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第一章集合与常用逻辑用语第1节集合及其运算

考点一集合的基本概念

(1)(2018·全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2≤3，

x ∈Z ，y ∈Z }，则A 中元素的个数为( A )

A ．9

B ．8

C ．5

D ．4

解析：本题主要考查集合的含义与表示．

由题意可知A ＝{(－1,0)，(0,0)，(1,0)，(0，－1)，(0,1)，(－1，－1)，(－1,1)，(1，－1)，(1,1)}，

故集合A 中共有9个元素，故选A.

(2)若集合A ＝{x ∈R |ax 2－3x ＋2＝0}中只有一个元素，则a ＝( D )

A.92

B.98 C ．0

D ．0或9

解析：若集合A 中只有一个元素，则方程ax 2－3x ＋2＝0只有一个实根或有两个相等实根，

当a ＝0时，x ＝2

3，符合题意；

当a ≠0时，由Δ＝(－3)2

－8a ＝0，得a ＝9

8，

所以a 的取值为0或9

1.研究集合问题时，首先要明确构成集合的

元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合，然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的意义．常见的集合的意义如下表：

2.利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．

3．集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题．

(1)设集合A ＝{1,2,3}，B ＝{4,5}，M ＝{x |x ＝a ＋b ，a ∈A ，b ∈B }，则M 中元素的个数为( B )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

解析：a ∈{1,2,3}，b ∈{4,5}，

则M ＝{5,6,7,8}，即M 中元素的个数为4，故选B.

(2)已知集合A ＝{m ＋2,2m 2

＋m }，若3∈A ，则log 2 018? ?

??m ＋52的值

为0 .

解析：因为3∈A ，所以，m ＋2＝3或2m 2＋m ＝3. 当m ＋2＝3，即m ＝1时，2m 2＋m ＝3. 此时集合A 中有重复元素3，所以m ＝1不符合题意，舍去；当2m 2＋m ＝3时，

解得m ＝－3

2或m ＝1(舍去)．

当m ＝－32时，m ＋2＝1

2≠3符合题意．所以m ＝－3

2，log 2 018

? ????m ＋52＝log 2 0181＝0.

考点二集合间的基本关系

角度1 两集合间基本关系的判断

(2019·西安一模)已知集合M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝

ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，则集合M 与集合N 的关系是( B )

A ．M ＝N

B ．N M

C ．M ?N

D ．M ∩N ＝?

解析：因为M ＝{－1,0,1}，N ＝{x |x ＝ab ，a ，b ∈M ，且a ≠b }，所以N ＝{－1,0}，于是N M . 角度2 利用集合间关系求参数

(2019·郑州调研)已知集合A ＝{x |x 2－5x －14≤0}，

集合B ＝{x |m ＋1

4] .

解析：A ＝{x |x 2－5x －14≤0}＝[－2,7]．当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，如图．

则????

m ＋1≥－2，2m －1≤7，m ＋1＜2m －1，

解得2＜m ≤4.

综上，m 的取值范围为(－∞，4]．

【条件探究】若将本典例中的集合A 改为A ＝{x |x 2－5x －14>0}，其他条件不变，则m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞) .

解析：A ＝{x |x 2－5x －14>0}＝{x |x <－2或x >7}．当B ＝?时，有m ＋1≥2m －1，则m ≤2. 当B ≠?时，若B ?A ，

则????? m ＋1＜2m －1，m ＋1≥7或?????

m ＋1＜2m －1，2m －1≤－2.

解之得m ≥6.

综上可知，实数m 的取值范围是(－∞，2]∪[6，＋∞)．

(1)判断两集合之间的关系的方法：当两集合不

含参数时，可直接利用数轴、图示法进行判断；当集合中含有参数时，需要对满足条件的参数进行分类讨论或采用列举法．

(2)要确定非空集合A 的子集的个数，需先确定集合A 中的元素的个数，再求解．不要忽略任何非空集合是它自身的子集．

(3)根据集合间的关系求参数值(或取值范围)的关键是将条件转化

为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数

轴、图示法来解决这类问题．

提醒：空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解．

(1)(2019·烟台调研)已知集合M ＝??????x ???

x ＝k π4＋π

4，k ∈Z ，集合N

＝????

??x ???

x ＝k π8－π

4，k ∈Z ，则( B ) A ．M ∩N ＝? B ．M ?N C ．N ?M

D ．M ∪N ＝M

解析：由题意可知，M ＝??????

???

?x ???

x ＝(2k ＋4)π8－π4，k ∈Z ＝????

??x ???

x ＝2n π8－π

4，n ∈Z ， N ＝?

?????

???

?x ???

x ＝2k π8－π

4或x ＝(2k －1)π8－π4，k ∈Z ，所以M ?N ，故选B.

(2)已知集合A ＝{y ?

?????y ＝x 2－32x ＋1，x ∈??????34，2，B ＝{x |x ＋m 2

≥1}，若A ?B ，则实数m 的取值范围是? ????－∞，－34∪????

34，＋∞ . 解析：因为y ＝?

??x －342＋7

16，x ∈?

???

??34，2，

所以y ∈????

716，2.

又因为A ?B ，所以1－m 2≤7

16，解得m ≥34或m ≤－3

考点三集合的基本运算

角度1 集合的交、并、补运算

(1)(2017·全国卷Ⅰ)已知集合A ＝{x |x <1}，B ＝

{x |3x <1}，则( A )

A ．A ∩

B ＝{x |x <0} B ．A ∪B ＝R

C ．A ∪B ＝{x |x >1}

D ．A ∩B ＝?

解析：本题主要考查集合的表示方法和集合交集、并集的概念和

运算，还考查了指数函数的性质．

∵3x ＜1＝30，∴x ＜0，∴B ＝{x |x ＜0}， ∴A ∩B ＝{x |x ＜0}，A ∪B ＝{x |x ＜1}，故选A.

(2)(2019·河西五市二模)已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝lg(x －1)}，B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}，则A ∩(?U B )＝( D )

A ．[1,2]

B ．[1,2)

C ．(1,2]

D ．(1,2) 解析：由题意得A ＝{x |y ＝lg(x －1)}＝(1，＋∞)，B ＝{y |y ＝x 2＋2x ＋5}＝[2，＋∞)，则?U B ＝(－∞，2)，故A ∩(?U B )＝(1,2)．角度2 利用集合运算求参数

(2019·邯郸二模)已知集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5<0}，

B ＝{x |4x >2m }，若A ∩B 有三个元素，则实数m 的取值范围是(

C )

A ．[3,6)

B ．[1,2)

C ．[2,4)

D ．(2,4]

解析：集合A ＝{x ∈Z |x 2－4x －5＜0}＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x |4x ＞2m }

＝????

x ???

x ＞m 2，∵A ∩B 有三个元素，

∴1≤m

2＜2，解得2≤m ＜4，∴实数m 的取值范围是[2,4)．

1.解决集合的基本运算问题一般应注意以下几

点：

(1)看元素组成．集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．

(2)对集合化简．有些集合是可以化简的，如果先化简再研究其关系并进行运算，可使问题变得简单明了，易于解决．

(3)注意数形结合思想的应用．集合运算常用的数形结合形式有数轴和Venn 图．

2．根据集合运算结果求参数，主要有以下两种形式：

(1)用列举法表示的集合，直接依据交、并、补的定义求解，重点注意公共元素；

(2)由描述法表示的集合，一般先要对集合化简，再依据数轴确定集合的运算情况，特别要注意端点值的情况．

(1)设集合U ＝R ，A ＝{x |2x (x －2)<1}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}，则图中阴影部分表示的集合为( B )

A ．{x |x ≥1}

B ．{x |1≤x ＜2}

C ．{x |0

D ．{x |x ≤1}

解析：A ＝{x |2x (x －2)＜1}＝{x |x (x －2)＜0}＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |y ＝ln(1－x )}＝{x |1－x ＞0}＝{x |x ＜1}，则?U B ＝{x |x ≥1}，阴影部分表示的集合为A ∩(?U B )＝{x |1≤x ＜2}．

(2)已知集合A ＝{x |x 2－x －12≤0}，B ＝{x |2m －1

A ．[－1,2)

B ．[－1,3]

C ．[2，＋∞)

D ．[－1，＋∞)

解析：由x 2－x －12≤0，得(x ＋3)(x －4)≤0，即－3≤x ≤4，所以A ＝{x |－3≤x ≤4}．又A ∩B ＝B ，所以B ?A . ①当B ＝?时，有m ＋1≤2m －1，解得m ≥2；

②当B ≠?时，有????

－3≤2m －1，m ＋1≤4，

2m －1＜m ＋1，

解得－1≤m ＜2.

综上，m 的取值范围为[－1，＋∞)．

考点四集合的新定义问题

(1)(2019·合肥模拟)对于集合M ，N ，定义M －N ＝{x |x

∈M ，且x ?N }，M ⊕N ＝(M －N )∪(N －M )．设A ＝{y |y ＝x 2－3x ，x ∈R }，B ＝{y |y ＝－2x ，x ∈R }，则A ⊕B ＝( C )

A.? ????

－94，0 B.????

??－94，0 C.? ?

??－∞，－94∪[0，＋∞)

D.? ?

??－∞，－94∪(0，＋∞) 解析：因为A ＝????

y ???

y ≥－94，B ＝{y |y ＜0}，

所以A －B ＝{y |y ≥0}，

B －A ＝????

y ???

y ＜－94，

A ⊕

B ＝(A －B )∪(B －A )＝????

y ???

y ≥0或y ＜－94.故选C.

(2)已知集合M ＝{(x ，y )|y ＝f (x )}，若对于任意实数对(x 1，y 1)∈M ，都存在(x 2，y 2)∈M ，使得x 1x 2＋y 1y 2＝0成立，则称集合M 是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①M ＝????

??(x ，y )???

y ＝1x ；

②M ＝{(x ，y )|y ＝log 2x }； ③M ＝{(x ，y )|y ＝e x －2}； ④M ＝{(x ，y )|y ＝sin x ＋1}．

其中是“垂直对点集”的序号是( C ) A ．①④ B ．②③ C ．③④

D ．②④

解析：记A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则由x 1x 2＋y 1y 2＝0得OA ⊥OB .对于①，对任意A ∈M ，不存在B ∈M ，使得OA ⊥OB .对于②，当A 为点(1,0)时，不存在B ∈M 满足题意．对于③④，对任意A ∈M ，过原点O 可作直线OB ⊥OA ，它们都与函数y ＝e x －2及y ＝sin x ＋1的图象相交，即③④满足题意，故选C.

解决集合新定义问题的着手点

(1)正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问

题的突破口．

(2)合理利用集合性质：运用集合的性质(如元素的性质、集合的运算性质等)是破解新定义型集合问题的关键．在解题时要善于从题设条件给出的数式中发现可以使用集合性质的一些因素，并合理利用．

(3)对于选择题，可结合选项，通过验证、排除、对比、特值法等进行求解或排除错误选项，当不满足新定义的要求时，只需通过举反例来说明，以达到快速判断结果的目的．

(1)设集合A ＝{－1,0,1}，集合B ＝{－1,1,2,3}，定义A #B ＝

????

??z ???

z ＝x

y ，x ∈A ，y ∈B ，则A #B 中元素的个数是( B )

A ．5

B ．7