2016届湖南省常德市津市一中高三上学期第一次月考数学试卷(文科) 解析版
湖南省常德市津市一中2016届高三上学期第二次月考数学试卷(文科) 含解析
2015—2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第二次月考数学试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．函数f（x）=的定义域是（)A．[﹣1，+∞）B．（﹣1，+∞）C．[﹣1，2）∪(2,+∞) D．（﹣1，2）∪（2，+∞）2．设集合M=｛0，1，2，3｝，P={2，3，4｝，那么“x∈M或x∈P”是“x∈M∩P”的()A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件3．在下面的四个选项中，（）不是函数f（x）=x2﹣1的单调减区间．A．（﹣∞，﹣2) B．（﹣2,﹣1）C．（﹣1，1）D．（﹣∞，0)4．函数f（x)=x5+x3+x的图象（)A．关于y轴对称 B．关于直线y=x对称C．关于坐标原点对称 D．关于直线y=﹣x对称5．，，，则（)A．y3＞y1＞y2B．y2＞y1＞y3C．y1＞y2＞y3D．y1＞y3＞y26．将函数y=cos x的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，则所得的图象对应的解析式为(）A．y=cos x+1 B．y=sin x+1 C．y=﹣cos x+1 D．y=﹣sin x+17．设,则=（）A．cosx﹣sinx B．sinx﹣cosx C．cosx+sinx D．﹣cosx﹣sinx8．若曲线f（x）=x•sinx+1在x=处的切线与直线ax+2y+1=0互相垂直，则实数a等于（) A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．29．已知｜|=2,是单位向量，且夹角为60°，则等于（）A．1 B．C．3 D．10．=(）A．﹣B．﹣C．D．11．在△ABC中，角A，B均为锐角，且cosA＞sinB，则△ABC的形状是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形12．已知函数f（x）=cosxsinx（x∈R），给出下列四个命题：①若f（x1）=﹣f（x2)，则x1=﹣x2②f（x）的最小正周期是2π③在区间[]上是增函数;④f（x）的图象关于直线x=对称．其中真命题是(）A．①②④ B．①③C．②③D．③④二、填空题：本大题共4小题，每小题5分13．已知函数，则f（f（﹣2））=．14．若角α的终边经过点P(2，﹣1），则cos2α的值为．15．化简的结果是．16．已知函数f（x)=lnx﹣f′（1）x2+3x﹣4，则f′（1）=．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知,α∈（，π）．（1）求tan(π﹣α)的值;（2）求的值．18．已知函数f(x）=﹣x m,且f（4）=﹣．（1)求m的值;（2）判断f（x)在（0，+∞)上的单调性，并给予证明．19．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知a+b=5，c=,4cos2﹣cos2C=．(1）求角C的大小;（2）求△ABC的面积．20．已知=（cos，sin），，且（I）求的最值；（II）是否存在k的值使？21．已知函数f（x)=x3+ax2+bx+c在x=﹣与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值与函数f（x)的单调区间；（2)若对x∈［﹣1，2］，不等式f（x）＜c2恒成立，求c的取值范围．。
湖南省常德市津市一中高三数学上学期第一次月考试卷理(含解析)
2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．62．设复数Z满足（﹣i）•Z=2i，则|Z|=( )A．B．C．1 D．23．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=( )A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣14．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为( )A．（﹣1，1）B．（0，）C．（﹣1，0）D．（，1）5．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样6．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于( )A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）7．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( )A．B．C． D．8．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.3129．执行如图的程序框图，如果输入的t=0.1，则输出的n=( )A．3 B．4 C．5 D．610．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线A1C1和AB1所成角的余弦值为( )A． B．C．D．11．以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=112．已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）( )A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值C．有最小值﹣1，无最大值D．有最大值﹣1，无最小值二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．若函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数，则实数a的值为__________．14．曲线f（x）=xlnx+x在点x=1处的切线方程为__________．15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=__________．16．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣2，﹣1）=﹣1．下列命题中真命题为__________．（写出所有真命题的序号）①函数f（x）=[x）﹣x的值域是（0，1]；②若{a n}为等差数列，则[a n）也是等差数列；③函数f（x）=[x）﹣x是周期函数；④若x∈（1，4），则方程[x）﹣x=有3个根．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17．已知命题p：|1﹣|≤2 命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．19．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数技术（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）21．设数列{a n}的各项都为正数，其前n项和为S n，已知对任意n∈N*，S n是a n2和a n的等差中项．（Ⅰ）证明数列{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜2；（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式S n﹣1005＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考数学试卷（理科）一、选择题共12小题．每小题5分，共60分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1．设集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为( ) A．3 B．4 C．5 D．6【考点】集合的确定性、互异性、无序性；集合中元素个数的最值．【专题】计算题．【分析】利用已知条件，直接求出a+b，利用集合元素互异求出M中元素的个数即可．【解答】解：因为集合A={1，2，3}，B={4，5}，M={x|x=a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能为：1+4=5、1+5=6、2+4=6、2+5=7、3+4=7、3+5=8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4个．故选B．【点评】本题考查集合中元素个数的最值，集合中元素的互异性的应用，考查计算能力．2．设复数Z满足（﹣i）•Z=2i，则|Z|=( )A．B．C．1 D．2【考点】复数求模．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】由复数的除法运算求解复数Z，然后直接利用复数模的公式求解．【解答】解：由（﹣i）•Z=2i，得=．∴|Z|=||=．故选：C．【点评】本题考查了复数的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础的计算题．3．已知向量=（λ+1，1），=（λ+2，2），若（+）⊥（﹣），则λ=( )A．﹣4 B．﹣3 C．﹣2 D．﹣1【考点】数量积判断两个平面向量的垂直关系．【专题】平面向量及应用．【分析】利用向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系即可得出．【解答】解：∵，．∴=（2λ+3，3），．∵，∴=0，∴﹣（2λ+3）﹣3=0，解得λ=﹣3．故选B．【点评】熟练掌握向量的运算法则、向量垂直与数量积的关系是解题的关键．4．已知函数f（x）的定义域为（﹣1，0），则函数f（2x﹣1）的定义域为( )A．（﹣1，1）B．（0，）C．（﹣1，0）D．（，1）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】原函数的定义域，即为2x﹣1的范围，解不等式组即可得解．【解答】解：∵原函数的定义域为（﹣1，0），∴﹣1＜2x﹣1＜0，即，解得0＜x＜．∴函数f（2x﹣1）的定义域为（0，）．故选B．【点评】考查复合函数的定义域的求法，注意变量范围的转化，属简单题．5．为了解某地区中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )A．简单的随机抽样B．按性别分层抽样C．按学段分层抽样D．系统抽样【考点】分层抽样方法．【专题】阅读型．【分析】若总体由差异明显的几部分组成时，经常采用分层抽样的方法进行抽样．【解答】解：我们常用的抽样方法有：简单随机抽样、分层抽样和系统抽样，而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．了解某地区中小学生的视力情况，按学段分层抽样，这种方式具有代表性，比较合理．故选：C．【点评】本小题考查抽样方法，主要考查抽样方法，属基本题．6．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于( )A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）【考点】等比数列的前n项和．【专题】计算题；等差数列与等比数列．【分析】由已知可知，数列{a n}是以﹣为公比的等比数列，结合已知可求a1，然后代入等比数列的求和公式可求【解答】解：∵3a n+1+a n=0∴∴数列{a n}是以﹣为公比的等比数列∵∴a1=4由等比数列的求和公式可得，S10==3（1﹣3﹣10）故选C【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础试题7．sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=( )A．B．C． D．【考点】两角和与差的正弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】直接利用诱导公式以及两角和的正弦函数，化简求解即可．【解答】解：sin20°cos10°﹣cos160°sin10°=sin20°cos10°+cos20°sin10°=sin30°=．故选：D．【点评】本题考查诱导公式以及两角和的正弦函数的应用，基本知识的考查．8．投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．己知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432 C．0.36 D．0.312【考点】n次独立重复试验中恰好发生k次的概率．【专题】概率与统计．【分析】判断该同学投篮投中是独立重复试验，然后求解概率即可．【解答】解：由题意可知：同学3次测试满足X∽B（3，0.6），该同学通过测试的概率为=0.648．故选：A．【点评】本题考查独立重复试验概率的求法，基本知识的考查．9．执行如图的程序框图，如果输入的t=0.1，则输出的n=( )A．3 B．4 C．5 D．6【考点】程序框图．【专题】计算题；转化思想；算法和程序框图．【分析】由题意可得，算法的功能是求S=1﹣﹣﹣…﹣≤t时n的最小值，由此可得结论【解答】解：由程序框图知：算法的功能是求S=1﹣﹣﹣…﹣≤t时n的最小值，再根据t=0.1，可得：当n=3时，S=1﹣﹣﹣=＞0.1，当n=4时，S=1﹣﹣﹣﹣=＜0.1，故输出的n值为4，故选：B【点评】本题考查了直到型循环结构的程序框图，根据框图的流程判断算法的功能是解题的关键，属于基础题．10．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则异面直线A1C1和AB1所成角的余弦值为( )A． B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【专题】综合题；空间角．【分析】连接C1D，则C1D∥AB1，故∠A1C1D（或其补角）是异面直线A1C1和AB1所成角，在△A1C1D 中，利用余弦定理可得结论．【解答】解：连接C1D，则C1D∥AB1，∴∠A1C1D（或其补角）是异面直线A1C1和AB1所成角在△A1C1D中，A1C1=2，A1D=C1D=，∴cos∠A1C1D==故选A．【点评】本题考查异面直线所成角，考查余弦定理的运用，确定异面直线所成角是关键．11．以抛物线y2=4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为( )A．（x﹣1）2+y2=1 B．（x+1）2+y2=1 C．x2+（y﹣1）2=1 D．x2+（y+1）2=1【考点】抛物线的简单性质；圆的标准方程．【专题】计算题．【分析】先由抛物线的标准方程求得其焦点坐标，即所求圆的圆心坐标，再由圆过原点，求得圆的半径，最后由圆的标准方程写出所求圆方程即可【解答】解；∵抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），∴所求圆的圆心坐标为（1，0）∵所求圆过坐标原点（0，0）∴其半径为1﹣0=1∴所求圆的标准方程为（x﹣1）2+y2=1【点评】本题主要考查了圆的标准方程的求法，抛物线的标准方程及其几何性质，属基础题12．已知f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，规定：当|f（x）|≥g（x）时，h（x）=|f（x）|；当|f（x）|＜g（x）时，h（x）=﹣g（x），则h（x）( )A．有最小值﹣1，最大值1 B．有最大值1，无最小值C．有最小值﹣1，无最大值D．有最大值﹣1，无最小值【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法．【专题】计算题；压轴题．【分析】可以画出f（x）=2x﹣1，g（x）=1﹣x2，的图象，根据规定分两种情况：在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）；在A、B之间，从图象上可以看出最值；【解答】解：画出y=|f（x）|=|2x﹣1|与y=g（x）=1﹣x2的图象，它们交于A、B两点．由“规定”，在A、B两侧，|f（x）|≥g（x）故h（x）=|f（x）|；在A、B之间，|f（x）|＜g（x），故h（x）=﹣g（x）．综上可知，y=h（x）的图象是图中的实线部分，因此h（x）有最小值﹣1，无最大值．故选C．【点评】此题考查分段函数的解析式及其图象的性质，利用了数形结合的方法，是一道中档题；二、填空题：本大题共四小题，每小题5分．13．若函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数，则实数a的值为0．【考点】对数函数图象与性质的综合应用；函数奇偶性的性质．【专题】计算题．【分析】由题意函数是偶函数，由偶函数的定义可以得到ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1），进而得到ax=﹣ax在函数的定义域中总成立，即可判断出a的取值得到答案【解答】解：函数f（x）=ln（x2+ax+1）是偶函数∴f（x）=f（﹣x），即ln（x2+ax+1）=ln（x2﹣ax+1）∴ax=﹣ax在函数的定义域中总成立∴a=0故答案为0【点评】本题考查对数的性质及函数偶函数的性质，解题的关键是理解ax=﹣ax在函数的定义域中总成立，由此判断出参数的取值14．曲线f（x）=xlnx+x在点x=1处的切线方程为y=2x﹣1．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】求导函数，确定切线的斜率，求得切点坐标，进而可求切线方程．【解答】解：求导函数，可得y′=lnx+2，x=1时，y′=2，y=1∴曲线y=xlnx+1在点x=1处的切线方程是y﹣1=2（x﹣1）即y=2x﹣1．故答案为：y=2x﹣1【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，求出切线的斜率是关键，属于基础题．15．设当x=θ时，函数f（x）=sinx﹣cosx取得最大值，则cosθ=﹣．【考点】两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系．【专题】三角函数的求值．【分析】根据函数f（x）=sin（x﹣），当x=θ时，函数f（x）取得最大值，故有θ﹣=2kπ+，求得θ的值，可得cosθ的值．【解答】解：函数f（x）=sinx﹣cosx=sin（x﹣），当x=θ时，函数f（x）取得最大值，故有θ﹣=2kπ+，即θ=2kπ+，k∈z，故cosθ=﹣．【点评】本题主要考查两角和的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，属于中档题．16．已知[x）表示大于x的最小整数，例如[3）=4，[﹣2，﹣1）=﹣1．下列命题中真命题为①③④．（写出所有真命题的序号）①函数f（x）=[x）﹣x的值域是（0，1]；②若{a n}为等差数列，则[a n）也是等差数列；③函数f（x）=[x）﹣x是周期函数；④若x∈（1，4），则方程[x）﹣x=有3个根．【考点】命题的真假判断与应用．【专题】数形结合；函数的性质及应用；简易逻辑．【分析】①由于函数f（x）=[x）﹣x=，即可判断出真假；②是假命题，例如，则[a n）为1，1，2，2，2，3，…，不是等差数列；③由于f（x+1）=[x）+1﹣（x+1）=[x）﹣x=f（x），因此函数f（x）=[x）﹣x是周期为1的周期函数，；④如图所示，即可判断出真假．【解答】解：①∵函数f（x）=[x）﹣x=，因此f（x）的值域是（0，1]，是真命题；②若{a n}为等差数列，则[a n）也是等差数列，是假命题，例如，则[a n）为1，1，2，2，2，3，…，不是等差数列；③∵f（x+1）=[x+1）﹣（x+1）=[x）+1﹣（x+1）=[x）﹣x=f（x），因此函数f（x）=[x）﹣x是周期为1的周期函数，是真命题；④若x∈（1，4），则方程[x）﹣x=有3个根，如图所示，是真命题．综上可得：真命题为①③④．故答案为：①③④．【点评】本题考查新定义函数、函数的图象与性质，考查了数形结合思想方法、推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤：17．已知命题p：|1﹣|≤2 命题q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），且p是q的必要而不充分条件，求实数m的取值范围．【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【专题】简易逻辑．【分析】解绝对值不等式求出满足p的集合P，解二次不等式求出满足q的信Q，进而根据p 是q的必要而不充分条件，可得Q⊊P，进而得到实数m的取值范围．【解答】解：解|1﹣|≤2得：P=[﹣2，10]，解x2﹣2x+1﹣m2≤0得：[1﹣m，1+m]，若p是q的必要而不充分条件，则Q⊊P，则1﹣m≥﹣2且1+m≤10，解得m≤3，又由m＞0，∴实数m的取值范围为（0，3]【点评】本题考查的知识点是充要条件的定义，二次不等式的解法，绝对值不等式的解法，集合的包含关系，难度不大，属于基础题．18．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°（1）若PB=，求PA；（2）若∠APB=150°，求tan∠PBA．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】（Ⅰ）由题意利用直角三角形中的边角关系求得∠PBC=60°，∠PBA=∠ABC﹣∠PBC=30°．在△PBA中，由余弦定理求得PA的值．（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，在△PBA中，由正弦定理求得tanα的值．【解答】解：（Ⅰ）在△ABC中，由于AB=，BC=1，P为△ABC内一点，∠BPC=90°，直角三角形PBC中，若PB=，∵cos∠PBC===，∴∠PBC=60°．∴∠PBA=∠ABC﹣∠PBC=90°﹣60°=30°．在△PBA中，由余弦定理得PA2==，∴PA=．（Ⅱ）设∠PBA=α，由已知得，PB=sinα，在△PBA中，由正弦定理得，，化简得，，∴tanα=，即tan∠PBA=．【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，三角形的内角和公式，属于基础题．19．某高中为了推进新课程改革，满足不同层次学生的需求，决定从高一年级开始，在每周的周一、周三、周五的课外活动期间同时开设数学、物理、化学、生物和信息技术辅导讲座，每位有兴趣的同学可以在期间的任何一天参加任何一门科目的辅导讲座，也可以放弃任何一门科目的辅导讲座．（规定：各科达到预先设定的人数时称为满座，否则称为不满座）统计数技术（1）求数学辅导讲座在周一、周三、周五都不满座的概率；（2）设周三各辅导讲座满座的科目数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【考点】离散型随机变量的期望与方差；等可能事件的概率；离散型随机变量及其分布列．【专题】计算题．【分析】（1）由题意设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则有独立事件同时发生的概率公式即可求得；（2）由于题意可以知道随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，利用随见变量的定义及相应的事件的概率公式即可求得随机变量每一个值下的概率，并列出其分布列，再有期望定义求解．【解答】解：（1）设数学辅导讲座在周一，周三，周五都不满座位事件A，则P（A）=（1﹣，（2）由题意随机变量ξ的可能值为0，1，2，3，4，5，P（ξ=0）=，P（ξ=1）==，P（ξ=2）==，P（ξ=3）=，P（ξ=4）=，P （ξ=5）=，所以随机变量的分布列为：故Eξ=．【点评】此题属于中档题型，重在理解题意并分型事件的类型用准概率公式，考查了随机变量的定义及其分布列，还考查了随机变量的期望公式及计算能力．20．已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内共生产该品牌服装x千件并全部销售完，每千件的销售收入为R（x）万元，且R（x）=（1）写出年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得利润最大？（注：年利润=年销售收入﹣年总成本）【考点】分段函数的应用；函数的最值及其几何意义．【专题】分类讨论．【分析】（1）由年利润W=年产量x×每千件的销售收入为R（x）﹣成本，又由，且年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．我们易得年利润W（万元）关于年产量x（千件）的函数解析式；（2）由（1）的解析式，我们求出各段上的最大值，即利润的最大值，然后根据分段函数的最大值是各段上最大值的最大者，即可得到结果．【解答】解：（1）当；当x＞10时，W=xR（x）﹣（10+2.7x）=98﹣﹣2.7x．∴W=（2）①当0＜x＜10时，由W'=8.1﹣=0，得x=9，且当x∈（0，9）时，W'＞0；当x∈（9，10）时，W'＜0，∴当x=9时，W取最大值，且②当x＞10时，当且仅当，即x=时，W=38，故当x=时，W取最大值38．综合①②知当x=9时，W取最大值38.6万元，故当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获年利润最大．【点评】本题考查的知识点是分段函数及函数的最值，分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者．21．设数列{a n}的各项都为正数，其前n项和为S n，已知对任意n∈N*，S n是a n2和a n的等差中项．（Ⅰ）证明数列{a n}为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）证明++…+＜2；（Ⅲ）设集合M={m|m=2k，k∈Z，且1000≤k＜1500}，若存在m∈M，使对满足n＞m的一切正整数n，不等式S n﹣1005＞恒成立，求这样的正整数m共有多少个？【考点】等差数列的通项公式；不等式的证明．【专题】综合题．【分析】（Ⅰ）当n=1时求得a1；当n≥2时根据2a n=2S n﹣2S n﹣1化简整理得a n﹣a n﹣1=1判断数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列．（Ⅱ）把（Ⅰ）求得的a n代入S n进而可根据裂项法进行求和得++…+=2（1﹣）＜2；原式得证．（Ⅲ）S n﹣1005＞，求得n的范围．进而可得集合M，依据m∈M，所以m=2010，2012，，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列，进而求得k【解答】解：（Ⅰ）由已知，2S n=a n2+a n，且a n＞0．，当n=1时，2a1=a12+a1，解得a1=1．当n≥2时，有2S n﹣1=a n﹣12+a n﹣1．于是2S n﹣2S n﹣1=a n2﹣a n﹣12+a n﹣a n﹣1，即2a n=a n2﹣a n﹣12+a n﹣a n﹣1．于是a n2﹣a n﹣12=a n+a n﹣1，即（a n+a n﹣1）（a n﹣a n﹣1）=a n+a n﹣1．因为a n+a n﹣1＞0，所以a n﹣a n﹣1=1（n≥2）．故数列{a n}是首项为1，公差为1的等差数列，且a n=n．（Ⅱ）因为a n=n，则S n==2（﹣）．所以+++=2[（1﹣）+（﹣）++（﹣）]=2（1﹣）＜2；（Ⅲ）由S n﹣1005＞，得﹣1005＞，即＞1005，所以n＞2010．由题设，M={2000，2002，，2008，2010，2012，，2998}，因为m∈M，所以m=2010，2012，，2998均满足条件，且这些数组成首项为2010，公差为2的等差数列．设这个等差数列共有k项，则2010+2（k﹣1）=2998，解得k=495．故集合M中满足条件的正整数m共有495个．【点评】本题主要考查等差数列的性质特别是等差数列的通项公式．考查了学生分析问题和解决问题的能力．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．选修4-1：几何证明选讲22．（选修4﹣1：几何证明选讲）如图，直线AB为圆的切线，切点为B，点C在圆上，∠ABC的角平分线BE交圆于点E，DB垂直BE交圆于D．（Ⅰ）证明：DB=DC；（Ⅱ）设圆的半径为1，BC=，延长CE交AB于点F，求△BCF外接圆的半径．【考点】与圆有关的比例线段．【专题】直线与圆．【分析】（I）连接DE交BC于点G，由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，由已知角平分线可得∠ABE=∠CBE，于是得到∠CBE=∠BCE，BE=CE．由已知DB⊥BE，可知DE为⊙O的直径，Rt△DBE≌Rt△D CE，利用三角形全等的性质即可得到DC=DB．（II）由（I）可知：DG是BC的垂直平分线，即可得到BG=．设DE的中点为O，连接BO，可得∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．得到CF⊥BF．进而得到Rt△BCF的外接圆的半径=．【解答】（I）证明：连接DE交BC于点G．由弦切角定理可得∠ABE=∠BCE，而∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠BCE，BE=CE．又∵DB⊥BE，∴DE为⊙O的直径，∠DCE=90°．∴△DBE≌△DCE，∴DC=DB．（II）由（I）可知：∠CDE=∠BDE，DB=DC．故DG是BC的垂直平分线，∴BG=．设DE的中点为O，连接BO，则∠BOG=60°．从而∠ABE=∠BCE=∠CBE=30°．∴CF⊥BF．∴Rt△BCF的外接圆的半径=．【点评】本题综合考查了圆的性质、弦切角定理、等边三角形的性质、三角形全等、三角形的外接圆的半径等知识，需要较强的推理能力、分析问题和解决问题的能力．选修4-4：坐标系与参数方程23．已知曲线C1的参数方程为（α为参数）．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos（θ+）=2．（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（ρ≥0，0≤θ＜2π）．【考点】简单曲线的极坐标方程．【专题】坐标系和参数方程．【分析】（Ⅰ）利用cos2α+sin2α=1将曲线C1的参数方程消去参数α，即可得出C1的普通方程．将代入上述方程即可得出极坐标方程．（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，即可得直角坐标方程，与圆的方程联立即可得出交点坐标．【解答】解：（Ⅰ）将曲线C1的参数方程（α为参数）．消去参数α，得（x﹣2）2+y2=4，∴C1的普通方程为：x2+y2﹣4x=0．将代入上述方程可得ρ2﹣4ρcosθ=0，∴C1的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅱ）由曲线C2的极坐标方程ρcos（θ+）=2，展开为=2，可得直角坐标方程得：x﹣y﹣4=0．由，解得或．∴C1与C2交点的直角坐标分别为（4，0），（2，﹣2）．可得极坐标分别为（4，0）或．【点评】本小题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于基础题．选修4-5：不等式选讲24．设函数f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．记f（x）≤1的解集为M，g（x）≤4的解集为N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）当x∈M∩N时，证明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．【考点】其他不等式的解法；交集及其运算．【专题】不等式的解法及应用．【分析】（Ⅰ）由所给的不等式可得①，或②，分别求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，不等式的左边化为﹣，显然它小于或等于，要证的不等式得证．【解答】解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1 可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．综上，原不等式的解集为[0，]．（Ⅱ）证明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵当x∈M∩N时，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2 =xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要证的不等式成立．【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了分类讨论、等价转化的数学思想，属于中档题．。
湖南省常德市津市一中2015-2016学年高一上学期期中数学试卷 Word版含解析
2015-2016学年湖南省常德市津市一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={a，b，c}，下列可以作为集合A的子集的是( )A．a B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d}2．下列函数是偶函数的是( )A．y=x B．y=2x2﹣3 C．y=D．y=x2，x∈[0，1]3．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )A． B．C．D．4．已知函数f（x）=，则f（2）=( )A．3 B．2 C．1 D．05．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A．B．f（x）=lgx2，g（x）=2lgxC．D．6．三个数0.67，70.6，log0.67的大小关系为( )A．B．0.67＜70.6＜log0.67C．D．7．若（）2a+1＜（）3﹣2a，则实数a的取值范围是( )A．（1，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，）8．如果奇函数f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，那么f（x）在区间[4，10]上是( )A．增函数且最小值是﹣9 B．增函数且最大值是﹣9C．减函数且最大值是﹣9 D．减函数且最小值是﹣99．设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=( ) A．B．2 C． D．4x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是( )2）D．（2，3）二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．已知幂函数的图象经过点（2，32）则它的解析式f（x）=__________．12．计算：=__________．13．若log a2=m，log a3=n，a2m+n=__________．14．若一个球的表面积是4π，则它的体积是__________．15．若函数f（2x+1）=4x2+2x+1，则f（3）=__________．三、解答题（本大题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知集合A={x|2x﹣4＜0}，B={x|0＜x＜5}，全集U=R，求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（∁U A）∩B．17．已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x≤﹣1或x≥3}，（1）若A∩B=∅，求实数a的范围；（2）若A⊆B，求实数a的范围．18．已知函数f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．19．已知函数，（1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[2，7]上的最大值及最小值．20．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），并在定义域内为减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），及f（4）=1，（1）求f（1）；（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥1．21．某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为．（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若是盈利，最大利润是多少？若是亏损，最小亏损是多少？2015-2016学年湖南省常德市津市一中高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合A={a，b，c}，下列可以作为集合A的子集的是( )A．a B．{a，c} C．{a，e} D．{a，b，c，d}【考点】子集与真子集．【专题】常规题型．【分析】根据集合的子集的定义，即可判断得到答案．【解答】解：根据集合的子集的定义，∴集合A={a，b，c}的子集为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}，对应选项，则可以作为集合A的子集的是{a，c}．故选B．【点评】本题考查了集合的子集与真子集，研究集合的子集问题时，要特别注意∅．如果集合A的元素个数是n，则其子集个数是2n，真子集个数是2n﹣1．属于基础题．2．下列函数是偶函数的是( )A．y=x B．y=2x2﹣3 C．y=D．y=x2，x∈[0，1]【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】偶函数满足①定义域关于原点对称；②f（﹣x）=f（x）．【解答】解：对于选项C、D函数的定义域关于原点不对称，是非奇非偶的函数；对于选项A，是奇函数；对于选项B定义域为R，并且f（x）=f（x）是偶函数．故选B．【点评】本题考查了函数奇偶性的判定；①判断函数的定义域是否关于原点对称；②如果不对称是非奇非偶的函数；如果对称，再利用定义判断f（﹣x）与f（x）的关系．3．如图是一个物体的三视图，则此三视图所描述物体的直观图是( )A． B．C．D．【考点】由三视图还原实物图．【分析】正视图和左视图可以得到A，俯视图可以得到B和D，结合三视图的定义和作法解答本题正确答案D．【解答】解：正视图和左视图相同，说明组合体上面是锥体，下面是正四棱柱或圆柱，俯视图可知下面是圆柱．故选D【点评】本题主要考查三视图，三视图的复原，可以直接解答，也可以排除作答，是基本能力题目．4．已知函数f（x）=，则f（2）=( )A．3 B．2 C．1 D．0【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】根据分段函数的表达式，直接代入即可得到结论．【解答】解：由分段函数可知，f（2）=﹣2+3=1，故选：C．【点评】本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可得到结论．5．下列四组函数中，表示同一函数的是( )A．B．f（x）=lgx2，g（x）=2lgxC．D．【考点】判断两个函数是否为同一函数．【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．【解答】解：对于A，f（x）=|x|（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，∴是同一函数；对于B，f（x）=lgx2=2lg|x|（x≠0），与g（x）=2lgx（x＞0）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；对于C，f（x）==x+1（x≠1），与g（x）=x﹣1（x∈R）的定义域不同，对应关系也不同，∴不是同一函数；对于D，f（x）=•=（x≥1），与g（x）=（x∈R）的定义域不同，∴不是同一函数．故选：A．【点评】本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题目．6．三个数0.67，70.6，log0.67的大小关系为( )A．B．0.67＜70.6＜log0.67C．D．【考点】对数值大小的比较．【专题】转化思想；数学模型法；函数的性质及应用．【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可得出．【解答】解：∵三个数0＜0.67＜1＜70.6，log0.67＜0，∴log0.67＜0.67＜70.6，∴故选：D．【点评】本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．若（）2a+1＜（）3﹣2a，则实数a的取值范围是( )A．（1，+∞）B．（，+∞）C．（﹣∞，1）D．（﹣∞，）【考点】指数函数的单调性与特殊点．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】考查指数函数，利用函数为单调减函数，可得不等式，从而可求实数a 的取值范围．【解答】解：考查指数函数∵，（）2a+1＜（）3﹣2a，∴2a+1＞3﹣2a∴a＞∴实数a的取值范围是（）故选B．【点评】本题考查指数函数的单调性，考查解不等式，正确运用指数函数的单调性是关键．8．如果奇函数f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，那么f（x）在区间[4，10]上是( )A．增函数且最小值是﹣9 B．增函数且最大值是﹣9C．减函数且最大值是﹣9 D．减函数且最小值是﹣9【考点】函数奇偶性的性质．【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列．【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵f（x）在区间[﹣10，﹣4]上是减函数且最大值为9，∴f（﹣10）=9，又∵f（x）为奇函数，∴f（x）在[4，10]上是减函数，且有最小值f（10）=﹣f（﹣10）=﹣9．故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性之间的关系，要求熟练掌握函数性质的综合应用，属于基础题．9．设a＞1，函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a=( )A．B．2 C． D．4【考点】对数函数的单调性与特殊点．【分析】因为a＞1，函数f（x）=log a x是单调递增函数，最大值与最小值之分别为log a2a、log a a=1，所以log a2a﹣log a a=，即可得答案．【解答】解．∵a＞1，∴函数f（x）=log a x在区间[a，2a]上的最大值与最小值之分别为log a2a，log a a，∴log a2a﹣log a a=，∴，a=4，故选D【点评】本题主要考查对数函数的单调性与最值问题．对数函数当底数大于1时单调递增，当底数大于0小于1时单调递减．x﹣x﹣2=0的一个根所在的区间是( )2）D．（2，3）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】计算题；函数的性质及应用．【分析】令f（x）=e x﹣x﹣2，求出选项中的端点函数值，从而由根的存在性定理判断根的位置．【解答】解：由上表可知，令f（x）=e x﹣x﹣2，则f（﹣1）≈0.37+1﹣2＜0，f（0）=1﹣0﹣2=﹣1＜0，f（1）≈2.72﹣1﹣2＜0，f（2）≈7.39﹣2﹣2＞0，f（3）≈20.09﹣3﹣2＞0．故f（1）f（2）＜0，故选：C．【点评】考查了二分法求方程近似解的步骤，属于基础题．二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在题中横线上）11．已知幂函数的图象经过点（2，32）则它的解析式f（x）=x5．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】函数的性质及应用．【分析】设出幂函数，通过幂函数经过的点，即可求解幂函数的解析式．【解答】解：设幂函数为y=x a，因为幂函数图象过点（2，32），所以32=2a，解得a=5，所以幂函数的解析式为y=x5．故答案为：x5【点评】本题考查幂函数的函数解析式的求法，幂函数的基本知识的应用．12．计算：=4．【考点】有理数指数幂的化简求值．【专题】计算题；转化思想；函数的性质及应用．【分析】利用指数的运算法则即可得出．【解答】解：原式=2﹣+1=4．故答案为：4．【点评】本题考查了指数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．13．若log a2=m，log a3=n，a2m+n=12．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】由题设条件先求出a m=2，a n=3，再由a2m+n=（a m）2•a n能够导出a2m+n的值．【解答】解：∵log a2=m，log a3=n，∴a m=2，a n=3，∴a2m+n=（a m）2•a n=22•3=12．故答案为：12．【点评】本题考查对数的运算法则和运算性质，解题时要认真审题，仔细解答．14．若一个球的表面积是4π，则它的体积是．【考点】球的体积和表面积．【专题】空间位置关系与距离．【分析】由球的表面积是4π，求出球半径为1，由此能求出球的体积．【解答】解：设球的半径为R，∵球的表面积是4π，∴4πR2=4π，解得R=1，∴球的体积V==．故答案为：．【点评】本题考查球的体积的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意球的表面积、体积的计算公式的合理运用．15．若函数f（2x+1）=4x2+2x+1，则f（3）=7．【考点】函数的值．【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】由已知条件利用函数性质直接求解．【解答】解：∵f（2x+1）=4x2+2x+1，∴f（3）=f（2×1+1）=4×12+2×1+1=7．故答案为：7．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．三、解答题（本大题共6小题，共40分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16．已知集合A={x|2x﹣4＜0}，B={x|0＜x＜5}，全集U=R，求：（Ⅰ）A∩B；（Ⅱ）（∁U A）∩B．【考点】交、并、补集的混合运算．【专题】计算题．【分析】求出A中不等式的解集，确定出集合A，（Ⅰ）找出A与B的公共部分，即可求出两集合的交集；（Ⅱ）由全集U=R，找出不属于A的部分，确定出A的补集，找出A补集与B的公共部分，即可确定出所求的集合．【解答】解：A={x|2x﹣4＜0}={x|x＜2}，B={x|0＜x＜5}，（Ⅰ）A∩B={x|0＜x＜2}（Ⅱ）∵A={x|x＜2}，全集U=R，∴C U A={x|x≥2}，则（C U A）∩B={x|2≤x＜5}．【点评】此题考查了交、并、补集的混合运算，熟练掌握交、并、补集的定义是解本题的关键．17．已知集合A={x|a≤x≤a+3}，B={x|x≤﹣1或x≥3}，（1）若A∩B=∅，求实数a的范围；（2）若A⊆B，求实数a的范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】计算题；转化思想；综合法；集合．【分析】由已知可得集合中端点之间的不等式组，解之即可得出结论．【解答】解：（1）由已知，∵A∩B=∅，∴，解得﹣1＜a＜0；（2）∵A⊆B，∴a+3≤﹣1或a≥3，∴a≤﹣4或a≥3．【点评】本题考查了集合的交集运算，以及由集合运算的性质求满足条件的参数范围，一般结合数轴数形结合解之．18．已知函数f（x）=lg（10+x）+lg（10﹣x）．（1）求函数f（x）的定义域；（2）判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】转化思想；函数的性质及应用；不等式的解法及应用．【分析】（1）根据真数大于0，构造不等式，解得函数f（x）的定义域；（2）根据偶函数的定义，可判断出函数f（x）为偶函数．【解答】解：（1）由得：x∈（﹣10，10），故函数f（x）的定义域为（﹣10，10），（2）函数f（x）为偶函数，理由如下：由（1）知函数f（x）的定义域（﹣10，10）关于原点对称，又由f（﹣x）=lg（10﹣x）+lg（10+x）=f（x），故函数f（x）为偶函数．【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，熟练掌握对数函数的图象和性质，是解答的关键．19．已知函数，（1）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；（2）求f（x）在[2，7]上的最大值及最小值．【考点】函数的最值及其几何意义；函数单调性的判断与证明．【专题】证明题；函数思想；分析法；函数的性质及应用．【分析】（1）x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2，判断（x1）﹣f（x2）的符号，进而得到（x1），f（x2）的大小，根据单调性的定义即可得到答案．（2）根据函数的单调性即可求出最值．【解答】解：（1）证明：设x1，x2∈[1，+∞），且x1＜x2则：f（x1）﹣f（x2）=x1+﹣（x2+）=（x1﹣x2）+=（x1﹣x2）（1﹣）=（x1﹣x2），∵1≤x1＜x2，所以x1﹣x2＜0，x1x2＞1∴（x1﹣x2）＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0即f（x1）＜f（x2），∴所以f（x）在[1，+∞）上是增函数，（2）由（1）可知f（x）在[2，7]上单调递增，∴f（x）max=f（7）=7+=．f（x）min=f（2）=2+=．【点评】本题考查的知识点是函数的单调性的判断与证明和函数最值的求法，利用定义法（作差法）证明单调性的步骤是：设元→作差→分解→断号→结论．20．已知函数f（x）的定义域是（0，+∞），并在定义域内为减函数，且满足f（xy）=f（x）+f（y），及f（4）=1，（1）求f（1）；（2）解不等式f（﹣x）+f（3﹣x）≥1．【考点】抽象函数及其应用．【专题】转化思想；定义法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用特殊值法令y=1，可得f（x）=f（x）﹣f（1），求出f（1）=0；（3）不等式可整理为x2﹣3x＜4，﹣x＞0，3﹣x＞0，解不等式可得．【解答】：（1）令y=1，∴f（x）=f（x）﹣f（1），∴f（1）=0；（3）∵f（﹣x）+f（3﹣x）≥1，∴f（x2﹣3x）≥f（4），∵函数在定义域内为减函数，∴x2﹣3x＜4，﹣x＞0，3﹣x＞0，∴﹣1＜x＜0，故解集为（﹣1，0）．【点评】考查了特殊值法求抽象函数问题，利用函数的奇偶性和单调性求解不等式问题．21．某公司以25万元购得某项节能产品的生产技术后，再投入100万元购买生产设备，进行该产品的生产加工．已知生产这种产品的成本价为每件20元．经过市场调研发现，该产品的销售单价定在25元到35元之间较为合理，并且该产品的年销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式为．（年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本）（1）当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为多少？（2）求该公司第一年的年获利W（万元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并说明投资的第一年，该公司是盈利还是亏损．若是盈利，最大利润是多少？若是亏损，最小亏损是多少？【考点】函数模型的选择与应用．【专题】应用题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）因为25＜28＜30，所以把x=28代入y=40﹣x即可求出该产品的年销售量为多少万件；（2）由（1）中y于x的函数关系式和根据年获利=年销售收入﹣生产成本﹣投资成本，得到w和x的二次函数关系，再有x的取值范围不同分别讨论即可知道该公司是盈利还是亏损，若盈利，最大利润是多少？若亏损，最小亏损是多少？【解答】解：（1）∵25≤28≤30，，∴把x=28代入y=40﹣x得y=12（万件），答：当销售单价定为28元时，该产品的年销售量为12万件；（2）①当25≤x≤30时，W=（40﹣x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+60x﹣925=﹣（x﹣30）2﹣25，故当x=30时，W最大为﹣25，即公司最少亏损25万；②当30＜x≤35时，W=（25﹣0.5x）（x﹣20）﹣25﹣100=﹣x2+35x﹣625=﹣（x﹣35）2﹣12.5故当x=35时，W最大为﹣12.5，即公司最少亏损12.5万；对比①，②得，投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万；答：投资的第一年，公司亏损，最少亏损是12.5万．【点评】本题主要考查二次函数在实际中应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要弄懂题意，确定变量，建立函数模型解答，其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值．。
湖南省常德市津市一中高三物理上学期第一次月考试卷(含解析)
2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考物理试卷一、选择题（本题共12小题，其中1～8题为单选题，9～12为多选题，每小题4分，共48分）1．光电效应实验中，下列表述正确的是（）A．光照时间越长光电流越大B．入射光足够强就可以有光电流C．遏止电压与入射光的频率无关D．入射光频率大于极限频率时才能产生光电子2．如图所示，在光滑水平面上，有质量分别为2m和m的A、B两滑块，它们中间夹着一根处于压缩状态的轻质弹簧（弹簧与A、B不拴连），由于被一根细绳拉着而处于静止状态．当剪断细绳，在两滑块脱离弹簧之后，下述说法正确的是（）A．两滑块的动能之比E kA：E kB=1：2B．两滑块的动量大小之比p A：p B=2：1C．两滑块的速度大小之比v A：v B=2：1D．弹簧对两滑块做功之比W A：W B=1：13．如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B 两球在同一直线上运动．两球质量关系为m B=2m A，规定向右为正方向，A、B 两球的动量均为6kg•m/s，运动中两球发生碰撞，碰撞后A 球的动量增量为﹣4kg•m/s，则（）A．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2：5B．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1：10C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2：5D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1：104．关于光的本性，下列说法中不正确的是（）A．光电效应反映光的粒子性B．光子的能量由光的强度所决定C．光子的能量与光的频率成正比D．光在空间传播时，是不连续的，是一份一份的，每一份光叫做一个光子5．如图所示，质量为m的小球从距离地面高H的A点由静止开始释放，落到地面上后又陷入泥潭中，由于受到阻力作用到达距地面深度为h的B点速度减为零．不计空气阻力，重力加速度为g．关于小球下落的整个过程，下列说法中正确的有（）A．小球的机械能减少了mg（H+h）B．小球克服阻力做的功为mghC．小球所受阻力的冲量等于mD．小球动量的改变量等于所受阻力的冲量6．当2个中子和2个质子结合成1个α粒子时，放出28.30MeV的能量，当3个α粒子结合成1个碳核时，放出7.26MeV的能量，则当6个中子和6个质子结合一个碳核时，释放的能量为（）A．21.04MeV B．35.56MeV C．92.16MeV D．77.64MeV7．如图所示，光滑水平面上有两个大小相同的钢球A、B，A球的质量大于B球的质量．开始时A球以一定的速度向右运动，B球处于静止状态．两球碰撞后均向右运动．设碰撞前A 球的德布罗意波长为λ1，碰撞后A、B两球的德布罗意波长分别为λ2和λ3，则下列关系正确的是（）A．λ1=λ2=λ3B．λ1=λ2+λ3C． D．8．下列应用中把放射性同位素作为示踪原子的是（）A．利用含有放射性碘131的油，检测地下输油管的漏油情况B．把含有放射性元素的肥料施给农作物，利用探测器的测量，找出合理的施肥规律C．利用射线探伤法检查金属中的砂眼和裂纹D．给怀疑患有甲状腺的病人注射碘131，诊断甲状腺的器质性和功能性疾病9．已知金属钙的逸出功为2.7eV，氢原子的能级图如图所示．一群氢原子处于量子数n=4能级状态，则（）A．氢原子可能辐射6种频率的光子B．氢原子可能辐射5种频率的光子C．有3种频率的辐射光子能使钙发生光电效应D．有4种频率的辐射光子能使钙发生光电效应10．如图所示是用光照射某种金属时逸出的光电子的最大初动能随入射光频率的变化图线，（直线与横轴的交点坐标4.27，与纵轴交点坐标0.5）．由图可知（）A．该金属的截止频率为4.27×1014 HzB．该金属的截止频率为5.5×1014 HzC．该图线的斜率表示普朗克常量D．该金属的逸出功为0.5eV11．下列说法中正确的是（）A．一群氢原子处于n=3的激发态向较低能级跃迁，最多可放出二种频率的光子B．由于每种原子都有自己的特征谱线，故可以根据原子光谱来鉴别物质C．实际上，原子中的电子没有确定的轨道，但在空间各处出现的概率具有一定的规律D．α粒子散射实验揭示了原子的可能能量状态是不连续的12．由原子核的衰变规律可知（）A．放射性元素一次衰变就同时产生α射线和β射线B．放射性元素发生β衰变，产生的新核的化学性质不变C．放射性元素衰变的快慢跟它所处的物理、化学状态无关D．放射性元素发生正电子衰变时，产生的新核质量数不变，核电荷数减少1二、填空题（本题每空1分，共20分）13．为了“探究碰撞中的不变量”，小明在光滑桌面上放有A、B两个小球．质量为0.3kg 的A球以速度8m/s 跟静止在桌面上质量为0.1kg的B球发生碰撞，并测得碰撞后B球的速度为9m/s，A球的速度变为5m/s，方向与原来相同．根据这些实验数据，小明对这次碰撞的规律做了如下几种猜想：猜想1：碰撞后B球获得了速度，A球把速度传递给了B球．这个猜想（填“成立”或“不成立”）；因为A球速度的减少量（大于、等于、小于）B球速度的增加量．猜想2：碰撞后B球获得了动能，A球把减少的动能全部传递给了B球．这个猜想（填“成立”或“不成立”）．因为A球动能的减少量（大于、等于、小于）B 球动能的增加量．但是通过计算可以知道B球所增加的与 A 球所减少的相等．14．贝可勒尔发现天然放射现象，揭开了人类研究原子核结构的序幕．如图7中P为放在匀强电场中的天然放射源，其放出的射线在电场中分成A、B、C三束．（1）构成A射线的粒子是；构成B射线的粒子是；构成C射线的粒子是．（2）三种射线中，穿透能力最强，经常用来对金属探伤的是射线；电离作用最强，动量最大，经常用来轰击原子核的是射线；当原子核中的一个核子由中子转化为质子时将放出一个粒子．（3）请完成以下与上述粒子有关的两个核反应方程：Th→Pa+ ；+Al→P+n．15．如图所示，这是工业生产中大部分光电控制设备用到的光控继电器的示意图，它由电源、光电管、放电器、电磁继电器等几部分组成．（1）示意图中，a端应是电源极．（2）光控继电器的原理是：当光照射光电管时，（A或K）极发射电子，电路中产生，经放大器放大的电流产生的磁场使铁芯M ，将衔铁N吸住．无光照射光电管时，电路中（仍有、没有）电流，衔铁N自动离开M．（3）当用绿光照射光电管阴极K时，可以发生光电效应，则下列说法正确．A．增大绿光照射强度，光电子最大初动能增大B．增大绿光照射强度，电路中光电流增大．三、计算题（本题共4小题，共32分）16．已知一个氢原子的质量是1.6736×10﹣2kg，一个锂原子的质量是11.6505×10﹣2kg，一个氦原子的质量是6.6466×10﹣27kg，则当一个锂核（锂7）受到一个质子的轰击，变成两个α粒子时所释放的能量是多少？17．一粒质量为4×10﹣4g的尘埃，在空中下落的速度从1m/s增加到3m/s时，它的德布罗意波长从多少变化到多少？（h=6.63×10﹣34JS）18．在光滑的水平面上，甲、乙两物质的质量分别为m1；m2，它们分别沿东西方向的一直线相向运动，其中甲物体以速度6m/s由西向东运动，乙物体以速度2m/s由东向西运动，碰撞后两物体都沿各自原运动方向的反方向运动，速度大小都是4m/s求：①甲、乙两物体质量之比；②通过计算说明这次碰撞是弹性碰撞还是非弹性碰撞．19．如图所示，一个质量为m1=1kg的木板静止在光滑水平地面上．开始时，木板右端与墙相距L=0.08m；质量为m2=1kg的小物块以初速度v0=2m/s滑上木板左端．木板长度可保证物块在运动过程中不与墙接触．物块与木板之间的动摩擦因数为μ=0.1，木板与墙的碰撞是完全弹性的．取g=10m/s2，求：（1）从物块滑上木板到两者刚达到共同速度时所用的时间，木板与墙碰撞的次数；（2）刚达到共同速度时木板右端与墙之间的距离．2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考物理试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共12小题，其中1～8题为单选题，9～12为多选题，每小题4分，共48分）1．光电效应实验中，下列表述正确的是（）A．光照时间越长光电流越大B．入射光足够强就可以有光电流C．遏止电压与入射光的频率无关D．入射光频率大于极限频率时才能产生光电子【考点】光电效应．【分析】发生光电效应的条件是入射光的频率大于金属的极限频率，光电流的大小与入射光的强度有关，与光照时间无关．【解答】解：A、光电流的大小与入射光的强度有关，与光照时间无关，故A错误．B、入射光足够强不一定能发生光电效应，在发生光电效应的前提下，入射光越强，光电流越强，故B错误．C、根据光电效应方程得，E km=hv﹣W0=eU c，可知遏止电压与入射光的频率有关，故C错误．D、当入射光的频率大于金属的极限频率，才能发生光电效应，才能产生光电子，故D正确．故选：D．2．如图所示，在光滑水平面上，有质量分别为2m和m的A、B两滑块，它们中间夹着一根处于压缩状态的轻质弹簧（弹簧与A、B不拴连），由于被一根细绳拉着而处于静止状态．当剪断细绳，在两滑块脱离弹簧之后，下述说法正确的是（）A．两滑块的动能之比E kA：E kB=1：2B．两滑块的动量大小之比p A：p B=2：1C．两滑块的速度大小之比v A：v B=2：1D．弹簧对两滑块做功之比W A：W B=1：1【考点】动量守恒定律；机械能守恒定律．【分析】先根据动量守恒守恒求出脱离弹簧后两滑块的速度之比，根据动能、动量的表达式求出动能及动量之比，根据弹簧对两滑块做功等于滑块动能的变化量求出弹簧对两滑块做功之比．【解答】解：A、C、在两滑块刚好脱离弹簧时运用动量守恒得：2mv A+mv B=0得：两滑块速度大小之比为： =，故C错误；两滑块的动能之比E kA：E kB==，故A正确；B、两滑块的动量大小之比p A：p B=，故B错误；D、弹簧对两滑块做功之比等于两滑块动能之比为：1：2，故D错误．故选：A．3．如图所示，光滑水平面上有大小相同的A、B 两球在同一直线上运动．两球质量关系为m B=2m A，规定向右为正方向，A、B 两球的动量均为6kg•m/s，运动中两球发生碰撞，碰撞后A 球的动量增量为﹣4kg•m/s，则（）A．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2：5B．左方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1：10C．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为2：5D．右方是A球，碰撞后A、B两球速度大小之比为1：10【考点】动量守恒定律．【分析】光滑水平面上有大小相同的A、B 两球在发生碰撞，在碰撞过程中动量守恒．因此可根据两球质量关系，碰前的动量大小及碰后A的动量增量可得出A球在哪边，及碰后两球的速度大小之比．【解答】解：光滑水平面上大小相同A、B 两球在发生碰撞，规定向右为正方向，由动量守恒定律可得：△P A=﹣△P B由于碰后A球的动量增量为负值，所以右边不可能是A球的，若是A球则动量的增量应该是正值，因此碰后A球的动量为2kg•m/s所以碰后B球的动量是增加的，为10kg•m/s．由于两球质量关系为m B=2m A那么碰撞后A、B两球速度大小之比2：5故选：A4．关于光的本性，下列说法中不正确的是（）A．光电效应反映光的粒子性B．光子的能量由光的强度所决定C．光子的能量与光的频率成正比D．光在空间传播时，是不连续的，是一份一份的，每一份光叫做一个光子【考点】光的电磁本性．【分析】光电效应反映光的粒子性，光子的能量与光的频率决定，爱因斯坦的光子说：光在空间传播时，是不连续的，是一份一份的，每一份光叫做一个光子【解答】解：A、光电效应反映光的粒子性，故A正确；B、根据E=hγ，可知：光子的能量与光的频率成正比，故B不正确，C正确；D、由爱因斯坦的光子说：光在空间传播时，是不连续的，是一份一份的，每一份光叫做一个光子，故D正确；本题选不正确的；故选：B．5．如图所示，质量为m的小球从距离地面高H的A点由静止开始释放，落到地面上后又陷入泥潭中，由于受到阻力作用到达距地面深度为h的B点速度减为零．不计空气阻力，重力加速度为g．关于小球下落的整个过程，下列说法中正确的有（）A．小球的机械能减少了mg（H+h）B．小球克服阻力做的功为mghC．小球所受阻力的冲量等于mD．小球动量的改变量等于所受阻力的冲量【考点】动量定理；功的计算；机械能守恒定律．【分析】通过小球重力势能和动能的变化量求出小球机械能的减小量，对全过程运用动能定理，求出小球克服阻力做功的大小，根据动量定理求出小球阻力的冲量．【解答】解：A、小球在整个过程中，动能变化量为零，重力势能减小mg（H+h），则小球的机械能减小了mg（H+h）．故A正确．B、对全过程运用动能定理得，mg（H+h）﹣W f=0，则小球克服阻力做功W f=mg（H+h）．故B 错误．C、落到地面的速度v=，对进入泥潭的过程运用动量定理得，，知阻力的冲量大小不等于．故C错误．D、对全过程分析，运用动量定理知，动量的变化量等于重力的冲量和阻力冲量的矢量和．故D错误．故选：A．6．当2个中子和2个质子结合成1个α粒子时，放出28.30MeV的能量，当3个α粒子结合成1个碳核时，放出7.26MeV的能量，则当6个中子和6个质子结合一个碳核时，释放的能量为（）A．21.04MeV B．35.56MeV C．92.16MeV D．77.64MeV【考点】爱因斯坦质能方程．【分析】根据爱因斯坦质能方程△E=△mc2进行分析求解．【解答】解：当2个中子和2个质子结合成1个α粒子时，根据爱因斯坦质能方程得，．当3个α粒子结合成1个碳核时，．当6个中子和6个质子结合一个碳核时，释放的能量=3△E1+△E2=3×28.30+7.26eV=92.16MeV．故C正确，A、B、D错误．故选：C．7．如图所示，光滑水平面上有两个大小相同的钢球A、B，A球的质量大于B球的质量．开始时A球以一定的速度向右运动，B球处于静止状态．两球碰撞后均向右运动．设碰撞前A 球的德布罗意波长为λ1，碰撞后A、B两球的德布罗意波长分别为λ2和λ3，则下列关系正确的是（）A．λ1=λ2=λ3B．λ1=λ2+λ3C． D．【考点】光的波粒二象性．【分析】在光滑水平面上，大小虽然相同，但质量不等．在碰撞过程中系统满足动量守恒定律，因此可以利用运动物体的德布罗意波长和动量之间的关系列出动量守恒表达式，从而求出结果．【解答】解：如图所示．球A、B碰撞过程中，满足动量守恒．则P B′﹣0=P A﹣P A′由λ=，可得P=即动量守恒表达式也可写成： =﹣所以λ1=故选C8．下列应用中把放射性同位素作为示踪原子的是（）A．利用含有放射性碘131的油，检测地下输油管的漏油情况B．把含有放射性元素的肥料施给农作物，利用探测器的测量，找出合理的施肥规律C．利用射线探伤法检查金属中的砂眼和裂纹D．给怀疑患有甲状腺的病人注射碘131，诊断甲状腺的器质性和功能性疾病【考点】放射性同位素的应用．【分析】放射性同位素碘131能做示踪原子；γ射线穿透能力强，通常会用于工业探伤．【解答】解：A、利用含有放射性碘131的油，检测地下输油管的漏油情况，是利用碘131的放射性，即将碘131作为示踪原子，故A正确；B、把含有放射性元素的肥料施给农作物，利用探测器的测量，找出合理的施肥规律，是示踪原子的运用，故B正确；C、利用射线探伤法检查金属中的砂眼和裂纹，是利用γ射线穿透能力强，不是示踪原子的运用，故C错误；D、给怀疑患有甲状腺的病人注射碘131，诊断甲状腺的器质性和功能性疾病，是将碘131作为示踪原子，故D正确；故选：ABD．9．已知金属钙的逸出功为2.7eV，氢原子的能级图如图所示．一群氢原子处于量子数n=4能级状态，则（）A．氢原子可能辐射6种频率的光子B．氢原子可能辐射5种频率的光子C．有3种频率的辐射光子能使钙发生光电效应D．有4种频率的辐射光子能使钙发生光电效应【考点】氢原子的能级公式和跃迁．【分析】根据数学组合公式求出氢原子可能辐射光子频率的种数，当光子的能量大于逸出功时，可以发生光电效应．【解答】解：A、根据=6知，氢原子可能辐射6种频率的光子．故A正确，B错误．C、金属钙的逸出功为2.7eV，只有n=4跃迁到n=1，n=3跃迁到n=1，n=2跃迁到n=1所辐射的光子能量大于逸出功，才能发生光电效应．故C正确，D错误．故选AC．10．如图所示是用光照射某种金属时逸出的光电子的最大初动能随入射光频率的变化图线，（直线与横轴的交点坐标4.27，与纵轴交点坐标0.5）．由图可知（）A．该金属的截止频率为4.27×1014 HzB．该金属的截止频率为5.5×1014 HzC．该图线的斜率表示普朗克常量D．该金属的逸出功为0.5eV【考点】爱因斯坦光电效应方程；光电效应．【分析】根据爱因斯坦光电效应方程E k=hγ﹣W，E k﹣γ图象的斜率等于h．横轴的截距大小等于截止频率，逸出功W=hγ0，根据数学知识进行求解．【解答】解：A、B根据爱因斯坦光电效应方程E k=hγ﹣W，E k﹣γ图象的横轴的截距大小等于截止频率，由图知该金属的截止频率为4.27×1014 Hz．故A正确，B错误．C、由E k=hγ﹣W，得知，该图线的斜率表示普朗克常量h，则由数学知识得：h=≈6.5×10﹣34J•s．故C正确．D、当E k=hγ﹣W=0时，逸出功为W=hγ0=6.5×10﹣34J•s×4.27×1014 Hz=2.7755×10﹣19J≈1.73eV．故D错误．故选：AC11．下列说法中正确的是（）A．一群氢原子处于n=3的激发态向较低能级跃迁，最多可放出二种频率的光子B．由于每种原子都有自己的特征谱线，故可以根据原子光谱来鉴别物质C．实际上，原子中的电子没有确定的轨道，但在空间各处出现的概率具有一定的规律D．α粒子散射实验揭示了原子的可能能量状态是不连续的【考点】原子核衰变及半衰期、衰变速度．【分析】根据数学组合公式求出氢原子可能辐射的光子频率种数．每个原子都有自己的特征谱线，根据原子的光谱鉴别物质．α粒子散射实验提出了原子的全部正电荷和几乎全部的质量集中在原子核，电子绕核旋转．【解答】解：A、根据=3，知一群氢原子处于n=3的激发态向较低能级跃迁，最多可放出三种频率的光子．故A错误．B、由于每种原子都有自己的特征谱线，故可以根据原子光谱来鉴别物质．故B正确．C、实际上，原子中的电子没有确定的轨道，但在空间各处出现的概率具有一定的规律．故C正确．D、α粒子散射实验得出电子绕核旋转，原子的能量是连续的．故D错误．故选BC．12．由原子核的衰变规律可知（）A．放射性元素一次衰变就同时产生α射线和β射线B．放射性元素发生β衰变，产生的新核的化学性质不变C．放射性元素衰变的快慢跟它所处的物理、化学状态无关D．放射性元素发生正电子衰变时，产生的新核质量数不变，核电荷数减少1【考点】原子核衰变及半衰期、衰变速度．【分析】放射性元素一次衰变不可能同时产生α射线和β射线；根据原子序数是否改变判断化学性质是否改变；放射性元素的半衰期跟它所处的物理、化学状态无关，由原子核内部因素决定．【解答】解：A、一次衰变不可能同时产生α射线和β射线，只可能同时产生α射线和γ射线或β射线和γ射线，故A错误；B、原子核发生衰变后，新核的核电荷数发生了变化，故新核（新的物质）的化学性质理应发生改变，故B错误；C、放射性元素发生衰变的快慢不可人为控制，所处的物理、化学状态无关．故C正确；D、放射性元素发生正电子衰变时，新核质量数不变，核电荷数减少1，故D正确；故选：CD．二、填空题（本题每空1分，共20分）13．为了“探究碰撞中的不变量”，小明在光滑桌面上放有A、B两个小球．质量为0.3kg 的A球以速度8m/s 跟静止在桌面上质量为0.1kg的B球发生碰撞，并测得碰撞后B球的速度为9m/s，A球的速度变为5m/s，方向与原来相同．根据这些实验数据，小明对这次碰撞的规律做了如下几种猜想：猜想1：碰撞后B球获得了速度，A球把速度传递给了B球．这个猜想不成立（填“成立”或“不成立”）；因为A球速度的减少量小于（大于、等于、小于）B球速度的增加量．猜想2：碰撞后B球获得了动能，A球把减少的动能全部传递给了B球．这个猜想不成立（填“成立”或“不成立”）．因为A球动能的减少量大于（大于、等于、小于）B球动能的增加量．但是通过计算可以知道B球所增加的动量与 A 球所减少的动量相等．【考点】验证动量守恒定律．【分析】根据实验提供的数据求出A减少的速度与B增加的速度，然后判断猜想1是否正确；根据实验数据求出A减少的动能与B增加的动能，然后判断猜想2是否正确；最后求出A、B动量的变化，然后分析答题．【解答】解：以A的初速度方向为正方向，A球速度的减少量：△v A=5﹣8=﹣3m/s，B球速度的增加量：△v B=9m/s，A球速度的减少量与B球速度的增加量不相等，故猜想1是错误的；A球的动能减少了△E KA=m1v12﹣m1v1′2=×0.3×82﹣×0.3×52=5.85J，B球动能增加了△E KB=m2v22=×0.1×92=4.05J，A动能的减少量大于B动能的增加量，猜想2是错的；B球动量的增加量：△p B=0.1×9=0.9kg•m/s，A球动量的减少量：△p A=0.3×8﹣0.3×5=0.9 kg•m/s，由此可知，B球动量的增加量与A球动量的减少量相等．即系统的总动量保持不变．故答案为：不成立；小于；不成立；大于；动量；动量．14．贝可勒尔发现天然放射现象，揭开了人类研究原子核结构的序幕．如图7中P为放在匀强电场中的天然放射源，其放出的射线在电场中分成A、B、C三束．（1）构成A射线的粒子是β射线；构成B射线的粒子是γ射线；构成C射线的粒子是α射线．（2）三种射线中，穿透能力最强，经常用来对金属探伤的是γ射线；电离作用最强，动量最大，经常用来轰击原子核的是α射线；当原子核中的一个核子由中子转化为质子时将放出一个β粒子．（3）请完成以下与上述粒子有关的两个核反应方程：Th→Pa+ e ；He +Al→P+n．【考点】X射线、α射线、β射线、γ射线及其特性．【分析】根据α、β、γ三种射线的带电性质以及带电粒子在电场中受力特点可正确解答．在这三种射线中，γ射线的穿透能力最强，电离能力最弱；根据电荷数守恒、质量数守恒写出衰变方程，通过一次α衰变电荷数少2，质量数少4，一次β衰变电荷数多1，质量数不变．【解答】解：（1）α射线为氦核，带正电，β射线为电子流，带负电，γ射线为高频电磁波，故根据电荷所受电场力特点可知：a为β射线、b为γ射线、C为α射线，（2）三种射线中，穿透能力最强，经常用来对金属探伤的是γ射线；电离作用最强，动量最大，经常用来轰击原子核的是α射线；当原子核中的一个核子由中子转化为质子时将放出一个β粒子．（3）根据质量数和电荷数守恒定律，则有：Th→Pa+e；He+Al→P+n．故答案为：（1）β射线、γ射线、α射线；（2）γ、α、β；（3）e， He．15．如图所示，这是工业生产中大部分光电控制设备用到的光控继电器的示意图，它由电源、光电管、放电器、电磁继电器等几部分组成．（1）示意图中，a端应是电源正极．（2）光控继电器的原理是：当光照射光电管时，K （A或K）极发射电子，电路中产生电流，经放大器放大的电流产生的磁场使铁芯M 被磁化，将衔铁N吸住．无光照射光电管时，电路中没有（仍有、没有）电流，衔铁N自动离开M．（3）当用绿光照射光电管阴极K时，可以发生光电效应，则下列 B 说法正确．A．增大绿光照射强度，光电子最大初动能增大B．增大绿光照射强度，电路中光电流增大．【考点】光电效应．【分析】明确光电效应产生原理及仪器装置；知道光电效应的条件是入射光的频率大于金属的极限频率，根据光电效应方程判断光电子最大初动能的变化．【解答】解：（1）电路中要产生电流，则a端接电源的正极，阴极K发射电子，电路中产生电流，经放大器放大后的电流使电磁铁M被磁化，将衔铁N吸住；无光照射光电管时，电路中无电流，N自动离开M．。
高三数学上册第一次月考题
高三数学上册第一次月考题高中最重要的阶段，大家一定要掌握好高中，多做题，多练习，为高考奋战，小编为大家整理了高三数学上册第一次月考题，希望对大家有协助。
一、选择题：本大题共 12小题，每题 5分，共 60 分援在每题给出的四个选项中，只要一项为哪一项契合标题要求的援1.假定选集，集合，，那么 ( )(A) (B) (C) (D)2.在复平面内，双数对应的点的坐标为 ( )(A)(-1，1) (B)(1，1) (C)(1，-1) (D)(-1，-1)3.设平面向量等于 ( )(A)4 (B)5 (C)3 (D)44.设是等差数列的前项和，假定，那么 ( )A. B. C. D.5. 、的取值如下表所示：假定与线性相关，且，那么 ( ) 01342.24.34.86.7(A) (B) (C) (D)6.假定a,bR，且ab，那么以下不等式中恒成立的是( )(A) (B) (C) (D)7.抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点，假定点到该抛物线的焦点距离为3，那么 ( )(A) (B) 3 (C) (D) 48.以下有关命题的说法中错误的选项是( )(A)假定为假命题，那么、均为假命题(B) 是的充沛不用要条件(C) 的必要不充沛条件是(D)假定命题p：实数x使，那么命题为关于都有9.某顺序框图如下图，该顺序运转后，输入的值为31，那么等于( )(A) 4 (B) 1 (C)2 (D) 310. 函数的零点属于区间( )A. B. C. D.11.假设关于的方程有4个不同的实数解，那么实数的取值范围是( )A. B. C. D.12.假定函数，定义函数给出以下命题：① ; ②函数是奇函数;③当时，假定，，总有成立，其中一切正确命题的序号是( )(A)② (B)①② (C)③ (D)②③二、填空题：本大题 4 个小题，每题 5 分，共 20 分.13. 满足约束条件那么的最小值为。
14.函数的定义域为 .15.等比数列是递增数列，是的前项和.假定是方程的两个根，那么 _______ .16. 是定义在[-1，1]上的奇函数且，当，且时，有，假定对一切、恒成立，那么实数的取值范围是_________ .三、解答题：解容许写出文字说明、证明进程或演算步骤.17.在中,角 , , 所对的边长区分为 , , ,向量 ,,且 .(Ⅰ)求角 ;(Ⅱ)假定 , , 成等差数列,且 ,求的面积.18.等比数列前项和为 ,且满足 ,(Ⅰ)求数列的通项公式;(Ⅱ)求的值.19.如图，四边形是正方形，平面，PD∥EA，， , , 区分为 , , 的中点.(Ⅰ)求证：∥平面 ;(Ⅱ)求证：平面平面 ;(Ⅲ)在线段上能否存在一点 ,使平面 ? 假定存在，求出线段的长;假定不存在，请说明理由.20.P为圆A: 上的动点，点B(1,0).线段PB的垂直平分线与半径PA相交于点M，记点M的轨迹为 .(I)求曲线的方程;(II)当点P在第一象限，且cosBAP=223时，求点M的坐标. 查字典数学网小编为大家整理了高三数学上册第一次月考题，希望对大家有所协助。
天津市一中高三数学上学期零月考试题 文(含解析)
2015-2016学年天津一中高三（上）零月考数学试卷（文科）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知z=1﹣i（i是虚数单位），则=（）A．2 B．2i C．2+4i D．2﹣4i2．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．73．阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．554．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．5．“0＜a＜1”是“ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1、a2、a6成等比数列且和为21，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=3n+1 B．a n=3n C．a n=3n﹣2 D．a n=3n﹣57．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30° B．60° C．120°D．150°8．若函数f（x）满足，当x∈时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．（文）已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若M∩N≠∅，则a= ．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为m3．11．已知cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，则tanαtanβ的值为．12．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则= ．13．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是．14．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，，若x∈时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，则实数t的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2009•天津）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂，（Ⅰ）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．16．（13分）（2014•黄冈模拟）已知函数f（x）=cos（ 2x+）+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足2•=ab，c=2，f（A）=，求△ABC的面积S．17．（13分）（2009•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．18．（13分）（2015秋•天津校级月考）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣a n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n•a n，求数列{b n}的前n项和S n．19．（14分）（2013•合肥二模）已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；（II）若∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，求实数k的取值范围．20．（14分）（2007•天津）设函数f（x）=﹣x（x﹣a）2（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意的x∈R 恒成立．2015-2016学年天津一中高三（上）零月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知z=1﹣i（i是虚数单位），则=（）A．2 B．2i C．2+4i D．2﹣4i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：计算题．分析：由题意可得=+（1﹣i）2，再利用两个复数代数形式的乘除法法则，求得结果．解答：解：由题意可得，=+（1﹣i）2=﹣2i=2，故选A．点评：本题主要考查两个复数代数形式的除法，虚数单位i的幂运算性质，利用了两个复数相除，分子和分母同时乘以分母的共轭复数，属于基础题．2．已知实数x，y满足，则目标函数z=x﹣y的最小值为（）A．﹣2 B．5 C．6 D．7考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出约束条件的可行域，再将可行域中各个角点的值依次代入目标函数z=x﹣y，不难求出目标函数z=x﹣y的最小值．解答：解：如图作出阴影部分即为满足约束条件的可行域，由得A（3，5），当直线z=x﹣y平移到点A时，直线z=x﹣y在y轴上的截距最大，即z取最小值，即当x=3，y=5时，z=x﹣y取最小值为﹣2．故选A．点评：本题主要考查线性规划的基本知识，用图解法解决线性规划问题时，利用线性规划求函数的最值时，关键是将目标函数赋予几何意义．3．阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A．14 B．20 C．30 D．55考点：程序框图．专题：计算题．分析：经分析为直到型循环结构，按照循环结构进行执行，当满足跳出的条件时即可输出s 的值．解答：解：∵S1=0，i1=1；S2=1，i2=2；S3=5，i3=3；S4=14，i4=4；S5=30，i=5＞4退出循环，故答案为C．点评：本题考查程序框图的运算，通过对框图的分析，得出运算过程，按照运算结果进行判断结果，属于基础题．4．设函数f（x）定义在实数集上，f（2﹣x）=f（x），且当x≥1时，f（x）=lnx，则有（）A．B．C．D．考点：对数值大小的比较．分析：由f（2﹣x）=f（x）得到函数的对称轴为x=1，再由x≥1时，f（x）=lnx得到函数的图象，从而得到答案．解答：解：∵f（2﹣x）=f（x）∴函数的对称轴为x=1∵x≥1时，f（x）=lnx∴函数以x=1为对称轴且左减右增，故当x=1时函数有最小值，离x=1越远，函数值越大故选C．点评：本题考查的是由f（a﹣x）=f（b+x）求函数的对称轴的知识与对数函数的图象．5．“0＜a＜1”是“ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：规律型．分析：先解出不等式ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R的等价条件，然后利用充分条件和必要条件的定义进行判断．解答：解：要使不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，①当a=0时，1＞0恒成立，满足条件；②当a≠0时，满足，解得0＜a＜1，因此要不等式ax2+2ax+1＞0的解集为R，必有0≤a＜1，故“0＜a＜1”是“ax2+2ax+1＞0的解集是实数集R”的充分不必要条件，故选：A．点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断以及一元二次不等式恒成立问题，要注意对a进行分类讨论．6．已知等差数列{a n}的公差不为零，若a1、a2、a6成等比数列且和为21，则数列{a n}的通项公式为（）A．a n=3n+1 B．a n=3n C．a n=3n﹣2 D．a n=3n﹣5考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：等差数列{a n}的公差不为零，设为d，根据a1、a2、a6成等比数列，且和为21，求出a1与d的值，即可确定出通项公式．解答：解：∵等差数列{a n}的公差不为零，设为d，∴a2=a1+d，a6=a1+5d，∵a1、a2、a6成等比数列，且和为21，∴a22=a1•a6，a1+a2+a6=21，即（a1+d）2=a1（a1+5d），3a1+d+5d=21，解得：a1=1，d=3，则数列{a n}的通项公式为a n=3n﹣2，故选：C．点评：此题考查了等差数列的通项公式，熟练掌握等差数列的性质是解本题的关键．7．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则A=（）A．30° B．60° C．120°D．150°考点：余弦定理的应用．专题：综合题．分析：先利用正弦定理，将角的关系转化为边的关系，再利用余弦定理，即可求得A．解答：解：∵sinC=2sinB，∴c=2b，∵a2﹣b2=bc，∴cosA===∵A是三角形的内角∴A=30°故选A．点评：本题考查正弦、余弦定理的运用，解题的关键是边角互化，属于中档题．8．若函数f（x）满足，当x∈时，f（x）=x，若在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，则实数m的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数零点的判定定理．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：根据，当x∈时，f（x）=x，求出x∈（﹣1，0）时，f（x）的解析式，由在区间（﹣1，1]上，g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，转化为两函数图象的交点，利用图象直接的结论．解答：解：∵，当x∈时，f（x）=x，∴x∈（﹣1，0）时，，∴f（x）=，因为g（x）=f（x）﹣mx﹣m有两个零点，所以y=f（x）与y=mx+m的图象有两个交点，函数图象如图，由图得，当0＜m时，两函数有两个交点故选 D．点评：此题是个中档题．本题考查了利用函数零点的存在性求变量的取值范围和代入法求函数解析式，体现了转化的思想，以及利用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．也考查了学生创造性分析解决问题的能力．二、填空题：（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上）9．（文）已知集合M={a，0}，N={x|2x2﹣5x＜0，x∈Z}，若M∩N≠∅，则a= 1或2 ．考点：交集及其运算；集合关系中的参数取值问题．专题：计算题．分析：题目中利用一元二次不等式的解法化简集合N，结合它与集合M有公共元素即可求得a 值．解答：解∵2x2﹣5x＜0的解是0＜x＜2.5，又∵x∈Z，∴N={1，2}∵M∩N≠∅，∴a=1或2故答案为：1或2点评：本题考查集合与集合交集的运算，解答的关键是分清集合和元素的关系，注意不等式的解法，属于基础题．10．一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则这个几何体的体积为 4 m3．考点：由三视图求面积、体积．专题：立体几何．分析：由题意可知，一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，根据所给的长度，求出几何体的体积．解答：解：由三视图可知，这是一个简单的组合体，上面是一个底面是边长为1的正方形，高是2的四棱柱，体积是1×1×2下面是一个长为2，高为1，宽为1的长方体，体积是1×1×2∴几何体的体积是1×1×2+2×1×1=4m3，故答案为：4点评：本题考查由三视图还原直观图，根据图形中所给的数据，求出要求的体积，本题是一个考查简单几何体体积的简单题目．11．已知cos（α+β）=，cos（α﹣β）=，则tanαtanβ的值为．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用两角和差的余弦公式求得cosαcosβ、sinαsinβ的值，再利用同角三角函数的基本关系求得tanαtanβ的值．解答：解：∵cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ=，∵cos（α﹣β）=cosαcosβ+sinαsinβ=，两式相加可得2cosαcosβ=，相减可得2sinαsinβ=，则tanαtanβ==，故答案为：．点评：本题主要考查两角和差的余弦公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题．12．如图，在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为CD的中点，则= 1 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：计算题．分析：将表示为，再利用向量的运算法则，数量积的定义求解．解答：解：在菱形ABCD中，∠BAD=60，∴△ABD为正三角形，＜＞=60°，=180°﹣60°=120°∵=，∴=（+）•=•+•=2×2×cos60°+1×2×cos120°=2﹣1=1故答案为：1．点评：本题考查向量的数量积运算．关键是将将表示为．易错点在于将有关向量的夹角与三角形内角不加区别，导致结果出错．本题还可以以为基底，进行转化计算．13．若直线2ax﹣by+2=0（a＞0，b＞0）被圆x2+y2+2x﹣4y+1=0截得的弦长为4，则+的最小值是 4 ．考点：基本不等式；直线与圆相交的性质．专题：计算题．分析：先求出圆心和半径，由弦长公式求得圆心到直线2ax﹣by+2=0的距离d=0，直线2ax ﹣by+2=0经过圆心，可得a+b=1，代入式子再利用基本不等式可求式子的最小值．解答：解：圆x2+y2+2x﹣4y+1=0 即（x+1）2+（y﹣2）2=4，圆心为（﹣1，2），半径为 2，设圆心到直线2ax﹣by+2=0的距离等于 d，则由弦长公式得 2=4，d=0，即直线2ax﹣by+2=0经过圆心，∴﹣2a﹣2b+2=0，a+b=1，则+=+=2++≥2+2=4，当且仅当a=b时等号成立，故式子的最小值为 4，故答案为 4．点评：本题考查直线和圆的位置关系，弦长公式以及基本不等式的应用．14．定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，，若x∈时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，则实数t的取值范围是﹣1≤t≤3．考点：函数恒成立问题．专题：综合题；函数的性质及应用．分析：先确定当x∈时，f（x）的最小值为﹣，利用函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），可得x∈时，f（x）的最小值为﹣1，从而可得﹣1≥t2﹣2t﹣4，即可得出结论．解答：解：当x∈当x∈时，f（x）=（x﹣2）x∈∴当x∈时，f（x）的最小值为﹣，又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈时，f（x）的最小值为﹣，当x∈时，f（x）的最小值为﹣1，∵x∈时，f（x）≥t2﹣2t﹣4恒成立，∴﹣1≥t2﹣2t﹣4∴（t+1）（t﹣3）≤0，解得：﹣1≤t≤3，故答案为：﹣1≤t≤3．点评：本题考查的知识点是函数恒成立问题，考查函数的最值，是函数、不等式的综合应用，确定﹣1≥t2﹣2t﹣4是解题的关键．三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）（2009•天津）为了了解某工厂开展群众体育活动的情况，拟采用分层抽样的方法从A，B，C三个区中抽取7个工厂进行调查，已知A，B，C区中分别有18，27，18个工厂，（Ⅰ）求从A，B，C区中分别抽取的工厂个数；（Ⅱ）若从抽取的7个工厂中随机抽取2个进行调查结果的对比，用列举法计算这2个工厂中至少有1个来自A区的概率．考点：分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式．专题：概率与统计．分析：（1）先计算A，B，C区中工厂数的比例，再根据比例计算各区应抽取的工厂数．（2）本题为古典概型，先将各区所抽取的工厂用字母表达，分别计算从抽取的7个工厂中随机抽取2个的个数和至少有1个来自A区的个数，再求比值即可．解答：（1）解：工厂总数为18+27+18=63，样本容量与总体中的个体数比为，所以从A，B，C三个区中应分别抽取的工厂个数为2，3，2、（2）设A1，A2为在A区中抽得的2个工厂，B1，B2，B3为在B区中抽得的3个工厂，C1，C2为在C区中抽得的2个工厂，这7个工厂中随机的抽取2个，全部的可能结果有：C72种，随机抽取2个工厂至少有一个来自A区的结果有（A1，A2），（A1，B2）（A1，B1）（A1，B3）（A1，C2）（A1，C1），同理A2还能组合5种，一共有11种．所以所求的概率为点评：本小题主要考查分层抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率等基础知识，考查运用统计、概率知识解决实际问题的能力．16．（13分）（2014•黄冈模拟）已知函数f（x）=cos（ 2x+）+sin2x．（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和值域；（Ⅱ）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足2•=ab，c=2，f（A）=，求△ABC的面积S．考点：二倍角的余弦；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦定理．专题：解三角形．分析：（Ⅰ）利用三角函数的恒等变化简函数f（x）的解析式为﹣sin2x，由此可得它的最小正周期和值域．（Ⅱ）由2•=ab，求得sin2A=，故A=，B=，再利用正弦定理求得a、b的值，根据 S=ab•sinC，运算求得结果．解答：解：（Ⅰ）因为函数f（x）=cos（ 2x+）+sin2x=cos2x﹣sin2x+=﹣sin2x，所以，最小正周期T==π，值域为．…（6分）（Ⅱ）∵2•=ab，∴2ab•cos（π﹣C）=ab，cosC=﹣．∴C=．又f（A）=，∴sin2A=﹣，sin2A=，∴A=，∴B=．由正弦定理，有，即==，解得 a=﹣，b=2．∴S=ab•sinC=﹣1．…（12分）点评：本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值，三角函数的周期性和求法，正弦定理及两个向量的数量积的定义，属于中档题．17．（13分）（2009•天津）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AD⊥CD，且DB平分∠ADC，E为PC的中点，AD=CD=1，，（Ⅰ）证明PA∥平面BDE；（Ⅱ）证明AC⊥平面PBD；（Ⅲ）求直线BC与平面PBD所成的角的正切值．考点：空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面所成的角．专题：空间位置关系与距离；空间角；立体几何．分析：（1）欲证PA∥平面BDE，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PA与平面BDE 内一直线平行，设AC∩BD=H，连接EH，根据中位线定理可知EH∥PA，而又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，满足定理所需条件；（2）欲证AC⊥平面PBD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AC与平面PBD内两相交直线垂直，而PD⊥AC，BD⊥AC，PD∩BD=D，满足定理所需条件；（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，则∠CBH为直线与平面PBD所成的角，在Rt△BHC中，求出此角即可．解答：解：（1）证明：设AC∩BD=H，连接EH，在△ADC中，因为AD=CD，且DB平分∠ADC，所以H为AC的中点，又有题设，E为PC的中点，故EH∥PA，又HE⊂平面BDE，PA⊄平面BDE，所以PA∥平面BDE（2）证明：因为PD⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，所以PD⊥AC由（1）知，BD⊥AC，PD∩BD=D，故AC⊥平面PBD（3）由AC⊥平面PBD可知，BH为BC在平面PBD内的射影，所以∠CBH为直线与平面PBD所成的角．由AD⊥CD，AD=CD=1，DB=2，可得DH=CH=在Rt△BHC中，tan∠CBH=，所以直线BC与平面PBD所成的角的正切值为．点评：本小题主要考查直线与平面平行．直线和平面垂直．直线和平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力、运算能力和推理能力．18．（13分）（2015秋•天津校级月考）已知数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣a n=2n（n∈N*）．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=n•a n，求数列{b n}的前n项和S n．考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）由a1=1，a n+1﹣a n=2n（n∈N*），利用累加法能求出数列{a n}的通项公式．（2）由b n=n•a n=n•2n﹣n，利用错位相减法能求出数列{b n}的前n项和S n．解答：解：（1）∵数列{a n}满足a1=1，a n+1﹣a n=2n（n∈N*），∴a n=a1+a2﹣a1+a3﹣a2+…+a n﹣a n﹣1=1+2+22+…+2n﹣1==2n﹣1．（2）∵b n=n•a n=n•2n﹣n，∴S n=1•2+2•22+3•23+…+n•2n﹣（1+2+3+…+n），①2S n=1•22+2•23+3•24+…+n•2n+1﹣2（1+2+3+…+n），②①﹣②，得：﹣S n=2+22+23+…+2n﹣n•2n+1+（1+2+3+…+n）=﹣n•2n+1+=（1﹣n）•2n+1﹣2+，∴T n=．点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意累加法和错位相减法的合理运用．19．（14分）（2013•合肥二模）已知函数f（x）=xlnx．（I）若函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，求实数a的最大值；（II）若∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，求实数k的取值范围．考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．专题：导数的综合应用．分析：（I））由函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，即g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），利用导数求出h（x）的最小值，则﹣a≤h（x）min．（II））由已知∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立⇔．令g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．利用导数得出g（x）的最小值即可．解答：解：（I）∵函数g（x）=f（x）+x2+ax+2有零点，∴g（x）=xlnx+x2+ax+2在（0，+∞）上有实数根．即﹣a=lnx+x+在（0，+∞）上有实数根．令h（x）=，（x＞0），则=．解h′（x）＜0，得0＜x＜1；解h′（x）＞0，得x＞1．∴h（x）在（0，1）上单调递减；在（1，+∞）上单调递增．∴h（x）在x=1时取得极小值，即最小值h（1）=3．∴﹣a≥3，解得a≤﹣3．∴实数a的最大值为﹣3．（II）∵∀x＞0，≤x﹣kx2﹣1恒成立，∴lnx≤x﹣1﹣kx2，即．令g（x）=x﹣1﹣lnx，x＞0．=，令g′（x）＞0，解得x＞1，∴g（x）在区间（1，+∞）上单调递增；令g′（x）＜0，解得0＜x＜1，∴g（x）在区间（0，1）上单调递减．∴当x=1时，g（x）取得极小值，即最小值，∴g（x）≥g（1）=0，∴k≤0，即实数k的取值范围是（﹣∞，0]．点评：熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值与最值、等价转化的方法等是解题的关键．20．（14分）（2007•天津）设函数f（x）=﹣x（x﹣a）2（x∈R），其中a∈R．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；（Ⅱ）当a≠0时，求函数f（x）的极大值和极小值；（Ⅲ）当a＞3时，证明存在k∈，使得不等式f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意的x∈R 恒成立．考点：函数单调性的性质．专题：压轴题．分析：（Ⅰ）求出f（2）和f′（2），利用点斜式写切线方程．（Ⅱ）求导，令f′（x）=0，再考虑f（x）的单调性，求极值即可．（Ⅲ）有（Ⅱ）可知当a＞3时f（x）为单调函数，利用单调性直接转化为k﹣cosx≤k2﹣cos2x 恒成立，分离参数求解即可．解答：解：（Ⅰ）解：当a=1时，f（x）=﹣x（x﹣1）2=﹣x3+2x2﹣x，得f（2）=﹣2，且f'（x）=﹣3x2+4x﹣1，f'（2）=﹣5．所以，曲线y=﹣x（x﹣1）2在点（2，﹣2）处的切线方程是y+2=﹣5（x﹣2），整理得5x+y﹣8=0．（Ⅱ）解：f（x）=﹣x（x﹣a）2=﹣x3+2ax2﹣a2xf'（x）=﹣3x2+4ax﹣a2=﹣（3x﹣a）（x﹣a）．令f'（x）=0，解得或x=a．由于a≠0，以下分两种情况讨论．（1）若a＞0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：x （﹣∞，）（，a） a （a，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣因此，函数f（x）在处取得极小值，且；函数f（x）在x=a处取得极大值f（a），且f（a）=0．（2）若a＜0，当x变化时，f'（x）的正负如下表：x （﹣∞，a） a （a，）（，+∞）f′（x）﹣0 + 0 ﹣因此，函数f（x）在x=a处取得极小值f（a），且f（a）=0；函数f（x ）在处取得极大值，且．（Ⅲ）证明：由a＞3，得，当k∈时，k﹣cosx≤1，k2﹣cos2x≤1．由（Ⅱ）知，f（x）在（﹣∞，1]上是减函数，要使f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x），x∈R 只要k﹣cosx≤k2﹣cos2x（x∈R）即cos2x﹣cosx≤k2﹣k（x∈R）①设，则函数g（x）在R上的最大值为2．要使①式恒成立，必须k2﹣k≥2，即k≥2或k≤﹣1．所以，在区间上存在k=﹣1，使得f（k﹣cosx）≥f（k2﹣cos2x）对任意的x∈R恒成立．点评：本小题主要考查运用导数研究函数的性质、曲线的切线方程，函数的极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力及分类讨论的思想方法．- 21 -。
天津市2016年高考数学一模试卷(文科) 含解析
2016年天津市高考数学一模试卷（文科）一、选择题1．已知全集U=R，集合M={y｜y=，x∈R｝，N=｛x|2x﹣1≥1，x∈R｝，则M∩（∁U N）等于（）A．[﹣2，2］B．[﹣2，1）C．[1，4］D．[0，1)2．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1"是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0”3．已知函数f（x)=(m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是幂函数且是（0，+∞)上的增函数,则m的值为（）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．04．若等比数列a n满足a n a n+1=16n，则公比为（）A．2 B．4 C．8 D．165．一个几何体的三视图如图所示,那么这个几何体的表面积是()A．20+2B．20+2C．16+2D．16+26．双曲线的渐近线与圆(x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B． C．D．7．要得到的图象,只需把y=sin2x的图象（）A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度8．已知正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b，则函数f（x)=log a（x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．二、填空题9．已知复数z=﹣2i，其中i是虚数单位，则｜z｜等于．10．执行程序框图，如果输入的n是4，则输出的P=．11．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC，垂足为D,BE与AD 相交于点F，则AF的长为．12．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O,且3+4+5=，则∠AOB的大小是．13．函数f（x）=，关于x的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围为．14．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4,BC=2，∠ABC=60°,动点E和F分别在线段BC和CD上，且=λ，=，则当λ=时，•有最小值．三、解答题15．在△ABC中,a,b,c分别为内角A，B,C的对边,且b2+c2﹣a2=bc．(Ⅰ）求角A的大小;（Ⅱ）已知a=2,设函数f（x)=sin cos+cos2，当x=B时,f（x）取最大值,求△ABC的面积．16．我市某玩具生产公司根据市场调查分析,决定调整产品生产方案，准备每天生产A，B，C三种玩具共100个，且C玩具至少生产20个．每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟)和所获利润如下表：玩具名称 A B C工时（分钟） 5 7 4利润(元) 5 6 3(1）用每天生产A玩具个数x与B玩具个数y表示每天的利润ω(元)（2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，PD=PB=4，∠BAD=60°，E为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD；（Ⅱ）求证：平面EBD⊥平面PAC;（Ⅲ）若PA=PC，求三棱锥C﹣ABE的体积．18．已知椭圆C:+=1（a＞b＞0）过点（0,），且满足a+b=3．（1）求椭圆C的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆C交于两个不同点A，B，点M坐标为(2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1,k2，试问k1+k2是否为定值?并说明理由．19．数列｛a n}满足a1=2，a n+1=a n2+6a n+6（n∈N×）（Ⅰ)设C n=log5(a n+3），求证｛C n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n｝的通项公式；（Ⅲ）设,数列｛b n}的前n项的和为T n,求证：．20．已知函数．（Ⅰ）当时,求函数f(x）的单调区间和极值；（Ⅱ）求证：当0＜k＜1时,关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．(其中e=2.71828…)2016年天津市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题1．已知全集U=R，集合M={y｜y=,x∈R}，N={x｜2x﹣1≥1,x∈R｝，则M∩（∁U N)等于（）A．[﹣2，2]B．[﹣2，1）C．[1,4］D．[0，1)【考点】交、并、补集的混合运算．【分析】求出M中的值域确定集合M，根据不等式的解集定出N,根据全集U=R求出N的补集，找出N补集与M的交集即可．【解答】解:∵集合M={y｜y=，x∈R｝=[0,2］,∵2x﹣1≥=1=20,∴x≥1，∴N=[1，+∞)，∴∁R N=(﹣∞，1）,∴M∩(∁U N）=[0,1），故选D．2．下列有关命题的说法正确的是（）A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为:“若x2=1，则x≠1”B．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0"的必要不充分条件C．命题“若x=y，则sinx=siny”的逆否命题为真命题D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R均有x2+x+1＜0"【考点】命题的真假判断与应用．【分析】A．利用否命题的定义即可判断出;B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6,即可判断出；C．利用命题与逆否命题之间的关系即可判断出；D．利用命题的否定即可判断出．【解答】解：A．命题“若x2=1，则x=1”的否命题为：“若x2≠1,则x≠1”,因此不正确;B．由x2﹣5x﹣6=0解得x=﹣1或6，因此“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0"的充分不必要条件，不正确;C．命题“若x=y,则sinx=siny”为真命题，其逆否命题为真命题，正确；D．命题“∃x∈R使得x2+x+1＜0”的否定是“∀x∈R，均有x2+x+1≥0”，因此不正确．综上可得：只有C正确．故选：C．3．已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）x﹣5m﹣3是幂函数且是（0，+∞）上的增函数,则m的值为(）A．2 B．﹣1 C．﹣1或2 D．0【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【分析】依题意，利用幂函数的概念，由m2﹣m﹣1=1，且﹣5m﹣3＞0即可求得m的值．【解答】解：因为函数f（x）=（m2﹣m﹣1)x﹣5m﹣3是幂函数，所以m2﹣m﹣1=1，即m2﹣m﹣2=0,解得m=2或m=﹣1．又因为幂函数在（0,+∞），所以﹣5m﹣3＞0,即m＜﹣,所以m=﹣1．故选B．4．若等比数列a n满足a n a n+1=16n，则公比为（）A．2 B．4 C．8 D．16【考点】等比数列的性质．【分析】令n=1，得到第1项与第2项的积为16，记作①，令n=2,得到第2项与第3项的积为256,记作②,然后利用②÷①,利用等比数列的通项公式得到关于q的方程，求出方程的解即可得到q的值，然后把q的值代入经过检验得到满足题意的q的值即可．【解答】解：当n=1时,a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②,②÷①得：=16，即q2=16，解得：q=4或q=﹣4，当q=﹣4时,由①得:a12×（﹣4）=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，则公比q=4．故选B5．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的表面积是（)A．20+2B．20+2C．16+2D．16+2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】：由三视图可知:该几何体是一个直四棱柱，底面是一个上下边长分别为2，4，高为2的直角梯形，棱柱的高为2．即可得出．【解答】解：由三视图可知：该几何体是一个直四棱柱，底面是一个上下边长分别为2，4，高为2的直角梯形,棱柱的高为2．∴S=1×2+22+2×+22+=16+2,故选：C．6．双曲线的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A．B． C．D．【考点】圆与圆锥曲线的综合；圆的切线方程；双曲线的简单性质．【分析】求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离,根据此距离和圆的半径相等，求出r．【解答】解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，双曲线的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2(r＞0）相切,∴r=．故选：A．7．要得到的图象,只需把y=sin2x的图象()A．向左平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向右平移个单位长度【考点】函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．【分析】将两个函数化为同名函数，结合三角函数的平移规律即可得到结论．【解答】解:y=sin2x=cos（﹣2x）=cos（2x﹣），∵=cos[2（x+）﹣］的图象，∴只需把y=sin2x的图象向左平移个单位长度，即可,故选：A．8．已知正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b，则函数f（x）=log a（x+b）的图象可能为（）A．B．C．D．【考点】函数的图象．【分析】由题意可得①a＞1且0＜b＜1,或②0＜a＜1,且b＞1．若①成立，则选项B满足条件；若②成立，没有满足条件的选项，由此得出结论．【解答】解：∵正实数a，b满足不等式ab+1＜a+b,∴a（1﹣b）+(b﹣1)＞0,∴（1﹣b）（a﹣1）＞0，故有①a＞1且0＜b＜1，或②0＜a＜1，且b＞1．若①成立,则函数f(x）=log a（x+b）在定义域(﹣b，+∞）上是增函数，且f（1）＞0，f(0）＜0,故选项B满足条件．若②成立,则函数f(x）=log a（x+b）在定义域(﹣b，+∞)上是减函数，且f(1)＜0，f（0）＜0，故没有满足条件的选项．故选B．二、填空题9．已知复数z=﹣2i，其中i是虚数单位，则|z|等于．【考点】复数求模．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后代入复数模的计算公式得答案．【解答】解：∵z=﹣2i=，∴．故答案为：．10．执行程序框图，如果输入的n是4,则输出的P=3．【考点】循环结构．【分析】讨论k从1开始取，分别求出p，s,t的值，直到不满足k＜4，退出循环，从而求出p的值，解题的关键是弄清循环次数．【解答】解：验证次数，p的值；s的值；t的值；k的值第一次：p=1；s=1 t=1 k=2，第二次:p=2；s=1 t=2 k=3,第三次：p=3; s=2 t=3 k=4，第四次:4＜4,此时不满足k＜4．所以输出p=3．故答案为：3．11．如图,A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC=4，AD⊥BC,垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为．【考点】与圆有关的比例线段．【分析】根据半圆的三等分点,得到三个弧对应的角度是60°，根据直径所对的圆周角是直角得到直角三角形的有关长度，做出要求的线段的长度．【解答】解：∵A，E是半圆周上的两个三等分点∴弧EC是一个60°的弧，∴∠EBC=30°，则CE=2，连接BA，则BA=2，∴在含有30°角的直角三角形中，BD=1，DF=，AD=∴AF=，故答案为:12．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3+4+5=,则∠AOB的大小是．【考点】向量在几何中的应用．【分析】移项得3+4=﹣5,两边平方即可得出=0，于是OA⊥OB．【解答】解：∵3+4+5=,∴3+4=﹣5，∴9+16+24=25,∵||=|｜=||=1，∴25+24=25，∴=0，∴,∴∠AOB=．故答案为:．13．函数f（x)=，关于x的方程f（x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根,则实数k的取值范围为k＞﹣且k≠1．【考点】根的存在性及根的个数判断；函数的零点与方程根的关系．【分析】根据函数与方程的关系，转化为函数f（x)与g(x）=k（x﹣1)，至少有两个不同的交点，作出对应的图象，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：由f(x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，得f（x）=k（x﹣1）至少有两个不相等的实数根，设g（x）=k(x﹣1），则等价为f（x）与g（x）至少有两个不同的交点,作出函数f（x）的图象如图：g（x）=k（x﹣1)，过定点C（1，0），当x＞0时，f（x）=x2﹣x的导数f′（x)=2x﹣1，在x=1处，f′（1）=2﹣1=1,当k=1时，g（x）=x﹣1与f（x）=+x=x+1平行,此时两个图象只有一个交点，不满足条件．当k＞1时,两个函数有两个不相等的实数根，当0≤k＜1时，两个函数有3个不相等的实数根，当k＜0时，当直线经过点A（﹣，）时，两个图象有两个交点，此时k(﹣﹣1)=，即k=﹣，当﹣＜k＜0时，两个图象有3个交点，综上要使方程f(x）=kx﹣k至少有两个不相等的实数根，则k＞﹣且k≠1，故答案为:k＞﹣且k≠1．14．在等腰梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB=4，BC=2,∠ABC=60°，动点E和F分别在线段BC和CD上，且=λ，=,则当λ=时，•有最小值．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由已知求得AB=BC=CD=2,再由•=()•（），把=λ，=代入,展开后代入数量积公式求得答案．【解答】解：在等腰梯形ABCD中，∵AB∥CD，AB=4，BC=2,∠ABC=60°，∴AB=BC=CD=2，∴•=（）•（）=（)•(）==×4×2=．当且仅当2，即时上式等号成立．故答案为:．三、解答题15．在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B,C的对边，且b2+c2﹣a2=bc．（Ⅰ）求角A的大小;（Ⅱ)已知a=2，设函数f(x）=sin cos+cos2，当x=B时，f（x）取最大值,求△ABC的面积．【考点】余弦定理；正弦函数的图象．【分析】（I）利用余弦定理即可得出;(II)利用倍角公式、和差公式可得：f（x）=+，再利用三角函数的单调性与值域可得B，进而得出三角形的面积．【解答】解:（Ⅰ）在△ABC中，∵b2+c2﹣a2=bc，由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA 可得cosA=．∵0＜A＜π，∴A=．（Ⅱ）f(x)=sin cos+cos2==+，当x=B时，f(B）=+，∵A=，∴B∈，∴＜，∴当B+=时，即B=时,f（B）有最大值是．又∵A=，∴C=．∴△ABC为等边三角形．∴S=．16．我市某玩具生产公司根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每天生产A，B，C三种玩具共100个，且C玩具至少生产20个．每天生产时间不超过10小时，已知生产这些玩具每个所需工时（分钟)和所获利润如下表：玩具名称 A B C工时(分钟） 5 7 4利润（元） 5 6 3(1)用每天生产A玩具个数x与B玩具个数y表示每天的利润ω（元）（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【考点】简单线性规划的应用．【分析】（1)依题意，每天生产的玩具C的个数为100﹣x﹣y，根据题意即可得出每天的利润；(II）先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设T=2x+3y+300，再利用T的几何意义求最值，只需求出直线z=2x+3y过可行域内的点A时,从而得到T值即可【解答】解：（1)由题意ω=5x+6y+3=2x+3y+300；（2）由题意,约束条件为即可行域如图解方程组得点M的坐标为（20，60）所以ωmax=2x+3y+300=520(元）答：每天生产A玩具20个，B玩具60个，C玩具20个，才能使每天的利润最大，最大利润是520元．17．如图,四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为4的菱形，PD=PB=4,∠BAD=60°,E 为PA中点．（Ⅰ）求证：PC∥平面EBD;（Ⅱ）求证：平面EBD⊥平面PAC；(Ⅲ）若PA=PC，求三棱锥C﹣ABE的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定．【分析】（Ⅰ)设AC∩BD=O，连结EO，证明EO∥PC．即可证明PC∥平面EBD．(Ⅱ）连结PO，证明PO⊥BD．AC⊥BD．即可证明BD⊥平面PAC．然后说明平面EBD⊥平面PAC．（Ⅲ）利用V C﹣ABE =V E﹣ABC，求解即可．【解答】（本小题14分）解（Ⅰ）设AC∩BD=O，连结EO, ∵E为PA中点，O为AC中点, ∴EO∥PC．又∵EO⊂平面EBD,PC⊄平面EBD, ∴PC∥平面EBD．…（Ⅱ)连结PO，∵PD=PB，O为BD中点，∴PO⊥BD．又∵底面ABCD为菱形，∴AC⊥BD．∵PO∩AC=O,∴BD⊥平面PAC．又∵BD⊂平面EBD，∴平面EBD⊥平面PAC．…（Ⅲ)V C﹣ABE =V E﹣ABC…==．…18．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0)过点（0，）,且满足a+b=3．（1)求椭圆C的方程；(2)若斜率为的直线与椭圆C交于两个不同点A，B，点M坐标为（2，1），设直线MA与MB的斜率分别为k1,k2，试问k1+k2是否为定值？并说明理由．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程．【分析】（1）由题意可得b=，由条件可得a，即可求出椭圆C的方程；（2）k1+k2为定值，且k1+k2=0，证明如下：设直线在y轴上的截距为m，推出直线的方程，然后两条直线与椭圆联立,设A（x1，y1）．B（x2，y2)，利用韦达定理以及判别式求出k1+k2，然后化简求解即可．【解答】解:（1)由题意可得b=，又a+b=3，解得a=2，则椭圆的方程为+=1;（2)k1+k2为定值0，证明如下：设直线在y轴上的截距为m，所以直线的方程为y=x+m．由，得x2+2mx+2m2﹣4=0．当△=4m2﹣8m2+16＞0，即﹣2＜m＜2时,直线与椭圆交于两点，设A（x1，y1）．B（x2，y2），则x1+x2=﹣2m．x1•x2=2m2﹣4，又k1=,k2=，故k1+k2=+=，又y1=x1+m,y2=x2+m，所以（y1﹣1）（x2﹣2)+（y2﹣1）（x1﹣2）=（x1+m﹣1）(x2﹣2）+（x2+m﹣1）（x1﹣2）=x1•x2+(m﹣2）（x1+x2）﹣4（m﹣1）=2m2﹣4+（m﹣2)(﹣2m)﹣4（m﹣1)=0,故k1+k2=0．19．数列{a n}满足a1=2,a n+1=a n2+6a n+6（n∈N×）（Ⅰ)设C n=log5（a n+3），求证｛C n}是等比数列；（Ⅱ）求数列{a n｝的通项公式;(Ⅲ)设,数列｛b n}的前n项的和为T n，求证：．【考点】数列的求和;等比关系的确定；数列递推式．【分析】（I）由已知可得，a n+1+3=(a n+3）2，利用构造法令C n=log5(a n+3），则可得，从而可证数列{c n}为等比数列(II）由(I)可先求数列c n，代入c n=log5(a n+3）可求a n（III）把(II）中的结果代入整理可得,，则代入T n=b1+b2+…+b n相消可证【解答】解：（Ⅰ)由a n+1=a n2+6a n+6得a n+1+3=（a n+3）2，∴=2，即c n+1=2c n∴｛c n}是以2为公比的等比数列．（Ⅱ)又c1=log55=1，∴c n=2n﹣1，即=2n﹣1，∴a n+3=故a n=﹣3(Ⅲ）∵b n=﹣=﹣，∴T n=﹣=﹣﹣．又0＜=．∴﹣≤T n＜﹣20．已知函数．(Ⅰ）当时,求函数f（x）的单调区间和极值;(Ⅱ)求证：当0＜k＜1时,关于x的不等式f（x）＞1在区间[1，e]上无解．（其中e=2。
2016届湖南津市一中高三第一次考试
2016届湖南津市一中高三第一次考试语文试卷注意事项：1.本试题分第Ⅰ卷和第2卷两部分，答题前，考生务必将自己的姓名、考号填写在相应的位置。
2.全部答案在答题卷上完成。
第Ⅰ卷阅读题甲必考题一、现代文阅读阅读下面的文字，完成l～3题。
阳明心学王守仁在继承思孟学派的“尽心”、“良知”和陆九渊的“心即理”等学说的基础上，批判吸收了朱熹那种超感性现实的先验范畴的“理”为本体学说，创立了王学，或称阳明心学。
王学的内在结构是良知和致良知经由知行合一而构成的。
在这一结构中，王守仁以心立言，又以良知释心，心就构成了王学的基石。
在王守仁看来，心是无所不包的。
物、事、理、义、善，学等都不在“吾心”之外，亦即是“心即理”。
但他又认为，“良知”是心之本体，是人人生而俱来的，先验的，普遍的“知”。
这种“知”是不待虑而知，不待学而能的本然，是“致良知”、为圣的内在可能性。
同时，他又强调“良知”是外在的社会伦理道德与内在的个体心理欲求的统一，是与天地万物同体的。
正是这个充塞天地的“良知”，才使“我”与万物无间隔地一气流通，互不内外远近地融为一体。
也正是这种天地间活泼泼的、“个个心中有仲尼”的“良知”，才感召人们去追求那种具有“凤凰翔于千仞”，“淳德凝道，和于阴阳，调于四时，去世离俗，积精全神，游行于天地之间，视听八远之外”的“狂者”或圣人境界。
这就极大地强调了主体意识的能动性，高扬了人格精神的伟大，成了“致良知”的主体后天努力的内在要求。
在这里，王守仁突破了朱熹那种“天理”的绝对性，从而肯定了人欲的合理性。
“致良知”就是如何为圣的过程，变本然的知为主体意识自觉把握的知的过程，也就是他所说的“知行合一”。
在这一“致良知”的过程中，王守仁强调认识主体生命意志和情感投入。
主要表现在：“致良知”是对“无一息之或停”的天道和作为人类童识历史积淀的《六经》等的动态认识过程。
这里就要求认识主体要有历史感。
同时，也表现在“致良知”是主体澄静体悟的情感心灵活动。
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2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.）1．集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=( )A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}2．函数的定义域为( )A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）3．下列命题中，真命题是( )A．“∀x∈R，x2≥x”的否定为“∂x∉R，x2≥x”B．命题“若x=1，则x2=1”逆命题C．“若是有理数，则x为无理数”的逆否命题D．“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的必要不充分条件条件4．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，则的值为( )A．3 B．C．D．5．已知f（x﹣1）=x2+6x，则f（x）的表达式是( )A．x2+4x﹣5 B．x2+8x+7 C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣106．函数f（x）=e x﹣x﹣2的一个零点所在的区间为( )A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）7．已知f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）为( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．18．函数y=ln（1﹣x）的图象大致为( )A．B．C．D．9．设a=log0.50.8，b=log1.10.8，c=1.10.8，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b10．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则( )A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）11．已知二次函数f（x）=x2﹣（m﹣1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m的取值范围为( )A．（﹣2，0）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．[﹣2，0]12．已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有( )A．10个B．9个C．8个D．1个二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.13．设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=__________．14．曲线在点（3，2）处的切线的方程为__________．15．已知=__________．16．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∂x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17．计算：（1）（2）．18．已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|（x﹣2）（x﹣10）＜0}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（Ⅰ）求A∪B，（∁R A）∩B；（Ⅱ）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．19．已知x∈[﹣3，2]，求函数f（x）=的最小值和最大值．20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R），（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线的斜率为﹣3，求a，b的值；（2）若曲线f（x）存在两条垂直于直线x=﹣1的切线，求a的取值范围．21．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式恒成立f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，求k的取值范围．2015-2016学年湖南省常德市津市一中高三（上）第一次月考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.）1．集合A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=( )A．{0} B．{1} C．{0，1} D．{0，1，2}【考点】交集及其运算．【专题】计算题．【分析】直接根据交集的定义即可求解．【解答】解：∵A={0，1，2}，B={x|﹣1＜x＜2}∴A∩B={0，1}故选C【点评】本题主要考查了交集的定义，属常考题型，较易．解题的关键是透彻理解交集的定义，但此题一定要注意集合A是孤立的点集否则极易出错!2．函数的定义域为( )A．（0，+∞）B．（1，+∞）C．（0，1）D．（0，1）∪（1，+∞）【考点】函数的定义域及其求法．【专题】函数的性质及应用．【分析】由函数的解析式可得log2x≠0，即，由此求得函数的定义域．【解答】解：由函数的解析式可得log2x≠0，∴，故函数的定义域（0，1）∪（1，+∞），故选D．【点评】本题主要考查函数的定义域的求法，对数函数的定义域，属于基础题．3．下列命题中，真命题是( )A．“∀x∈R，x2≥x”的否定为“∂x∉R，x2≥x”B．命题“若x=1，则x2=1”逆命题C．“若是有理数，则x为无理数”的逆否命题D．“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的必要不充分条件条件【考点】命题的真假判断与应用．【专题】转化思想；数学模型法；简易逻辑．【分析】A．利用命题的否定定义即可判断出；B．原命题的逆命题为“若x2=1，则x=1”，进而判断出真假；C．命题是真命题，其逆否命题与原命题是等价命题；D．由x2﹣1＞0，解得x＞1，或x＜﹣1，即可判断出真假．【解答】解：A．“∀x∈R，x2≥x”的否定为“∂x∈R，x2＜x”，因此不正确B．命题“若x=1，则x2=1”逆命题为“若x2=1，则x=1”是假命题；C．命题“若是有理数，则x为无理数”，是真命题，因此其逆否命题也是真命题；D．由x2﹣1＞0，解得x＞1，或x＜﹣1，因此“x＜﹣1”是“x2﹣1＞0”的充分不必要条件，不正确．故选：C．【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、不等式与方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．已知幂函数y=f（x）的图象经过点，则的值为( )A．3 B．C．D．【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域．【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】设幂函数f（x）=xα，由已知得f（8）=，解得f（x）=，由此能求出的值．【解答】解：设幂函数f（x）=xα，∵幂函数y=f（x）的图象经过点，∴f（8）=，解得，∴f（x）=，∴==．故选：B．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．5．已知f（x﹣1）=x2+6x，则f（x）的表达式是( )A．x2+4x﹣5 B．x2+8x+7 C．x2+2x﹣3 D．x2+6x﹣10【考点】函数解析式的求解及常用方法．【专题】函数的性质及应用．【分析】f（x﹣1）=x2+6x，设x﹣1=t，则x=t+1，于是f（t）=（t+1）2+6（t+1），化简并且把t与x互换即可得出．【解答】解：∵f（x﹣1）=x2+6x，设x﹣1=t，则x=t+1，∴f（t）=（t+1）2+6（t+1）=t2+8t+7，把t与x互换可得：f（x）=x2+8x+7．故选：B．【点评】本题考查了指数函数的图象与性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题．6．函数f（x）=e x﹣x﹣2的一个零点所在的区间为( )A．（﹣1，0）B．（0，1）C．（1，2）D．（2，3）【考点】二分法求方程的近似解．【专题】函数的性质及应用．【分析】将x=﹣1，x=0，x=1代入函数的表达式，结合零点的判定定理，得出答案．【解答】解：∵f（﹣1）=+1﹣2=﹣1＜0，f（0）=1﹣2=﹣1＜0，f（1）=e﹣1﹣2＜0，f（2）=e2﹣4＞0，∴函数f（x）的零点在（1，2）内，故选：C．【点评】本题考查了函数的零点的判定定理，是一道基础题．7．已知f（x）=x2+3xf′（1），则f′（1）为( )A．﹣2 B．﹣1 C．0 D．1【考点】导数的运算．【专题】计算题．【分析】先求出f′（x）=2x+3f'（1），令x=1，即可求出f′（1 ）．【解答】解：因为f（x）=x2+3xf'（1）所以：f′（x）=2x+3f'（1），令x=1，得f′（1）=2+3f'（1），故f′（1）=﹣1，故选：B．【点评】本题考查函数与导数，求导公式的应用及函数值求解．本题求出f′（x ）是关键步骤．8．函数y=ln（1﹣x）的图象大致为( )A．B．C．D．【考点】对数函数的图像与性质．【专题】作图题．【分析】根据对数函数图象的性质，我们易画出自然对数的性质，然后根据函数的平移变换，及对称变换法则，我们易分析函数解析式的变化情况，然后逐步变换图象即可得到答案．【解答】解：函数y=lnx的图象如下图所示：将函数y=lnx的图象关于y轴对称，得到y=ln（﹣x）的图象，再向右平移1个单位即得y=ln （1﹣x）的图象．故选C【点评】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，图象变换，其中根据图象变换法则，根据函数解析式之间的关系，分析出变化方法是解答本题的关键．9．设a=log0.50.8，b=log1.10.8，c=1.10.8，则a，b，c的大小关系为( )A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b【考点】不等式比较大小．【专题】计算题．【分析】可根据指数函数与对数函数的图象和性质，把a、b、c与0，1进行比较即可得到答案．【解答】解析∵a=log0.50.8＜log0.50.5=1，b=log1.10.8＜log1.11=0，c=1.10.8＞1.10=1，又∵a=log0.50.8＞log0.51=0．∴b＜a＜c．故答案为B【点评】本题考查不等式的比较大小，着重考查指数函数与对数函数的性质，关键在于将a、b、c与0、1进行比较，属于基础题．10．定义在R上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．则( )A．f（3）＜f（﹣2）＜f（1）B．f（1）＜f（﹣2）＜f（3）C．f（﹣2）＜f（1）＜f（3）D．f（3）＜f（1）＜f（﹣2）【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．【专题】计算题；压轴题．【分析】对任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．可得出函数在[0，+∞）上是减函数，再由偶函数的性质得出函数在（﹣∞，0]是增函数，由此可得出此函数函数值的变化规律，由此规律选出正确选项【解答】解：任意的x1，x2∈[0，+∞）（x1≠x2），有．∴f（x）在（0，+∞]上单调递减，又f（x）是偶函数，故f（x）在（﹣∞，0]单调递增．且满足n∈N*时，f（﹣2）=f（2），3＞2＞1＞0，由此知，此函数具有性质：自变量的绝对值越小，函数值越大∴f（3）＜f（﹣2）＜f（1），故选A．【点评】本题主要考查了函数奇偶性的应用和函数的单调性的应用．属基础题．11．已知二次函数f（x）=x2﹣（m﹣1）x+2m在[0，1]上有且只有一个零点，则实数m的取值范围为( )A．（﹣2，0）B．（﹣1，0）C．（﹣2，﹣1）D．[﹣2，0]【考点】二次函数的性质．【专题】分类讨论；分类法；函数的性质及应用．【分析】若△=0，则只需验证0≤≤1是否成立即可，若△＞0，则讨论零点是否为0或1，若不是则令f（0）•f（1）＜0解出．【解答】解：△=（m﹣1）2﹣8m=m2﹣10m+1，（1）若△=m2﹣10m+1=0，即m=5±2，则此时f（x）=0的解为x=2±∉[0，1]，（2）若△=m2﹣10m+1＞0，即m＜5﹣2或m＞5+2，①若f（x）在[0，1]上的零点为x=0，即f（0）=0，解得m=0，②若f（x）在[0，1]上的零点为x=1，即f（1）=0，解得m=﹣2．③若f（x）在[0，1]上的零点既不是0，也不是1则f（0）•f（1）＜0，即2m2+4m＜0，解得﹣2＜m＜0．综上，m的取值范围是[﹣2，0]．故选：D．【点评】本题考查了二次函数的零点与系数的关系，对△进行讨论是解题的常用方法．12．已知函数y=f（x）的周期为2，当x∈[﹣1，1]时f（x）=x2，那么函数y=f（x）的图象与函数y=|lgx|的图象的交点共有( )A．10个B．9个C．8个D．1个【考点】对数函数的图像与性质；函数的周期性．【专题】压轴题；数形结合．【分析】根据对数函数的性质与绝对值的非负性质，作出两个函数图象，再通过计算函数值估算即可．【解答】解：作出两个函数的图象如上∵函数y=f（x）的周期为2，在[﹣1，0]上为减函数，在[0，1]上为增函数∴函数y=f（x）在区间[0，10]上有5次周期性变化，在[0，1]、[2，3]、[4，5]、[6，7]、[8，9]上为增函数，在[1，2]、[3，4]、[5，6]、[7，8]、[9，10]上为减函数，且函数在每个单调区间的取值都为[0，1]，再看函数y=|lgx|，在区间（0，1]上为减函数，在区间[1，+∞）上为增函数，且当x=1时y=0；x=10时y=1，再结合两个函数的草图，可得两图象的交点一共有10个，故选：A．【点评】本题着重考查了基本初等函数的图象作法，以及函数图象的周期性，属于基本题．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上. 13．设函数f（x）=，若f（a）=4，则实数a=﹣4或2．【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】利用分段函数的性质求解．【解答】解：∵函数f（x）=，f（a）=4，∴当x≤0时，﹣a=4，解得a=﹣4；当x＞0时，a2=4，解得a=2或a=﹣2（舍）．∴a=﹣4或a=2．故答案为：﹣4，2．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．14．曲线在点（3，2）处的切线的方程为x+2y﹣7=0．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的综合应用．【分析】由题意求出导数：y′=，进而根据切点坐标求出切线的斜率，即可求出切线的方程．【解答】解：由题意可得：y′=，所以在点（3，2）处的切线斜率为﹣，所以在点（3，2）处的切线方程为：y=﹣（x﹣3）+2．即x+2y﹣7=0故答案为：x+2y﹣7=0．【点评】此题考查学生熟练利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，能够根据一点坐标和斜率写出直线的方程，是一道基础题．15．已知=1．【考点】对数的运算性质．【专题】计算题．【分析】首先分析题目已知2x=5y=10，求的值，故考虑到把x和y用对数的形式表达出来代入，再根据对数的性质以及同底对数和的求法解得，即可得到答案．【解答】解：因为2x=5y=10，故x=log210，y=log510=1故答案为：1．【点评】此题主要考查对数的运算性质的问题，对数函数属于三级考点的内容，一般在高考中以选择填空的形式出现，属于基础性试题同学们需要掌握．16．已知命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，命题q：“∂x∈R，x2+4x+a=0”，若命题“p∧q”是假命题，求实数a的取值范围．【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；简易逻辑．【分析】由题意，p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，转化为a≥（e x）max即可，求出参数的范围，q：“∂x∈R，x2+4x+a=0”，说明方程有根，转化为△=16﹣4a≥0，解出参数的范围，由于“p∧q”是假命题包括的情况较多，故先求其为真命题的范围，再求解，较简单【解答】解：命题p：“∀x∈[0，1]，a≥e x”，即a≥（e x）max即可，即a≥e命题q：“∂x∈R，x2+4x+a=0”，即△=16﹣4a≥0成立，即a≤4若命题“p∧q”是真命题，则有e≤a≤4，故“p∧q”是假命题时a的范围是＜e或a＞4【点评】本题考查复合命题真假，函数最值特称命题等知识，综合性较强，解答时要注意将命题“p∧q”是假命题，转化为求使得p∧q为真命题时参数范围的补集，这是正难则反技巧的运用三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.）17．计算：（1）（2）．【考点】对数的运算性质；有理数指数幂的化简求值．【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用．【分析】（1）利用指数幂的运算性质即可得出；（2）利用对数幂的运算性质即可得出．【解答】解：（1）原式=++﹣3+=+100+﹣3+=100．（2）原式=lg25+lg4+lg20（lg5+lg20）﹣2lg20=lg100+2lg20﹣2lg20=2．【点评】本题考查了指数幂与对数的运算性质，考查了计算能力，属于基础题．18．已知集合A={x|3≤x≤7}，B={x|（x﹣2）（x﹣10）＜0}，C={x|5﹣a＜x＜a}．（Ⅰ）求A∪B，（∁R A）∩B；（Ⅱ）若C⊆（A∪B），求a的取值范围．【考点】集合的包含关系判断及应用．【专题】规律型．【分析】（Ⅰ）求出集合B，利用集合的基本运算即可求A∪B，（∁R A）∩B；（Ⅱ）根据条件C⊆（A∪B），建立条件关系即可求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由（x﹣2）（x﹣10）＜0 得2＜x＜10，∴B={x|2＜x＜10}，∵A={x|3≤x≤7}，∴A∪B={x|2＜x＜10}．∵（∁R A）={x|x＜3或x≥7}，∴（∁R A）∩B={x|2＜x＜3或7≤x＜10}．（Ⅱ）由（1）知A∪B={x|2＜x＜10}．①当C=∅时，满足C⊆（A∪B），此时5﹣a≥a，得a，②当C≠∅时，要使C⊆（A∪B）成立，则，解得．由①②得，a≤3．【点评】本题主要考查集合的基本运算，要求熟练掌握集合的交集，并集以及补集的基本运算，比较基础．19．已知x∈[﹣3，2]，求函数f（x）=的最小值和最大值．【考点】指数函数单调性的应用；二次函数的性质．【专题】计算题．【分析】先令，将原函数转化为二次函数，再用配方法，求其对称轴，明确单调性，最后求最值．【解答】解：令，将原函数转化：∴当t=时，函数取得最小值为，当t=8时，函数取得最大值为57．【点评】本题主要考查函数的转化及二次函数最值及单调性，二次函数是基本函数，也是考查频率较高的函数，要对其图象性质非常熟练．20．已知函数f（x）=x3+（1﹣a）x2﹣a（a+2）x+b（a，b∈R），（1）若函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线的斜率为﹣3，求a，b的值；（2）若曲线f（x）存在两条垂直于直线x=﹣1的切线，求a的取值范围．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】综合题；转化思想；分析法；导数的概念及应用．【分析】（1）求出原函数的导函数，由函数f（x）的图象过原点，且在原点处的切线斜率为﹣3得到方程f（0）=0，f′（0）=﹣3，解方程组求得a，b的值；（2）把曲线y=f（x）存在两条垂直于x=﹣1的切线转化为函数f（x）有两个极值点，进一步转化为关于x的方程f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=0有两个不相等的实数根，然后尤其判别式大于0求得a的范围．【解答】解：（1）函数f（x）的图象过原点，即为f（0）=0，即有b=0，又f（x）的导数为f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2），由在原点处的切线的斜率为﹣3，可得﹣a（a+2）=﹣3，解得a=﹣3或1，即有a=﹣3，b=0或a=1，b=0；（2）∵曲线f（x）存在两条垂直于直线x=﹣1的切线，∴关于x的方程f′（x）=3x2+2（1﹣a）x﹣a（a+2）=0有两个不相等的实数根，∴△=4（1﹣a）2+12a（a+2）＞0，即4a2+4a+1＞0，∴a≠﹣．∴a的取值范围是（﹣∞，﹣）∪（﹣，+∞）．【点评】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，着重考查了数学转化思想方法，是中档题．21．为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元．（1）该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？（2）该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【考点】函数的最值及其几何意义．【专题】应用题．【分析】（1）由题意月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：，两边同时除以x，然后利用不等式的性质进行放缩，从而求出最值；（2）设该单位每月获利为S，则S=100x﹣y，把y值代入进行化简，然后运用配方法进行求解．【解答】解：（1）由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：，当且仅当，即x=400时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元．（2）设该单位每月获利为S，则S=100x﹣y==因为400≤x≤600，所以当x=400时，S有最大值﹣40000．故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40000元，才能不亏损．（16分）【点评】此题是一道实际应用题，考查了函数的最值和不等式的基本性质，及运用配方法求函数的最值．22．已知定义域为R的函数f（x）=是奇函数．（1）求b的值；（2）判断函数f（x）的单调性；（3）若对任意的t∈R，不等式恒成立f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0，求k的取值范围．【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明．【专题】综合题；函数的性质及应用．【分析】（1）利用奇函数定义，在f（﹣x）=﹣f（x）中的运用特殊值求ab的值；（2）由（1）知f（x）==﹣+，课确定函数f（x）的单调性；（3）由（2）结合奇函数的性质把不等式f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0转化为关于t的一元二次不等式，最后由一元二次不等式知识求出k的取值范围．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即=0，∴b=1经检验b=1时，f（x）=是奇函数．（2）由（1）知f（x）==﹣+，易知f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．（3）又因为f（x）是奇函数，所以f（t2﹣2t）+f（2t2﹣k）＜0等价于f（t2﹣2t）＜﹣f（2t2﹣k）=f（k﹣2t2），因为f（x）为减函数，由上式可得：t2﹣2t＞k﹣2t2．即对一切t∈R有：3t2﹣2t﹣k＞0，从而判别式△=4+12k＜0，所以k＜﹣．所以k的取值范围是k＜﹣．【点评】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合应用；同时考查一元二次不等式恒成立问题的解决策略．。