2021届高考数学一轮复习讲义课件：指数函数
(山东专用)2021版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第6讲指数与指数函数课件
• 知识点二 指数函数图象与性质 • 指数函数的概念、图象和性质
定义 底数
函数 f(x)＝ax(a>0 且 a≠1)叫指数函数
a>1
0<a<1
图象
函数的定义域为 R，值域为(0，＋∞)
函数图象过定点(0,1)，即 x＝0 时，y＝1
性质 当 x>0 时，恒有 y>1；当 x<0 时，恒 当 x>0 时，恒有 0<y<1；当 x<0 时，
考点突破 • 互动探究
考点一 指数与指数运算——自主练透
例 1 (1)(多选题)下列命题中不正确的是(ACD )
A．n an＝a B．a∈R，则(a2－a＋1)0＝1 C． 3 x4＋y3＝x43·y D． 3 －5＝ 6 －52 (2)(－287)－32 ＋(0.002) －12 －10( 5－2)－1＋( 2－ 3)0＝__－_1_69_7_____.
(3)化简：(14)－21
4ab－13 ·110－1·a3·b－312
8 ＝___5___.
1
(4)已知 a2
＋a－21
＝3，求下列各式的值．
①a＋a－1；②a2＋a－2；③aa2＋＋aa－－12＋＋11.
[解析] (1)若 n 是奇数，则n an＝a；若 n 是偶数，则n an＝|a|＝a－，aa，≥a0<，0， 所 以 A 错误；因为 a2－a＋1 恒不为 0，所以(a2－a＋1)0 有意义且等于 1，所以 B 正确；
4
2
1
6．(2016·全国卷Ⅲ)已知 a＝23 ，b＝45 ，c＝253 ，则( A )
A．b<a<c
B．a<b<c
C．b<c<a
2021届新高考数学一轮课件：第二章+第6讲+指数式与指数函数
y＝ax(a>1)
图象
y＝ax(0<a<1)
定义域 值域 定点
单调性
性质
R (0，＋∞) 过定点(0,1) 在 R 上是增函数 当 x＞0 时，y＞1； 当 x＜0 时，0＜y＜1
R
(0，＋∞) 过定点___(_0_,_1_) _ 在 R 上是__减__函__数__ 当 x＞0 时，_0_＜__y_＜__1_； 当 x＜0 时，___y_＞__1__
∴不可能成立的有 2 个，选 B.
答案：B
图 D5
(3)(2018年湖北黄冈质检)函数y＝ax(a>0，a≠1)与y＝xb 的图象如图 2-6-1，则下列不等式一定成立的是( )
A.ba>0 C.ab>1
图 2-6-1 B.a＋b>0 D.loga2>b
解析：由图可知，y＝ax 单调递增，则a>1；y＝xb 单调递减， 则 b<0.
A：ba>0 不一定成立，如 a＝3，b＝－1； B：a＋b>0 不一定成立，如 a＝2，b＝－3； C：ab>1 不成立；故选 D. 答案：D 【规律方法】实数 a，b 满足等式 2018a＝2019b，就是要判 断在同一平面直角坐标系中函数 y＝2018x，y＝2019x 的函数值 何时相等，利用两个函数的图象与直线 y＝m 的交点来判断.
考点 3 指数函数的性质及应用 答案：D
答案：B
答案：B
【规律方法】本题以分段函数为切入点，深入考查了同学 们对函数概念的理解与掌握，同时也考查了同学们对指数函数 性质的理解与运用，渗透着对不等式的考查，是一个多知识点 的综合题.
【跟踪训练】
A.是奇函数，且在 R 上是增函数 B.是偶函数，且在 R 上是增函数 C.是奇函数，且在 R 上是减函数 D.是偶函数，且在 R 上是减函数
2021年江苏高考数学一轮复习讲义第2章第6节指数与指数函数
第六节指数与指数函数［最新考纲］1•理解有理指数幕的含义，了解实数指数幕的意义，掌握幕的运算2了解指数函数模型的实际背景,理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为 1 12,3,10, 2，3的指数函数的图象3体会指数函数是一类重要的函数模型.［必备知识填充］1 •根式(1) n 次方根的概念① 若x ° = a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n > 1且n € N *.式子需叫做根式, 这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数.② a 的n 次方根的表示x =当用为奇数且宛w N . “ > 1时.龙二士辽当丹为偶数且时”(2) 根式的性质① (n ,a)n = a(n € N *，n > 1).a ，n 为奇数,2. 有理数指数幕 (1)幕的有关概念课前自主打除乱基x n = a? la>a ，a >0,n 为偶数.①正分数指数=②负分数扌旨数幕:J " =-^ = * —(Q > 0 , m , H e N * ,且兀— F in护a>1); —③0的正分数指数幕等于0,0的负分数指数幕无意义.(2)有理数指数幕的运算性质①a r a s= a r s(a>0, r, s€ Q)；②(a r)s= a TS(a>0, r, s€ Q)；③(ab)r= a r b r(a>0, b>0, r € Q).3. 指数函数的图象与性质x> 10v a v 1y= a a图象_ao]/____r=1| …尸i斗||J o\ i__ *定义域R值域(0, + x)过定点3当x>0 时，y> 1; 当x>0 时，0v y v 1；性质当x v 0 时，0v y v 1当x v 0 时，y> 1在R上是增函数在R上是减函数［常用结论］1. 指数函数图象的画法画指数函数尸a x(a>0,且a^ 1)的图象，应抓住三个关键点：(1, a), (0,1),2. 指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y= a x, (2)y= b x, (3)y= c x, (4)y= d x的图象，底数a, b, c, d 与1之间的大小关系为c>d> 1 >a>b>0•由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y= a x(a>0, a^ 1)的图象越高，底数越大.3 •指数函数y= a x(a> 0, a^ 1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a> 1与O v a v 1来研究.［学情自测验收］思考辨析(正确的fJ H V\错谋的JT X fl) (1 ) Ji/"匚(% ) M =a.(3)函数?>n的值域是w. +工(4 )若『< ◎" ( a A 0 且a H1),则就 < %［答案］(1) X ⑵x (3)x ⑷x、教材改编1. 函数f(x) = 21一x的大致图象为()A ［f(x)= 21-x= 2 ，又f(°)= 2, f(1) = 1,故排除B, C, D，故选 A.］12. ____________________________________________________________ 若函数f(x) = a x(a>0,且a^ 1)的图象经过点P 2, 2 ,则f(- 1) = __________________1 ^J2v2 ［由题意知2= a2，所以a= ~2,-1所以f(x) = ~2，所以f(—1)= ~2= 2.］3. ________________________________ 化简416x8y4(x v0, y v0) = ［答案］—2x2y3 xc v b v a ［ T y = 5是减函数，1 1 3 3 3 4 3 0:5 > 5 > 5， 则 a > b > 1, 3 3 "43 0又 c = 2 v 2 = 1，••• c v b v a.]_____ 一搔线笼生襄M 课堂考点探究1指数幕的运算良资指数幕运算的一般原则(1) 有括号的先算括号里的，无括号的先算指数运算. (2) 先乘除后加减，负指数幕化成正指数幕的倒数.(3) 底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的,先化成假分数.(4) 若是根式，应化为分数指数幕，尽可能用幕的形式表示，运用指数幕的运算性质来解答.咂典题1.化简(吕 ------------ - %"〉 ----- (口V 7(0. I)'1 - (a ・ A 3)T >0) = _____ .—J -------------- 3 ------------------------------------------------------邑［虑式詔冥I •码二2心冥1『二邑］5 10・&厂51 一4-a则3 __4b ,c 的大小关系是 ________ .•考点2.计算：(-y -丁 1+ ft0O2_T -10( is _ 2)167 「馬』i 3、5门+10( 5 +2)1 得十 10 JJ-10K-20+1 - -]_1丄a 2 -8a y 43+化荀：壬 (461 + 2 '4ab + a(« >0J ［原式二丄『［仔九严门丄亍(『)5* • (2t J ) +(2/fix ±訂十 r 占、af— = Q (<z -26 ) x —f —(1 一2b r JIS 点评运算结果不能同时含有根号和分数指数幕，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一.•考点2指数函数的图象及应用駆£(1)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用相应指数函数的图 象，通过平移、对称、翻折变换得到其图象.⑵一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数 形结合求解.(1)函数f(x) = a x _b 的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是()A. a>1，b v0B. a> 1，b>0C. O v a v 1, b>0D. O v a v 1, b v0(2)若曲线y= |3x- 1|与直线y = m有两个不同交点，则实数m的取值范围是⑴D ⑵(0,1) [(1)由f(x)= a x-b的图象可以观察出，函数f(x) = a x-b在定义域上单调递减，所以O v a v 1.函数f(x)= a x-b的图象是在f(x)= a x的基础上向左平移得到的，所以b v0•故选D.(2)曲线- 1|的图象是由函数y= 3x的图象向下平移一个单位长度后，再把位于x 轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，而直线y=m的图象是平行于x轴的一条直线，它的图象如图所示，由图象可得，如果曲线y= |3x- 1|与直线y= m有两个公共点，则m的取值范围是(0,1).][母题探究]1. _____________ (变条件)若本例(2)条件变为：方程3|x|—1二m有两个不同实根，则实数m 的取值范围是.(0，+*)[作出函数y= 3xi- 1与y= m的图象如图所示，数形结合可得m 的取值范围是(0，+ s).]2. (变条件)若本例(2)的条件变为：函数y=3—1|+ m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是 ________ .(-s，- 1][作出函数y=⑶一1|+ m的图象如图所示.由图象知m W—1, 即卩m€ (—X,—1].]缶疔[应用指数函数图象的技巧(1)画指数函数y= a x(a>0,且a^ 1)的图象，应抓住三个关键点：(1, a) ,(0,1), —1,(2)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除.(3) 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、对称变换而得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.烁盪1•函数f(x)= 1—e x|的图象大致是()A By l「』Q/|\C DA [f(x)二1 —e x|是偶函数，图象关于y 轴对称，又e|x|> 1, ••• f(x)<0,符合条件的图象只有A.]2.函数y= a x—b(a>0,且a^ 1)的图象经过第二、三、四象限，贝U a b的取值范围是________ •(0,1)[因为函数y= a x—b的图象经过第二、三、四象限，所以函数y= a x —b单调递减且其图象与y轴的交点在y轴的负半轴上.令x= 0,则y= a0—b0v a v 1, 0v a v 1,=1 —b,由题意得解得故a b€ (0,1).]1 —b v 0, b> 1,3. 已知实数a, b满足等式2 019a= 2 020b，下列五个关系式：①0v b v a；②a v b v 0 :③0v a v b :④b v a v 0 :⑤a = b.其中不可能成立的关系式有填序号).③④[作出y = 2 019x及y= 2 020x的图象如图所示，由图可知a>b>0, a =b= 0或a v b v 0时，有2 019a= 2 020b，故③④不可能成立.]•考点3指数函数的性质及应用匾强指数函数性质的应用主要是利用单调性解决相关问题，而指数函数的单调性是由底数a决定的，因此解题时通常对底数a按0v a v 1和a> 1进行分类讨论.讥】〕比较指数式的大小辭⑴已知a= 20.2, b= 0.40.2, c= 0.40.6,则()A. a>b>cB. a>c>bC. c>a>bD. b>c>a(2)设函数f(x) = x2—a与g(x) = a x(a> 1且a^2)在区间(0, )上具有不同的1 0.1单调性，则M = (a—1)0.2与N= a 的大小关系是()aA. M = NC. M v N(1) A ⑵D [⑴由0.2V 0.6,0.4v 1,并结合指数函数的图象可知 0.40.2>0.40.6,即卩 b >c.因为 a = 20.2> 1, b = 0.40.2V 1,所以 a >b.综上，a >b >c.(2) 因为f(x) = x 2-a 与g(x) = a x (a > 1且a ^2)在区间(0,)上具有不同的单1调性，所以 a >2,所以 M = (a - 1)0.2> 1, N = - 0.1 V 1,所以 M >N.故选 D.] a缶疔申 指数式的大小比较，依据的就是指数函数的单调性，原则上化为同 底的指数式，并要注意底数范围是(0,1)还是(1, ),若不能化为同底，贝冋化为同指数，或利用中间变量比较，如本例(1).上皿2解简单的指数方程或不等式1 3 1瑟曲引⑴已知函数f(x) = a +4x + 1的图象过点1,- 10，若一6= f(x)<0,则 实数x 的取值范围是 ________ .(2)方程 4x + |1-2x |= 11 的解为 _________ .1 13(1) 0, 2 (2)x = log 23 [(1) v f(x) = a+^^的图象过点 1,-石,•-a + 5——1D ，即 a ——2.1v- 6< f(x)< 0,1 6<4x + 12= 4x + 1 = 3,即 1 = 4x = 2,1••• 0=x= 2⑵当x >0时，原方程化为4x + 2x -12= 0,1••• f (x )= — +14x + 1即(2x )2 + 2x - 12 = 0. ...(公—3膚+ 4)= 0, 2x = 3, 即卩 x = log 23.当X V 0时，原方程化为4x — 2x — 10= 0. 令 t = 2x ,则 t 2—t — 10= 0(0V t V 1).1±/1+ 40由求根公式得t = 2 均不符合题意，故x V 0时，方程无解.](1)a f(x)= a g(x)? f(x) = g(x). (2)a f (x)>a g(x),当 a > 1 时，等价于 f(x)>g(x)；当O v a v 1时，等价于f(x)V g(x).⑶有些含参指数不等式，需要分离变量，转 化为求有关函数的最值问题.m 与指数函数有关的复合函数的单调性Eh 创⑴函数f(x)=「 的单调减区间为(2)函数f(x) = 4x — 2x +1的单调增区间是 _______21 u(1)( — x, 1] (2)[0，+^) [(1)设 u = — x 2 + 2x + 1，T y = 2 在 R 上为减区间.又u = — x 2 + 2x + 1的增区间为(一X, 1］, 所以f(x)的减区间为(一x, 1］.(2)设 t = 2x (t >0),则 y = t 2— 2t 的单调增区间为［1 , +^)，令 2x > 1,得 x >0, 又y = 2x在R 上单调递增，所以函数f(x) = 4x — 2x +1的单调增区间是［0, +^).］［逆向问题］已知函数f(x) = 2|2x 一m|(m 为常数)，若f(x)在区间［2, +^)上单 调u = — x 2 + 2x + 1 的增函数，所以函数f(x)= 的减区间即为函数递增，则m的取值范围是 __________ .［令t=|2x—m|,则t= |2x-m|在区间㊁,+^ 上单调递增，在区间一X, m上单调递减•而y = 2t在R上单调递增，所以要使函数f(x)二2|2 -呵在［2，+X)上单调递增，则有m< 2,即m W4,所以m的取值范围是("，4］•］O疔申求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断.E向<'1指数函数性质的综合应用b 1Eh颈(1)函数f(x) = a+ e x+ 1(a, b€ R)是奇函数，且图象经过点In 3, 2 ,则函数f(x)的值域为()A • (- 1,1)B • (- 2,2)C. (-3,3) D . (-4,4)(2)若不等式1 + 2x+ 4x a>0在x€ (-^, 1］时恒成立，贝实数a的取值范围1 x 3 3 1 <-4•故实数a 的取值范围为a >-；］+345-［⑴函数f(x)为奇函数，定义域是R ，则f(0)= a+ -1 b 0①，函数图象过点ln 3, 2，则f(ln 3) = a +4 1=1②.结合①②可得a = 1, b =-2, 2则 f(x)二 1- —.因为 e x >0,所以 e x + 1> 1,e x + 1 2所以不< 2,所以-1v 1-2-v 1,即函数f(x)的值域为(-1,1). e x + 1(2)从已知不等式中分离出实数1 X2 •因为函数y =12x 在R 上都是减函数，所以当x € (-x, 1]时,1x> 1 4 - 4,+ 2x>4+2二4,从而得-r+A1缶疔申 指数函数的综合问题，主要涉及单调性、奇偶性、最值问题，应在 有关性质的基础上，结合指数函数的性质进行解决，而指数函数性质的重点是单调性，注意利用单调性实现问题的转化.C . (0,4]D . [4，+^)C [设 t = x 2+ 2x - 1,则 y =11 t 因为0v 2< 1，所以y = 2为关于t 的减函数.因为t = (x + 1)2-2>-2,所以0<y = 2 I I 2二4,故所求函数的值域为 (0,4].]4x ，x > 0， 2.已知实数 a ^ 1,函数 f(x)=a -x 0 若 f(1-a) = f(a -1)，贝U a 的 2 , x < 0,值为 ________ .1 12[当a < 1时，41-a = 21,所以a =㊁；当a > 1时，代入可知不成立，所以 1a 的值为夕]x , x >0,I a 1 a1 a(-3,1)[当a <0时，不等式f(a)< 1可化为2 — 7< 1,即？ <8,即？ -3(0,+x )3.设函数 f(x)=1- 7, x < 0,若f(a) < 1，贝U 实数a 的取值范围是A -(— 的值域是(。
(新课标)2021版高考数学一轮总复习第二章函数第9讲指数与指数函数课件新人教A版
1．(多选)若实数 a>0，则下列等式成立的是( )
A．(－2)－2＝4 B．2a－3＝21a3
C．(－2)0＝1
D.
(a
1 4
)4
＝1a
[解析] 对于 A，(－2)－2＝14，故 A 错误；对于 B，
2a－3＝a23，故 B 错误；对于 C，(－2)0＝1，故 C 正确；
对于
D，
1
(a 4
)4
＝1a，故
第 9 讲 指数与指数函数
【课程要求】 1．了解指数幂的含义、掌握幂的运算． 2．理解指数函数的概念、理解指数函数的单调性 与其图象特征并能灵活应用． 3．知道指数函数是一类重要的函数模型．
【基础检测】 概念辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或 “×”)
(1)n an＝(n a)n＝a(n∈N*)．( )
D
正确．
[答案] CD
(a
2 3
b1
)
1 2
ga
1 2
1
gb3
2．化简：
6 agb5
＝__________．
[解析]
原式
1 1 1 1
a 3 gb2 ga 2 gb3
3 （π－2）3.
[解析]
(1)原式＝
2 6
211 115
3 a 3 2 6b2 3 6
4a
；
(2)原式＝32－2＋1－23－3×－23＋4－π＋π－2
＝49＋1－49＋2＝3.
[小结]指数幂运算的一般原则： (1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为 分数指数幂，以便利用法则计算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数． (3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化 成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不 能既有分母又有负指数．
2021届高考数学一轮总复习第二章函数导数及其应用2.5指数与指数函数课件苏教版
第五节 指数与指数函数
最新考纲
考情分析
1.了解指数函数模型的实际背景． 1.直接考查指数函数的图
象及其性质或以指数与指
2．理解有理数指数幂的含义，了解
数函数为知识载体，考查
实数指数幂的意义，掌握幂的运算．
指数幂的运算和函数图象
3．理解指数函数的概念，理解指数
的应用或以指数函数为载
C．4x2y
D．－2x2y
(2)已知 系是( D )
A．a<b<c C．b<a<c
B．a<c<b D．c<b<a
，则 a，b，c 的大小关
(3)若 x＋x－1＝3，则 x2－x－2＝_____±_3__5__.
(4)若函数 f(x)＝ax(a>0，且 a≠1)的图象经过点 A2，13，则 f(－1)＝_____3____.
2．有理数指数幂的性质
(1)aras＝___a_r_＋_s__ (a>0，r，s∈Q)； (2)(ar)s＝___a_rs___ (a>0，r，s∈Q)；
(3)(ab)r＝___a_r_b_r__ (a>0，b>0，r∈Q)．
知识点二
指数函数的图象与性质
(1)指数函数的图象与底数大小的比较
在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大． (2)指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象和性质跟 a 的取值有关，要特 别注意应分 a>1 与 0<a<1 来研究．
n (
a)n＝a.
(3)由指数函数的形式定义知应满足的条件：①系数为 1，②
2021版高考数学一轮讲义：第2章 函数、导数及其应用+2.5 指数与指数函数
2.5 指数与指数函数
[知识梳理]
1．根式
2．分数指数幂
3．无理数指数幂
无理数指数幂aα(a>0，α是无理数)是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．
4．指数函数的概念、图象与性质
特别提示：1.n
a n与(
n
a)n的区别
(1)n
a n是实数a n的n次方根，是一个恒有意义的式子，不受n
的奇偶限制，但这个式子的值受n的奇偶限制．
(2)(n
a)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n
的奇偶决定．
2．a对y＝a x(a>0且a≠1)的影响
(1)底数a与1的大小关系决定了指数函数图象的“升降”：当
a>1时，指数函数的图象“上升”；当0<a<1时，指数函数的图象“下降”．
(2)底数的大小决定了图象相对位置的高低：不论是a>1，还是0<a<1，在第一象限内底数越大，函数图象越高．
[诊断自测]
1．概念思辨
(1)n
a n与(
n
a)n都等于a(n∈N*)．()
(2)函数y＝a x与y＝－a x(a>0且a≠1)的图象关于x轴对称．()
(3)若a m<a n(a>0且a≠1)，则m<n.()
(4)函数y＝ax2＋1(a>1)的值域是(0，＋∞)．()。
2021版新高考数学一轮复习第二章2.4指数与指数函数课件新人教B版
(23 34 5 ≈3α3,
(1 )2
所以
M2 M1
3
r3 R3
，r3
M2 R3，r 3M1
3
M2 R. 3M1
3.因为2x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3, 因为9y=3x-9=32y,所以x-9=2y, 解得x=21,y=6,所以x+y=27. 答案:27 4.由f(a)=3得2a+2-a=3, 所以(2a+2-a)2=9,即22a+2-2a+2=9. 所以22a+2-2a=7,故f(2a)=22a+2-2a=7. 答案:7
a
当x=0时,y=1- 1 ∈(0,1),A,B不满足.
a
若0<a<1,则y=ax- 1 在R上是减函数,
a
当x=0时,y=1- 1 <0,C错,D项满足.
a
3.已知实数a,b满足等式2 018a=2 019b,下列五个关系式:
①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④b<a<0;⑤a=b=0.
2.分数指数幂
(1)
m
an
__n _a_m_
(a>0，m，n∈N*，且n>1).
(2)
a
m
n＝
1
(a>0，m，n∈N*，且n>1).
n am
3.有理数指数幂的运算性质
(1)aras=_a_r_+s_.(2)(ar)s=_a_rs_.(3)(ab)r=_a_rb_r_(a>0，b>0，r，s∈Q).
考点二 指数函数的图象及应用
【典例】1.已知0<a<1,b<-1,则函数y=ax+b的图象必定不经过 ( )
2021高考人A通用(理)数学一轮复习讲义：第2章 第5节 指数函数
第五节 指数函数[考纲 ] 1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算.2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2,3,10，12，13的指数函数的图象.3.体会指数函数是一类重要的函数模型．1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时，na n ＝a .(3)当n 为偶数时，na n＝|a |＝⎩⎨⎧a (a ≥0)，－a (a ＜0).(4)负数的偶次方根无意义． (5)零的任何次方根都等于零． 2．有理指数幂 (1)分数指数幂①正分数指数幂：a m n ＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)； ②负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1n a m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)；③0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①a r ·a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)4(－4)4＝－4.()(2)(－1)＝(－1)＝－1.()(3)函数y＝2x－1是指数函数．()(4)函数y＝ax2＋1(a＞1)的值域是(0，＋∞)．()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×2．化简[(－2)6]－(－1)0的结果为()A．－9C．－10B[原式＝(26)－1＝8－1＝7.]3．函数y＝a x－a(a＞0，且a≠1)的图象可能是()【导学号：01772044】A B C DC[法一：令y＝a x－a＝0，得x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项C.法二：当a＞1时，y＝a x－a是由y＝a x向下平移a个单位，且过(1,0)，A，B，D都不适宜；当0＜a＜1时，y＝a x－a是由y＝a x向下平移a个单位，因为0＜a＜1，故排除选项D.]4．(教材改编)mn，那么m________n(填“＞〞或“＜〞)．＞[设f(x x，f(x)为减函数，由f(m)＜f(n)，∴m＞n.]5．指数函数y＝(2－a)x在定义域内是减函数，那么a的取值范围是________．(1,2)[由题意知0＜2－a＜1，解得1＜a＜2.]指数幂的运算化简求值：[规律方法] 1.指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法那么计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加； (2)运算的先后顺序．2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数． [变式训练1] 化简求值：[解] (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫271 000－72＋⎝ ⎛⎭⎪⎫259－1＝103－49＋53－1＝－45. 6分指数函数的图象及应用(1)(2021·郑州模拟)定义运算a b ＝⎩⎨⎧a ，a ≤b ，b ，a ＞b ，那么函数f (x )＝12x 的图象是( )(2)假设曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，求b 的取值范围． (1)A [因为当x ≤0时，2x ≤1； 当x ＞0时，2x ＞1. 那么f (x )＝12x ＝⎩⎨⎧2x ，x ≤0，1，x ＞0，应选A.](2)曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 的图象如下图，由图象可得，如果曲线y ＝|2x －1|与直线y ＝b 有两个公共点，8分那么b 的取值范围是(0,1).12分[规律方法] 指数函数图象的画法(判断)及应用(1)画(判断)指数函数y ＝a x (a ＞0，a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0,1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，1a . (2)与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．(3)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解.图2-5-1[变式训练2] (1)函数f (x )＝a x －b 的图象如图2-5-1，其中a ，b 为常数，那么以下结论正确的选项是()【导学号：01772045】A．a＞1，b＜0B．a＞1，b＞0C．0＜a＜1，b＞0D．0＜a＜1，b＜0(2)方程2x＝2－x的解的个数是________．(1)D(2)1[(1)由f(x)＝a x－b的图象可以观察出，函数f(x)＝a x－b在定义域上单调递减，所以0＜a＜1，函数f(x)＝a x－b的图象是在y＝a x的根底上向左平移得到的，所以b＜0.(2)方程的解可看作函数y＝2x和y＝2－x的图象交点的横坐标，分别作出这两个函数图象(如图)．由图象得只有一个交点，因此该方程只有一个解．]指数函数的性质及应用☞角度1比拟指数式的大小(2)(2021·浙江高考)函数f(x)满足：f(x)≥|x|且f(x)≥2x，x∈R.()A．假设f(a)≤|b|，那么a≤bB．假设f(a)≤2b，那么a≤bC．假设f(a)≥|b|，那么a≥bD．假设f(a)≥2b，那么a≥b(1)A(2)B∵y ＝x 23在第一象限内为增函数，又5＞4＞3，∴c ＞a ＞b .(2)∵f (x )≥|x |，∴f (a )≥|a |.假设f (a )≤|b |，那么|a |≤|b |，A 项错误．假设f (a )≥|b |且f (a )≥|a |，无法推出a ≥b ，故C 项错误．∵f (x )≥2x ，∴f (a )≥2a .假设f (a )≤2b ，那么2b ≥2a ，故b ≥a ，B 项正确．假设f (a )≥2b 且f (a )≥2a ，无法推出a ≥b ，故D 项错误．应选B.]☞角度2 解简单的指数方程或不等式(2021 ·江苏高考)不等式2x 2－x ＜4的解集为______．{x |－1＜x ＜2}()或(－1，2) [∵2x 2－x ＜4，∴2x 2－x ＜22， ∴x 2－x ＜2，即x 2－x －2＜0，∴－1＜x ＜2.] ☞角度3 探究指数型函数的性质函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13a.(1)假设a ＝－1，求f (x )的单调区间； (2)假设f (x )有最大值3，求a 的值； (3)假设f (x )的值域是(0，＋∞)，求a 的值． [解] (1)当a ＝－1时，f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7， 那么g (x )在区间(－∞，－2)上单调递增，2分在区间[－2，＋∞)上单调递减，又函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上是减函数，因此f (x )的单调递增区间是[－2，＋∞)，单调递减区间是(－∞，－2).4分 (2)由f (x )有最大值3知，ax 2－4x ＋3有最小值－1，那么有⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1. 8分(3)由f (x )的值域是(0，＋∞)知，ax 2－4x ＋3的值域为R ，那么必有a ＝0. 12分[规律方法] 1.比拟指数式的大小的方法是：(1)能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比拟大小；(2)不能化成同底数的，一般引入“1〞等中间量比拟大小．2．解简单的指数方程或不等式可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解．3．探究指数型函数的性质与研究一般函数的定义域、单调性(区间)、奇偶性、最值(值域)等性质的方法一致．易错警示：在研究指数型函数的单调性时，当底数a与“1〞的大小关系不确定时，要分类讨论．[思想与方法]1．根式与分数指数幂的实质是一样的，分数指数幂与根式可以互化，通常利用分数指数幂进展根式的化简运算．2．判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进展比拟．[易错与防范]1．指数函数的单调性取决于底数a的大小，当底数a与1的大小关系不确定时应分0＜a＜1和a＞1两种情况分类讨论．2．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些根本初等函数复合而成，并且一定要注意函数的定义域．3．对可化为a2x＋b·a x＋c＝0或a2x＋b·a x＋c≥0(≤0)形式的方程或不等式，常借助换元法解决，但应注意换元后“新元〞的范围．。