《组合》课件 (2)

课堂练习： 1．5个人分4张同样的足球票，每人至多分一张，而且 4 票必须分完，那么不同的分法种数是 C5 5 ． 2．某学生要邀请10位同学中的6位参加一项活动，其中 有2位同学要么都请，要么都不请，共有 98 种邀请方法. 3.一个集合有5个元素，则该集合的非空真子集共有 30个. 4.平面内有两组平行线，一组有m条，另一组有n条，这 2 2 两组平行线相交，可以构成 Cm Cn 个平行四边形 . 5．空间有三组平行平面，第一组有m个，第二组有n个， 第三组有t个，不同两组的平面都相交，且交线不都平行， 2 2 2 可构成 CmCn Ct 个平行六面体
即有
C
5 种方法。按照第一个隔板前的指标数为 1班的 9
指标，第一个隔板与第二个隔板之间的指标数为2班的指
标，以此类推，因此共有 C 5
9
种分法 126 .
（2）先拿3个指标分给二班1个，三班2个， 然后，问题转化为7个优秀指标分给三个班， 每班至少一个.由（1）可知共有 C 2 种分法 6 15 注：第一小题也可以先给每个班一个指标， 然后，将剩余的4个指标按分给一个班、两
(3) 4只鞋子有2只成双，另2只不成双。
小结：
1. 解应用题，首先要确定是排列问题，还是组合问题。 2. 许多排列应用题的解题思路，可迁移到组合应用题中。 3. 既有排列又有组合的混合应用题，一般先取后排。
4. “至多至少”问题，容易出错。要用分类解决，或用排 除法解决。
5. 涉及“多面手”的问题，一般分类解决。
解：因为10个名额没有差别，把它们排成 一排。相邻名额之间形成９个空隙。 在９个空档中选６个位置插个隔板， 可把名额分成７份，对应地分给７个 班级，每一种插板方法对应一种分法 6 共有 ___________ 种分法。 C9 m份（ 将n个相同的元素分成 n，m为正整数）,每 份至少一个元素,可以用m-1块隔板，插入n个元素 m 1 排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为C n 1
一 班 二 班 三 班 四 班 五 班 六 班 七 班
练习、 （1）10个优秀指标分配给6个班级，每个班级至少 一个，共有多少种不同的分配方法？ （2）10个优秀指标分配到1、2、 3三个班，若名 额数不少于班级序号数，共有多少种不同的分配方法？
分析：（1）这是同种元素的“不平均分组”问题.本小题可 构造数学模型 ，用5个隔板插入10个指标中的9个空隙，
(3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? ①C
1 2 2 98 3 100
C C C
2 2
1 98
②
CC
1 2
2 99
C
C
3 98
练习2
按下列条件，从12人中选出5人，有多少种不同选法？ 3 2 （1）甲、乙、丙三人必须当选； C3 C9 36 0 5 （2）甲、乙、丙三人不能当选； C3 C9 126 （3）甲必须当选，乙、丙不能当选；C11C94 126 （4）甲、乙、丙三人只有一人当选； C 1C 4 378 3 9 （5）甲、乙、丙三人至多2人当选； （6）甲、乙、丙三人至少1人当选；
例2 将3名医生和6名护士分配到3所 学校为学生体检，每所学校去1名医生和 2名护士，求共有多少种不同的分配方案？ 540
例3 从某4名男生和5名女生中任选5 人参加某项社会实践活动，要求至多选4 名女生，且男生甲和女生乙不同时入选， 求共有多少种不同的选法？ 90
例5 将8名工程技术人员平均分到甲、 乙两个企业作技术指导，其中某2名工程 设计人员不能分到同一个企业，某3名电 脑编程人员也不能分到同一个企业，求 共有多少种不同的分配方案？ 36 例6 将20个大小相同的小球放入编号 为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子 内的球数不小于该盒子的编号数，求共 有多少种不同的放法？ 120
个班、三个班、四个班进行分类，共有
C 2C 3C C 126
1 6 2 6 3 6 4 6
种分法.
例5．（1）四个不同的小球放入四个不同的盒中，一共 有多少种不同的放法？ （2）四个不同的小球放入四个不同的盒中且恰有一个空 盒的放法有多少种？
解：（1）根据分步计数原理：一共有
4
4 256种方法；
例7 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒至少1球的 放法有多少种？ 隔板法：待分元素相同，去处不同，每处至少一个。 例8 已知方程x+y+z+w=100，求这个方程的正整数解的级数。
变式 将7只相同的小球全部放入4个不同盒子，每盒可空，不同 的放法有多少种？
应用举例
例1 将6本不同的书按下列要求分发， 求各有多少种不同的方法： 60 （1）按1，2，3的本数分成3组； 360 （2）按1，2，3的本数分发给3个人； （3）平均分发给3个人；90 （4）平均分成3组； 15 （5）按1，1，4的本数分成3组； 15 （6）按1，1，4的本数分发给3个人.90
反思：“至少”“至多”的问题， 通常用分类法 或间接法求解。
练习1、 在100件产品中有98件合格品，2件次品。 产品检验时,从100件产品中任意抽出3件。
(1)一共有多少种不同的抽法?
C
3 100
161700;
(2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?
C C 9506;
1 2 2 98
例4．马路上有编号为1，2，3，…，10的十盏路 灯，为节约用电又不影响照明，可以把其中3盏灯 关掉，但不可以同时关掉相邻的两盏或三盏，在 两端的灯都不能关掉的情况下，有多少种不同的 关灯方法？ 解：（插空法）本题等价于在7只亮着的路灯之间 的6个空档中插入3只熄掉的灯，故所求方法总数
为 C3
6
20 种方法
练习：
1. 某施工小组有男工7人，女工3人，选出3人中有女工1人， 男工2人的不同选法有多少种？ 2. 由10人组成的课外文娱小组，有4人只会跳舞，有4人只会 唱歌，2人均能。若从中选出3个会跳舞和3个会唱歌的人的 排演节目，共有多少种不同的选法？ 3. 要从7个班级中选出10人来参加数学竞赛，每班至少选1人， 这10个名额有多少种分配方法?
Cmn Cmnm Cm n An
种方法
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法：
（3）分为三份，一份1本，一份2本，一份3本； （4）分给甲、乙、丙三人，一人1本，一人2本， 一人3本；
解：（3）这是“不均匀分组”问题，一共有
C C C 60种方法．
1 6 2 5 3 3
例2 在∠MON的边OM上有5个异于O点 的点,ON上有4个异于O点的点,以这十个 点(含O)为顶点,可以得到多少个三角形?
E N D · C · B· · A· O · · · · F G H I
M
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： （1）分给甲、乙、丙三人，每人2本；
解：（1）根据分步计数原理得到：
周五的5天中参加某项志愿者活动，要求 每人参加一天且每天至多安排一人，并要 求甲安排在另外两位前面。不同的安排方 法共有（ A ） A. 20种 B. 30种 C. 40种 D. 60种
例7．某人有4种颜色的灯泡（每种颜色的
灯泡足够多），要在如题（16）图所示的 6个点A、B、C、A1、B1、C1上各装一个 灯泡，要求同一条线段两端的灯泡不同色， 则每种颜色的灯泡都至少用一个的安装方 法共有 216 种（用数字作答）.
练习： 在11名工人中，有5人只能当钳工， 4人只能当车工，另外2人既能当钳工，又能 当车工，现从11人中选出4人当钳工，4人当 车工，问有多少种不同的选法？
例7 10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从 中任意抽取4只，试求各有多少种情况出现如下 结果： (1)4只鞋子没有成双； (2) 4只鞋子恰好成双；
（2）（捆绑法）第一步：从四个不同的小球中任取两个
2 “捆绑”在一起看成一个元素有 C 种方法；第二步：从 4
四个不同的盒中任取三个将球放入有
3 一共有 C 2 A ＝ 144种方法 4 4
3 种方法，所以， A 4
多面手问题
例6. 有12名划船运动员,其中3人只会划左舷, 4人只会划右舷, 其它5人既会划左舷, 又会划 右舷, 现要从这12名运动员中选出6人平均分 在左右舷参加划船比赛,有多少种不同的选法?
C C C 90种
2 6 2 4 2 2
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种 不同的选法： (2)分为三份，每份2本；
2 2 2 解析：(2)分给甲、乙、丙三人，每人两本有C6 C4 C2 种
方法，这个过程可以分两步完成：第一步分为三份，每
份两本，设有x种方法；第二步再将这三份分给甲、乙、
课堂练习：
6.高二某班第一小组共有12位同学，现在要调换座位， 使其中有3个人都不坐自己原来的座位，其他9人的座位 3 不变，共有 C12 2 440 种不同的调换方法 7.某兴趣小组有4名男生，5名女生： （1）从中选派5名学生参加一次活动，要求必须有2名男 生，3名女生，且女生甲必须在内，有 36 种选派方法； （2）从中选派5名学生参加一次活动， 要求有女生但人 45 种选派方法； 数必须少于男生，有____ 280 种不同分法. （3）分成三组，每组3人，有_______
3 种方法． C C C A3 360 1 6 2 5 3 3
（4）在（3）的基础上再进行全排列，所以一共有
例3．6本不同的书，按下列要求各有多少种不同 的选法： （5）分给甲、乙、丙三人，每人至少1本
解：（5）可以分为三类情况： ①“2、2、2型” 的分配情况，有C C C 90 种方法； 1 2 3 3 ②“1、2、3型” 的分配情况，有 C6C5 C3 A3 360 种方法； 4 3 种方法， ③“1、1、4型”，有 C6 A3 90