您的位置：360文档中心› 矩形的定义和性质复习

矩形的定义和性质复习

合集下载

矩形的性质与判定2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(解析版)

矩形的性质与判定2021-2022学年八年级数学下学期重要考点精讲精练(人教版)(解析版)

18.2.1矩形的性质与判定矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个角是直角这个特殊条件.矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.注意：（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部分. （2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点（即对称中心）.（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分且相等.题型1：理解矩形的性质1.矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（）A．两组对边分别相等B．对角线相等C．两组对边分别平行题型2：利用矩形的性质判定三角形全等2.如图，在矩形ABCD中，连接对角线AC、BD，将△ABC沿BC方向平移，使点B移到点C，得到△DCE．求证：△ACD≌△EDC．【分析】由矩形的性质得出AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，得出AD＝EC，由SAS即可得出结论；【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝DC，AC＝BD，AD＝BC，∠ADC＝∠ABC＝90°，由平移的性质得：DE＝AC，CE＝BC，∠DCE＝∠ABC＝90°，DC＝AB，∴AD＝EC，在△ACD和△EDC中，，∴△ACD≌△EDC（SAS）；【变式2-1】已知：如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥CE，交AB于点F，DE＝2，矩形的周长为16，且CE＝EF．求AE的长．【分析】由题意可证△AEF≌△ECD，可得AE＝CD，由矩形的周长为16，可得2（AE+DE+CD）＝16，可求AE的长度．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°∵EF⊥CE∴∠CEF＝90°∴∠CED+∠AEF＝90°∵∠CED+∠DCE＝90°∴∠DCE＝∠AEF∵CE＝EF，∠A＝∠D，∠DCE＝∠AEF∴△AEF≌△DCE∴AE＝DC由题意可知：2（AE+DE+CD）＝16 且DE＝2∴2AE＝6∴AE＝3【变式2-2】如图，在矩形ABCD中，点E是CD边上的中点．求证：AE＝BE．【分析】利用矩形的性质证得△ADE≌△BCE后即可证得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠D＝∠C＝90°，∵E为CD边上的中点，∴DE＝CE，∴△ADE≌△BCE（SAS），∴AE＝BE．题型3：矩形的性质与求角度3.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（）A．70°B．60°C．80°D．45°【分析】由矩形的性质可得∠EAG＝∠DAB＝90°，CD∥AB，即可求解．【解答】解：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．∴∠FGA＝∠DAB＝90°，CD∥AB，∴∠DGA＝∠BAG＝20°，∴∠DGF＝90°﹣∠DGA＝90°﹣20°＝70°．故选：A．【变式3-1】用两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，一把直尺压住射线OB交射线OA于点M，另一把直尺压住射线OA交第一把直尺于点P，作射线OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）A．46°B．52°C．56°D．62°【分析】由长方形直尺可得MP∥OB，再根据作图过程可知OP平分∠AOB，进而可得∠AMP的度数．【解答】解：∵OP平分∠AOB，∴∠MOB＝2∠BOP＝56°，由长方形直尺可知：MP∥OB，∴∠AMP＝∠MOB＝56°，故选：C．【变式3-2】如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（）A．40°B．45°C．50°D．60°【分析】连接BD，交AC于O，由矩形的性质得∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC ＝DB，则OA＝OB，得∠BAC＝∠OBA，再证BE＝BD，由等腰三角形的性质得∠BDE＝∠E＝70°，则∠DBE＝50°，即可求解．【解答】解：连接BD，交AC于O，如图：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，AC＝DB，∴OA＝OB，∴∠BAC＝∠OBA，∵BE＝AC，∴BE＝BD，∴∠BDE＝∠E＝70°，∴∠DBE＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠BAC＝∠OBA＝90°﹣40°＝50°，故选：C．题型4：矩形的性质与求线段4.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（）A．4B．4C．3D．5【分析】由矩形对角线性质可得AO＝BO，又∠AOB＝60°，可证△OAB为等边三角形，得DC＝AB，即可得解．【解答】解：由矩形对角线相等且互相平分可得AO＝BO＝＝4，即△OAB为等腰三角形，又∠AOB＝60°，∴△OAB为等边三角形．故AB＝BO＝4，∴DC＝AB＝4．故选：B．【变式4-1】如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD ＝12．【分析】根据中位线的性质求出BO长度，再依据矩形的性质BD＝2BO进行求解．【解答】解：∵M、N分别为BC、OC的中点，∴BO＝2MN＝6．∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝2BO＝12．故答案为12．【变式4-2】如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长是18．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，由勾股定理求出AC，由直角三角形斜边上的中线性质得出BP，证明PE是△ACD的中位线，由三角形中位线定理得出PE＝CD＝3，四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE，即可得出结果．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴AC＝＝10，∴BP＝AC＝5，∵P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点，∴AE＝AD＝4，PE是△ACD的中位线，∴PE＝CD＝3，∴四边形ABPE的周长＝AB+BP+PE+AE＝6+5+3+4＝18；故答案为：18．题型5：矩形性质综合5.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（）A．3B．6C．9D．12【分析】由矩形的性质可证明S△PEB＝S△PFD，即可求解．【解答】解：作PM⊥AD于M，交BC于N．如图：则四边形AEPM，四边形DFPM，四边形CFPN，四边形BEPN都是矩形，∴S△ADC＝S△ABC，S△AMP＝S△AEP，S△PBE＝S△PBN，S△PFD＝S△PDM，S△PFC＝S△PCN，∴S△DFP＝S△PBE＝×1×3＝，∴S阴＝+＝3，故选：A．【变式5-1】如图，在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O作直线分别与矩形的边AD，BC交于M，N两点，连接CM，AN．（1）求证：四边形ANCM为平行四边形．（2）若AD＝4，AB＝2，且MN⊥AC，则DM的长为．【分析】（1）在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，可得AD∥BC，AO＝CO，可以证明△AOM≌△CON可得AM＝CN，进而证明四边形ANCM为平行四边形；（2）根据MN⊥AC，可得四边形ANCM为菱形；根据AD＝4，AB＝2，AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，即可在Rt△ABN中，根据勾股定理，求出DM的长．【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，O为对角线AC的中点，∴AD∥BC，AO＝CO，∴∠OAM＝∠OCN，∠OMA＝∠ONC，在△AOM和△CON中，，∴△AOM≌△CON（AAS），∴AM＝CN，∵AM∥CN，∴四边形ANCM为平行四边形；（2）解：在矩形ABCD中，AD＝BC，由（1）知：AM＝CN，∴DM＝BN，∵四边形ANCM为平行四边形，MN⊥AC，∴平行四边形ANCM为菱形，∴AM＝AN＝NC＝AD﹣DM，在Rt△ABN中，根据勾股定理，得AN2＝AB2+BN2，∴（4﹣DM）2＝22+DM2，解得DM＝．故答案为．【变式5-2】如图，已知矩形ABCD，延长CB至点E，使得BE＝BC，对角线AC，BD交于点F，连结EF．（1）求证：四边形AEBD是平行四边形；（2）若BC＝4，CD＝8，求EF的长．【分析】（1）由矩形的性质可得AD∥BC，AD＝BC＝BE，可得结论；（2）由矩形的性质可得FB＝FC＝FD，可证FG是△BCD的中位线，在Rt△EFG中，由勾股定理可求EF的长．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵BC＝BE，∴AD∥BE，AD＝BE，∴四边形AEBD是平行四边形；（2）过点F作FG⊥BC于点G，∵四边形ABCD是矩形，∴FB＝FC＝FD，∴G是BC的中点，∴FG是△BCD的中位线，∴．在Rt△EFG中，FG＝4，EG＝6，∴．题型6：直角三角形斜边中线等于斜边的一半6.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（）A．6B．6.5C．10D．13【分析】根据勾股定理可求得直角三角形斜边的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解．【解答】解：∵直角三角形两直角边长为5和12，∴斜边＝＝13，∴此直角三角形斜边上的中线的长＝＝6.5．故选：B．【变式6-1】如图，在△AEC、△BED中，∠AEC＝∠BED＝90°，AC、BD相交于点O，且O是AC、BD 的中点．求证：四边形ABCD是矩形．【分析】连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，在Rt△AEC中EO＝AC，在Rt△EBD中，EO＝BD，进而得到AC＝BD，再根据对角线相等的平行四边形是矩形可证出结论．【解答】证明：连接EO，∵O是AC、BD的中点，∴AO＝CO，BO＝DO，在Rt△EBD中，∵O为BD中点，∴EO＝BD，在Rt△AEC中，∵O为AC中点，∴EO＝AC，∴AC＝BD，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴平行四边形ABCD是矩形．【变式6-2】如图，在△ABC中，CF⊥AB于F，BE⊥AC于E，M为BC的中点．（1）求证：△MEF是等腰三角形；（2）若∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠EMF的度数．【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EM＝MC＝BC，MF＝MB＝BC，然后根据根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（2）根据等边对等角求出∠ABC＝∠MFB，∠ACB＝∠MEC，再根据三角形的内角和定理求出∠BMF，∠EMC，然后利用平角等于180°列式计算得出∠EMF．【解答】（1）证明：∵CF⊥AB于F，M为BC的中点，∴ME＝BC，同理MF＝BC，∴EM＝FM，∴△MEF是等腰三角形；（2）解：∵MF＝MB，∴∠ABC＝∠MFB＝50°，同理∠ACB＝∠MEC＝60°，∴∠BMF＝180°﹣50°﹣50°＝80°，∠EMC＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∴∠FME＝180°﹣80°﹣60°＝40°．【变式6-3】如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE．（1）若BE＝5，求DE的长；（2）求证：AB＝BC．【分析】（1）根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD，根据平行线的性质得到∠BDE＝∠DBC，求得∠EBD＝∠EDB，根据等腰三角形的判定定理得到DE＝BE＝5；（2）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ADE，根据三角形的内角和定理得到∠ADB＝90°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】（1）解：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠CBD，∵DE∥BC，∴∠BDE＝∠DBC，∴∠EBD＝∠EDB，∴DE＝BE＝5；（2）证明：由（1）知，BE＝DE，∵AE＝BE，∴∠A＝∠ADE，∵∠EBD＝∠EDB，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°，∴∠ADE+∠BDE＝×180°＝90°，∴∠ADB＝90°，∴BD⊥AC，在△ABD与△CBD中，，∴△ABD≌△CBD（SAS），∴AB＝BC．矩形的判定矩形的判定有三种方法：1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形（对角线互相平分且相等）.3.有三个角是直角的四边形是矩形.注意：在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形. 题型7：矩形的判定（三直角）7.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形．【分析】由在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，可得AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，又由AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，可得∠DAE＝90°，又由CE⊥AN，即可证得：四边形ADCE为矩形．【解答】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴∠ADC＝90°，∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，∴∠MAN＝∠CAN，∴∠DAE＝90°，∵CE∥AD，∴∠AEC＝90°，∴四边形ADCE为矩形．【变式7-1】如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH 是矩形．【分析】利用三个内角等于90°的四边形是矩形，即可证明．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠ABC+∠BCD＝180°，∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD，∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD，∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°，∴∠H＝90°，同理∠HEF＝∠F＝90°，∴四边形EFGH是矩形．【变式7-2】如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA 的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形．【分析】首先根据平行四边形的性质可得∠DAB+∠ABC＝180°，再根据角平分线的性质可得∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°，然后同理可得：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∠HGO ＝90°，根据三个角是直角的四边形是矩形可得四边形GHKL是矩形．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°．∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC，∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°．∴∠GOK＝90°，同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°，∴∠HGO＝90°，∴四边形KHGO是矩形．题型8：矩形的判定（平行四边形+一个直角）8.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论．【分析】根据三角形的中位线定理得到四边形AEDF的两边分别平行，根据平行四边形的定义，可知四边形AEDF是平行四边形，又∠BAC＝90°，根据矩形的定义，可知四边形AEDF是矩形；【解答】解：∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，∴DE∥AC，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，又∵∠BAC＝90°，∴四边形AEDF是矩形；【变式8-1】已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB 交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形．【分析】首先利用外角性质得出∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，进而得到AE∥CD，即可求出四边形AEDB 是平行四边形，再利用平行四边形的性质求出四边形ADCE是平行四边形，即可求出四边形ADCE是矩形．【解答】证明：如图所示：∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∵AE是∠BAC的外角平分线，∴∠F AE＝∠EAC，∵∠B+∠ACB＝∠F AE+∠EAC，∴∠B＝∠ACB＝∠F AE＝∠EAC，∴AE∥CD，又∵DE∥AB，∴四边形AEDB是平行四边形，∴AE平行且等于BD，又∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∠ADC＝90°，∴AE平行且等于CD，∴四边形ADCE是平行四边形，又∵∠ADC＝90°，∴平行四边形ADCE是矩形．即四边形ADCE是矩形．【变式8-2】如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形．【分析】首先根据已知条件“EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG”推知四边形EFGH是平行四边形，然后由AC⊥BD可以证得平行四边形EFGH是矩形．【解答】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，∴EF∥HG，EH∥FG，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵AC⊥BD，∴EF⊥FG，∴四边形EFGH是矩形．题型9：矩形的判定（平行四边形+对角线相等）9.如图，在▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．【分析】先由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形的对角线互相平分得出AC＝2OC，BDE＝2OB，再由∠1＝∠2，根据等角对等边得出OC＝OB，那么AC＝BD，根据对角线相等的平行四边形是矩形得出▱ABCD是矩形．【解答】解：四边形ABCD是矩形，理由如下：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AC＝2OC，BDE＝2OB，∵∠1＝∠2，∴OC＝OB，∴AC＝BD，∴▱ABCD是矩形．【变式9-1】如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF．（1）求证：AE＝CF；（2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形．【分析】（1）只要证明四边形AECF是平行四边形即可解决问题；（2）只要证明AC＝EF即可解决问题．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∴AF＝CE，AF∥EC，∴四边形AECF是平行四边形，∴AE＝CF．（2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE，∴∠OEC＝∠OCE，∴OE＝OC，∵四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，∴AC＝EF，∴四边形AECF是矩形．【变式9-2】如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO．求证：四边形AMCN是矩形．【分析】由平行四边形的性质可得OA＝OC，OB＝OD，可得OM＝ON，可证四边形AMCN是平行四边形，通过证明MN＝AC，可得结论．【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∵BM＝DN，∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON，∴四边形AMCN是平行四边形，∵MO＝NO，∵AC＝2MO，∴MN＝AC，∴四边形AMCN是矩形．【变式9-3】如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O．（1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF；（2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形．【分析】（1）由平行四边形的性质得出AD＝CB，AD∥BC，证明△DEA≌△BFC（AAS），由全等三角形的性质得出AE＝CF；（2）根据平行四边形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，由矩形的判定方法解答即可．【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝CB，AD∥BC，∴∠DAE＝∠BCF，∵DE⊥AC，BF⊥AC，∴∠DEA＝∠BFC＝90°，在△DEA与△BFC中，，∴△DEA≌△BFC（AAS），∴AE＝CF；（2）∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴OA＝BD，∴OA＝OC＝OB＝OD，∴AC＝BD，∴平行四边形ABCD是矩形．题型10：矩形的判定综合10.如图，在▱ABCD中，过点D作DE⊥AB于点E，点F在边CD上，CF＝AE，连接AF，BF．（1）求证：四边形BFDE是矩形；（2）已知∠ADE＝60°，若AD＝3，求DE的长度．【分析】（1）由平行四边形的性质得到DC∥AB，DC＝AB，进而得到DF＝BE且DF∥BE，根据平行四边形的判定得到四边形DFBE是平行四边形，由DE⊥AB可得结论；（2）根据直角三角形的边角关系可求DE的长度．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC∥AB，DC＝AB，∵CF＝AE，∴DF＝BE且DF∥BE，∴四边形DFBE是平行四边形．又∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴四边形DFBE是矩形；（2）解：∵∠ADE＝60°，DE⊥AB，∴∠DAE＝30°，又∵AD＝3，∴DE＝AD＝，【变式10-1】如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O．过点C作BD的平行线，过点D作AC的平行线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，菱形ABCD的周长是4，求菱形ABCD的面积．【分析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE∥OD，DE∥OC，∴四边形OCED是平行四边形，又∠COD＝90°，∴平行四边形OCED是矩形；（2）由（1）知，平行四边形OCED是矩形，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝CD＝BC，∵菱形ABCD的周长是4，∴CD＝，∴OC＝＝2，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【变式10-2】如图，在平行四边形ABCD中，P是AB上一点（不与点A，B重合），CP＝CD，过点P作PQ⊥CP，交AD于点Q，连接CQ，∠BPC＝∠AQP．（1）求证：四边形ABCD是矩形；（2）当AP＝3，AD＝9时，求AQ和CQ的长．【分析】（1）证出∠A＝90°即可得到结论；（2）由HL证明Rt△CDQ≌Rt△CPQ，得出DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】（1）证明：∵∠BPQ＝∠BPC+∠CPQ＝∠A+∠AQP，∠BPC＝∠AQP，∴∠CPQ＝∠A，∵PQ⊥CP，∴∠A＝∠CPQ＝90°，∴平行四边形ABCD是矩形；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠CPQ＝90°，在Rt△CDQ和Rt△CPQ中，，∴Rt△CDQ≌Rt△CPQ（HL），∴DQ＝PQ，设AQ＝x，则DQ＝PQ＝9﹣x，在Rt△APQ中，AQ2+AP2＝PQ2，∴x2+32＝（9﹣x）2，解得：x＝4，∴AQ的长是4．设CD＝AB＝CP＝y，则PB＝y﹣3，在Rt△PCB中，根据勾股定理列方程，求出y＝15．在Rt△CDQ中，CQ＝＝5．【变式10-3】如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，BE⊥AB，垂足为B，BE＝CD，连接CE，DE．（1）求证：四边形CDBE为矩形；（2）若AC＝1，∠A＝60°，求DE的长．【分析】（1）先求出四边形CDBE是平行四边形，再根据矩形的判定推出即可；（2）求出AB长，再根据勾股定理求出BC，即可求出DE．【解答】（1）证明：∵CD⊥AB，BE⊥AB，∴∠CDB＝90°，CD∥BE，∵CD＝BE，∴四边形CDBE是平行四边形，∵∠CDB＝90°，∴四边形CDBE是矩形；（2）解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝1，∠A＝60°，∴∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，由勾股定理得：BC＝＝，∵四边形CDBE是矩形，∴DE＝BC＝．word可编辑文档。

矩形的性质和判定

矩形的性质和判定

矩形的性质和判定矩形的性质和判定定义：一个有一个直角的平行四边形被称为矩形。

性质：1.矩形的四个角都是直角。

2.矩形的对角线相互平分且相等。

3.矩形是中心对称图形和轴对称图形，有两条对称轴。

4.矩形的面积为长乘宽。

判定：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.有三个角是直角的四边形是矩形。

3.对角线相等的平行四边形是矩形。

4.对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

矩形与平行四边形的区别与联系：相同点：1.两组对边分别平行。

2.两组对边分别相等。

3.两组对角分别相等。

4.对角线相互平分。

区别：1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。

2.对角线相互平分且相等。

例题精讲：考点1：矩形的性质例1：在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

例2：在矩形ABCD中，BE=DF，求证：△ABE≌△CDF。

例3：在矩形ABCD中，AB=2，且AOB=60°，求对角线AC的长。

考点2：矩形的判定例4：在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，四边形ABDE是平行四边形，求证：四边形ADCE是矩形。

例5：在平行四边形ABCD中，E是CD的中点，△ABE是等边三角形，求证：四边形ABCD是矩形。

例6：在平行四边形ABCD中，AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线，AQ与BN交于P，CN与DQ交于M，证明：四边形PQMN是矩形。

变式5】在三角形ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AF是∠BAC的外角平分线，DE∥AB交AF于点E。

可以证明四边形ADCE是矩形。

变式6】在图11中，已知E是四边形ABCD中BC边的中点，连接AE并延长AE交DC的延长线于点F。

(1) 可以证明△ABE≌△FCE。

(2) 连接AC、BF，如果∠AEC=2∠ABC，可以证明四边形ABFC是矩形。

课堂训练】1、矩形具有对边相等和对角线互相平分的性质。

2、正确的个数是6个。

3、不一定正确的是B、AC=BDC。

矩形的性质与判定

矩形的性质与判定

矩形的性质与判定 校区：平湖 年级：九 层次：A/B 编写人：李永佳 审核人：翟威 日期：星期日【知识要点】1.矩形的定义：有一个角 的平行四边形叫做矩形．2.矩形的性质：矩形的四个角都 ；矩形的对角线 .3.矩形的判定定理： 1.有一个角 的 叫做矩形。

2.对角线 的平行四边形是矩形。

3.有三个角是 的四边形是矩形。

4.直角三角形斜边上的中线等于斜边的 .5.矩形的面积等于底乘以高.6.矩形是轴对称图形，也是中心对称图形.【例题精讲】例1：矩形具有而平行四边形不一定具有的性质是（ ）A ．对角相等B ．对边相等C ． 对角线相等D ．对角线互相平分例2：如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，点E 、F 分别是AO 、AD 的中点，若AB=6cm ，BC=8cm ，则△AEF 的周长为（ ）A ．7cmB ．8cmC ．9cmD ．12cm例3：如图，矩形ABCD 中，AB=2，BC=4，点A 、B 分别在y 轴、x 轴的正半轴上，点C 在第一象限，如果∠OAB=30°，那么点C 的坐标是 ．例4：已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD （AD ＞AB ），将纸片折叠一次，使点A 与点C 重合，再展开，折痕EF 交AD 边于点E ，交BC 边于点F ，分别连结AF 和CE ．（1）求证：四边形AFCE 是菱形；（2）若AB=4，BC=8，求△ABF 的面积；A CB D【巩固练习】一、选择题。

1．如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（）A．∠ABC=90°B．AC=BD C．OA=OB D．OA=AD2．如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE=AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（）A．AB=BE B．DE⊥DCC．∠ADB=90°D．CE⊥DE3．在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列各组条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（）A．AB=CD，AD=BC，AC=BD B．AO=CO，BO=DO，∠A=90°C．∠A=∠C，∠B+∠C=180°，AC⊥BD D．∠A=∠B=90°，AC=BD4．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为（）A．17 B．18 C．19 D．205．如图，矩形的两条对角线的一个交角为60°，两条对角线的长度的和为20cm，则这个矩形的一条较短边的长度为（）A．10cm B．8cm C．6cm D．5cm6．如图所示，在矩形ABCD中，AB=，BC=2，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC交AD于点E，则AE的长是（）A．B．C．1 D．1.57．如图，在矩形ABCD中，AD=1，AB＞1，AG平分∠BAD，分别过点B、C作BE⊥AG于点E，CF⊥AG于点F，则（AE﹣GF）的值为（）A．1 B．C．D．8．如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10 B．4.8 C．6 D．59．在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、CA上，且DE∥CA，DF∥BA，则下列三种说法：①如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形②如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形③如果AD⊥BC且AB=AC，那么四边形AEDF是菱形其中正确的有（）A．3个B．2个C．1个D．0个10．如图，矩形ABCD中，AB=8，点E是AD上的一点，有AE=4，BE的垂直平分线交BC的延长线于点F，连结EF交CD于点G．若G是CD的中点，则BC的长是（）A．7 B．8 C．9 D．10二、填空题。

矩形的性质和判定

矩形的性质和判定

矩形的性质和判定【知识梳理】一、定义：有一个是直角的平行四边形是矩形。

二、性质：①矩形的四个角都是直角②矩形的对角线相互平分且相等③矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴④矩形的面积S=长×宽三、判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形；④对角线相等且互相平分的四边形是矩形。

四、矩形与平行四边形的区别与联系：①相同点1、两组对边分别平行2、两组对边分别相等3、两组对角分别相等4、对角线相互平分②区别1、有一个角是直角的平行四边形矩形2、对角线相互平分且相等【例题精讲】考点1 矩形的性质【例1】已知：如图，在矩形ABCD中，BE=CF，求证：AF=DE。

【例2】如图，在矩形ABCD 中，,E F 分别是,BC AD 上的点，且BE DF =。

求证：ABE ∆≌CDF ∆。

【例3】如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，60AOB ∠=︒，2AB =，则矩形的对角线AC 的长是（ ） A ．2 B ．4 C ．23 D ．43【变式1】下列性质中，矩形具有而平行四边形不一定具有的是（ ） A 、对边相等 B 、对角相等 C 、对角线相等 D 、对边平行【变式2】矩形ABCD 的对角线AC 、BD 交于O ，如果ABC ∆的周长比AOB ∆的周长大10cm ，则边AD 的长是 。

【变式3】如图，矩形ABCD 沿AE 折叠，使D 点落在BC 边上的F 点处，如果60BAF ∠=︒，则DAE ∠= 。

FED CBA考点2 矩形的判定【例4】如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 为BC 中点，四边形ABDE 是平行四边形。

求证：四边形ADCE 是矩形。

【例5】如图，在平行四边形ABCD 中，E 是CD 的中点，△ABE 是等边三角形，求证：四边形ABCD 是矩形。

ODC BAD EFCAB【变式6】如图11，已知E 是ABCD 中BC 边的中点，连接AE 并延长AE 交DC 的延长线于点F 。

初中数学-中考数学复习讲义-矩形的性质及判定.讲义学生版

初中数学-中考数学复习讲义-矩形的性质及判定.讲义学生版

知识点 A 要求 B 要求Ｃ要求矩形 会识别矩形掌握矩形的概念、判定和性质，会用矩形的性质和判定解决简单问题 会运用矩形的知识解决有关问题1．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形． 2．矩形的性质矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，•还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角．③ 对角线性质：对角线互相平分且相等．④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．直角三角形中，30︒角所对的边等于斜边的一半．点评：这两条直角三角形的性质在教材上是应用矩形的对角线推得，用三角形知识也可推得． 3．矩形的判定判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形．重点：掌握矩形的性质，并学会应用． 难点：理解矩形的特殊性．关键：把握平行四边形的演变过程，迁移到矩形概念与性质上来，明确矩形是特殊的平行四边形．一、矩形的判定【例1】 在矩形ABCD 中，点H 为AD 的中点，P 为BC 上任意一点，PE HC ⊥交HC 于点E ，PF BH⊥交BH 于点F ，当AB BC ，满足条件 时，四边形PEHF 是矩形例题精讲重、难点中考要求中考要求矩形的性质 及判定CDB A【巩固】 矩形具有而平行四边形不具有的性质为（ ）A ．对角线相等B ．对角相等C ．对角线互相平分D ．对边相等【例3】 如图，已知在四边形ABCD 中，AC DB ⊥交于O ，E 、F 、G 、H 分别是四边的中点，求证四边形EFGH 是矩形．HG OFEDCB A【巩固】 如图，在平行四边形ABCD 中，M 是AD 的中点，且MB MC =，求证：四边形ABCD 是矩形．MCDB A【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，AQ 、BN 、CN 、DQ 分别是DAB ∠、ABC ∠、BCD ∠、CDA ∠的平分线，AQ 与BN 交于P ，CN 与DQ 交于M ，证明：四边形PQMN 是矩形．NMQPDCBA【例5】 如图，在ABC ∆中，D 是BC 边上的一点，E 是AD 的中点，过A 点作BC 的平行线交CE 的延长线于点F ，且AF BD =，连结BF ． ⑴ 求证：BD CD =．⑵ 如果AB AC =，试判断四边形AFBD 的形状，并证明你的结论．FED CBA【巩固】 如图，在ABC ∆中，点D 是AC 边上的一个动点，过点D 作直线MN BC ∥，若MN 交BCA ∠的平分线于点E ，交BCA ∠的外角平分线于点F （1）求证：DE DF =（2）当点D 运动到何处时，四边形AECF 为矩形？请说明理由！NMFEDCBA【例6】 如图所示，在Rt ABC ∆中，90ABC ∠=︒，将Rt ABC ∆绕点C 顺时针方向旋转60︒得到DEC ∆点E在AC 上，再将Rt ABC ∆沿着AB 所在直线翻转180︒得到ABF ∆连接AD ． ⑴ 求证：四边形AFCD 是菱形；⑵ 连接BE 并延长交AD 于G 连接CG ，请问：四边形ABCG 是什么特殊平行四边形？为什么？AB CDGEF【巩固】 如图，在ABCD 中，AE BC ⊥于E ，AF CD ⊥于F ，AEF ∆的两条高相交于M ，20AC =，16EF =，求AM 的长．MF E DC BA【例7】 已知，如图矩形ABCD 中，延长CB 到E ，使CE AC =，F 是AE 中点．求证：BF DF ⊥．ABCE FD【例8】 如图，在矩形ABCD 中，点E 是BC 上一点，AE AD =，DF AE ⊥，垂足为F .线段DF 与图中的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在下面的横线上，然后再加以证明。

中考数学复习矩形【培优讲练】

中考数学复习矩形【培优讲练】

9.4.1 矩形同步培优讲练综合知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点2：矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点3：矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.一、矩形性质的认识【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【例2】关于矩形，下列说法错误的是()A．四个角相等B．对角线相等C．四条边相等D．对角线互相平分【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是()A ．有两个角为直角的四边形B ．对角线互相平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．四个角都相等的四边形二、利用矩形的性质求角度【例1】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，若旋转角为20︒，则1∠为（ ）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【例2】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O .若60AOB ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45°【例3】如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若30DAO ∠=︒，则BEO ∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒三、利用矩形的性质求线段【例1】如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是()3,4，则CE 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【例2】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在BC 边上，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 D【例3】如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．四、利用矩形的性质求面积【例1】如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，点E 为直线AB 的一点，连EC ，平移EC 至DF ，连接DE 、CF ，则四边形DECF 的面积是（ ）A ．15B ．40C ．20D ．30【例2】如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF //BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，.PD 若2AE =，8.PF =则图中阴影部分的面积为______．【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则S △ECF 的值为____．五、矩形有关的折叠问题【例1】如图，矩形ABCD 中，AB =4，AD =6，点E 为AD 中点，点P 为线段AB 上一个动点，连接EP ，将△APE 沿PE 折叠得到△FPE ，连接CE ，DF ，当线段DF 被CE 垂直平分时，AF 则线的长为_______．【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为________．△，C D'与AB交于点E，若【例4】如图，将长方形纸片ABCD沿BD所在直线折叠，得到BC D'∠=︒，则2125∠的度数为_________．六、矩形的判定 解答题【例1】如图，ABC ∆中，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，四边形DBCE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【例2】如图，在ABC ∆中，//AE BC ，AB AC =，D 为BC 中点，AE BD =．（1）求证：四边形AEBD 是矩形．（2）连接CE 交AB 于点F ，若30ABE ∠=︒，2AE =，直接写出EC 的长．【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；≠，将ABC沿AC翻折至AB C'，连接B D'．【例4】在平行四边形ABCD中，AB BC'=；(1)求证：B E DE'∥；(2)求证：B D AC(3)在平行四边形ABCD中，已知：460，，将ABC沿AC翻折至AB C'，连接B D'．若以BC B=∠=︒A、C、D、B'为顶点的四边形是矩形，求AC的长．BC=．对角线AC的垂直平分线分别交AB、CD于点【例5】已知：如图，在矩形ABCD中，4AB=，2E、F．求线段CF的长．【例6】如图①，四边形ABCD是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN相交于点K，得到△MNK，如图①．(1)当点M与点A重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK的面积；(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK的面积最大，最大值是多少【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N在BC延长线上时，求DE的长，并判断直线MN与直线BD的位置关系，说明理由．(3)当直线MN恰好经过点C DE的长．1．如图，在长方形ABCD中，连接AC，以A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以E，F为圆心，大于12EF的长为半径画弧，两弧在DAC∠内交于点H，画射线AH交DC于点M．若68ACB∠=︒，则DMA∠的大小为（）A．34︒B．56︒C．66︒D．68︒2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为( )A ．3B ．6C ．D ．103．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．22.5︒C ．30︒D ．45︒4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BD ⊥，交AD 于点E ，若20ACB ∠=︒，则AOE ∠的大小为__________．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE AC ⊥于E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，则ODE ∠的度数是___________．6．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒，得到矩形AB C D '''，则α∠=______.︒．7．如图，四边形ABCD 为矩形，则∠ABC =________；若OA =5，则BD =________．8．如图，延长矩形ABCD 边BC 至点E ，使CE BD =，连接AE ，如果40ADB ∠=︒，则E ∠=______．9．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC ，点A ，C 分别在y 轴，x 轴的正半轴上，6OA =，3OC =，45DOE ∠=︒，OD ，OE 分别交BC ，AB 于点D ，E ，且2CD =，则点E 坐标为______．9.4.1 矩形同步培优讲练综合知识点1：矩形的定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.知识点2：矩形的性质1.矩形具有平行四边形的所有性质；2.矩形的对角线相等；3.矩形的四个角都是直角；4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴.知识点3：矩形的判定1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.2.对角线相等的平行四边形是矩形.3.有三个角是直角的四边形是矩形.一、矩形性质的认识【例1】下列性质中矩形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【答案】B【解析】解：A、矩形的对角线互相平分，故此选项不符合题意；B、矩形的对角线不一定互相垂直，故此选项符合题意；C、矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；D、矩形既是轴对称图形又是中心对称图形，故此选项不符合题意；故选：B．【例2】关于矩形，下列说法错误的是()A．四个角相等B．对角线相等C．四条边相等D．对角线互相平分【答案】C【解析】解：矩形的性质为四个角相等，对角线相等，对角线互相平分，故选：C ．【例3】下列说法中能判定四边形是矩形的是( )A ．有两个角为直角的四边形B ．对角线互相平分的四边形C ．对角线相等的四边形D ．四个角都相等的四边形【答案】D【解析】解：A 、有3个角为直角的四边形是矩形，故错误；B 、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故错误；C 、对角线相等的平行四边形，故错误；D 、四个角都相等的四边形是矩形，故正确；故选：D ．二、利用矩形的性质求角度【例1】如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转到矩形AB C D '''的位置，若旋转角为20︒，则1∠为（）A ．100︒B ．110︒C ．120︒D ．130︒【答案】B【解析】解：设C D ''与BC 交于点E ，如图所示．∵旋转角为20︒，∴20DAD '∠=︒，∴9070BAD DAD ''∠=︒-∠=︒．∵360BAD B BED D '''∠+∠+∠+∠=︒，∴360709090110BED '∠=︒-︒-︒-︒=︒，∴1110BED '∠=∠=︒．故选：B ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O.若60AOB ∠=︒，则OCB ∠的度数为（ ）A ．30°B ．35°C ．40°D ．45° 【答案】A【解析】解：∵四边形ABCD 是矩，∠AOB ＝60°，∴∠BCD ＝90°，∠COD ＝60°，OC ＝OD ＝1122AC BD =， ∴△COD 是等边三角形，∴∠OCD ＝60°，∴∠OCB ＝90°﹣∠OCD ＝30°，故选：A ．【例3】如图，在矩形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ，AE 平分BAD ∠交BC 于E ，若30DAO ∠=︒，则BEO ∠的度数为( )A ．45︒B ．60︒C ．65︒D ．75︒【答案】D【解析】解：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠BAD=∠ABC=90°，OA=12AC ，OB=12BD ，AC=BD ， ∴OA=OB ，∵AE 平分∠BAD ，∴∠BAE=∠DAE=45°，∴△ABE 是等腰直角三角形，∴AB=BE ，∵∠DAO=30°，∴∠EAO=15°，∴∠BAO=45°+15°=60°，∴△AOB 是等边三角形，∴∠ABO=60°，OB=AB ，∴∠OBE=90°-60°=30°，OB=BE ，∴∠BEO=12×（180°-30°）=75°． 故选：D ．三、利用矩形的性质求线段【例1】如图，在矩形COED 中，点D 的坐标是()3,4，则CE 的长是（ ）．A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】 解：四边形COED 是矩形， CE OD ∴=，点D 的坐标是()3,4，5OD ∴=，5CE ∴=，故选：C ．【例2】如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，点E 在BC 边上，且1BE =，F 为AB 边上的一个动点，连接EF ，以EF 为边作等边EFG ，且点G 在矩形ABCD 内，连接CG ，则CG 的最小值为（ ）A ．3B ．2C ．1 D【答案】B【解析】解：如图，以EC 为边作等边三角形ECH ，过点H 作HN BC ⊥于N ，HM AB ⊥于M ，又∵90ABC ∠=︒，∴四边形MHNB 是矩形，∴MH BN =，∵1BE =，2AB =，3BC =，∴2EC =，∵EHC △是等边三角形，HN EC ⊥，∴2EC EH ==，1EN NC ==，60HEC ∠=︒，∴2BN MH ==，∵FGE △是等边三角形，∴FE FG =，60FEG HEC ∠=︒=∠，∴FEH GEC ∠=∠，在FEH △和GEC 中，FE GE FEH GEC HE EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS FEH GEC ≌，∴FH GC =，∴当FH AB ⊥时，FH 有最小值，即GC 有最小值，∴点F 与点M 重合时，2FH HM ==，故选B ．【例3】如图，在ABC 中，3AB =，4AC =，5BC =，P 为边BC 上一动点，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为__．【答案】65【解析】解：如图，连接AP ，3AB =，4AC =，5BC =，90EAF ∴∠=︒，PE AB ⊥于E ，PF AC ⊥于F ，∴四边形AEPF 是矩形，EF ∴，AP 互相平分．且EF AP =，EF ∴，AP 的交点就是M 点．当AP 的值最小时，AM 的值就最小，∴当⊥AP BC 时，AP 的值最小，即AM 的值最小．1122AP BC AB AC ⋅=⋅， AP BC AB AC ∴⋅=⋅，3AB =，4AC =，5BC =，534AP ∴=⨯，125AP ∴=， 65AM ∴=； 故答案为：65．四、利用矩形的性质求面积【例1】如图，矩形ABCD 中，4=AD ，10AB =，点E 为直线AB 的一点，连EC ，平移EC 至DF ，连接DE 、CF ，则四边形DECF 的面积是（ ）A ．15B ．40C ．20D ．30【答案】B【解析】解：已知平移EC 至DF ，则EC DF ∥，EC DF =四边形CEDF 是平行四边形，则122410402CEDF CED S S CD DA CD DA ==⨯⨯⨯==⨯= 故选：B ．【例2】如图，点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点，过点P 作EF//BC ，分别交AB ，CD 于点E ，F ，连接PB ，.PD 若2AE =，8.PF =则图中阴影部分的面积为______．【答案】16【解析】解：作PM AD ⊥于M ，交BC 于N ．则有四边形AEPM ，四边形DFPM ，四边形CFPN ，四边形BEPN 都是矩形，ADC ABC SS ∴=，AMP AEP S S =，PBE PBN S S =，PFD PDM S S =，PFC PCN S S =， ADC AMP PFC ABC AEP PCN S S S S S S ∴--=--，即BEPN DFPM S S =矩形矩形， 12882DFP PBE S S ∴==⨯⨯=， 8816S ∴=+=阴影，故答案为：16【例3】如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，点E 为BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，使点B 落在矩形内点F 处，连接CF ，则S △ECF 的值为____．【答案】10825【解析】如图，连接BF ，，∵BC=6，点E 为BC 的中点，∴BE=3， 又∵AB=4，∴，由折叠可知：BF ⊥AE （对应点的连线必垂直于对称轴），∴BH=431255 AB BEAE•⨯==，∴BF=245，∵EF=BE=CE，∴∠BFC=90°，根据勾股定理可得：185，S△ECF=12S△BCF=12×12×185×245=10825，故答案为：108 25．五、矩形有关的折叠问题【例1】如图，矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，DF，当线段DF被CE垂直平分时，AF则线的长为_______．【答案】18 5【解析】解：连接AF交PE于O，连接DF，∵矩形ABCD，∴BC=AD=6,CD=AB=4，∵线段DF被CE垂直平分时，∴CF=CD=4,ED=EF，∵将△APE沿PE折叠得到△FPE，∴PE是线段AF的垂直平分线，∴AE=EF,AF=2OA，∴AE=ED=EF，∵AD=AE+ED=6，∴AE=ED=EF=3，设AP=x，则PF=AP=x，BP=4-x，PC=PF+FC=x+4，∵PC2=BP2+BC2,即（x+4）2=（4-x）2+62∴x=94，∵154 =，∴1122PE AO PA AE=，即115193 2424AO⨯=⨯⨯，解得：AO=95，∴AF=2AO=185．故答案为185．【例2】如图，有一张矩形纸条ABCD，AB＝10cm，BC＝3cm，点M，N分别在边AB，CD上，CN＝1cm．现将四边形BCNM沿MN折叠，使点B，C分别落在点B'，C'上．在点M从点A运动到点B的过程中，若边MB'与边CD交于点E，则点E相应运动的路径长为_____cm．1【解析】如图1中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝32+（9﹣x）2，解得x＝5，∴DE＝10﹣1-5＝4（cm），如图2中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝10﹣1﹣3＝6（cm），如图3中，当点M运动到点B′落在CD时，NB'=DB′（即DE″）＝10﹣1＝（9（cm），∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝6﹣4+6﹣（91）（cm）．1．【例3】如图，在长方形ABCD中，点M为CD中点，将△MBC沿BM翻折至△MBE，若∠AME＝α，∠ABE＝β，则α与β之间的数量关系为________．【答案】3290βα-=︒【解析】如图，延长BE 交AD 于点N ，设BN 交AM 于点O ．∵四边形ABCD 是矩形，∴∠D=∠C=90°，AD=BC ，∵DM=MC ，∴△ADM ≌△BCM(SAS)，∴∠DAM=∠CBM ，∵△BME 是由△MBC 翻折得到，∴∠CBM=∠EBM=12(90°−β)，∵∠DAM=∠MBE ，∠AON=∠BOM ，∴∠OMB=∠ANB=90°−β，在△MBE 中，∵∠EMB+∠EBM=90°，∴α+(90°−β)+12(90°−β)=90°，整理得：3β−2α=90°故答案为：3β−2α=90°【例4】如图，将长方形纸片ABCD 沿BD 所在直线折叠，得到BC D '△，C D '与AB 交于点E ，若125∠=︒，则2∠的度数为_________．【答案】40︒【解析】解：在矩形ABCD 中，90C ∠=︒，AB CD ∥，∴190CBD ∠+∠=︒，1ABD ∠=∠，125∠=︒，∴65CBD ∠=︒，25ABD ∠=︒，由折叠可知：2ABD CBD ∠+∠=∠，∴2652540CBD ABD ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：40︒．六、矩形的判定 解答题【例1】如图，ABC ∆中，AC BC =，CD AB ⊥于点D ，四边形DBCE 是平行四边形．求证：四边形ADCE 是矩形．【答案】见解析【解析】证明：AC BC =，CD AB ⊥，90ADC ∴∠=︒，AD BD =．在DBCE 中，//EC BD ，EC BD =，//EC AD ∴，EC AD =．∴四边形ADCE 是平行四边形．又90ADC ∠=︒，∴四边形ADCE 是矩形．【例2】如图，在ABC ∆中，//AE BC ，AB AC =，D 为BC 中点，AE BD =．（1）求证：四边形AEBD 是矩形．（2）连接CE 交AB 于点F ，若30ABE ∠=︒，2AE =，直接写出EC 的长．【答案】见解析【解析】（1）证明：//AE BD ，AE BD =，∴四边形AEBD 是平行四边形，AB AC =，D 为BC 的中点，AD BC ∴⊥，90ADB ∴∠=︒，∴四边形AEBD 是矩形．（2）解：四边形AEBD 是矩形，90AEB DBE ∴∠=∠=︒，2BD AE ==，30ABE ∠=︒，BE ∴==24BC BD =，EC ∴=，【例3】问题情境：在综合实践课上，老师让同学们探究“平面直角坐标系中的旋转问题”，如图，在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，()0,0O ，点()5,0A ，点()0,3B ．操作发现：以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F ．(1)如图，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；(2)继续探究：如图，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H ，求证：ADB AOB ≌；【答案】(1)()1,3D (2)证明见解析【解析】（1）解：∵()5,0A ，()0,3B ，∴5OA =，3OB =，∵四边形AOBC 是矩形，∴3AC OB ==，5OA BC ==，90OBC C ∠=∠=︒，∵矩形ADEF 是由矩形AOBC 旋转得到，∴5AD AO ==，在Rt ADC 中，4CD =，∴1BD BC CD =-=，∴()1,3D ．（2）证明：四边形ADEF 是矩形，90ADE ∴∠=︒，点D 在线段BE 上，90ADB ∴∠=︒，由旋转的性质得：AD AO =，在Rt ADB 和Rt AOB △中，AB AB AD AO =⎧⎨=⎩， ∴()Rt Rt HL ADB AOB ≅．【例4】在平行四边形ABCD 中，AB BC ≠，将ABC 沿AC 翻折至AB C '，连接B D '．(1)求证：B E DE '=；(2)求证：B D AC '∥；(3)在平行四边形ABCD 中，已知：460BC B =∠=︒，，将ABC 沿AC 翻折至AB C '，连接B D '．若以A 、C 、D 、B '为顶点的四边形是矩形，求AC 的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【解析】（1）证明：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD BC AD BC =，∥，∴EAC ACB ∠=∠，由折叠的性质可知ACB ACB BC B C ''∠=∠=，，∴EAC ACB '∠=∠，BC AD '=，∴AE CE =，∴B C CE AD AE '-=-，即B E DE '=；（2）证明：∵B E DE '=， ∴()11802CB D B DA B ED '''∠=∠=︒-∠， 同理可得()11802EAC ECA AEC ∠=∠=︒-∠， ∵AEC B ED '∠=∠，∴ACB CB D ''∠=∠，∴B D AC '∥；（3）解：分两种情况：①如图1所示：∵四边形ACDB 是矩形，∴90CAB '∠=︒，∴90BAC ∠=︒，∵=60B ∠︒，∴30ACB ∠=︒， ∴122AB BC ==,∴AC②如图2所示：∵四边形ACB D '是矩形，∴90ACB '∠=︒，∴90ACB ∠=︒，∵460BC B =∠=︒，，∴30BAC ∠=︒，∴28AB AC ==,∴AC综上所述：AC 的长为【例5】已知：如图，在矩形ABCD 中，4AB =，2BC =．对角线AC 的垂直平分线分别交AB 、CD 于点E 、F ．求线段CF 的长．【答案】52CF =【解析】解：连接AF ，如图所示：∵四边形ABCD 是矩形，∴42CD AB AD BC ====，，∵EF 是AC 的垂直平分线，∴AF CF =，设CF x =，则4DF CD CF x =-=- ，在Rt ADF 中，222AF DF DA +＝，即22224x x =+-（），解得：x =52， ∴52CF ＝【例6】如图①，四边形ABCD 是一张矩形纸片，AD =1，AB =5．在矩形ABCD 的边AB 上取一点M ，在CD 上取一点N ，将纸片沿MN 折叠，使MB 与DN 相交于点K ，得到△MNK ，如图①．(1)当点M 与点A 重合（如图②），且∠BMN=15°时，求△MNK 的面积；(2)请你利用备用图探究怎样能够能够使折叠出△MNK 的面积最大，最大值是多少【答案】(1)△MNK 的面积为1 (2)△MNK 的面积最大值为1.3【解析】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，∴在图1、图2中，DNAB ，∴∠DNM=∠BMN ，又∵折叠，∴∠BMN =∠KMN ，∴∠KMN=∠KNM ，∴NK=MK ，∵△MNK 的面积S=12NK•AD=12NK ，∴S=12MK ，图2中，由折叠知，∠KAN=∠NAB=15°，∵DN AB ，∴∠KNA=∠NAB，∴∠KNA=∠KAN=15°，KA=KN，∴在Rt ADK中，∠DKA=30°，KA=2AD=2∴△MNK的面积S=12NK•AD=12NK，∴S=12AK=1；（2）有以下两种情况：情况一：如图3，将矩形纸片对折，使点B与D重合，此时点K也与D重合．设MK=MB=x，则AM=5-x．由勾股定理得：12+ (5-x)2=x2，解得，x=2.6，即MD= ND= 2.6，∴S△MNK= S△ACK=12×1×2.6 =1.3；情况二：如图4，将矩形纸片沿对角线AC对折，此时折痕即为AC．设MK=AX= CK=x，则DK=5-x，同理可得MK=NK=2.6，∴S△MNK= S△ACK=12×1×2.6 =1.3，∴△MNK的面积最大值为1.3．【例7】如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，动点E从点A出发，沿边AD，DC向点C运动，A，D关于直线BE的对称点分别为M，N，连接MN．(1)如图，当E在边AD上且DE＝2时，求∠AEM的度数．(2)当N 在BC 延长线上时，求DE 的长，并判断直线MN 与直线BD 的位置关系，说明理由．(3)当直线MN 恰好经过点C 时，求DE 的长．【答案】(1)∠AEM ＝90° (2)MN BD ∥，理由见解析 (3)DE 的长为【解析】（1）解：如图1，∵DE ＝2，∴AE ＝AB ＝6，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A ＝90°，∴∠AEB ＝∠ABE ＝45°．由对称性知∠BEM ＝45°，∴∠AEM ＝90°．（2）解：如图2，∵AB ＝6，AD ＝8，∴BD ＝10，∵当N 落在BC 延长线上时，BN ＝BD ＝10，∴CN ＝2．设DE EN x ==，则6CE x =-，∵222CE CN EN +=，解得：103x =， ∴103DE EN ==． ∵BM ＝AB ＝CD ，MN ＝AD ＝BC ，∴Rt Rt (H )L BMN DCB ≌，∴∠DBC ＝∠BNM ，∴MN BD ∥；（3）分类讨论：①如图3，当E 在边AD 上时，∴∠BMC ＝90°，∴MC =．∵BM ＝AB ＝CD ，∠DEC ＝∠BCE ，∴△BCM ≌△CED(AAS)，∴DE ＝MC ＝②如图4，当点E 在边CD 上时，∵BM ＝6，BC ＝8，∴MC ＝∴8CN MN MC =-=-设DE EN y ==，则6CE y =-，∴222(6)(8y y -=-+，解得：y =∴DE =综上所述，DE 的长为1．如图，在长方形ABCD 中，连接AC ，以A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AD ，AC 于点E ，F ，分别以E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧在DAC ∠内交于点H ，画射线AH 交DC 于点M ．若68ACB ∠=︒，则DMA ∠的大小为（ ）A ．34︒B ．56︒C ．66︒D ．68︒【答案】B【解析】 解：四边形ABCD 是长方形，90,D AD BC ∴∠=︒， 68DAC ACB ∴∠=∠=︒，由题意可知，AM 平分DAC ∠，1342DAM DAC ∴∠=∠=︒， 9056DMA DAM ∴∠=︒-∠=︒，故选：B ．2．如图，矩形ABCD 中，3AB =，两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒，则对角线BD 的长为( )A ．3B ．6C ．D ．10【答案】B【解析】解：在矩形ABCD 中，OA OB =，∵两条对角线,AC BD 所夹的钝角为120︒ 60AOB ∠∴=︒，AOB ∴是等边三角形，3OB AB ∴==，2236BD OB ∴==⨯=．故选：B ．3．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点A 作AE BD ⊥，垂足为点E ，若2EAC CAD ∠=∠，则BAE ∠的度数为（ ）A ．20︒B ．22.5︒C ．30︒D ．45︒【答案】B【解析】 解：四边形ABCD 是矩形，AC BD ∴=，OA OC =，OB OD =，OA OB OD ∴==，即AOB 、AOD △均为等腰三角形， OAD ODA ∠=∠∴，OAB OBA ∠=∠，AOE ∠是等腰AOD △的一个外角，2AOE OAD ODA OAD ∴∠=∠+∠=∠，2EAC CAD ∠=∠，EAO AOE ∠∠∴=，AE BD ⊥，90AEO ∴∠=︒，即AEO △是等腰直角三角形，45AOE ∴∠=︒，()()111801804567.522OAB OBA AOB ∴∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒， 67.54522.5BAE OAB OAE ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故选：B ．4．如图，矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，过点O 作OE BD ⊥，交AD 于点E ，若20ACB ∠=︒，则AOE ∠的大小为__________．【答案】50︒【解析】∵四边形ABCD 是矩形，OA OB OC OD ∴===，20ACB ∠=︒，20OBC OCB ∴∠=∠=︒，40AOB OBC OCB ∴∠=∠+∠=︒，OE BD ⊥，904050AOE BOE AOB ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒，故答案为：50︒．5．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O ，DE AC ⊥于E ，:1:2EDC EDA ∠∠=，则ODE ∠的度数是___________．【答案】30︒【解析】【解答】解：∵:1:2EDC EDA ∠∠=，90EDC EDA ∠+∠=︒，∴30EDC ∠=︒，60EDA ∠=︒，∵DE OC ⊥，∴9060DCE EDC ∠︒=︒-∠=，∵四边形ABCD 是矩形，∴OA OD OC ==，∴ODC 是等边三角形，∵DE OC ⊥， ∴1302ODE CDE ODC ∠=∠=∠=︒， 故答案为：30︒．6．如图，将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒，得到矩形AB C D '''，则α∠=______.︒【答案】125 【解析】解：将矩形ABCD 绕点A 顺时针旋转35︒得到矩形AB C D '''，∴903555BAD ∠=︒-︒='︒，∵360BAD ABC AD C α∠+∠+∠'+='∠'︒，∴360909055125α∠=︒-︒-︒-︒=︒，故答案为：125．7．如图，四边形ABCD 为矩形，则∠ABC=________；若OA=5，则BD=________．【答案】 90︒ 10【解析】∵四边形ABCD 是矩形，OA=5，∴ABC ∠=90︒，210BD AC OA ===，故答案为：9010︒，． 8．如图，延长矩形ABCD 边BC 至点E ，使CE BD =，连接AE ，如果40ADB ∠=︒，则E ∠=______．【答案】20°【解析】解：连接AC，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BE，AC=BD，且∠ADB=∠CAD=30°，∴∠E=∠DAE，又∵BD=CE，∴CE=CA，∴∠E=∠CAE，∵∠CAD=∠CAE+∠DAE，∴∠E+∠E=40°，即∠E=20°，故答案为：20°．9．如图，平面直角坐标系中，长方形OABC，点A，C分别在y轴，x轴的正半轴上，6OA=，3OC=，45DOE∠=︒，OD，OE分别交BC，AB于点D，E，且2CD=，则点E坐标为______．【答案】6,6 5⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】解：过点E作EF OD⊥，过点F作FN OC⊥，并延长NF交AB延长线于点M，如下图：则90EFO FNO ∠=∠=︒，∴90OFN EFM ∠+∠=︒，90OFN FON ∠+∠=︒ ∴FON EFM ∠=∠在矩形OABC 中，//AB OC ，63OA BC OC AB ====， ∴90M FNO ∠=∠=︒∴四边形BCNM 为矩形∴6MN BC ==，//CD MN ，BM CN = ∴AM ON =∵45DOE ∠=︒∴EFO △为等腰直角三角形，EF OF =∴FON EFM △≌△∴MF ON =，EM FN =设MF ON x ==，则6EM FN x ==-，(,6)F x x - 设直线OD 解析式为y kx =由题意可知(3,2)D ，代入y kx =得，32k =，解得23k =， 又∵点(,6)F x x -在直线OD 上，∴263x x -= 解得185x =，即181255AM ON FN EM ====， ∴65AE AM EM =-=∴点E 坐标为6,65⎛⎫ ⎪⎝⎭故答案为6,65⎛⎫ ⎪⎝⎭。

中考专题复习——矩形菱形正方形

中考专题复习——矩形菱形正方形

中考专题复习第二十一讲矩形菱形正方形【基础知识回顾】一、矩形：1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形2、矩形的性质：⑴矩形的四个角都⑵矩形的对角线3、矩形的判定：⑴用定义判定⑵有三个角是直角的是矩形⑶对角线相等的是矩形【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600或1200角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】二、菱形：1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都⑵菱形的对角线且每条对角线3、菱形的判定：⑴用定义判定⑵对角线互相垂直的是菱形⑶四条边都相等的是菱形【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200或600时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】三、正方形：1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的是正方形2、性质：⑴正方形四个角都都是角，⑵正方形四边条都⑶正方形两对角线、且每条对角线平分一组内角3、判定：⑴先证是矩形，再证⑵先证是菱形，再证【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。

这四者之间的关系可表示为：2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】【重点考点例析】考点一：与矩形有关的折叠问题例1 （2016•泸州）如图，点E是矩形ABCD的边CD上一点，把△ADE沿AE对折，点D的对称点F恰好落在BC上，已知折痕AE=105cm，且tan∠EFC=34，那么该矩形的周长为（）A．72cm B．36cm C．20cmD．16cm对应训练1．（2016•湖州）如图，已知四边形ABCD是矩形，把矩形沿直线AC折叠，点B落在点E处，连接DE．若DE：AC=3：5，则ADAB的值为（）A．12B．33C．23D．22考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题例2 （2016•泉州）如图，菱形ABCD的周长为85，对角线AC和BD相交于点O，AC：BD=1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S= ．对应训练2．（2016•凉山州）如图，菱形ABCD中，∠B=60°，AB=4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为（）A．14B．15C．1 D．17考点三：和正方形有关的证明题例3 （2016•湘潭）在数学活动课中，小辉将边长为2和3的两个正方形放置在直线l 上，如图1，他连结AD、CF，经测量发现AD=CF．（1）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，如图2，试判断AD与CF还相等吗？说明你的理由；（2）他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转，使点E旋转至直线l上，如图3，请你求出CF的长．思路分析：（1）根据正方形的性质可得AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°，然后求出∠AOD=∠COF ，再利用“边角边”证明△AOD 和△COF 全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；（2）与（1）同理求出CF=AD ，连接DF 交OE 于G ，根据正方形的对角线互相垂直平分可得DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，再求出AG ，然后利用勾股定理列式计算即可求出AD ． 解：（1）AD=CF ．理由如下：在正方形ABCO 和正方形ODEF 中，AO=CO ，OD=OF ，∠AOC=∠DOF=90°， ∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD ，即∠AOD=∠COF ，在△AOD 和△COF 中，AO CO AOD COF OD OF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AOD ≌△COF （SAS ）， ∴AD=CF ；（2）与（1）同理求出CF=AD ，如图，连接DF 交OE 于G ，则DF ⊥OE ，DG=OG=12OE ，∵正方形ODEF 的边长为2，∴OE=2×2=2，∴DG=OG=12OE=12×2=1， ∴AG=AO+OG=3+1=4，在Rt △ADG 中，AD=22224117AG DG +=+=，∴CF=AD=17．点评：本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，（1）熟练掌握正方形的四条边都相等，四个角都是直角，对角线相等且互相垂直平分是解题的关键，（2）作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．对应训练3．（2016•三明）如图①，在正方形ABCD 中，P 是对角线AC 上的一点，点E 在BC 的延长线上，且PE=PB ．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变（如图②），若∠ABC=58°，则∠DPE= 度．3．（1）证明：在正方形ABCD中，BC=DC，∠BCP=∠DCP=45°，∵在△BCP和△DCP中，BC DCBCP DCPPC PC=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCP≌△DCP（SAS）；（2）证明：由（1）知，△BCP≌△DCP，∴∠CBP=∠CDP，∵PE=PB，∴∠CBP=∠E，∴∠DPE=∠DCE，∵∠1=∠2（对顶角相等），∴180°-∠1-∠CDP=180°-∠2-∠E，即∠DPE=∠DCE，∵AB∥CD，∴∠DCE=∠ABC，∴∠DPE=∠ABC；（3）解：与（2）同理可得：∠DPE=∠ABC，∵∠ABC=58°，∴∠DPE=58°．故答案为：58．考点四：四边形综合性题目例4 （2016•资阳）在一个边长为a（单位：cm）的正方形ABCD中，点E、M分别是线段AC，CD上的动点，连结DE并延长交正方形的边于点F，过点M作MN⊥DF于H，交AD于N．（1）如图1，当点M与点C重合，求证：DF=MN；（2）如图2，假设点M从点C出发，以1cm/s的速度沿CD向点D运动，点E同时从点A出发，以2cm/s速度沿AC向点C运动，运动时间为t（t＞0）；①判断命题“当点F是边AB中点时，则点M是边CD的三等分点”的真假，并说明理由．②连结FM、FN，△MNF能否为等腰三角形？若能，请写出a，t之间的关系；若不能，请说明理由．思路分析：（1）证明△ADF≌△DNC，即可得到DF=MN；易证△MND ∽△DFA，∴ND DMAF AD=，即ND a tat aa t-=-，得ND=t．∴ND=CM=t，AN=DM=a-t．若△MNF为等腰三角形，则可能有三种情形：（I）若FN=MN，则由AN=DM知△FAN≌△NDM，∴AF=DM，即ata t-=t，得t=0，不合题意．∴此种情形不存在；（II）若FN=FM，由MN⊥DF知，HN=HM，∴DN=DM=MC，∴t=12a，此时点F与点B重合；（III）若FM=MN，显然此时点F在BC边上，如下图所示：易得△MFC≌△NMD，∴FC=DM=a-t；又由△NDM∽△DCF，∴DN DCDM FC=，即t aa t FC=-，∴FC=()a a tt-．∴()a a tt-=a-t，∴t=a，此时点F与点C重合．综上所述，当t=a或t=12a时，△MNF能够成为等腰三角形．点评：本题是运动型几何综合题，考查了相似三角形、全等三角形、正方形、等腰三角形、命题证明等知识点．解题要点是：（1）明确动点的运动过程；（2）明确运动过程中，各组成线段、三角形之间的关系；（3）运用分类讨论的数学思想，避免漏解．对应训练4．（2016•营口）如图1，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，F是AC边上的一个动点（点F与A、C不重合），以CF为一边在等腰直角三角形外作正方形CDEF，连接BF、AD．（1）①猜想图1中线段BF、AD的数量关系及所在直线的位置关系，直接写出结论；②将图1中的正方形CDEF，绕着点C按顺时针（或逆时针）方向旋转任意角度α，得到如图2、图3的情形．图2中BF交AC于点H，交AD于点O，请你判断①中得到的结论是否仍然成立，并选取图2证明你的判断．（2）将原题中的等腰直角三角形ABC改为直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改为矩形CDEF，如图4，且AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，BF交AC于点H，交AD于点O，连接BD、AF，求BD2+AF2的值．4．解：（1）①BF=AD ，BF ⊥AD ；②BF=AD ，BF ⊥AD 仍然成立，证明：∵△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC ，∵四边形CDEF 是正方形，∴CD=CF ，∠FCD=90°，∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，在△BCF 和△ACD 中BC ACBCF ACD CF CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△BCF ≌△ACD （SAS ），∴BF=AD ，∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°，∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF ⊥AD ；（2）证明：连接DF ，∵四边形CDEF 是矩形，∴∠FCD=90°，又∵∠ACB=90°，∴∠ACB=∠FCD∴∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF ，即∠BCF=∠ACD ，∵AC=4，BC=3，CD=43，CF=1，∴34BC CF AC CD ==，∴△BCF ∽△ACD ，∴∠CBF=∠CAD ，又∵∠BHC=∠AHO ，∠CBH+∠BHC=90°∴∠CAD+∠AHO=90°，∴∠AOH=90°，∴BF⊥AD，∴∠BOD=∠AOB=90°，∴BD2=OB2+OD2，AF2=OA2+OF2，AB2=OA2+OB2，DF2=OF2+OD2，∴BD2+AF2=OB2+OD2+OA2+OF2=AB2+DF2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，∴AB2=AC2+BC2=32+42=25，∵在Rt△FCD中，∠FCD=90°，CD=43，CF=1，∴DF2=CD2+CF2=(43)2+12=259，∴BD2+AF2=AB2+DF2=25+259=2509．【聚焦山东中考】1．（2016•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE=BF，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是（）A．BC=AC B．CF⊥BF C．BD=DF D．AC=BF2．（2016•枣庄）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为（）A．3-1B．3-5C．5+1D．5-13．（2016•临沂）如图，菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接EF，则△AEF的面积是．4．（2016•烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画AC，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为．5．（2016•济南）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+3．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．6．（2016•济宁）如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．6．（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，ABE DAFAB ADBAE D∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，则与（1）的情况完全相同．7．（2016•青岛）已知：如图，在矩形ABCD中，M，N分别是边AD、BC的中点，E，F分别是线段BM，CM的中点．（1）求证：△ABM ≌△DCM ；（2）判断四边形MENF 是什么特殊四边形，并证明你的结论；（3）当AD ：AB= 时，四边形MENF 是正方形（只写结论，不需证明）8．（2016•淄博）矩形纸片ABCD 中，AB=5，AD=4．（1）如图1，四边形MNEF 是在矩形纸片ABCD 中裁剪出的一个正方形．你能否在该矩形中裁剪出一个面积最大的正方形，最大面积是多少？说明理由；（2）请用矩形纸片ABCD 剪拼成一个面积最大的正方形．要求：在图2的矩形ABCD 中画出裁剪线，并在网格中画出用裁剪出的纸片拼成的正方形示意图（使正方形的顶点都在网格的格点上）．8．解：（1）正方形的最大面积是16．设AM =x （0≤x ≤4），则MD =4-x ．∵四边形MNEF 是正方形，∴MN =MF ，∠AMN +∠FMD =90°．∵∠AMN +∠ANM =90°，∴∠ANM =∠FMD ．∵在△ANM 和△DMF 中A D ANM FMD MN FM ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ANM ≌△DMF （AAS ）．∴DM =AN ．∴S 正方形MNEF =MN 2=AM 2+AN 2，=x2+（4-x）2，=2（x-2）2+8∵函数S正方形MNEF=2（x-2）2+8的开口向上，对称轴是x=2，在对称轴的左侧S随x的增大而减小，在对称轴的右侧S随x的增大而增大，∵0≤x≤4，∴当x=0或x=4时，正方形MNEF的面积最大．最大值是16．（2）先将矩形纸片ABCD分割成4个全等的直角三角形和两个矩形如图1，然后拼成如图2的正方形．9．（2016•济南）（1）如图1，已知△ABC，以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE，CD，请你完成图形，并证明：BE=CD；（尺规作图，不写做法，保留作图痕迹）；（2）如图2，已知△ABC，以AB、AC为边向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE，CD，BE与CD有什么数量关系？简单说明理由；（3）运用（1）、（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，要测量池塘两岸相对的两点B，E的距离，已经测得∠ABC=45°，∠CAE=90°，AB=BC=100米，AC=AE，求BE的长．9．解：（1）完成图形，如图所示：证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，即∠CAD=∠EAB，∵在△CAD和△EAB中，【备考真题过关】一、选择题1．（2016•铜仁地区）下列命题中，真命题是（）A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．对角线互相平分的四边形是平行四边形D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形2．（2016•宜宾）矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等3．（2013•随州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）A．25B．20C．15D．104．（2016•重庆）如图，矩形纸片ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为（）A．6cm B．4cm C．2cm D．1cm 5．（2016•南充）如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边的B′处，若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是（）A．12B．24C．123D．1636．（2016•巴中）如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=6，BD=4，则菱形ABCD 的周长是（）A．24B．16C．43D．237（2016•茂名）如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOD=60°，AD=2，则AC 的长是（）A．2B．4C．2 3D．438．（2016•成都）如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C和点C′重合，若AB=2，则C′D的长为（）A．1B．2C．3D．4 9．（2016•包头）如图，四边形ABCD和四边形AEFC是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1、S2的大小关系是（）A．S1＞S2B．S1=S2C．S1＜S2D．3S1=2S210．（2016•扬州）如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC 于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°11．（2016•绵阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A．2825cm B．2120cm C．2815cm D．2521cm12．（2016•雅安）如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，△AEF是等边三角形，连接AC交EF于G，下列结论：①BE=DF，②∠DAF=15°，③AC垂直平分EF，④BE+DF=EF，⑤S△CEF=2S△ABE．其中正确结论有（）个．A．2B．3C．4D．5二、填空题13．（2016•宿迁）如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为------度时，两条对角线长度相等．14．（2016•淮安）若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．15．（2013•无锡）如图，菱形ABCD中，对角线AC交BD于O，AB=8，E是CD的中点，则OE的长等于．16．（2016•黔西南州）如图所示，菱形ABCD的边长为4，且AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，∠B=60°，则菱形的面积为．17．（2016•攀枝花）如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA=35，BE=4，则tan ∠DBE的值是．18．（2016•南充）如图，正方形ABCD的边长为2，过点A作AE⊥AC，AE=1，连接BE，则tanE= ．19．（2016•苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADE沿AE折叠后得到△AFE，且点F在矩形ABCD内部．将AF延长交边BC于点G．若1CGGB k=，则ADAB=用含k的代数式表示）．20．（2016•哈尔滨）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点O作OE⊥AC交AB于E，若BC=4，△AOE的面积为5，则sin∠BOE的值为．21．（2016•北京）如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB=5，AD=12，则四边形ABOM的周长为．22．（2016•南京）如图，将菱形纸片ABCD折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF，若菱形ABCD的边长为2cm，∠A=120°，则EF= cm．23．（2016•舟山）如图，正方形ABCD的边长为3，点E，F分别在边AB、BC上，AE=BF=1，小球P从点E出发沿直线向点F运动，每当碰到正方形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角．当小球P第一次碰到点E时，小球P所经过的路程为．24．（2016•桂林）如图，已知线段AB=10，AC=BD=2，点P是CD 上一动点，分别以AP 、PB 为边向上、向下作正方形APEF 和PHKB ，设正方形对角线的交点分别为O 1、O 2，当点P 从点C 运动到点D 时，线段O 1O 2中点G 的运动路径的长是 ．25．（2016•荆州）如图，将矩形ABCD 沿对角线AC 剪开，再把△ACD 沿CA 方向平移得到△A 1C 1D 1，连结AD 1、BC 1．若∠ACB=30°，AB=1，CC 1=x ，△ACD 与△A 1C 1D 1重叠部分的面积为s ，则下列结论：①△A 1AD 1≌△CC 1B ；②当x=1时，四边形ABC 1D 1是菱形；③当x=2时，△BDD 1为等边三角形；④s=38（x -2）2 （0＜x ＜2）； 其中正确的是 （填序号）．三、解答题26．（2016•南通）如图，AB=AC ，AD=AE ，DE=BC ，且∠BAD=∠CAE ．求证：四边形BCDE 是矩形．26．证明：∵∠BAD=∠CAE ，∴∠BAD -∠BAC=∠CAE -∠BAC ，∴∠BAE=∠CAD ，∵在△BAE 和△CAD 中AE AD BAE CAD AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△BAE ≌△CAD （SAS ）， ∴∠BEA=∠CDA ，BE=CD ，∵DE=BC ，∴四边形BCDE 是平行四边形，∵AE=AD ，∴∠AED=∠ADE ，∵∠BEA=∠CDA ，∴∠BED=∠CDE ，∵四边形BCDE 是平行四边形，∴BE ∥CD ，∴∠CDE+∠BED=180°，∴∠BED=∠CDE=90°，∴四边形BCDE 是矩形．27．（2016•广州）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD相交于O ，AB=5，AO=4，求BD 的长．27．解：∵四边形ABCD 是菱形，对角线AC 与BD 相交于O ，∴AC ⊥BD ，DO=BO ，∵AB=5，AO=4，∴BO=2254-=3，∴BD=2BO=2×3=6．28．（2013•厦门）如图所示，在正方形ABCD 中，点G 是边BC 上任意一点，DE ⊥AG ，垂足为E ，延长DE 交AB 于点F ．在线段AG 上取点H ，使得AG=DE+HG ，连接BH ．求证：∠ABH=∠CDE ．28．证明：如图，在正方形ABCD 中，AB=AD ，∠ABG=∠DAF=90°，∵DE ⊥AG ，∴∠2+∠EAD=90°，又∵∠1+∠EAD=90°，∴∠1=∠2，在△ABG 和△DAF 中， 1 290AB AD ABG DAF =⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩，∴△ABG ≌△DAF （ASA ），∴AF=BG ，AG=DF ，∠AFD=∠BGA ，∵AG=DE+HG ，AG=DE+EF ，∴EF=HG ，在△AEF 和△BHG 中，AF BG AFD BGA EF HG =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△AEF ≌△BHG （SAS ），∴∠1=∠3，∴∠2=∠3，∵∠2+∠CDE=∠ADC=90°，∠3+∠ABH=∠ABC=90°，∴∠ABH=∠CDE ．29．（2013•黔东南州）如图，在正方形ABCD 中，点M 是对角线BD 上的一点，过点M 作ME ∥CD 交BC 于点E ，作MF ∥BC 交CD 于点F ．求证：AM=EF ．29．证明：过M 点作MQ ⊥AD ，垂足为Q ，作MP 垂足AB ，垂足为P ，∵四边形ABCD 是正方形，∴四边形MFDQ 和四边形PBEM 是正方形，四边形APMQ 是矩形，∴AP=QM=DF=MF ，PM=PB=ME ，∵在△APM 和△FME 中，AP MF APM FME PM ME =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△APM ≌△FME （SAS ）， ∴AM=EF ．30．（2016•铁岭）如图，△ABC 中，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，连接AE ，BE ．（1）求证：四边形AEBD 是矩形；（2）当△ABC 满足什么条件时，矩形AEBD 是正方形，并说明理由．30．（1）证明：∵点O 为AB 的中点，连接DO 并延长到点E ，使OE=OD ，∴四边形AEBD 是平行四边形，∵AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB=90°，∴平行四边形AEBD 是矩形；（2）当∠BAC=90°时，理由：∵∠BAC=90°，AB=AC ，AD 是△ABC 的角平分线，∴AD=BD=CD ，∵由（1）得四边形AEBD 是矩形，∴矩形AEBD 是正方形．31．（2016•南宁）如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点．（1）求证：△ABE ≌△CDF ；（2）若∠B=60°，AB=4，求线段AE 的长．31．解：（1）∵四边形ABCD 是菱形，∴AB=BC=AD=CD ，∠B=∠D ，∵点E 、F 分别是边BC 、AD 的中点，∴BE=DF ，在△ABE 和△CDF 中，∵AB CD B D BE DF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ∴△ABE ≌△CDF （SAS ）；（2）∵∠B=60°，∴△ABC 是等边三角形，∵点E 是边BC 的中点，∴AE ⊥BC ，在Rt △AEB 中，∠B=60°，AB=4，sin60°=4AE AE AB =， 解得AE=23．32．（2016•贵阳）已知：如图，在菱形ABCD 中，F 是BC 上任意一点，连接AF 交对角线BD 于点E ，连接EC ．（1）求证：AE=EC ；（2）当∠ABC=60°，∠CEF=60°时，点F 在线段BC 上的什么位置？说明理由．32．（1）证明：如图，连接AC ，∵BD 也是菱形ABCD 的对角线，∴BD 垂直平分AC ，∴AE=EC ；（2）解：点F 是线段BC 的中点．理由如下：在菱形ABCD 中，AB=BC ，又∵∠ABC=60°，∴△ABC 是等边三角形，∴∠BAC=60°，∵AE=EC ，∠CEF=60°，∴∠EAC=12∠BAC=30°， ∴AF 是△ABC 的角平分线，∵AF 交BC 于F ，∴AF 是△ABC 的BC 边上的中线，∴点F 是线段BC 的中点．33．（2016•曲靖）如图，点E 在正方形ABCD 的边AB 上，连接DE ，过点C 作CF ⊥DE 于F ，过点A 作AG ∥CF 交DE 于点G ．（1）求证：△DCF ≌△ADG ．（2）若点E 是AB 的中点，设∠DCF=α，求sinα的值．33．（1）证明：在正方形ABCD 中，AD=DC ，∠ADC=90°，∵CF ⊥DE ，∴∠CFD=∠CFG=90°，35．（2016•绥化）已知，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=45°，点D为直线BC上一动点（点D不与点B，C重合）．以AD为边做正方形ADEF，连接CF（1）如图1，当点D在线段BC上时．求证CF+CD=BC；（2）如图2，当点D在线段BC的延长线上时，其他条件不变，请直接写出CF，BC，CD 三条线段之间的关系；（3）如图3，当点D在线段BC的反向延长线上时，且点A，F分别在直线BC的两侧，其他条件不变；①请直接写出CF，BC，CD三条线段之间的关系；②若正方形ADEF的边长为22，对角线AE，DF相交于点O，连接OC．求OC的长度．35．证明：（1）∵∠BAC=90°，∠ABC=45°，线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE，在直线BA上取点F，使BF=BP，且点F与点E在BC同侧，连接EF，CF．（1）如图 ，当点P在CB延长线上时，求证：四边形PCFE是平行四边形；（2）如图 ，当点P在线段BC上时，四边形PCFE是否还是平行四边形，说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形PCFE的面积是否有最大值？若有，请求出面积的最大值及此时BP长；若没有，请说明理由．36．解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠PBA=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，∴PE=FC．∵∠PAB+∠APB=90°，∴∠FCB+∠APB=90°．∵∠EPA=90°，∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°，即∠EPC+∠PCF=180°，∴EP∥FC，∴四边形EPCF是平行四边形；（2）结论：四边形EPCF是平行四边形，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠CBF=90°∵在△PBA和△FBC中，AB BCPBA ABCBP BF=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△PBA≌△FBC（SAS），∴PA=FC，∠PAB=∠FCB．∵PA=PE，。

专题15 矩形的性质与判定(解析版)

专题15 矩形的性质与判定(解析版)

专题15 矩形的性质与判定【考点归纳】（1）矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．（2）矩形的性质①平行四边形的性质矩形都具有；②角：矩形的四个角都是直角；③边：邻边垂直；④对角线：矩形的对角线相等；⑤矩形是轴对称图形，又是中心对称图形．它有2条对称轴，分别是每组对边中点连线所在的直线；对称中心是两条对角线的交点．（3）矩形的判定：①矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形（或“对角线互相平分且相等的四边形是矩形”）（5）①证明一个四边形是矩形，若题设条件与这个四边形的对角线有关，通常证这个四边形的对角线相等．②题设中出现多个直角或垂直时，常采用“三个角是直角的四边形是矩形”来判定矩形．【好题必练】一、选择题1．（2020秋•光明区期末）如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点M是边AB 上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则CP的最小值是（）A．1.2B．1.5C．2.4D．2.5【答案】A【解析】解：连接CM，如图所示：∵∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝＝5，∵ME⊥AC，MF⊥BC，∠ACB＝90°，∴四边形CEMF是矩形，∴EF＝CM，∵点P是EF的中点，∴CP＝EF，当CM⊥AB时，CM最短，此时EF也最小，则CP最小，∵△ABC的面积＝AB×CM＝AC×BC，∴CM＝＝＝2.4，∴CP＝EF＝CM＝1.2，故选：A．2．（2020秋•凤翔县期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，连接BP、MN，若AB＝6，BC＝8，当点P在斜边AC上运动时，则MN的最小值是（）A．1.5B．2C．4.8D．2.4【答案】C．【解析】解：∵∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵PM⊥AB，PN⊥BC，∠C＝90°，∴四边形BNPM是矩形，∴MN＝BP，由垂线段最短可得BP⊥AC时，线段MN的值最小，此时，S△ABC＝BC•AB＝AC•BP，即×8×6＝×10•BP，解得：BP＝4.8，即MN的最小值是4.8，故选：C．3．（2020•竹溪县模拟）下列说法中，错误的是（）A．菱形的对角线互相垂直B．对角线互相垂直的四边形是菱形C．矩形的四个内角都相等D．四个内角都相等的四边形是矩形【答案】B【解析】解：A、∵菱形的对角线互相垂直，∴选项A不符合题意；B、∵对角线互相垂直平分的四边形是菱形，∴选项B符合题意；C、∵矩形的四个角都是直角，∴矩形的四个内角都相等，∴选项C不符合题意；D、∵四个内角都相等的四边形是四个角都是直角，∴四个内角都相等的四边形是矩形，∴选项D不符合题意；故选：B．4．（2020秋•武侯区校级月考）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M为EF的中点，则PM的最小值为（）A．5B．2.5C．4.8D．2.4【答案】D．【解析】解：连接AP，如图所示：∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴四边形AFPE是矩形，∴EF＝AP，EF与AP互相平分，∵M是EF的中点，∴M为AP的中点，∴PM＝AP，根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，即AP⊥BC时，AP最短，同样PM也最短，∴当AP⊥BC时，AP＝＝4.8，∴AP最短时，AP＝4.8，∴当PM最短时，PM＝AP＝2.4．故选：D．5．（2020春•沙坪坝区校级月考）下列说法正确的是（）A．矩形的对角线互相垂直且平分B．矩形的邻边一定相等C．对角线相等的四边形是矩形D．有三个角为直角的四边形为矩形【答案】D．【解析】解：A、∵矩形的对角线互相平分且相等，∴选项A不符合题意；B、∵矩形的邻边一定垂直，不一定相等，∴选项B不符合题意；C、∵对角线相等的平行四边形是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵有三个角为直角的四边形为矩形，∴选项D符合题意；故选：D．6．（2020春•江夏区期末）如图，点P是Rt△ABC中斜边AC（不与A，C重合）上一动点，分别作PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，点O是MN的中点，若AB＝6，BC＝8，当点P在AC上运动时，则BO的最小值是（）A．1.5B．2C．2.4D．2.5【答案】C．【解析】解：连接BP，如图所示：∵∠ABC＝90°，PM⊥AB于点M，作PN⊥BC于点N，∴四边形BMPN是矩形，AC＝＝＝10，∴BP＝MN，BP与MN互相平分，∵点O是MN的中点，∴BO＝MN，当BP⊥AC时，BP最小＝＝＝4.8，∴MN＝4.8，∴BO＝MN＝2.4，故选：C．二、填空题7．（2020•顺义区一模）如图，将一矩形纸片ABCD沿着虚线EF剪成两个全等的四边形纸片．根据图中标示的长度与角度，求出剪得的四边形纸片中较短的边AE的长是．【答案】3【解析】解：过F作FQ⊥AD于Q，则∠FQE＝90°，∵四边形ABCD是长方形，∴∠A＝∠B＝90°，AB＝DC＝4，AD∥BC，∴四边形ABFQ是矩形，∴AB＝FQ＝DC＝4，∵AD∥BC，∴∠QEF＝∠BFE＝45°，∴EQ＝FQ＝4，∴AE＝CF＝×（10﹣4）＝3，故答案为：3．8．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接MN，则线段MN的最小值为．【答案】【解析】解：∵∠BAC＝90°，且BA＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵DM⊥AB，DN⊥AC，∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°，∴四边形DMAN是矩形，∴MN＝AD，∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，△ABC的面积＝AB×AC＝BC×AD，∴AD＝＝，∴MN的最小值为；故答案为：．9．在△ABC中，AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，连接EF，则EF的最小值为cm．【答案】【解析】解：∵AB＝6cm，AC＝8cm，BC＝10cm，∴AB2+AC2＝BC2，∴△ABC为直角三角形，∠A＝90°，∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四边形AEPF为矩形，连接AP，如图，EF＝AP，当AP的值最小时，EF的值最小，当AP⊥BC时，AP的值最小，根据△ABC面积公式，×AB•AC＝×AP•BC，∴AP＝＝＝，∴EF的最小值为．故答案为．10．如图，△ABC是以AB为斜边的直角三角形，AC＝4，BC＝3，P为AB上一动点，且PE⊥AC于E，PF⊥BC于F，则线段EF长度的最小值是．【答案】【解析】解：连接PC．∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠PEC＝∠PFC＝∠C＝90°；又∵∠ACB＝90°，∴四边形ECFP是矩形，∴EF＝PC，∴当PC最小时，EF也最小，即当CP⊥AB时，PC最小，∵AC＝4，BC＝3，∴AB＝5，∴AC•BC＝AB•PC，∴PC＝．∴线段EF长的最小值为；故答案是：．11．如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的最小值为．【答案】2.4【解析】解：连接AP，∵在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，∴AB2+AC2＝BC2，即∠BAC＝90°．又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF＝AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故答案为：2.4．三、解答题12．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若CE＝1，DE＝2，求四边形的ABCD面积．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠COD＝90°．∵CE⊥AC，DE⊥BD，∴平行四边形OCED是矩形；（2）解：由（1）知，四边形OCED是菱形，则CE＝OD＝1，DE＝OC＝2．∵四边形ABCD是菱形，∴AC＝2OC＝4，BD＝2OD＝2，∴菱形ABCD的面积为：AC•BD＝×4×2＝4．【解析】（1）欲证明四边形OCED是矩形，只需推知四边形OCED是平行四边形，且有一内角为90度即可；（2）由菱形的对角线互相垂直平分和菱形的面积公式解答．13．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，延长BC至F，使CF ＝BE，连接DF．（1）求证：四边形AEFD是矩形；（2）若AC＝10，∠ABC＝60°，则矩形AEFD的面积是．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AD∥BC，AD＝BC，∵CF＝BE，∴BC＝EF，∴AD∥EF，AD＝EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵AE⊥BC，∴∠AEF＝90°，∴平行四边形AEFD是矩形；（2）解：∵AB＝CD，BE＝CF，∠AEB＝∠DFC＝90°，∴Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∵AC＝10，∴AE＝AC＝5，AB＝10，BO＝5，∵AD＝EF＝10，∴矩形AEFD的面积＝菱形ABCD的面积＝×10×10＝50，故答案为：50．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC且AD＝BC，等量代换得到BC＝EF，推出四边形AEFD是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据全等三角形的判定定理得到Rt△ABE≌Rt△DCF（HL），求得矩形AEFD的面积＝菱形ABCD 的面积，根据等腰三角形的性质得到结论．14．如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AE⊥BC交CB延长线于E，CF∥AE交AD延长线于点F．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）连接OE，若AE＝4，AD＝5，求OE的长．【答案】（1）证明：∵菱形ABCD，∴AD∥BC．∵CF∥AE，∴四边形AECF是平行四边形．∵AE⊥BC，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵AE＝4，AD＝5，∴AB＝5，BE＝3．∵AB＝BC＝5，∴CE＝8．∴AC＝4，∵对角线AC，BD交于点O，∴AO＝CO＝2．∴OE＝2．【解析】（1）根据菱形的性质得到AD∥BC，推出四边形AECF是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论；（2）根据已知条件得到得到CE＝8．求得AC＝4，于是得到结论．15．（2020•石景山区一模）如图，在▱ABCD中，∠ACB＝90°，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E．（1）求证：四边形ACED是矩形；（2）连接AE交CD于点F，连接BF．若∠ABC＝60°，CE＝2，求BF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．∴∠CAD＝∠ACB＝90°．又∵∠ACE＝90°，DE⊥BC，∴四边形ACED是矩形．（2）解：∵四边形ACED是矩形，∴AD＝CE＝2，AF＝EF，AE＝CD．∵四边形ABCD是平行四边形，∴BC＝AD＝2，AB＝CD．∴AB＝AE．又∵∠ABC＝60°，∴△ABE是等边三角形．∴∠BFE＝90°，．在Rt△BFE中，．【解析】（1）根据四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC．所以∠CAD＝∠ACB＝90°．又∠ACE ＝90°，即可证明四边形ACED是矩形；（2）根据四边形ACED是矩形，和四边形ABCD是平行四边形，可以证明△ABE是等边三角形．再根据特殊角三角函数即可求出BF的长．16．（2020春•灌云县期中）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE∥AC，AE∥BD．（1）求证：四边形AODE是矩形；（2）若△ABC是边长为2的正三角形，求四边形AODE的面积．【答案】（1）证明：∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠AOD＝90°，∴四边形AODE是矩形；（2）解：∵△ABC是边长为2的正三角形，∴AB＝AC＝2，∠ABC＝60°，∵四边形ABCD为菱形，∴AO＝AC＝1，OD＝OB，∵∠AOB＝90°，∴OB＝＝＝，∴OD＝OB＝，∵四边形AODE是矩形，∴四边形AODE的面积＝×1＝．【解析】（1）根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD ＝90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；（2）由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
§19.2 .1矩形的定义、性质
矩形
1、矩形定义：
有一个角是直角的平行四边形叫矩形
矩形的对边平行且相等 矩形的四个角均为直角 矩形的对角线互相平分且相等
2、矩形
3、直角三角形的一个重要性质： 斜边上的中线等于斜边的一半； 4、在矩形中进行有关计算或证明，常根据矩形的性 质将问题转化到直角三角形或等腰三角形中，利用 直角三角形或等腰三角形的有关性质 进行解题。
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是（ A ）. A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm， 则它的对角线长是 5 cm.
3.下面性质中，矩形不一定具有的是（ ） A.对角线相等 B.四个角相等 C.是轴对称图形 D.对角线互相垂直
A B A O D
第1题
D
C
B
第2题
C
3、矩形ABCD中,AC、BD相交于点O， 16 AB=6，BC=8，则△ABO的周长为_____
A
O B C
D
试一试
4.已知矩形ABCD,请找出所有的直角三角形 和等腰三角形.
D
O

C
Rt△ADC、 Rt△DCB、 Rt△DAB、 Rt△ABC、
A
B
△ADO、 △DOC、 △COB、 △AOB、
矩形的问题可以 转化到直角三角形或 等腰三角形来解决．
如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点Ｏ， AB=4cm,∠AOB=60°,求矩形对角线的长。 D 解：∵四边形ABCD是矩形， A
∴AC与BD相等且互相平分。 ∴ OA = OB。 又 ∠AOB=60°， B ∴ ΔOAB是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） ∴ AC=BD = 2OA=2×4=8（cm）
A D
┓
B
C
学海
无涯
2.在 Rt ABC 中，斜边AC上的中线 和高分别是6cm和5cm，则 Rt ABC 的 面积S=（ 30cm2 ）。
A
A
D E
B
C
3.在Rt⊿ABC中， ∠C=90°，
AB=2AC. 求∠ A 、 ∠B 的度数.
A
思路分析
作斜边AB边的中线
则 AD=CD=
1 2
AB
G
A
∴∠1=45 °, B ∴∠2=∠ACF-∠ACD=15 °
8. 如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°,现将补 成矩形，使△ABC的两个顶点为矩形一边的两个端点， 第三个顶点落在矩形这一边的对边上，那么符合要求 的矩形可以画出两个，矩形ACBD和矩形AEFB D A 1）矩形ACBD和矩形AEFB的 面积有何数量关系？ B 2）如果△ABC是钝角三角形， E 按短文中的要求把它补成矩形那么 C 符合要求的矩形可以画出几个？ F 试试看。 3)如果△ABC是锐角三角形呢?
学有所得
A O B D
直角三角形的性质: 直角三角形斜边上的中线 等于斜边的一半.
C
即兴练一练: 已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其 5 斜边上的中线长为________.
已知: 如图，矩形ABCD的 A 两条对角线交于点O, AB= 4cm ，∠AOB=60°。 求矩形对角线的长。 B
1 2
又∵AB=2AC ∴AC=AD=CD= AB
D
∴⊿ACD是等边三角形 ∴∠A=60°
C
B
∴∠B=30 °
4.矩形ABCD 中,AB=2BC,AE=AB,求∠EBC 的度数 E
D
C
A
B
5.设矩形ABCD和矩形AEFC的面积分 别为S1、S2，• 二者的大小关系是： 则 S1________S2．
6.已知如图，O是矩形ABCD对角 线的交点，AE平分∠BAD， ∠AOD=1200，求∠EAO的度数和 ∠OEA的度数 。
7、如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相同， 把它们拼成如图所示的L型图案，已知∠FAE=30°,分别 求∠1、∠2的度数。
F 1 E H D 2 C
解:依题意可知: ∠FAE=∠DCA=30 °,AF=AC ∴∠DAC=60 °, ∴∠FAC=90 °,
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
D O C
图中我们常见的特殊 ∴OA=OD， 又∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形 ∴OA=AB=4（cm） ∴矩形的对角线AC=BD=2OA=8 ( cm ) .
三角形有哪些？
1、如图，矩形ABCD的对角线的长为2， ∠BDC=300,则矩形ABCD的面积为______. 3 2、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短 7.2 的边长为3.6cm,则对角线的长为_____cm.
600 1200
O
C
变式：若BD=8cm,∠AOD=120°，求边AB的长。
问题: 体育节中有一投圈游戏,四个同学分别站
在一个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的 交点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ A D
O
B
C
公平,因为OB=OD = OA=OC
练一练
1. 已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边 AC上的中线. 6 (1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝; 10 (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____㎝, 5 BD＝_____㎝.
相关文档
最新文档