多速率信号处理3

一．滤波器的总体技术指标（单级实现的技术指标） 假设系统的总体指标是已知或事先能确定的，即 1．通带波纹： δ p 2．阻带波纹： δ s 3．通带的截止频率（下限频率） ： f p 4．阻带的起始频率（上限频率） ： f s 二．每级滤波器的技术指标 1．通带波纹 δ pi
设每一级滤波器的通带波纹为 δ pi ，总的通带波纹 δ p 与 δ pi 的关系为
f s = 50 Hz ；
z z z
ˆ (e jω0 ) 过渡带宽 Δf = 10 Hz 。 H
假设通带波纹 δ p = 0.01 ，阻带波纹 δ s = 0.001 ；
ˆ(n) ，则 FIR 滤波器的阶数 N 为 若采用等波纹法设计 h
N≈ D∞ (δ p , δ s ) D∞ (δ p , δ s ) 2.542 = = ≈ 1271 fs − f p ωs − ω p 2 × 10−3 F0 2π
第四章
抽样率变换的多级实现结构
本章主要讨论大抽取比或大内插比的抽样率变换的有效实现问题， 即在 M 1 ，L 1 情 况下，分析抽样率变换的多级实现结构的原理、方法。由于抽取器的结构和和内插器的结构互 为转置，所以，我们将重点讨论抽取器的多级实现。
4.1
一．什么是抽样率变换的多级实现结构 1．单级实现
Hale Waihona Puke 4.2第 1 级多级结构中滤波器的技术指标
第 2级
x ( n)
ˆ ( n) h 1
↓ M1
F1 =
ˆ (k ) h 2
F0 M1
↓ M2
F2 = F1 M2
" "
FK −1 =
第K级
y ( m)
ˆ (k ′) h K
FK −2 M K −1
↓ MK
FK = FK −1 MK
F0
假设：系统有 K 级构成；
1 ± δ p ≈ 1 ± (δ p1 + δ p2 + " + δ pK )
若设 δ p1 = δ p2 = " = δ pK ，则有
δp =
i
δp
K
( i = 1,2,", K )
(4.1)
2．阻带波纹 δ si 设每一级滤波器的阻带波纹为 δ si ，总的阻带波纹 δ s 与 δ si 的关系为
2π
F1
次乘法/秒
z
运算量为 N 2 F2 = 5500
两级实现的总运算量为： 27800 + 5500 = 33300 ≈ 0.33 × 10 次乘法/秒；
5
两级实现比单级实现时的运算量降低了大约 4 倍！ ！
结论：
1．单级结构运算量大的主要原因：归一化的过渡带宽
fs − f p F
太小；
2．多级结构能降低运算量的原因：加大归一化的过渡带宽 (1) 增加过渡带 f s − f p
f s 200 Hz
f
V (e jω1 ) 以 F2 = 100 Hz 为周期重复叠加后得到 Y (e jω2 ) ；
选择 f p2 = 40 Hz ； 选择 f s2 = 50 Hz ；
ˆ (e jω1 ) 过渡带宽 Δf = 10 Hz ，与单级相同； H 2 2
输入抽样率为 F1 = 200 Hz ，比单级降低了 25 倍 ！ 所以归一化的过渡带宽为
40 ~ 50 Hz 。要求
(1) (2) 抽取后的信号在 40 ≤ f ≤ 50 Hz 的频率范围内不允许混叠； ( 讲解 ) 抽取后的信号在 40 ≤ f ≤ 50 Hz 的频率范围内允许混叠； ( 课后作业 )
试分别寻求上述两种情况下，使用 FIR 滤波器的多级实现方案（假设 FIR 滤波器的设 计采用等波纹法） 第一步：罗列方案 1．二级实现方案（ K = 2 ）
二．求解方法 — 穷举法 具体步骤为： 1．对每一个确定的 K （ K = 2,3,", Q ）值，根据运算量最小的原则，分别找到相应的最
佳组合方案，共有 Q − 1 组，即 {M i }i =1 ， {M i }i =1 ，" ， {M i }i =1 ；
2 3 Q
2．比较上述的 Q − 1 组实现方案，找到最优方案。 例 4-2：已知 x( n) 的抽样率 F0 = 5000 Hz ，现欲对它进行 50 倍抽取。若整个抽取系统的指标 为：通带波纹 δ p = 0.01 ，阻带波纹 δ s = 0.001，信号的通带为 0 ~ 40 Hz ，过渡带为
δ s = δ s δ s "δ s
1 2
K
由于 δ si 1 ，所以适当地选择 δ si > δ s 就可以满足要求。一般情况下，为了给设计留有裕 度，通常取
δs = δs
i
( i = 1,2,", K )
(4.2)
3．通带截止频率 f pi
各级滤波器都应该使总通带频率范围内的信号无失真地通过，故各级通带的上限频率都应 该相同，即
1 ± δ p = (1 ± δ p1 )(1 ± δ p2 )" (1 ± δ pK ) = 1 ± (δ p1 + δ p2 + " + δ pK ) ± (δ p1δ p2 + δ p1δ p3 + ") ± (δ p1δ p2 δ p3 + ") ± "
由于 δ pi 1 ，所以二次及以上的高次乘积项都可以忽略，于是
x(n)
F0 =
ˆ( n) h
w( n)
↓M F1 =
y ( m)
1 T0 ω0 = 2π f / F0
1 F = 0 T1 M ω1 = 2π f / F1 = M ω0
按题意， M = 50 ， ω1 = 50ω0 ， F0 = 5000 Hz ， F1 = 100 Hz 。 (1) Y (e
jω1
f pi = f p
4．阻带起始频率 f si (1) 最后一级（第 K 级）的 f sK
( i = 1,2,", K )
(4.3)
经过第 K 级的抽取后，不允许产生频谱混叠，所以
f sK = f s ≤
(2) 第 i 级的 f si ( i = 1,2,", K − 1 ) z
1 FK 2
(4.4)
基本概念
用一次抽取或/和内插操作来完成所需要的抽样率变换。如单级抽取器
x ( n) F0 = 1 T0 y ( m)
ˆ( n) h
↓M F1 = 1 F = 0 T1 M
2．多级实现 用二次或二次以上的抽取或/和内插操作来完成所需要的抽样率变换。 二级实现的抽取器，如下图所示，其中 M = M 1M 2
(2) 降低输入抽样率 F 3． 通带波纹 δ p 和阻带波纹 δ s 对滤波器的阶数影响较小。 三．多级实现的途径 1．寻求最优化方法，即以运算量最小为原则，找到最佳的抽取（或内插）因子组合； 2．使用半带滤波器的多级实现方法，这个方法适合于 M = 2 的情况；
K
3．使用梳状滤波器和半带滤波器的多级实现方法，这个方法适合于抽取比（或内插比）为 任意值的情况。
输入抽样率仍为 F0 = 5000 Hz ，所以归一化的过渡带宽为 增加了 10 倍！
100 = 2 × 10−2 ，比单级 5000
z z
假设通带波纹 δ p1 = δ p2 = 0.01/ 2 = 0.005 ，阻带波纹 δ s1 = δ s2 = 0.001 ；
ˆ (n) ，则 FIR 滤波器的阶数 N 为 若采用等波纹法设计 h 1 1
Ni Fi
（次乘法/秒） （次乘法/秒）
∑N F
i =1 i
K
i
4.3
一．问题描述
基于优化过程的多级结构设计
已知： F0 ， M ， f p ， f s ， δ p ， δ s 求解： K 及 M i （
∏M
i =1
K
i
=M ） ，使总的运算量最小，即
⎧K ⎫ min ⎨∑ N i Fi ⎬ K ,{ M i } ⎩ i =1 ⎭
fs − f p F0 = 2 × 10−3 太小，导致 N 很大；
两个重要的观察： 归一化过渡带宽
增加过渡带 f s − f p ，或降低输入抽样率 F0 ，都可以增加归一化过渡带宽，从而减小 FIR 滤波器的阶数 N ，降低实现时的运算量。 (3) 运算量 若采用有效结构，则运算量为
NF0 = NF1 = 127100 = 1.271 × 105 次乘法/秒 M
N1 ≈ D∞ (δ p1 , δ s1 ) D∞ (δ p1 , δ s1 ) 2.7614 = = ≈ 139 ωs1 − ω p1 f s1 − f p1 2 × 10−2 F0 2π
z
运算量为 N1F1 = 139 × 200 = 27800 次乘法/秒
Z (e jω1 )
fp
(2) 第二级实现 z z z z z
10 = 5 × 10−2 ，比单级降低了 25 倍！ 200
z
ˆ (n) ，则 FIR 滤波器的阶数 N 为 采用等波纹法设计 h 2 2
N2 ≈ D∞ (δ p2 , δ s2 ) D∞ (δ p2 , δ s2 ) 2.7614 = = ≈ 55 ωs2 − ω p2 f s2 − f p2 5 × 10−2
W (e jω0 ) 以 F1 = 200 Hz 为周期重复叠加后得到 Z (e jω1 ) ；
z z z z
为了保证信息不损失，可以选择 f p1 = 50 Hz 由于频谱重复周期为 200 Hz ，阻带起始频率最大可选择为 f s1 = 150 Hz ；
ˆ (e jω0 ) 过渡带宽 Δf = 100 Hz ，比单级增加了 10 倍！ H 1 1