数理统计的基本概念

1 Fn x X 1 , n
则称这个函数为随机变量（或总体）X 的经验分布函数.
相应地称函数
1 Fn x x1 , n
, xn中小于或等于 x 的个数,
x
为经验分布函数的观测值. 例11 有这样一组样本观测值（5,3,7,5,4）, 试写出经验分布
xi n , xn , p p 1 p i 1 n
xi 1,2,
, i 1,2,
,n
§1.3
设
经验分布函数
X1 , X 2 ,
, X n 是取自总体 X 的一个样本, x1, , xn
, X n中小于或等于 x 的个数,
x
是样本观测值, 定义函数
任意的 0 , 有
X1 , X 2 ,
, X n 是取自总体 X 的一个样本,
lim P Fn x F x 0
n


x
证明主要步骤:
⑴对任意实数 x , , 设
1, Yi 0,
X i x, X i x.
则样本 X1 , X 2 ,
, X n 的联合密度函数为:
,Xn
X ~ f x, θ ,
, xn
f * x1, x2 ,
, xn , θ ˆ f X1 , X 2
x1, x2 ,
f xn , θ
f X1 ( x1 ) f X 2 ( x2 )
f X n ( xn )
f x1 , θ f x2 , θ
f xi , θ
i 1
n
X ~ R 0, θ , X 1, X 2 , , X n 为取自该总体 的一个样本, 求样本 X 1 , X 2 , , X n 的联合密度函数.
例7 设总体 解 因总体
X ~ R 0, θ , 因此相应的密度函数为
分布中的某些量, 例如总体 观测值称为样本观测值.
X 的均值、方差、中位数等.
这些抽取的个体便称为取自总体的一个样本, 这些个体的
在试验前, 样本的观测值是不确定的, 为了体现随机性, 在 数理统计中把样本记作 X1 , X 2 ,
, X n . 事实上是一个 n 维
随机变量. 通过试验或观测得到的数值称为样本观测值, 记作
e

, xn , f xi , P X i xi
i 1
n
n
n
i 1
n
x
1
x1 !
e

x
xn !
e
n

xi
i 1
x1 ! x2 !
,
xn !
, n.
xi 0,1,2,
i 1,2,
设总体 X 为连续型随机变量, 密度函数为
一个样本, 试写出样本 X1 , X 2 ,
, X n 的联合概率函数.
n
, X n 是来自该总体的
解
f
*
x1, x2 ,
n
, xn , p f xi , p
i 1 xi n i 1
P X i xi p
i 1
1 p
1 xi
数理统计主要研究如何以有效的方法收集、整理与
分析带有随机性影响的数据, 从而对所考察的问题作
出推断和预测, 为采取某种决策提供依据和建议.
本章要点
一、直方图 二、总体与样本 三、经验分布函数 四、统计量 五、三大常用分布 六、抽样分布
§1.1
一、直方图的做法: 例1.1
直方图
直方图近似描绘了连续型随机变量的概率密度函数.
简单随机样本
从总体中抽取样本的方法有很多种, 主要并且常用的就是 所谓的简单随机抽样方法, 即有放回重复独立的抽取, 这样 得到的样本便称之为简单随机样本. 由抽样方式即可知, 简单随机样本具有以下两个特点: 1. 独立性: 随机变量 X1 , X 2 ,
, X n 是相互独立;
2. 代表性: 每个个体 X i 的分布都和总体分布相同;
P X n xn
f X1 x1 , θ f X 2 x2 , θ
f x1 , θ f x2 , θ
f X n xn , θ
f xn , θ
f xi , θ
i 1
n
例5 设总体 X ~ B 1, p , X1 , X 2 ,
例8 设总体
解
因
X ~ N , 2 , 相应的密度函数为
1 f x, , e 2π
2
2 x
2 2
,
x ,
因此, 联合密度函数为
f
*
x , x ,
1 2
1 , xn , , e i 1 2 π
2 n
2 xi
2 2


2π

n
e
i 1
xi
2 2
n
2
2π
n 2 2

e
i 1
2 x i
n
2 2
xi , i 1,2,
, n.
例9
设 X1 , X 2 ,
, X n 是取自总体 X 的一个样本, X
x1 , x2 ,
, xn . 是一组数据或者说是 n 维空间的一个点.
称 n 为样本大小, 或样本容量.
在实际工作中, 我们通常把看到的一堆数据称为样本. 但是
严格来讲: 样本不是数据而是一组随机变量.
数据是抽样完成以后得到的一次观测值, 而数理统计就是 在样本抽样前就某个问题制定“方针政策”.
即
X i ~ f xi , θ , i 1,2,
, n.
故经常有这样的叙述: 设 X1 , X 2 ,
, X n 是取自总体 X
X 1 , , X n 相互独立并且都服从 概率密度函数或概率函数为 f x, θ 的分布.
的一个样本, 这句话就表示
问题: 如何求样本的联合概率密度函数或概率函数?
0 x θ,
其余.
1 , f x, θ θ 0, 因此, 联合密度函数为
f
*
x1, x2 ,
1 n, , xn , θ θ 0,
0 xi θ, i 1, 2,
其余.
n,
X ~ N , 2 , X1 , X 2 , , X n 为取自该 总体的一个样本, 求 X 1 , X 2 , , X n 的联合密度函数.
函数的观测值.
解⑴
由定义
（5,3,7,5,4）
1 F5 x x1 , 5
0, 1 , 5 2 , 5 4 5 , 1,
, x5中小于或等于 x 的个数
x 3, 3 x 4, 4 x 5, 5 x 7, x 7.
的密度函数为
2x 2 , 0 x θ, f x, θ θ 其余. 0, 试写出 X1 , X 2 , , X n 的联合密度函数.
解 联合密度函数为
f
*
x1, x2 ,
2n x1 x2 xn , 0 xi θ, i 1, 2, 2n , xn , θ θ 其余. 0,

和方差

2
这两个参数是未知的.
2
诚然, 我们可以逐个测量身高来求得 和
. 但是人太多,
逐个测量很不经济, 而且有一些随机试验是破坏性试验, 如测 试灯泡的寿命, 这种情形下, 逐个检查是不现实的.
所以我们希望从客观存在的总体中按一定原则选取一些个
体、即抽样, 通过对这些个体作观察或测试来推断关于总体
p
xi
i 1
n
1 p
n
xi ,
i 1
n
xi 0,1, i 1,2,
, n.
X ~ P , X1 , X 2 , , X n 为取自该总体的 的一个样本, 求样本 X 1 , X 2 , , X n 的联合概率函数.
例6 设总体
解
f * x1 , x2 ,
第一章 数理统计的基本概念
例
以 X 表示某地区人员的身高, 设 X ~ N
2 , ,
其中 表示平均身高,
2 表示身高的离散程度.
问: 如何设计车门的高度才能满足至少99%的乘客需求?
解
设车门高为 x 米, 则
P X x 0.99,
即:
x
x 0.99.

u0.99 2.326 x 2.326
所以必须已知 和 的值才能算出 x !
例 小儿麻痹症是20世纪五十年代的一种流行病, 对于一种
疫苗的有效性检验, 收集了20万儿童并随机分成两组: 实验
组和对照组. 而试验结果是对照组中有138个儿童受到感染, 而实验组中则有56个受到感染. 试根据这组数据判断疫苗的 有效性. 统计假设检验的结果表明138与56的差异是高度显著的, 因此该疫苗统计有效.
X ~ N ,
2
2

, 写出总体分布 f
2 x
x, , .
2
1 f x, , e ˆ fX x 2π
2 2
, x .
样本
在数理统计中, 总体分布往往是未知的, 有时虽然总体分布 的类型已知, 但分布中含有未知参数, 如引例中虽然知道人群 中每个成员的身高是服从正态分布的, 但是均值