧=-=⎨--<⎩…，第21页（共21页）当30x -<<时，2()3f x x x =--，()(1)g x a x =--，当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时23(1)x x a x --=--，即2(3)0x a x a +-+=， 则由△2(3)40a a =--=，即21090a a -+=，解得1a =或9a =，当9a =时，()9(1)g x x =--，(0)9g =，此时不成立，∴此时1a =，要使两个函数有四个零点，则此时01a <<，若1a >，此时()(1)g x a x =--与()f x ，有两个交点，此时只需要当1x >时，()()f x g x =有两个不同的零点即可，即23(1)x x a x +=-，整理得2(3)0x a x a +-+=，则由△2(3)40a a =-->，即21090a a -+>，解得1a <（舍去）或9a >，综上a 的取值范围是(0，1)(9⋃，)+∞，27．（2014•天津）已知函数2|54|,0()2|2|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩…，若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(1,2)【解析】由()||0y f x a x =-=得()||f x a x =，作出函数()y f x =，||y a x =的图象，当0a …，不满足条件，0a ∴>，当2a …时，此时||y a x =与()f x 有三个 交点，当1a =时，当0x <时，2()54f x x x =---，由2()54f x x x x =---=-得2440x x ++=， 则判别式△16440=-⨯=，即此时直线y x =-与()f x 相切，此时||y a x =与()f x 有五个交点，∴要使函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则12a <<。
【高考数学】函数与方程含知识点试题
【答案】 C
二、双基查验
1．下列图象表示的函数中能用二分法求零点的是
(
)
3
【解析】 A 中函数没有零点，因此不能用二分法求零点；
B 中函数的图象不连续； D 中
函数在 x 轴下方没有图象。故选 C。
【答案】 C
6
2．已知函数 f ( x) ＝ x－ log 2x，在下列区间中，包含 f ( x) 零点的区间是 (
取值范围是 ( )
2 A. 0， 3
23 B. 3， 4
C.
12 ， 33
∪
3 4
D.
12
， 33
∪
3 4
【 解 析 】 要 使 函 数 f ( x) 在 R 上 单 调 递 减 ， 只 需
8
3－ 4a 2 ≥0，
0<a<1， 3a≥1，
1
3
解得 3≤ a≤ 4，因为方程 | f ( x)| ＝ 2－ x 恰有两个不相等的实数解，所以直
若 f (0) ＝－ 2， f ( － 1) ＝ 1，则函
c＝－ 2， 【解析】 依题意得
－ 1－ b＋c＝ 1，
由此解得 b＝－ 4， c＝－ 2。由 g( x) ＝ 0 得 f ( x) ＋x＝ 0，
x>0，
该方程等价于
①
－ 2＋x＝ 0，
x≤0， 或 － x2－ 4x－2＋ x＝ 0。 ②
解①得 x＝ 2，解②得 x＝－ 1 或 x＝－ 2。 因此，函数 g( x) ＝ f ( x) ＋ x 的零点个数为 3。
4
33 解得 k≥ 4 ，
33 所以 k≥ 4 或 k＝ 8。
【答案】
33
，＋∞ 4
∪ {8}
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编(附答案)
历年(2020-2024)全国高考数学真题分类(函数及其基本性质)汇编考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f <D ．(20)10000f <2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ． 3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．4．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．535．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a .考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞B ．[1,0]-C ．[1,1]-D ．[0,)+∞2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =-B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,a f b f c f ===⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ）A ．b c a >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x=-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x x y x -=+D ．||sin 4e x x xy +=2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xax x f x =-是偶函数，则=a （ ）A ．2-B ．1-C ．1D ．25．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1-B ．0C ．12D ．16．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．538．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x x x a f x -=⋅-是偶函数，则=a .10．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x --B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．12．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称参考答案 考点01 直接求函数值1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()(1)(2)f x f x f x >-+-，且当3x <时()f x x =，则下列结论中一定正确的是（ ） A ．(10)100f > B ．(20)1000f > C ．(10)1000f < D ．(20)10000f <【答案】B【答案分析】代入得到(1)1,(2)2==f f ，再利用函数性质和不等式的性质，逐渐递推即可判断. 【答案详解】因为当3x <时()f x x =，所以(1)1,(2)2==f f ， 又因为()(1)(2)f x f x f x >-+-，则(3)(2)(1)3,(4)(3)(2)5f f f f f f >+=>+>，(5)(4)(3)8,(6)(5)(4)13,(7)(6)(5)21f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (8)(7)(6)34,(9)(8)(7)55,(10)(9)(8)89f f f f f f f f f >+>>+>>+>， (11)(10)(9)144,(12)(11)(10)233,(13)(12)(11)377f f f f f f f f f >+>>+>>+> (14)(13)(12)610,(15)(14)(13)987f f f f f f >+>>+>，(16)(15)(14)15971000f f f >+>>，则依次下去可知(20)1000f >，则B 正确；且无证据表明ACD 一定正确. 故选：B.【名师点评】关键点名师点评：本题的关键是利用(1)1,(2)2==f f ，再利用题目所给的函数性质()(1)(2)f x f x f x >-+-，代入函数值再结合不等式同向可加性，不断递推即可.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩则()3f = ．【答案分析】利用分段函数的形式可求()3f .【答案详解】因为()0,1,0x f x x >=≤⎪⎩故()3f =3．（2023∙北京∙高考真题）已知函数2()4log xf x x =+，则12f ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ．【答案】1【答案分析】根据给定条件，把12x =代入，利用指数、对数运算计算作答. 【答案详解】函数2()4log xf x x =+，所以12211()4log 21122f =+=-=.故答案为：14．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.5．（2021∙浙江∙高考真题）已知R a ∈，函数24,2()3,2,x x f x x a x ⎧->⎪=⎨-+≤⎪⎩若3f f ⎡⎤=⎣⎦，则=a . 【答案】2【答案分析】由题意结合函数的答案解析式得到关于a 的方程，解方程可得a 的值.【答案详解】()()642233f f f f a ⎡⎤=-==-+=⎣⎦，故2a =， 故答案为：2.考点02 函数的定义域与值域1．（2022∙北京∙高考真题）函数1()f x x=的定义域是 ． 【答案】()(],00,1-∞⋃【答案分析】根据偶次方根的被开方数非负、分母不为零得到方程组，解得即可；【答案详解】解：因为()1f x x =100x x -≥⎧⎨≠⎩，解得1x ≤且0x ≠， 故函数的定义域为()(],00,1-∞⋃； 故答案为：()(],00,1-∞⋃2．（2020∙山东∙高考真题）函数()1lg f x x=的定义域是（ ） A ．()0,∞+ B ．()()0,11,+∞C ．[)()0,11,+∞UD ．()1,+∞【答案】B【答案分析】根据题意得到0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，再解不等式组即可.【答案详解】由题知：0lg 0x x >⎧⎨≠⎩，解得0x >且1x ≠. 所以函数定义域为()()0,11,+∞ . 故选：B考点03 函数单调性的判断及其应用1．（2024∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数22,0()e ln(1),0x x ax a x f x x x ⎧---<=⎨++≥⎩在R 上单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．(,0]-∞ B ．[1,0]- C ．[1,1]- D ．[0,)+∞【答案】B【答案分析】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可.【答案详解】因为()f x 在R 上单调递增，且0x ≥时，()()e ln 1xf x x =++单调递增，则需满足()02021e ln1aa -⎧-≥⎪⨯-⎨⎪-≤+⎩，解得10a -≤≤， 即a 的范围是[1,0]-. 故选：B.2．（2023∙北京∙高考真题）下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（ ） A ．()ln f x x =- B ．1()2xf x =C ．1()f x x=-D ．|1|()3x f x -=【答案】C【答案分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可. 【答案详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12xf x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误； 对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减， 所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）已知函数()2(1)e x f x --=．记,,222a f b f c f ⎛⎫=== ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．c a b >>【答案】A【答案分析】利用作差法比较自变量的大小，再根据指数函数的单调性及二次函数的性质判断即可. 【答案详解】令2()(1)g x x =--，则()g x 开口向下，对称轴为1x =，4112⎛-= ⎝⎭，而22491670-=+=>，41102⎛-=> ⎝⎭，即1122->-由二次函数性质知g g <，4112⎛-= ⎝⎭，而22481682)0-=+-=-=-<，112<-，所以(2g g >，综上，(2g g g <<， 又e x y =为增函数，故a c b <<，即b c a >>. 故选：A.4．（2023∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）设函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．(],2-∞-B ．[)2,0-C ．(]0,2D ．[)2,+∞【答案】D【答案分析】利用指数型复合函数单调性，判断列式计算作答.【答案详解】函数2x y =在R 上单调递增，而函数()()2x x a f x -=在区间()0,1上单调递减，则有函数22()()24a a y x x a x =-=--在区间()0,1上单调递减，因此12a ≥，解得2a ≥，所以a 的取值范围是[)2,+∞. 故选：D5．（2021∙全国甲卷∙高考真题）下列函数中是增函数的为（ ）A ．()f x x =-B ．()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．()2f x x = D ．()f x 【答案】D【答案分析】根据基本初等函数的性质逐项判断后可得正确的选项. 【答案详解】对于A ，()f x x =-为R 上的减函数，不合题意，舍. 对于B ，()23xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭为R 上的减函数，不合题意，舍.对于C ，()2f x x =在(),0∞-为减函数，不合题意，舍.对于D ，()f x =R 上的增函数，符合题意， 故选：D.6．（2020∙山东∙高考真题）已知函数()f x 的定义域是R ，若对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，则函数()f x 一定是（ ）A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ．减函数【答案】C【答案分析】利用函数单调性定义即可得到答案. 【答案详解】对于任意两个不相等的实数1x ，2x ，总有()()21210f x f x x x ->-成立，等价于对于任意两个不相等的实数12x x <，总有()()12f x f x <. 所以函数()f x 一定是增函数. 故选：C7．（2020∙全国∙高考真题）设函数331()f x x x =-,则()f x （ ） A ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增 B ．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减 C ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增 D ．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减【答案】A【答案分析】根据函数的答案解析式可知函数的定义域为{}0x x ≠，利用定义可得出函数()f x 为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．【答案详解】因为函数()331f x x x =-定义域为{}0x x ≠，其关于原点对称，而()()f x f x -=-， 所以函数()f x 为奇函数． 又因为函数3y x =在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增，而331y x x -==在()0,+?上单调递减，在(),0-?上单调递减，所以函数()331f x x x =-在()0,+?上单调递增，在(),0-?上单调递增．故选：A ．【名师点评】本题主要考查利用函数的答案解析式研究函数的性质，属于基础题．考点04 函数的奇偶性及其应用1．（2024∙天津∙高考真题）下列函数是偶函数的是（ ）A ．22e 1x x y x -=+ B ．22cos 1x x y x +=+C ．e 1x xy x -=+D ．||sin 4e x x xy +=【答案】B【答案分析】根据偶函数的判定方法一一判断即可.【答案详解】对A ，设()22e 1x xf x x -=+，函数定义域为R ，但()112e 1f ---=，()112e f -=，则()()11f f -≠，故A 错误；对B ，设()22cos 1x x g x x +=+，函数定义域为R ， 且()()()()()2222cos cos 11x x x x g x g x x x -+-+-===+-+，则()g x 为偶函数，故B 正确；对C ，设()e 1x xh x x -=+，函数定义域为{}|1x x ≠-，不关于原点对称， 则()h x 不是偶函数，故C 错误； 对D ，设()||sin 4e x x x x ϕ+=，函数定义域为R，因为()sin141e ϕ+=，()sin141e ϕ---=， 则()()11ϕϕ≠-，则()x ϕ不是偶函数，故D 错误. 故选：B.2．（2024∙上海∙高考真题）已知()3f x x a =+，x ∈R ，且()f x 是奇函数，则=a ．【答案】0【答案分析】根据奇函数的性质可求参数a .【答案详解】因为()f x 是奇函数，故()()0f x f x -+=即()330x a x a ++-+=，故0a =， 故答案为：0.3．（2023∙全国甲卷∙高考真题）若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ．【答案】2【答案分析】利用偶函数的性质得到ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而求得2a =，再检验即可得解.【答案详解】因为()()()22π1sin 1cos 2y f x x ax x x ax x ⎛⎫==-+++=-++ ⎪⎝⎭为偶函数，定义域为R ，所以ππ22f f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即22ππππππ222222s 1co 1cos a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=-+ ⎪ -⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭--⎝+⎭，则22πππ2π1212a -⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪⎭⎝⎭= ⎝，故2a =，此时()()2212cos 1cos f x x x x x x =-++=++， 所以()()()()221cos s 1co f x x x x x f x -=-++++-==， 又定义域为R ，故()f x 为偶函数， 所以2a =. 故答案为：2.4．（2023∙全国乙卷∙高考真题）已知e ()e 1xaxx f x =-是偶函数，则=a （ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．2【答案】D【答案分析】根据偶函数的定义运算求解.【答案详解】因为()e e 1x ax x f x =-为偶函数，则()()()()1e e e e 0e 1e 1e 1a x x x x ax ax axx x x f x f x ---⎡⎤--⎣⎦--=-==---， 又因为x 不恒为0，可得()1e e 0a x x --=，即()1e e a x x -=， 则()1x a x =-，即11a =-，解得2a =. 故选：D.5．（2023∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）若()()21ln 21x f x x a x -=++为偶函数，则=a （ ）． A ．1- B ．0C ．12D ．1【答案】B【答案分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出a 值，再检验即可.【答案详解】因为()f x 为偶函数，则 1(1)(1)(1)ln (1)ln 33f f a a =-∴+=-+，，解得0a =， 当0a =时，()21ln21x x x f x -=+，()()21210x x -+>，解得12x >或12x <-，则其定义域为12x x ⎧⎨⎩或12x ⎫<-⎬⎭，关于原点对称.()()()()()()()121212121ln ln ln ln 21212121f x x x x x x x x x f x x x x x ---+⎫-=---⎛==== ⎪-+-++⎝-⎭-， 故此时()f x 为偶函数. 故选：B.6．（2022∙全国乙卷∙高考真题）若()1ln 1f x a b x++-=是奇函数，则=a ，b = ． 【答案】 12-； ln 2．【答案分析】根据奇函数的定义即可求出． 【答案详解】[方法一]：奇函数定义域的对称性 若0a =，则()f x 的定义域为{|1}x x ≠，不关于原点对称0a ∴≠若奇函数的1()||1f x ln a b x =++-有意义，则1x ≠且101a x+≠- 1x ∴≠且11x a≠+，函数()f x 为奇函数，定义域关于原点对称，111a ∴+=-，解得12a =-， 由(0)0f =得，102ln b +=，2b ln ∴=，故答案为：12-；2ln ．[方法二]：函数的奇偶性求参 111()111a ax ax a f x ln a b ln b ln b x x x-+--=++=+=+--- 1()1ax a f x lnb x++-=++函数()f x 为奇函数11()()2011ax a ax a f x f x lnln b x x--++∴+-=++=-+2222(1)201a x a lnb x -+∴+=-22(1)1210112a a a a +∴=⇒+=⇒=- 1222241,22b ln b ln a b ln ln -==-⇒=∴=-=[方法三]：因为函数()1ln 1f x a b x++-=为奇函数，所以其定义域关于原点对称． 由101a x+≠-可得，()()110x a ax -+-≠，所以11a x a +==-，解得：12a =-，即函数的定义域为()()(),11,11,-∞-⋃-⋃+∞，再由()00f =可得，ln 2b =．即()111ln ln 2ln 211x f x x x+=-++=--，在定义域内满足()()f x f x -=-，符合题意． 故答案为：12-；ln 2．7．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-.若1133f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则53f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．53-B ．13-C ．13D ．53【答案】C【答案分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得53f ⎛⎫⎪⎝⎭的值.【答案详解】由题意可得：522213333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而21111133333f f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-==--=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 故5133f ⎛⎫= ⎪⎝⎭.故选：C.【名师点评】关键点名师点评：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键.8．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）写出一个同时具有下列性质①②③的函数():f x ． ①()()()1212f x x f x f x =；②当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；③()f x '是奇函数．【答案】()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）【答案分析】根据幂函数的性质可得所求的()f x .【答案详解】取()4f x x =，则()()()()44421121122x f x f x x x x f x x ===，满足①， ()34f x x '=，0x >时有()0f x ¢>，满足②， ()34f x x '=的定义域为R ，又()()34f x x f x ''-=-=-，故()f x '是奇函数，满足③.故答案为：()4f x x =（答案不唯一，()()2*n x N f n x =∈均满足）9．（2021∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）已知函数()()322x xx a f x -=⋅-是偶函数，则=a .【答案】1【答案分析】利用偶函数的定义可求参数a 的值.【答案详解】因为()()322x x x a f x -=⋅-，故()()322x xf x x a --=-⋅-，因为()f x 为偶函数，故()()f x f x -=，时()()332222x x x x x a x a --⋅-=-⋅-，整理得到()()12+2=0x xa --，故1a =， 故答案为：110．（2021∙全国乙卷∙高考真题）设函数1()1xf x x-=+，则下列函数中为奇函数的是（ ） A ．()11f x -- B ．()11f x -+C ．()11f x +-D ．()11f x ++【答案】B【答案分析】分别求出选项的函数答案解析式，再利用奇函数的定义即可. 【答案详解】由题意可得12()111x f x x x-==-+++， 对于A ，()2112f x x--=-不是奇函数； 对于B ，()211f x x-=+是奇函数； 对于C ，()21122f x x +-=-+，定义域不关于原点对称，不是奇函数； 对于D ，()2112f x x ++=+，定义域不关于原点对称，不是奇函数. 故选：B【名师点评】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.11．（2020∙山东∙高考真题）若定义在R 的奇函数f (x )在(,0)-∞单调递减，且f (2)=0，则满足(10)xf x -≥的x的取值范围是（ ）A ．[)1,1][3,-+∞B ．3,1][,[01]--C ．[1,0][1,)-⋃+∞D ．[1,0][1,3]-⋃【答案】D【答案分析】首先根据函数奇偶性与单调性，得到函数()f x 在相应区间上的符号，再根据两个数的乘积大于等于零，分类转化为对应自变量不等式，最后求并集得结果.【答案详解】因为定义在R 上的奇函数()f x 在(,0)-∞上单调递减，且(2)0f =， 所以()f x 在(0,)+∞上也是单调递减，且(2)0f -=，(0)0f =，所以当(,2)(0,2)x ∈-∞-⋃时，()0f x >，当(2,0)(2,)x ∈-+∞ 时，()0f x <， 所以由(10)xf x -≥可得：0210x x <⎧⎨-≤-≤⎩或0012x x >⎧⎨≤-≤⎩或0x = 解得10x -≤≤或13x ≤≤，所以满足(10)xf x -≥的x 的取值范围是[1,0][1,3]-⋃， 故选：D.【名师点评】本题考查利用函数奇偶性与单调性解抽象函数不等式，考查分类讨论思想方法，属中档题. 12．（2020∙全国∙高考真题）设函数()ln |21|ln |21|f x x x =+--，则f (x )（ ）A ．是偶函数，且在1(,)2+∞单调递增B ．是奇函数，且在11(,)22-单调递减C ．是偶函数，且在1(,)2-∞-单调递增D ．是奇函数，且在1(,2-∞-单调递减【答案】D【答案分析】根据奇偶性的定义可判断出()f x 为奇函数，排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，利用函数单调性的性质可判断出()f x 单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，利用复合函数单调性可判断出()f x 单调递减，从而得到结果.【答案详解】由()ln 21ln 21f x x x =+--得()f x 定义域为12x x ⎧⎫≠±⎨⎬⎩⎭，关于坐标原点对称，又()()ln 12ln 21ln 21ln 21f x x x x x f x -=----=--+=-， ()f x \为定义域上的奇函数，可排除AC ；当11,22x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，()()()ln 21ln 12f x x x =+--，()ln 21y x =+Q 在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，()ln 12y x =-在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，()f x \在11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，排除B ；当1,2x ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭时，()()()212ln 21ln 12ln ln 12121x f x x x x x +⎛⎫=----==+ ⎪--⎝⎭，2121x μ=+- 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，()ln f μμ=在定义域内单调递增，根据复合函数单调性可知：()f x 在1,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭上单调递减，D 正确.故选：D.【名师点评】本题考查函数奇偶性和单调性的判断；判断奇偶性的方法是在定义域关于原点对称的前提下，根据()f x -与()f x 的关系得到结论；判断单调性的关键是能够根据自变量的范围化简函数，根据单调性的性质和复合函数“同增异减”性得到结论.考点05 函数的周期性及其应用1．（2022∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，且()()()(),(1)1f x y f x y f x f y f ++-==，则221()k f k ==∑（ ）A ．3-B ．2-C ．0D ．1【答案】A【答案分析】法一：根据题意赋值即可知函数()f x 的一个周期为6，求出函数一个周期中的()()()1,2,,6f f f 的值，即可解出． 【答案详解】[方法一]：赋值加性质因为()()()()f x y f x y f x f y ++-=，令1,0x y ==可得，()()()2110f f f =，所以()02f =，令0x =可得，()()()2f y f y f y +-=，即()()f y f y =-，所以函数()f x 为偶函数，令1y =得，()()()()()111f x f x f x f f x ++-==，即有()()()21f x f x f x ++=+，从而可知()()21f x f x +=--，()()14f x f x -=--，故()()24f x f x +=-，即()()6f x f x =+，所以函数()f x 的一个周期为6．因为()()()210121f f f =-=-=-，()()()321112f f f =-=--=-，()()()4221f f f =-==-，()()()5111f f f =-==，()()602f f ==，所以一个周期内的()()()1260f f f +++= ．由于22除以6余4， 所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．[方法二]：【最优解】构造特殊函数由()()()()f x y f x y f x f y ++-=，联想到余弦函数和差化积公式()()cos cos 2cos cos x y x y x y ++-=，可设()cos f x a x ω=，则由方法一中()()02,11f f ==知2,cos 1a a ω==，解得1cos 2ω=，取3πω=， 所以()2cos3f x x π=，则()()()()2cos 2cos 4cos cos 333333f x y f x y x y x y x y f x f y ππππππ⎛⎫⎛⎫++-=++-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2cos 3f x xπ=符合条件，因此()f x 的周期263T ππ==，()()02,11f f ==，且()()()()()21,32,41,51,62f f f f f =-=-=-==，所以(1)(2)(3)(4)(5)(6)0f f f f f f +++++=， 由于22除以6余4，所以()()()()()221123411213k f k f f f f ==+++=---=-∑．故选：A ．【整体点评】法一：利用赋值法求出函数的周期，即可解出，是该题的通性通法；法二：作为选择题，利用熟悉的函数使抽象问题具体化，简化推理过程，直接使用具体函数的性质解题，简单明了，是该题的最优解.2．（2021∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）已知函数()f x 的定义域为R ，()2f x +为偶函数，()21f x +为奇函数，则（ ） A ．102f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭B ．()10f -=C ．()20f =D ．()40f =【答案】B【答案分析】推导出函数()f x 是以4为周期的周期函数，由已知条件得出()10f =，结合已知条件可得出结论.【答案详解】因为函数()2f x +为偶函数，则()()22f x f x +=-，可得()()31f x f x +=-， 因为函数()21f x +为奇函数，则()()1221f x f x -=-+，所以，()()11f x f x -=-+， 所以，()()()311f x f x f x +=-+=-，即()()4f x f x =+， 故函数()f x 是以4为周期的周期函数，因为函数()()21F x f x =+为奇函数，则()()010F f ==， 故()()110f f -=-=，其它三个选项未知. 故选：B.3．（2021∙全国甲卷∙高考真题）设函数()f x 的定义域为R ，()1f x +为奇函数，()2f x +为偶函数，当[]1,2x ∈时，2()f x ax b =+．若()()036f f +=，则92f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（ ）A ．94-B ．32-C ．74D ．52【答案】D【答案分析】通过()1f x +是奇函数和()2f x +是偶函数条件，可以确定出函数答案解析式()222f x x =-+，进而利用定义或周期性结论，即可得到答案． 【答案详解】[方法一]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路一：从定义入手．9551222222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 1335112222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=-+=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 511322=2222f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以935222f f⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． [方法二]：因为()1f x +是奇函数，所以()()11f x f x -+=-+①； 因为()2f x +是偶函数，所以()()22f x f x +=-+②．令1x =，由①得：()()()024f f a b =-=-+，由②得：()()31f f a b ==+， 因为()()036f f +=，所以()462a b a b a -+++=⇒=-，令0x =，由①得：()()()11102f f f b =-⇒=⇒=，所以()222f x x =-+．思路二：从周期性入手由两个对称性可知，函数()f x 的周期4T =． 所以91352222f f f⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 故选：D ．【名师点评】在解决函数性质类问题的时候，我们通常可以借助一些二级结论，求出其周期性进而达到简便计算的效果．考点06 函数的对称性及其应用1．（2024∙全国新Ⅱ卷∙高考真题）（多选）设函数32()231f x x ax =-+，则（ ） A ．当1a >时，()f x 有三个零点 B ．当0a <时，0x =是()f x 的极大值点C ．存在a ，b ，使得x b =为曲线()y f x =的对称轴D ．存在a ，使得点()()1,1f 为曲线()y f x =的对称中心【答案】AD【答案分析】A 选项，先答案分析出函数的极值点为0,x x a ==，根据零点存在定理和极值的符号判断出()f x 在(1,0),(0,),(,2)a a a -上各有一个零点；B 选项，根据极值和导函数符号的关系进行答案分析；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，则()(2)f x f b x =-为恒等式，据此计算判断；D 选项，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解.【答案详解】A 选项，2()666()f x x ax x x a '=-=-，由于1a >，故()(),0,x a ∞∞∈-⋃+时()0f x '>，故()f x 在()(),0,,a ∞∞-+上单调递增， (0,)x a ∈时，()0f x '<，()f x 单调递减，则()f x 在0x =处取到极大值，在x a =处取到极小值， 由(0)10=>f ，3()10f a a =-<，则(0)()0f f a <， 根据零点存在定理()f x 在(0,)a 上有一个零点，又(1)130f a -=--<，3(2)410f a a =+>，则(1)(0)0,()(2)0f f f a f a -<<，则()f x 在(1,0),(,2)a a -上各有一个零点，于是1a >时，()f x 有三个零点，A 选项正确； B 选项，()6()f x x x a '=-，a<0时，(,0),()0x a f x '∈<，()f x 单调递减， ,()0x ∈+∞时()0f x '>，()f x 单调递增，此时()f x 在0x =处取到极小值，B 选项错误；C 选项，假设存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，即存在这样的,a b 使得()(2)f x f b x =-， 即32322312(2)3(2)1x ax b x a b x -+=---+，根据二项式定理，等式右边3(2)b x -展开式含有3x 的项为303332C (2)()2b x x -=-，于是等式左右两边3x 的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的,a b ，使得x b =为()f x 的对称轴，C 选项错误； D 选项，方法一：利用对称中心的表达式化简(1)33f a =-，若存在这样的a ，使得(1,33)a -为()f x 的对称中心，则()(2)66f x f x a +-=-，事实上，32322()(2)2312(2)3(2)1(126)(1224)1812f x f x x ax x a x a x a x a +-=-++---+=-+-+-，于是266(126)(1224)1812a a x a x a -=-+-+-即126012240181266a a a a -=⎧⎪-=⎨⎪-=-⎩，解得2a =，即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 方法二：直接利用拐点结论任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点，32()231f x x ax =-+，2()66f x x ax '=-，()126f x x a ''=-，由()02af x x ''=⇔=，于是该三次函数的对称中心为,22a a f ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 由题意(1,(1))f 也是对称中心，故122aa =⇔=， 即存在2a =使得(1,(1))f 是()f x 的对称中心，D 选项正确. 故选：AD【名师点评】结论名师点评：（1）()f x 的对称轴为()(2)x b f x f b x =⇔=-；（2）()f x 关于(,)a b 对称()(2)2f x f a x b ⇔+-=；（3）任何三次函数32()f x ax bx cx d =+++都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是()0f x ''=的解，即,33b b f a a ⎛⎫⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是三次函数的对称中心 2．（2022∙全国新Ⅰ卷∙高考真题）（多选）已知函数()f x 及其导函数()f x '的定义域均为R ，记()()g x f x '=，若322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数，则（ ）A ．(0)0f =B ．102g ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．(1)(4)f f -=D ．(1)(2)g g -=【答案】BC【答案分析】方法一：转化题设条件为函数的对称性，结合原函数与导函数图象的关系，根据函数的性质逐项判断即可得解.【答案详解】[方法一]：对称性和周期性的关系研究对于()f x ，因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭为偶函数，所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭①，所以()()3f x f x -=，所以()f x 关于32x =对称，则(1)(4)f f -=，故C 正确； 对于()g x ，因为(2)g x +为偶函数，(2)(2)g x g x +=-，(4)()g x g x -=，所以()g x 关于2x =对称，由①求导，和()()g x f x '=，得333333222222f x f x f x f x g x g x ''⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫''-=+⇔--=+⇔--=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦，所以()()30g x g x -+=，所以()g x 关于3(,0)2对称，因为其定义域为R ，所以302g ⎛⎫= ⎪⎝⎭，结合()g x 关于2x =对称，从而周期34222T ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭，所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.[方法二]：【最优解】特殊值，构造函数法.由方法一知()g x 周期为2，关于2x =对称，故可设()()cos πg x x =，则()()1sin ππf x x c =+，显然A ，D 错误，选BC.故选：BC.[方法三]： 因为322f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭，(2)g x +均为偶函数， 所以332222f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭即3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(2)(2)g x g x +=-， 所以()()3f x f x -=，(4)()g x g x -=，则(1)(4)f f -=，故C 正确；函数()f x ，()g x 的图象分别关于直线3,22x x ==对称， 又()()g x f x '=，且函数()f x 可导， 所以()()30,32g g x g x ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 所以()(4)()3g x g x g x -==--，所以()(2)(1)g x g x g x +=-+=， 所以13022g g ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()()112g g g -==-，故B 正确，D 错误； 若函数()f x 满足题设条件，则函数()f x C +（C 为常数）也满足题设条件，所以无法确定()f x 的函数值，故A 错误.故选：BC.【点评】方法一：根据题意赋值变换得到函数的性质，即可判断各选项的真假，转化难度较高，是该题的通性通法；方法二：根据题意得出的性质构造特殊函数，再验证选项，简单明了，是该题的最优解．3．（2022∙全国乙卷∙高考真题）已知函数(),()f x g x 的定义域均为R ，且()(2)5,()(4)7f x g x g x f x +-=--=．若()y g x =的图像关于直线2x =对称，(2)4g =，则()221k f k ==∑（ ）A ．21-B ．22-C ．23-D ．24-【答案】D【答案分析】根据对称性和已知条件得到()(2)2f x f x +-=-，从而得到()()()352110f f f +++=- ，()()()462210f f f +++=- ，然后根据条件得到(2)f 的值，再由题意得到()36g =从而得到()1f 的值即可求解.【答案详解】因为()y g x =的图像关于直线2x =对称，所以()()22g x g x -=+，因为()(4)7g x f x --=，所以(2)(2)7g x f x +--=，即(2)7(2)g x f x +=+-，因为()(2)5f x g x +-=，所以()(2)5f x g x ++=，代入得[]()7(2)5f x f x ++-=，即()(2)2f x f x +-=-，所以()()()()35212510f f f +++=-⨯=- ，()()()()46222510f f f +++=-⨯=- .因为()(2)5f x g x +-=，所以(0)(2)5f g +=，即()01f =，所以()(2)203f f =--=-.因为()(4)7g x f x --=，所以(4)()7g x f x +-=，又因为()(2)5f x g x +-=，联立得，()()2412g x g x -++=，所以()y g x =的图像关于点()3,6中心对称，因为函数()g x 的定义域为R ，所以()36g =因为()(2)5f x g x ++=，所以()()1531f g =-=-.所以()()()()()()()()221123521462213101024()k f f f f f f f f f k =+++++++++=----=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=∑ . 故选：D【名师点评】含有对称轴或对称中心的问题往往条件比较隐蔽，考生需要根据已知条件进行恰当的转化，然后得到所需的一些数值或关系式从而解题.4．（2020∙全国∙高考真题）已知函数f (x )=sin x +1sin x ，则（） A ．f (x )的最小值为2B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的图象关于直线x π=对称D ．f (x )的图象关于直线2x π=对称【答案】D【答案分析】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C,D.【答案详解】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x x π≠∴≠∈-=--=-∴Q Q ()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x x ππ-=--≠-=+=Q 故B 错； ()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对故选：D【名师点评】本题考查函数定义域与最值、奇偶性、对称性，考查基本答案分析判断能力，属中档题.。
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历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十一 函数与方程（学生版）一．选择题（共17小题）1．（2014•山东）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞2．（2017•新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则(a = ) A ．12-B ．13C ．12D ．13．（2016•天津）已知函数211()sin sin (0)222x f x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．(0，1]8B ．(0，15][48，1) C ．(0，5]8 D ．(0，11][84，5]84．（2014•北京）已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4,)+∞5．（2011•新课标）在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( )A ．1(4，1)2B ．1(4-，0)C ．1(0,)4D ．1(2，3)46．（2010•浙江）已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点．若10(1,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞，则( )A ．1()0f x <，2()0f x <B ．1()0f x <，2()0f x >C ．1()0f x >，2()0f x <D ．1()0f x >，2()0f x >7．（2019•新课标Ⅲ）函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．58．（2015•天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．7(4，)+∞B ．7(,)4-∞C ．7(0,)4D ．7(4，2)9．（2012•山东）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是( ) A ．120x x +>，120y y +> B ．120x x +>，120y y +< C ．120x x +<，120y y +>D ．120x x +<，120y y +<10．（2019•新课标Ⅱ）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]4B ．(-∞，7]3C ．(-∞，5]2D ．(-∞，8]311．（2019•浙江）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b <B ．1a <-，0b >C ．1a >-，0b <D ．1a >-，0b >12．（2015•湖北）已知符号函数1,0,01,0x sgnx x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则( )A ．[()]sgn g x sgnx =B ．[()]sgn g x sgnx =-C ．[()][()]sgn g x sgn f x =D ．[()][()]sgn g x sgn f x =-13．（2013•天津）设函数()2x f x e x =+-，2()3g x lnx x =+-．若实数a ，b 满足f （a ）0=，g （b ）0=，则( )A ．g （a ）0f <<（b ）B ．f （b ）0g <<（a ）C ．0g <（a ）f <（b ）D ．f （b ）g <（a ）0<14．（2012•山东）设函数1()f x x=，2()(g x ax bx a =+，b R ∈，0)a ≠若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是( )A ．当0a <时，120x x +<，120y y +>B ．当0a <时，120x x +>，120y y +<C ．当0a >时，120x x +<，120y y +<D ．当0a >时，120x x +>，120y y +>15．（2011•新课标）函数11y x=-的图象与函数2sin y x π=，(24)x -的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．8B ．6C ．4D ．216．（2011•天津）对实数a 与b ，定义新运算“⊗”： ,1,1a ab a b b a b -⎧=⎨->⎩⊗．设函数22()(2)()f x x x x =--⊗，x R ∈．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．3(,2](1,)2-∞--B ．3(,2](1,)4-∞---C ．11(,)(,)44-∞+∞ D ．31(1,)[,)44--+∞17．（2010•福建）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()(h x kx b k =+，b 为常数）对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x mh x g x m<-<⎧⎨<-<⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐进线”．给出定义域均为{|1}D x x =>的四组函数如下：①2()f x x =，()g x =②()102xf x -=+，23()xg x x -=③21()x f x x +=，1()xlnx g x lnx+=④22()1x f x x =+，()2(1)x g x x e -=-- 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是( ) A ．①④B ．②③C ．②④D ．③④二．填空题（共10小题）18．（2015•湖南）已知函数()|22|x f x b =--有两个零点，则实数b 的取值范围是 ．19．（2015•湖南）已知函数32,(),x x a f x x x a ⎧=⎨>⎩若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 ．20．（2011•辽宁）已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是 ．21．（2011•山东）已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠．当234a b <<<<时，函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+，*n N ∈，则n = ．22．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=，则a = ． 23．（2018•上海）设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是24．（2015•江苏）已知函数()||f x lnx =，20,01()|4|2,1x g x x x <⎧=⎨-->⎩，则方程|()()|1f x g x +=实根的个数为 ．25．（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数||1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为 ．26．（2014•天津）已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈，若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ．27．（2014•天津）已知函数2|54|,0()2|2|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 ．历年高考数学真题精选（按考点分类）专题十一 函数与方程（教师版）一．选择题（共17小题）1．（2014•山东）已知函数()|2|1f x x =-+，()g x kx =．若方程()()f x g x =有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A ．1(0,)2B ．1(2，1)C ．(1,2)D ．(2,)+∞【答案】B【解析】由题意可得函数()f x 的图象（蓝线）和函数()g x 的图象（红线）有两个交点，如图所示：12OA K =，数形结合可得112k <<.2．（2017•新课标Ⅲ）已知函数211()2()x x f x x x a e e --+=-++有唯一零点，则(a = ) A ．12-B ．13C ．12D ．1【答案】C【解析】因为2112111()2()1(1)()0x x x x f x x x a e e x a e e --+--=-++=-+-++=，所以函数()f x 有唯一零点等价于方程21111(1)()x x x a e e ----=+有唯一解，等价于函数21(1)y x =--的图象与111()x x y a e e --=+的图象只有一个交点．①当0a =时，2()21f x x x =--，此时有两个零点，矛盾； ②当0a <时，由于21(1)y x =--在(,1)-∞上递增、在(1,)+∞上递减， 且111()x x y a e e--=+在(,1)-∞上递增、在(1,)+∞上递减，所以函数21(1)y x =--的图象的最高点为(1,1)A ，111()x x y a e e --=+的图象的最高点为(1,2)B a ，由于201a <<，此时函数21(1)y x =--的图象与111()x x y a e e --=+的图象有两个交点，矛盾； ③当0a >时，由于21(1)y x =--在(,1)-∞上递增、在(1,)+∞上递减， 且111()x x y a e e--=+在(,1)-∞上递减、在(1,)+∞上递增，所以函数21(1)y x =--的图象的最高点为(1,1)A ，111()x x y a e e --=+的图象的最低点为(1,2)B a ，由题可知点A 与点B 重合时满足条件，即21a =，即12a =，符合条件；综上所述，12a =， 方法二：211211()2()(1)()1x x x x f x x x a e e x a e e --+--+=-++=-++-， 令1t x =-，则2()()1t t f t t a e e -=++-为偶函数，图象关于0t =对称， 若()0f t =有唯一零点，则根据偶函数的性质可知(0)120f a =-+=， 所以12a =． 3．（2016•天津）已知函数211()sin sin (0)222x f x x ωωω=+->，x R ∈，若()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，则ω的取值范围是( )A ．(0，1]8B ．(0，15][48，1) C ．(0，5]8D ．(0，11][84，5]8【答案】D【解析】函数2111cos 11()sin sin )2222224xx f x sin x x x ωωπωωω-=+-=+-=-， 由()0f x =，可得sin()04x πω-=，解得4(,2)k x ππππω+=∉，115599115(,)(,)(,)(,)(,)848484848ω∴∉⋯=+∞， ()f x 在区间(,2)ππ内没有零点，115(0,][,]848ω∴∈．故选D ．4．（2014•北京）已知函数26()log f x x x=-，在下列区间中，包含()f x 零点的区间是()A ．(0,1)B ．(1,2)C ．(2,4)D ．(4,)+∞【答案】C 【解析】26()log f x x x=-，f ∴（2）20=>，f （4）102=-<，满足f （2）f （4）0<，()f x ∴在区间(2,4)内必有零点，故选C ．5．（2011•新课标）在下列区间中，函数()43x f x e x =+-的零点所在的区间为( )A ．1(4，1)2B ．1(4-，0)C ．1(0,)4D ．1(2，3)4【答案】A【解析】函数()43x f x e x =+- ()4x f x e ∴'=+ 当0x >时，()40x f x e '=+>∴函数()43xf x e x =+-在(,)-∞+∞上为0(0)320f e =-=-<1()102f > 1()204f =-=<11()()024f f <， ∴函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为1(4，1)2 故选A ． 6．（2010•浙江）已知0x 是函数1()21x f x x=+-的一个零点．若10(1,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞，则( )A ．1()0f x <，2()0f x <B ．1()0f x <，2()0f x >C ．1()0f x >，2()0f x <D ．1()0f x >，2()0f x >【答案】B 【解析】0x 是函数1()21xf x x=+-的一个零点0()0f x ∴= 1()21x f x x=+-是单调递增函数，且10(1,)x x ∈，20(x x ∈，)+∞， 102()()0()f x f x f x ∴<=<7．（2019•新课标Ⅲ）函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B【解析】函数()2sin sin 2f x x x =-在[0，2]π的零点个数， 即：2sin sin20x x -=在区间[0，2]π的根个数， 即2sin sin2x x =，令左右为新函数()h x 和()g x ，()2sin h x x =和()sin 2g x x =，作图求两函数在区间[0，2]π的图象可知： ()2sin h x x =和()sin 2g x x =，在区间[0，2]π的图象的交点个数为3个．8．（2015•天津）已知函数22||,2()(2),2x x f x x x -⎧=⎨->⎩，函数()(2)g x b f x =--，其中b R ∈，若函数()()y f x g x =-恰有4个零点，则b 的取值范围是( )A ．7(4，)+∞B ．7(,)4-∞C ．7(0,)4D ．7(4，2)【答案】D 【解析】()(2)g x b f x =--，()()()(2)y f x g x f x b f x ∴=-=-+-，由()(2)0f x b f x -+-=，得()(2)f x f x b +-=， 设()()(2)h x f x f x =+-，若0x ，则0x -，22x -， 则2()()(2)2h x f x f x x x =+-=++， 若02x ，则20x --，022x -，则()()(2)22|2|2222h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+-+=，若2x >，2x -<-，20x -<，则22()()(2)(2)2|2|58h x f x f x x x x x =+-=-+--=-+． 即222,0()2,0258,2x x x h x x x x x ⎧++⎪=<⎨⎪-+>⎩，作出函数()h x 的图象如图：当0x 时，22177()2()244h x x x x =++=++，当2x >时，22577()58()244h x x x x =-+=-+， 故当74b =时，()h x b =，有两个交点，当2b =时，()h x b =，有无数个交点，由图象知要使函数()()y f x g x =-恰有4个零点， 即()h x b =恰有4个根，则满足724b <<，故选：D ．9．（2012•山东）设函数1()f x x=，2()g x x bx =-+．若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是( ) A ．120x x +>，120y y +> B ．120x x +>，120y y +< C ．120x x +<，120y y +> D ．120x x +<，120y y +<【答案】B【解析】设32()1F x x bx =-+，则方程()0F x =与()()f x g x =同解，故其有且仅有两个不同零点1x ，2x ．由()0F x '=得0x =或23x b =．这样，必须且只须(0)0F =或2()03F b =， 因为(0)1F =，故必有2()03F b =由此得3322b =．不妨设12x x <，则32223x b ==．所以231()()(2)F x x x x =-，比较系数得341x -=，故33112112.2022x x x =+=，由此知12121212110x x y y x x x x ++=+=<，故选B ． 10．（2019•新课标Ⅱ）设函数()f x 的定义域为R ，满足(1)2()f x f x +=，且当(0x ∈，1]时，()(1)f x x x =-．若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -，则m 的取值范围是( ) A ．(-∞，9]4B ．(-∞，7]3C ．(-∞，5]2D ．(-∞，8]3【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=，()2(1)f x f x ∴=-，(0x ∈，1]时，1()(1)[4f x x x =-∈-，0]， (1x ∴∈，2]时，1(0x -∈，1]，1()2(1)2(1)(2)[2f x f x x x =-=--∈-，0]； (2x ∴∈，3]时，1(1x -∈，2]，()2(1)4(2)(3)[1f x f x x x =-=--∈-，0]，当(2x ∈，3]时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =，若对任意(x ∈-∞，]m ，都有8()9f x -，则73m ．故选：B ．11．（2019•浙江）设a ，b R ∈，函数32,0,()11(1),032x x f x x a x ax x <⎧⎪=⎨-++⎪⎩若函数()y f x ax b =--恰有3个零点，则( ) A ．1a <-，0b < B ．1a <-，0b > C ．1a >-，0b < D ．1a >-，0b >【答案】C【解析】当0x <时，()(1)0y f x ax b x ax b a x b =--=--=--=，得1bx a=-； ()y f x ax b =--最多一个零点；当0x 时，32321111()(1)(1)3232y f x ax b x a x ax ax b x a x b =--=-++--=-+-，2(1)y x a x '=-+，当10a +，即1a -时，0y '，()y f x ax b =--在[0，)+∞上递增，()y f x ax b =--最多一个零点．不合题意；当10a +>，即1a >-时，令0y '>得[1x a ∈+，)+∞，函数递增，令0y '<得[0x ∈，1)a +，函数递减；函数最多有2个零点；根据题意函数()y f x ax b =--恰有3个零点⇔函数()y f x ax b =--在(,0)-∞上有一个零点，在[0，)+∞上有2个零点， 如右图：∴01b a<-且3211(1)(1)(1)032b a a a b ->⎧⎪⎨+-++-<⎪⎩，解得0b <，10a ->，31(1)6b a >-+． 31(1)06a b ∴-+<<，11a -<< 故选C ．12．（2015•湖北）已知符号函数1,00,01,0x sgnx x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，则( )A ．[()]sgn g x sgnx =B ．[()]sgn g x sgnx =-C ．[()][()]sgn g x sgn f x =D ．[()][()]sgn g x sgn f x =-【答案】B【解析】由于本题是选择题，可以采用特殊法，符号函数1,00,01,0x sgnx x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，()f x 是R 上的增函数，()()()(1)g x f x f ax a =->，不妨令()f x x =，2a =， 则()()()g x f x f ax x =-=-，[()]sgn g x sgnx =-．所以A 不正确，B 正确，[()]sgn f x sgnx =，C 不正确；D 正确；对于D ，令()1f x x =+，2a =，则()()()g x f x f ax x =-=-，1,1[()](1)0,11,1x sgn f x sgn x x x >-⎧⎪=+==-⎨⎪-<-⎩；1,0[()]()0,01,0x sgn g x sgn x x x >⎧⎪=-==⎨⎪-<⎩，1,1[()](1)0,11,1x sgn f x sgn x x x ->-⎧⎪-=-+==-⎨⎪<-⎩；所以D 不正确；故选B ．13．（2013•天津）设函数()2x f x e x =+-，2()3g x lnx x =+-．若实数a ，b 满足f （a ）0=，g （b ）0=，则( )A ．g （a ）0f <<（b ）B ．f （b ）0g <<（a ）C ．0g <（a ）f <（b ）D ．f （b ）g <（a ）0<【答案】A【解析】①由于x y e =及2y x =-关于x 是单调递增函数，∴函数()2x f x e x =+-在R 上单调递增，分别作出x y e =，2y x =-的图象，(0)1020f =+-<，f （1）10e =->，f（a ）0=，01a ∴<<．同理2()3g x lnx x =+-在R +上单调递增，g （1）11320ln =+-=-<，21(3)3(3)3302g ln ln =+-=>，g （b ）0=，∴13b <<．g ∴（a ）23lna a g =+-<（1）11320ln =+-=-<，f （b ）2b e b f =+->（1）1210e e =+-=->．g ∴（a ）0f <<（b ）．故选A ．14．（2012•山东）设函数1()f x x=，2()(g x ax bx a =+，b R ∈，0)a ≠若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则下列判断正确的是A ．当0a <时，120x x +<，120y y +>B ．当0a <时，120x x +>，120y y +<C ．当0a >时，120x x +<，120y y +<D ．当0a >时，120x x +>，120y y +>【答案】B【解析】当0a <时，作出两个函数的图象，若()y f x =的图象与()y g x =图象有且仅有两个不同的公共点， 必然是如图的情况，因为函数1()f x x=是奇函数，所以A 与A '关于原点对称， 显然210x x >->，即120x x +>，12y y ->，即120y y +<， 同理，当0a >时，有当0a >时，120x x +<，120y y +>15．（2011•新课标）函数11y x=-的图象与函数2sin y x π=，(24)x -的图象所有交点的横坐标之和等于( ) A ．8 B ．6C ．4D ．2【答案】A 【解析】函数111y x=-，22sin y x π=的图象有公共的对称中心(1,0)， 作出两个函数的图象，如图，当14x <时，10y < 而函数2y 在(1,4)上出现1.5个周期的图象，在3(1,)2和5(2，7)2上是减函数；在3(2，5)2和7(2，4)上是增函数．∴函数1y 在(1,4)上函数值为负数，且与2y 的图象有四个交点E 、F 、G 、H相应地，1y 在(2,1)-上函数值为正数，且与2y 的图象有四个交点A 、B 、C 、D且：2A H B G C F D E x x x x x x x x +=+=+=+=，故所求的横坐标之和为8．故选A ．16．（2011•天津）对实数a 与b ，定义新运算“⊗”： ,1,1a a bab b a b -⎧=⎨->⎩⊗．设函数22()(2)()f x x x x =--⊗，x R ∈．若函数()y f x c =-的图象与x 轴恰有两个公共点，则实数c 的取值范围是( ) A ．3(,2](1,)2-∞--B ．3(,2](1,)4-∞---C ．11(,)(,)44-∞+∞ D ．31(1,)[,)44--+∞【答案】B【解析】,1, 1.a a b ab b a b -⎧=⎨->⎩⊗，∴函数()()()222232,1223,12x x f x x x x x x x x⎧--⎪⎪=-⊗-=⎨⎪--⎪⎩或，由图可知，当3(,2](1,)4c ∈-∞---函数()f x 与y c =的图象有两个公共点，c ∴的取值范围是3(,2](1,)4-∞---，故选：B ．17．（2010•福建）对于具有相同定义域D 的函数()f x 和()g x ，若存在函数()(h x kx b k =+，b 为常数）对任给的正数m ，存在相应的0x D ∈使得当x D ∈且0x x >时，总有0()()0()()f x h x mh x g x m <-<⎧⎨<-<⎩，则称直线:l y kx b =+为曲线()y f x =和()y g x =的“分渐进线”．给出定义域均为{|1}D x x =>的四组函数如下：①2()f x x =，()g x x =②()102xf x -=+，23()xg x x -=③21()x f x x +=，1()xlnx g x lnx+=④22()1x f x x =+，()2(1)x g x x e -=-- 其中，曲线()y f x =和()y g x =存在“分渐近线”的是( ) A ．①④ B ．②③C ．②④D ．③④【答案】C【解析】()f x 和()g x 存在分渐近线的充要条件是x →∞时，()()0f x g x -→． 对于①2()f x x =，()g x x =，当1x >时便不符合，所以①不存在；对于②()102x f x -=+，23()x g x x -=肯定存在分渐近线，因为当时，()()0f x g x -→； 对于③21()x f x x +=，1()xlnx g x lnx +=，11()()f x g x x lnx-=-，设()x x lnx λ=-，21()0n x xλ=>，且lnx x <，所以当x →∞时x lnx -越来愈大，从而()()f x g x -会越来越小，不会趋近于0，所以不存在分渐近线；对于④22 ()1xf xx=+，()2(1)xg x x e-=--，当x→+∞时，22()()2011xf xg xex--=++→+，因此存在分渐近线．故，存在分渐近线的是②④选C二．填空题（共10小题）18．（2015•湖南）已知函数()|22|xf x b=--有两个零点，则实数b的取值范围是．【答案】02b<<【解析】由函数()|22|xf x b=--有两个零点，可得|22|x b-=有两个零点，从而可得函数|22|xy=-函数y b=的图象有两个交点，结合函数的图象可得，02b<<时符合条件.19．（2015•湖南）已知函数32,(),x x af xx x a⎧=⎨>⎩若存在实数b，使函数()()g x f x b=-有两个零点，则a的取值范围是．【答案】{|0a a<或1}a>【解析】()()g x f x b=-有两个零点，()f x b∴=有两个零点，即()y f x=与y b=的图象有两个交点，由32x x=可得，0x=或1x=①当1a>时，函数()f x的图象如图所示，此时存在b，满足题意，故1a>满足题意②当1a =时，由于函数()f x 在定义域R 上单调递增，故不符合题意 ③当01a <<时，函数()f x 单调递增，故不符合题意④0a =时，()f x 单调递增，故不符合题意⑤当0a <时，函数()y f x =的图象如图所示，此时存在b 使得，()y f x =与y b =有两个交点综上可得，0a <或1a >，故答案为：{|0a a <或1}a >20．（2011•辽宁）已知函数()2x f x e x a =-+有零点，则a 的取值范围是 ． 【答案】(-∞，222]ln -【解析】()2x f x e '=-，可得()0f x '=的根为02x ln =当2x ln <时，()0f x '<，可得函数在区间(,2)ln -∞上为减函数； 当2x ln >时，()0f x '>，可得函数在区间(2,)ln +∞上为增函数，∴函数()y f x =在2x ln =处取得极小值(2)222f ln ln a =-+，并且这个极小值也是函数的最小值，由题设知函数()y f x =的最小值要小于或等于零，即2220ln a -+，可得222a ln -21．（2011•山东）已知函数()log (0,1)a f x x x b a a =+->≠．当234a b <<<<时，函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+，*n N ∈，则n = ． 【答案】2【解析】设函数log a y x =，m x b =-+ 根据234a b <<<<， 对于函数log a y x = 在2x =时，一定得到一个值小于1，在同一坐标系中划出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在(2,3)之间，∴函数()f x 的零点0(,1)x n n ∈+时，2n =，故答案为222．（2018•新课标Ⅰ）已知函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=，则a = 7- ． 【答案】7-【解析】函数22()log ()f x x a =+，若f （3）1=，可得：2log (9)1a +=，可得7a =-． 23．（2018•上海）设0a >，函数()2(1)sin()f x x x ax =+-，(0,1)x ∈，若函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，则a 的取值范围是【答案】1119(,]66ππ【解析】函数21y x =-与()y f x =的图象有且仅有两个不同的公共点，即方程212(1)sin()x x x ax -=+-有两不同根，也就是(1)(2sin 1)0x ax -+=有两不同根， (0,1)x ∈，1sin 2ax ∴=-在(0,1)上有两不同根．0a >，726ax k ππ∴=+或1126ax k ππ=+，k Z ∈． 又(0,1)x ∈，且0a >，0ax a ∴<<，仅有两解时，应有11161916aaππ⎧<⎪⎪⎨⎪⎪⎩，则111966a ππ<． a ∴的取值范围是1119(,]66ππ．24．（2015•江苏）已知函数()||f x lnx =，20,01()|4|2,1x g x x x <⎧=⎨-->⎩，则方程|()()|1f x g x +=实根的个数为 ． 【答案】4【解析】由|()()|1f x g x +=可得()()1g x f x =-±．()g x 与()()1h x f x =-+的图象如图所示，图象有2个交点()g x 与()()1x f x ϕ=--的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|()()|1f x g x +=实根的个数为4．25．（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数||1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为 ． 【答案】12-【解析】由已知直线2y a =是平行于x 轴的直线，由于y x a =-为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数||1y x a =--的图象是折线，所以直线2y a =过折线顶点时满足题意，所以21a =-，解得12a =-26．（2014•天津）已知函数2()|3|f x x x =+，x R ∈，若方程()|1|0f x a x --=恰有4个互异的实数根，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(0，1)(9⋃，)+∞【解析】由()|1|0y f x a x =--=得()|1|f x a x =-， 作出函数()y f x =，()|1|y g x a x ==-的图象，当0a ，两个函数的图象不可能有4个交点，不满足条件，则0a >，此时(1)1()|1|(1)1a x x g x a x a x x -⎧=-=⎨--<⎩， 当30x -<<时，2()3f x x x =--，()(1)g x a x =--， 当直线和抛物线相切时，有三个零点，此时23(1)x x a x --=--，即2(3)0x a x a +-+=， 则由△2(3)40a a =--=，即21090a a -+=，解得1a =或9a =， 当9a =时，()9(1)g x x =--，(0)9g =，此时不成立，∴此时1a =， 要使两个函数有四个零点，则此时01a <<，若1a >，此时()(1)g x a x =--与()f x ，有两个交点， 此时只需要当1x >时，()()f x g x =有两个不同的零点即可， 即23(1)x x a x +=-，整理得2(3)0x a x a +-+=，则由△2(3)40a a =-->，即21090a a -+>，解得1a <（舍去）或9a >， 综上a 的取值范围是(0，1)(9⋃，)+∞，27．（2014•天津）已知函数2|54|,0()2|2|,0x x x f x x x ⎧++=⎨->⎩，若函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则实数a 的取值范围为 ．【答案】(1,2)【解析】由()||0y f x a x =-=得()||f x a x =， 作出函数()y f x =，||y a x =的图象， 当0a ，不满足条件，0a ∴>，当2a 时，此时||y a x =与()f x 有三个 交点， 当1a =时，当0x <时，2()54f x x x =---，由2()54f x x x x =---=-得2440x x ++=， 则判别式△16440=-⨯=，即此时直线y x =-与()f x 相切， 此时||y a x =与()f x 有五个交点，∴要使函数()||y f x a x =-恰有4个零点，则12a <<。