2020高考数学专题复习-函数与方程专题

函数与方程专题一、高考大纲剖析：高考大纲数学学科的主体内容没有变化，与去年的考纲相比：在能力要求部分比去年增加了对“四能力、一创新”的界定，比如究竟什么是运算能力等，过去的大纲未做过详细表述.考纲指出“运算能力是思维能力和运算技能的结合，运算包括对数字的计算、估值和近似的计算，对式子的组合变形与分解变形，对几何图形各几何量的计算求解等等.运算能力包括分析运算条件、探究运算方向、选择运算公式、确定运算程序等一系列过程中的思维能力，也包括在实施运算过程中遇到障碍而调整运算的能力”. 中心思想是要求考生能够“在运算当中，寻找解题的方法”，加大了对学生运算能力考查的要求.在考试内容部分比去年删减了两处知识点：“能利用计算器解决解三角形的计算问题”，以及“了解多面体的欧拉公式”；在考试要求部分也有不少细微的变动，比如对“三垂线定理及其逆定理”的考查，由“了解”改成了“掌握”，增加了“理解直线的倾斜角的概念”等等.《函数》这一章调整了一个知识点，把“函数的奇偶性”从下一章《三角函数》调了过来；改动了一个知识点，把“函数的应用举例”改成了“函数的应用”；增加了“了解函数的奇偶性的概念，掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法”的考试要求，对函数的意义、性质及综合应用的考查要求有了明显的提高.在试卷结构部分第一次取消了选择题、填空题、解答题三种题型分值比例的限制，删去了容易题、中等题和难题的比例和这三类难度题的界定.而去年明确给出了“选择题40%、填空题10%、解答题50%”、“难度在0．7以上的是容易题，难度在0．4~0．7的试题为中等题，难度在0．4以下的为难题.三种试题的难度的比为3：5：2” ，这一改变为命题者对试卷难度的控制提供了较大的空间.这里还需要留意的是，考纲指出“试卷由容易题、中等题和难题组成，总体难度适当，并以中等题为主”，去掉了去年“以容易题和中档题为主”这句话中“容易题”这3个字，试卷整体难度预计会有所提高.二、高考试题研究：纵观近几年的新课程高考卷以及2004、2003年的江苏卷，函数的主干知识、知识的综合应用以及函数与方程思想等数学思想方法的考查，一直是高考的重点内容之一.在高考试卷上，与函数相关的试题所占比例始终在20%左右，且试题中既有灵活多变的客观性试题，又有一定能力要求的主观性试题.若函数)1的图象过两点abyx=a+,0()(log≠>a(-1，0)和(0，1)，则（A）a=2,b=2 （B）a= 2 ,b=2 （C）a=2,b=1（D ）a = 2 ,b= 2(2003年，江苏卷6)函数),1(,11ln +∞∈-+=x x x y 的反函数为（A ）),0(,11+∞∈+-=x e e y x x （B ）),0(,11+∞∈-+=x e e y x x （C ）)0,(,11-∞∈+-=x e e y x x （D ）)0,(,11-∞∈-+=x e e y x x 设k>1，f(x)=k(x-1)(x ∈R ) . 在平面直角坐标系xOy 中，函数y=f(x)的图象与x 轴交于A 点，它的反函数y=f -1(x)的图象与y 轴交于B 点，并且这两个函数的图象交于P 点. 已知四边形OAPB 的面积是3，则k 等于（A ）3 （B ）32 （C ）43（D ）65已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为41的等差数列，则 |m －n|= （A ）1 （B ）43 （C ）21 （D ）83 二次函数y=ax 2+bx+c(x ∈R )的部分对应值如下表：则不等式ax 2+bx+c>0的解集是_______________________. 设函数,1)(.0,,0,12)(021>⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=-x f x x x x f x 若则x 0的取值范围是 （A ）（－1，1）（B ）（－1，+∞） （C ）（－∞，－2）∪（0，+∞） （D ）（－∞，－1）∪（1，+∞）设函数)(1)(R x xx x f ∈+-=，区间M=[a ，b](a<b)，集合N={M x x f y y ∈=),(}，则使M=N 成立的实数对(a ，b)有（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无数多个)如果函数a bx ax y ++=2的图象与x 轴有两个交点，则点（a ，b ）在a Ob 平面上的区域（不包含边界）为已知函数))((R x x f ∈满足下列条件：对任意的实数x 1，x 2都有 )]()()[()(λ2121221x f x f x x x x --≤- 和2121)()(x x x f x f -≤-，其中λ是大于0的常数.设实数a 0，a ，b 满足 0)(0=a f 和)(λa f a b -=(A)（Ⅰ）证明1λ≤，并且不存在00a b ≠，使得0)(0=b f ；（Ⅱ）证明20220))(λ1()(a a a b --≤-；（Ⅲ）证明222)]()[λ1()]([a f b f -≤.设,0>a 如图，已知直线ax y l =:及曲线C ：2x y =，C 上的点Q 1的横坐标为1a （a a <<10）.从C 上的点Q n （n ≥1）作直线平行于x 轴，交直线l 于点1+n P ，再从点1+n P 作直线平行于y 轴，交曲线C 于点Q n+1.Q n （n=1，2，3，…）的横坐标构成数列{}.n a（Ⅰ）试求n n a a 与1+的关系，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）当21,11≤=a a 时，证明∑=++<-n k k k k a a a121321)(； （Ⅲ）当a =1时，证明∑-++<-n k k k k a a a 121.31)(三、高考命题展望：由于函数在高中数学中具有举足轻重的地位，它仍将是2005年高考的一个热点.对函数试题的设计依然会围绕几个基本初等函数和函数的性质、图像、应用考查函数知识；与方程、不等式、解几等内容相结合，考查函数知识的综合应用；在函数知识考查的同时，加强对函数方程、分类讨论、数形结合、等价转化等数学思想方法的考查.1. 函数的奇偶性. 因为函数的奇偶性蕴涵着对称、变换、化归等丰富的数学知识和方法，今年考纲中新增加了“掌握判断一些简单函数的奇偶性的方法”这一考试要求，故而与函数的奇偶性有关的函数性质综合题应予以足够的关注.例1.设))((R x x f ∈为奇函数，).2()()2(,21)1(f x f x f f +=+=则=)5(f0)(A 1)(B 25)(C 5)(D 例2.已知定义域为),0()0,(+∞⋃-∞的函数)(x f 是偶函数，并且在)0,(-∞上是增函数，若0)3(=-f ，则0)(<x f x 的解集是 )3,0()0,3)((⋃-A )3,0()3,)((⋃--∞B),3()3,)((+∞⋃--∞C ),3()0,3)((+∞⋃-D例3.函数)(x f 的定义域为,R 且)1(+x f 为奇函数，当1<x 时，.12)(2+-=x x x f 则当1>x 时，)(x f 的单调减区间为),45)[(+∞A ]45,1)((B ),47)[(+∞C ]47,1)((D 例4. 已知函数)(x f 是奇函数，当0≥x 时，13)(-=x x f ，设)(x f 的反函数是)(x g y =，则=-)8(g例5.如果函数3)()(a x x f +=对任意实数t ，都有)1()1(t f t f --=+，则=-+)2()2(f f2.复合函数. 函数试题的设计始终围绕着几个基本初等函数，并通过这几个函数之间的串联、组合成为复合函数，达到对函数知识、方法和思想的深刻考查.因而对复合函数类问题，要掌握换元、分解、整体代入等方法，找到其母函数，从而化归为基本初等函数问题加以解决.例6.若1()3912x x f x +=+-，要使1()f a -有意义，实数a 的取值范围是()A 57[,)4-+∞ ()B 57[,12)4- ()C (6,)-+∞ ()D (12,)-+∞ 例7.若函数)(x f y =的图象可由函数)1lg(+=x y 的图象绕坐标原点O 逆时针旋转2π得到,则=)(x f ()A 110--x ()B 110-x ()C x --101 ()D x 101-例8.已知1()f x x +=，a 、b 为两个不相等的正实数，则下列不等式正确的是 (A)2()()2a b ab f f f a b +>>+ (B)2()()2a b ab f f f a b +>>+ (C)2())()ab f f f ab a b >>+2()2ab a b f a b +>+((()2a b f f f ab +>> (D)2()()2ab a b f f f a b +>>+ 例9.已知⎩⎨⎧≥<-=,0,1,0,1)(x x x f 则不等式)2()2(+⋅++x f x x ≤5的解集是 .例10.已知函数()f x x x bx c =++，有下列命题：①0,0b c =>时，()0f x =只有一个实数根②0c =时，()y f x =是奇函数③()y f x =的图象关于点(0,)c 对称④方程()0f x =至多有3个实数根，则正确的命题的序号为3.抽象函数.抽象函数问题是近几年高考中函数类问题的一个新的热点，由于具体函数与抽象函数之间是特殊化与一般化的关系，因而抽象函数问题的解决方法更加灵活多样，既可以采用特殊化方法，又可以回归函数的各种性质，有利于考查学生的抽象思维能力，故而应引起我们的高度重视.例11.已知)(,11)11(22x f x x x x f 则+-=+-的解析式可取为（A ）21x x + （B ）212x x +- （C ）212x x + （D ）21xx +- 例12. 若)(x f 和g(x)都是定义在实数集R 上的函数，且方程0)]([=-x g f x 有实数解，则)]([x f g 不可能．．．是 （A ）512-+x x （B ）512++x x （C ）512-x （D ）512+x 例13.给出四个函数，分别满足：①)()()(y f x f y x f +=+ ②)()()(y g x g y x g ⋅=+③)()()(y x y x ϕϕϕ+=⋅ ④ )()()(y x y x ψψψ⋅=⋅又给出四个函数的图像，则正确的匹配方案是（A ）①-a ②-b③-c ④-d（B ）①-b②-c ③-a ④-d（C ）①-c ②-a ③-b ④-d（D ）①-d ②-a ③-b ④-c例14.已知()f x 的定义域为R ,若1()y f x a -=+与()y f x a =+互为反函数且()f a a = (a 为非零常数),则(2)f a =例15. 函数()y f x =的定义域为R ，对于任意实数α、β，有： ()()2()()22f f f f αβαβαβ+-+=且1(),()0322f f ππ== （1）求证：()()()f x f x f x π-==--（2）若02x π≤<，()0f x >，证明：()f x 在[]0,π递减4.数学思想.数学思想能从整体上深层次认识数学的实质，对数学知识、数学方法的运用起到导向作用.对数学思想的教学在新授课和第一轮复习中通常处在“隐含、渗透”阶段，在第二轮复习中就应提升到“介绍、运用”阶段，应更加明确，更加系统，这是一个从模糊到清晰的质的飞跃。