初升高衔接—解不等式 2014.9.06
2014年最全的初高中数学衔接教材
第一讲 数与式1.1 数与式的运算1.１.1．绝对值绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪==⎨⎪-<⎩绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离．练 习1．填空：（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________.2．选择题：下列叙述正确的是 （ ）（A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =±3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．. 乘法公式我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-；（2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+．我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+；（2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-；（3）三数和平方公式 2222()2()a b c a b c ab bc ac ++=+++++；（4）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++；（5）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-．对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．例1 计算：22(1)(1)(1)(1)x x x x x x +--+++．例2 已知4a b c ++=，4ab bc ac ++=，求222a b c ++的值．练 习1．填空：（1）221111()9423a b b a -=+（ ）； （2）(4m + 22)164(m m =++ )；(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )．2．选择题：（1）若212x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ） （A ）2m （B ）214m （C ）213m （D ）2116m （2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数．二次根式0)a ≥的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式子称为无理式. 例如 32a b ，等是无理式，而21x ++，22x y ++ 1．分母（子）有理化把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，+一般地，与b与b 互为有理化因式．分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分子中的根号的过程在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中要运0,0)a b =≥≥；而对于二次根式的除法，通常先写成分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．2a ==,0,,0.a a a a ≥⎧⎨-<⎩例1 将下列式子化为最简二次根式：（1 （20)a ≥； （30)x <．例2 (3．例3 试比较下列各组数的大小：（1 （2例4 化简：20042005⋅．例 5 化简：（1； （21)x <<．例 6已知x y ==22353x xy y -+的值 ． 练 习1．填空：（1＝__ ___； （2(x =-x 的取值范围是_ _ ___；（3）=__ ___；（4）若x =+=______ __． 2．选择题：=成立的条件是 （ ） （A ）2x ≠ （B ）0x > （C ）2x > （D ）02x << 3．若b =，求a b +的值． 4．比较大小：2－4（填“＞”，或“＜”）．1.1.４．分式1．分式的意义形如A B 的式子，若B 中含有字母，且0B ≠，则称A B 为分式．当M ≠0时，分式A B 具有下列性质： A A M B B M⨯=⨯； A A M B B M ÷=÷． 上述性质被称为分式的基本性质．2．繁分式像ab c d+，2m n p m n p+++这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式． 例1 若54(2)2x A B x x x x +=+++，求常数,A B 的值．解得 2,3A B ==．例2 （1）试证：111(1)1n n n n =-++（其中n 是正整数）；（2）计算：1111223910+++⨯⨯⨯； （3）证明：对任意大于1的正整数n ， 有11112334(1)2n n +++<⨯⨯+． 例3 设c e a =，且e ＞1，2c 2－5ac ＋2a 2＝0，求e 的值． 练 习1．填空题：对任意的正整数n ，1(2)n n =+ (112n n -+)； 2．选择题： 若223x y x y -=+，则x y＝ （ ） （A ）１ （B ）54 （C ）45 （D ）653．正数,x y 满足222x y xy -=，求x y x y-+的值． 4．计算1111 (12233499100)++++⨯⨯⨯⨯． 习题1．1 1．解不等式：(1) 13x ->； (2) 327x x ++-< ；(3) 116x x -++>．２．已知1x y +=，求333x y xy ++的值．3．填空：（1）1819(2(2＝________；（22=，则a 的取值范围是________；（3=________． 1．2 分解因式因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．1．十字相乘法例1 分解因式：（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12；（3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-．解：（1）如图1．2－1，将二次项x 2分解成图中的两个x 的积，再将常数项2分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3x ，就是x 2－3x ＋2中的一次项，所以，有x 2－3x ＋2＝(x －1)(x －2)．说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表示（如图1．2－2所示）．（2）由图1．2－3，得x 2＋4x －12＝(x －2)(x ＋6)．（3）由图1．2－4，得22()x a b xy aby -++＝()()x ay x by --（4）1xy x y -+-＝xy ＋(x －y )－1＝(x －1) (y+1) （如图1．2－5所示）．2．提取公因式法与分组分解法例2 分解因式：（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-．（2）222456x xy y x y +--+-=222(4)56x y x y y +--+-=22(4)(2)(3)x y x y y +----=(22)(3)x y x y -++-．或222456x xy y x y +--+-=22(2)(45)6x xy y x y +----=(2)()(45)6x y x y x y -+---=(22)(3)x y x y -++-．3．关于x 的二次三项式ax 2+bx +c (a ≠0)的因式分解．若关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个实数根是1x 、2x ，则二次三项式2(0)ax bx c a ++≠就可分解为12()()a x x x x --. 例3 把下列关于x 的二次多项式分解因式：（1）221x x +-； （2）2244x xy y +-．练 习1．选择题：多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y -2．分解因式：（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-． 习题1．21．分解因式：（1） 31a +； （2）424139x x -+；－1 1 x y 图1．2－5（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．2．在实数范围内因式分解：（1）253x x -+ ； （2）23x --；（3）2234x xy y +-； （4）222(2)7(2)12x x x x ---+．3．ABC ∆三边a ，b ，c 满足222a b c ab bc ca ++=++，试判定ABC ∆的形状．4．分解因式：x 2＋x －(a 2－a )． 第二讲 函数与方程2.1 一元二次方程我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为2224()24b b ac x a a -+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根x 1，2＝2b a-±； （2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2()2b x a+一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根x 1，2 （2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－2b a； （3）当Δ＜0时，方程没有实数根．例1 判定下列关于x 的方程的根的情况（其中a 为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．（1）x 2－3x ＋3＝0； （2）x 2－ax －1＝0；（3） x 2－ax ＋(a －1)＝0； （4）x 2－2x ＋a ＝0．说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着a 的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，需要对a 的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决问题．2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根1x =，2x =， 则有122222b b b b x x a a a a-+---+=+==-；221222(4)444b b ac ac c x x a a a--====． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a -，x 1·x 2＝c a．这一关系也被称为韦达定理．特别地，对于二次项系数为1的一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0，若x 1，x 2是其两根，由韦达定理可知x 1＋x 2＝－p ，x 1·x 2＝q ，即 p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝x 1·x 2，所以，方程x 2＋px ＋q ＝0可化为 x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0，由于x 1，x 2是一元二次方程x 2＋px ＋q ＝0的两根，所以，x 1，x 2也是一元二次方程x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．因此有以两个数x 1，x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是x 2－(x 1＋x 2)x ＋x 1·x 2＝0．例2 已知方程2560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．例3 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值．例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．例5 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根．（1）求| x 1－x 2|的值；（2）求221211x x +的值； （3）x 13＋x 23．例6 若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．练 习1．选择题：（1）方程2230x k -+=的根的情况是 （ ）（A ）有一个实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）有两个相等的实数根 （D ）没有实数根（2）若关于x 的方程mx 2＋ (2m ＋1)x ＋m ＝0有两个不相等的实数根，则实数m 的取值范围是（ ）（A ）m ＜14 （B ）m ＞－14（C ）m ＜14，且m ≠0 （D ）m ＞－14，且m ≠0 2．填空: （1）若方程x 2－3x －1＝0的两根分别是x 1和x 2，则1211x x +＝ ． （2）方程mx 2＋x －2m ＝0（m ≠0）的根的情况是 ．（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．3|1|0b -=，当k 取何值时，方程kx 2＋ax ＋b ＝0有两个不相等的实数根？4．已知方程x 2－3x －1＝0的两根为x 1和x 2，求(x 1－3)( x 2－3)的值．1．选择题:（1）已知关于x 的方程x 2＋kx －2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）（A ）－3 （B ）3 （C ）－2 （D ）2（2）下列四个说法：①方程x 2＋2x －7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；②方程x 2－2x ＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；③方程3 x 2－7＝0的两根之和为0，两根之积为73-； ④方程3 x 2＋2x ＝0的两根之和为－2，两根之积为0．其中正确说法的个数是 （ ）（A ）1个 （B ）2个 （C ）3个 （D ）4个（3）关于x 的一元二次方程ax 2－5x ＋a 2＋a ＝0的一个根是0，则a 的值是（ ）（A ）0 （B ）1 （C ）－1 （D ）0，或－12．填空:（1）方程kx 2＋4x －1＝0的两根之和为－2，则k ＝ ．（2）方程2x 2－x －4＝0的两根为α，β，则α2＋β2＝ ．（3）已知关于x 的方程x 2－ax －3a ＝0的一个根是－2，则它的另一个根是．（4）方程2x 2＋2x －1＝0的两根为x 1和x 2，则| x 1－x 2|＝ ．3．试判定当m 取何值时，关于x 的一元二次方程m 2x 2－(2m ＋1) x ＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x 2－7x －1＝0各根的相反数．2．2 二次函数2.2.1 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象可以由y ＝x 2的图象各点的纵坐标变为原来的a 倍得到．在二次函数y ＝ax 2(a ≠0)中，二次项系数a 决定了图象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．二次函数y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)中，a 决定了二次函数图象的开口大小及方向；h 决定了二次函数图象的左右平移，而且“h 正左移，h 负右移”；k 决定了二次函数图象的上下平移，而且“k 正上移，k 负下移”．由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象的方法：由于y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b x a )＋c ＝a (x 2＋b x a ＋224b a )＋c －24b a 224()24b b ac a x a a-=++， 所以，y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图象可以看作是将函数y ＝ax 2的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)具有下列性质：（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向上；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＝2b a-时，函数取最小值y ＝244ac b a-． （2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为24(,)24b ac b a a--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b a-时，y 随着x 的增大而减小；当x ＝2b a-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．例2 把二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y ＝x 2的图像，求b ，c 的值．例3 已知函数y ＝x 2，－2≤x ≤a ，其中a ≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最小值时所对应的自变量x 的值．练 习1．选择题：（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）（A ）y ＝2x 2 （B ）y ＝2x 2－4x ＋2（C ）y ＝2x 2－1 （D ）y ＝2x 2－4x（2）函数y ＝2(x －1)2＋2是将函数y ＝2x 2 （ ）（A ）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的（B ）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的（C ）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的（D ）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的2．填空题（1）二次函数y ＝2x 2－mx ＋n 图象的顶点坐标为(1，－2)，则m ＝ ，n ＝ ．（2）已知二次函数y ＝x 2+(m －2)x －2m ，当m ＝ 时，函数图象的顶点在y 轴上；当m ＝ 时，函数图象的顶点在x 轴上；当m ＝ 时，函数图象经过原点．（3）函数y ＝－3(x ＋2)2＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x ＝ 时，函数取最 值y ＝ ；当x 时，y 随着x 的增大而减小．3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y 随x 的变化情况，并画出其图象．（1）y ＝x 2－2x －3； （2）y ＝1＋6 x －x 2．4．已知函数y ＝－x 2－2x ＋3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x ≤－2；（2）x ≤2；（3）－2≤x ≤1；（4）0≤x ≤3．2.2.2 二次函数的三种表示方式通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：1．一般式：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；2．顶点式：y ＝a (x ＋h )2＋k (a ≠0)，其中顶点坐标是(－h ，k )．3．交点式：y ＝a (x －x 1) (x －x 2) (a ≠0)，其中x 1，x 2是二次函数图象与x 轴交点的横坐标．例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y ＝x ＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次函数的解析式．例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x 轴的距离等于2，求此二次函数的表达式．例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．练 习1．选择题:（1）函数y ＝－x 2＋x －1图象与x 轴的交点个数是 （ ）（A ）0个 （B ）1个 （C ）2个 （D ）无法确定（2）函数y ＝－12(x ＋1)2＋2的顶点坐标是 （ ） （A ）(1，2) （B ）(1，－2) （C ）(－1，2) （D ）(－1，－2)2．填空：（1）已知二次函数的图象经过与x 轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y ＝a(a ≠0) ．（2）二次函数y ＝－x 2+23x ＋1的函数图象与x 轴两交点之间的距离为 ．3．根据下列条件，求二次函数的解析式．（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；（2）当x ＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；（3）函数图象与x 轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y 轴交于(0，－2)．习题2．21．选择题：（1）把函数y ＝－(x －1)2＋4的图象的顶点坐标是 （ ） （A ）（－1，4） （B ）（－1，－4） （C ）（1，－4） （D ）（1，4）（2）函数y ＝－x 2＋4x ＋6的最值情况是 （ ） （A ）有最大值6 （B ）有最小值6 （C ）有最大值10 （D ）有最大值2（3）函数y ＝2x 2＋4x －5中，当－3≤x ＜2时，则y 值的取值范围是 （ ） （A ）－3≤y ≤1 （B ）－7≤y ≤1 （C ）－7≤y ≤11 （D ）－7≤y ＜11 2．填空：（1）已知某二次函数的图象与x 轴交于A (－2，0)，B (1，0)，且过点C （2，4），则该二次函数的表达式为 ．（2）已知某二次函数的图象过点（－1，0），（0，3），（1，4），则该函数的表达式为 ． 3．把已知二次函数y ＝2x 2＋4x ＋7的图象向下平移3个单位，在向右平移4个单位，求所得图象对应的函数表达式．4．已知某二次函数图象的顶点为A （2，－18），它与x 轴两个交点之间的距离为6，求该二次函数的解析式．2.3 方程与不等式2.3.1 二元二次方程组解法方程22260x xy y x y +++++=是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中2x ,2xy ,2y 叫做这个方程的二次项,x ,y 叫做一次项,6叫做常数项．我们看下面的两个方程组：224310,210;x y x y x y ⎧-++-=⎨--=⎩ 222220,560.x y x xy y ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法． 一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解． 例1 解方程组22440,220.x y x y ⎧+-=⎨--=⎩例2 解方程组7,12.x y xy +=⎧⎨=⎩①② ①②练 习1．下列各组中的值是不是方程组2213,5x y x y ⎧+=⎨+=⎩的解?（1）2,3;x y =⎧⎨=⎩ （2）3,2;x y =⎧⎨=⎩ （3）1,4;x y =⎧⎨=⎩ （4）2,3;x y =-⎧⎨=-⎩2．解下列方程组:（1） 225,625;y x x y =+⎧⎨+=⎩ （2）3,10;x y xy +=⎧⎨=-⎩ （3） 221,543;x y y x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩（4）2222,8.y x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩2.3.2 一元二次不等式解法（1）当Δ＞0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有两个公共点(x 1，0)和(x 2，0)，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个不相等的实数根x 1和x 2(x 1＜x 2)，由图2.3－2①可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为x ＜x 1，或x ＞x 2；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解为x 1＜x ＜x 2．（2）当Δ＝0时，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴有且仅有一个公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0有两个相等的实数根x 1＝x 2＝－b2a，由图2.3－2②可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为x ≠－b2a ；不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解．（3）如果△＜0，抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c （a ＞0）与x 轴没有公共点，方程ax 2＋bx ＋c ＝0没有实数根，由图2.3－2③可知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解为一切实数； 不等式ax 2＋bx ＋c ＜0无解． 例3 解不等式：（1）x 2＋2x －3≤0； （2）x －x 2＋6＜0； （3）4x 2＋4x ＋1≥0； （4）x 2－6x ＋9≤0； （5）－4＋x －x 2＜0．例4已知函数y ＝x 2－2ax ＋1(a 为常数)在－2≤x ≤1上的最小值为n ，试将n 用a 表示出来．练 习1．解下列不等式：（1）3x 2－x －4＞0； （2）x 2－x －12≤0； （3）x 2＋3x －4＞0； （4）16－8x ＋x 2≤0．x 的不等式x 2＋2x ＋1－a 2≤0（a 为常数）．习题2．31．解下列方程组：（1）221,420;x y x y ⎧-=⎪⎨⎪--=⎩（2）22(3)9,20;x y x y ⎧-+=⎨+=⎩（3）22224,2.x y x y ⎧+=⎪⎨-=⎪⎩2．解下列不等式：（1）3x 2－2x ＋1＜0； （2）3x 2－4＜0；（3）2x －x 2≥－1； （4）4－x 2≤0．第三讲 三角形与圆3．1 相似形．平行线分线段成比例定理三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.如图3.1-2，123////l l l ，有AB DE BC EF .当然，也可以得出AB DEAC DF=.在运用该定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例. 例1 如图3.1-2， 123////l l l ， 且2,3,4,ABBCDF求,DE EF .例 2 在ABC 中，,D E 为边,AB AC 上的点，//DE BC ，求证：AD AE DEAB AC BC==. 平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例. 平行于三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例.例3 在ABC 中，AD 为BAC 的平分线，求证：AB BDAC DC.例3的结论也称为角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之比）.练习11．如图3.1-6，123////l l l ，下列比例式正确的是（ ）A ．AD CE DF BC B ．ADBCBE AF C ．CE AD DF BC D.AFBEDF CE2．如图3.1-7，//,//,DE BC EF AB 5,AD cm 3,2,DB cm FC cm 求BF .3．如图，在ABC 中，AD 是角BAC 的平分线，AB =5cm,AC =4cm,BC =7cm,求BD 的长.3.1．2．相似形我们学过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方法可以判定两个直角三角形相似？例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC 中，BAC 为直角，ADBC D 于.求证：（1）2AB BD BC ，2AC CD CB ；（2）2AD BD CD练习21．如图3.1-15，D 是ABC 的边AB 上的一点，过D 点作DE //BC 交AC 于E .已知AD ：DB =2：3，则:ADEBCDE SS 四边形等于（ ）A ．2:3B ．4:9C ．4:5D ．4:213:2，则梯形的上、下底长分别是__________. 3．已知：ABC 的三边长分别是3，4，5，与其相似的'''A B C 的最大边长是15，求'''A B C 的面积'''A B C S.4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点.（1） 请判断四边形EFGH 是什么四边形，试说明理由；（2） 若四边形ABCD 是平行四边形，对角线AC 、BD 满足什么条件时，EFGH 是菱形？是正方形？1．如图3.1-18，ABC 中，AD =DF =FB ，AE =EG =GC ，FG =4，则（ ）A ．DE =1，BC =7B ．DE =2，BC =6 C ．DE =3，BC =5D ．DE =2，BC =82．如图 3.1-19，BD 、CE 是ABC 的中线，P 、Q 分别是BD 、CE的中点，则:PQ BC 等于（ ）A ．1：3B ．1：4C ．1：5D ．1：63．如图3.1-20，ABCD 中，E 是A B 延长线上一点，DE 交BC 于点F ，已知BE ：AB =2：3，4BEFS，求CDFS.4．如图3.1-21，在矩形ABCD 中，E 是CD 的中点，BE AC 交AC 于F ，过F 作FG //AB 交AE 于G ，求证：2AG AF FC .3.2 三角形3．2．1 三角形的“四心”三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1. 已知 D 、E 、F 分别为ABC 三边BC 、CA 、AB 的中点， 求证 AD 、BE 、CF 交于一点，且都被该点分成2：1.三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心. 三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3.2-5）例2 已知ABC 的三边长分别为,,BCa ACb ABc ，I 为ABC 的内心，且I 在ABC 的边BC AC AB 、、上的射影分别为D E F 、、，求证：2bc aAEAF.三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部.（如图3.2-8）例4 求证：三角形的三条高交于一点. 已知ABC 中，,AD BC D BE AC E 于于，AD 与BE 交于H 点.求证 CH AB .过不共线的三点A 、B 、C 有且只有一个圆，该圆是三角形ABC 的外接圆，圆心O 为三角形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.练习11．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2． （1） 若三角形ABC 的面积为S ，且三边长分别为a b c 、、，则三角形的内切圆的半径是___________;（2）若直角三角形的三边长分别为a b c 、、（其中c 为斜边长），则三角形的内切圆的半径是___________. 并请说明理由.练习21．直角三角形的三边长为3，4，x ,则x ________.2．等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________. 3．已知直角三角形的周长为33+，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.A 组1．已知：在ABC 中，AB =AC ，120,o BAC AD ∠=为BC 边上的高，则下列结论中，正确的是（） A ．32AD AB =B ．12AD AB = C ．AD BD = D ．22AD BD = 2．三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为（ ）A ．6B ．4.5C ．2.4D ．83．如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________. 4．已知：,,a b c 是ABC 的三条边，7,10a b ==，那么c 的取值范围是_________。
高中数学初高中衔接教材第七讲不等式
第七讲 不等式现实生活中充满着不相等的数量关系，可以用不等式来处理，在初中学习不等式的基础上，对不等式要有进一步的理解，特别是理解不等式知识的体系，知道在实数范围内研究不等式、不等式的基础公理，在公理基础上研究不等式的基本性质，从而利用它们解不等式和证明不等式，解不等式的过程就是不等式不断等价转化的过程。
在探索各种不等式的解法的过程中，体会不等式、方程和函数之间的内在联系。
在证明不等式的基本性质和简单不等式的过程中，学习和掌握不等式证明的基本思想方法。
有了对不等式的深刻理解，为进一步学习函数和其它数学知识提供必要的基础，也可以应用它们来解决一些简单的实际问题。
从而也理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值。
不等式的基础是在实数范围内0,0,0<-⇔<=-⇔=>-⇔>b a b a b a b a b a b a ，它是研究不等式的公理，由此出发要理解和掌握不等式的八条（初中阶段只有三条）基本性质的来龙去脉。
不等式的基本性质是研究不等式的理论依据，必须深刻理解每一个性质成立的前提条件。
证明一个不等式正确时要找到合理的不等式性质，证明一个不等式错误时只要举出一个反例或用反证法。
解不等式的过程就是利用不等式的有关性质进行不断等价转化和化简，最终得到所含未知数的范围，这也是解各种不等式的基本思想和方法。
初中阶段我们已经学习了一元一次不等式和一元一次不等式组的解法。
高中阶段将进一步学习一元二次不等式和分式不等式等知识。
本讲先介绍一些高中新课标中关于不等式的必备知识。
7.1 一元二次不等式及其解法一、核心要点7.1.1 不等式的基本概念1、不等式：用不等号表示不等关系的式子。
2、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。
3、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成的集合叫做这个不等式的集解。
4、解不等式：求不等式的解集的过程叫做解不等式。
初升高衔接课之方程与不等式
因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0（a＞0）与ax2＋bx＋c＜0
（a＞0）的解．
知识精讲
高中必备知识点2：一元二次不等式的解法
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与
2 x y 1 0;
,,
x y2 20,
2
2
x 5xy 6 y 0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组成的，像这样的方
程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
定一元二次不等式解集的方法即图象法，其本质就是要能利用数形结合的思想方法认识方程的解，不等式的解集
与函数图象上对应点的横坐标的内在联系.
二次函数图象是连接三个“二次”的纽带，是理解和解决问题的关键，要深入理解三者之间的区别及联系，
掌握函数、方程及不等式的思想和方法.一元二次不等式的解题步骤：
①.将含x的式子用y来表示，构建一个一元二次函数；
x轴有两个公共点(x1，0)和(x2，0)，方程ax2＋bx＋c
＝0有两个不相等的实数根x1和x2(x1＜x2)，由图2.3
－2①可知
不等式ax2＋bx＋c＞0的解为
x＜x1，或x＞x2；
不等式ax2＋bx＋c＜0的解为
x1＜x＜x2．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax2＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax2＋bx＋c＝0有两个相等的
②.令这个函数中的y=0，构建一个一元二次方程，求出对应方程的解，即找到图中的关键点——函数的零点；
初升高衔接不等式及不等式组
3.．已知关于x，y的方程组 的解满足x＞y，求p的取值范围．
4.已知方程组 的解满足x＋y＜0，求m的取值范围．
5.适当选择a的取值范围，使1.7＜x＜a的整数解：
(1)x只有一个整数解；
(2)x一个整数解也没有．
6.已知A＝2x2＋3x＋2，B＝2x2－4x－5，试比较A与B的大小．
②不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向________。
③不等式的两边都乘以或除以同一个________，不等号方向相反。
3 分类：① 一元一次不等式：左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是__________的不等式叫_______________。
②一元一次不等式组：a，关于同一个_________的几个一元一次不等式合在一起，就组成_____________。b，一元一次不等式组中各个不等式的解集的_________，叫做这个一元一次不等式组的_________。
变式：关于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是 ，则关于x的不等式ax+b<0的解集为______。
三、利用性质，分类求解
例5．已知不等式 的解集是 ，求a的取值范围。
例7．若不等式组 有解，且每一个解x均不在-1≤x≤4范围内，求a的取值范围。
四、借助数轴，分析求解
例8．已知关于x的不等式组 的整数解共5个，则a的取值范围是________。
A、 B、 C、 D、
5.不等式组 的整数解的个数是（ ）
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
6.方程组 的解x、y满足x＞y，则m的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2024年初升高教材衔接衔接讲义
第1讲初高衔接-计算衔接模块一绝对值知识梳理一、初中知识回顾：1、数轴上，一个数所对应的点与原点的叫做该数的绝对值．2、正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即 .3、负数比较大小，绝对值大的反而．4、绝对值不等式：∣x∣＜a（a＞0）；∣x∣＞a（a＞0）.5、两个数的差的绝对值的几何意义：∣a-b∣表示．二、高中知识对接：1、数轴上两点之间的距离：若M、N是数轴上的两个点，它们表示的数分别为x 1、x2，则M、N之间的距离为MN=2、含有绝对值的方程和函数：（1）含有绝对值的方程要先去掉绝对值符号，再求未知数的值；（2）绝对值函数的定义：y=∣x∣= ，绝对值函数的定义域是，值域是。
题型精练题型一、利用绝对值性质化简：例1、化简：|3x+1|+|2x-1|.例2、解不等式：|x-1|+|x-3|＞4．变式训练：1.解不等式：|x+3|+|x-2|＜7题型二、化简求最值例3、已知0≤a≤4，那么|a-2|+|3-a|的最大值为（）A. 1B. 5C. 8D. 3变式训练：1、已知实数x、y满足|x+7|+|1-x|=19-|y-10|-|1+y|，则x+y的最小值为，最大值为 .秋季延伸探究已知-1＜x＜4，2＜y＜3，则x-y的取值范围是（），3x+2y的取值范围是（）若将条件改为-1＜x+y＜4，2＜x-y＜3，求3x+2y的取值范围题型三、绝对值方程和函数例4、解下列方程：（1）|2x+3|-5=0 （2）4|x-1|-6=0 例5、做出y=|x-2|-1的函数图像。
变式训练：1、画出下列函数的图像：（1）y=-|x+3|+2秋季延伸探究1、求函数y=|x-1|+|x-3|的最小值；2、已知关于x的方程|x-2|+|x-3|=a，试着根据a的取值，讨论该方程解的情况。
模块二乘法公式知识梳理一、初中知识回顾：1、平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab+b22、实际应用中经常将公式进行变形：（1）a2+b2=（a+b）2-2ab （2）a2+b2=（a-b）2+2ab（3）（a+b）2=（a-b）2+4ab （4）（a-b）2=（a+b）2-4ab（5）（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）（6）（a+b）2-（a-b）2=4ab二、高中知识对接：1、立方和公式：（a+b）（a2-ab+b2）=a3+b3；2、立方差公式：（a-b）（a2+ab+b2）=a3-b3；3、三数和平方公式：（a+b+c）2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；4、两数和立方公式：（a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；5、两数差立方公式：（a-b）3=a3-3a2b+3ab2-b3．【公式1】（a+b+c ）2=a 2+b 2+c 2+2ab+2ac+2bc 例1、计算：（x 2-2x+13）2【公式2】（a+b ）（a 2-ab+b 2）=a 3+b 3（立方和公式） 例2、计算：（2a+b ）（4a 2-2ab+b 2）【公式3】（a-b ）（a 2+ab+b 2）=a 3-b 3（立方差公式） 例3、计算：（2x-3）（4x 2+6xy+9）变式训练：1、已知a+b+c=4，ab+bc+ac=4，求a 2+b 2+c 2的值．例4、已知x 2-3x+1=0，求33x1x 的值．1、已知a 、b 是方程x 2-7x+11=0的两个根，求：（1）a 2b+ab 2； （2）a bb a +；（3）a 3+b 3； （4）（a-b ）4.变式训练2：1、已知x （x+1）-（x 2+y ）=-3，求2y x 22+-xy 的值。
初高中数学衔接教学课程讲义----第1节解不等式
初高中衔接课——不等式第一讲 解不等式一、知识清单【一元二次不等式的解法】1、一元二次不等式：把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2、一元二次不等式的一般表达式：①02>++c bx ax ； ②02≥++c bx ax ； ③02<++c bx ax ；④02≤++c bx ax )(0≠a ，其中c b a ,,为常数.3、一元二次不等式的解法：①将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式；②求出相应的一元二次方程的根；③利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集.注意：当0<a 时，可将不等式两边同乘1-转化为上述情况求解.另外，有时题目中会隐含这类问题的条件，如02>++c bx ax 的解为n x m <<，这时必有条件0<a 成立.四、例题分析【例题】解下列不等式：（1）0822>--x x （2）062>+--x x【练习】解下列不等式：（1）022<--x x （2）01322≤+-x x【例题】若10<<a ，则不等式01<--))((ax x a 的解是（ ） A 、a x a 1<< B 、a x a<<1 C 、a x ax <>或1 D 、a x ax ><或1 【练习】已知不等式02<+-b ax x 的解是32<<x ，求b a ,的值.【练习】已知不等式：0682<-+x ax 的解集为}|{b x x x ><或1，求b a ,的值.【练习】已知不等式022<++q px x 的解是12<<-x ，求不等式022>++qx px 的解.【练习】已知,,q p n m <<若00<--<--))(())((n q m q n p m p 且，则q p n m ,,,的大小关系为__________.【分式不等式的解法】先将分式转化为一元二次不等式（组），然后再求解.转化方式：①()()()();00>⇔>x g x f x g x f ②()()()();00<⇔<x g x f x g x f ③()()()()();⎩⎨⎧≠≥⇔≥000x g x g x f x g x f ④()()()()();⎩⎨⎧≠≤⇔≤000x g x g x f x g x f 在解分式不等式时，注意先移项，使右边为零，再分解因式，进而转化求解.【例题】解下列不等式：（1）042>-+xx （2）321≤+-x x （3）034622>++-+x x x x【练习】与不等式023≥--xx 同解的不等式是（ ） A 、023≥--))((x xB 、120≤-<xC 、032≥--x x D 、023≤--))((x x【练习】解下列不等式：（1）231<-x （2）2341>--x x【一元高次不等式的解法】一元高次不等式用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是：①将不等式最高次项的系数化为正数；②将不等式分解为若干个一次因式的积或二次不可分解的因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过数轴，奇次方根既穿又过数轴）；④根据曲线显示出的函数值的符号变化规律（数轴上方为正，下方为负），写出不等式的解集.【例题】解下列不等式：（1）04321>----))()()((x x x x（2）0321>---))()((x x x（3）03212>---))()((x x x【练习】解下列不等式：（1）()032132>---)()(x x x （2）032432≤+---))((x x x x x【练习】解关于x 的不等式：0122>+--))((a x x x .【练习】1、解下列不等式：（1）0342>+-x x （2）05232≥++-x x （3）132+≥+-x x x（4）)()(339->+x x x2、已知关于x 的不等式02<+-m x mx 的解是一切实数，求m 的取值范围.3、解下列不等式：（1）122->+x （2）0112≥-+x x （3）21213<-+x x4、若00>>b a ,，则不等式a xb <<-1等价于（ ） A 、ax x b 1001<<<<-或 B 、b x a 11<<- C 、bx a x 11>-<或 D 、a x bx 11>-<或 5、已知不等式0≥-||x m 的解为11≤≤-x ，求m 的值.初高中衔接课——不等式第一讲 解不等式一、知识清单【一元二次不等式的解法】1、一元二次不等式：把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.2、一元二次不等式的一般表达式：①02>++c bx ax ； ②02≥++c bx ax ； ③02<++c bx ax ；④02≤++c bx ax )(0≠a ，其中c b a ,,为常数.3、一元二次不等式的解法：①将不等式化为右边为零，左边为二次项系数大于零的不等式；②求出相应的一元二次方程的根；③利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集.注意：当0<a 时，可将不等式两边同乘1-转化为上述情况求解.另外，有时题目中会隐含这类问题的条件，如02>++c bx ax 的解为n x m <<，这时必有条件0<a 成立.四、例题分析【例题】解下列不等式：（1）0822>--x x （2）062>+--x x解析：（1）420420822>-<→>-+→>--x x x x x x 或))(( （2）23032060622<<-→<+-→<-+→>+--x x x x x x x ))((【练习】解下列不等式：（1）022<--x x （2）01322≤+-x x解析：（1）21021022<<-→<-+→<--x x x x x ))(( （2）121011201322≤≤→≤--→≤+-x x x x x ))(( 【例题】若10<<a ，则不等式01<--))((ax x a 的解是（ ）B 、a x a 1<< B 、a x a <<1C 、a x a x <>或1D 、a x ax ><或1 解析：0101>--→<--))(())((a x a x a x x aa a a 110<∴<<, ax a x 1><∴或 答案：C 【练习】已知不等式02<+-b ax x 的解是32<<x ，求b a ,的值. 解析：当2=x 时，0222=+-b a ① 当3=x 时，0332=+-b a ② ⎩⎨⎧==⇒⎩⎨⎧65b a ②① 答案：65==b a ,【练习】已知不等式：0682<-+x ax 的解集为}|{b x x x ><或1，求b a ,的值. 解析：由解集取两端可知，不等式一定为一元二次不等式，0<∴a当1=x 时，2068-=∴=-+a a , 06820682068222>+-→<-+-→<-+∴x x x x x ax0310********>--→>+-→>+-))((x x x x x x∴不等式的解集为}|{31><x x x 或，3=∴b答案：32=-=b a ,【练习】已知不等式022<++q px x 的解是12<<-x ，求不等式022>++qx px 的解. 解析：由不等式022<++q px x 的解是12<<-x 得：⎩⎨⎧-==→⎪⎩⎪⎨⎧=+⨯+⨯=+-⨯+-⨯420112022222q p q p q p )()( 所以不等式022>++qx px 可写为02422>+-x x 即10101222≠→>-→>+-x x x x )(答案：11><x x 或【练习】已知,,q p n m <<若00<--<--))(())((n q m q n p m p 且，则q p n m ,,,的大小关系为__________.解析：由0<--))((n p m p 和n m <可得n p m << 由n m n q m q <<--和0))((可得n q m <<又因为q p <结合上面的不等式可得：n q p m <<<答案：n q p m <<<【分式不等式的解法】先将分式转化为一元二次不等式（组），然后再求解.转化方式：①()()()();00>⇔>x g x f x g x f ②()()()();00<⇔<x g x f x g x f③()()()()();⎩⎨⎧≠≥⇔≥000x g x g x f x g x f ④()()()()();⎩⎨⎧≠≤⇔≤000x g x g x f x g x f 在解分式不等式时，注意先移项，使右边为零，再分解因式，进而转化求解.【例题】解下列不等式：（4）042>-+xx （5）321≤+-x x （6）034622>++-+x x x x 解析：（1）42042042042<<-→<-+→>-+→>-+x x x x x xx ))(())(( （2）0254026310321321≤+--→≤+---→≤-+-→≤+-x x x x x x x x x 452245220542020542-≥-<→⎪⎩⎪⎨⎧-≠-≥-≤→⎩⎨⎧-≠≥++→⎩⎨⎧≠+≤--+→x x x x x x x x x x x 或或))(())(( （3）0313*******462222>+++-→>++-+→>++-+))()()(())((x x x x x x x x x x x x 213303122>-<<--<→>++-→x x x x x x 或或))()((答案：（1）42<<-x ；（2）452-≥-<x x 或；（3）2133>-<<--<x x x 或或. 【练习】与不等式023≥--xx 同解的不等式是（ ） E 、023≥--))((x x B 、120≤-<xC 、032≥--x x D 、023≤--))((x x 解析：原题中不等式023≥--x x 等价于： 32232202302023≤<→⎩⎨⎧≠≤≤→⎩⎨⎧≠≤--→⎩⎨⎧≠-≥--x x x x x x x x x ))(())((； A 选项中，没有02≠-x 的限制条件；B 选项中，32120≤<→≤-<x x ，符合题意；C 选项中，032≥--x x 没有限制条件02≠-x 同时多出了限制条件03≠-x ； D 选项中，没有02≠-x 的限制条件.答案：B【练习】解下列不等式：（3）231<-x （4）2341>--x x 解析：（1）0327036210231231<--→<-+-→<--→<-x x x x x x ()()27307230273><→>--→<--→x x x x x x 或))(( （2）04251404212322023412341>--→>-+--→>---→>--)()(x x x x x x x x x 4514014542051442<<→<--→>--→x x x x x ))(())(( 答案：（1）273><x x 或；（2）4514<<x . 【一元高次不等式的解法】一元高次不等式用数轴穿根法（或称根轴法、区间法）求解，其步骤是：①将不等式最高次项的系数化为正数；②将不等式分解为若干个一次因式的积或二次不可分解的因式的积；③将每一个一次因式的根标在数轴上，从右上方依次通过每一点画曲线（注意重根情况，偶次方根穿而不过数轴，奇次方根既穿又过数轴）；④根据曲线显示出的函数值的符号变化规律（数轴上方为正，下方为负），写出不等式的解集.【例题】解下列不等式：（4）04321>----))()()((x x x x（5）0321>---))()((x x x（6）03212>---))()((x x x解析：（1）令04321=----))()()((x x x x ，得43214321====x x x x ,,,标在数轴上，并画出图象，如图：04321>----∴))()()((x x x x 的解为4321><<<x x x 或或（2）03210321<---→>---))()(())()((x x x x x x ，令0321=---))()((x x x ，得：321321===x x x ,,标在数轴上，并画出图象，如图：0321>---∴))()((x x x 的解为321<<<x x 或（3）令03212=---))()((x x x得：321321===x x x ,,，标在数轴上，并画出图象，如图：03212>---∴))()((x x x 的解为3321><<<x x x 或或【练习】解下列不等式：（3）()032132>---)()(x x x （4）032432≤+---))((x x x x x解析：（1）令()032132=---)()(x x x 得：321321===x x x ,,，标在数轴上，并画出图象，如图：()032132>---∴)()(x x x 的解为31><x x 或.（2）()⎩⎨⎧≠+-≤+---→≤+---032032430324322))(()])(([))((x x x x x x x x x x x x x ⎩⎨⎧-≠≠≠≤+--+→32003241x x x x x x x x ,,))(())((令03241=+--+))(())((x x x x x ，得：4201354321===-=-=x x x x x ,,,,标在数轴上，并画出图象，如图：032432≤+---∴))((x x x x x 的解为42013≤<<≤--<x x x 或或. 【练习】解关于x 的不等式：0122>+--))((a x x x .解析：0430122>+-+→>+--))()(())((a x x x a x x x 令043=+-+))()((a x x x ，得：43321=-=-=x x a x ,,分类讨论如下：①33>-<-a a 即时，321x x x <<标在数轴上，并画出图象可知：0122>+--))((a x x x 的解为：43>-<<-x x a 或；②33=-=-a a 即时，321x x x <=标在数轴上，并画出图象可知：0122>+--))((a x x x 的解为：4>x ；③当3443<<-<-<-a a 即时，312x x x <<，标在数轴上，并画出图象可知： 0122>+--))((a x x x 的解为：43>-<<-x a x 或④当44-==-a a 即时，132x x x =<标在数轴上，并画出图象可知： 0122>+--))((a x x x 的解为：443><<-x x 或⑤当44-<>-a a 即时，132x x x <<标在数轴上，并画出图象可知： 0122>+--))((a x x x 的解为：a x x -><<-或43【练习】2、解下列不等式：（5）0342>+-x x （6）05232≥++-x x （7）132+≥+-x x x （8）)()(339->+x x x解析：（1）310310342><→>--→>+-x x x x x x 或))(( （2）3510523052322≤≤-→≤--→≥++-x x x x x （3）()10101213222-=→≤+→≤++→+≥+-x x x x x x x （4）303096939339222-≠→>+→>++→->+→->+x x x x x x x x x x )()()( 答案：（1）31><x x 或（2）351≤≤-x （3）1-=x （4）3-≠x 4、已知关于x 的不等式02<+-m x mx 的解是一切实数，求m 的取值范围.解析：讨论：当0=m 时，不等式变为00>→<-x x ，不符合题意；当0>m 时，函数图象朝上，总会有一部分图象在x 轴的上方，不符合题意；当0<m 时，二次函数开口方向朝下，需保证0<∆，才能符合题意， )(,舍或21210412>-<<-=∆∴m m m 答案：21-<m 5、解下列不等式：（4）122->+x（5）0112≥-+x x （6）21213<-+x x 解析：（1）02402220122122>++→>+++→>++→->+x x x x x x 24024->-<→>++x x x x 或))((（2）12111210101120112>-≤→⎪⎩⎪⎨⎧≠≥-≤→⎩⎨⎧≠-≥-+→≥-+x x x x x x x x x x 或或))(( （3）0123012241302121321213<-+-→<-+-+→<--+→<-+x x x x x x x x x 32101230123><→>--→>--x x x x x x 或))((32101230123><→>--→>--x x x x x x 或))(( 答案：（1）24->-<x x 或；（2）121>-≤x x 或；（3）321><x x 或. 5、若00>>b a ,，则不等式a xb <<-1等价于（ ） B 、a x x b 1001<<<<-或 B 、bx a 11<<- C 、b x a x 11>-<或 D 、a x b x 11>-<或 解析：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->+→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->+→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<->→<<-010********xax x bx a x b x a x b x a x b0001010101>>⎩⎨⎧>->+→⎩⎨⎧<->+→b a ax x bx x ax x bx x ,,)()()()(a xb x a x x x b x 111001>-<→⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧><>-<∴或或或 答案：D6、已知不等式0≥-||x m 的解为11≤≤-x ，求m 的值. 解析：m x m m m x x m ≤≤-→≥≤→≥-)(||||00又因为不等式0≥-||x m 的解为11≤≤-x ，对比可知，1=m 答案：1=m。
初升高衔接课第三次课
第三章：不等式第一节一元二次不等式一、基本定义把一个未知数且最高次数为2的不等式叫一元二次不等式 二、解题模型1、一元二次不等式的几何意义：2、解一元二次不等式的方法步骤一般为：（1）化不等式为：20(0)ax bx c a ++>>或20(0)ax bx c a ++<>的形式； （2）求出方程20ax bx c ++=的解（3）根据“大于――取两边”或“小于――取中间”确定不等式的解三、例题讲解：1、求解一元二次不等式例1、解不等式：223x x >+ 练习：解不等式：223x x +>例2：解不等式：2(2)1x +≥ 练习：解不等式：2(3)9x -≤特例：解不等式：223x x >-2、不等式的解与一元二次方程根的关系例3、已知不等式20ax bx c ++<的解为2x <-或12x >-，求20ax bx c -+>的解练习：已知关于x 不等式20ax bx c ++>的解为1123x -<<-，求20cx bx a ++≥的解第二节 分式不等式 一、基本定义：分式不等式：有分式存在的不等式关系为分式不等式，形如：0A B >或0A B< 二、解题模型：分式不等式的求解思路是将其转化为整式不等式组求解，常见类型有：（1）000A AB B >⎧⎪>⇔⎨⎪>⎩或A B <⎧⎪⎨⎪<⎩即0AB > 例：20(2)(3)03x x x x ->⇔-+>+ （2）000A AB B >⎧⎪<⇔⎨⎪<⎩或A B <⎧⎪⎨⎪>⎩即0AB < 例：20(2)(3)03x x x x -<⇔-+<+ （3）注意：当不等式为“≤”或“≥”时，B 不能为“0” （4）高次不等式：数轴标根法（穿线法）三、例题讲解：1、简单的分式不等式 例1、解不等式：203x x +<- 例2、解不等式：5103x x +≥+练习、解不等式：302x x -≥- 2032xx-≥-2、需化简通分的分式不等式： 例3、解不等式：2113x x ->+ 解不等式：2112x x ->-+3、高次不等式：例4、解不等式：(1)(21)(2)0x x x x +--<练习、解不等式：32(2)(23)(1)(5)0x x x x x -++-<例5、解不等式：2232023x x x x -+≤--练习、解不等式：2223712x x x x +-≥-- 22331xx x ->++第三节 绝对值不等式 一、基本定义：1、绝对值不等式：绝对值符号内含有未知数的不等式叫绝对值的不等式 二、解题模型1、解含绝对值不等式的主要思路是去掉绝对值符号，转化为不含绝对值符号的不等式，而含有多个绝对值符号不等式的可采用零点分区间的方法求解。
初中升高中衔接教材 不等式
衔接教材第四讲——一元二次不等式
——必修五第三章1.对m的取值范围讨论，解关于x的不等式（m-2）x＞1-m
2.对a的取值范围讨论，解关于x的不等式a²x-a＜x+1
3.已知方程（k+1）x=3k-2的解大于1，求k的取值范围
4.对a的取值范围讨论，解关于x的不等式56x²+ax＜a²
5.a取何值时，代数式（a+1）²+2（a-2）-2的值不小于零？
6.已知关于x 的不等式mx ²-x+m ＜0的解集是一切实数，求m 的取值范围
7.已知不等式x ²-ax+b ＜0的解集是2＜x ＜3，求a ，b 的值
8.已知关于x 的不等式kx-2k ≤k+2x 的解集为x ≥1，求k 的取值
9.已知关于x 的不等式
2312k
x k x -++＞的解集为x ＞3，求k 的取值
10.已知关于x 的不等式2x ²+px+q ＜0的解集为-2＜x ＜1，求不等式px ²+qx+2＞0的解集。
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初升高衔接—解不等式 2014.9.06
命题人——王峰
注：本节课主要学习一元二次方程根的判断与解一元二次不等式 一、根的个数
一元二次方程2
0 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：222
4()24b b ac x a a -+= (1) 当2
40b ac ->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实数根：
242b b ac
x a
-±-=
(2) 当2
40b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22b x a
=-
(3) 当2
40b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．
注：由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把2
4b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：2
4b ac ∆=-
[例1] 不解方程，判断下列方程的实数根的个数：
(1) 2
2310x x -+=；
(2) 2
4912y y +=；
(3) 2
5(3)60x x +-=．
说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．
[例2] 已知关于x 的一元二次方程2
320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根；
(2) 方程有两个相等的实数根； (3)方程有实数根；
(4) 方程无实数根．
二、解不等式
求解一元二次方程20 (0)ax bx c a ++>≠不等式，包括,,,>≥<≤等。
解一元二次不等式步骤：
Ⅰ 化成标准式：①最高项系数为正数；②各项系数均为整数
Ⅱ 因式分解：①可用公式法或十字相乘法分解；②根从小到大排列 Ⅲ 下结论：①“,<≤”取两根之间；②“,>≥”取两根之外 Ⅳ 注意：如是求解集，则把结论写成集合形式．
[例3] 求下列一元二次不等式的解：
(1) 2
560x x -+<；
(2) 2
65x x -≥；
(3) 2
120x x -+<； (4) 235120x x +->； (5) 2
75x x +≥；
(6) 2
210x x -->．
[例4] (1) 求2
1()10x a x a
-++<的解？
(2) 不等式2
20mx mx +-<对所有x 都成立，求实数m 的取值？
三、课堂练习 求解下列不等式
(1)2
8120x x -+≥； (2)2
4120x x --<； (3)2
316120x x +-> (4)2
337120x x -+<； (5)2
211120x x ++>； (6)2
3107x x -< (7)2
2650x x -+-<； (8)2
260x x --≥； (9)2
450x x -+<； (10)2
440x x -+->
初升高衔接—解不等式 2014.9.06
命题人——王峰
班级 姓名 学号
一、选择题
1．若2160x -≥，则 ( )
A ．04x ≤≤
B ．40x -≤≤
C ．44x -≤≤
D ．4x ≤-或4x ≥ 2．一元二次方程2(1)210k x x ---=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是 ( ) A ．2k > B ．2k <且1k ≠ C ．2k < D ．2k >且1k ≠ 3．不等式(2)3x x ->的解是 ( )
A ．13x -<<
B ．31x -<<
C ．3x <-或1x >
D ．无解 4．若12,x x 是方程2
2630x x -+=的两个根，则12
11
x x +的值为 ( ) A ．2
B ．2-
C ．0.5
D ．4.5
5．已知菱形ABCD 的边长为5，两条对角线交于O 点，且OA 、OB 的长分别是关于x 的 方程22(21)30x m x m +-++=的根，则m 等于 ( ) A ．3-
B ．5或3-
C ．5
D ．5-或3
6．二次方程20(0)ax bx c a ++=<的两根为2,3-；则不等式2
0ax bx c ++≤的解是 ( ) A ．32x -≤≤ B ．2x ≤或3x ≥- C ．23x -≤≤ D ．3x ≤-或2x ≥ 7．若实数a b ≠，,a b 满足22850,850a a b b -+=-+=，则11
11
b a a b --+=-- ( ) A ．20-
B ．2或20-
C ．2
D ．2或20
*8．不等式
4
22
x x ≤--的解是 ( ) A ．0x ≤或24x <≤ B ．02x ≤<或4x ≥
C ．24x ≤<
D ．2x ≤或4x > 二、填空题
9．把下列不等式的解写在空格上
(1)(1)(12)0x x -->解是 ；(2)2
654x x +<解是__________________； (3)2
310x x -++>解是 ；(4)2
210x x -+≤解是__________________； (5) 2
45x x -<解是 ； (6)2
332010x x -≤解是__________________； (7) 2(23)9x ->解是 ； (8)2
(2)4x -≤解是___________________； (9) 不等式组2
0614x x <--≤的解是_________________________．
10．已知(1)(1)0ax x -->的解是1x <或2x >，则实数a 的值为__________．
11．若二次不等式2
10ax bx --≥的解是2x =，则ab 的值为__________．
*12．设12,x x 是方程20x px q ++=的两实根，121,1x x ++是关于x 的方程 20x q x p ++=的两实根，则p = ______，q = _______． 三、解答题 (需写明解题过程和必要步骤) 13．解关于x 的不等式()a R ∈22
20x ax a --<．
14．关于x 的不等式2
680mx mx m +++≥在R 上恒成立，求m 的取值范围．
15．已知关于x 的一元二次方程2
(41)210x m x m +++-=． (1) 求证：不论m 为任何实数，方程总有两个不相等的实数根； (2) 若方程的两根为12,x x ，且满足121112
x x +=-，求m 的值．
16．已知关于x 的方程2
2
1(1)104
x k x k -++
+=． (1) k 取何值时，方程存在两个正实数根？
(2) 若该方程的两根是一个矩形相邻两边的长，当矩形的对角线长是5时，求k 的值．。