必修一函数定义域、值域和单调性、奇偶性练习题
人教版高中数学必修一知识点与典型习题——第二部分-函数(含答案)
2015-2016高一上学期期末复习知识点与典型例题人教数学必修一 第二部分 函数1、函数的定义域、值域2、判断相同函数3、分段函数4、奇偶性5、单调性1．定义域 值域（最值） 1．函数()()3log 3f x x =++的定义域为____________________ 2．函数22()log (23)f x x x 的定义域是（ ）(A) [3,1] (B) (3,1) (C) (,3][1,)-∞-+∞ (D) (,3)(1,)-∞-+∞3．2()23,(1,3]f x x x x =-+∈-的值域为____________________ 4．若函数21()2f x x x a =-+的定义域和值域均为[1,](1)b b >，求a 、b 的值．2．函数相等步骤：1、看定义域是否相等； 2、看对应关系（解析式）能否化简到相同1．下列哪组是相同函数？2(1)(),()x f x x g x x ==(2)()()f x x g x ==,2(3)()2lg ,()lg f x x g x x ==(4)(),()f x x g x ==3．分段函数基本思路：分段讨论 （1）求值问题1．24(),(5)(1)4xx f x f f x x ⎧<==⎨-≥⎩已知函数则_______________ 2．设函数211()21x x f x x x⎧+≤⎪=⎨>⎪⎩，则=))3((f f ______________（2）解方程1．2log ,11(),()1,12x x f x f x x x >⎧==⎨-≤⎩已知函数则的解为_________________2．已知⎩⎨⎧>-≤+=)0(2)0(1)(2x x x x x f ，若()10f x =，则x = .（3）解不等式1．21,0(),()1,0x f x f x x x x ⎧>⎪=>⎨⎪≤⎩已知函数则的解集为__________________2．2log ,0(),()023,0x x f x f x x x >⎧=>⎨+≤⎩已知函数则的解集为__________________（4）作图、求取值范围（最值）1．24-x ,0()2,012,0x f x x x x ⎧>⎪==⎨⎪-<⎩已知函数．（1）作()f x 的图象；（2）求2(1)f a +，((3))f f 的值；（3）当43x -≤＜，求()f x 的取值集合（5）应用题（列式、求最值）1．为方便旅客出行，某旅游点有50辆自行车供租赁使用，管理这些自行车的费用是每日115元．根据经验，若每辆自行车的日租金不超过6元，则自行车可以全部租出；若超过6元，则每超过1元，租不出去的自行车就增加3辆，为了便于结算，每辆自行车的日租金x(元)只取整数，并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这一日的管理费用，用y (元)表示出租自行车的日净收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后的所得)， （1）求函数f(x)的解析式及其定义域；（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？4．函数的单调性（1）根据图像判断函数的单调性——单调递增：图像上升 单调递减：图像下降 1．下列函数中，在区间(0,)+∞上为增函数的是（ ）A ．ln(2)y x =+ B．y =．1()2xy = D ．1y x x=+2．下列函数中，在其定义域内为减函数的是（ ）A ．3y x =- B ．12y x = C ．2y x = D ．2log y x =（2）证明函数的单调性步骤——取值、作差12()()f x f x -、变形、定号、下结论 1．已知函数11()(0,0)f x a x a x=->>． (1)求证：()f x 在(0,)+∞上是单调递增函数；(2)若()f x 在1[,2]2上的值域是1[,2]2，求a 的值．（3）利用函数的单调性求参数的范围1．2()2(1)2(2]f x x a x =+-+-∞在，上是减函数，则a 的范围是________2．若函数⎪⎩⎪⎨⎧<-≥-=2,1)21(,2,)2()(x x x a x f x 是R 上的单调递减函数，则实数a 的取值范围为（ ）A ．)2,(-∞B ．]813,(-∞ C ．)2,0( D ．)2,813[3．讨论函数223f(x)x ax =-+在(2,2)-内的单调性（4）利用函数的单调性解不等式1．()f x 是定义在(0,)+∞上的单调递增函数，且满足(32)(1)f x f -<，则实数x 的取值范围是（ ） A ． (,1)-∞ B ． 2(,1)3 C ．2(,)3+∞ D ． (1,)+∞ 2．2()[1,1](1)(1)f x f m f m m --<-若是定义在上的增函数，且，求的范围（5）奇偶性、单调性的综合1．奇函数f(x)在[1,3]上为增函数，且有最小值7，则它在[-3,-1]上是____函数，有最___值___. 2．212()(11)()125ax b f x f x +=-=+函数是，上的奇函数，且． （1）确定()f x 的解析式；（2）用定义法证明()f x 在(1,1)-上递增；（3）解不等式(1)()0f t f t -+>．3．f(x)是定义在( 0，＋∞)上的增函数，且()()()xf f x f y y=-（1）求f (1)的值．（2）若f (6)= 1，解不等式 f ( x ＋3 )－f (x1) ＜2 ．5．函数的奇偶性（1）根据图像判断函数的奇偶性奇函数：关于原点对称；偶函数：关于y 轴对称 例：判断下列函数的奇偶性① y=x ³ ② y=|x|（2）根据定义判断函数的奇偶性一看定义域是否关于原点对称；二看()f x -与()f x 的关系1．设函数)(x f 和)(x g 分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（ ） A ．)()(x g x f +是偶函数 B ．)()(x g x f -是奇函数 C ．)()(x g x f +是偶函数 D ．)()(x g x f -是奇函数 2．已知函数()log (1)log (1)(01)a a f x x x a a =+-->≠且 （1）求()f x 的定义域；（2）判断()f x 的奇偶性并予以证明。
高一数学必修一函数练习题
高一数学必修一函数练习题函数是高中数学中非常重要的概念，它描述了两个集合之间的一种对应关系。
下面为高一学生准备了一系列函数练习题，以帮助学生更好地理解和掌握函数的基本概念和性质。
练习题一：函数的定义域与值域1. 给定函数 \( f(x) = \frac{1}{x - 2} \)，求其定义域。
2. 对于函数 \( g(x) = x^2 - 4x + 3 \)，找出其值域。
练习题二：函数的单调性1. 判断函数 \( h(x) = x^3 - 3x \) 在 \( x \in (-\infty,\infty) \) 上的单调性。
2. 若函数 \( k(x) = 2x - 1 \) 在 \( x \in [0, 2] \) 上单调递增，求 \( k(x) \) 在 \( x \in [2, 4] \) 上的单调性。
练习题三：函数的奇偶性1. 判断函数 \( f(x) = |x| \) 是否为奇函数或偶函数。
2. 若函数 \( g(x) = x^2 + 1 \) 是偶函数，求证。
练习题四：复合函数1. 已知 \( f(x) = x^2 \) 和 \( g(x) = x + 3 \)，求复合函数\( (f \circ g)(x) \)。
2. 若 \( h(x) = \sqrt{x} \) 和 \( k(x) = x - 1 \)，求 \( (h \circ k)(x) \)。
练习题五：反函数1. 若 \( f(x) = 2x + 1 \)，求其反函数 \( f^{-1}(x) \)。
2. 对于函数 \( g(x) = x^2 \)，讨论其反函数的存在性。
练习题六：函数的图像与性质1. 画出函数 \( y = |x - 1| \) 的图像，并标出其顶点坐标。
2. 对于函数 \( y = x^3 \)，描述其在 \( x = 0 \) 附近的图像变化趋势。
练习题七：函数的实际应用1. 某工厂生产的产品数量与时间的关系为 \( P(t) = 100t - 5t^2 \)，求出生产量达到最大时的时间。
高一函数单调性奇偶性经典练习题
函数单调性奇偶性经典练习一、单调性题型高考中函数单调性在高中函数知识模块里面主要作为工具或条件使用，也有很多题会以判断单调性单独出题或有的题会要求先判断函数单调性才能进行下一步骤解答，另有部分以函数单调性质的运用为主. （一）函数单调性的判断 函数单调性判断常用方法：121212121212()()0()()()()0()()()()()()()()()()()()f x f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x g x f x f x g x f x g x g x g x f x ->>⇒⎧<⎨-<<⇒⎩+⇒⎧-⎧⎪⇒-⇒⎨⎨-⎩⎪-⇒⎩即单调增函数定义法（重点）：在其定义域内有任意，且即单调增函数复合函数快速判断：“同增异减”增为减函数基本初等函数加减（设为增函数，为减函数）：增为增函数减互为反.⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎩函数的两个函数具有相同的单调性例1 证明函数23()4x f x x +=-在区间(4)+∞，上为减函数（定义法）解析：用定义法证明函数的单调性，按步骤“一假设、二作差、三判断（与零比较）”进行.解：设12(4)x x ∈+∞，，且12x x <，1221121212232311()()()44(4)(4)x x x x f x f x x x x x ++--=-=---- 214x x >>Q 210x x ∴->，1(4)0x ->，2(4)0x -> 12()()f x f x ∴> 故函数()f x 在区间(4)+∞，上为减函数. 练习1 证明函数21()3x f x x -=+在区间(3)-+∞，上为减函数（定义法）练习2证明函数2()f x x =2()3-∞，上为增函数（定义法、快速判断法）练习3 求函数3()2x f x x -=+定义域，并求函数的单调增区间(定义法)练习4求函数()f x x =定义域，并求函数的单调减区间（定义法）（复合函数，基本初等函数相加减问题，反函数问题在本章结束时再练习） （二） 函数单调性的应用⎧⎪⎨⎪⎩单独考查单调性：结合单调函数变量与其对应函数值的关系求参数定义域与单调性结合：结合定义域与变量函数值关系求参数值域与单调性结合：利用函数单调性求值域 例1 若函数()f x 是定义在R 上的增函数，且2(2)(3)f x x f a +>+恒成立，数a 的围。
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第 1 课函数的概念【考点导读】1.了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．2.准确理解函数的概念，能根据函数的三要素判断两个函数是否为同一函数．【基础练习】1．设有函数组：①y x ， y x2 ；② y x ， y 3 x3；③y x ， y x ；④x1 ( x 0), ，x lg x 1 ，y lg x _____．y( x y ；⑤ y ．其中表示同一个函数的有1 0), x 102. 设集合M { x 0 x 2} ， N { y 0 y 2} ，从 M 到 N 有四种对应如图所示：y y y y2 2 2 2O 1 2 x O1 2 x O 1 2 x O12 x①②③④其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有_______．3.写出下列函数定义域：(1) f ( x) 1 3x 的定义域为______；(2) f ( x) 1 的定义域为 ______________；x2 1(3) f ( x) x 1 1的定义域为 ______________ ； (4) f ( x)( x 1)0x x的定义域为 __x4．已知三个函数 :(1) y P(x)y 2n P( x) ( n N *) ；(3) y log Q( x) P( x) ．写出使； (2)Q(x)各函数式有意义时，P(x) ， Q (x) 的约束条件：(1)_____________________(2)________________ ； (3)______________________________ ．5.写出下列函数值域：(1) f ( x) x2 x ， x {1,2,3} ；值域是(2) f ( x) x2 2x 2 ；值域是．(3) f ( x) x 1， x (1,2] ．值域是．【范例解析】例 1. 设有函数组：①f ( x) x2 1， g ( x) x 1 ；② f (x) x 1 x 1 ，x 1g( x)x 21；③f ( x)x22x，1；④f ( x) 2x，2t 1．其1 g ( x) x 1 g(t)中表示同一个函数的有③④．点评：两个函数当它们的三要素完全相同时，才能表示同一函数．而当一个函数定义域和对应法则确定时，它的值域也就确定，故判断两个函数是否为同一函数，只需判断它的定义域和对应法则是否相同即可．例 2.求下列函数的定义域：①y 1 x2 1 ；② f (x) x ；2 x log 1 (2 x)2例 3.求下列函数的值域：（1）y x2 4x 2 ， x [0,3) ；（2）yx2 ( x R)；x2 1（3）y x 2 x 1．点评：二次函数或二次函数型的函数求值域可用配方法；逆求法利用函数有界性求函数的值域；用换元法求函数的值域应注意新元的取值范围．【反馈演练】1．函数 f(x)＝ 1 2x的定义域是___________．2．函数f ( x) 1 的定义域为 _________________ ．log 2 ( x2 4x 3)3. 函数 y 1 (x R) 的值域为________________．x214. 函数 y 2x 3 13 4x 的值域为_____________．5．函数y log0.5 (4x2 3x) 的定义域为_____________________．【真题再现】1． (2014 山东 ) 函数 f(x)＝1－ 2x＋1)的定义域为 (x＋3lg x＋1的定义域是 ( )2．（ 2014 广东）函数 y＝x－13（ 2014 辽宁） .已知函数 f(x) ＝ln( 1＋ 9x2－ 3x)＋ 1，则 f(lg 2) ＋ f lg 1＝ ( ) 24.（ 2013 山东）函数 f(x)＝ log2(3x＋ 1)的值域为 ( )5.(2013 ·浙江 ) 已知函数 f(x)= x-1, 若 f(a)=3, 则实数 a= .6.（ 2013 天津）设函数 g(x)＝ x2－ 2(x∈ R )， f(x)＝g x ＋ x＋ 4，x＜ g x ，则 f(x)的值域是 ( g x － x， x≥ g x .第 2 课函数的表示方法【考点导读】1.会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法，列表法，解析法）表示函数．2.求解析式一般有四种情况： （ 1）根据某个实际问题须建立一种函数关系式；（ 2）给出函数特征，利用待定系数法求解析式；（ 3）换元法求解析式； （ 4）解方程组法求解析式．【基础练习】1.设函数 f (x) 2x 3 ， g( x) 3x 5 ，则 f ( g( x)) _________；g ( f ( x)) __________ ．2.设函数 f (x)1 ， g( x) x2 2 ,则 g( 1)____________； f [ g (2)]； f [ g( x)]1 x3.已知函数 f (x) 是一次函数，且 f (3) 7 ， f (5) 1 ,则 f (1) _____．| x1| 2,| x | 1, 1)] ＝ _____________．4.设 f( x) ＝1，则 f[ f(1x 2,| x | 125.如图所示的图象所表示的函数解析式为 __________________________ ．【范例解析】第 5 题例 1.已知二次函数 yf ( x) 的最小值等于 4，且 f (0)f (2) 6 ，求 f ( x) 的解析式．分析：给出函数特征，可用待定系数法求解．例 2.甲同学家到乙同学家的途中有一公园， 甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2km ，甲 10 时出发前往乙家．如图，表示甲从出发到乙家为止经过的路程y （ km ）与时间 x（分）的关系．试写出 yf (x) 的函数解析式．【反馈演练】e x e xe x e x（）1．若 f ( x)2 ， g (x)，则 f (2 x)2Ａ． 2 f ( x)Ｂ． 2[ f ( x) g (x)] Ｃ． 2g (x)Ｄ． 2[ f (x) g(x)]2的最大整数 , 则对任意实数x,有().设 [x] 表示不大于 x1y4321O10 20 30 40 50 60x例 2A .[ －x]= － [x] B. [x + [ x] C. [2x]=2[x]D.【真题再现】2]=[x]1[ x] [2 x] 22x ， x ＞ 0， 1.（ 2013 北京已知函数 ?(x)＝若 ?(a)＋ ?(1)＝ 0，则实数 a 的值等于 ( )x ＋ 1，x ≤ 0.2．（ 2013 北京 ）函数 f(x)＝log 1 x ， x ≥ 1，2的值域为 ________．2x ， x<11， x>0，1， x 为有理数， 3.（ 2012 福建）设 f(x)＝ 0， x ＝ 0，g(x)＝则 f(g( π)) 的值为．－ 1， x<0，0， x 为无理数，4.（ 2010 3x ＋ 2， x ＜1，若 f(f(0)) ＝ 4a ，则实数 a ＝ ________.陕西）已知函数 f(x) ＝x 2＋ ax ， x ≥ 1，5.（ 2013 福建）函数 f(x)＝ ln(x 2＋1)的图像大致是 ()6.（ 2014 江苏）已知实数 a ≠ 0，函数 f(x)＝2x ＋ a ， x ＜ 1， 若 f(1－ a)＝ f(1＋ a)，则 a 的值－x － 2a ， x ≥1.为________．7.（ 2012 江苏 ）设 f(x) 是定义在 R 上且周期为 2 的函数，在区间[ － 1,1] 上， f(x) ＝ax ＋ 1，－ 1≤ x ＜ 0，1 3bx ＋ 2，其中 a ， b ∈ R.若 f(0≤ x ≤ 1， 2)＝ f(2)，则 a ＋ 3b 的值为 ________．x ＋ 1第 3 课 函数的单调性【考点导读】1.理解函数单调性，最大（小）值及其几何意义；2.会运用单调性的定义判断或证明一些函数的增减性．【基础练习】1.下列函数中： ① f (x)1；② f xx 2 2x 1；③ f (x) x ； ④ f (x) x 1 ．x其中，在区间 (0， 2)上是递增函数的序号有 ______．2.函数 yx x 的递增区间是 ___ _．3.已知函数yf ( x) 在定义域 R 上是单调减函数，且f ( a 1) f (2 a) ，则实数a 的取值范围 __________．4.已知下列命题：①定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2)f (1)，则函数 f ( x) 是 R 上的增函数；②定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (2)f (1)，则函数 f ( x) 在 R 上不是减函数；③定义在 R 上的函数 f (x) 在区间 ( ,0] 上是增函数，在区间 [0,) 上也是增函数，则函数 f (x) 在 R 上是增函数；④定义在 R 上的函数 f (x) 在区间 ( ,0] 上是增函数，在区间 (0,) 上也是增函数，则函数 f (x) 在 R 上是增函数．其中正确命题的序号有 _________． 【范例解析】1.下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞ )上单调递减的是 ()A ． y ＝1B ． y ＝ e x－xC ．y ＝－ x 2＋ 1D. y ＝ lg|x|2.下列函数中，既是偶函数，又在区间(1,2)内是增函数的为 ()A ． y ＝ cos 2x ， x ∈RB ．y ＝ log 2|x|，x ∈ R 且 x ≠ 0ex －e－xC ．y ＝， x ∈ R2D ． y ＝ x 3＋ 1， x ∈R 【反馈演练】1．已知函数 f ( x)1 ，则该函数在 R 上单调递 ___，（填“增”“减”）值域为 _________．2x 12．已知函数f ( x) 4x 2mx 5 在 (, 2) 上是减函数，在(2, ) 上是增函数，则f (1) _____.3. 函数 f ( x) x 2 1 x 的单调递减区间为【真题再现】1.（ 2011 新课标全国） 下列函数中，既是偶函数又在(0，＋∞ )单调递增的函数是A ． y ＝ x 3B ． y ＝ |x|＋ 1C ．y ＝－ x 2＋ 1－ xD ．y ＝ 2 | |12.(2009 辽·宁 )已知偶函数 f(x)在区间 [0，＋∞ )单调增加，则满足 f(2x － 1)< f(3)的 x 的取值范围是 ( )3.（ 2012 安徽）若函数 f(x)＝ |2x ＋ a|的单调递增区间是 [3，＋∞ )，则 a ＝ ________.4.（ 2013·湖北高考文科） x 为实数，[ x]表示不超过x的最大整数，则函数f (x)x [ x] 在R 上为 ( )A ．奇函数B ．偶函数C ．增函数D ． 周期函数第 4 课 函数的奇偶性与周期性【考点导读】1.了解函数奇偶性与周期性的含义，能利用定义判断一些简单函数的奇偶性与周期性；2.定义域对奇偶性的影响：定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数的必要但不充分条件；不具备上述对称性的，既不是奇函数，也不是偶函数．【基础练习】1. 给 出 455x ； ②x 4 12x 5 ； ④个 函 数 ： ① f (x) xf (x)2 ； ③ f (x)xf ( x) e xe x ．其中奇函数的有 _____；偶函数的有 ______；既不是奇函数也不是偶函数的有 _______．2. 设函数 f xx 1 xa为奇函数，则实数a．x3.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（）A . y x 3, x R B . y sin x, x R C. yx, x RD. y1 x, x R( )2【范例解析】1 定义域为 R 的四个函数 y ＝ x 3， y ＝ 2x ， y ＝ x 2＋ 1， y ＝ 2sin x 中，奇函数的个数是 ( ) 2. 已知 f(x)是奇函数， g( x)是偶函数， 且 f(－ 1)＋ g(1)＝ 2，f(1)＋ g(－ 1)＝ 4，则 g(1)等于 ( )3. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 是奇函数，且当 x0 时， f (x) x 22x 2 ，求函数 f (x)的解析式，并指出它的单调区间．【反馈演练】1．已知定义域为R 的函数 f x 在区间 8, 上为减函数，且函数 y f x 8 为偶函数，则（）A ． f 6 f 7B ． f 6 f 9C ． f 7f 9D ． f 7f 102. 在 R 上定义的函数 f x 是偶函数，且 f x f 2 x ，若 f x 在区间 1,2 是减函数，则函数 f x （ ）A. 在区间 2, 1 上是增函数，区间 3,4 上是增函数B. 在区间 2, 1 上是增函数，区间 3,4 上是减函数C.在区间 2, 1 上是减函数，区间 3,4 上是增函数D.在区间2, 1 上是减函数，区间 3,4 上是减函数3. 设1,1, 1,3 ，则使函数 y x 的定义域为R且为奇函数的所有的值为 ____．24．若函数 f (x) 是定义在R上的偶函数，在( ,0] 上是减函数，且 f (2) 0 ，则使得f (x) 0的x的取值范围是【真题再现】1． (2013 山东 ) 已知函数 f(x)为奇函数，且当x>0 时， f(x) ＝x2＋1，则 f(－ 1)＝ ( )x2.（ 2011 湖南）已知 f(x)为奇函数， g(x)＝f(x)＋ 9， g(－ 2)＝ 3，则 f(2) ＝________.3.（ 2010 江苏）设函数 f(x)＝ x(e x＋ae－x)(x∈R )是偶函数，则实数 a 的值为 ________．4. f x 是以 2为周期的函数，且当 x 1,3 时， f x = x 2 ，则f (1)5 ．已知函数y f(x)(x R)满足f(x 1) f(x 1) ，且当x 1,1 时，f (x) x2 则 y f(x)与y log 5 x 的图象的交点个数为.第 5 课二次函数，幂函数，指对函数【考点导读】1.理解二次函数的概念，掌握二次函数，幂函数，指对函数图像和性质；2.能结合二次函数的图像判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的零点与方程根的联系．【基础练习】1.二次函数 yx2 2mx m2 3 的图像的对称轴为x 2 0,则 m ____，递增区间为____，递减区间为 ____2. 实系数方程 ax 2 bx c 0( a 0) 有两正根的充要条件为___；有两负根的充要条件为3. 已知函数 f (x) x2 2x 3 在区间 [0, m] 上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是__________．【范例解析】1. 已知 a， b， c∈ R，函数 f(x)＝ ax2＋ bx＋c.若 f(0) ＝f(4)> f(1) ，则 ( )A ． a>0,4a＋ b＝ 0B ． a<0,4a＋ b＝ 0C．a>0,2a＋b＝ 0 D ．a<0,2 a＋b＝ 02. 设 a log 3 2 ， b log5 2 ， c log 2 3 ，则（）A. a c bB. b c aC. c b aD. c a b3.函数 f（ x） =㏑ x 的图像与函数g（ x）=x2-4x+4 的图像的交点个数为（）4．函数f x4x 4, x 1log 2 x 的图象的交点个数有_____ x 2 4x 3, x的图象和函数 g x15.已知 a＝5－1，函数 f(x)＝ a x，若实数 m、n 满足 f(m)>f(n)，则 m、n 的大小关系为 ________．26.已知函数 f (x) a2x 1 1 ( a 0, a 1) 过定点，则此定点坐标为________7．函数f ( x) a x log a ( x 1)在[0,1] 上的最大值和最小值之和为a，则 a 的值为．8．函数f ( x) a x (a 0且 a 1) 对于任意的实数x, y 都有（）A ．f (xy) f ( x) f ( y) B．f ( xy) f (x) f ( y)C．f (x y) f ( x) f ( y) D．f ( x y) f ( x) f ( y)9.将 y=2x的图像 ( ) 再作关于直线y=x 对称的图像，可得到函数y log 2 ( x 1) 的图像．A ．先向左平行移动 1 个单位B．先向右平行移动 1 个单位C．先向上平行移动 1 个单位D．先向下平行移动 1 个单位ya x b的图象如图，其中10．函数f ( x) a、 b 为常数，则下列结论正确的是（）1A ．a 1, b 0 B．a 1,b 0 －1 O 1 xC．0 a 1, b 0 D．0 a 1,b 0 第10题11 y ax 在0,1上的最大值与最小值的和为3，则 a 的值为____．函数．【反馈演练】1．函数y x2 bx c x 0, 是单调函数的充要条件是2 A(1,16)，且图像在 x 轴上截得的线段长为8，则此二次函数．已知二次函数的图像顶点为的解析式为3. 设 b 0 ，二次函数y ax 2 bx a 2 1 的图象为下列四图之一：则 a 的值为（）A ． 1 B．－ 11 5 1 5 C．2 D． 2【真题再现】1（ 2010 山东）函数 y＝ 2x－ x2的图象大致是 ()2.(2013 陕西 )设 a， b， c 均为不等于 1 的正实数，则下列等式中恒成立的是()A．log a b·log c b＝log c aB．log a b·log c a＝log c bC．log a(bc)＝ log a b·log a cD． log a(b＋ c)＝ log a b＋ log a c3.（ 2010 辽宁）设 2a＝ 5b＝ m，且1＋1＝2，则 m＝ () a b4（ 2012 北京）已知函数 f(x) ＝ lg x，若 f(ab)＝ 1，则 f(a2)＋ f(b2) ＝________.5.（ 2011 新课标全国）已知函数 y＝ f(x)的周期为2，当 x∈ [－ 1,1] 时 f(x)＝ x2，那么函数 y＝f(x)的图像与函数 y＝ |lgx|的图像的交点共有 ( )6(2009 广·东 )若函数 y＝ f(x)是函数 y＝ a x(a＞0，且 a≠1)的反函数，其图象经过点( a， a)，则 f(x)＝ ( )第 6 课函数与方程【考点导读】1.能利用二次函数的图像与判别式的正负，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，了解函数零点与方程根的联系．2.能借助计算器用二分法求方程的近似解，并理解二分法的实质．【基础练习】1.函数f ( x) x2 4x 4 在区间 [ 4, 1] 有_______个零点．2. f (x)的图像是连续的，且x 与f ( x)有如下的对应值表：已知函数x 1 2 3 4 5 6 f (x) －2.3 3.4 0 － 1.3 － 3.4 3.4则 f (x) 在区间 [1,6] 上的零点至少有 _____个．【范例解析】1.函数 f(x)=2x|log0.5x|-1 的零点个数为( )2.若 a<b<c,则函数 f(x)=(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a) 两个零点分别位于区间()A.(a,b) 和 (b,c)内B.(- ∞ ,a)和 (a,b) 内C.(b,c)和 (c,+∞ )内D.(- ∞ ,a)和 (c,+ ∞)内3．设函数 f (x)x 2 bx c, x0,若 f ( 4)f (0) ， f ( 2)2 ，则关于 x 的方程2, x 0.f ( x) x 解的个数为（）【真题再现】1.（ 2011 福建）若关于 x 的方程 x 2＋mx ＋ 1＝ 0 有两个不相等的实数根，则实数 m 的取值范围是 ()A ． (－ 1,1)B ． (－2,2)C ．( －∞，－ 2)∪ (2，＋∞ )D ．(－∞，－ 1)∪(1 ，＋∞ )2（ 2011 天津 ）对实数 a 和 b ，定义运算“ ?”： a?b ＝a ，a －b ≤ 1， 设函数 f(x)＝ (x 2－ 2)?b ，a － b ＞ 1.(x － 1)，x ∈ R.若函数 y ＝ f(x)－ c 的图像与 x 轴恰有两个公共点， 则实数 c 的取值范围是 ()A ． (－ 1,1] ∪ (2，＋∞ )B ．( －2，－ 1]∪ (1,2]C ．( －∞，－ 2)∪ (1,2]D ． [－ 2，－ 1]3.（ 2011 陕西）方程 |x|＝ cosx 在 (－∞，＋∞ )内 ()A ．没有根B ．有且仅有一个根C ．有且仅有两个根D ．有无穷多个根x 2＋ 2x －3， x ≤ 0)4. （ 2010 福建 ）函数 f(x)＝ ，的零点个数为 (－2＋ lnx ， x ＞ 05（ 2014 天津）函数 f(x)＝ e x ＋ x －2 的零点所在的一个区间是 ()A ． (－ 2，－ 1)B ． (－1,0)C ．(0,1)D ．(1,2)。
函数的单调性奇偶性与周期性知识点与试题
函数的性质知识要点一、 函数的奇偶性1．定义：如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=－fx,则称fx 为奇函数；如果对于函数fx 定义域内的任意x 都有f －x=fx,则称fx 为偶函数;如果函数fx 不具有上述性质,则fx 不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则fx 既是奇函数,又是偶函数;注意：1函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质；2由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则－x 也一定是定义域内的一个自变量即定义域关于原点对称; 2．利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1首先确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称； 2 确定f －x 与fx 的关系；3 作出相应结论：若f －x = fx 或 f －x －fx = 0,则fx 是偶函数；若f －x =－fx 或 f －x ＋fx = 0,)0)((1)()(0)()()()(≠±=-⇔=±-⇔±=-x f x f x f x f x f x f x f 则fx 是奇函数; 3．简单性质：1图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称；2设fx,gx 的定义域分别是D1,D2那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇,奇⨯奇=偶,偶+偶=偶,偶⨯偶=偶,奇⨯偶=奇3任意一个定义域关于原点对称的函数()f x 均可写成一个奇函数()g x 与一个 偶函数()h x 和的形式,则()()()()(),()22f x f x f x f xg xh x --+-==;4． 奇偶函数图象的对称性1若)(x a f y +=是偶函数,则⇔=-⇔-=+)()2()()(x f x a f x a f x a f )(x f 的图象关于直线a x =对称；2若)(x b f y +=是奇函数,则⇔-=-⇔+-=-)()2()()(x f x b f x b f x b f )(x f 的图象关于点)0,(b 中心对称；5．一些重要类型的奇偶函数：1 函数()x x f x a a -=+ 是偶函数,函数()x x f x a a -=- 是奇函数；2函数221()(01x x x x xx a a a f x a a a a ----==>++ 且1)a ≠是奇函数； 3函数1()log 1axf x x-=+ (0a > 且1)a ≠是奇函数； 4函数()log (a f x x =+ (0a > 且1)a ≠是奇函数;二、函数的单调性1．定义：一般地,设函数y =fx 的定义域为I, 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1,x 2,当x 1<x 2时,都有fx 1<fx 2fx 1>fx 2,那么就说fx 在区间D 上是增函数减函数； 注意：1函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质； 2必须是对于区间D 内的任意两个自变量x1,x2；当x1<x2时,总有fx1<fx2 3函数单调性的两个等价形式：1212()()0(0)()f x f x f x x x >><⇔-在给定区间上单调递增递减；[]1212()()()0(0)()x x f x f x f x ->><⇔在给定区间上单调递增递减;2．如果函数y=fx 在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数y=fx 在这一区间具有严格的单调性,区间D 叫做y=fx 的单调区间;3．设复合函数y= fgx,其中u=gx , A 是y= fgx 定义域的某个区间,B 是映射g : x→u=gx 的象集：①若u=gx 在 A 上是增或减函数,y= fu 在B 上也是增或减函数,则函数y= fgx 在A 上是增函数；②若u=gx 在A 上是增或减函数,而y= fu 在B 上是减或增函数,则函数y= fgx 在A 上是减函数,简称“同增异减”; 4．判断函数单调性的方法步骤利用定义证明函数fx 在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：1 任取x1,x2∈D,且x1<x2；2作差fx1－fx2；3变形通常是因式分解和配方； 4定号即判断差fx1－fx2的正负；5 下结论指出函数fx 在给定的区间D 上的单调性; 5．简单性质1奇函数在其对称区间上的单调性相同； 2偶函数在其对称区间上的单调性相反；3在公共定义域内：增函数fx+增函数gx 是增函数；减函数fx+减函数gx 是减函数；增函数fx-减函数gx 是增函数；减函数fx-增函数gx 是减函数; 三、函数的最值1．定义：最大值：一般地,设函数y=fx 的定义域为I,如果存在实数M 满足：①对于任意的x ∈I,都有fx≤M ；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最大值;最小值：一般地,设函数y=fx的定义域为I,如果存在实数M满足：①对于任意的x∈I,都有fx≥M；②存在x0∈I,使得fx0 = M;那么,称M是函数y=fx的最小值;注意：1函数最大小首先应该是某一个函数值,即存在x0∈I,使得fx0 = M；2函数最大小应该是所有函数值中最大小的,即对于任意的x∈I,都有fx≤Mfx≥M;2．利用函数单调性的判断函数的最大小值的方法：1利用二次函数的性质配方法求函数的最大小值；2利用图象求函数的最大小值；3 利用函数单调性的判断函数的最大小值：如果函数y=fx在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数y=fx在x=b处有最大值fb; 如果函数y=fx在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数y=fx 在x=b处有最小值fb；函数的单调性A组1．下列函数fx中,满足“对任意x1,x2∈0,＋∞,当x1<x2时,都有fx1>fx2”的是________．①fx＝错误!②fx＝x－12③fx＝e x④fx＝ln x＋12．函数fxx∈R的图象如右图所示,则函数gx＝f log a x0<a<1的单调减区间是________．3．函数y＝错误!＋错误!的值域是________．4．已知函数fx＝|e x＋错误!|a∈R在区间0,1上单调递增,则实数a的取值范围是________．5．如果对于函数fx定义域内任意的x,都有fx≥MM为常数,称M为fx的下界,下界M中的最大值叫做fx的下确界,下列函数中,有下确界的所有函数是________．①fx＝sin x；②fx＝lg x；③fx＝e x；④fx＝错误!6．已知函数fx＝x2,gx＝x－1.1若存在x∈R使fx<b·gx,求实数b的取值范围；2设Fx＝fx－mgx＋1－m－m2,且|Fx|在0,1上单调递增,求实数m的取值范围.B组1．下列函数中,单调增区间是－∞,0的是________．①y＝－错误!②y＝－x－1③y＝x2－2④y＝－|x|2．若函数fx＝log2x2－ax＋3a在区间2,＋∞上是增函数,则实数a的取值范围是________．3．若函数fx＝x＋错误!a>0在错误!,＋∞上是单调增函数,则实数a的取值范围是________．4．定义在R上的偶函数fx,对任意x1,x2∈0,＋∞x1≠x2,有错误!<0,则下列结论正确的是________．①f3<f－2<f1②f1<f－2<f3 ③f－2<f1<f3④f3<f1<f－25．已知函数fx＝错误!满足对任意x1≠x2,都有错误!<0成立,则a的取值范围是________．6．函数fx的图象是如下图所示的折线段OAB,点A的坐标为1,2,点B的坐标为3,0,定义函数gx＝fx·x－1,则函数gx的最大值为________．7．已知定义域在－1,1上的函数y＝fx的值域为－2,0,则函数y＝f cos错误!的值域是________．8．已知fx＝log3x＋2,x∈1,9,则函数y＝fx2＋fx2的最大值是________．9．若函数fx＝log a2x2＋xa>0,a≠1在区间0,错误!内恒有fx>0,则fx的单调递增区间为__________．10．试讨论函数y＝2log错误!x2－2log错误!x＋1的单调性．11．已知定义在区间0,＋∞上的函数fx满足f错误!＝fx1－fx2,且当x>1时,fx<0.1求f1的值；2判断fx的单调性；3若f3＝－1,解不等式f|x|<－2.12．已知：fx＝log3错误!,x∈0,＋∞,是否存在实数a,b,使fx同时满足下列三个条件：1在0,1上是减函数,2在1,＋∞上是增函数,3fx的最小值是1.若存在,求出a、b；若不存在,说明理由．函数的性质A组1．设偶函数fx＝log a|x－b|在－∞,0上单调递增,则fa＋1与fb＋2的大小关系为________．2．定义在R上的函数fx既是奇函数又是以2为周期的周期函数,则f1＋f4＋f7等于________．3．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数,则f－25、f11、f80的大小关系为________．4．已知偶函数fx在区间0,＋∞上单调增加,则满足f2x－1<f错误!的x取值范围是________．5．已知定义在R上的函数fx是偶函数,对x∈R,f2＋x＝f2－x,当f－3＝－2时,f2011的值为________．6．已知函数y＝fx是定义在R上的周期函数,周期T＝5,函数y＝fx－1≤x≤1是奇函数,又知y＝fx在0,1上是一次函数,在1,4上是二次函数,且在x＝2时函数取得最小值－5.1证明：f1＋f4＝0；2求y＝fx,x∈1,4的解析式；3求y＝fx在4,9上的解析式．B组1．函数fx的定义域为R,若fx＋1与fx－1都是奇函数,则下列结论正确的是________．①fx是偶函数②fx是奇函数③fx＝fx＋2 ④fx＋3是奇函数2．已知定义在R上的函数fx满足fx＝－fx＋错误!,且f－2＝f－1＝－1,f0＝2,f1＋f2＋…＋f2009＋f2010＝________.3．已知fx是定义在R上的奇函数,且f1＝1,若将fx的图象向右平移一个单位后,得到一个偶函数的图象,则f1＋f2＋f3＋…＋f2010＝________.4．已知函数fx是R上的偶函数,且在0,＋∞上有f′x>0,若f－1＝0,那么关于x的不等式xfx<0的解集是________．5．已知函数fx是－∞,＋∞上的偶函数,若对于x≥0,都有fx＋2＝fx,且当x∈0,2时,fx＝log2x＋1,则f－2009＋f2010的值为________．6．已知函数fx是偶函数,并且对于定义域内任意的x,满足fx＋2＝－错误!,若当2<x<3时,fx＝x,则f＝________.7．定义在R上的函数fx在－∞,a上是增函数,函数y＝fx＋a是偶函数,当x1<a,x2>a,且|x1－a|<|x2－a|时,则f2a －x1与fx2的大小关系为________．8．已知函数fx为R上的奇函数,当x≥0时,fx＝xx＋1．若fa＝－2,则实数a＝________.9．已知定义在R上的奇函数fx满足fx－4＝－fx,且在区间0,2上是增函数．若方程fx＝mm＞0在区间－8,8上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,则x1＋x2＋x3＋x4＝________.10．已知fx是R上的奇函数,且当x∈－∞,0时,fx＝－x lg2－x,求fx的解析式．11．已知函数fx,当x,y∈R时,恒有fx＋y＝fx＋fy．1求证：fx是奇函数；2如果x∈R＋,fx<0,并且f1＝－错误!,试求fx在区间－2,6上的最值．12．已知函数fx 的定义域为R,且满足fx ＋2＝－fx ．1求证：fx 是周期函数；2若fx 为奇函数,且当0≤x ≤1时,fx ＝错误!x ,求使fx ＝－错误!在0,2010上的所有x 的个数．例题1、函数12()log (sin cos )f x x x =+的单调递增区间是______________．例题2、1函数()142-+=x x x x f 是A 、是偶函数但不是奇函数B 、是奇函数但不是偶函数C 、既是奇函数又是偶函数D 、既不是奇函数也不是偶函数2.设(32()log f x x x =+,则对任意实数,a b ,0a b +≥是()()0f a f b +≥的A 、充分必要条件B 、充分而不必要条件C 、必要而不充分条件D 、既不充分也不必要条件3已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩,则x y +=_____．4已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-x ∈R,且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有A 、2个B 、3个C 、4个D 、无数个例题3、2004复旦若存在M,使任意t D ∈D 为函数()f x 的定义域,都有()f x M ≤,则称函数()f x 有界.问函数11()sin f x x x=在1(0,)2x ∈上是否有界例题4、设)3(log )2(log )(a x a x x f a a -+-=,其中0>a 且1≠a ．若在区间]4,3[++a a 上1)(≤x f 恒成立,求a 的取值范围．课后精练1． 已知)13(log 21)(3+-=x abx x f 为偶函数,x x ba x g 22)(++=为奇函数,其中b a ,为复数, 则∑=+10001)(k k k b a 的值是______1-________.2． 函数|cos sin |2sin )(x x ex x f ++=的最大值与最小值之差等于21e+;解：)|4sin(|2|cos sin |2sin 2sin )(π+++=+=x x x e x ex x f ,从而当4π=x 时取最大值21e +,当4π-=x 时取最小值0,从而最大值与最小值之差等于21e +3．函数[)。
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题(带答案)
高中数学必修一第三章函数的概念与性质必须掌握的典型题单选题1、若函数f (x )=x α的图象经过点(9,13)，则f (19)=（ ） A ．13B ．3C ．9D ．8答案：B分析：将(9,13)代入函数解析式，即可求出α，即可得解函数解析式，再代入求值即可.解：由题意知f (9)=13，所以9α=13，即32α=3−1，所以α=−12，所以f (x )=x −12，所以f (19)=(19)−12=3.故选：B2、已知函数f (x )的定义域为(3,5)，则函数f (2x +1)的定义域为（ ） A ．(1,2)B ．(7,11)C ．(4,16)D ．(3,5) 答案：A分析：根据3<2x +1<5求解即可∵f (x )的定义域为(3,5)，∴3<x <5，由3<2x +1<5，得1<x <2，则函数f (2x +1)的定义域为(1,2) 故选：A.3、函数f (x )=x 2−1的单调递增区间是（ ） A ．(−∞,−3)B ．[0,+∞) C ．(−3,3)D ．(−3,+∞) 答案：B分析：直接由二次函数的单调性求解即可.由f (x )=x 2−1知，函数为开口向上，对称轴为x =0的二次函数，则单调递增区间是[0,+∞). 故选：B.4、已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，f (x )在[0,+∞)上单调递减，且f (3)=0，则不等式(2x −5)f (x −1)<0的解集为（ ）A ．(−2,52)∪(4,+∞)B ．(4,+∞)C ．(−∞,−2)∪[52,4]D ．(−∞,−2) 答案：A分析：根据偶函数的性质及区间单调性可得(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0，进而确定f(x)的区间符号，讨论{2x −5>0f(x −1)<0 、{2x −5<0f(x −1)>0求解集即可.由题设，(−∞,0)上f(x)单调递增且f(−3)=f(3)=0， 所以(−∞,−3)、(3,+∞)上f(x)<0，(−3,3)上f(x)>0， 对于(2x −5)f(x −1)<0，当{2x −5>0f(x −1)<0 ，即{x >52x −1<−3 或{x >52x −1>3 ，可得x >4； 当{2x −5<0f(x −1)>0 ，即{x <52−3<x −1<3，可得−2<x <52； 综上，解集为(−2,52)∪(4,+∞). 故选：A5、已知幂函数f(x)=k ⋅x α的图象经过点(3,√3)，则k +α等于（ ） A ．32B ．12C ．2D ．3答案：A分析：由于函数为幂函数，所以k =1，再将点(3,√3)代入解析式中可求出α的值，从而可求出k +α 解：因为f(x)=k ⋅x α为幂函数，所以k =1，所以f(x)=x α， 因为幂函数的图像过点(3,√3)， 所以√3=3α，解得α=12，所以k +α=1+12=32，故选：A6、已知幂函数y =x a 与y =x b 的部分图像如图所示，直线x =m 2，x =m (0<m <1)与y =x a ，y =x b 的图像分别交于A ，B ，C ，D 四点，且|AB |=|CD |，则m a +m b =（ ）A．1B．1C．√2D．22答案：B分析：表示出|AB|,|CD|，由幂函数的图象可得b>1>a>0，从而得(m2)a>(m2)b，m a>m b，再由|AB|=|CD|，代入化简计算，即可求解出答案.由题意，|AB|=(m2)a−(m2)b，|CD|=m a−m b，根据图象可知b>1>a>0，当0<m<1时，(m2)a> (m2)b，m a>m b，因为|AB|=|CD|，所以m2a−m2b=(m a+m b)(m a−m b)=m a−m b，因为m a−m b>0，可得m a+m b=1.故选：B,则f(x)（）7、设函数f(x)=x3−1x3A．是奇函数，且在(0,+∞)单调递增B．是奇函数，且在(0,+∞)单调递减C．是偶函数，且在(0,+∞)单调递增D．是偶函数，且在(0,+∞)单调递减答案：A分析：根据函数的解析式可知函数的定义域为{x|x≠0}，利用定义可得出函数f(x)为奇函数，再根据函数的单调性法则，即可解出．因为函数f(x)=x3−1定义域为{x|x≠0}，其关于原点对称，而f(−x)=−f(x)，x3所以函数f(x)为奇函数．又因为函数y=x3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增，而y =1x 3=x −3在(0,+∞)上单调递减，在(−∞,0)上单调递减，所以函数f(x)=x 3−1x 3在(0,+∞)上单调递增，在(−∞,0)上单调递增． 故选：A ．小提示：本题主要考查利用函数的解析式研究函数的性质，属于基础题． 8、下列函数为奇函数的是（ ） A ．y =x 2B ．y =x 3C ．y =|x|D ．y =√x 答案：B分析：根据奇偶函数的定义判断即可；解：对于A ：y =f (x )=x 2定义域为R ，且f (−x )=(−x )2=x 2=f (x )， 所以y =x 2为偶函数，故A 错误；对于B ：y =g (x )=x 3定义域为R ，且g (−x )=(−x )3=−x 3=−g (x )， 所以y =x 3为奇函数，故B 正确；对于C ：y =ℎ(x )=|x |定义域为R ，且ℎ(−x )=|−x |=|x |=ℎ(x )， 所以y =|x |为偶函数，故C 错误；对于D ：y =√x 定义域为[0,+∞)，定义域不关于原点对称， 故y =√x 为非奇非偶函数，故D 错误； 故选：B 多选题9、下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ） A ．f (x )=x 与g (x )=√x 33B ．f (x )=x +1与g (x )=x 2−1x−1C ．f (x )=|x |x 与g (x )={1,x >0−1,x <0D ．f (t )=|t −1|与g (x )=|x −1| 答案：ACD分析：根据两个函数为同一函数的定义，对四个选项逐个分析可得答案.对于A ，f(x)=x ，g(x)=√x 33=x ，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A 正确；对于B，f(x)=x+1，g(x)=x+1(x≠1)，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；对于C，f(x)={1,x>0−1,x<0，g(x)={1,x>0−1,x<0，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；对于D，f(t)=|t−1|与g(x)=|x−1|的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确. 故选：ACD10、已知函数f(x)={x+2,x≤−1x2,−1<x<2，关于函数f(x)的结论正确的是（）A．f(x)的定义域为R B．f(x)的值域为(−∞,4)C．f(1)=3D．若f(x)=3，则x的值是√3E．f(x)<1的解集为(−1,1)答案：BD解析：根据解析式判断定义域，结合单调性求出值域，分段代值即可求解方程，分段解不等式，得出不等式解集.由题意知函数f(x)的定义域为(−∞,2)，故A错误；当x≤−1时，f(x)的取值范围是(−∞,1]，当−1<x<2时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此f(x)的值域为(−∞,4)，故B正确；当x=1时，f(1)=12=1，故C错误；当x≤−1时，x+2=3，解得x=1（舍去），当−1<x<2时，x2=3，解得x=√3或x=−√3（舍去），故D正确；当x≤−1时，x+2<1，解得x<−1，当−1<x<2时，x2<1，解得−1<x<1，因此f(x)<1的解集为(−∞,−1)∪(−1,1)；故E错误.故选：BD.小提示：此题考查分段函数，涉及定义域，值域，根据函数值求自变量取值，解不等式，关键在于分段依次求解.11、已知幂函数f(x)图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（）A ．函数为增函数B ．函数为偶函数C ．若x ≥9，则f (x )≥3D ．若x 2>x 1>0，则f (x 1)+f (x 2)2>f (x 1+x 22)答案：AC解析：先代点求出幂函数的解析式f(x)=x 12，根据幂函数的性质直接可得单调性和奇偶性，由x ≥9时，可得√x ≥3可判断C ，利用(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2展开和0比即可判断D.设幂函数f(x)=x α将点(4,2)代入函数f(x)=x α得：2=4α，则α=12.所以f(x)=x 12，显然f(x)在定义域[0,+∞)上为增函数，所以A 正确.f(x)的定义域为[0,+∞)，所以f(x)不具有奇偶性，所以B 不正确. 当x ≥9时，√x ≥3，即f(x)≥3，所以C 正确. 当若0<x 1<x 2时， (f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2=x 1+x 2+2√x 1x 24−x 1+x 22=2√x 1x 2−x 1−x 24=−(√x 1−√x 2)24<0.即f (x 1)+f (x 2)2<f (x 1+x 22)成立，所以D 不正确.故选：AC小提示：关键点睛：本题主要考查了幂函数的性质，解答本题的关键是由(f (x 1)+f (x 2)2)2−f 2(x 1+x 22)=(√x 1+√x 22)2−(√x 1+x 22)2，化简得到−(√x 1−√x 2)24，从而判断出选项D 的正误，属于中档题.填空题12、已知函数f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，f(x)+g(x)=2⋅3x ，则函数f(x)=_____． 答案：3x +3−x分析：由已知可得f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，结合两函数的奇偶性可得f (x )−g (x )=2⋅3−x ，利用方程组的思想即可求出f (x ).解：因为f(x)+g(x)=2⋅3x ，所以f(−x)+g(−x)=2⋅3−x ，又f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，所以f (−x )=f (x ),g (−x )=−g (x )； 所以f(−x)+g(−x)=f (x )−g (x )=2⋅3−x，则{f (x )+g (x )=2⋅3x f (x )−g (x )=2⋅3−x，两式相加得，2f (x )=2⋅3x +2⋅3−x ，所以f (x )=3x +3−x . 故答案为:3x +3−x . 小提示：关键点睛:本题的关键是由函数的奇偶性得到f (x )−g (x )=2⋅3−x ，从而可求出函数的解析式. 13、函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域是________. 答案：[−2,+∞)解析：先求出函数的定义域为(−1,4)，设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，根据二次函数的性质求出单调性和值域，结合对数函数的单调性，以及利用复合函数的单调性即可求出y =log 0.4(−x 2+3x +4)的单调性，从而可求出值域.解：由题可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)， 则−x 2+3x +4>0，解得：−1<x <4， 所以函数的定义域为(−1,4)， 设f (x )=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，x ∈(−1,4)，则x ∈(−1,32)时，f (x )为增函数，x ∈(32,4)时，f (x )为减函数，可知当x =32时，f (x )有最大值为254，而f (−1)=f (4)=0，所以0<f (x )≤254，而对数函数y =log 0.4x 在定义域内为减函数， 由复合函数的单调性可知，函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)在区间(−1,32)上为减函数，在(32,4)上为增函数，∴y ≥log 0.4254=−2，∴函数y =log 0.4(−x 2+3x +4)的值域为[−2,+∞). 所以答案是：[−2,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查对数型复合函数的值域问题，考查对数函数的单调性和二次函数的单调性，利用“同增异减”求出复合函数的单调性是解题的关键，考查了数学运算能力.14、已知函数f (x )=x 2−4x +3，g (x )=mx +3−2m ，若对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立，则实数m 的取值范围为______． 答案：(−∞,−2]∪[2,+∞)分析：求出函数f (x )在[0,4]上的值域A ，再分情况求出g (x )在[0,4]上的值域，利用它们值域的包含关系即可列式求解.“对任意x 1∈[0,4]，总存在x 2∈[0,4]，使f (x 1)=g (x 2)成立”等价于“函数f (x )在[0,4]上 的值域包含于g (x )在[0,4]上的值域”，函数f (x )=(x −2)2−1，当x ∈[0,4]时，f(x)min =f(2)=−1，f(x)max =f(0)=f(4) =3，即f (x )在[0,4]的值域A =[−1,3]，当m =0时，g(x)=3，不符合题意，当m >0时，g (x )在[0,4]上单调递增，其值域B 1=[3−2m,3+2m]，于是有A ⊆B 1，即有{3−2m ≤−13+2m ≥3，解得m ≥2，则m ≥2，当m <0时，g (x )在[0,4]上单调递减，其值域B 2=[3+2m,3−2m]，于是有A ⊆B 2，即有{3+2m ≤−13−2m ≥3，解得m ≤−2，则m ≤−2， 综上得：m ≤−2或m ≥2，所以实数m 的取值范围为(−∞,−2]∪[2,+∞). 所以答案是：(−∞,−2]∪[2,+∞) 解答题15、已知二次函数f (x )=ax 2−2x (a >0) （1）若f (x )在[0,2]的最大值为4，求a 的值；（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2．求a的取值范围．答案：（1）2；（2）[8,+∞).分析：由解析式可知f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数；（1）分别在1a ≥2和0<1a<2两种情况下，根据函数单调性可确定最大值点，由最大值构造方程求得结果；（2）将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，分别在1a ≤t、1a≥t+1、t<1a≤t+12和t+12<1a<t+1，根据f(x)单调性可得f(x)max−f(x)min，将f(x)max−f(x)min看做关于t的函数，利用恒成立的思想可求得结果.由f(x)解析式知：f(x)为开口方向向上，对称轴为x=1a的二次函数，（1）当1a ≥2，即0<a≤12时，f(x)在[0,2]上单调递减，∴f(x)max=f(0)=0，不合题意；当0<1a <2，即a>12时，f(x)在[0,1a]上单调递减，在[1a,2]上单调递增，∴f(x)max=max{f(0),f(2)}，又f(0)=0，f(2)=4a−4，f(x)在[0,2]的最大值为4，∴f(x)max=f(2)=4a−4=4，解得：a=2；综上所述：a=2.（2）若对任意实数t，总存在x1,x2∈[t,t+1]，使得|f(x1)−f(x2)|≥2，则f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，①当1a≤t时，f(x)在[t,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(t)=2at+a−2≥2，当t≥1a时，y=2at+a−2单调递增，∴(2at+a−2)min=2a⋅1a+a−2=a，∴a≥2；②当1a ≥t+1，即t≤1a−1时，f(x)在[t,t+1]上单调递减，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(t+1)=−2at−a+2≥2，当t≤1a−1时，y=−2at−a+2单调递减，∴(−2at−a+2)min=−2a(1a−1)−a+2=a，∴a≥2；③当t<1a ≤t+12，即1a−12≤t<1a时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t+1)−f(1a )=a(t+1)2−2(t+1)+1a≥2，当1a −12≤t<1a时，又a>0，12<1a+12≤t+1<1a+1，令m=t+1，则y=am2−2m+1a 在[1a+12,1a+1)上单调递增，∴a(1a +12)2−2(1a+12)+1a≥2，解得：a≥8；④当t+12<1a<t+1，即1a−1<t<1a−12时，f(x)在[t,1a]上单调递减，在[1a,t+1]上单调递增，∴f(x)max−f(x)min=f(t)−f(1a )=at2−2t+1a≥2，当1a −1<t<1a−12时，y=at2−2t+1a在(1a−1,1a−12)上单调递减，∴a(1a −12)2−2(1a−12)+1a≥2，解得：a≥8；综上所述：a的取值范围为[8,+∞).小提示：关键点点睛：本题考查根据二次函数最值求解参数值、恒成立问题的求解，本题解题关键是能够将问题转化为f(x)max−f(x)min≥2对x∈[t,t+1]恒成立，从而通过对于函数单调性的讨论得到最值.。
高一函数的奇偶性和周期性知识点+例题+练习 含答案
1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝f(x)，那么称函数y＝f(x)是偶函数.关于y轴对称奇函数如果对于任意的x∈A，都有f(－x)＝－f(x)，那么称函数y＝f(x)是奇函数.关于原点对称2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．(×)(2)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对称．(√)(3)函数f(x)在定义域上满足f(x＋a)＝－f(x)，则f(x)是周期为2a(a>0)的周期函数．(√)(4)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对称．(√)(5)如果函数f(x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数．(√)(6)若T是函数的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数的周期．(√)1．(2015·福建改编)下列函数中，①y＝x；②y＝|sin x|；③y＝cos x；④y＝e x－e－x为奇函数的是________．(填函数序号)答案 ④解析 对于④，f (x )＝e x －e －x 的定义域为R ，f (－x )＝e －x －e x ＝－f (x )，故y ＝e x －e －x 为奇函数．而y ＝x 的定义域为{x |x ≥0}，不具有对称性，故y ＝x 为非奇非偶函数．y ＝|sin x |和y ＝cos x 为偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝________. 答案 0解析 由f (x ＋1)是偶函数得f (－x ＋1)＝f (x ＋1)，又f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (－x ＋1)＝－f (x －1)，即－f (x －1)＝f (x ＋1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，即f (x )＋f (x ＋2)＝0，所以f (1)＋f (3)＝0，f (2)＋f (4)＝0，因此f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0. 3．(2015·天津)已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x－m |－1(m 为实数)为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系为______________． 答案 c ＜a ＜b解析 由函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，得m ＝0， 所以f (x )＝2|x |－1，当x ＞0时，f (x )为增函数， log 0.53＝－log 23，所以log 25＞|－log 23|＞0， 所以b ＝f (log 25)＞a ＝f (log 0.53)＞c ＝f (2m )＝f (0)．4．(2014·天津)设f (x )是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[－1,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x 2＋2， －1≤x <0，x ， 0≤x <1，则f (32)＝________.答案 1解析 函数的周期是2， 所以f (32)＝f (32－2)＝f (－12)，根据题意得f (－12)＝－4×(－12)2＋2＝1.5．(教材改编)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x (1＋x )，则x <0时，f (x )＝________. 答案 x (1－x )解析 当x <0时，则－x >0，∴f (－x )＝(－x )(1－x )．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )＝(－x )(1－x )， ∴f (x )＝x (1－x )．题型一 判断函数的奇偶性例1 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝x 3－x ； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x1＋x； (3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ， x <0，－x 2＋x ， x >0.解 (1)定义域为R ，关于原点对称， 又f (－x )＝(－x )3－(－x )＝－x 3＋x ＝－(x 3－x ) ＝－f (x )， ∴函数为奇函数．(2)由1－x1＋x ≥0可得函数的定义域为(－1,1]．∵函数定义域不关于原点对称， ∴函数为非奇非偶函数．(3)当x >0时，－x <0，f (x )＝－x 2＋x ， ∴f (－x )＝(－x )2－x ＝x 2－x ＝－(－x 2＋x )＝－f (x )； 当x <0时，－x >0，f (x )＝x 2＋x ， ∴f (－x )＝－(－x )2－x ＝－x 2－x ＝－(x 2＋x )＝－f (x )．∴对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， 均有f (－x )＝－f (x )．∴函数为奇函数．思维升华 (1)利用定义判断函数奇偶性的步骤：(2)分段函数奇偶性的判断，要注意定义域内x 取值的任意性，应分段讨论，讨论时可依据x 的范围取相应的解析式化简，判断f (x )与f (－x )的关系，得出结论，也可以利用图象作判断．(1)下列四个函数：①f (x )＝－x |x |；②f (x )＝x 3；③f (x )＝sin x ；④f (x )＝ln xx，同时满足以下两个条件：①定义域内是减函数；②定义域内是奇函数的是________．(2)函数f (x )＝log a (2＋x )，g (x )＝log a (2－x )(a >0且a ≠1)，则函数F (x )＝f (x )＋g (x )，G (x )＝f (x )－g (x )分别是______________(填奇偶性)． 答案 (1)① (2)偶函数，奇函数解析 (1)①中，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2，x >0，x 2，x ≤0，由函数性质可知符合题中条件，故①正确；②中，对于比较熟悉的函数f (x )＝x 3可知不符合题意，故②不正确；③中，f (x )＝sin x 在定义域内不具有单调性，故②不正确；④中，定义域关于原点不对称，故④不正确． (2)F (x )，G (x )定义域均为(－2,2)，由已知F (－x )＝f (－x )＋g (－x )＝log a (2－x )＋log a (2＋x )＝F (x )， G (－x )＝f (－x )－g (－x )＝log a (2－x )－log a (2＋x ) ＝－G (x )，∴F (x )是偶函数，G (x )是奇函数．题型二 函数的周期性例2 (1)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2，1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫52＝________. (2)已知f (x )是定义在R 上的偶函数，并且f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f (105.5)＝______.答案 (1)－1 (2)2.5解析 (1)因为f (x )是周期为3的周期函数， 所以f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫－12＋3＝f ⎝⎛⎭⎫－12 ＝4×⎝⎛⎭⎫－122－2＝－1. (2)由已知，可得f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝－1f (x ＋2)＝－1－1f (x )＝f (x )．故函数的周期为4.∴f (105.5)＝f (4×27－2.5)＝f (－2.5)＝f (2.5)． ∵2≤2.5≤3，由题意，得f (2.5)＝2.5. ∴f (105.5)＝2.5.思维升华 (1)函数的周期性反映了函数在整个定义域上的性质．对函数周期性的考查，主要涉及函数周期性的判断，利用函数周期性求值． (2)函数周期性的三个常用结论： ①若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a ， ②若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a ，③若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．设函数f (x )(x ∈R )满足f (x ＋π)＝f (x )＋sin x ．当0≤x <π时，f (x )＝0，则f ⎝⎛⎭⎫23π6＝____________. 答案 12解析 ∵f (x ＋2π)＝f (x ＋π)＋sin(x ＋π)＝f (x )＋sin x －sin x ＝f (x )，∴f (x )的周期T ＝2π， 又∵当0≤x <π时，f (x )＝0，∴f ⎝⎛⎭⎫5π6＝0， 即f ⎝⎛⎭⎫－π6＋π＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＋sin ⎝⎛⎭⎫－π6＝0， ∴f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12，∴f ⎝⎛⎭⎫23π6＝f ⎝⎛⎭⎫4π－π6＝f ⎝⎛⎭⎫－π6＝12.题型三 函数性质的综合应用命题点1 函数奇偶性的应用例3 (1)已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.(2)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 答案 (1)1 (2)1解析 (1)因为f (x )是偶函数，g (x )是奇函数，所以f (1)＋g (1)＝f (－1)－g (－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1.(2)f (x )为偶函数，则ln(x ＋a ＋x 2)为奇函数，所以ln(x ＋a ＋x 2)＋ln(－x ＋a ＋x 2)＝0，即ln(a ＋x 2－x 2)＝0，∴a ＝1.命题点2 单调性与奇偶性、周期性结合例4 (1)已知f (x )是定义在R 上的以3为周期的偶函数，若f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，则实数a的取值范围为________．(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系是__________________． 答案 (1)(－1,4) (2)f (－25)<f (80)<f (11)解析 (1)∵f (x )是定义在R 上的周期为3的偶函数， ∴f (5)＝f (5－6)＝f (－1)＝f (1)，∵f (1)<1，f (5)＝2a －3a ＋1，∴2a －3a ＋1<1，即a －4a ＋1<0，解得－1<a <4.(2)∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)， f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)． 由f (x )是定义在R 上的奇函数， 且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．∵f (x )在区间[0,2]上是增函数， f (x )在R 上是奇函数，∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)<f (0)<f (1)， 即f (－25)<f (80)<f (11)．思维升华 (1)关于奇偶性、单调性、周期性的综合性问题，关键是利用奇偶性和周期性将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题．(2)掌握以下两个结论，会给解题带来方便：①f (x )为偶函数⇔f (x )＝f (|x |)．②若奇函数在x ＝0处有意义，则f (0)＝0.(1)若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.(2)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．答案 (1)－32(2)(－5,0)∪(5，＋∞)解析 (1)函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e －3x ＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln1＋e 3xe 3x ＋e 6x＝2ax ＝ln e 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e 2ax ＋3x (e 3x ＋1)，所以2ax ＋3x ＝0，解得a ＝－32.(2)∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝x 2＋4x .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2－4x (x <0)， ∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ，x >0，0，x ＝0，－x 2－4x ，x <0.①当x >0时，由f (x )>x 得x 2－4x >x ，解得x >5；②当x ＝0时，f (x )>x 无解；③当x <0时，由f (x )>x 得－x 2－4x >x ， 解得－5<x <0.综上得不等式f (x )>x 的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．2．忽视定义域致误典例 (1)若函数f (x )＝k －2x1＋k ·2x在定义域上为奇函数，则实数k ＝________.(2)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0，则满足不等式f (1－x 2)>f (2x )的x 的取值范围是________．易错分析 (1)解题中忽视函数f (x )的定义域，直接通过计算f (0)＝0得k ＝1. (2)本题易出现以下错误：由f (1－x 2)>f (2x )得1－x 2>2x ，忽视了1－x 2>0导致解答失误． 解析 (1)∵f (－x )＝k －2－x1＋k ·2－x ＝k ·2x －12x ＋k，∴f (－x )＋f (x )＝(k －2x )(2x ＋k )＋(k ·2x －1)·(1＋k ·2x )(1＋k ·2x )(2x ＋k )＝(k 2－1)(22x ＋1)(1＋k ·2x )(2x ＋k ).由f (－x )＋f (x )＝0可得k 2＝1， ∴k ＝±1.(2)画出f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋1，x ≥0，1，x <0的图象，由图象可知，若f (1－x 2)>f (2x )，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，1－x 2>2x ，即⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－1－2<x <－1＋2，得x ∈(－1，2－1)． 答案 (1)±1 (2)(－1，2－1)温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性，利用特殊值确定参数，要注意函数的定义域．(2)解决分段函数的单调性问题时，应高度关注：①对变量所在区间的讨论．②保证各段上同增(减)时，要注意左、右段端点值间的大小关系．③弄清最终结果取并集还是交集．[方法与技巧]1．判断函数的奇偶性，首先应该判断函数定义域是否关于原点对称．定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件． 2．利用函数奇偶性可以解决以下问题①求函数值；②求解析式；③求函数解析式中参数的值；④画函数图象，确定函数单调性． 3．在解决具体问题时，要注意结论“若T 是函数的周期，则kT (k ∈Z 且k ≠0)也是函数的周期”的应用． [失误与防范]1．f (0)＝0既不是f (x )是奇函数的充分条件，也不是必要条件．应用时要注意函数的定义域并进行检验．2．判断分段函数的奇偶性时，要以整体的观点进行判断，不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇、偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性．A 组 专项基础训练 (时间：40分钟)1．下列函数中，①y ＝log 2|x |；②y ＝cos 2x ；③y ＝2x －2－x 2；④y ＝log 22－x 2＋x ，既是偶函数又在区间(1,2)上单调递增的是________． 答案 ①解析 对于①，函数y ＝log 2|x |是偶函数且在区间(1,2)上是增函数；对于②，函数y ＝cos 2x在区间(1,2)上不是增函数；对于③，函数y ＝2x －2－x 2不是偶函数；对于④，函数y ＝log 22－x2＋x 不是偶函数．2．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)的值为________． 答案 －4解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，得f (0)＝1＋m ＝0，解得m ＝－1，∴f (x )＝3x －1.∵log 35>log 31＝0，∴f (－log 35)＝－f (log 35)＝3log 5(31)－－＝－4.3．已知f (x )在R 上是奇函数，且满足f (x ＋4)＝f (x )，当x ∈(0,2)时，f (x )＝2x 2，则f (2 019)＝________. 答案 －2解析 ∵f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )是以4为周期的周期函数， ∴f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (－1)．又f (x )为奇函数，∴f (－1)＝－f (1)＝－2×12＝－2， 即f (2 019)＝－2.4．若函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )为偶函数，且函数y ＝f (x )在x ∈(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的值为________． 答案 1解析 ∵函数f (x )＝(ax ＋1)(x －a )＝ax 2＋(1－a 2)x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )，即f (－x )＝ax 2－(1－a 2)x －a ＝ax 2＋(1－a 2)x －a ， ∴1－a 2＝0，解得a ＝±1.当a ＝1时，f (x )＝x 2－1，在x ∈(0，＋∞)上单调递增，满足条件．当a ＝－1时，f (x )＝－x 2＋1，在x ∈(0，＋∞)上单调递减，不满足条件．故a ＝1.5．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝x 2＋2x ，若f (2－a 2)>f (a )，则实数a 的取值范围是____________． 答案 (－2,1)解析 ∵f (x )是奇函数，∴当x <0时，f (x )＝－x 2＋2x .作出函数f (x )的大致图象如图中实线所示，结合图象可知f (x )是R 上的增函数，由f (2－a 2)>f (a )，得2－a 2>a ，解得－2<a <1.6．函数f (x )在R 上为奇函数，且当x >0时，f (x )＝x ＋1，则当x <0时，f (x )＝________. 答案 －－x －1解析 ∵f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x ＋1，∴当x <0时，－x >0，f (－x )＝－x ＋1＝－f (x )，即x <0时，f (x )＝－(－x ＋1)＝－－x －1. 7．已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，且f (1)＝0，则不等式f (x －2)≥0的解集是____________________．答案 (－∞，1]∪[3，＋∞)解析 由已知可得x －2≥1或x －2≤－1，解得x ≥3或x ≤1，∴所求解集是(－∞，1]∪[3，＋∞)．8．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1，则f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝________. 答案 2解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2，∴f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫32＋f (2)＋f ⎝⎛⎭⎫52＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f ⎝⎛⎭⎫－12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)－f ⎝⎛⎭⎫12＋f (0)＋f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫12＋f (1)＋f (0)＝212－1＋21－1＋20－1＝ 2. 9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )．于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式；(3)计算f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)．(1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.又f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．(3)解 ∵f (0)＝0，f (1)＝1，f (2)＝0，f (3)＝－1.又f (x )是周期为4的周期函数，∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝f (4)＋f (5)＋f (6)＋f (7)＝…＝f (2 012)＋f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝0.∴f (0)＋f (1)＋f (2)＋…＋f (2 016)＝f (2 016)＝f (0)＝0.B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，而且f (x )是减函数，如果f (m －2)＋f (2m －3)>0，那么实数m 的取值范围是____________．答案 ⎝⎛⎭⎫1，53 解析 ∵f (x )是定义域为(－1,1)的奇函数，∴－1<x <1，f (－x )＝－f (x )．∴f (m －2)＋f (2m －3)>0可转化为f (m －2)>－f (2m －3)，∴f (m －2)>f (－2m ＋3)，∵f (x )是减函数，∴m －2<－2m ＋3，∵⎩⎪⎨⎪⎧ －1<m －2<1，－1<2m －3<1，m －2<－2m ＋3.∴1<m <53. 12．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝⎛⎭⎫32＝f ⎝⎛⎭⎫－12，且f (－1)＝f (1)，故f ⎝⎛⎭⎫12＝f ⎝⎛⎭⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1，即3a＋2b＝－2.①由f(－1)＝f(1)，得－a＋1＝b＋2 2，即b＝－2a.②由①②得a＝2，b＝－4，从而a＋3b＝－10.13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为________．答案7解析因为当0≤x<2时，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期为2的周期函数，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函数y＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x轴的交点个数为7.14．设函数f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意的x∈R恒有f(x＋1)＝f(x－1)，已知当x∈[0,1]时，f(x)＝2x，则有①2是函数f(x)的周期；②函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数；③函数f(x)的最大值是1，最小值是0.其中所有正确命题的序号是________．答案①②解析在f(x＋1)＝f(x－1)中，令x－1＝t，则有f(t＋2)＝f(t)，因此2是函数f(x)的周期，故①正确；当x∈[0,1]时，f(x)＝2x是增函数，根据函数的奇偶性知，f(x)在[－1,0]上是减函数，根据函数的周期性知，函数f(x)在(1,2)上是减函数，在(2,3)上是增函数，故②正确；由②知f(x)在[0,2]上的最大值f(x)max＝f(1)＝2，f(x)的最小值f(x)min＝f(0)＝f(2)＝20＝1，且f(x)是周期为2的周期函数．∴f(x)的最大值是2，最小值是1，故③错误．15．函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解 (1)∵对于任意x 1，x 2∈D ， 有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)f (x )为偶函数．证明：令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝12f (1)＝0. 令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )， ∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2， 由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1. ∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．。
高一数学函数的单调性与奇偶性课后作业(基础题)
高一数学函数的单调性与奇偶性1函数单调性(一) (一) 选择题31.函数f(x) —在下列区间上不是 减函数的是( )X3. 设函数y = (2a — 1)x 在R 上是减函数，则有111A . aB . aC . a —2 224.若函数f(x)在区间［1, 3)上是增函数，在区间［3, 5］上也是增函数，则函数 f(x)在区间［1 , 5］上()A .必是增函数B .不一定是增函数C .必是减函数D .是增函数或减函数(二) 填空题5. 函数f(x)= 2x 2— mx + 3在［—2, +^ )上为增函数，在(一^，― 2)上为减函数，则 ma6.若函数f(x)—在(1 ,+^ )上为增函数，则实数a 的取值范围是 _______ .x7. ____________________________________________ 函数f(x)= 1—| 2 — x |的单调递减区间是 ________________________________________________ ，单调递增区间是 ______ .3&函数f(x)在(0,+^ )上为减函数，那么f(a 2— a + 1)与f(—)的大小关系是 _______________4*9 .若函数f(x) =| x — a | + 2在x € ［0,+^ )上为增函数，则实数 a 的取值范围是(三) 解答题10 .函数f(x), x € (a , b)U (b , c)的图象如图所示，有三个同学对此函数的单调性作出 如下的判断：甲说f(x)在定义域上是增函数；乙说f(x)在定义域上不是增函数，但有增区间，丙说f(x)的增区间有两个，分别为(a , b)和(b , c) 请你判断他们的说法是否正确，并说明理由。
111 .已知函数f(x) — 2.x(1)求f(x)的定义域；⑵证明函数f(x)在(0,+^ )上为减函数.A . (0,+^ )B .(―汽 0)C .(―汽 0)U (0,+s )D . (1 ,+^ )2.下列函数中，在区间 (1 , +m )上为增函数的是(A . y =— 3x + 1C . y = X 2— 4x + 5D . y =| x — 1 |+ 2Virh A Jir a h A 1 11J!i]* /I■0 / t J :-°: / b\ f c\x! / \ / 1 ! * / i/pl■J I ■14■f(x)的解析式；(2)画出函数f(x)12 .已知函数f (x) —. (1)用分段函数的形式写出|x|的图象，并根据图象写出函数f(x)的单调区间及单调性.函数单调性(二) (一)选择题1 . 一次函数f(x)的图象过点A(0, 3)和B(4, 1)，则f(x)的单调性为(A .增函数B .减函数2.已知函数y = f(x)在 R 上是增函数， A . ( — a, 5)B . (5 ,+a )3.函数f(x)在区间(—2, 3)上是增函数, A . (3, 8)B . (— 2, 3)) C .先减后增 D .先增后减且f(2m + 1) > f(3m — 4),贝U m 的取值范围是( C . (f, ) D .(点)55则下列- -定是 y = f(x) + 5的递增区间的是( C . (— 3,— 2)4. 已知函数f(x)在其定义域D 上是单调函数， ① 若x o € D ，则有唯一的 f(x o ) € M② 若f(x o ) € M ,则有唯一的x o € ③ 对任意实数 ④ 对任意实数 错误的个数是 A . 1个 (二)填空题 5. 已知函数 其值域为D . (0, 5) 则下列说法中6.函数y *7 .已知函数 a , a , ( 至少存在一个 至多存在一个 )B . 2个 Dx °€ D , x 0 €D , 使得 使得 f(x 0) = af(x 0) = a f(x) = 3x + b 在区间[—1, 2]上的函数值恒为正，贝U b 的取值范围是 1 2x — (x [1,2])的值域是 __________ . xf(x)的定义域为R ,且对任意两个不相等的实数 x,y ，都有丄^勺一宜 成立，则f(x)在R 上的单调性为 b&若函数y = ax 和y —在区间(0, +8 )上都是减函数，贝函数yx(填增函数或减函数或非单调函数).(填增函数或减函数或非单调函数 ). —x 1 在(—8, a + 8 )上的单调性是9.若函数f (X )x 21 ax 1 (X (X 1)在R 上是单调递增函数，则a 的取值范围是1) (三)解答题 10 .某同学在求函数 f (x) •、X,X [1,4]的值域时，计算出 f(1) = 2, f(4) = 6，就 直接得值域为[2, 6].他的答案对吗，他这么做的理由是什么? 111 .用max{a , b}表示实数a , b 中较大的一个， 对于函数f(x)= 2x , g(x) ，记F(x) x =max{ f(x), g(x)}，试画出函数F(x)的图象，并根据图象写出函数 F(x)的单调区间. *12 .已知函数f(x)在其定义域内是单调函数，证明：方程 f(x)= 0至多有一个实数根.函数的奇偶性(一) 选择题1.下列函数中：1①y= X2(X€ [ —1, 1])；② y=| x|; ③ f(x) x -; ④ y= x3(x€ R)X奇函数的个数是()A . 1个B . 2个C . 3个D . 4个2•对于定义域为R的任意奇函数f(x)—定有()A .f(x)—f( —X)> 0C .f(x) • f( —x)v 0X 1(X0)3 .函数f (X)X 1(X0)B . f(x) —f( —X) < 0D . f(x) • f( —A•是奇函数不是偶函数C.既不是奇函数也不是偶函数4. 下面四个结论中，正确命题的个数是①偶函数的图象一定与y轴相交②奇函数的图象一定通过原点③偶函数的图象关于y轴对称④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是A . 1 B. 2(二) 填空题5. 下列命题中，B .是偶函数不是奇函数D.既是奇函数又是偶函数( )f(x) = 0(x€ R)C . 3D . 41①函数y 丄是奇函数，且在其定义域内为减函数；X②函数y= 3X(X— 1)0是奇函数，且在其定义域内为增函数；③函数y= X2是偶函数，且在(一3, 0)上为减函数；④函数y= ax2+ c(ac丰0)是偶函数，且在(0, 2)上为增函数;真命题是_______ .6.若f(x)是偶函数，贝U f(1血)f(^^) ________________1 V27.设f(x)是R上的奇函数，且当x€ [0,+^ )时，f(x) = X(1 + X3),那么当x€ ( —^,0]时，f(x) = ______ .& 已知f(x)= X5+ ax3+ bx—8，且f(—2)= 10,则f(2) = __________ .9. _______________ 设f(x)是定义在R上的偶函数，且在(一3 0)上是增函数，则f(—2)与f(a2—2a + 3)(a € R)的大小关系是.(三) 解答题10 .判断下列函数的奇偶性：(1) f (X) 3X4⑵ f (x)⑶ f(x) x 1 、1 x ⑷ f (x) . x21 1 x211 •函数f(x), g(x)都不是常值函数，并且定义域都是R.①证明：如果f(x), g(x)同是奇函数或同是偶函数，那么f(x) • g(x)是偶函数；②“如果f(x) • g(x)是偶函数，那么f(x), g(x)同是奇函数或同是偶函数”的说法是否成立，为什么？*12.已知定义在［—2, 2］上的奇函数f(x)是增函数，求使f(2a—1) + f(1 —a)>0成立的实数a的取值范围.答案1函数单调性(一)I. C 2. D 3. D 4. B 5.— 8 6. a v 07. [2,+^ ), (―® 2]3 & f(a 2— a + 1) f( —)9. a € ( — 3 0]410. 甲错，乙和丙都对II. (1)解：f(x)的定义域是{x € R | X M 0}; (2)证明：设X 1, X 2是(0,+8 )上的两个任意实数，且 X 1 v X 2,则 X = X 1 — X 2 v 0,因为 X 2 — X 1=— x >0, X 1X 2>0，所以 y >0.1因此f(x) —2是(0,+3 )上的减函数. X1 -(X 0) X 1-(x 0) X⑵图象如图所示，在区间(一3, 0)上是增函数，在区间 2 函数单调性(二) 1. B 2. A 3. B 4. A 5. (3,+s )6. ［1, 7］7.减函数& 增函数 9. (0, 3］210 .他的答案是正确的，因为函数y = x 和y x 在［1, 4］上都是增函数，所以f(x) x x,x ［1,4］，也是增函数，而且，这个函数的图象是连续不断的，因此求出最大值和最小值就可以得到值域了.11.解：图象如图所示，单调区间为:,一f ］和(0,子］上都是单调递减区间; ,0)和【畔,)上都是单调递增区间.12 .证明：假设方程f(x) = 0有两个不相等的根 f(X 1) = f(X 2) = 0…(*)若函数f(x)在其定义域内是增函数， 则应该有f(X 1)V f(X 2)；若函数f(x)在其定义域内是减 函数，则应该有f(x1)> f(X 2),无论如何，都与(*)式矛盾，故假设错误，所以，方程 f(x)= 0至多有一个实数根.3函数的奇偶性1. B2. D3. C(提示：易知f( — 0)M — f(0)，所以f( — x) = — f(x)并不能对定义域内的 任意y f (X 1)f (X 2)1 X11 2 (— 2) X 1X 2 X 1 X-|X 2(0,+m )上是减函数。
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高
一数学函数练习题 一、 求函数的定义域
1、 求下列函数的定义域： ⑴221533x x y x --=
+- ⑵211()1x y x -=-+ ⑶021(21)4111y x x x =+-+-+-
2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2
的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________；
3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x
+的定义域为 。
4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。
二、求函数的值域
5、求下列函数的值域：
⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311
x y x -=+
⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ 262
x y x -=+ ⑹ 225941x x y x +=-＋
⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ 245y x x =-++
⑽ 2445y x x =--++ ⑾12y x x =--
6、已知函数222()1
x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。
三、求函数的解析式系
1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。
2、已知()f x 是二次函数，且2
(1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。
3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， 3()(1)f x x x =+，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ , ()f x 在R 上的解析式为
5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1
f x
g x x +=
-，求()f x 与()g x 的解析表达式
四、求函数的单调区间
6、求下列函数的单调区间：
⑴ 2
23y x x =++ ⑵223y x x =-++ ⑶ 261y x x =--
7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2
(1)f x -的单调递增区间是 8、函数236x y x -=+的递减区间是 ；函数236
x y x -=+的递减区间是。