【数学】山东省济宁市鱼台一中2013-2014学年高二下学期期中考试(文)

鱼台一中2013—2014学年高二下学期期中检测数学（文）一、选择题（每小题5分，共计60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数(1)z i i =-+（i 为虚数单位）的共轭复数是（ ） A ．1i + B ．1i - C ． 1i -+ D ．1i --2.已知曲线2212-=x y 上一点P （1，23-），则过点P 的切线的倾斜角为（ ） A. 30B. 450C. 1350D. 1653. 函数23)(23+-=x x x f 在区间][1,1-上的最大值是（ ）A. 2-B. 0C. 2D. 44. 复数Z 满足i Z i 34)43(+=-，则Z 的虚部位（ ）A. i 4B. 4C. i 54D. 545.已知点)3,1(和)4,3(-在直线032=+-a y x l ：的两侧，则a 的取值范围是（ ） A.),7(]18,(+∞--∞ B.)7,18(- C.}7,18{- D.不确定6.若过点(4,0)A 的直线l 与曲线22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 斜率的取值范围为( )A.[－3，3]B.(－3，3)C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，33 7.若圆()()22253r y x =++-上的点到直线0234=--y x 的最近距离等于１，则半径r 的值为( )A.4B.5C.6D.98.设P 是椭圆221255x y +=上一点，12,F F 是椭圆的两个焦点，120,PF PF ⋅=12F PF ∆则面积是 （ ）A.5B.10C.8D.99．若()f x 是定义在R 上的函数，且对任意实数x ，都有(2)f x +≤()2f x +， (3)f x +≥()3f x +，且(1)2f =，(2)3f =，则(2015)f 的值是 A. 2014 B. 2015 C. 2016D. 201710. 过平面区域202020x y y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪++≤⎩内一点P 作圆22:1O x y +=的两条切线，切点分别为,A B ，记APB α∠=，则当α最小时cos α的值为( )1920 C.910 D. 1211.若函数1)(23+-=ax x x f 在)2,0(上单调递减，则实数a 的取值范围为（ ）A.3≥aB. 3=aC.3≤aD. 30＜a＜ 12. 若函数c bx ax x x f +++=23)(有极值点21,x x ，且211)(＜x x x f =，若关于x 的方程[]0)(2)(32=++b x af x f 的不同实数根的个数是（ ）A. 3B. 4C. 5D. 6二、填空题（共4个小题，20分） 13.xy1=在点（1,1）处的切线方程 14.已知函数1)2(33)(23++++=x a ax x x f 既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 15.函数2x y =)0(x ＞的图像在点2,(kk a a ）处的切线与x 轴的交点的横坐标为1+k a （*∈N k ）若161=a ，则321a a a ++=16.已知椭圆C :2224x y +=，过点P (1,1)的直线与椭圆C 交于A 、B 两点，若点P 恰为线段AB 的中点，则直线AB 的方程为三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分10分） 已知直线l 经过点(2,1)P -.（1）若直线l 的方向向量为(2,3)--，求直线l 的方程； （2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求此时直线l 的方程.18．（本小题满分12分）已知函数f (x )＝1x＋ln x (a ≠0，a ∈R)．求函数f (x )的极值和单调区间．19．（本小题满分12分）已知动圆222:()(2)C x m y m m -+-=（0m >）（1）当2m =时，求经过原点且与圆C 相切的直线l 的方程； （2）若圆C 与圆22:(3)16E x y -+=内切，求实数m 的值. 20．（本小题满分12分）已知函数32()f x x bx cx d =+++的图象过点P （0，2），且在点M （－1，(1)f -）处的切线方程670x y -+=。

（1）求函数()y f x =的解析式；（2）求函数2923)(2++-=a x x x g 与()y f x =的图像有三个交点，求a 的取值范围。

21．（本小题满分12分）已知函数c x b ax x f ++=ln )((c b a ,,是常数)在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ，且(1)0f =.（1）求常数c b a ,,的值；（2）若函数)()(2x mf x x g +=(R m ∈)在区间)3,1(内不是单调函数，求实数m 的取值范围.22. （本小题满分12分）已知椭圆G ：x 24＋y 2＝1.过x 轴上的动点P (m,0)作圆x 2＋y 2＝1的切线l 交椭圆G 于A ，B 两点．（1）求椭圆G 上的点到直线210x y -+=的最大距离; （2）①当实数1m =时,求A ，B 两点坐标;②将|AB |表示为m 的函数，并求|AB |的最大值．参考答案1-5 ABCDB 6-10 CAACC 11-12 AA 13.02=-+y x14.21 a a 或- 15.2116.230x y +-=17.（1）由l 的方向向量为(2,3)--，得斜率为32， 所以直线l 的方程为：3280x y -+=（6分）（2）当直线l 在两坐标轴上的截距为0时，直线l 的方程为12y x =-；（9分） 当直线l 在两坐标轴上的截距不为0时，设为,x y a +=代入点(2,1)P -得直线l 的方程为10x y ++=.18． 因为f ′(x )＝－1x 2＋1x ＝x －1x2，令f ′(x )＝0，得x ＝1， 又f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )，f (x )随x 的变化情况如下表：所以x ＝1f (x )的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0,1)．19.（1）22:(2)(4)4C x y -+-=当直线l 的斜率不存在时，l 方程为0x =,（3分） 当直线l 的斜率存在时,设l 方程为y kx =，由题意得32,4d k ==∴=所以l 方程为34y x =（6分） （2）(,2),(3,0)C m m E ,由题意得|4|||m CE -=，（9分）两边平方解得14m =20.（1）由()f x 的图象经过点P （0，2），知2d =。

所以32()2f x x bx cx '=+++，则2()32.f x x bx c '=++由在(1,(1))M f --处的切线方程是670,x y -+=知6(1)70f ---+=，即(1)1,(1)6f f '-=-=。

所以326,121,b c b c -+=⎧⎨-+-+=⎩即23,0,b c b c -=-⎧⎨-=⎩解得3b c ==-。

故所求的解析式是32()332f x x x x =--+。

（2）因为函数)(x g 与 )(x f 的图像有三个交点所以2923233223++-=+--a x x x x x 有三个根 即a x x x =+-62923有三个根 令x x x x h 629)(23+-=，则)(x h 的图像与a y =图像有三个交点。

接下来求)(x h 的极大值与极小值（表略）。

)(x h 的极大值为25)(x h 的极小值为2 因此252<<a 21．（1）由题设知，)(x f 的定义域为),0(+∞,xb a x f +=)(', 因为)(x f 在e x =处的切线方程为0)1(=-+-e ey x e ， 所以'1()e f e e -=-,且()2f e e =-，即1b e a e e-+=-,且2ae b c e ++=-, 又0)1(=+=c a f ，解得1-=a ，1=b ，1=c （2）由（Ⅰ）知)0(1ln )(>++-=x x x x f因此，22()()ln (0)g x x mf x x mx m x m x =+=-++>所以)0)(2(12)(2'>+-=+-=x m mx x xx m m x x g 令2()2(0)d x x mx m x =-+>.（ⅰ）当函数)(x g 在)3,1(内有一个极值时，0)('=x g 在)3,1(内有且仅有一个根，即02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根，又因为(1)20d =>，当0)3(=d ，即9=m 时，02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有且仅有一个根32x =，当0)3(≠d 时，应有0)3(<d ，即03322<+-⨯m m ，解得9>m ，所以有9m ≥.（ⅱ）当函数)(x g 在)3,1(内有两个极值时，0)('=x g 在)3,1(内有两个根，即二次函数02)(2=+-=m mx x x d 在)3,1(内有两个不等根，所以22420(1)20(3)2330134m m d m m d m m m ⎧∆=-⨯⨯>⎪=-+>⎪⎪⎨=⨯-+>⎪⎪<<⎪⎩，解得98<<m .综上，实数m 的取值范围是),8(+∞22.（1）设直线12y x t =+，带入椭圆方程x 24＋y 2＝1得，2222(1)0,0x tx t ++-=∆=得t =，（4分） 由图形得直线12y x =与直线210x y -+=的距离为椭圆G 上的点到直线210x y -+=的最大距离为d ==6分） （2）①由题意知，|m |≥1.当m ＝1时，切线l 的方程为x ＝1，点A ，B 的坐标分别为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，－32，此时|AB |＝ 3.（8分）当m ＝－1时，同理可得|AB |＝ 3.（9分） ②当|m |＞1时，设切线l 的方程为y ＝k (x －m )．由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k x －m ，x 24＋y 2＝1.得(1＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－4＝0. （10分）设A ，B 两点的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则 x 1＋x 2＝8k 2m 1＋4k ，x 1x 2＝4k 2m 2－41＋4k .又由l 与圆x 2＋y 2＝1相切，得|km |k 2＋1＝1，即m 2k 2＝k 2＋1.（11分）所以|AB |＝x 2－x 12＋y 2－y 12＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝＋k2⎣⎢⎡⎦⎥⎤64k 4m2＋4k22－k 2m 2－1＋4k2＝43|m |m 2＋3.（12分） 由于当m ＝±1时，|AB |＝3，所以|AB |＝43|m |m 2＋3，m ∈(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为|AB |＝43|m |m 2＋3＝43|m |＋3|m |≤2，（13分） 且当m ＝±3时，|AB |＝2，所以|AB |的最大值为2.。