[配套K12]2019届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 课堂达标1 集合 文 新人教版
[配套K12]2019届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语学案 理
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第一章 集合与常用逻辑用语第一节集__合1．集合的相关概念(1)集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． (2)元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为∉. (3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． (4)五个特定的集合：2．集合间的基本关系A B 或 B A∀x ，x ∉∅，∅⊆A ，∅B (B ≠∅)3．集合的基本运算(1)并集的性质：A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆A.(2)交集的性质：A∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆B.(3)补集的性质：A∪(∁U A)＝U；A∩(∁U A)＝∅；∁U(∁U A)＝A；∁U(A∪B)＝(∁U A)∩(∁U B)；∁U(A∩B)＝(∁U A)∪(∁U B)．1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若{x2,1}＝{0,1}，则x＝0,1.( )(2){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( )(3){x|y＝x2＋1}＝{y|y＝x2＋1}＝{(x，y)|y＝x2＋1}．( )(4)任何一个集合都至少有两个子集．( )(5)若A B，则A⊆B且A≠B.( )(6)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)⊆(A∪B)恒成立．( )(7)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( )答案：(1)×(2)√(3)×(4)×(5)√(6)√(7)×2．(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4}，则A∪B＝( )A．{1,2,3,4} B．{1,2,3}C．{2,3,4} D．{1,3,4}解析：选A 由题意得A∪B＝{1,2,3,4}．3．(2017·北京高考)若集合A＝{x|－2<x<1}，B＝{x|x<－1或x>3}，则A∩B＝( ) A．{x|－2<x<－1} B．{x|－2<x<3}C．{x|－1<x<1} D．{x|1<x<3}解析：选A 由集合交集的定义可得A∩B＝{x|－2<x<－1}．4．(2017·北京高考)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＜－2或x＞2}，则∁U A＝( ) A．(－2,2) B．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C．[－2,2] D．(－∞，－2]∪[2，＋∞)解析：选C 由已知可得，集合A的补集∁U A＝[－2,2]．5．已知集合A＝{0,1，x2－5x}，若－4∈A，则实数x的值为________．解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x ＝1或x ＝4. 答案：1或46．已知集合P ＝{2,3,4,5,6}，Q ＝{3,4,5,7}，若M ＝P ∩Q ，则M 的子集个数为________． 解析：由题意可知，M ＝{3,4,5}，故M 的子集个数为23＝8. 答案：8考点一 集合的基本概念基础送分型考点——自主练透 [考什么·怎么考]合中元素的特性特别是集合中元素的互异性，来确定集合元素的个数或求参数值，．(2017·全国卷Ⅲy )|x 2中元素的个数为( )A ．3B ．2C ．1D ．0解析：选B 因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2.2．(2018·南昌模拟)已知集合M ＝{1,2}，N ＝{3,4,5}，P ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈M ，b ∈N }，则集合P 的元素个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选B 因为a ∈M ，b ∈N ，所以a ＝1或2，b ＝3或4或5.当a ＝1时，若b ＝3，则x ＝4；若b ＝4，则x ＝5；若b ＝5，则x ＝6.同理，当a ＝2时，若b ＝3，则x ＝5；若b ＝4，则x ＝6；若b ＝5，则x ＝7，由集合中元素的特性知P ＝{4,5,6,7}，则P 中的元素共有4个．3．若集合A ＝{x ∈R|ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a 等于( ) A.92 B.98 C ．0D ．0或98解析：选D 若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根．当a ＝0时，x ＝23，符合题意．当a ≠0时，由Δ＝(－3)2－8a ＝0，得a ＝98，所以a 的值为0或98.4．设a ，b ∈R ，集合{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，则b －a ＝( )A ．1B ．－1C ．2D ．－2解析：选C 因为{1，a ＋b ，a }＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，b a，b ，所以a ≠0，a ＋b ＝0，则b a＝－1，所以a＝－1，b ＝1.所以b －a ＝2.5．已知集合A ＝{m ＋2,2m 2＋m }，若3∈A ，则m 的值为________．解析：由题意得m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3，则m ＝1或m ＝－32，当m ＝1时，m ＋2＝3且2m2＋m ＝3，根据集合元素的互异性可知不满足题意；当m ＝－32时，m ＋2＝12，而2m 2＋m ＝3，故m ＝－32.答案：－32[怎样快解·准解]1．与集合中的元素有关的解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么，即集合是数集还是点集． (2)看这些元素满足什么限制条件．(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数，但要注意检验集合是否满足元素的互异性．2．常见易错探因第2题，第5题易忽视集合中元素的互异性而导致错误；第3题集合A 中只有一个元素，要分a ＝0与a ≠0两种情况进行讨论，此题易忽视a ＝0的情形．考点二 集合间的基本关系基础送分型考点——自主练透1．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0，x ∈R}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则( ) A ．B ⊆A B ．A ＝B C ．A B D ．B A解析：选C 由x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或x ＝2，∴A ＝{1,2}．由题意知B ＝{1,2,3,4}，比较A ，B 中的元素可知A B ，故选C.2．(2018·烟台调研)已知集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π4＋π4，k ∈Z ，集合N ＝ ⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k π8＋π4，k ∈Z ，则( )A ．M ∩N ＝∅B ．M ⊆NC ．N ⊆MD ．M ∪N ＝M解析：选B 由题意可知，M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k ＋π8－π4， k ∈Z ，＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2n π8－π4，n ∈Z ，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝2k π8－π4或，x ＝k －π8－π4，k ∈Z ，所以M ⊆N ，故选B. 3．(2018·云南第一次检测)设集合A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}，B ＝{x |2x －5>0}，则集合A 与B 的关系是( )A ．B ⊆A B ．B ⊇AC ．B ∈AD ．A ∈B解析：选A 因为A ＝{x |－x 2－x ＋2<0}＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |2x －5>0}＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x >52.在数轴上标出集合A 与集合B ，如图所示，可知，B ⊆A . [题型技法]判断集合间关系的3种方法4．(2018·云南师大附中模拟)集合A ＝{x |x 2－a ≤0}，B ＝{x |x <2}，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，4]B ．(－∞，4)C ．[0,4]D ．(0,4)解析：选B 集合A 就是不等式x 2－a ≤0，即x 2≤a 的解集．①当a <0时，不等式无解，故A ＝∅.此时显然满足A ⊆B .②当a ＝0时，不等式为x 2≤0，解得x ＝0，所以A ＝{0}．显然{0}⊆{x |x <2}，即满足A ⊆B .③当a >0时，解不等式x 2≤a ，得－a ≤x ≤a .所以A ＝[－a ，a ]．由A ⊆B 可得，a <2，解得0<a <4.综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{0}∪(0,4)＝(－∞，4)．故选B.5．已知a ∈R ，b ∈R ，若{a ，ln(b ＋1)，1}＝{a 2，a ＋b,0}，则a2 018＋b2 018＝________.解析：由已知得a ≠0，ln(b ＋1)＝0，所以b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1，又根据集合中元素的互异性可知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a2 018＋b2 018＝1.答案：16．已知集合A ＝{x |1≤x <5}，B ＝{x |－a <x ≤a ＋3}，若B ⊆(A ∩B )，则a 的取值范围为________．解析：因为B ⊆(A ∩B )，所以B ⊆A .①当B ＝∅时，满足B ⊆A ，此时－a ≥a ＋3，即a ≤－32；②当B ≠∅时，要使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧－a <a ＋3，－a ≥1，a ＋3<5，解得－32<a ≤－1.由①②可知，a 的取值范围为(－∞，－1]．答案：(－∞，－1] [题型技法]利用集合间关系求解参数问题的策略1．已知集合A ＝{x |x 2－6x ＋5≤0}，B ＝{x |y ＝log 2(x －2)}，则A ∩B ＝( ) A ．(1,2) B ．[1,2) C ．(2,5]D ．[2,5]解析：选C 由x 2－6x ＋5≤0的解集为{x |1≤x ≤5}，得A ＝[1,5]．由x －2>0，解得x >2，故B ＝(2，＋∞)．把两个集合A ，B 在数轴上表示出来，如图，可知A ∩B ＝(2,5]．2．(2018·湖南湘潭模拟)已知全集U ＝R ，集合M ＝{x ||x |<1}，N ＝{y |y ＝2x，x ∈R}，则集合∁U (M ∪N )＝( )A ．(－∞，－1]B ．(－1,2)C ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)D ．[2，＋∞)解析：选A 解|x |<1，得－1<x <1， 所以M ＝(－1,1)． 集合N 中的代表元素为y ，所以该集合是函数y ＝2x，x ∈R 的值域，即N ＝(0，＋∞)． 从而M ∪N ＝(－1，＋∞)．因为U ＝R ，所以∁U (M ∪N )＝(－∞，－1]，故选A.3.已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x －4>0}，B ＝{x |－2≤x ≤2}，则如图所示阴影部分所表示的集合为( )A ．{x |－2≤x <4}B ．{x |x ≤2或x ≥4}C ．{x |－2≤x ≤－1}D ．{x |－1≤x ≤2}解析：选D 依题意得A ＝{x |x <－1或x >4}，因此∁R A ＝{x |－1≤x ≤4}，题中的阴影部分所表示的集合为(∁R A )∩B ＝{x |－1≤x ≤2}，选D.[解题师说]1．掌握“4种技巧”(1)先“简”后“算”：进行集合的基本运算之前要先对其进行化简，化简时要准确把握元素的性质特征，区分数集与点集等．如求集合P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x <1的补集，要先进行化简，若直接否定集合P 中元素的性质特征，就会误以为∁R P ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪1x ≥1，导致漏解． (2)遵“规”守“矩”：定义是进行集合基本运算的依据，交集的运算要抓住“公共元素”，补集的运算要关注“你有我无”的元素．(3)活“性”减“量”：灵活利用交集与并集以及补集的运算性质，特别是摩根定律，即∁U (M ∩N )＝(∁U M )∪(∁U N )，∁U (M ∪N )＝(∁U M )∩(∁U N )等简化运算，减少运算量．(4)借“形”助“数”：在进行集合的运算时要尽可能地借助Venn 图和数轴使抽象问题直观化，用数轴表示时要注意端点值的取舍．(如典题领悟第1题)2．谨防“2种失误”(1)进行集合基本运算时要注意对应不等式端点值的处理，尤其是求解集合补集的运算，一定要注意端点值的取舍．(如典题领悟第2题)(2)求集合的补集时，既要注意全集是什么，又要注意求补集的步骤，一般先求出原来的集合，然后求其补集，否则容易漏解．(如典题领悟第3题、冲关演练第3题)[冲关演练]1．(2017·天津高考)设集合A ＝{1,2,6}，B ＝{2,4}，C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝( )A ．{2}B ．{1,2,4}C ．{1,2,4,6}D ．{x ∈R|－1≤x ≤5}解析：选B A ∪B ＝{1,2,4,6}，又C ＝{x ∈R|－1≤x ≤5}，则(A ∪B )∩C ＝{1,2,4}．2．(2018·合肥质量检测)已知集合A ＝[1，＋∞)，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈R ⎪⎪⎪12a ≤x ≤2a －1，若A ∩B ≠∅，则实数a 的取值范围是( )A ．[1，＋∞)B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D ．(1，＋∞)解析：选A 因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a －1≥1，2a －1≥12a ，解得a ≥1.3．(2018·皖北协作区联考)已知集合A ＝{y |y ＝x 2－1}，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}，则∁R (A ∩B )＝( )A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，12B ．(－∞，0)∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 D ．(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞ 解析：选D 因为A ＝{y |y ＝x 2－1}＝[0，＋∞)，B ＝{x |y ＝lg(x －2x 2)}＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以A ∩B ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12，所以∁R (A ∩B )＝(－∞，0]∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.考点四 集合的新定义问题重点保分型考点——师生共研1．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{－1,1,2,3}，定义A #B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫z ⎪⎪⎪z ＝xy，x ∈A ，y ∈B ，则A #B 中元素的个数是( )A ．5B ．7C ．10D ．15解析：选B 因为x ∈A ，所以x 可取－1,0,1； 因为y ∈B ，所以y 可取－1,1,2,3. 则z ＝x y的结果如下表所示：故A #B 中元素有－1，－2，－3，0，3，2，1，共7个，故选B.2．已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：①M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ，y ⎪⎪⎪y ＝1x ； ②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }； ③M ＝{(x ，y )|y ＝e x－2}； ④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}． 其中是“垂直对点集”的序号是( ) A ．①④ B ．②③ C ．③④D ．②④解析：选C 记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB .对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB .对于②，当A 为点(1,0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x－2及y ＝sin x ＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C.3．设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{0,1,2,3}，定义A *B ＝{(x ，y )|x ∈A ∩B ，y ∈A ∪B }，则A *B 中元素的个数是( )A ．7B ．10C ．25D ．52解析：选B 因为A ＝{－1,0,1}，B ＝{0,1,2,3}， 所以A ∩B ＝{0,1}，A ∪B ＝{－1,0,1,2,3}． 由x ∈A ∩B ，可知x 可取0,1； 由y ∈A ∪B ，可知y 可取－1,0,1,2,3. 所以元素(x ，y )的所有结果如下表所示：[解题师说]与集合相关的新定义问题的解题思路(1)紧扣“新”定义：分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题的关键所在．(2)把握“新”性质：集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．(3)遵守“新”法则：准确把握新定义的运算法则，将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可．[冲关演练]1．定义集合的商集运算为A B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝m n，m ∈A ，n ∈B ，已知集合A ＝{2,4,6}，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＝k 2－1，k ∈A ，则集合BA ∪B 中的元素个数为( )A ．6B ．7C ．8D ．9解析：选B 由题意知，B ＝{0,1,2}，B A ＝0，12，14，16，1，13，则BA ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，14，16，1，13，2，共有7个元素，故选B.2．(2018·武昌调研)设A ，B 是两个非空集合，定义集合A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，若A ＝{x ∈N|0≤x ≤5}，B ＝{x |x 2－7x ＋10<0}，则A －B ＝( )A ．{0,1}B ．{1,2}C ．{0,1,2}D ．{0,1,2,5}解析：选D 因为A ＝{x ∈N|0≤x ≤5}，所以A ＝{0,1,2,3,4,5}．解不等式x 2－7x ＋10<0，即(x －2)(x －5)<0，得2<x <5.所以B ＝(2,5)．因为A －B ＝{x |x ∈A ，且x ∉B }，而3,4∈B,0,1,2,5∉B ，所以A －B ＝{0,1,2,5}，故选D.3．(2018·广东揭阳一模)非空数集A 若满足：(1)0∉A ；(2)若∀x ∈A ，有1x∈A ，则称A是“互倒集”．给出以下数集：①{x ∈R|x 2＋ax ＋1＝0}； ②{x |x 2－4x ＋1<0}；③⎩⎨⎧⎭⎬⎫y ⎪⎪⎪y ＝ln x x ，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1∪，e]；④⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪⎪y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 2x ＋25，x ∈[0，，x ＋1x，x ∈[1，2].. 其中“互倒集”的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．1解析：选 C 对于①，当－2<a <2时为空集，所以①不是“互倒集”；对于②，{x |x2－4x ＋1<0}＝{x |2－3<x <2＋3}，所以12＋3<1x <12－3，即2－3<1x <2＋3，所以②是“互倒集”；对于③，y ′＝1－ln x x 2≥0，故函数y ＝ln x x 是增函数，当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫1e ，1时，y ∈[－e,0)，当x ∈(1，e]时，y ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，1e ，所以③不是“互倒集”；对于④，y ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫25，125∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤2，52＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，52且1y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤25，52，所以④是“互倒集”，故选C.(一)普通高中适用作业A 级——基础小题练熟练快1．(2017·山东高考)设函数y ＝4－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(1－x )的定义域为B ，则A ∩B ＝( )A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(－2,1)D ．[－2,1)解析：选D 由题意可知A ＝{x |－2≤x ≤2}，B ＝{x |x <1}，故A ∩B ＝{x |－2≤x <1}． 2．(2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，则A ∩B 中元素的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B A ，B 两集合中有两个公共元素2,4，故选B.3．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.4．已知集合A ＝{1,2,3,4,5}，B ＝{(x ，y )|x ∈A 且y ∈A 且x －y ∈A }，则B 中所含元素的个数为( )A ．3B ．6C ．8D ．10解析：选D 由x ∈A ，y ∈A ，x －y ∈A ，得x －y ＝1或x －y ＝2或x －y ＝3或x －y ＝4，所以集合B ＝{(2,1)，(3,1)，(4,1)，(5,1)，(3,2)，(4,2)，(5,2)，(4,3)，(5,3)，(5,4)}，所以集合B 有10个元素．5．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A解析：选B 因为A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A ，故选B.6．已知集合A ＝{0,1,2m }，B ＝{x |1＜22－x＜4}，若A ∩B ＝{1,2m }，则实数m 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1C.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 D ．(0,1)解析：选C 因为B ＝{x |1＜22－x＜4}，所以B ＝{x |0＜2－x ＜2}，所以B ＝{x |0＜x ＜2}．在数轴上画出集合B ，集合A ∩B ，如图1或图2所示，从图中可知，0＜2m ＜1或1＜2m ＜2，解得0＜m ＜12或12＜m ＜1，所以实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.故选C. 7．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8．设集合A ＝{x |(x －a )2＜1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＜1，－a2≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ≤2或a ≥4，所以1＜a ≤2.答案：(1,2]9．设A ，B 为两个集合，下列四个命题： ①A B ⇔对任意x ∈A ，有x ∉B ；②A B ⇔A ∩B ＝∅； ③A B ⇔B A ；④A B ⇔存在x ∈A ，使得x ∉B .其中真命题的序号是________．解析：如果对任意x ∈A ，有x ∈B ，则A ⊆B ，若A 中至少有一个元素不在B 中，即存在x ∈A ，使得x ∉B ，则A 不是B 的子集．所以④是真命题．答案：④10．已知集合A ＝{x |log 2x ≤2}，B ＝{x |x ＜a }，若A ⊆B ，则实数a 的取值范围是__________．解析：由log 2x ≤2，得0＜x ≤4， 即A ＝{x |0＜x ≤4}，而B ＝{x |x ＜a }，由于A ⊆B ，在数轴上标出集合A ，B ，如图所示，则a ＞4. 答案：(4，＋∞)B 级——中档题目练通抓牢1．(2018·湘中名校高三联考)已知集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}，B ＝{x |x ＝2(3n ＋1)，n ∈Z}，则A ∩B 等于( )A ．{2}B ．{2,8}C ．{4,10}D ．{2,8,10}解析：选B 因为集合A ＝{x |x 2－11x －12＜0}＝{x |－1＜x ＜12}，集合B 为被6整除余数为2的数．又集合A 中的整数有0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11，故被6整除余数为2的数有2和8，所以A ∩B ＝{2,8}，故选B.2．(2018·河北衡水中学月考)设A ，B 是两个非空集合，定义运算A ×B ＝{x |x ∈(A ∪B )且x ∉(A ∩B )}，已知A ＝{x |y ＝2x －x 2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ＞0}，则A ×B ＝( )A ．[0,1]∪(2，＋∞)B ．[0,1)∪[2，＋∞)C ．[0,1]D ．[0,2]解析：选A 由题意得A ＝{x |2x －x 2≥0}＝{x |0≤x ≤2}，B ＝{y |y ＞1}， 所以A ∪B ＝[0，＋∞)，A ∩B ＝(1,2]， 所以A ×B ＝[0,1]∪(2，＋∞)．3．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素．若A ∩B 非空，则A ∩B的元素个数为( )A ．mnB ．m ＋nC ．n －mD ．m －n解析：选D 因为()∁U A ∪()∁U B 中有n 个元素，如图中阴影部分所示，又U ＝A ∪B 中有m 个元素，故A ∩B 中有m －n 个元素．4．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ； ②若a 3∉A ，则a 2∉A ； ③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}5．已知集合A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |－m <x <m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为________． 解析：当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m >0时，∵A ＝{x |－1<x <3}．当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m <m .∴0<m ≤1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1]． 答案：(－∞，1]6．设全集U ＝R ，A ＝{x |1≤x ≤3}，B ＝{x |2<x <4}，C ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}． (1)分别求A ∩B ，A ∪(∁U B )；(2)若B ∪C ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)由题意知，A ∩B ＝{x |1≤x ≤3}∩{x |2<x <4}＝{x |2<x ≤3}． 易知∁U B ＝{x |x ≤2或x ≥4}，所以A ∪(∁U B )＝{x |1≤x ≤3}∪{x |x ≤2或x ≥4}＝{x |x ≤3或x ≥4}． (2)由B ∪C ＝B ，可知C ⊆B ，画出数轴(图略)， 易知2<a <a ＋1<4，解得2<a <3. 故实数a 的取值范围是(2,3)．7．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值．(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ， 所以32＋c ×3＋15＝0，解得c ＝－8， 所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}． 又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}， 所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3， 所以a ＝6，b ＝9.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7，即为6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x ≤1， 所以P ∩Z＝{－2，－1,0,1}． C 级——重难题目自主选做1．对于非空集合A ，B ，定义运算：A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．已知非空集合M ＝{x |a ＜x ＜b }，N ＝{x |c ＜x ＜d }，其中a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab ＜cd ＜0，则M ⊕N ＝( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a )∪(d ，b )C ．(c ，a )∪[b ，d )D ．(a ，c ]∪[d ，b )解析：选D 由M ＝{x |a ＜x ＜b }，得a ＜b .又ab ＜0，∴a ＜0＜b .同理可得c ＜0＜d ，由ab ＜cd ＜0，c ＜0，b ＞0可得a c ＞db ，∴a －c c ＞d －b b .又∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，∴d －bc＞d －bb，∵c ＜0，b ＞0，∴d －b ＜0，因此a －c ＜0，∴a ＜c ＜0＜d ＜b ，∴M ∩N ＝N ，∴M ⊕N ＝{x |a ＜x ≤c 或d ≤x ＜b }＝(a ，c ]∪[d ，b )．故选D.2．已知k 为合数，且1＜k ＜100，当k 的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为k 的“衍生质数”．(1)若k 的“衍生质数”为2，则k ＝________；(2)设集合A ＝{P (k )|P (k )为k 的“衍生质数”}，B ＝{k |P (k )为k 的“衍生质数”}，则集合A ∪B 中元素的个数是________．解析：(1)依题意设k ＝10a ＋b (a ∈N *，b ∈N)，则a ＋b ＝2，又a ∈N *，b ∈N ，则a ＝2，b ＝0，故k ＝20；(2)由(1)知“衍生质数”为2的合数有20，同理可推“衍生质数”为3的合数有12,21,30，“衍生质数”为5的合数有14,32,50，“衍生质数”为7的合数有16,25,34,52,70，“衍生质数”为11的合数有38,56,65,74,92，“衍生质数”为13的合数有49,58,76,85,94，“衍生质数”为17的合数有98，所以集合A 有7个元素，集合B 有23个元素，故集合A ∪B 中有30个元素．答案：20 30(二)重点高中适用作业A 级——保分题目巧做快做1．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫xx ∈Z ，且32－x ∈Z ，则集合A 中的元素个数为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5解析：选C ∵32－x∈Z ，∴2－x 的取值有－3，－1,1,3，又∵x ∈Z ，∴x 的值分别为5,3,1，－1，故集合A 中的元素个数为4.2．已知集合A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }，则( ) A ．A B B ．B A C ．A ⊆BD ．B ＝A解析：选B 因为A ＝{x |y ＝1－x 2，x ∈R}，所以A ＝{x |－1≤x ≤1}，所以B ＝{x |x ＝m 2，m ∈A }＝{x |0≤x ≤1}，所以B A .3.(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P ＝{n |n ＝2k －1，k ∈N *，k ≤50}，Q ＝{2,3,5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117解析：选B 由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5时有相同的元素，当y ＝3，x ＝5,15,25，...，95时，与y ＝5，x ＝3,9,15， (57)有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140.4.(2018·河北衡水调研)已知集合A ＝{x |log 2x ＜1}，B ＝{x |0＜x ＜c }，若A ∪B ＝B ，则c 的取值范围是( )A ．(0,1]B ．[1，＋∞)C ．(0,2]D ．[2，＋∞)解析：选D A ＝{x |log 2x ＜1}＝{x |0＜x ＜2}，因为A ∪B ＝B ，所以A ⊆B ，所以c ≥2. 5.(2018·河北正定中学月考)已知集合P ＝{y |y 2－y －2>0}，Q ＝{x |x 2＋ax ＋b ≤0}．若P ∪Q ＝R ，且P ∩Q ＝(2,3]，则a ＋b ＝( )A ．－5B ．5C ．－1D ．1解析：选A P ＝{y |y 2－y －2>0}＝{y |y >2或y <－1}．由P ∪Q ＝R 及P ∩Q ＝(2,3]，得Q ＝[－1,3]，所以－a ＝－1＋3，b ＝－1×3，即a ＝－2，b ＝－3，a ＋b ＝－5，故选A.6．设集合A ＝{x |(x －a )2＜1}，且2∈A,3∉A ，则实数a 的取值范围是________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＜1，－a2≥1，即⎩⎪⎨⎪⎧1＜a ＜3，a ≤2或a ≥4，所以1＜a ≤2.答案：(1,2]7．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z}，则A ∩B ＝________.解析：依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z}＝{－1,0}．答案：{－1,0}8.设全集为R ，集合A ＝{x |x 2－9＜0}，B ＝{x |－1＜x ≤5}，则A ∩(∁R B )＝______________.解析：由题意知，A ＝{x |x 2－9＜0}＝{x |－3＜x ＜3}， ∵B ＝{x |－1＜x ≤5}，∴∁R B ＝{x |x ≤－1或x ＞5}．∴A ∩(∁R B )＝{x |－3＜x ＜3}∩{x |x ≤－1或x ＞5}＝{x |－3＜x ≤－1}． 答案：{x |－3＜x ≤－1}9.(2018·江西玉山一中月考)已知集合A ＝{x |3≤3x≤27}，B ＝{x |log 2x >1}．(1)分别求A ∩B ，(∁R B )∪A ；(2)已知集合C ＝{x |1<x <a }，若C ⊆A ，求实数a 的取值范围．解：(1)∵3≤3x ≤27，即31≤3x ≤33，∴1≤x ≤3，∴A ＝{x |1≤x ≤3}．∵log 2x >1，即log 2x >log 22，∴x >2，∴B ＝{x |x >2}．∴A ∩B ＝{x |2<x ≤3}． ∴∁R B ＝{x |x ≤2}，∴(∁R B )∪A ＝{x |x ≤3}． (2)由(1)知A ＝{x |1≤x ≤3}，C ⊆A . 当C 为空集时，满足C ⊆A ，a ≤1； 当C 为非空集合时，可得1<a ≤3.综上所述，a ≤3.实数a 的取值范围是(－∞，3]．10．已知集合A ＝{x ∈R|x 2－ax ＋b ＝0}，B ＝{x ∈R|x 2＋cx ＋15＝0}，A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}．(1)求实数a ，b ，c 的值．(2)设集合P ＝{x ∈R|ax 2＋bx ＋c ≤7}，求集合P ∩Z. 解：(1)因为A ∩B ＝{3}，所以3∈B ， 所以32＋c ×3＋15＝0，解得c ＝－8， 所以B ＝{x ∈R|x 2－8x ＋15＝0}＝{3,5}． 又因为A ∩B ＝{3}，A ∪B ＝{3,5}，所以A ＝{3}， 所以方程x 2－ax ＋b ＝0有两个相等的实数根都是3， 所以a ＝6，b ＝9.(2)不等式ax 2＋bx ＋c ≤7，即为6x 2＋9x －8≤7， 所以2x 2＋3x －5≤0，所以－52≤x ≤1，所以P ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－52≤x ≤1， 所以P ∩Z＝{－2，－1,0,1}． B 级——拔高题目稳做准做1．对于非空集合A ，B ，定义运算：A ⊕B ＝{x |x ∈A ∪B ，且x ∉A ∩B }．已知非空集合M ＝{x |a ＜x ＜b }，N ＝{x |c ＜x ＜d }，其中a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝c ＋d ，ab ＜cd ＜0，则M ⊕N ＝( )A ．(a ，d )∪(b ，c )B ．(c ，a )∪(d ，b )C ．(c ，a )∪[b ，d )D ．(a ，c ]∪[d ，b )解析：选D 由M ＝{x |a ＜x ＜b }，得a ＜b .又ab ＜0，∴a ＜0＜b .同理可得c ＜0＜d ，由ab ＜cd ＜0，c ＜0，b ＞0可得a c ＞d b ，∴a －c c ＞d －b b .又∵a ＋b ＝c ＋d ，∴a －c ＝d －b ，∴d －bc＞d －bb，∵c ＜0，b ＞0，∴d －b ＜0，因此a －c ＜0，∴a ＜c ＜0＜d ＜b ，∴M ∩N ＝N ，∴M ⊕N ＝{x |a ＜x ≤c 或d ≤x ＜b }＝(a ，c ]∪[d ，b )．故选D.2.设平面点集A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ，y ⎪⎪⎪⎭⎪⎫y －x ⎝ ⎛y －1x ≥0，B ＝{(x ，y )|(x －1)2＋(y －1)2≤1}，则A ∩B 所表示的平面图形的面积为( )A.34π B.35π C.47π D.π2解析：选 D 不等式(y －x )·⎝⎛⎭⎪⎫y －1x ≥0可化为⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≥0，y －1x≥0或⎩⎪⎨⎪⎧y －x ≤0，y －1x≤0.集合B 表示圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上以及圆内部的点所构成的集合，A ∩B 所表示的平面区域如图所示．曲线y ＝1x，圆(x －1)2＋(y －1)2＝1均关于直线y ＝x 对称，所以阴影部分占圆面积的一半，即为π2. 3.已知集合A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}，B ＝{x |x 2－5x ＋4≥0}，若A ∩B ＝∅，则实数a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |a －1＜x ＜a ＋1}，B ＝(－∞，1]∪[4，＋∞)，由已知A ∩B ＝∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －1≥1，a ＋1≤4，所以2≤a ≤3.答案：[2,3]4．(2018·贵阳监测)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是全集U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ； ②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝________.(用列举法表示)解析：假设a 1∈A ，则a 2∈A ，由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，故假设不成立；假设a 4∈A ，则a 3∉A ，a 2∉A ，a 1∉A ，故假设不成立．故集合A ＝{a 2，a 3}．答案：{a 2，a 3}5.已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R}．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． 解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)因为A ∩B ＝[0,3]，所以⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3.所以m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， 因为A ⊆∁R B ，所以m －2>3或m ＋2<－1， 即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)． 6.若集合M ＝{x |－3≤x ≤4}，集合P ＝{x |2m －1≤x ≤m ＋1}． (1)证明M 与P 不可能相等；(2)若集合M 与P 中有一个集合是另一个集合的真子集，求实数m 的取值范围． 解：(1)证明：若M ＝P ，则－3＝2m －1且4＝m ＋1， 解得m ＝－1且m ＝3，不成立． 故M 与P 不可能相等．(2)若P M ，当P ≠∅时，有⎩⎪⎨⎪⎧－3≤2m －1，m ＋1<4，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3<2m －1，m ＋1≤4，m ＋1≥2m －1，解得－1≤m ≤2；当P ＝∅时，有2m －1>m ＋1，解得m >2，即m ≥－1； 若M P ，则⎩⎪⎨⎪⎧－3≥2m －1，4<m ＋1，m ＋1≥2m －1或⎩⎪⎨⎪⎧－3>2m －1，4≤m ＋1，m ＋1≥2m －1，无解．综上可知，当有一个集合是另一个集合的真子集时，只能是P M ，此时必有m ≥－1， 即实数m 的取值范围为[－1，＋∞)．第二节命题及其关系、充分条件与必要条件1．命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题．2．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；②两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．3．充要条件1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)“x2＋2x－8<0”是命题．( )(2)一个命题非真即假．( )(3)四种形式的命题中，真命题的个数为0或2或4.( )(4)命题“若p，则q”的否命题是“若p，则綈q”．( )(5)若p是q成立的充分条件，则q是p成立的必要条件．( )答案：(1)× (2)√ (3)√ (4)× (5)√ 2．命题“若a >b ，则a ＋c >b ＋c ”的否命题是( ) A ．若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c B ．若a ＋c ≤b ＋c ，则a ≤b C ．若a ＋c >b ＋c ，则a >b D ．若a >b ，则a ＋c ≤b ＋c解析：选A 命题的否命题是将原命题的条件和结论均否定，所以题中命题的否命题为“若a ≤b ，则a ＋c ≤b ＋c ”．3．在△ABC 中，“A >B ”是“sin A >sin B ”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选C 由正弦定理知a sin A ＝bsin B ＝2R (R 为△ABC 外接圆半径)．若sin A >sin B ，则a 2R >b2R，即a >b ，所以A >B ；若A >B ，则a >b ，所以2R sin A >2R sin B ，即sin A >sin B ，所以“A >B ”是“sin A >sin B ”成立的充要条件．4．(2018·唐山一模)若x ∈R ，则“x >1”是“1x<1”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 当x >1时，1x <1成立，而当1x <1时，x >1或x <0，所以“x >1”是“1x<1”的充分不必要条件，选A.5．“若a <b ，则ac 2<bc 2”，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中真命题的个数是________．解析：原命题：“若a <b ，则ac 2<bc 2”，这是假命题，因为若c ＝0时，由a <b ，得到ac 2＝bc 2＝0，不能推出ac 2<bc 2.逆命题：“若ac 2<bc 2，则a <b ”，这是真命题，因为由ac 2<bc 2得到c 2>0，所以两边同除以c 2，得a <b ，因为原命题和逆否命题的真假性相同，逆命题和否命题的真假性相同，所以真命题的个数是2.答案：26．设向量a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)，则“a ⊥b ”是“x ＝2”的________条件． 解析：a ＝(x －1，x )，b ＝(x ＋2，x －4)， 若a ⊥b ，则a·b ＝0， 即(x －1)(x ＋2)＋x (x －4)＝0，解得x ＝2或x ＝－12，∴x ＝2⇒a ⊥b ，反之a ⊥b ⇒x ＝2或x ＝－12，∴“a ⊥b ”是“x ＝2”的必要不充分条件． 答案：必要不充分考点一 四种命题的相互关系及真假判断基础送分型考点——自主练透[考什么·怎么考]A ．否命题是“正弦函数是分段函数”B ．逆命题是“分段函数不是正弦函数”C ．逆否命题是“分段函数是正弦函数”D ．以上都不正确解析：选D 原命题可写成“若一个函数是正弦函数，则该函数不是分段函数”，否命题为“若一个函数不是正弦函数，则该函数是分段函数”，逆命题为“若一个函数不是分段函数，则该函数是正弦函数”，逆否命题为“若一个函数是分段函数，则该函数不是正弦函数”，可知A 、B 、C 都是错误的，故选D.2．设原命题：若a ＋b ≥2，则a ，b 中至少有一个不小于1，则原命题与其逆命题的真假情况是( )A ．原命题真，逆命题假B ．原命题假，逆命题真C ．原命题与逆命题均为真命题D ．原命题与逆命题均为假命题解析：选A 可以考虑原命题的逆否命题，即a ，b 都小于1，则a ＋b <2，显然为真．其逆命题，即若a ，b 中至少有一个不小于1，则a ＋b ≥2为假，如a ＝1.2，b ＝0.2，则a ＋b <2.3．命题“已知a >1，若x >0，则a x>1”的否命题为( ) A ．已知0<a <1，若x >0，则a x>1 B ．已知a >1，若x ≤0，则a x >1C ．已知a >1，若x ≤0，则a x≤1 D ．已知0<a <1，若x ≤0，则a x ≤1解析：选C 命题中，“已知a >1”是大前提，在四种命题中不能改变；“x >0”是条件，“a x>1”是结论．由于命题“若p ，则q ”的否命题为“若綈p ，则綈q ”，故该命题的否命题为“已知a >1，若x ≤0，则a x≤1”．故选C.[怎样快解·准解]1．判断命题真假的2种方法(1)直接判断：判断一个命题是真命题，需经过严格的推理证明；而要说明它是假命题，只需举一反例即可．(如第2题逆命题的真假判断)(2)间接判断(等价转化)：由于原命题与其逆否命题为等价命题，如果原命题的真假不易直接判断，那么可以利用这种等价性间接地判断命题的真假．(如第2题原命题的真假判断)2．谨防3类失误(1)如果原命题是“若p ，则q ”，则否命题是“若綈p ，则綈q ”，而命题的否定是“若p ，则綈q ”，即否命题是对原命题的条件和结论同时否定，命题的否定仅仅否定原命题的结论(条件不变)．(2)对于不是“若p ，则q ”形式的命题，需先改写．(如第1题) (3)当命题有大前提时，写其他三种命题时需保留大前提．(如第3题) 考点二 充分、必要条件的判断重点保分型考点——师生共研1．(2017·北京高考)设m ，n 为非零向量，则“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的( )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A ∵m ＝λn ，∴m ·n ＝λn ·n ＝λ|n |2. ∴当λ<0，n ≠0时，m ·n <0.反之，由m ·n ＝|m ||n |cos 〈m ，n 〉<0⇔cos 〈m ，n 〉<0⇔〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，π，当〈m ，n 〉∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π时，m ，n 不共线．故“存在负数λ，使得m ＝λn ”是“m ·n <0”的充分而不必要条件．2．(2017·天津高考)设x∈R，则“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的( )A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选B 由2－x≥0，得x≤2，由|x－1|≤1，得0≤x≤2.∵0≤x≤2⇒x≤2，x≤2⇒/ 0≤x≤2，故“2－x≥0”是“|x－1|≤1”的必要而不充分条件．3．已知条件p：x＋y≠－2，条件q：x，y不都是－1，则p是q的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 因为p：x＋y≠－2，q：x≠－1，或y≠－1，所以綈p：x＋y＝－2，綈q：x＝－1，且y＝－1，因为綈q⇒綈p但綈p⇒/綈q，所以綈q是綈p的充分不必要条件，即p是q的充分不必要条件．4．(2018·江西鹰潭中学月考)设f(x)＝x2－4x(x∈R)，则f(x)>0的一个必要不充分条件是( )A．x<0 B．x<0或x>4C．|x－1|>1 D．|x－2|>3解析：选C 依题意，f(x)>0⇔x2－4x>0⇔x<0或x>4.又|x－1|>1⇔x－1<－1或x－1>1，即x<0或x>2，而{x|x<0或x x|x<0或x>2}，因此选C.[解题师说]1．熟记判断充分、必要条件的3种方法记条件p，q对应的集合分别为A，B.若A B，则p是q的充分不必要条件；若A B ，则p 是q 的必要不充分条件；若A ＝B ，则p 是q 的充要条件(1)准确化简条件，也就是求出每个条件对应的充要条件；(2)注意问题的形式，看清“p 是q 的……”还是“p 的……是q ”，如果是第二种形式，要先转化为第一种形式，再判断；(3)灵活利用各种方法判断两个条件之间的关系，充分、必要条件的判断常通过“⇒”来进行，即转化为两个命题关系的判断，当较难判断时，可借助两个集合之间的关系来判断．[冲关演练]1．(2018·安徽两校阶段性测试)设a ∈R ，则“a ＝4”是“直线l 1：ax ＋8y －8＝0与直线l 2：2x ＋ay －a ＝0平行”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选D ∵当a ≠0时，a 2＝8a ＝－8－a ⇒直线l 1与直线l 2重合，∴无论a 取何值，直线l 1与直线l 2均不可能平行，当a ＝4时，l 1与l 2重合．故选D.2．对于直线m ，n 和平面α，β，m ⊥α成立的一个充分条件是( ) A ．m ⊥n ，n ∥α B ．m ∥β，β⊥α C ．m ⊥β，n ⊥β，n ⊥αD ．m ⊥n ，n ⊥β，β⊥α解析：选C 对于选项C ，因为m ⊥β，n ⊥β，所以m ∥n ，又n ⊥α，所以m ⊥α，故选C.3．(2018·湖南湘中名校联考)“log 2(2x －3)<1”是“4x>8”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由log 2(2x －3)<1⇒0<2x －3<2⇒32<x <52，4x >8⇒2x >3⇒x >32，所以“log 2(2x－3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件，故选A.考点三 根据充分、必要条件求参数的范围重点保分型考点——师生共研1．(2018·保定模拟)已知集合A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪y ＝x 2－32x ＋1，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，B ＝{x |x ＋m 2≥1}．若“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：y ＝x 2－32x ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －342＋716，∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，2，∴716≤y ≤2，∴A ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫y ⎪⎪⎪716≤y ≤2. 由x ＋m 2≥1，得x ≥1－m 2， ∴B ＝{x |x ≥1－m 2}．∵“x ∈A ”是“x ∈B ”的充分条件， ∴A ⊆B ，∴1－m 2≤716，解得m ≥34或m ≤－34，故实数m 的取值范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞.答案：⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－34∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞2．(2018·石家庄模拟)已知p ：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，q ：x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，且綈p 是綈q 的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是________．解析：法一：由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴綈p 对应的集合为{x |x >10或x <－2}， 设A ＝{x |x >10或x <－2}．由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)， ∴綈q 对应的集合为{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}， 设B ＝{x |x >1＋m 或x <1－m ，m >0}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，∴B A ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9，∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)． 法二：∵綈p 是綈q 的必要不充分条件， ∴q 是p 的必要不充分条件． 即p 是q 的充分不必要条件，由x 2－2x ＋1－m 2≤0(m >0)，得1－m ≤x ≤1＋m (m >0)． ∴q 对应的集合为{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}，设M ＝{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m >0}， 又由⎪⎪⎪⎪⎪⎪1－x －13≤2，得－2≤x ≤10， ∴p 对应的集合为{x |－2≤x ≤10}， 设N ＝{x |－2≤x ≤10}． 由p 是q 的充分不必要条件知，NM ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m <－2，1＋m ≥10或⎩⎪⎨⎪⎧m >0，1－m ≤－2，1＋m >10，解得m ≥9.∴实数m 的取值范围为[9，＋∞)． 答案：[9，＋∞)[解题师说]1．解题“2关键”(1)把充分、必要条件转化为集合之间关系．(2)根据集合之间关系列出关于参数的不等式(组)求解． 2．解题“1注意”求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．(如典题领悟第2题)[冲关演练]1．(2017·湖北新联考四模)若x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，则实数m 的取值范围是( )A ．[－3,3]B ．(－∞，－3]∪[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)D ．[－1,1]解析：选D ∵x >2m 2－3是－1<x <4的必要不充分条件，∴(－m 2－3，＋∞)，∴2m 2－3≤－1，解得－1≤m ≤1，故选D.2．(2018·广州模拟)已知p ：(x ＋3)(x －1)>0，q ：x >a 2－2a －2，若綈p 是綈q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，＋∞)B ．[3，＋∞)C ．(－∞，－1]∪[3，＋∞)D ．[－1,3]解析：选C 由p ：(x ＋3)(x －1)>0，解得x <－3或x >1，要使得綈p 是綈q 的充分不必要条件，则q 是p 的充分不必要条件，即q ⇒p ，p ⇒/ q ．所以a 2－2a －2≥1，解得a ≤－1或a ≥3，故选C.(一)普通高中适用作业A级——基础小题练熟练快1．命题“若一个数是负数，则它的平方是正数”的逆命题是( )A．“若一个数是负数，则它的平方不是正数”B．“若一个数的平方是正数，则它是负数”C．“若一个数不是负数，则它的平方不是正数”D．“若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B 依题意得，原命题的逆命题是“若一个数的平方是正数，则它是负数”．2．设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选A 当四边形ABCD为菱形时，必有对角线互相垂直，即AC⊥BD；当四边形ABCD 中AC⊥BD时，四边形ABCD不一定是菱形，还需要AC与BD互相平分．综上知，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．3．命题“若x2＋3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题及其真假性为( )A．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为真命题B．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为真命题C．“若x≠4，则x2＋3x－4≠0”为假命题D．“若x＝4，则x2＋3x－4＝0”为假命题解析：选C 根据逆否命题的定义可以排除A、D，因为x2＋3x－4＝0，所以x＝－4或1，故原命题为假命题，即逆否命题为假命题．4．设U为全集，A，B是集合，则“存在集合C，使得A⊆C，B⊆∁U C”是“A∩B＝∅”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析：选C 依题意，若A⊆C，则∁U C⊆∁U A，若B⊆∁U C，可得A∩B＝∅；若A∩B＝∅，不妨令C＝A，显然满足A⊆C，B⊆∁U C，故满足条件的集合C是存在的．5．命题p：“若x2<1，则x<1”的逆命题为q，则p与q的真假性为( )A．p真q真B．p真q假C．p假q真D．p假q假解析：选B q：若x<1，则x2<1.∵p：x2<1，则－1<x<1.∴p真，当x<1时，x2<1不一定成立，∴q假，故选B.。
(通用版)2019版高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 课时达标检测(一)集合 理
课时达标检测（一）集合[小题对点练——点点落实］对点练(一）集合的概念与集合间的基本关系1．已知集合A＝{1，2,3}，B＝{2，3},则( )A．A＝B B．A∩B＝∅C．A B D．B A解析：选D ∵A＝｛1，2,3}，B＝{2,3｝，∴B A.2．(2018·莱州一中模拟)已知集合A＝｛x∈N｜x2＋2x－3≤0｝，B＝{C｜C⊆A}，则集合B中元素的个数为（)A．2 B．3C．4 D．5解析：选 C A＝｛x∈N｜（x＋3）(x－1）≤0｝＝｛x∈N|－3≤x≤1}＝{0，1｝，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.3．（2018·广雅中学测试）若全集U＝R,则正确表示集合M＝{－1,0,1｝和N＝｛x｜x2＋x＝0}关系的Venn图是（）解析:选 B 由题意知,N＝{x|x2＋x＝0}＝{－1，0},而M＝{－1，0，1｝，所以N M,故选B。
4．已知集合A＝{m＋2,2m2＋m}，若3∈A，则m的值为________．解析：由题意得m＋2＝3或2m2＋m＝3，则m＝1或m＝－错误!，当m＝1时,m＋2＝3且2m2＋m＝3，根据集合中元素的互异性可知不满足题意；当m＝－错误!时，m＋2＝错误!，则2m2＋m＝3，故m＝－错误!.答案：－错误!5．已知集合A＝｛x|4≤2x≤16｝，B＝[a,b］，若A⊆B，则实数a－b的取值范围是________．解析:集合A＝{x｜4≤2x≤16｝＝｛x|22≤2x≤24｝＝｛x｜2≤x≤4｝＝［2，4］,因为A⊆B，所以a≤2，b≥4,所以a－b≤2－4＝－2，即实数a－b的取值范围是（－∞,－2］．答案：（－∞，－2］对点练（二) 集合的基本运算1．设集合M＝｛x｜x2＝x},N＝｛x|lg x≤0},则M∪N＝（）A．[0，1］B．(0,1]C．[0,1) D．（－∞,1]解析:选 A M＝｛x｜x2＝x｝＝｛0，1｝，N＝{x｜lg x≤0｝＝{x｜0＜x≤1}，M∪N＝[0,1]．2．若集合A＝{－1,0，1}，B＝{y|y＝x2,x∈A}，则A∩B＝( ）A．{0｝B．{1｝C．{0,1｝D．{0，－1}解析:选C 因为B＝{y｜y＝x2，x∈A｝＝｛0，1｝，所以A∩B＝｛0，1}．3．(2018·中原名校联考）设全集U＝R，集合A＝{x|0≤x≤2｝，B＝｛y|1≤y≤3}，则(∁U A)∪B＝（）A．(2,3］B．(－∞，1]∪(2，＋∞)C．[1，2)D．(－∞，0)∪［1，＋∞)解析：选 D 因为∁U A＝｛x｜x>2或x〈0},B＝｛y|1≤y≤3},所以（∁U A）∪B＝（－∞，0）∪[1，＋∞）．4．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x｜x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<1｝，Q＝｛x｜|x－2｜〈1｝，那么P－Q＝( ）A．{x|0〈x〈1｝B．｛x|0〈x≤1}C．{x|1≤x<2｝D．{x|2≤x〈3｝解析：选 B 由log2x<1，得0〈x<2,所以P＝{x｜0<x<2｝；由｜x－2｜〈1，得1〈x 〈3，所以Q＝{x｜1<x<3}．由题意，得P－Q＝｛x|0<x≤1}．5．（2018·河北正定中学月考）已知集合P＝｛y｜y2－y－2>0}，Q＝｛x｜x2＋ax＋b≤0}．若P∪Q＝R，且P∩Q＝（2,3],则a＋b＝（）A．－5 B．5C．－1 D．1解析：选A P＝{y｜y2－y－2〉0}＝{y|y〉2或y〈－1｝．由P∪Q＝R及P∩Q＝(2，3］,得Q＝[－1,3］，所以－a＝－1＋3,b＝－1×3,即a＝－2,b＝－3，a＋b＝－5，故选A。
【配套K12】[学习]2019届高考数学一轮复习 第一章 集合与常用逻辑用语 第1节 集合练习 新人
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第一章第 1 节集合[基础训练组]1．(导学号14577034)(理科)(2018·南昌市一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|y＝lg x}，集合B＝{y|y＝x＋1}，那么A∩(∁U B)＝( )A．∅B．(0,1]C．(0,1) D．(1，＋∞)解析：C [由题意知，集合A＝{x|y＝lg x}＝{x|x＞0}＝(0，＋∞)，B＝(y|y＝x＋1)＝{y|y≥1}＝[1，＋∞)，所以∁U B＝(－∞，1)，所以A∩(∁U B)＝(0,1)．故选C.]1．(导学号14577035)(文科)(2018·南昌市一模)已知全集U＝R，集合A＝{x|x＞2}，B＝{1,2,3,4}，那么(∁U A)∩B＝( )A．{3,4} B．{1,2,3}C．{1,2} D．{1,2,3,4}解析：C [因为全集U＝R，集合A＝{x|x＞2}，所以∁U A＝{x|x≤2}，又B＝{1,2,3,4}，所以(∁U A)∩B＝{1,2}．故选C.]2．(导学号14577036)(理科)(2018·肇庆市模拟)已知集合A＝{x|lg x>0}，B＝{x|x≤1}，则( )A．A∩B≠∅B．A∪B＝RC．B⊆A D．A⊆B解析：B [由B＝{x|x≤1}，且A＝{x|lg x>0}＝(1，＋∞)，∴A∪B＝R.]2．(导学号14577037)(文科)(2018·石家庄市模拟)设集合M＝{－1,1}，N＝{x|x2－x<6}，则下列结论正确的是( )A．N⊆M B．N∩M＝∅C．M⊆N D．M∩N＝R解析：C [N＝{x|x2－x<6}＝{x|－2<x<3}．，选C.]3．(导学号14577038)(2018·张家口市模拟)如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是( )A．(M∩P)∩S B．(M∩P)∪SC ．(M ∩P )∩∁I SD ．(M ∩P )∪∁I S解析：C [图中的阴影部分是M ∩P 的子集，不属于集合S ，属于集合S 的补集，即是∁I S 的子集，则阴影部分所表示的集合是(M ∩P )∩∁I S .故选C.]4．(导学号14577039)(文科)(2018·怀化市二模)已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝x }，B ＝{(x ，y )|y ＝x 2}，则A ∩B 为( )A ．(0,1)B ．{0,1}C ．{(0,1)}D ．{(0,0)，(1,1)}解析：D [联立A 与B 中的方程得⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x y ＝x2，消去y 得x ＝x 2，解得x ＝0或x ＝1.把x ＝0代入得y ＝0；把x ＝1代入得y ＝1，∴方程组的解为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1，所以A ∩B ＝{(0,0)，(1,1)}．故选D.]4．(导学号14577040)(理科)已知集合P ＝{x |x 2≤1}，M ＝{a }．若P ∪M ＝P ，则a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．[1，＋∞)C ．[－1,1]D ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)解析：C [因为P ∪M ＝P ，所以M ⊆P ，即a ∈P ，得a 2≤1，解得－1≤a ≤1，所以a 的取值范围是[－1,1]．]5．(导学号14577041)已知A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，若A ∩B ＝B ，则实数a 的值为( )A ．0或1或2B ．1或2C ．0D ．0或1解析：A [由题意A ＝{1,2}，当B ≠∅时，∵B ⊆A ，∴B ＝{1}或{2}．当B ＝{1}时，a ·1－2＝0，解得a ＝2；当B ＝{2}时，a ·2－2＝0，解得a ＝1.当B ＝∅时，a ＝0.故a 的值为0或1或2.]6．(导学号14577042)已知集合A ＝{(0,1)，(1,1)，(－1,2)}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －1＝0，x ，y ∈Z }，则A ∩B ＝ ________ .解析：A 、B 都表示点集，A ∩B 即是由A 中在直线x ＋y －1＝0上的所有点组成的集合，代入验证即可．答案：{(0,1)，(－1,2)}7．(导学号14577043)已知集合A ＝{x |4≤2x≤16}，B ＝[a ，b ]，若A ⊆B ，则实数a －b 的取值范围是 ________ .解析：集合A ＝{x |4≤2x≤16}＝{x |22≤2x ≤24}＝{x |2≤x ≤4}＝[2,4]，因为A ⊆B ，所以a ≤2，b ≥4，所以a －b ≤2－4＝－2，即实数a －b 的取值范围是(－∞，－2]．答案：(－∞，－2]8．(导学号14577044)对于集合M 、N ，定义M －N ＝{x |x ∈M 且x ∉N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }，则A ⊕B ＝ ________ .解析：由题意得A ＝{y |y ＝3x ，x ∈R }＝{y |y >0}，B ＝{y |y ＝－(x －1)2＋2，x ∈R }＝{y |y ≤2}，故A －B ＝{y |y >2}，B －A ＝{y |y ≤0}，所以A ⊕B ＝{y |y ≤0，或y >2}．答案：(－∞，0]∪(2，＋∞)9．(导学号14577045)已知集合A ＝{－4,2a －1，a 2}，B ＝{a －5,1－a,9}，分别求适合下列条件的a 的值．(1)9∈(A ∩B )； (2){9}＝A ∩B .解：(1)∵9∈(A ∩B )，∴9∈A 且9∈B . ∴2a －1＝9或a 2＝9. ∴a ＝5或a ＝－3或a ＝3. 经检验a ＝5或a ＝－3符合题意． ∴a ＝5或a ＝－3.(2)∵{9}＝A ∩B ，∴9∈A 且9∈B ， 由(1)知a ＝5或a ＝－3.当a ＝－3时，A ＝{－4，－7,9}，B ＝{－8,4,9}， 此时A ∩B ＝{9}；当a ＝5时，A ＝{－4,9,25}，B ＝{0，－4,9}， 此时A ∩B ＝{－4,9}，不合题意． ∴a ＝－3.10．(导学号14577046)已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }．(1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围．解：由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}． (1)∵A ∩B ＝[0,3]， ∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}， ∵A ⊆∁R B ，∴m －2>3或m ＋2<－1， 即m >5或m <－3.因此实数m 的取值范围是{m |m >5或m <－3}．[能力提升组]11．(导学号14577047)(理科)设集合U ＝R ，A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈N *}，B ＝{x |x ≤5，x ∈Q }(Q 为有理数集)，则图中阴影部分表示的集合是( )A ．{1,3,4,5}B ．{2,4,5}C ．{2,5}D ．{1,2,3,4,5}解析：B [∵集合A ＝{x |x ＝3k ＋1，k ∈N *}，∴A ＝{2，7，10，13，4，19，22，5，…}，∵B ＝{x |x ≤5，x ∈Q }，题中Venn 图阴影部分表示A 、B 两集合的交集，∴A ∩B ＝{2,4,5}，∴图中阴影部分表示的集合为{2,4,5}．故选B.]11．(导学号14577048)(文科)集合U ＝R ，A ＝{x |x 2－x －2<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分所表示的集合是( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}解析：B [易知A ＝(－1,2)，B ＝(－∞，1)，∴∁U B ＝[1，＋∞)，A ∩(∁U B )＝[1,2)．因此阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B )＝{x |1≤x <2}．]12．(导学号14577049)设P ，Q 为两个非空实数集合，定义集合P *Q ＝{z |z ＝a ÷b ，a ∈P ，b ∈Q }，若P ＝{－1,0,1}，Q ＝{－2,2}，则集合P *Q 中元素的个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：B [当a ＝0时，无论b 取何值，z ＝a ÷b ＝0； 当a ＝－1，b ＝－2时，z ＝(－1)÷(－2)＝12；当a ＝－1，b ＝2时，z ＝(－1)÷2＝－12；当a ＝1，b ＝－2时，z ＝1÷(－2)＝－12；当a ＝1，b ＝2时，z ＝1÷2＝12.故P *Q ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫0，12，－12，该集合中共有3个元素．]13．(导学号14577050)已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)<0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＋n ＝ ____ .解析：A ＝{x ∈R ||x ＋2|<3}＝{x ∈R |－5<x <1}， 由A ∩B ＝(－1，n )可知m <1，则B ＝{x |m <x <2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.所以m ＋n ＝0. 答案：014．(导学号14577051)已知集合A ＝{x |1＜x ＜3}，集合B ＝{x |2m ＜x ＜1－m }． (1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． 解：(1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m ＞2m ，2m ≤1，1－m ≥3，解得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]． (3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m ＜1－m ，即m ＜13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m ＜13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m ＜13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．。
【配套K12】[学习](文理通用)2019届高考数学大二轮复习 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语
2019届高考数学大二轮复习 第1部分 专题1 集合、常用逻辑用语](https://img.taocdn.com/s3/m/04cfc00f2f60ddccda38a0ce.png)
第一部分专题一第一讲集合与常用逻辑用语A组1．(文)(2018·天津卷，1)设集合A＝{1,2,3,4}，B＝{－1，0,2,3}，C＝{x∈R|－1≤x<2}，则(A∪B)∩C＝( C )A．{－1,1} B．{0,1}C．{－1,0,1} D．{2,3,4}[解析]∵A＝{1,2,3,4}，B＝{－1,0,2,3}，∴A∪B＝{－1,0,1,2,3,4}．又C＝{x∈R|－1≤x<2}，∴ (A∪B)∩C＝{－1,0,1}．故选C．(理)(2018·天津卷，1)设全集为R，集合A＝{x|0<x<2}，B＝{x|x≥1}，则A∩(∁R B)＝( B )A．{x|0<x≤1} B．{x|0<x<1}C．{x|1≤x<2} D．{x|0<x<2}[解析]全集为R，B＝{x|x≥1}，则∁R B＝{x|x<1}．∵集合A＝{x|0<x<2}，∴A∩(∁R B)＝{x|0＜x＜1}．故选B．2．(2018·蚌埠三模)设全集U＝{x|e x>1}，函数f(x)＝1x－1的定义域为A，则∁U A＝( A )A．(0,1] B．(0,1)C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)[解析]全集U＝{x|x>0}，f(x)的定义域为{x|x>1}，所以∁U A＝{x|0<x≤1}．3．命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是( C )A．∀x∈(－∞，0)，x3＋x<0B．∀x∈(－∞，0)，x3＋x≥0C．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0D．∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0≥0[解析]全称命题“∀x∈[0，＋∞)，x3＋x≥0”的否定是特称命题“∃x0∈[0，＋∞)，x30＋x0<0”．4．设有下面四个命题p 1：若复数z 满足1z ∈R ，则z ∈R ；p 2：若复数z 满足z 2∈R ，则z ∈R ；p 3：若复数z 1，z 2满足z 1z 2∈R ，则z 1＝z 2；p 4：若复数z ∈R ，则z ∈R .其中的真命题为( B ) A ．p 1，p 3 B ．p 1，p 4 C ．p 2，p 3D ．p 2，p 4[解析] 设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )，z 1＝a 1＋b 1i(a 1，b 1∈R )，z 2＝a 2＋b 2i(a 2，b 2∈R )． 对于p 1，若1z ∈R ，即1a ＋b i ＝a －b ia 2＋b 2∈R ，则b ＝0⇒z ＝a ＋b i ＝a ∈R ，所以p 1为真命题． 对于p 2，若z 2∈R ，即(a ＋b i)2＝a 2＋2ab i －b 2∈R ， 则ab ＝0.当a ＝0，b ≠0时，z ＝a ＋b i ＝b i ∉R ，所以p 2为假命题．对于p 3，若z 1z 2∈R ，即(a 1＋b 1i)(a 2＋b 2i)＝(a 1a 2－b 1b 2)＋(a 1b 2＋a 2b 1)i ∈R ，则a 1b 2＋a 2b 1＝0.而z 1＝z 2，即a 1＋b 1i ＝a 2－b 2i ⇔a 1＝a 2，b 1＝－b 2.因为a 1b 2＋a 2b 1＝0⇒/ a 1＝a 2，b 1＝－b 2，所以p 3为假命题．对于p 4，若z ∈R ，即a ＋b i ∈R ，则b ＝0⇒z ＝a －b i ＝a ∈R ，所以p 4为真命题． 5．已知命题p ：在等差数列{a n }中，若a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有m ＋n ＝p ＋q ，命题q ：∃x 0>0,2－x 0＝e x 0，则下列命题是真命题的是( C )A ．p ∧qB ．p ∧綈qC ．p ∨qD ．p ∨綈q[解析] 命题p 是假命题，因为当等差数列{a n }是常数列时显然不成立，根据两个函数的图象可得命题q 是真命题，∴p ∨q 是真命题，故选C ．6．设集合M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}，集合N ＝{x |(12)x ≤4}，则M ∪N ＝( A )A ．{x |x ≥－2}B ．{x |x >－1}C ．{x |x ≤－1}D ．{x |x ≤－2}[解析] 因为M ＝{x |x 2＋3x ＋2<0}＝{x |－2<x <－1}，N ＝[－2，＋∞)，所以M ∪N ＝[－2，＋∞)，故选A ．7．设a ，b 是向量，则“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的( D ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件[解析] 取a ＝－b ≠0，则|a |＝|b |≠0，|a ＋b |＝|0|＝0，|a －b |＝|2a |≠0，所以|a ＋b |≠|a －b |，故由|a |＝|b |推不出|a ＋b |＝|a －b |.由|a ＋b |＝|a －b |，得|a ＋b |2＝|a －b |2，整理得a·b ＝0，所以a ⊥b ，不一定能得出|a |＝|b |，故由|a ＋b |＝|a －b |推不出|a |＝|b |.故“|a |＝|b |”是“|a ＋b |＝|a －b |”的既不充分也不必要条件．故选D ．8．下列四个命题中正确命题的个数是( A )①对于命题p ：∃x ∈R ，使得x 2＋x ＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1>0； ②m ＝3是直线(m ＋3)x ＋my －2＝0与直线mx －6y ＋5＝0互相垂直的充要条件； ③已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则线性回归方程为y ^＝1.23x ＋0.08；④若实数x ，y ∈[－1,1]，则满足x 2＋y 2≥1的概率为π4. A ．1 B ．2 C ．3D ．4[解析] ①错，应当是綈p ：∀x ∈R ，均有x 2＋x ＋1≥0；②错，当m ＝0时，两直线也垂直，所以m ＝3是两直线垂直的充分不必要条件；③正确，将样本点的中心的坐标代入，满足方程；④错，实数x ，y ∈[－1,1]表示的平面区域为边长为2的正方形，其面积为4，而x 2＋y 2<1所表示的平面区域的面积为π，所以满足x 2＋y 2≥1的概率为4－π4.9．(文)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |0<x <9，x ∈R }和B ＝{x |－4<x <4，x ∈Z }关系的Venn 图如图所示，则阴影部分所求集合中的元素共有( B )A ．3个B ．4个C ．5个D ．无穷多个[解析] 由Venn 图可知，阴影部分可表示为(∁U A )∩B ．由于∁U A ＝{x |x ≤0或x ≥9}，于是(∁U A )∩B ＝{x |－4<x ≤0，x ∈Z }＝{－3，－2，－1,0}，共有4个元素．(理)设全集U ＝R ，A ＝{x |x (x －2)<0}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 分别化简两集合可得A ＝{x |0<x <2}，B ＝{x |x <1}，故∁U B ＝{x |x ≥1}，故阴影部分所示集合为{x |1≤x <2}． 10．下列命题的否定为假命题的是( D ) A ．∃x ∈R ，x 2＋2x ＋2≤0 B ．任意一个四边形的四顶点共圆 C ．所有能被3整除的整数都是奇数 D ．∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1[解析] 设命题p ：∀x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ＝1，则綈p ：∃x ∈R ，sin 2x ＋cos 2x ≠1，显然綈p 是假命题．11．已知全集U ＝R ，设集合A ＝{x |y ＝ln(2x －1)}，集合B ＝{y |y ＝sin(x －1)}，则(∁UA )∩B 为(C )A ．(12，＋∞)B ．(0，12]C ．[－1，12]D ．∅[解析] 集合A ＝{x |x >12}，则∁U A ＝{x |x ≤12}，集合B ＝{y |－1≤y ≤1}，所以(∁U A )∩B ＝{x |x ≤12}∩{y |－1≤y ≤1}＝[－1，12]．12．给定命题p ：函数y ＝ln[(1－x )(1＋x )]为偶函数；命题q ：函数y ＝e x－1e x ＋1为偶函数，下列说法正确的是( B )A ．p ∨q 是假命题B ．(綈p )∧q 是假命题C ．p ∧q 是真命题D ．(綈p )∨q 是真命题[解析] 对于命题p ：y ＝f (x )＝ln[(1－x )(1＋x )]， 令(1－x )(1＋x )>0，得－1<x <1.所以函数f (x )的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 因为f (－x )＝ln[(1＋x )(1－x )]＝f (x )， 所以函数f (x )为偶函数，所以命题p 为真命题；对于命题q ：y ＝f (x )＝e x－1e x ＋1，函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，因为f (－x )＝e －x －1e －x ＋1＝1e x －11ex ＋1＝1－ex1＋ex ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数，所以命题q 为假命题，所以(綈p )∧q 是假命题．13．已知命题p ：x ≥1，命题q ：1x<1，则綈p 是q 的既不充分也不必要条件．[解析] 由题意，得綈p 为x <1，由1x<1，得x >1或x <0，故q 为x >1或x <0，所以綈p是q 的既不充分也不必要条件．14．设命题p ：∀a >0，a ≠1，函数f (x )＝a x－x －a 有零点，则綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点.[解析] 全称命题的否定为特称命题，綈p ：∃a 0>0，a 0≠1，函数f (x )＝a x0－x －a 0没有零点．15．已知集合A ＝{x ∈R ||x －1|<2}，Z 为整数集，则集合A ∩Z 中所有元素的和等于3. [解析] A ＝{x ∈R ||x －1|<2}＝{x ∈R |－1<x <3}，集合A 中包含的整数有0,1,2，故A ∩Z ＝{0,1,2}．故A ∩Z 中所有元素之和为0＋1＋2＝3.16．已知命题p ：∀x ∈R ，x 2－a ≥0，命题q ：∃x 0∈R ，x 20＋2ax 0＋2－a ＝0.若命题“p 且q ”是真命题，则实数a 的取值范围为(－∞，－2].[解析] 由已知条件可知p 和q 均为真命题，由命题p 为真得a ≤0，由命题q 为真得a ≤－2或a ≥1， 所以a ≤－ 2.组1．设集合A ＝{x |x 2－x －2≤0}，B ＝{x |x <1，且x ∈Z }，则A ∩B ＝( C ) A ．{－1} B ．{0} C ．{－1,0}D ．{0,1}[解析] 本题主要考查一元二次不等式的解法与集合的表示方法、集合间的基本运算． 依题意得A ＝{x |(x ＋1)(x －2)≤0}＝{x |－1≤x ≤2}，因此A ∩B ＝{x |－1≤x <1，x ∈Z }＝{－1,0}，选C ．2．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，集合B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩B ＝( C )A ．∅B ．(1,2]C ．[2，＋∞)D ．(1，＋∞)[解析] 由x －1>0，得x >1，故集合A ＝(1，＋∞)，又y ＝x 2＋2x ＋5＝x ＋2＋4≥4＝2，故集合B ＝[2，＋∞)，所以A ∩B ＝[2，＋∞)，故选C ．3．给出下列命题：①∀x ∈R ，不等式x 2＋2x >4x －3均成立； ②若log 2x ＋log x 2≥2，则x >1；③“若a >b >0且c <0，则c a >c b”的逆否命题； ④若p 且q 为假命题，则p ，q 均为假命题． 其中真命题的是( A ) A ．①②③ B ．①②④ C ．①③④D ．②③④[解析] ①中不等式可表示为(x －1)2＋2>0，恒成立；②中不等式可变为log 2x ＋1log 2x ≥2，得x >1；③中由a >b >0，得1a <1b，而c <0，所以原命题是真命题，则它的逆否命题也为真；④由p 且q 为假只能得出p ，q 中至少有一个为假，④不正确．4．设x 、y ∈R ，则“|x |≤4且|y |≤3”是“x 216＋y 29≤1”的( B )A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] “|x |≤4且|y |≤3”表示的平面区域M 为矩形区域，“x 216＋y 29≤1”表示的平面区域N 为椭圆x 216＋y 29＝1及其内部，显然N M ，故选B ．5．(文)若集合A ＝{x |2<x <3}，B ＝{x |(x ＋2)(x －a )<0}，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的( A )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件[解析] 当a ＝1时，B ＝{x |－2<x <1}，∴A ∩B ＝∅，则“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分条件；当A ∩B ＝∅时，得a ≤2，则“a ＝1”不是“A ∩B ＝∅”的必要条件，故“a ＝1”是“A ∩B ＝∅”的充分不必要条件．(理)设x ，y ∈R ，则“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的( D ) A ．既不充分又不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．充分不必要条件[解析] 当x ≥1，y ≥1时，x 2≥1，y 2≥1，所以x 2＋y 2≥2；而当x ＝－2，y ＝－4时，x 2＋y 2≥2仍成立，所以“x ≥1且y ≥1”是“x 2＋y 2≥2”的充分不必要条件，故选D ．6．已知集合A ＝{1,2,3,4}，B ＝{2,4,6,8}，定义集合A ×B ＝{(x ，y )|x ∈A ，y ∈B }，则集合A ×B 中属于集合{(x ，y )|log x y ∈N }的元素个数是( B )A ．3B ．4C ．8D ．9[解析] 用列举法求解．由给出的定义得A ×B ＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(1,8)，(2,2)，(2,4)，(2,6)，(2,8)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(3,8)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(4,8)}．其中log 22＝1，log 24＝2，log 28＝3，log 44＝1，因此，一共有4个元素，故选B ．7．(2018·东北三省四市一模)已知命题p ：函数y ＝lg(1－x )在(－∞，1)内单调递减，命题q ：函数y ＝2cos x是偶函数，则下列命题中为真命题的是( A )A ．p ∧qB ．(綈p )∨(綈q )C ．(綈p )∧qD ．p ∧(綈q )[解析] 命题p ：函数y ＝lg(1－x )在(－∞，1)上单调递减，是真命题； 命题q ：函数y ＝2cos x是偶函数，是真命题．则p ∧q 是真命题．故选A ．8．已知条件p ：x 2－2x －3<0，条件q ：x >a ，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围为( D )A ．a >3B ．a ≥3C ．a <－1D ．a ≤－1[解析] 由x 2－2x －3<0得－1<x <3，设A ＝{x |－1<x <3}，B ＝{x |x >a }，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，即a ≤－1. 9．若集合P ＝{x |3<x ≤22}，非空集合Q ＝{x |2a ＋1≤x <3a －5}，则能使Q ⊆(P ∩Q )成立的a 的取值范围为( D )A ．(1,9)B ．[1,9]C ．[6,9)D ．(6,9][解析] 依题意，P ∩Q ＝Q ，Q ⊆P ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋1<3a －5，2a ＋1>3，3a －5≤22，解得6<a ≤9，即实数a 的取值范围为(6,9]． 10．下列说法正确的是( D )A ．命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋2 018>0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋2 018<0” B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件 C ．函数f (x )＝1x在其定义域上是减函数D ．给定命题p ，q ，若“p 且q ”是真命题，则綈p 是假命题[解析] 对于A ，特称命题的否定为全称命题，所以命题“存在x 0∈R ，x 20＋x 0＋2 018>0”的否定是“任意x ∈R ，x 2＋x ＋2 018≤0”，故A 不正确．对于B ，两个三角形全等，则这两个三角形面积相等；反之，不然．即两个三角形全等是这两个三角形面积相等的充分不必要条件，故B 不正确．对于C ，函数f (x )＝1x在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别是减函数，但在定义域(－∞，0)∪(0，＋∞)内既不是增函数，也不是减函数，如取x 1＝－1，x 2＝1，有x 1<x 2，且f (x 1)＝－1，f (x 2)＝1，则f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )＝1x在其定义域上不是减函数，故C 不正确．对于D ，因为“p 且q ”是真命题，则p ，q 都是真命题，所以綈p 是假命题，故D 正确．11．如果集合A 满足若x ∈A ，则－x ∈A ，那么就称集合A 为“对称集合”．已知集合A ＝{2x,0，x 2＋x }，且A 是对称集合，集合B 是自然数集，则A ∩B ＝{0,6}.[解析] 由题意可知，－2x ＝x 2＋x ， 所以x ＝0或x ＝－3，而当x ＝0时，不符合元素的互异性，舍去； 当x ＝－3时，A ＝{－6,0,6}，所以A ∩B ＝{0,6}．12．命题“∀x ∈[1,2]，使x 2－a ≥0”是真命题，则a 的取值范围是(－∞，1]. [解析] 命题p ：a ≤x 2在[1,2]上恒成立，y ＝x 2在[1,2]上的最小值为1， 所以a ≤1.13．设p ：(x －a )2>9，q ：(x ＋1)(2x －1)≥0，若綈p 是q 的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是(－∞，－4]∪[72，＋∞).[解析] 綈p ：(x －a )2≤9，所以a －3≤x ≤a ＋3，q ：x ≤－1或x ≥12，因为綈p 是q 的充分不必要条件， 所以a ＋3≤－1或a －3≥12，即a ≤－4或a ≥72.14．给出下列结论：①若命题p ：∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0，则綈p ：∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0； ②“(x －3)(x －4)＝0”是“x －3＝0”的充分而不必要条件；③命题“若b ＝0，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)是偶函数”的否命题是“若b ≠0，则函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c 是常数，且a ≠0)是奇函数”；④若a >0，b >0，a ＋b ＝4，则1a ＋1b的最小值为1.其中正确结论的序号为①④.[解析] 由特称命题的否定知①正确；(x －3)(x －4)＝0⇒x ＝3或x ＝4，x ＝3⇒(x －3)(x －4)＝0，所以“(x －3)·(x －4)＝0”是“x －3＝0”的必要而不充分条件，所以②错误；函数可能是偶函数，奇函数，也可能是非奇非偶的函数，结论③中“函数是偶函数”的否定应为“函数不是偶函数”，故③不正确；因为a >0，b >0，a ＋b ＝4，所以1a ＋1b ＝a ＋b 4·(1a ＋1b )＝12＋b 4a ＋a 4b ≥12＋2b 4a ·a4b＝1，当且仅当a ＝b ＝2时取等号，所以④正确．。
近年高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课时达标2命题及其关系、充分条件与必要条件理(2021
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课时达标第2讲［解密考纲]考查命题及其相互关系、充分条件及必要条件的定义，与高中所学知识交汇考查，常以选择题、填空题的形式呈现，考卷中常排在靠前的位置．一、选择题1．(2018·湖南衡阳五校联考)命题“若x≥a2＋b2，则x≥2ab”的逆命题是( D)A．若x<a2＋b2，则x〈2ab B．若x≥a2＋b2,则x〈2abC．若x<2ab，则x<a2＋b2D．若x≥2ab，则x≥a2＋b2解析由逆命题定义知D项正确．2．下列结论错误的是( B）A．命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题是“若x≠4，则x2－3x－4≠0”B．命题“若m〉0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为真命题C．“x＝4"是“x2－3x－4＝0"的充分条件D．命题“若m2＋n2＝0，则m＝0且n＝0"的否命题是“若m2＋n2≠0,则m≠0或n≠0”解析命题“若x2－3x－4＝0，则x＝4”的逆否命题为“若x≠4，则x2－3x－4≠0”,故A项正确；命题“若m〉0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的逆命题为“若方程x2＋x－m＝0有实根，则m〉0”，由Δ＝1＋4m≥0,解得m≥－错误!，是假命题,故B项错误;x＝4时,x2－3x－4＝0，是充分条件，故C项正确；命题“若m2＋n2＝0,则m＝0且n＝0”的否命题是“若m2＋n2≠0，则m≠0或n≠0”，故D项正确，故选B．3．(2018·山东淄博期中)“x（x－5）〈0成立"是“｜x－1|〈4成立"的( A）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解析∵x(x－5）〈0⇔0<x<5,|x－1|<4⇔－3<x<5，∵｛x｜0〈x<5}｛x|－3〈x〈5},∴“x(x－5)〈0成立”是“｜x－1｜〈4成立”的充分不必要条件，故选A．4．直线x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x－1＝0相交的一个充分不必要条件是（C)A．－3〈m<1 B．－4〈m〈2C．0<m〈1 D．m<1解析圆的标准方程为（x－1)2＋y2＝2，圆心(1，0)到直线x－y＋m＝0的距离d＝错误!，当直线与圆相交时，错误!〈错误!,即－3<m〈1，因为｛m｜0<m<1}{m｜－3〈m<1}，所以0〈m〈1是直线与圆相交的一个充分不必要条件，故选C．5．（2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题p 1:若复数z满足1z∈R，则z∈R；p2：若复数z满足z2∈R,则z∈R；p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R,则z1＝错误!2;p4：若复数z∈R,则z∈R。
2019年高考数学一轮总复习第一章集合与常用逻辑用语1.1集合课件理
(2)元素与集合的两种关系：属于，记为 ∈ ，不属于，记为 ∉ . (3)集合的三种表示方法： 列举法 、 描述法 、 图示法 ．
(4)五个常用的集合
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号
_N_
__Z__或 N＋ _N_*_
_Q__
_R__
2.集合间的基本关系
3.集合的基本运算
表示 运算
等实根．当 a＝0 时，x＝23，符合题意；当 a≠0 时，由 Δ＝(－3)2－8a＝0，得 a＝98，
所以 a 的值为 0 或89. 答案：D
4．(2017 届成都诊断)已知集合 A＝{m＋2,2m2＋m}，若 3∈A，则 m 的值为 ________．
解析：∵3∈A，∴m＋2＝3 或 2m2＋m＝3. 当 m＋2＝3， 即 m＝1 时，2m2＋m＝3， 此时集合 A 中有重复元素 3， ∴m＝1 不符合题意，舍去； 当 2m2＋m＝3 时，
5 年 18 考 5 年 39 考
集合及其关系， 常利用集合元 素的互异性确 定集合中元素 或元素个数，求 集合子集的个 数，根据集合间 的关系求参数 的值或取值范 围．集合的运算 多与函数、方 程、不等式等知 识结合，偶尔有 新情境设置题．
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」
1．集合的相关概念 (1)集合元素的三个特性： 确定性 、 无序性 、 互异性 ．
_A__∪__B__ _∁__U_A__
「应用提示研一研」 1．常用结论 (1)A∪B＝A⇔B⊆A，A∩B＝A⇔A⊆B，A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB ⇔A∩(∁UB)＝∅. (2)A∩A＝A，A∩∅＝∅. (3)A∪A＝A，A∪∅＝A. (4)A∩(∁UA)＝∅，A∪(∁UA)＝U，∁U(∁UA)＝A. (5)若集合 A 中含有 n 个元素，则它的子集个数为 2n，真子集个数为 2n－1，非空 真子集个数为 2n－2.
近年届高考数学一轮复习第一章集合与常用逻辑用语课堂达标2命题及其关系、充分条件与必要条件文新人教版
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课堂达标(二）命题及其关系、充分条件与必要条件［A基础巩固练］1．（2018·山东重点中学模拟）已知命题p：“正数a的平方不等于0”，命题q：“若a不是正数，则它的平方等于0",则q是p的（）A．逆命题B．否命题C．逆否命题D．否定［解析］命题p：“正数a的平方不等于0”写成“若a是正数，则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题．［答案]B2．(2016·天津卷）设x＞0,y∈R，则“x〉y"是“x〉｜y|"的（）A．充要条件B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件D．既不充分也不必要条件[解析］若x〉｜y|,则x>y或x>－y，若x>y，当y>0时，x>|y|，当y<0时，不能确定x>|y｜.故选C。
[答案]C3．（2018·河北保定二模)“不等式x2－x＋m>0在R上恒成立"的一个必要不充分条件是( )A．m>14B．0<m〈1C．m>0 D．m>1[解析]由题意知，对应方程的Δ＝(－1)2－4m〈0,即m〉14。
【配套K12】全国版2019版高考数学一轮复习第1章集合与常用逻辑用语第3讲简单的逻辑联结词增分练
第3讲 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词板块四 模拟演练·提能增分[A 级 基础达标]1．[2018·沈阳模拟]命题“∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q ”的否定是( ) A ．∃x 0∉∁R Q ，x 30∈Q B ．∃x 0∈∁R Q ，x 30∈Q C ．∀x ∉∁R Q ，x 3∈Q D ．∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q答案 D解析 该特称命题的否定为“∀x ∈∁R Q ，x 3∉Q ”．2．[2017·湖北武汉调研]命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是( ) A ．∃x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) B ．∀x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) C ．∀x ∈M ，f (－x )＝－f (x ) D ．∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x ) 答案 D解析 命题“y ＝f (x )(x ∈M )是奇函数”的否定是∃x ∈M ，f (－x )≠－f (x )，故选D. 3．[2018·安徽六校素质测试]设非空集合P ，Q 满足P ∩Q ＝P ，则( ) A ．∀x ∈Q ，有x ∈P B ．∀x ∉Q ，有x ∉P C ．∃x 0∉Q ，使得x 0∈P D ．∃x 0∈P ，使得x 0∉Q答案 B解析 因为P ∩Q ＝P ，所以P ⊆Q ，所以∀x ∉Q ，有x ∉P ，故选B. 4．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( ) A ．锐角三角形有一个内角是钝角 B ．至少有一个实数x ，使x 2≤0 C ．两个无理数的和必是无理数 D ．存在一个负数x ，1x>2答案 B解析 当x ＝0时，x 2＝0，满足x 2≤0，所以B 既是特称命题又是真命题．5．[2018·湖南模拟]已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(綈q )；④(綈p )∨q 中，真命题是( )A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④答案 C解析 当x >y 时，－x <－y ，故命题p 为真命题，从而綈p 为假命题． 当x >y 时，x 2>y 2不一定成立，故命题q 为假命题，从而綈q 为真命题．由真值表知，①p ∧q 为假命题；②p ∨q 为真命题；③p ∧(綈q )为真命题；④(綈p )∨q 为假命题．故选C.6．[2018·浙江模拟]命题“∀n ∈N *，f (n )∈N *且f (n )≤n ”的否定形式是( ) A ．∀n ∈N *，f (n )∉N *且f (n )>nB ．∀n ∈N *，f (n )∉N *或f (n )>n C ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *且f (n 0)>n 0 D ．∃n 0∈N *，f (n 0)∉N *或f (n 0)>n 0 答案 D解析 全称命题的否定是特称命题．选D 项． 7．下列说法正确的是( )A ．命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2＝1，则x ≠1” B ．若a ，b ∈R ，则“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件 C ．命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定是“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1>0” D ．若“p 且q ”为假命题，则p ，q 全是假命题 答案 B解析 命题“若x 2＝1，则x ＝1”的否命题为“若x 2≠1，则x ≠1”，所以A 错误；ab ≠0等价于a ≠0且b ≠0，所以“ab ≠0”是“a ≠0”的充分不必要条件，B 正确；命题“∃x 0∈R ，x 20＋x 0＋1<0”的否定为“∀x ∈R ，x 2＋x ＋1≥0”，C 错误；若“p 且q ”为假命题，则p ，q至少有一个为假命题，D 错误．综上所述，故选B.8．已知p ：1x 2－x －2>0，则綈p 对应的x 的集合为________．答案 {x |－1≤x ≤2} 解析 ∵p ：1x 2－x －2>0⇔x >2或x <－1，∴綈p ：－1≤x ≤2.9．[2018·河南模拟]若命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋ax 0＋a ＋3<0”为假命题，则实数a 的取值范围是________．答案 －2≤a ≤6解析 由命题“∃x 0∈R ，使得x 20＋ax 0＋a ＋3<0”为假命题，得命题“∀x ∈R ，都有x 2＋ax ＋a ＋3≥0”为真命题，则Δ＝a 2－4(a ＋3)≤0，解得－2≤a ≤6.10．对于中国足球参与的某次大型赛事，有三名观众对结果作如下猜测： 甲：中国非第一名，也非第二名； 乙：中国非第一名，而是第三名； 丙：中国非第三名，而是第一名．竞赛结束后发现，一人全猜对，一人猜对一半，一人全猜错，则中国足球队得了第________名．答案 一解析 由题可知：甲、乙、丙均为“p 且q ”形式，所以猜对一半者也说了错误“命题”，即只有一个为真，所以可知丙是真命题，因此中国足球队得了第一名．[B 级 知能提升]1．[2018·青岛模拟]下列命题中，是真命题的是( ) A ．∃x 0∈R ，e x≤0 B ．∀x ∈R,2x>x 2C ．已知a ，b 为实数，则a ＋b ＝0的充要条件是ab＝－1D ．已知a ，b 为实数，则a >1，b >1是ab >1的充分条件 答案 D解析 对于A ，对任意x ∈R ，e x>0，所以A 为假命题；对于B ，当x ＝2时，有2x＝x 2，所以B 为假命题；对于C ，a b＝－1的充要条件为a ＋b ＝0且b ≠0，所以C 为假命题；对于D ，当a >1，b >1时，显然有ab >1，充分性成立，当a ＝4，b ＝12时，满足ab >1，但此时a >1，b <1，必要性不成立，所以“a >1，b >1”是“ab >1”的充分不必要条件，所以D 为真命题．故选D.2．已知命题p ：∀x >0，x ＋4x ≥4；命题q ：∃x 0∈(0，＋∞)，2x 0＝12，则下列判断正确的是( )A ．p 是假命题B ．q 是真命题C ．p ∧(綈q )是真命题D ．(綈p )∧q 是真命题答案 C解析 p ：∵x >0，∴x ＋4x≥2x ·4x＝4，∴p 为真命题． q ：当x >0时，2x >1，∴q 为假命题．∴p ∧(綈q )是真命题．故选C.3．已知命题p ：方程x 2－mx ＋1＝0有实数解，命题q ：x 2－2x ＋m >0对任意x 恒成立．若命题q ∨(p ∧q )真、綈p 真，则实数m 的取值范围是________．答案 (1,2)解析 由于綈p 真，所以p 假，则p ∧q 假，又q ∨(p ∧q )真，故q 真，即命题p 假、q 真．当命题p 假时，即方程x 2－mx ＋1＝0无实数解，此时m 2－4<0，解得－2<m <2；当命题q 真时，4－4m <0，解得m >1.所以所求的m 的取值范围是1<m <2.4．[2018·桂林模拟]给定两个命题：p ：对任意实数x ，都有ax 2＋ax ＋1>0恒成立，q ：函数y ＝3x－a 在x ∈[0,2]上有零点，如果(綈p )∧q 为假命题，綈q 为假命题，求a 的取值范围．解 若p 为真命题，则有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，Δ＝a 2－4a <0或a ＝0，即0≤a <4，故当p 为真命题时，0≤a <4.若q 为真命题时，方程3x－a ＝0在x ∈[0,2]上有根． ∵当x ∈[0,2]时，有1≤3x≤9，∴1≤a ≤9， 即当q 为真命题时，1≤a ≤9.∵(綈p )∧q 为假命题，∴綈p ，q 中至少有一个为假命题． 又∵綈q 为假命题，∴q 为真命题． ∴綈p 为假命题，p 为真命题．∴当p ，q 都为真时，⎩⎪⎨⎪⎧0≤a <4，1≤a ≤9，即1≤a <4.故所求a 的取值范围是[1,4)．5．已知m ∈R ，命题p ：对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立；命题q ：存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立．(1)若p 为真命题，求m 的取值范围；(2)当a ＝1，若p 且q 为假，p 或q 为真，求m 的取值范围．解 (1)∵对任意x ∈[0,1]，不等式2x －2≥m 2－3m 恒成立，∴(2x －2)min ≥m 2－3m .即m 2－3m ≤－2.解得1≤m ≤2.因此，若p 为真命题时，m 的取值范围是[1,2]． (2)∵a ＝1，且存在x ∈[－1,1]，使得m ≤ax 成立， ∴m ≤x ，命题q 为真时，m ≤1. ∵p 且q 为假，p 或q 为真，∴p ，q 中一个是真命题，一个是假命题．当p 真q 假时，则⎩⎪⎨⎪⎧1≤m ≤2，m >1，解得1<m ≤2；当p 假q 真时，⎩⎪⎨⎪⎧m <1或m >2，m ≤1，即m <1.综上所述，m 的取值范围为(－∞，1)∪(1,2]．。
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课堂达标(一) 集合[A基础巩固练]1．(2017·课标Ⅰ)已知集合A＝{x|x<1}，B＝{x|3x＜1}，则( )A．A∩B＝{x|x＜0} B．A∪B＝RC．A∪B＝{x|x＞1} D．A∩B＝∅[解析]由3x＜1可得3x＜30，则x＜0，即B＝{x|x＜0}，所以A∩B＝{x|x＜1}∩{x|x＜0}＝{x|x＜0}，A∪B＝{x|x＜1}∪{x|x＜0}＝{x|x＜1}．故选A.[答案] A2．(2017·天津)设集合A＝{1,2,6}，B＝{2,4}，C＝{x∈R|－1≤x≤5}，则(A∪B)∩C ＝( )A．{2} B．{1,2,4}C．{1,2,4,6} D．{x∈R|－1≤x≤5}[解析](A∪B)∩C＝{1,2,4,6}∩[－1,5]＝{1,2,4}，选B.[答案] B3．(2018·哈尔滨九中二模)设非空集合P，Q满足P∩Q＝P，则( )A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∉Q，有x∉PC．∃x0∉Q，使得x0∈P D．∃x0∈P，使得x0∉P[解析]∵P∩Q＝P，∴P⊆Q∴A错误；B正确；C错误；D错误．故选B.[答案] B4．(2018·刑台摸底考试)已知集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝{y|y＝x，0≤x≤4}，则下列关系正确的是( )A．A⊆∁R B B．B⊆∁R AC．∁R A⊆∁R B D．A∪B＝R[解析]依题意得B＝{y|0≤y≤2}，因此B⊆A，∁R A⊆∁R B.[答案] C5．(2018·湖北七市(州)协作体联考)已知集合P＝{n|n＝2k－1，k∈N*，k≤50}，Q＝{2,3,5}，则集合T ＝{xy |x ∈P ，y ∈Q }中元素的个数为( )A ．147B ．140C ．130D ．117[解析] 由题意得，y 的取值一共有3种情况，当y ＝2时，xy 是偶数，不与y ＝3，y ＝5时有相同的元素，当y ＝3，x ＝5,15,25，…，95时，与y ＝5，x ＝3,9,15，…，57时有相同的元素，共10个，故所求元素个数为3×50－10＝140，故选B.[答案] B6．(2018·山东临沂期中)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x 2－3x ＋2>0}，B ＝{x |x －a ≤0}，若∁U B ⊆A ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1)B ．(－∞，2]C ．[1，＋∞)D ．[2，＋∞)[解析] ∵x 2－3x ＋2>0，∴x >2或x <1. ∴A ＝{x |x >2或x <1}，∵B ＝{x |x ≤a }， ∴∁U B ＝{x |x >a }．∁U B ⊆A ，借助数轴可知a ≥2，故选D. [答案] D7．已知集合A ＝{x |y ＝x }，B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x <4，则(∁R A )∩B 等于______． [解析] 因为A ＝{x |y ＝x }＝{x |x ≥0}，所以∁R A ＝{x |x <0}．又B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪12<2x<4＝{x |－1<x <2}，所以(∁R A )∩B ＝{x |－1<x <0}．[答案] {x |－1<x <0}8．已知集合A ＝{x |－1＜x ＜3}，B ＝{x |－m ＜x ＜m }，若B ⊆A ，则m 的取值范围为 ________ .[解析] 当m ≤0时，B ＝∅，显然B ⊆A . 当m ＞0时，∵A ＝{x |－1＜x ＜3}． 当B ⊆A 时，在数轴上标出两集合，如图，∴⎩⎪⎨⎪⎧－m ≥－1，m ≤3，－m ＜m .∴0＜m ≤1.综上所述m 的取值范围为(－∞，1]． [答案] (－∞，1]9．(2018·南阳月考)设全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝x 2－2x －3}，B ＝{y |y ＝e x＋1}，则A ∪B ＝ ________ .[解析] 因为A ＝{x |x ≥3或x ≤－1}，B ＝{y |y ＞1}， 所以A ∪B ＝{x |x ＞1或x ≤－1}． [答案] (－∞，－1]∪(1，＋∞)10．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3≤0}，B ＝{x |x 2－2mx ＋m 2－4≤0，x ∈R ，m ∈R }． (1)若A ∩B ＝[0,3]，求实数m 的值； (2)若A ⊆∁R B ，求实数m 的取值范围． [解] 由已知得A ＝{x |－1≤x ≤3}，B ＝{x |m －2≤x ≤m ＋2}．(1)∵A ∩B ＝[0,3]，∴⎩⎪⎨⎪⎧m －2＝0，m ＋2≥3，∴m ＝2.(2)∁R B ＝{x |x <m －2或x >m ＋2}，∵A ⊆∁R B ， ∴m －2>3或m ＋2<－1，即m >5或m <－3. 因此实数m 的取值范围是{m |m ＞5或m <－3}．[B 能力提升练]1．(2018·湖南衡阳第三次联考)集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ≤1，y ≤x ，y ≥－1}，N ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2＝r 2，r ＞0}，若M ∩N ≠∅，则r 的取值范围为( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，3 B.[]1，10 C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，10 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤1，102[解析] 由条件可得M 的可行域：如图阴影部分，N 则是以P (2,0)为圆心，半径为r 的圆，由M ∩N ＝∅，则当圆与x ＋y ＝1相切时半径最小，如图D 处，则d ＝r ＝22，当过y ＝x ，y ＝－1的交点时最大，此时r ＝10，故选C. [答案] C2．(2018·开封模拟)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( )A ．{x |x ≥1}B ．{x |1≤x <2}C ．{x |0<x ≤1}D ．{x |x ≤1}[解析] 易知A ＝{x |2x (x －2)<1}＝{x |x (x －2)<0}＝{x |0<x <2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x >0}＝{x |x <1}，则∁U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(∁U B }＝{x |1≤x <2}．[答案] B3．已知集合A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}，集合B ＝{x ∈R |(x －m )(x －2)＜0}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝ ________ ，n ＝ ________ .[解析] A ＝{x ∈R ||x ＋2|＜3}＝{x ∈R |－5＜x ＜1}，由A ∩B ＝(－1，n )，可知m ＜1，则B ＝{x |m ＜x ＜2}，画出数轴，可得m ＝－1，n ＝1.[答案] －1；14．已知集合M ＝{1,2,3,4}，集合A 、B 为集合M 的非空子集，若∀x ∈A 、y ∈B ，x <y 恒成立，则称(A ，B )为集合M 的一个“子集对”，则集合M 的“子集对”共有__________________个．[解析] 当A ＝{1}时，B 有23－1＝7种情况，当A ＝{2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{3}时，B 有1种情况，当A ＝{1,2}时，B 有22－1＝3种情况，当A ＝{1,3}，{2,3}，{1,2,3}时，B 均有1种情况，所以满足题意的“子集对”共有7＋3＋1＋3＋1＋1＋1＝17个．[答案] 175．(2018·徐州模拟)已知集合A ＝{x |1<x <3}，集合B ＝{x |2m <x <1－m }．(1)当m ＝－1时，求A ∪B ； (2)若A ⊆B ，求实数m 的取值范围； (3)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围． [解] (1)当m ＝－1时，B ＝{x |－2<x <2}， 则A ∪B ＝{x |－2<x <3}． (2)由A ⊆B 知⎩⎪⎨⎪⎧1－m >2m ，2m ≤1，1－m ≥3，得m ≤－2，即实数m 的取值范围为(－∞，－2]．(3)由A ∩B ＝∅，得①若2m ≥1－m ，即m ≥13时，B ＝∅，符合题意；②若2m <1－m ，即m <13时，需⎩⎪⎨⎪⎧m <13，1－m ≤1或⎩⎪⎨⎪⎧m <13，2m ≥3，得0≤m ＜13或∅，即0≤m <13.综上知m ≥0，即实数m 的取值范围为[0，＋∞)．[C 尖子生专练](2018·贵阳市监测考试)已知全集U ＝{a 1，a 2，a 3，a 4}，集合A 是集合U 的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：①若a 1∈A ，则a 2∈A ；②若a 3∉A ，则a 2∉A ；③若a 3∈A ，则a 4∉A .则集合A ＝______.(用列举法表示)[解析] 若a 1∈A ，则a 2∈A ，则由若a 3∉A ，则a 2∉A 可知，a 3∈A ，假设不成立；若a 4∈A ，则a 3∉A ，则a 2∉A ，a 1∉A ，假设不成立，故集合A ＝{a 2，a 3}．[答案] {a 2，a 3}。